Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Щербаков, Александр Олегович

• Щербаков, Александр Олегович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Щербаков, Александр Олегович

Содержание

Обозначения

Введение

Глава 1. Некоторые сведения из теории операторов. Метод подобных операторов

1.1. Основные понятия теории операторов

1.2. Основные понятия и теоремы метода подобных операторов

Глава 2. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Дирака

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Дирака

2.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов

для оператора Дирака

2.4. Асимптотика спектра оператора Дирака

2.5. Спектральность оператора Дирака

2.6. Оценки спектральных разложений оператора Дирака

2.7. Формула регуляризованного следа оператора Дирака

2.8. Оценка длин зон неустойчивости оператора Дирака

Глава 3. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов

для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.4. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с сингу-

лярным потенциалом

3.5. Спектральность оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.6. Оценки спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.7. Асимптотика аналитической полугруппы операторов, генерируемой оператором Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

Литература

Обозначения

М — множество вещественных чисел;

Е+ = [0, оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;

С — множество комплексных чисел;

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

= N и{0} — множество неотрицательных целых чисел;

X — комплексное банахово пространство;

^ — комплексное гильбертово пространство;

ЕийТ-С — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве

©2(%) — идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве И\

|[ • Ц2 — норма Гильберта-Шмидта;

~ идеал ядерных операторов, действующих в гильбертовом пространстве

— банахово пространство операторов, подчиненных оператору А, с нормой || • ||А',

Я—допустимое пространство возмущений с нормой || • ||*;

1Р — банахово пространство последовательностей, суммируемых со степенью

//2[0,о»] = ¿2([0,о;],С) —гильбертово пространство измеримых на [0,о;] со значениями в С и суммируемых с квадратом нормы функций;

¿2 ([0,7г], С2) — гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 и суммируемых с квадратом нормы функций;

£2,0;(К, С) — гильбертово пространство периодических периода из функций, определенных на К. и суммируемых с квадратом нормы на [0, о;].

1/2)7Г(К, С2) — гильбертово пространство периодических периода 7г функций, определенных на Е и суммируемых с квадратом нормы на [0,7г].

И^О, си] — гильбертово пространство абсолютно непрерывных комплекс-нозначных функций;

([0,тг],С2) — пространство Соболева {у € Ь2 ([0,7г],С2): у абсолютно непрерывна и у' € 1/2 ([0, С2)}.

И/2~1|Р'а;] — гильбертово пространство распределений вида V = д' + С, д е Ь2[0,о;], до = О, v £

ст(А) — спектр линейного оператора А;

р(А) — резольвентное множество линейного оператора А;

Л(-, А) — резольвента линейного оператора А;

Кег А — ядро оператора А;

1т А — образ оператора А;

Р(<то, А) — проектор Рисса, построенный по оператору А и спектральному множеству а"о из сг(Л);

I — тождественный оператор.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля»

Введение

В диссертации рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторого класса дифференциальных операторов.

Спектральный анализ дифференциальных операторов является одним из ведущих направлений современного анализа и математической физики. Получение асимптотики спектра, оценок сходимости спектральных разложений, формулы регуляризованного следа дифференциальных операторов, а также асимптотики генерируемой оператором полугруппы является важной задачей как в абстрактной теории, так и в приложениях, диктуемых нуждами механики и физики.

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства двух дифференциальных операторов:

(a) одномерного несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями;

(b) несамосонряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, и] квазипериодическими краевыми условиями.

Оба оператора могут быть представлены как разность свободного (невозмущенного) оператора и возмущения (оператора умножения на потенциал).

1

Метод подобных операторов можно использовать для исследования спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Приводимая в диссертации адаптация метода позволяет не только изучить спектральные свойства исследуемых операторов Дирака и Штурма-Лиувилля, но и открывает возможность его применения для других операторов, близких к рассматриваемым.

При попытке исследования операторов общими методами теории возмущений [27],[24], [1], [32], [66] возникает несколько затруднений, связанных с наличием следующих свойств: расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора не уходит в бесконечность; возмущение не является ограниченным оператором. Метод подобных операторов позволяет успешно преодолеть трудности, возникающие при использовании классических методов.

Оператор Дирака важен в квантовой механике. Например, при исследовании нелинейного уравнения Шредингера с помощью метода обратной задачи рассеяния [58]. Уравнение Шредингера возникает при рассмотрении различных физических задач. К нему приводит, например, теория слабо неидеального бозе—газа при Т = О [61]. Это же уравнение описывает двумерную самофокусировку интенсивного светового пучка в нелинейной среде и другие эффекты [25], [65]. Изучение оператора Дирака проводилось рядом авторов. Случай непрерывного потенциала рассмотрен в известной монографии Б.М. Левитана, И.С. Саргсяна [31]. Особенно отметим статью П. Джакова, B.C. Митягина [35].

Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом также возникает во многих физических задачах [30], [59]. Особенно востребованными в приложениях являются потенциалы, являющиеся ¿-функциями или функциями вида 1/х. Изучению оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами ¿-типа посвящено множество работ, начиная с шестидесятых годов прошлого века (здесь можно выделить работу [15]) и до середины двух тысячных (см. [59] и находящиеся там ссылки). Большой вклад внесла статья A.A. Шкаликова и A.M. Савчука [45], в которой был разработан подход корректного определения оператора Штурма-Лиувилля с любым сингулярным потенциалом в терминах квазипроизводной. С тех пор стала активно развиваться спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределе-

ниями. В частности, заслуживают внимания исследования следующих авторов: A.A. Шкаликова, A.M. Савчука [45], [46], [47], [38], П. Джакова, Б. Митя-гина [70], [71], [73], P.O. Гринива, Я.В. Микитюка [62],[63], И.В. Садовничей [39], Т. Каппелера, С. Мора [64], В. Михайльца, В. Молибога [68],[67]. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной. Цель работы.

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, построение абстрактной схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемым операторам.

2. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувил-ля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, üj] квазипериодическими краевыми условиями.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов [3]—[14], спектральная теория дифференциальных операторов, теория полугрупп.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:

1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, разработаны абстрактные схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака и оператору Штурма-Лиубилля с сингулярным потенциалом.

2. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г]

периодическими и антипериодическими краевыми условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• обобщенная спектральность, то есть безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов возмущенного оператора на любом

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозмущенного (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);

• формула регуляризованного следа как в общем случае, так и при наложении условий гладкости на потенциал;

• конкретные оценки длин зон неустойчивости (спектральных лакун) оператора Дирака, определенного на Е, в зависимости от гладкости потенциала.

3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувил-ля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, си] квазипериодическими граничными условиями:

• асимптотика спектра (оценки собственных значений);

• обобщенная спектральность, то есть безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов возмущенного оператора на любом векторе х € [0, бс»];

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозмущенного (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);

• секториальность оператора (взятого со знаком минус) и асимптотика аналитической полугруппы операторов, генератором которой он является.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории операторов и метода подобных операторов, а также применении метода подобных операторов для исследования спектральных свойств широкого круга дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010 [50], 2013 [55], на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI» 2010 [51], на Крымских осенних математических школах 2009, 2010 [52], 2011 [53], 2012 [54], на Крымской международной математической конференции 2013 [57], на математическом интернет-семинаре 18ЕМ-2011 (Германия, Блаубойрен), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14],[48] -[56], [76],[77]. Работы [14], [48], [56] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместной публикации [14] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 80 наименований. Общий объем диссертации - 145 страниц.

Содержание диссертации

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм,

следствий, замечаний, определений и формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия спектральной теории операторов и теории полугрупп, необходимые для изложения результатов диссертации, а также определения и теоремы метода подобных операторов.

Пусть И — гильбертово пространство. Пусть — идеал операторов

Гильберта-Шмидта, || • Цг — норма Гильберта-Шмидта, а Еп4— банахова алгебра линейных ограниченных операторов. Пространства ^([0,0;], С2) и £/2[0, и] = Ь2{[0, о;], С) будут отождествляться с пространствами С2) и

¿2,0,(К) — -^2,0/С) периодических периода и функций, определенных на М. и суммируемых с квадратом нормы на [0,о;]. При этом будут использоваться ряды Фурье = £ дпе2^ы, г € К, функции д € ¿гДК, С).

Во второй главе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств одномерного несамосопряженного оператора Дирака с негладким ком-плекснозначным потенциалом Ььс с периодическими и антипериодическими краевыми условиями, задаваемого следующим образом (первый параграф второй главы):

О(Ььс) определяется одним из краевых условий 6с: периодические (6с = рег: 2/(0) = 2/(тг)); антипериодические (6с = ар: у{0) = —у(7г)), у е И^1 ([0,7г],С2).

Область определения

А именно, полагается D(LbC) = {у Е W\ ([0,7г], С2) : у Е Ъс). Если v = 0, то используется запись L®c. Оператор А = L®c будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор В умножения на потенциал v — возмущения, т.е. Ььс = А — В. Особо отметим, что не делаются ограничения на v, гарантирующие самосопряженность возмущения, и какие-либо дополнительные ограничения (типа гладкости), кроме условия v Е L2 ([0,7г], С2).

Во втором параграфе второй главы строится абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака. Применение данной схемы для исследуемого оператора Дирака приводится в третьем параграфе. Главным результатом данных параграфов является основная теорема о подобии 2.2.2, в которой установлено, что каждый из рассматриваемых операторов Дирака Ььс, Ъс Е {per, ар}, подобен оператору, являющемуся прямой суммой операторов конечного ранга. Такой результат служит основой для последующего спектрального анализа оператора

В четвертом параграфе на основе теоремы 2.2.2 получена теорема 2.4.1, содержащая оценки собственных значений рассматриваемого оператора. Ло-кализационные оценки теоремы 2.4.1 являются новыми. Ранее даже не было установлено, что lim |Än — Ап| =0 для собственных значений An, An, п Е Z,

|п|—>оо

возмущенного и невозмущенного операторов Ььс и L®c соответственно (см. [69]). Оценки собственных значений важны, например, при оценках длин зон неустойчивости соответствующего оператора Дирака в С2) (см. [35]).

