Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Шейпак, Игорь Анатольевич

• Шейпак, Игорь Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шейпак, Игорь Анатольевич

1 Общая конструкция самоподобных функций в различных функциональных пространствах

1.1 Самоподобные функции в пространстве Ьр[0,1]

1.1.1 Операторы подобия в пространстве Ьр [0,1]

1.1.2 Неравенства, оценивающие нормы самоподобных функций / Є Ьр[0,1] через параметры самоподобия

1.1.3 Непрерывная зависимость неподвижной точки сжимающего отображения от параметров самоподобия.

1.2 Непрерывные самоподобные функции.

1.3 Связь самоподобных функций из Ьр[0,1] и самоподобных мер

1.3.1 Непрерывные самоподобные функции с неограниченной вариацией.

1.4 Типы самоподобия.

1.4.1 Самоподобные функции положительного спектрального порядка.

1.4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка.

1.4.3 Спектральный порядок.

1.5 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка, задаваемые оператором подобия, меняющего ориентацию отрезка.

1.5.1 Формулы для приближений самоподобной функции

1.5.2 Координаты особой точки.

1.5.3 Условия неубывания функции в случае ск ~ 1.

1.6 Примеры.

1.6.1 Некоторые конкретные самоподобные функции.

1.6.2 Неаффинно самоподобные функции

1.7 Типы самоподобия самоподобных функций положительного спектрального параметра

2 Колебания струны с самоподобным сингулярным весом

2.1 Операторная модель задачи. Случай произвольного веса р Є И^О, 1].

2.2 Случай арифметического невырожденного самоподобия веса.

2.3 Случай неарифметического самоподобия веса

2.4 Случай вырожденного арифметического самоподобия веса.

2.4.1 Примеры.

2.5 Случай дискретного самоподобного веса

2.5.1 Самоподобные функции в 1/2[0,1] и их спектральные порядки.

2.5.2 Основные результаты.

2.5.3 Примеры.

3 Спектральные свойства дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярным дискретным весом

3.1 Самоподобная мера с вырожденным самоподобием

3.2 Спектральная задача для дифференциального оператора высшего порядка с дискретной самоподобной мерой.

4 Применение задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом к якобиевым матрицам

4.1 Введение.

4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка.

4.3 Задача Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом.

4.3.1 Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщённой производной функции нулевого спектрального порядка.

4.3.2 Индефинитный случай.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шейпак, Игорь Анатольевич, 2012 год

1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С .Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М., 1986.

2. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею// М., Физмат-гиз., 1961

3. Бирман М.С., Соломяк М.З., Асимптотика спектра слабо полярных интегральных операторов// Изв. АН СССР, матем., 34 (1970), N6, 1143-1158.

4. Бирман М.С., Соломяк М.З., Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве// Изд. ЛГУ, Л., 1980.

5. Бирман М.С., Соломяк М.З., Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории// Десятая математическая школа. Ю.А. Митропольский и А.Ф. Шестопал (Ред.), 1974. 5189.

6. Божокин С. В., Паршин Д. А., Фракталы и мультифрак-талы//КС Dynamics, Москва-Ижевск, 2001.

7. Борозов В. В., О количественных характеристиках сингулярной меры//Проблемы математической физики, т.4, Изд-во ЛГУ, 1970, 42-47.

8. Борозов В. В., О спектре сингулярной струны/ /Известия ВУЗов, т.7(170), 1976, 3-10.

9. Владимиров A.A., О вычислении собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с фрактальным индефинитным весом//Журнал выч. матем. и матем. физики, 2007, т. 47, вып. 8, 1350-1355.

10. А. А. Владимиров, И. А. Шейпак. Особенности условий Неймана в задаче Штурма-Лиувилля с сингулярным весом/ / Междунар. конф. «Дифф. уравнения и смежные вопросы», посвящённая 103-летию И. Г. Петровского. Сборник тезисов. М.: МГУ, 2004, 238-239.

11. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Самоподобные функции в пространстве 1/2 0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным весом// Матем. сборник, т. 197(11), 2006, 13-30.

12. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова, т.255, 2006, 88-98.

13. Владимиров A.A., Шейпак И. А., Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом/¡Математ. заметки, 2010, т. 88, вып. 5, 662-672.

14. Владимиров A.A., Шейпак И.А., Асимптотика собственных значений задачи высшего чётного порядка с дискретным самоподобным весом//Алгебра и анализ, т.24, №2, 2012, 104-119.

