Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сафонова, Татьяна Анатольевна

• Сафонова, Татьяна Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сафонова, Татьяна Анатольевна

Введение

1 Асимптотическое интегрирование симметрических систем квазидифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Основные понятия и факты.

1.1.1 Квазипроизводные и симметрические квазидиффереи-циальпые выражения

1.1.2 Операторы и Индексы дефекта оператора Щ

1.2 Теорема об асимптотической близости решений.

1.2.1 Формулировка и доказательство основной теоремы

1.2.2 Следствие.

1.3 Асимптотические формулы решений одного класса однородных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве вектор-функций.

1.3.1 Формулировка теоремы.

1.3.2 Доказательство 1.

1.3.3 Доказательство 2.

1.4 Примеры

2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля в пространстве вектор-функций и обобщённые якобиевы матрицы

2.1 Разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами на полуоси.

2.1.1 Основные понятия и факты.

2.1.2 Матричная проблема моментов.

2.2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами

- распределениями в пространстве вектор - функций.

2.2.1 Корректное определение оператора Щ.

2.2.2 Условия минимальности дефектных чисел оператора

2.3 Связь между спектральными свойствами дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и порождённого им разностного оператора.

2.3.1 Скалярный случай.

2.3.2 Векторный случай.

2.4 Примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций»

В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и нашло своё отражение в работах многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана[18], Н.И. Ахиезера и И.М. Глазмана [1], М.А. Наймарка [26], Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [6]. Стоит отметить, что в указанных работах в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в частности, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением

1[У] = ~У" + Ч{х)у (1) в гильбертовом пространстве £2(а, 6), где —оо < а < Ь < +оо. При этом стандартным условием на потенциал q{x) по существу является условие я(х) е Ь}0С{а,Ь).

В научной литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа ¿-функции). К изучению таких операторов приводят некоторые задачи квантовой физики, задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре, задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле. Математическое исследование подобных операторов было начато в 60-ые годы прошлого столетия в работах Ф.А. Березина, Л.Д. Фаддеева [4] и P.A. Минлоса, Л.Д. Фаддеева[21]. Современное состояние и новые направления развития теории таких операторов изложено в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона, Г. Хольдеиа [40] и С. Альбеверио, П. Курасова [41]. Корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порождённого квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами (точное определение см. ниже гл. II, п. 2.2.1), впервые, по-видимому, было дано A.M. Савчуком и A.A. Шкаликовым в работах [28], [29]. Ими же довольно обстоятельно были изучены спектральные свойства таких операторов, особенно в случае конечного интервала.

В 2010 году появились работы A.C. Костенко и М.М. Маламуда [11] и [46], в которых проведён довольно подробный спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением

00 q{x) = - Хп), (2) п=1 где хп (п = 1, 2,.) - строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хп = +оо, а а„ (п = 1,2,.) - некотоn—t+oo рая вещественная последовательность. В этих работах методом граничных троек и соответствующих им функций Вейля установлено, что некоторые спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом (2) эквивалентны соответствующим свойствам разностного оператора, порождённого трёхдиагональной якобиевой матрицей вида J i + -та 0

4(<» + ± + ±) rir2d2 r\ \ 1 d2 d3 J r2r3d3

0 -та ¡H^ + i + i)

V •/ в гильбертовом пространстве ¿2, где rn := y/dn + dn+\ и dn = хп — хп-\ (п = 1,2,.). В частности, показано, что дефектное число дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, порождённого выражением (1) с потенциалом (2) в пространстве L2(R+), максимально и равно 2 в том и только том случае, когда дефектное число разностного оператора, порождённого матрицей J в пространстве 12, максимально и равно 1.

Цель работы. Исследование минимального замкнутого симметрического оператора Lg, порождённого в гильбертовом пространстве £2(i?+) дифференциаьным выражением вида

1ЛУ\ =-Ь/ - °УУ - °{У' - ау) - °2У и эквивалентным ему выражением

Цу} = -у" + а'{х)у, (3) где х е R+, у(х) = (yi(x),y2{x),. ,уп(х))п, а(х) = {рц) - веществен-нозначная симметрическая матрица порядка п такая, что pfj Е Ljoc(R+) (i,j = 1,2,., 77,), а в случае выражения (3), есть производная в смысле теории распределений.