Пусть pj, qj, j Е Z, — коэффициенты Фурье функций P,Q £ L2;7r(®0-Рассмотрим последовательности cuj = P-jQj, — P-j+iQj-i, j £ Z.

Теорема 2.4.1. Существует число m E Z+ такое, что спектр опера-

тора ЪЪе представим в виде

a{Lbc) = <J(m) U U СТп), (1)

\|n|>m+l /

где <j{jn) — конечное множество, а множества оп, \п\ > т-j- 1, не более чем двухточечны и имеют вид

ап = {2п± +ß*}, |ra|>m + l, bc = per,

кф О

О'п = {2п - 1 ± у/Щп- + ßn}, |n|>m+l, Ъс = ар.

кф О

Последовательности (ß„) и (/?„), \п\ >т + 1, являются суммируемыми со степенью |. Кроме того, lim |Лга—Лп| = О, где Ап, Хп, п G Ъ, — собственные

\п\-±оо

значения операторов Lic и L®c соответственно.

В пятом параграфе доказана теорема 2.5.1 об обобщенной спектральности. Утверждения теоремы 2.5.1 получены в [35] при дополнительном условии на потенциал v.

Пусть т G Z+ — некоторое число. Пусть P(m), Рп, \п\ > т + 1, —спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору LPbc и множествам ат = (Л? : \д\ — m}> {An}, \п\>т + 1, соответственно, где Лп — собственное значение невозмущенного оператора L\c. Через P(m), Рп, \п\ > т + 1, будем обозначать спектральные проекторы Рисса, построенные но оператору Ьъс и множествам сг(т), сгп, |n| > т + 1, из теоремы 2.4.1 соответственно.

Теорема 2.5.1. Существует число т е Z+ такое, что спектр оператора ЬЪс, Ъс € {per, ар}, представим в виде объединения взаимно непересекающихся множеств (1), и оператор Ььс, Ьс 6 {per, ар}, спектрален относительно разложения (1), а именно ряд Р(т)Х + £|n|>m+1 РпХ безусловно сходится для любого вектора х G Ь2 ([0,7г], С2).

В шестом параграфе получены теоремы 2.6.1-2.6.3 об оценках отклонений спектральных проекторов оператора Ььс от соответствующих спектральных проекторов оператора Ь®с. В частности, получены оценки безусловной равносходимости спектральных разложений для операторов Ьъс и Отметим, что в статье [72] получено лишь утверждение следствия 2.6.2 настоящей работы.

Для любого оператора 0 ^ X Е ©2(^2,тг(К, С2)) рассмотрим двустороннюю последовательность (ап(Х)) вида

ап(Х) = \\Х\\^шах{ £ , £ ||Р,Х||2 ] n Е Z. (2)

\|*|>м / Vi*kw

Отметим, что ап(Х) —0, п —> со.

В следующих теоремах операторы ГВ, </£?, Е ©2(^2,тг(К, С2)) есть операторы, построенные по рассматриваемому возмущению В в ходе применения метода подобных операторов.

Для любого подмножества Q С Z \ сг^ (не обязательно конечного) символом Р(£1) обозначим спектральный проектор Pk, а через Р{0) — спек-

тралькый проектор J2 Рк- Далее для любого оператора X Е ©2(^2,С2))

и любого подмножества Г2 С Z через X) обозначим величину maxan(X).

пей

Теорема 2.6.1. Существует число т Е Z+ такое, что для любого подмножества fi С Z \ сг^ имеют место оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений операторов Ььс и L®c)

||P(Q) - P(fi)||2 < С (a(Q, ГВ) + a(Q, JB) + a(Q, ВТ В)),

где С > 0 — постоянная, не зависящая от Q.

Следствие 2.6.1. Имеет место равносходимость спектральных раз-

_ п ^ п

ложений: lim Щт) + X) Рк - Р{т) ~ £ Pkh = 0.

\к\=т+1 |fc|=m+l

Теорема 2.6.3. Существует такое число m G Z+; что

\п\>т+1 п

где рп = an{YB) + an(JB) + ап(ВГВ) -> 0, п оо.

Следствие 2.6.2. Существует m € что J2 \\Рп — РпЩ < оо.

|п|>тп+1

Седьмой параграф содержит результаты касательно регуляризованного следа оператора Дирака. В теореме 2.7.3 получена формула регуляризованного следа оператора Дирака в общем случае. В теоремах 2.7.4 и 2.7.5 получены более простые формулы регуляризованного следа при наложении ряда условий на потенциал. Все полученные формулы являются новыми.

* /S x-v».

Через Хп = А„, Ъс 6 {per,ap}, п G Z, обозначим половину суммы собственных значений оператора Ььс, принадлежащих двухточечному множеству ап из формулы (1), то есть \п = \ (а* + А2^, где А*, А2 € ап. Если множество ап одноточечно, т.е. \п G оп — двухкратное собственное значение оператора Lie, то Ап = Хп.