15. Владимиров A.A., Шейпак И. А., О задаче Неймана для уравнения Штурма-Лиувилля с самоподобным весом канторовского ти?ш//Функциональный анализ, 2012, (принято к печати).

16. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем/ /ГИТТJI, Москва, Ленинград, 1950.

17. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом прострнастве и её приложения// М.: Наука, 1967. 508 с.

18. Дерфель Г. А., Вероятностные методы для одного класса функционально-разностных уравнений//Укр. матем. журн., 41:10 (1989), 1137-1141.

19. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, том 1, М., Мир, 1965.

20. Иврий В. Я., О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с краем//Функц. анализ и его прил., 14:2 (1980), 25—34.

21. Кац И. С., Крейн М. Г., О спектральных функциях струны. В кн.: Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные граничные задачи. М., 1968, 648-733.

22. Кожан Р. В., Асимптотика собственных значений двух-диагональных матриц Якоби//Матем. заметки, т.77, вып. 2, 2005, 313-316.

23. Крейн М.Г., Определение плотности неоднородной симметричной струны//ДАН СССР, 1951, т. 76, №3, 345348.

24. Крейн М.Г., Об обратных задачах для неоднородной струны//ДАН СССР, 1952, т. 82, №5, 669-672.

25. Крейн М.Г., Об одном обобщении исследований Стил-тъеш//ДАН СССР, 1952, т. 87, №6, 881-884.

26. Крейн М. Г., О некоторых случаях эффективного определения плотности неоднородной струны по её спектральной функции//ДАН СССР, 1953, т. 93, №4, 617-620.

27. Маркус A.C., Мацаев В. И., Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики/ /Труды ММО, т.45, 1982, 133-181.

28. Назаров А. И., О точной константе в асимптотике малых уклонений в Ь2~норме для некоторых гауссовских процессов// Нелин. задачи и теор. функ. (ПМА. Вып. 26). Новосибирск, Т. Рожковская. 2003. 179-214.

29. Назаров А. И., Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских процессов в L^-норме относительно самоподобной меры//Записки науч. семинаров ПОМИ 311, 2004, 190-213.

30. Назаров А. И., Никитин Я. Ю., Логарифмическая асимптотика малых уклонений в Ь2~норме для некоторых дробных гауссовских процессов// Теор. Вер. Прим., 49 (2004), N4, 695-711.

31. Назаров А. И., Пусев P.C., Точная асимптотика малых уклонений в Ь2~норме с весом для некоторых гауссовских процессов// Вероятность и статистика. ЗНС ПОМИ, 364 (2009), 166-199.

32. Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы. 2 изд., Наука, 1969.

33. Натансон И. П., Теория функций вещественной перемьен-ной//М.: Наука, 1974.

34. Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов// Матем. заметки, 1999, т. 66, вып. 5, 723—733.

35. Никитин П. П., Хаусдорфова размерность гармонической меры на кривой де Рама//Зап. науч. семинара ПОМИ, 283 (2001), 206-223.

36. Протасов В.Ю., Фрактальные кривые и всплес-ки//Изв.РАН. Серия матем., 70:5 (2006), стр.105-145.

37. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу. М., 1979.

38. Розенблюм Г. В. Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов / / ДАН СССР, т. 202, № 5, 1972, 101-1015.

39. Савчук A.M., Шкаликов A.A., Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями/ /Труды Моск. матем. общества, 64, 2003, 159-212.

40. Савчук A.M., Шкаликов A.A., О свойствах отображений, связанных с обратной задачей Штурма-Лиувилля// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, Т. 260, 2008, 227-247.

41. Савчук A.M., Шкаликов A.A., Метод отображений в обратных задачах Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, т. 261, 2008, 243-248.

42. Сытая Г. Н., О некоторых асимптотических представлениях гауссовской меры в гильбертовом пространстве// Теория случайных процессов, вып. 2 (1974), 93104.

43. Э. А. Тур Асимптотика собственных значений для одного класса матриц Якоби с предельным точечным спектром/ / Матем. заметки, т.73, вып.З, 2003, 449-462.

44. Федер Е., Фракталы//М.\ Мир, 1991.

45. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, Т. 2. М., 1967.

46. Шейпак И. А., Нетривиальные фракталы на плоскости и линейные операторы с совместным спектральным радиусом единица//Матем. заметки, 1998, т.63, вып.5, 797800.

47. Шейпак И. А., Нетривиальные фракталы и операторы с совместным единичным спектральным радиусом/ /Успехи матем. наук, 1998, т.53, вып.4, 201.