Основные результаты диссертации являются новыми. Из них выделим следующие.

1 Здесь и везде далее, t - символ транспонирования

1. Получены формулы асимптотической близости на бесконечности решений двух дифференциальных уравнений 1а[у) = 0 и ^[у] = 0, где 1а1[у}- векторное симметрическое квазидифференциальное выражение второго порядка, порождённое при помощи матрицы удовлетворяющей тем же условиям, что и матрица <т.

2. Получены достаточные условия минимальности, не максимальности и максимальности дефектных чисел минимального замкнутого симметрического оператора Щ, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве в терминах элементов матрицы о.

3. Установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора 1/д (в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел разностного оператора, порождённого некоторой обобщенной якобиевой матрицей в пространстве

4. Построены примеры сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями в пространстве вектор-функций с минимальными, не максимальными и максимальным дефектными числами.

Перейдём теперь к изложению определений и фактов. Пусть действительнозначные функции ру (г, ^ = 1,2,., гг) - элементы симметрической матриц-функции а := (р^) определены и измеримы на полуоси Я+ := [0; +оо), а квадраты этих функций суммируемы на каждом её замкнутом конечном интервале (р^ € Ь]0С{Я+)). Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные у'^ (г = 0,1, 2) заданной локально абсолютно непрерывной вектор-функции у = (у\(х), г/2 (ж), ■ • •, Уп{х)У посредством матрицы <т, полагая г/'01 := у, г/11' := у' - <"/, У? := (й11)' + + а'у, и векторное симметрическое (формалыю-самосопряжёиное) квазидифференциальное выражение, полагая

1а[у]{х) := -У[а\х), х € #+.

Выражение 1а известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Щ с областью определения в гильбертовом пространстве (более подробно см. гл. 1, п. 1.1.2).

Известно, что вообще говоря при любом невещественном Л уравнение

Ш = Ау (4) имеет решения из причём максимальное число п+(п-) линейно независимых решений из при ^Л > О (^Л < 0) не зависит от Л и называется верхним (нижним) дефектным числом оператора Щ. А пара чисел (п+, п-), называемая индексом дефекта оператора Щ, может принимать значения: (п, п) (случай предельной точки), (п+1, п+1),., (2п, 2п) (случай предельного круга). Известно также, что п+ = п- = 2п в том и только том случае, когда все решения уравнения (5) при любом значении Л (следовательно, при каком-либо фиксированном значении А = Ао, в частности, при Л = 0) принадлежат пространству

В первой главе данной работы исследуется вопрос об асимптотической близости на бесконечности решений двух векторных симметрических квазидифференциальных уравнений второго порядка 1а[у] = 0 и 1а1\у) = О, где матрица и\ удовлетворяет тем же условиям, что и матрица а. Полученные результаты применяются для построения примеров минимальных замкнутых симметрических операторов, порождённых векторными квазидифференциальными выражениями с негладкими коэффициентами, имеющих максимальные дефектные числа. При этом получены асимптотические формулы решений на бесконечности одного класса дифференциальных уравнений в пространстве вектор-функций.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем: в частности, вводятся понятие квазипроизводной и симметрического (формально-самосопряжённого) векторного квазидифференциального выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями дефектного числа и индекса дефекта минимального замкнутого симметрического оператора.

Параграф 1.2 является основным в первой главе. Перейдём к изложению его содержания.

Пусть матрица сг\ удовлетворяет тем же условиям, что и матрица а. Аналогично тому, как это было сделано выше, определим квазипроизводные у]?}, уа'}, у а} и квазидифференциальное выражение 1а1[у], порождённые посредством матрицы сг\. Выражение 1а1 известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ьц1 в пространстве (более подробно см. гл.1, п. 1.2.1).

Рассмотрим квазидифференциальные уравнения ш =0 и

Ш = о.

6)

Введём следующие обозначения. Через О и 1п обозначим пулевую и единичную матрицы порядка га соответственно, а через Т - матрицу с 2гасимые векторные решения уравнения (6).

Далее отметим, что каждое из уравнений (5) и (6) эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка где 2га-мерный вектор-столбец У := а матрица = а (в случае уравнения (5)) или С} = сг\ (в случае уравнения (6)).