Теорема 2.7.3. Справедливы следующие формулы регуляризованных следов:

neZ \ кфО У nez у кфо )

Теорема 2.7.4. Пусть ряды S Щ,7Г> S ^¡¡г абсолютно схо-

nez к^о ne z fc^o

дятся. В частности, пусть найдется такое число а > \ и конечные константы Ci,C2> 0, что \рп\ < щ^рг, \qn\< î^p Тогда

J2 (АГ ~ 2п) = 0, £ (л? - (2п - 1)) = 0.

nez nez

В восьмом параграфе (теорема 2.8.3) установлена связь между гладкостью потенциала и длинами спектральных лакун (зон неустойчивости). В отличии от статьи [35] получены конкретные оценки длин зон неустойчивости в зависимости от гладкости потенциала.

В третьей главе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля Sq с сингулярным комплекснозначным потенциалом и квазипериодическими граничными условиями.

Корректное определение данного оператора приводится в первом параграфе. Также первый параграф содержит теорему о подобии исходного оператора So, определяемого с помощью квазипроизводных, оператору Lq, определяемому с помощью классических производных. В силу такого подобия, возможно применение метода подобных операторов и проведение спектрального анализа для оператора Lg с перенесением результатов на исходный оператор

В известной работы A.M. Савчука и A.A. Шкаликова [45] было дано корректное определение оператора Штурма-Лиувилля в пространстве Ь2[0,и)] в случае сингулярного комплекснозначного потенциала v G И^^О, w], предста-вимого в виде v = g', q G Ь2[0,и], qo = 0 (производная понимается в смысле распределений):

Sey = l(y), l(y) = -(У[1]У - ЯУ[1] - Q2y, У е D(Le), в G [0,1], (3)

D(Le) = {уе Ь2[0,ш] : у,у® G W}[0,u]Av) е

у(ш) = ешу(0), yW(w) = e^V1](0)},

Здесь yW = у' — qy — квазипроизводная. Если v = 0, то соответствующий оператор обозначается символом S9. Отметим, что так как функция q2 G

Ьх[0,а;], то она представима в виде д2 = р' 4- С, р Е ТУ* [0, о;]. Ввиду того, что сдвиг потенциала на постоянную сдвигает спектр на ту же постоянную, положим С = 0 и £>о — 0.

Рассмотрим оператор Ьв, в Е [0,1]:

и)У = -у" - ыу' -щ, "Ш = 2(д - р), и = {р2 - 2щ), у Е В{Ьв), (4)

= (2/ Е И^О.ы] : у(ш) = е™9у{0), т/И = е4*У(0)}, «М* Е Ь2[0,и].

Теорема 3.1.1. Оператор Бд, в Е [0,1], вида (3) подобен оператору Ье, в Е [0,1], вида (4).

Оператор Ьд будем рассматривать в виде Ьв = А — В, где Ьд = А — свободный оператор Штурма-Лиувилля (с нулевым потенциалом). В силу подобия операторов век Ьв, возможно применение метода подобных операторов и проведение спектрального анализа для оператора Ьв, определенного с помощью классических производных, с перенесением результатов на исходный оператор Бд, задаваемый квазидифференциальным выражением.

Во втором параграфе настоящей главы строится схема применения метода подобных операторов и формулируется основная теорема о подобии для операторов, близких к рассматриваемому оператору Штурма-Лиувилля (а именно подобному ему оператору Ьд, определяемому с помощью классических производных). Применение данной схемы для исследуемого оператора приводится в третьем параграфе. Основным результатом данных параграфов является теорема 3.3.2, в которой установлено, что каждый из рассматриваемых операторов Ьд и Бд подобен оператору, являющемуся прямой суммой операторов конечного ранга. Такой результат служит основой для последующего спектрального анализа оператора Ьв (а следовательно и Бд).

В четвертом параграфе на основе теоремы 3.3.2 получена теорема 3.4.1, описывающая оценки собственных значений рассматриваемого оператора. От-

метим, что оценки теоремы 3.4.1 являются более точными, чем известные

Пусть I = если в = 0 или 0 = 1, и ДГ = Ъ для остальных в е (0,1). Теорема 3.4.1. Существует такое число т е что спектр оператора Бв представим в виде объединения

\\п\>т+1 /

где сг(от) — конечное множество, а элементы множества ап имеют вид

Здесь щ — нулевой коэффициент Фурье функции и = р2 — 2рд, а (ап) € I2, то есть суммируема с квадратом. Множества ап не более чем двухточечны для в = 0, 9 = 1 и одноточечны для остальных 0 € (0,1). В первом случае

В пятом параграфе доказана теорема 3.5.1 об обобщенной спектральности исследуемого оператора.

Пусть т е Ъ+ — некоторое число. Пусть Р(т), Рп, п € Л, \п\ > т + 1, — спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору и множествам сг^ = {Xj : | < т} и {Ап} соответственно, где Хп — собственное значение невозмущенного оператора Через Р(т), Рп, п 6 Л, \п\ > т + 1, обозначим спектральные проекторы Рисса, построенные по операторам и множествам ^(ш)» апч п £ Л, |п| > т + 1, из теоремы 3.4.1 соответственно.

