Обратные задачи спектрального анализа для дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Бондаренко Наталья Павловна

• Бондаренко Наталья Павловна
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Бондаренко Наталья Павловна

Введение

Глава 1. Свойства спектральных данных матричного оператора

Штурма-Лиувилля

1.1 Постановка задачи и основные обозначения

1.2 Спектральные данные и их структурные свойства

1.3 Нулевой случай

1.4 Асимптотические формулы

1.5 Полнота и базисность Рисса специальных систем вектор-функций

Глава 2. Обратная задача для матричного оператора

Штурма-Лиувилля

2.1 Теоремы единственности

2.2 Основное уравнение обратной задачи

2.3 Характеризация спектральных данных и конструктивное

решение обратной задачи

2.3.1 Разрешимость основного уравнения

2.3.2 Построение матриц а(х) и Н2. Сходимость рядов

2.3.3 Предельный переход

2.3.4 Алгоритм решения обратной задачи

Глава 3. Характеризация спектральных данных дифференциальных

операторов на графах

3.1 Оператор Штурма-Лиувилля на графе-звезде с сингулярными потенциалами

3.2 Оператор Штурма-Лиувилля на графе-звезде с регулярными потенциалами

3.2.1 Асимптотические формулы

3.2.2 Основное уравнение обратной задачи

3.2.3 Характеризация спектральных данных

3.3 Случай произвольного графа

Стр.

Глава 4. Обратная задача Штурма-Лиувилля с аналитическими

функциями в краевом условии

4.1 Вспомогательные задачи

4.1.1 Обратная задача по обобщенным спектральным данным

4.1.2 Обратная задача по данным Коши

4.2 Единственность, алгоритм и глобальная разрешимость

4.3 Достаточные условия для единственности и алгоритма

4.4 Локальная разрешимость и устойчивость

4.5 Приложения

4.5.1 Задача Хохштадта-Либермана

4.5.2 Обратная задача трансмиссии

4.5.3 Неполная обратная задача на графе-звезде

4.6 Случай сингулярного потенциала

Глава 5. Неполные обратные задачи для дифференциальных

операторов на графах

5.1 Базисность систем синусов и косинусов

5.2 Неполная обратная задача на произвольном графе

5.2.1 Характеристические функции

5.2.2 Обратная задача

5.3 Неполная обратная задача на графе-дереве

5.3.1 Характеристические функции

5.3.2 Обратная задача

5.3.3 Достаточные условия полноты

5.3.4 Примеры

Заключение

Приложение А. Базисы Рисса

Приложение Б. Классические обратные задачи Штурма-Лиувилля . . .261 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи спектрального анализа для дифференциальных операторов»

Введение

Актуальность темы. Тема диссертации относится к спектральной теории дифференциальных уравнений и систем, более конкретно — к теории обратных спектральных задач. Прямые задачи спектрального анализа состоят в исследовании свойств спектральных характеристик операторов, например, асимптотического поведения собственных значений и собственных функций, базисности систем собственных функций, равносходимости рядов по этим системам. Важные результаты в теории прямых спектральных задач были получены в работах В. А. Стеклова, Г. Биркгофа, Я. Д. Тамаркина, М. Стоуна, М. В. Келдыша, М. А. Наймарка, М. Ш. Бирмана, А. Г. Костюченко, В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, А. А. Шкаликова и др. (см., например, монографии [175; 192] и ссылки на литературу в них).

Обратные задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Такие задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют приложения в механике, физике, электронике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов внесли В. А. Амбарцумян, Г. Борг, В. А. Марченко, Б. М. Левитан, М. Г. Гасымов, М. Г. Крейн, З. Л. Лейбензон, Л. А. Сахнович, А. Н. Тихонов, Л. Д. Фаддеев, И. Г. Хачатрян, Р. Билс, В. А. Юрко и другие отечественные и зарубежные математики. Хотя основы теории обратных задач спектрального анализа были заложены во второй половине XX века, она продолжает интенсивно развиваться в настоящее время в связи с возникновением новых приложений. Однако стоит отметить, что обратные задачи являются достаточно трудными для изучения, что связано прежде всего с их нелинейностью, и в теории обратных задач до сих пор остается много открытых вопросов.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для уравнения Штурма-Лиувилля

-у" + д{х)у = \у,

см. монографии и обзоры В. А. Марченко [185], Б. М. Левитана [182], Дж. Пеше-ля и Е. Трубовица [128], Дж. Р. Маклафлин [116], В. А. Юрко [159; 210]. Первая работа в этом направлении принадлежит В. А. Амбарцумяну [7] (1929 г.). Он