Данный параграф посвящён установлению достаточных условий на коэффициенты матриц сг, сг 1 и Т, обеспечивающих асимптотическую близость решений уравнений (5) и (6) при х —> +оо. Справедлива следующая

Теорема 1.2.1 Пусть матрицы сг, <7\ и Т таковы, что

Тогда для любых комплексных чисел а\, с*2, • • ■, а.2п уравнение (5) имеет

1||.|| означает сумму абсолютных величии всех элементов матрицы мерными столбцами {иэ, (г^)!^)* {] — 1,2,., 2га), где и3 - линейно незави решение ф(х), удовлетворяющее условиям:

2 п

Ф{х) = +

2п

3=1 где щ(х) —>• 0 при ж —»• +оо (г = 1,2,., 2п).

Отметим, что в случае общих скалярных дифференциальных уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами задача об условиях асимптотической близости их решений хорошо известна и интенсивно обсуждалась в начале 50-х годов прошлого века. Некоторые результаты, полученные в то время, вошли позднее в книгу Ф. Хартмана [39]. В частности, справедлива следующая

Теорема. Пусть в дифференциальных уравнениях функции <?(£), <?о(£) непрерывны на полуоси Я+. принимают комплексные значения и таковы, что для каждого решения и;(£) втпорого уравнения. Пусть ио(Ь), г>о(£) — линейно независимые решения второго уравнения. Тогда као/сдому решению первого уравнения соответствует по крайней мере одна пара таких и" + д(г)и = 0 и ш" + дофи) = 0

00 постоянных а, ß, что u(t) = [а + o(l)]u0(t) + [ß + o(l)b(i), u'(t) = {a + o(l)}u'0(t) + [ß + o(l)}v'0(t) при t —> +00; обратно, для каждой пары постоянных а, ß найдётся по крайней мере одно решение u{t) первого уравнения, удовлетворяющее (9). (см. [39, гл. XI, § 8, стр. 437, теорема 8.1])

Новизна теоремы 1.2.1 по сравнению с этой теоремой заключается в том, что непрерывность от коэффициентов-матриц дифференциальных уравнений не требуется, достаточно лишь, чтобы они были локально суммируемыми на R+.

Также стоит отметить, что в недавней работе H.H. Конечной (см. [10]) рассматривался вопрос об асимптотической близости решений двух скалярных квазидифферепциальпых уравнений второго порядка с комплекс-позначными локально суммируемыми коэффициентами. В частности, была сформулирована и доказана следующая Теорема. Пусть в дифференциальных уравнениях р{у' ~ ry))' - r{p(y' - ry)) + qy = О и

Р(у' - Ry))' - R(P(y' - Ry)) + Qy = 0. вещественнозначпые функции 1/р, q, 1/Р, Q и комплекснозначные функции г, R измеримы на полуоси R+, суммируемы па каэюдом её замкнутом конечном подынтервале и таковы, что при некотором а > О оо

1) J \(Q-q) + 2PRKz{R-r) + (^-j)P2R2\\w\2<+oo, а

00

2) / i - ?|PV|2 < +00> а

00

3) j I(r - r)p - (i - j)P2R\\ww[\ < +оо, а оо

4) / |(f-^)P-(i-4)-P2^lk4|<+oo,

J p p a где w,w\ £ {u, v}, a u,v - линейно независимые региения второго уравнения. Тогда для любой пары комплексных чисе,л а и ¡3 первое уравнение имеет, причём единственное, решение f(x), удовлетворяющее условиям

О) = [с* + а{х)]и{х) + [P + b(x)]v(x),

P(f ~ rf)(x) = [а + а(х)][Р(и' - Ru){x)] + [/3 + b(x)][P{v' - Rv){x)}, где a(x) = o(l) и b(x) = o(l) при x —> +oo.

Формулы асимптотической близости (8) позволяют получить следующую информацию относительно дефектных чисел операторов Lq и Lq1. А именно, справедливо следуютцее

Следствие 1.2.1 Пусть справедливы условия теоремы 1.2.1. Индекс дефекта оператора Lq равен (2п,2п) (т.е. максимален) в том и только том случае, когда индекс дефекта оператора Lq1 равен (2п,2п), т.е. для операторов Lq и Lq1 случай предельного круга реализуется одновременно.

Параграф 1.3 данной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящён получению асимптотических формул на бесконечности решений дифференциального уравнения вида

-у" + Q(x)y = 0, (10) syOt rpft л/ iXj гдеу(ж) = {у\{х),у2{х))\х е Д+, (¿{х) = [ ^ | (а > 2, 0 < ¡3 < а).