Теорема 3.5.1. Существует число т € Ъ+ такое, что спектр оператора Бд, в Е [0,1], представим в виде объединения взаимно непересекающихся множеств (5), и оператор вв, в е [0,1], спектрален относительно разложения (5), причем он спектрален по Данфорду, если в € (0,1). Таким

ранее ([70], [64], [45], [38]).

г Е {1,2}, ?2 £ Ъ+, 72 > 772 + 1, а во втором Хгп = Хп, п 6 \п\ > т + 1.

образом, ряд Р(т)Х + Х)|п|>т+1 безусловно сходится для любого вектора х € £2(0,0;].

Шестой параграф содержит результаты (теоремы 3.6.1-3.6.3) об оценках отклонений спектральных проекторов оператора Бд от соответствующих спектральных проекторов оператора Бд. В частности, получены оценки безусловной равносходимости спектральных разложений для операторов Б9 и Б®. Отметим, что в работе Б.Митягина, П.Джакова [71] получено лишь утверждение следствия 3.6.2.

В следующих теоремах будут использоваться операторы ТВ, В, построенные по рассматриваемому возмущению В в ходе применения метода подобных операторов. Отметим, что оператор ТВ представим в виде ТВ = (ТВ)НЗ + (ГВ)«,, где (ГВ)я5 € 62(^(М)), (ГВ)ТО е Еп<1Ь^{Ж), а В = В2А1/М1/2 + Ао/), Ао ^ р(А*/2), В2Амг € ©2(^2,«(К)). Последовательность

1и,(К)), была введена выше (формула (2)). Для любого подмножества Г2 С Ъ \ (не обязательно конечного) символом Р{£1) обозначим спектральный проектор X) а чеРез -Р(Г2) —спек-

_ кеП

тральные проекторы Р^. Далее, для любого оператора X Е и

к€П

любого подмножества О, С Ъ через а(П,Х) обозначим величину тахап(Х).

пЕН

Теорема 3.6.1. Существует такое число т £ Ъ+, что для любого подмножества С Z \ <т^г имеют место оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений операторов Бд и Б®)

||Р(П) - Р(П)\\2 < С (с*(П, (ТВ)НЗ) + а(0, В^)) ,

где С — постоянная, не зависящая от О,.

Следствие 3.6.1. Имеет место равносходимость спектральных раз-

~ п п

ложений: Нш ||Р(т) 4- £ Рк - Р(т) - X) -^112 = 0.

|Аг|=т+1 \к\=т+1

Теорема 3.6.3. Существует такое число т Е что

£ ~\\Рп-Рп\\1<00,

п€3 Рп |п|>тп+1

где = ап((ГВ)Н5) + ап(В2А 1/2) -> 0, п -> оо.

Следствие 3.6.2. Существует т Е Z+7 что £ ||Рп — Рп||| < оо.

пе! |п|>ш+1

В седьмом параграфе доказана секториальность исследуемого оператора (взятого со знаком минус) и получена асимптотика аналитической полугруппы операторов, генератором которой он является.

Теорема 3.7.1. Оператор —Бе является секториальным и генерирует аналитическую полугруппу операторов Т : Ш Епс1Ь2[0,и;]. При этом существует такое число т Е что эта полугруппа подобна полугруппе Т вида

действующей в ¿2(0,0;]

= Щт) © где Щт) = 1т РЫ, П^ = 1т (I -

Р(т)) • Имеет место следующее представление полугруппы

Т(т\г)х= £ е~ыРкх, в Е (0,1);

ке% \к\>т+1

ке1+

к>т+1

Здесь Хг- — собственные значения оператора во (теорема 3-4-1), ^2x2 — единичная матрица размерности два, а С к, 2x2 — двумерная матрица, такая что Т,к£Ъ+ 11^,2х2||2 < оо.

Глава 1

Некоторые сведения из теории операторов. Метод подобных операторов

Везде далее в главах 1-4 через X будет обозначаться комплексное банахово пространство, а через И — комплексное гильбертово пространство.

1.1. Основные понятия теории операторов 1.1.1. Замкнутые линейные операторы

Определение 1.1.1. Пусть D — линейное подпространство из банахова пространства X. Линейный оператор А : D С X —» X — это отображение из D в X такое, что А(х 4- у) = Ах + Ау и А{ах) = аАх для любых х, у £ D{A) и a Е С. Подпространство D называют областью определения оператора А и обозначают символом D(A).

Символом / будем обозначать тождественный оператор, то есть оператор / : X —» X такой, что Ix — х, х £ X.

Определение 1.1.2. Линейный оператор А : D{A) С X —> X называется замкнутым, если его график, то есть множество точек {(ж, Ах) : х Е ^(^4)} С X х X, замкнут в X х X. Данное определение эквивалентно следующему: линейный оператор А : D(A) С X X замкнут, если из хп Е D(A), хп х, Ахп —вытекает, что а; £ -0(^4) и Аж = у.

Определение 1.1.3. Линейный оператор А : D(A) с X X называется ограниченным, если конечна величина ||А|| = Бирц,^^)Хер(л) 1ИЖ1|> принимаемая за норму оператора А.

Символом ЕпйХ будем обозначать банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в X. Любой ограниченный оператор из ЕпдХ замкнут.