исследовал частный случай, в котором функция q{x), называемая потенциалом, однозначно определяется по одному спектру. Однако в общем случае одного спектра недостаточно для восстановления потенциала. В 1946 г. Г. Борг [48] показал, что потенциал однозначно определяется двумя спектрами операторов Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями. Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В. А. Марченко [184; 185], который исследовал задачу восстановления дифференциального оператора по спектральной функции и впервые применил к изучению обратных задач оператор преобразования. В 1951 г. в фундаментальной работе И. М. Гель-фанда и Б. М. Левитана [172] был предложен конструктивный метод решения обратной задачи Штурма-Лиувилля, основанный на операторах преобразования. Другой подход к исследованию обратных спектральных задач был развит М. Г. Крейном [178; 179]. В работе А. Н. Тихонова [206] в качестве спектральной характеристики, однозначно определяющей дифференциальный оператор, была впервые введена функция Вейля. Задание функции Вейля эквивалентно заданию спектральной функции или двух спектров. Однако использование функции Вей-ля и ее обобщений оказалось более естественным в теории обратных задач для различных классов дифференциальных операторов как с математической точки зрения, так и для приложений.

Новый всплеск интереса к обратным задачам был вызван появлением работы Г. Гарднера, Ж. Грина, М. Краскала и Р. Миуры [1] в 1967 г. В ней был предложен новый метод решения уравнения Кортевега-де Фриза, основанный на обратной задаче рассеяния. В дальнейшем этот метод был применен к интегрированию других нелинейных эволюционных уравнений математической физики: нелинейному уравнению Шредингера, уравнению синус-Гордона, уравнению Буссинеска и др. Метод обратной задачи рассеяния представлен, например, в монографиях В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и П. Л. Питаевского [205], Л. А. Тахтаджяна и Л. Д. Фаддеева [204], М. Аблови-ца и Х. Сигура [163].

Важным этапом развития теории обратных спектральных задач стало решение обратных задач для операторов высших порядков

Метод оператора преобразования для таких задач оказался неэффективным, и потребовалось развитие новых подходов. В. А. Юрко [76; 210] был разработан метод спектральных отображений, основанный на применении аппарата теории аналитических функций и на контурном интегрировании Коши-Пуан-каре в комплексной плоскости спектрального параметра. Метод спектральных отображений дал возможность решения обратных задач для операторов высших порядков вида (1) (см. [209]) и дифференциальных систем общего вида

ЯоУ'(х) + Я(х)У (х) = \У (х) (2)

на конечном интервале и на полуоси, а в дальнейшем — для многих других классов дифференциальных операторов и пучков. Р. Билсом и членами его научной группы был развит подход к решению обратных задач для дифференциальных систем общего вида на оси (см. работы Р. Билса и Р. Р. Коифмана [11], Р. Билса, П. Дейфта и К. Томеи [12], С. Чжоу [162]). Обратные задачи для систем вида (2) при некоторых дополнительных ограничениях на коэффициенты изучались в работах А. Б. Шабата [208], М.М. Маламуда [183], Л. А. Сахновича [136] и др.

К настоящему времени разработаны методы решения обратных спектральных задач для многих различных классов операторов, возникающих в приложениях. В частности, восстановлению пучков дифференциальных операторов с квадратичной зависимостью от спектрального параметра посвящены работы М. Г. Гасымова и Г. Ш. Гусейнова [171], С. А. Бутерина и В. А. Юрко [169], Р. О. Гринива и Н. Пронски [93]. Обратные задачи для дифференциальных операторов с особенностями исследовали Дж. К. Гийо и Дж. В. Ральстон [82], Л. А. Жорницкая и В. С. Серов [161], С. Альбеверио, Р. Гринив и Я. Микитюк [6], М. Ю. Игнатьев [103]. Методы решения обратных задач для дифференциальных операторов на геометрических графах развиты в работах М. И. Белишева [14], В. А. Юрко [153]. Помимо дифференциальных операторов, обратные задачи изучались для дискретных систем (см. работы Ф.В. Аткинсона [9], Ю.М. Бере-занского [165], В. А. Юрко [156]), а также для некоторых классов нелокальных операторов: интегро-дифференциальных операторов, функционально-дифференциальных операторов с запаздыванием и с «замороженным» аргументом (см., например, работы С. А. Бутерина и соавторов [52; 61; 168]). Вопросам устойчивости обратных спектральных задач посвящены работы В. А. Марченко и К. В. Маслова [186], Т. И. Рябушко [194], А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [200].

На основе развитых аналитических методов разработаны численные алгоритмы восстановления дифференциальных операторов по их спектральным данным (см., например, работы В. Ранделла и П. Е. Сакса [133], М. Игнатьева и В. Юрко [102], В. В. Кравченко [107]). Тем не менее, в теории обратных спектральных задач для многих классов операторов, в том числе важных для приложений, остается ряд нерешенных вопросов, требующих развития новых подходов и идей. Некоторым таким вопросам и посвящена настоящая диссертация.