Справедлива следующая

Теорема 1.3.1 Уравнение (10) имеет четыре линейно независимых решений у3(х) (] = 1,2,3,4,) таких, что при х —> +оо у1{х),у2{х) ~ фг(х)ехр / ±i{sa + sp)l/2ds, х0 X

И) у3(х),у4{х) ~ ф2{х)ехр / ±i(sa - sp)1/2ds,

Xq где Xq > 1, а вектор-столбцы ф\(х) и ф2{х) имеют вид

В данном параграфе приведено два различных способа доказательства теоремы 1.3.1. Первый из них основан на применении известной теоремы Jle-винсона (см. теорема 1.3.2) При этом в ходе доказательства возникают хотя и несложные, но довольно громоздкие вычисления. В основе второго способа лежит возможность применения известных асимптотических формул типа Лиувилля-Грина (см. теорема 1.3.3), позволяющих избежать технических сложностей. Теорема Левинсона и асимптотические формулы типа Лиувилля-Грина хорошо известны и прекрасно изложены, например, в книге M.S.P. Eastham [43].

В заключительном параграфе 1.4 главы 1 полученные результаты применяются для построения примеров векторных сингулярных операторов

Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями вида k

00 /. Е x-Xk), (12) к—0 \Рк 1к/ где ' означает производную в смысле теории распределений, а <Ук,Рк,1к-некоторые вещественные постоянные, с максимальным дефектным числом. Пример 1.4.1 Пусть п = 2 и а > 2,0 < ¡3 < а. Определим матрицу а\. полагая

Л = ' 0+1 ß+1 xß+l xa+l

3+1 а+1

Тогда квазидифферепциалыюе уравнение (6) совпадёт с уравнением (10). При этом асимптотические формулы (11) позволяют сделать вывод о том, что индекс дефекта оператора Lq1 равен (4,4), т.е. является максимальным.

Рассмотрим возрастающую последовательность положительных чисел Хк (к = 0,1,.) такую, что lim Хк = +оо, жо = 0. Определим элементы к->+оо

Pij(x) матрицы сг(ж), полагая иа+1 uß+l

Рп(х) =Р22(х) =--, Ри{х) =Р2\{х) = при X 6 [xfc,xfe+i),

OL + 1 Р + 1 где Рк - произвольная точка [хк',Хк+1). Справедлива следующая

Теорема 1.4.1 Пусть выполнены перечисленные выше условия и

00

- Хк)2 < +оо, к=1 оо 2а+1

•ь i к=1 Хк

Тогда матрицы а{х) и сг\(х) удовлетворяют условию (7).

Поэтому для матриц а(х) и сг\{х) справедливы утверждения теоремы 1.2.1 и следствия 1.2.1. Следовательно, индекс дефекта оператора Щ с матрицей сг(х) такой, что а' удовлетворяет (12), а вещественные постоянны ак,(3к,7к определяются равенствами а+1 а+1 /3+1 /3+1 ик ик+1 О ик+1 ик к = 1к = -—;-, Рк о ■ 1 ' /3+1 равен (4,4), т.е. является максимальным.

Отметим также, что в качестве подходящей последовательности точек Хк (к = 1,2,.) можно взять, например, последовательность с общим членом хь — 1п к,

Во второй главе рассматриваются дифференциальные операторы Шту-рма-Лиувилля, порождённые выражением (3) в пространстве и их дискретные аналоги - разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами; для дифференциального оператора приводятся достаточные условия реализации минимальности дефектных чисел в терминах элементов матричного потенциала а' и доказывается, что условие максимальности дефектных чисел таких операторов (в случае, когда элементы матрицы и являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел векторных разностных операторов второго порядка, порождённых некоторыми обобщёнными якобиевыми матрицами.

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты спектральной теории разностных операторов второго порядка с матричными коэффициентами па полуоси, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятие обобщённой якобиевой матрицы и связанной с ней векторного разностного оператора второго порядка, матричной степенной проблемы моментов; рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями дефектного числа и индекса дефекта минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного трехчленным разностным выражением второго порядка в гильбертовом пространстве а также приводятся условия самосопряжённости и вполне неопределённого случая такого оператора. Перейдём к более точным определениям и фактам.