Определение 1.1.4. Множество векторов у Е X, для которых найдется х Е -О(А) такой, что у = Ах, называется образом оператора А и обозначается через 1т А. Символом Кег А обозначается ядро оператора А, то есть множество {х Е -О(-А) : Ах = 0}.

Определение 1.1.5. Линейный оператор А : О (А) С X —> X называется обратимым, если Кег А — {0} и 1т А = X. Через А~1 : X —>■ X будем обозначать обратный к А оператор.

Теорема 1.1.1. Если А : И {А) С X —> X — замкнутый обратимый линейный оператор, то обратный А~1 Е ЕпдХ.

Теорема 1.1.2. Если А Е ЕпЛХ такой, что \\А\\ < 1, то оператор I — А обратим.

Определение 1.1.6. Подпространство М из банахова пространства X называется инвариантным относительно линейного оператора А : И {А) С X —> X, если Ах Е М для любого х Е М(]0{А). Оператор Ам : 0(АМ) С М М, определяемый формулой х ь-> Амх — Ах : В(АМ) = Е(А) П М С М —ь М, называется сужением оператора А на М.

Определение 1.1.7. Линейный оператор А : О (А) С X —у X называется изометрическим, если ||Ае|| = ||а;|| для любого вектора х Е Е(А).

Определение 1.1.8. Линейный оператор А : О {А) с % —> Н, действующий в гильбертовом пространстве И называется симметрическим, если О (А) = Н и (Аи,у) = (и,Ау) для любых и, V Е Е(А).

Определение 1.1.9. Пусть А : Б(А) С % —» % —линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Т-1 с О (А) = Ц. Сопряженным к А оператором называется оператор А* с областью определения £)(А*) = {у Е % : Зги = ги(г') Е И, что {ги,и) = (г;, Ли) Угг Е ^(Л)} такой, что Л*г/ = ги(у), v Е £>(Л*).

Определение 1.1.10. Линейный оператор А : £>(Л) С И —>• действующий в гильбертовом пространстве % с £>(Л) = К называется самосопряженным, если Л = Л*.

Определение 1.1.11. Линейный ограниченный оператор Л Е ЕпдХ называется компактным, если множество Л(Л(0,1)) относительно компактно в X (здесь В(0,1) = {ж € А* : ||ж|| < 1} —замкнутый шар с центром в точке О Е А' и радиусом 1).

Определение 1.1.12. Линейный ограниченный оператор Л Е ЕийИ называется неотрицательным, если (Лж, ж) > 0, для любого х Е И.

1.1.2. Основные понятия спектральной теории операторов

Определение 1.1.13. Резольвентным множеством р(А) замкнутого оператора Л : О (А) С X ^ X называется множество точек А Е С таких, что оператор А — XI имеет ограниченный обратный, то есть (Л — А/)-1 Е ЕпйХ. При этом функция Л) : р(А) ЕпйХ, ЩХ, Л) = (Л - А/)-1, А Е /?(Л), называется резольвентой оператора Л.

Определение 1.1.14. Спектром <т(Л) замкнутого оператора Л : 0{А) с АГ X называется дополнение к резольвентному множеству р(А), то есть а(А) = С\р(А).

Определение 1.1.15. Множество всех А Е сг(Л), для которых отображение Л — XI не является взаимно однозначным, то есть Кег (Л — XI) Ф {0}

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Щербаков, Александр Олегович, 2013 год

Литература

1. Агранович М. С. Спектральные свойства задач дифракции / М. С. Агранович //В кн.: Войтович Н.Н., Кацелембаум Б.З. Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977. — С. 289-416.

2. Азарнова Т. В. О преобразованиях подобия линейных операторов / Т. В. Азарнова, Н. Б. Ускова // Вестник ВГУ, серия: физика, математика.-- 2007. - № 2. - С. 48-50.

3. Баскаков А. Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Препринт № 80 —19. — Киев, 1980. - 44 с.

4. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков // Сиб. мат. журн. —

1983. - Т. 24. - № 1. - С. 21-39.

5. Баскаков А. Г. Абстрактный вариант замены Крылова-Боголюбова и некоторые вопросы теории нелинейных возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков // Труды IX международной конференции по нелинейным колебаниям в 4-х томах, Киев, Наукова думка. — 1984. — Т. 1. — С. 75-79.

6. Баскаков А. Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков // Укр. мат. журн. — 1984. — Т. 36. — № 5. - С. 606-611.

7. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов и формулы регуляризован-ных следов / А. Г. Баскаков // Известия Высших Учебных Заведений. —

1984. - № 3. - С. 3-11.

8. Баскаков А. Г. Формулы регуляризованных следов для степеней возмущен-

«

ных спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Известия Высших Учебных Заведений. - 1985. - № 8. — С. 68-71.

9. Баскаков А. Г. Метод усреднения в теории возмущений линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Диф. Уравн. — 1985. — Т. 21. - № 4. - С. 555-562.

10. Баскаков А. Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений / А. Г. Баскаков // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1986. - Т. 50. - № 4. - С. 435-457.

11. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков — Воронеж: изд-во Воронежского государственного университета, 1987. - 165 с.

12. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитиче-ских и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 3-32.

13. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Сер. матем. — 1997. - Т. 61. - № 6. - С. 3-26.

14. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков // Известия РАН, Серия математическая. - 2011. - Т. 75. - № 3. - С. 3-28.

15. Березин Ф.А. Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф.А. Березин, Л.Д. Фаддеев // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 137. - № 7. - С. 1011-1014.

16. Берс Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. Джон, М..Шехтер — М.: Мир, 1966. — 352 с.

17. Велиев О. А. О несамосопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами / О. А. Велиев // Мат. заметки. — 2007. — Т. 81. — № 4. - С. 496-506.

18. Велиев О. А. О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля / О. А. Велиев // Мат. заметки. - 2009. - Т. 85. - № 5. - С. 671-686.

19. Гохберг И. Ц. Введение в теорию несамосопряженных линейных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн - М.: Наука, 1965. — 448 с.

20. Гохберг И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М. Г. Крейн — М.: Наука, 1967. — 508 с.

21. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн — М: Наука,

1970. - 536 с. «

22. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц - М: ИЛ, 1962. - Т1. - 895 с.

23. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц - М.: Мир, 1966. - 1064 с.

24. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы. Т III. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц - М.: Мир, 1974. - 661 с.

25. Захаров В. Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах / В. Е. Захаров, А. Б. Шабат // ЖЭТФ. - 1971. - Т. 61. - С. 118.

26. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том I. / А. Зигмунд — М.:Мир, 1959. - 616 с.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като — М.:Мир, 1972. - 740 с.

28. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин — М.: Наука, 1976. — 543 с.

29. Красносельский М. А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыль-ник, П. Е. Соболевский — М.: Наука, 1966. — 499 с.

30. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц — М. : Наука, 1989. — 768 с.

31. Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б. М. Левитан, И. С. Саргсян — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. — 431 с.

32. Маркус А. С. О сходимости разложений по собственным вектором оператора, близкого к самосопряжённому / А. С. Маркус, В. И. Мацаев — В сб. Мат. исслед. Линейные операторы и интегральные уравнения. — Кишинёв, 1981. - С. 104-129.

33. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла / В. А. Марченко, И. В. Островский // Мат. сборник. — 1975. — Т. 97(139). - № 4(8). - С. 540-606.

34. Митягин Б.С. Сходимость разложений по собственным функциям оператора Дирака/ Б.С. Митягин // Докл. РАН. — 2003. — Т. 393. - № 4. -С. 456-459.

35. Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака / П. Джаков, Б.С. Митягин // Успехи математических наук. - 2006. - Т. 61. — № 4. - С. 77-182.

36. Наймарк М. А. Нормированные кольца / М. А. Наймарк — М.: Наука, 1968. - 664 с.

37. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Рихт-майер Р. — М.: Мир, 1982. — 488 с.

38. Савчук А. М. О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом / A.M. Савчук // Мат. заметки. - 2001. - Т. 69. - № 2. - С. 277-285.

39. Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды по собственным фунциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями / И. В. Садовничая // Мат. сборник. — 2010. — Т. 201. - № 9. -С. 61-76.

40. Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. — М.: Дрофа, 2004. - 382 с.

41. Садовничий В. А. Следы операторов / В. А. Садовничий, В.Е. Подольский // Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61. — № 5. — С. 89-156.

42. Фридрихе К. О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К. О. Фридрихе — М.: Мир, 1969. — 232 с.

43. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри — М.: Мир, 1985. - 376 с.

44. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс - М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

45. Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Мат. заметки. — 1999. — Т. 66. — № 6. - С. 897-912.

46. Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Тр. ММО. — 2003. — № 64. — С. 159-212.

47. Шкаликов А. А. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Мат. заметки. - 2006. — Т. 80. - № 6. - С. 864-884.

48. Щербаков А. О. Метод подобных операторов и регуляризованный след одномерного несамосопряженного оператора Дирака / А. О. Щербаков // Вестник ВГУ, серия физика-математика. — 2010. — № 1. — С. 180-189.

49. Щербаков А. О. Метод подобных операторов в оценке длин зон неустойчивости несамосопряженного оператора Дирака / А. О. Щербаков // Вестник

факультета ПММ. - 2010. - № 8. - С. 294-307. «

50. Щербаков А. О. К спектральному анализу несамосопряженного оператора Дирака с периодическими граничными условиями / А. О. Щербаков // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна. — 2010. - С. 172-174.

51. Щербаков А. О. Регуляризованный след одномерного несамосопряженного оператора Дирака / А. О. Щербаков // Современные методы теории краевых задач, материалы Воронежской Весенней Математической Школы "Понтрягинские чтения - XXI". — 2010. — С. 273-275.

52. Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Дирака и операто-

*

ра Шредингера с сингулярным потенциалом в периодическом случае / А. О. Щербаков // XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. — 2010. — С. 55.

53. Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // XXII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. — 2011. — С. 58.

54. Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // XXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. — 2012. — С. 76.

55. Щербаков А. О. К спектральному анализу оператора Шредингера с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // Современные методы теории функций и смежные проблемы, материалы Воронежской зимней математической школы. — 2013. — С. 293-294.