В первых двух главах диссертации исследуется краевая задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля

- У" + Q(x)Y = ХУ, (3)

где (^(х) — матрица-функция размера (т х т). Матричным операторам Штурма-Лиувилля посвящена обширная литература. Асимптотическое поведение собственных значений и другие свойства спектральных характеристик изучали В. Г. Папаниколаоу [126], Р. Карлсон [64], О. А. Велиев [170] для матричных операторов второго порядка и Д. М. Поляков [193] для операторов четвертого порядка. Обратные задачи для матричных операторов Штурма-Лиувилля исследовались в связи с применением в квантовой механике [164], в теории упругости [13], при описании электромагнитных волн [49], при решении матричных нелинейных эволюционных уравнений методом обратной задачи рассеяния [63].

В большинстве работ по матричным операторам Штурма-Лиувилля на конечном интервале рассматриваются условия Дирихле У (0) = У (ж) = 0 или Робена У'(0) -НгУ(0) = 0, У'(ж)+Я2У(ж) = 0, где Н\ и Я2 — (т хт)-матрицы. Вопросы единственности восстановления таких операторов по различным типам спектральных характеристик исследовались Р. Карлсоном [65], В. М. Чабано-вым [66], М.М. Маламудом [113], В. А. Юрко [157], Ч.-Т. Шие [141] и другими математиками. В. А. Юрко [155] также предложил подход к конструктивному решению обратной задачи для случая простых собственных значений. Метод решения при произвольном поведении спектра был разработан в кандидатской диссертации Н. П. Бондаренко [166]. Характеризация спектральных данных для матричных операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале была получена независимо в работах Д. Челкака и Е. Коротяева [67], Я. В. Микитюка и Н. С. Траша [123] и Н. П. Бондаренко [166].

В связи с исследованием дифференциальных операторов на графах вызывало интерес изучение краевой задачи для уравнения (3) с общими самосопряженными краевыми условиями (ОСКУ):

Т\(У'(0) - Н\У(0)) - Т^У(0) = 0, Т2(У'(ж) - Я2У(п)) - Т^У(ж) = 0, (4)

где ^, Т^ и Я^ — (т х т) матрицы, Т^ — матрицы ортогональных проекторов, Т^ = I - Ту, I — единичная матрица, Я^ = Д- = ^Я^Т), ] = 1, 2, символ «|» обозначает эрмитово сопряжение. Форма (4) краевых условий была введена П. Кучментом [108] и представляет собой общий вид распадающихся самосопряженных краевых условий для матричного уравнения (3). Другие эквивалентные формы записи этих условий описаны в диссертации М. Новачик [124]. В препринте Д. Челкака и С.Матвеенко [68] и статье С.-Ч. Сю [150] были получены теоремы единственности решения обратные задач для уравнения (3) с ОСКУ Однако наиболее принципиальные вопросы конструктивного решения обратной задачи и характеризации спектральных данных для оператора (3)-(4) так и не были решены. В первую очередь, это связано с трудностями, вызванными асимптотическим поведением спектра и сложными структурными свойствами задачи.

Для матричных операторов Штурма-Лиувилля также исследовались обратные задачи рассеяния на полуоси и оси (см. работы З. С. Аграновича и В. А. Марченко [164], Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса [63], М. Вадати [146], П. Шура [138], Е. Ольмедиллы [125], Дж. Экхардта и соавторов [104; 143] и др.). Отметим работы М. Хармера [87; 88] и Т. Актосуна и Р. Ведера [4], посвященные обратной задаче рассеяния на полуоси для матричного оператора Штурма-Лиувилля с ОСКУ при х = 0. Эти работы обобщают методы монографии З. С. Аграновича и В. А. Марченко [164], в которой рассмотрена аналогичная задача с условием Дирихле У(0) = 0. Заметим, что матричные операторы Штурма-Лиувилля на полуоси имеют ограниченное множество собственных значений, поэтому при их исследовании не возникает тех трудностей с асимптотиками, которые характерны для матричных операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале. Отметим также, что обратные задачи для матричных операторов Дирака с разными типами краевых условий исследовались Я. В. Микитюком и В. Д. Пуйдой [122; 130].

Большинство перечисленных работ посвящено матричным операторам Штурма-Лиувилля с регулярными суммируемыми потенциалами. В последние

20 лет интенсивно развивается спектральная теория дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами из классов функций-распределений. Свойства решений дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями и прямые спектральные задачи для них изучались в работах А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [196—198; 201], Р. О. Гринива и Я. В. Мики-тюка [98], К. А. Мирзоева [176; 177; 187; 190] (в том числе в соавторстве с Н. Н. Конечной и А. А. Шкаликовым). Для матричных операторов с сингулярными коэффициентами некоторые фундаментальные свойства (максимальный и минимальный оператор, индексы дефекта, самосопряженные расширения и т.п.) были исследованы в монографии Дж. Вайдмана [149] и в статьях К. А. Мирзоева и Т. А. Сафоновой [188; 189].