Пусть А^, Bj = 0,1,.) - квадратные матрицы порядка п, причём

В,1 существуют, а А^ - самосопряжены. Бесконечную матрицу 3

А0 В0 О О

13)

В*0 А\ В\ 0 .

О В{ А2 В2 . у! ! ; ; •./ назовём обобщённой якобиевой матрицей с матричными элементами. Рассмотрим разностное выражение

1и)5 = 1 + А^щ + ] = 0,1,., где и~ 1 = 0, щ, г¿l,. е Сп.

Выражение I известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ь в гильбертовом пространстве (более подробно см. п. 2.1.1).

Аналогично тому, как это было сделано для дифференциального оператора, вводятся понятия верхнего (п+) и нижнего (п) дефектного числа и индекса дефекта (п+,п) разностного оператора Ь.

Известно, что числа п+ и п- удовлетворяют следующим неравенствам:

О < п+ — п < п.

В параграфе 2.2 описана процедура, позволяющая корректно определить векторный оператор Штурма-Лиувилля на полуоси, при условии, что матричный потенциал является сингулярным распределением первого порядка, т.е. <Э(х) = а'(х) (ст(ж) = (рц)1з=ъ Ргз € а производная понимается в смысле обобщённых функций. При этом получено достаточное условие минимальности дефектных чисел такого оператора. Процедура состоит в следующем.

Пусть ' означает обобщённую производную, т.е. производную в смысле теории распределений. Определим произведение производной р' от скалярной функции р £ Ь10С{Я+) на локально абсолютно непрерывную скалярную функцию ф, полагая как обычно

00 р'ф)(ф) = -1 р(фф)' О для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +оо) функции ф. Определим также произведение матрицы а' = элементами которой являются обобщённые функции, на вектор-функцию у Е полагая, что координата с номером г [г — 1,2,. ,п) произведения а'у равна Р'пУ\ +Р'г2^2 + ■ • ■ +р'тУп■ Из этих определений следует, что в смысле теории распределений справедливо равенство ау)' = а'у + ау'.

Тогда оператор можно трактовать как оператор, порождённый выражением (3) в пространстве С^1(Я+).

Справедлива следующая теорема и очевидное следствие из неё. Теорема 2.2.2 Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (а к, Ь^) С Я.+ (к =1,2,.) такая, что 1. элементы р^ = 1, 2,. ,п) матрицы а абсолютно непрерывны на к,Ьк];

2. существует веществениозначпая функция fk € Ll[ak-,bk\ такая, что ^(х) > fk(x)In п.в. при х € [ajfc, 6/с] w при всех bub' таких, что сц. < b < b' < bk, выполняется неравенство b' bk ~ ak) J fk{x)dx > -c, ь где О 0 - некоторое постоянное число;

3. оо

- akf = +00. (14) 1

Тогда система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка у" = (а' - Л/„)у, ÖA^O имеет ровно п линейно независимых решений, припадлеоюащих £2(.R+). Следствие 2.2.1 Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (a&, bk) С -R+ {к — 1,2,.) такая, что элементы Pij матрицы о абсолютно непрерывны на bk] и сг'(х) > О п. в. при х Е [dk,bk]) и пусть выполнено условие (Ц)- Тогда индекс дефекта оператора Lq равен (п,п).

В параграфе 2.3 устанавливается связь между спектральными свойствами оператора Штурма-Лиувилля, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве C2n(R+), и разностного оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве /2, в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков. Изложим его содержание.

Пусть Хк (к = 0,1,.) - возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хк = +оо и £о = 0; dk = хк — %к-\\ к—>+оо г к — ск - вещественная симметрическая числовая матрица; а(:г) = Ск при х е [хк-\,хк)\ Лк = := Сш - Ск. В это ситуации выражение (3) принимает вид

00

1[у} = -у" + ^Ак5{х-хк)у. (15) к=1

Справедлива следующая

Теорема 2.3.4 Минималытй замкнутый симметрический оператор Щ, пороэ/сдёнпый выраэ/сепием (15) в пространстве имеет индекс дефекта (2п, 2п) в том и только в том случае, когда все решения векторного разностного уравнения

1^+2^+1 г%+1 ак йк+1 ГкГк+1йк принадлежат пространству I

Эта теорема утверждает, что дефектные числа оператора 1/д, порождённого выражением (15) в гильбертовом пространстве максимальны в том и только том случае, когда максимальны дефектные числа разностного оператора, порождённого обобщённой якобиевой матрицей ./, определённой в (13), где Ао, -Во - произвольные квадратные вещественные симметрические матрицы порядка п, В^1 существует, а