48. Шейпак И. А., О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Ьр0,1]//Матем. заметки, 81:6, 2007, стр. 924-938.

49. Шейпак И. А., Особые точки самоподобной функции нулевого спектрального порядка. Самоподобная струна Стилтьеса// Матем. заметки, 88:2, 2010, 303-316.

50. Шейпак И. А., О спектре оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами//Вестник МГУ, Серия 1. Математика. Механика (2011), N.6, 16-21.

51. Шейпак И. А., Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанныес ним вопросы гидродинамической устойчивости/ /Математические заметки, 1995, т. 57 вып. 2, 278-282.

52. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина//Математические заметки, 1995, т. 57, вып. 6, 937-940.

53. Шейпак И. А., О базисных свойствах системы собственных функций одной задачи гидродинамики/ /Математические заметки, 1995, т. 58, вып. 5, 790-794.

54. Шейпак И. А., К теории устойчивости движения жидкости в кольцевом канале в присутствии магнитного поля и связанные спектральные задачи// Фундаментальная и прикладная математика 2001, т. 7, вып. 2, 583-596.

55. Шкаликов А. А., Как определить оператор Орра-Зоммерфельда?// Вестник МГУ. серия Математика. Механика, вып.4, 1998, 36-43.

56. Atkinson F. V., Mingarelli А. В., Asymptotic of the number of zeros and of the eigenvalues of general weighted Sturm-Liouville problems// J. reine und angew. Math., 1987. 375, pp. 380-393.

57. Barnsley M., Fractals everywere//Academic Press, 1988.

58. Berry M. V. Distribution of modes in fractal resonators, structural stability in physics (W. Giittinger and

59. Daubechies I., Lagarias J., Two scale difference equations. I. Local regularity, infinite products of matrices and fractals//SIAM. J. Anal., 23:4 (1992), pp. 1031-1079.

60. Dunker T., Lifshits M. A., Linde W., Small deviations of sums of independent variables// In: Proc. Conf. High Dimensional Probab., Ser. Progress in Probability, Birkhàuser, 43 (1998), 59-74.

61. Fatou P.,Sur les solutions uniformes de certaines équations fonctionnelle, C.R.Acad. Sci. Paris, 1906, 143, 546-548.

62. Fatou P.,Sur les équations fonctionnelles, Bull. Soc. math. France, 1919, 47, 161-271; 1920, 48, 33-94: 208-314.

63. Fatou P.,Sur l'itération des fonctions transcendantes entières, Acta Math., 1926, 47, 337-370.

64. K. Falconer Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications //Wiley, 2003.

65. U. Freiberg Analytical properties of measure geometric Krein-Feller operators on the real line//Math. Nachr., 260, 2003, 34-47, DOI 10.1002/mana.200310102.

66. U. Freiberg, J.-U. Lôbus Zeroesof eigenfunctions of a class of generalized second order differential operators on the Cantor setMath. Nachr., 265, 2004, 3-14, DOI 10.1002/mana.200310133.

67. U. Freiberg Prilfer angle methods in spectral analysis of Krein-Feller-operators / / Research Institute for Mathematical Science, Kyoto Iniversity, 2006, 1-15.

68. U. Freiberg Refinement of the spectral asymptotics of generalized Krein Feller operators//Forum Mathematicum, 23, 2011, 427-445, DOI 10.1515/Form.2011.017.

69. Fujita T., A fractional dimension, self-similarity and a generalized diffusion operator// Taniguchi Symp. PMMP. Katata, 1985, 83-90.

70. Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F., Laplace transforms via Hadamard factorization with applications to small ball probabilities//El. J. Probab. 8(13) (2003), 1-20.

71. Gao F., Hannig J., Lee T.-Y., Torcaso F., Exact L?-small balls of Gaussian processes// J. of Theor. Prob., 17 (2004), 503-520.

72. Hutchinson J., Fractals and Self-similarity//Indiana University Math. J., 30, 1981, 713-741.

73. Julia G., Memoire sur iteration des fonctions rationelles//J. Math. Pure Appl., 8, 1918, 47-245.

74. Kigami J. Lapidus M.L., WeyVs problem for the spectral distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals// Comm. Math. Phys. 158, 1993, 93—125.

75. Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space//Integr. Equat. Oper. Th., 1993, V. 17, 338-360.

76. Lapidus M.L., Fractal drum, inverse spectral problems for elliptic operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture//Trans. Amer.Math.Soc., 325, 1991, 465-529.