56. Щербаков А. О. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом / А. О. Щербаков // На-учйые ведомости БелГУ. - 2013. - № 11(154). - 31. - С. 102-108.

57. Щербаков А. О. Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом как генератор аналитической полугруппы / А. О. Щербаков // XXIV Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. Том 4. - 2013. - С. 8-9.

58. Ablowitz M.A. Solutions and the inverse scattering transform / M. A. Ablowitz, H. Segur - SIAM, 1981. - 425 p.

59. Albeverio S. Solvable models in quantum mechanics. Texts and Monographs in Physics / Albeverio S., Gesztesy F., Hegh-Krohn R., Holden H. — New York: Springer-Verlag, 1988 - 489 p.

60. Eiigel K-J. One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K-J. Engel, R. Nagel - Springer, 2001. - 586 p.

61. Gross E. P. Unified Theory of Interacting Bosons / E. P. Gross // Phys. Rev. — 1957. - Vol. 106. - P. 161.

62. Hryniv R. 0. Schrodinger operators with periodic singular potentials / R. O. Hryniv, Ya. V. Mykytyuk // Methods of functional analysis and topology. - 2001. - Vol. 7. - № 4. - P. 31-42.

63. Hryniv R. O. Eigenvalue asymptotics for Sturm-Liouville operators with singular potentials / R. O. Hryniv, Ya. V. Mykytyuk // Journal of Functional Analysis. - 2006. - Vol. 238. - № 1. - P. 27-57.

64. Kappeler T. Estimates for Periodic and Dirichlet Eigenvalues of the Schrodinger Operator with Singular Potentials / T. Kappeler, C. Moehr // Journal of Functional Analysis. - 2001. - Vol. 186. - № 1. - P. 62-91.

65. Kelley P. L. Self-Focusing of Laser Beams and Stimulated Raman Gain in Liquids / P.L. Kelley // Phys. Rev. Lett. - 1965. - Vol. 15. - P. 1005.

66. Markus A. S. Introduction to Spectral Theory of Polynomial Operator / A. S. Markus — Pensil. Transl. Math. Monographs, Vol. 71. — Amer.Math.Soc.Providence R.I. - 1988. - 312 p.

67. Mikhailets V. One-dimensional Schroedinger operators with singular periodic potentials / V. Mikhailets, V. Molyboga // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2008. - Vol. 14. - № 2. - P. 184-200.

68. Mikhailets V. Spectral gaps of the one-dimensional Schrodinger operator with singular periodic potentials / V. Mikhailets, V. Molyboga // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2009. - Vol. 15. — № 1. — P. 31-40.

69. Mityagin B. S. Spectral expansions of one dimensional periodic Dirac operators / B. S. Mityagin // Dyn. Partial Differ. Equ. - 2004. - Vol. 1. — № 2. — P. 125-191.

70. Mityagin B. S. Spectral gaps of Schrodinger operators with periodic singular potentials / P. Djakov, B.S. Mityagin // Dynamics of PDE. - 2009. - Vol. 6. - № 2. - P. 95-165.

71. Mityagin B. S. Bari-Markus property for Riesz projections of Hill operators with singular potentials / P. Djakov, B.S. Mityagin // Conference on Functional Analysis and Complex Analysis, Providence, RI, USA: American Mathematical Society. - 2009. - P. 59-80.

72. Mityagin B.S. Bari-Markus property for Riesz projections of ID periodic Dirac operators / P. Djakov, B.S. Mityagin // Mathematische Nachrichten. — 2010. - Vol. 283. - № 3. - P. 443-462.

73. Mityagin B.S. Fourier Method for One-dimensional Schrodinger Operators with Singular Periodic Potentials / P. Djakov, B.S. Mityagin // Topics in Operator Theory. - 2010. - Vol. 203. - P. 195-236.

74. Reed M. Methods of modern mathematical phusics. Vol. IV: Analysis of operators. / M. Reed, B. Simon — Academic Press, 1978. — 396 p.

75. Renardy M. An introduction to partial differential equations / M. Renardy, R. C. Rogers - Springer, 2004. - 434 p.

76. Shcherbakov A. O. To the spectral analysis of the Schrodinger operator with a singular potential / A. 0. Shcherbakov // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". — 2012. - Vol. 22. — P. 234-243.

77. Shcherbakov A. O. To the spectral analysis of the Sturm-Liouville operator with a singular potential / A. O. Shcherbakov // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". - 2013. - Vol. 23. - P. 188-191.

78. Shkalikov A.A. On the Riesz Basis Property of the Eigen- and Associated Functions of Periodic and Antiperiodic Sturm-Liouville Problems / A. A. Shkalikov, O.A. Veliev // Mathematical Notes. — 2009. - Vol. 85. - № 5. -P. 647-660.

79. Turner R. E. Perturbations of compact spectral operators / R. E. Turner // Communications on pure and applied mathematics. — 1965. — Vol. 18. — P. 519-541.

80. Veliev O.A. Uniform convergence of the spectral expansion for a differential operator with periodic matrix coefficients / O. A. Veliev // Bound. Value Probl. - 2008. - 628973.