Ак = -^-[Ак + {^- + -^—)1п] и Вк =--Ц-—/„ {к= 1,2,.). гк+1 ак ак+1 гк+1Гк+2ак+1

Отметим, что обобщённые якобиевы матрицы вида 7 возникают в связи с матричной степенной проблемой моментов, предложенной и развитой М.Г. Крейном (см. [17]), и достаточно обстоятельно изучены (см., например, [12]-[14]). Так, например, получены критерии максимальности дефектных чисел соответствующих разностных операторов, а также различные достаточные условия реализации и не реализации максимальности дефектных чисел указанных операторов в терминах элементов матрицы J. Применяя эти признаки и теорему 2.3.4 в данной ситуации, можно получить условия максимальности и не максимальности дефектных чисел оператора порождённого выражением (15), в терминах Лк и dk• Для случая п = 1 это частично и сделано в работах [11], [46]. А именно, справедливы следующие

Следствие 2.3.1 Пусть dk, Гк и Лк (к — 1,2,.) таковы, что справедливы следующие условия: ГкГк+З44+2 — Гк+1Гк+2сС1+1 иЛи ГкГк+зйк<1к+2 — Гк+1Гк+2(Рк+1 0СеХ к — 1,2, ., +00

II Е 4 < +00, к=1 оо , ч

III Е4+1||Л+(^ + ¿7)411 <+оо. — 1

Тогда индекс дефекта оператора 1*д является максимальным.

Следствие 2.3.2 Пусть ||ЛЛ|| < С и к = 0,1,.), пгк+3<4+2 Гк+1^к+1 где постоянный С и # таковы, что С>0«0<д<1. Тогда индекс дефекта оператора является максимальным.

Следствие 2.3.3 Пус7пъ выполняется какое-либо из следующих условий: оо

4 = +оо k=1 или оо / 1 1 \ y^rk+irk+3dk+idk+2\\Ak+i + (¿¡—^ + ¿¡T^J = +00' и —1

Тогда индекс дефекта оператора Щ не является максимальным. Стоит отметить, что первое из перечисленных условий следствия 2.3.3 обеспечивает минимальность дефектных чисел оператора Lq (более подробно см. замечание 2.3.1).

В параграфе 2.4 на основе результатов следствий 2.2.1 и 2.3.1-2.3.3 строятся примеры векторных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями pía полуоси, для которых реализуется случай предельной точки или случай предельного круга.

Пример 2.4.1 Пусть x¡~, Сд. и dk удовлетворяют условиям, персчислсиоо ным в параграфе 2.3, и ^ = +00. Тогда индекс дефекта оператора Lq k=1 равен (п, п).

Пример 2.4.2 Пусть вещественные последовате,льпости ak и Xk таковы, что аь = — 2к + 1 + ^ (с = const, е > 0), х^ = In к (к — 2,3,.), а матрица Ли — otkin- Тогда индекс дефекта оператора Lq максимален и равен (2п, 2п).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сафонова, Татьяна Анатольевна, 2012 год

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966. — 544 с.

2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.— М.:Физматлит, 1961.— 311 с.

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов: Пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1958. — 475 с.

4. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом// ДАН СССР. -1961. — Т. 137. № 7. -С. 1011-1014.

5. Биргер Е.С., Калябин Г.А. Теория кругов Вейля в случае несамосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения.- 1976.—'Т. 12.-№ 9,— С. 1531-1540.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с анг— М.: Мир, 1966 — 1063 с.

7. Долгих И.Н., Стрелкова ТА. Асимптотические формулы решений класса дифференциальных уравнений произвольного порядка// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Между нар. научн. конф. 27 июня 2 июля 2008 г.— Суздаль, 2008.—С. 95.

8. Калябин Г.А. О числе решений из 1^2(0, +оо) самосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка// Функциональный анализ и его приложения.— 1972.—Т. 6.—вып. 3.— С. 74-76.

9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с анг. — М.: ЛКИ, 2007. — 474 с.

10. Конечная H.H. Об асимптотическом интегрировании симметрических квазидифференциальных уравнений второго порядка// Математические заметки.- 2011.-Т. 90.-вып. 6,- с. 875-884.