77. Lau K.-S., Wang J., Characterization of Lp-solutions for two-scale dilation equations//SIAM. J. Math. Anal., 26:4, (1995), 1018-1046.

78. Levitin M., Vassiliev D., Spectral asymptotics, renewal theorem, and the Berry conjecture for a class of fractals//Proc. Lond. Math. Soc., 72(1996), 188-214.

79. Li W. V., Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms// J. Theor. Probab., 5 (1992), 1-31.

80. Lifshits M. A., Asymptotic behavior of small ball probabilities// Probab. Theory and Math. Stat., 1999.B.Grigelionis et al. (Eds), Proc. VII International Vilnius Conference (1998), VSP/TEV, 453-468.

81. Li W. V., Shao Q. M., Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and applications// Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of Statistics, 19 (2001),C.R.Rao and D.Shanbhag (Eds), 533-597.

82. Mandelbrot B. B., How long is the coast of Britain? Statistical self- similarity and fractional dimension//Science. 1967, 155, 636-638.

83. Mandelbrot B. B., The fractal geometry of nature//Freeman, San Francisco, 1982.

84. Mingarelli A. B., Characterizing degenerate Sturm-Liouville problems// Electronic Journal of Differenial Equations, 2004, No. 130, 1-8.

85. Minkowski H., Verhandlungen des /////Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Berlin, 1904.

86. Molchanov S., Vainberg B., On spectral asymptotics for domain with fractal boundariesCommun. Math. Phys. 183, 1997, 85-117.

87. Nazarov A. I. , Exact L2~Small Ball Asymptotics of Gaussian Processes and the Spectrum of Boundary-Value Problems// J. Theor. Probab. 22 (2009), N3, 640-665.

88. Nazarov A. I., Log-level comparison principle for small ball probabilities// Stat. & Prob. Letters, 79, 2009, N4, 481-486.

89. Nazarov A. I., Nikitin Ya.Yu., Exact L2~small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems// Probab. Theory and Rel. Fields, 129, 2004, 469-494.

90. Nazarov A. I., Sheipak I.A., Degenerate self-similar measures, spectral asymptotics and small ball deviations of gaussian processes//Bulletin of the London Mathematical Society, 44, 2012, 12-24. (doi: 10.1112/blms/bdr056).

91. Pham The Lai, Meilleures estimations asymtotiques des restes de la fonction spectrale et des valeur propres relatifs au laplacien/ZMath. Scand., 48, 1981, 5-38.

92. Protasov V., Refinement equations with nonnegatwe coefficientsZ/J. Fourier Anal. Appl., 6:1, 2000, 55-78.

93. De Rham G., Une peu de mathématique à propos d'une courbe plane Z Z Rev. de math, elemetaires, 2:4,5, 1947, 73-76, 89-97.

94. De Rham G., Sur une courbe plane// J. Math. Pures Appl. (9), 35 (1956), 25-42.

95. De Rham G., Sur les courbes limités de polygones obtenus par trisection Z/Enseign. Math., (2), 5 (1959), 29-43.

96. Salem R., On Some Singular Monotone Functions which Are Strictly Increasing//Trans. Amer. Math. Soc. 53, 1943, 427-439.

97. Seeley R. T., A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of R//Adv. in Math. 102, 1980, 244-269.

98. Sierpinski W., Sur une courbe dont tout point est un point de ramification Z Z Comptes Rendus (Paris). 1915, 160, 302.

99. Sierpinski W., Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnee//Comptes Rendus (Paris). 1916, 162, 629.

100. Sierpinski W., Oeuvres choisies//Ed. S.Hartman et al. Warsaw: Editions scientifiques, 1974.

101. Sheipak I.A., On the spectrum of some class of Jacobi operators in a Krein space//Operator Theory: Advances and Applications, 2012, Vol. 221, 619-628, Springer Basel AG.

102. Solomyak M., Verbitsky E., On a spectral problem related to self-similar measures//Bull. London Math. Soc., 27, 1995, 242-248.

103. Striliartz R. S., Self-similar measures and their Fourier transform, /// Indiana University Math.J., 39, 1990, 797817.

104. Triebel H., Fractals and Spectra//Series: Modern Birkha"user Classics, 1997, VIII, 271 p.

105. Uno T., Hong I., Some consideration of asymptoticdistribution of eigenvalues for the equation d?u-—- + Xpu = 0//Japan Journal of Mathematics, 29, dx1959, 152-164.

106. H. Weyl, Das asymptotische Verteilung sg es et z der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen / / Math. Arm.71, 1912, 441-479.114. http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/smalldev/