11. Костенко A.C., Маламуд М.М. Об одномерном операторе Шрёдингера с ¿-взаимодействиями// Функциональный анализ и его приложения.— 2010.—Т. 44.—вып. 2.-С. 87-91.

12. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Трёхчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределённый случай// Математические заметки.— 1998.—Т. 63.—вып. 5.— С. 709-716.

13. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Обобщённые якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения.— 1999.—Т. 33.—вып. 1.— С. 30-45.

14. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Признаки вполне неопределённости якобиевых матриц с матричными элементами// Функциональный анализ и его приложения.— 2001.—Т. 35.—вып. 4.— С. 32-37.

15. Кошманенко В.Д. Возмущения самосопряженных операторов сингулярными билинейными формами// Украинский математический журнал—1989.-Т. 41 1- С. 3-19.

16. Крейн М.Г. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (ш, т)// Украинский математический журнал.- 1949.-2,- С. 3-66.

17. Крейн М.Г. Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов// ДАН СССР.- 1949.—Т. 69.-ДО 2.- С. 125-128.

18. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.—М.-Л.:Гостехиздат, 1950.—159 с.

19. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.— М.:Наука, 1970.-672 с.

20. Лидский В.Б. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений —у" + P(t)y = А у// ДАН СССР.— 1954.—Т. XCV.-№ 2,- С. 217-220.

21. Минлос P.A., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике// ДАН СССР.—1961,—Т. 141,— № 6.-С. 1335-1338.

22. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением в пространстве вектор-функций// Доклады РАН.- 2011.- Т. 441,- № 2,- С. 165-168.

23. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций// Уфимский математический журнал. — 2011.— Т.З.—№ 3.— С. 105-119.

24. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.—М.:Наука, 1969.— 526 с.

25. Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов// ДАН СССР. —1953.—Т. 92.—№ 3,- С. 483-486.

26. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Математические заметки.—1999.—Т. 66.— вып. 6.-С. 897-912.

27. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Труды ММО. — 2003. — Т. 64. — С. 159-212.

28. Сафонова Т.А. Асимптотическая близость решений систем квазидифференциальных уравнений второго порядка// Вестник Поморского университета.— 2010.—серия EH.—вып. 4.— С. 94-96.

29. Сафонова Т.А. Асимптотическое интегрирование систем квазидифференциальных уравнений второго порядка// Математические заметки 2011- Т. 89- вып.6.- С. 951-953.

30. Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций// КРОМШ-2011. Тез. докл. Междунар. конф. 17-29 сентября 2011 г.— Симферополь, 2011.- С. 48.

31. Серебряков В.П. Об индексе дефекта матричных дифференциальных операторов второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами// Известия высших учебных заведений. Математика.— 2000. — № 3(454).-С. 48-53.

32. Серебряков В.П. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля// Дифференциальные уравнения.— 1988.—24(10).—С. 1732-1738.

33. Стрелкова Т.А. Асимптотическое интегрирование симметрических систем дифференциальных уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Между нар. научи. копф. 2-7 июля 2010 г.— Суздаль, 2010.—С. 178.

34. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть I: Пер. с анг. —М.:Издательство иностранной литературы, I960.—276 с.

35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. —М.:Мир, 1970.-720 с.

36. Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics.—Springer-Verlag, 1988.—452 p.

37. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbation of differential operators.— London Math. Society Lecture Rems Series: Cambridge Univ. Press, 2001.-271 p.

38. Anderson R.L. Limit-point and limit-circle criteria for a class of singular symmetric differential operators// Canad. J. Math.— 1976 —28 —№ 5.— P.P. 905-914.

39. Eastham M.S.P. The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theoreme.—Oxford: Clarendon Press, 1989.— 241 p.

40. Eastham M.S.P., Gould K.J. Square-Integrable Solutions of a Matrix Differential Expression// Journal of Mathematical Analysis and Applications.- 1983.-91.- P.P. 424-433.

41. Frentzen H. Equivalence, adjoints and symmetry of quasi-differential expressions with matrix-valued coefficients and polynomials in them// Proc. of the Royal Society of Edinburgh.- 1982.-92A- P.P. 123-146.

42. Kostenko A.S., Malamud M.M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set// Journal of Differential Equations.—2010.—249.—P.P. 253-304.