В серии работ Р. О. Гринива и Я. В. Микитюка [95—97; 100] для оператора Штурма-Лиувилля —у" + д(х)у с потенциалом q из класса W—1(0,1) были построены операторы преобразования и выведено уравнение Гельфанда-Леви-тана-Марченко, в итоге на такие операторы был обобщен ряд классических результатов теории обратных спектральных задач. Отметим, что класс 1 включает ^-функцию Дирака, а также потенциалы с кулоновскими особенностями ^, часто используемые в квантовой механике (см. [142]). В работах

A. М. Савчука и А. А. Шкаликова [137; 195; 199; 200] была построена теория обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами в шкале соболевских пространств , 0 ^ —1 (см. также статьи Р. О. Гринива и Я. В. Микитюка [99], Р. О. Гринива [94]). Обратные задачи Штурма-Лиувил-ля с периодическими потенциалами-распределениями были изучены в работах Е. Коротяева [105], П. Джакова и Б. Митягина [73]. Г. Фрайлинг, М. Игнатьев и

B. Юрко [75] рассмотрели обратную задачу Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами на графе-звезде. Р. Гринив и Н. Пронска [93; 129] исследовали обратные задачи для квадратичных дифференциальных пучков с сингулярными коэффициентами. В работах Н. Дж. Гулиева [83; 84] построено решение обратной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса и полиномиальной зависимостью от спектрального параметра в краевых условиях.

В первых двух главах диссертации изучены свойства спектральных характеристик и проведено исследование обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля (3) с ОСКУ и потенциалом (^(х) из класса матриц-функций с элементами из W—l(0,/к). В третьей главе полученные результаты применены

к характеризации спектральных данных операторов Штурма-Лиувилля на геометрических графах.

Краевые задачи на графах представляют собой дифференциальные системы специального вида, в которых уравнения соответствуют ребрам графа, а роль краевых условий играют так называемые условия склейки в вершинах. В англоязычной литературе дифференциальные операторы на графах часто называют квантовыми графами (англ. quantum graphs). Идея использовать квантовые графы как модели органических молекул возникла в работах химиков 30-х годов XX-го века и впервые была строго математически оформлена в статье К. Ру-денберга и В. С. Шера [132]. В настоящее время дифференциальные операторы на графах изучаются в связи с приложениями в нанотехнологиях, мезоскопиче-ской физике, органической химии, теориях волноводов, фотонных кристаллов, квантового хаоса, при моделировании электрических сетей и в других областях естествознания и техники (см. монографии Г. Берколайко и соавторов [16; 131], Ю.В. Покорного и соавторов [174]).

Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на графах стали интенсивно изучаться в начале XXI века. Первым важным и достаточно широким классом операторов, для которого были разработаны методы решения обратных задач, стали дифференциальные операторы второго порядка на графах-деревьях, т.е. графах без циклов (см. [14; 50; 154]). При этом наиболее принципиальную роль сыграл подход В. А. Юрко [154], основанный на методе спектральных отображений. Данный подход позволил не только доказать единственность решения обратной задачи на графе-дереве по наименьшему количеству спектральных данных, но и конструктивно восстановить коэффициенты дифференциального оператора. Впоследствии при помощи этого подхода были решены обратные задачи для дифференциальных операторов и пучков на произвольных компактных графах, в том числе содержащих циклы, а также на графах с некомпактными ребрами (см. обзор В. А. Юрко [211], статью М. Ю. Игнатьева [101]). Различным вопросам восстановления коэффициентов дифференциальных выражений для операторов на графах посвящены также работы Н. И. Герасименко и Б. С. Павлова [173], М. И. Белишева и А. Ф. Вакуленко [14; 15], Б. М. Брауна и Р. Вайкарда [50], С. А. Бутерина и Г. Фрайлинга [56], С. А. Авдонина, Б. П. Белинского и Дж. В. Мэтьюза [10], М. Хармера [87; 88], К. Мочицуки и И. Трушина [120], В. Н. Пивоварчика [127], В. А. Садовничего, Я. Т. Султанаева и А. М. Ахтямова [134; 202], А. П. Жабко,

К. Б. Нуртазиной и В. В. Провоторова [160]. Вопросы восстановления структуры графа по спектральным данным изучались в работах Б. Гуткина и У. Смилан-ского [85], П. Курасова и М. Новачик [109]. Восстановлению условий склейки посвящены работы В. Кострыкина и Р. Шредера [106], Ю. Ершовой и А. В. Киселева [74]. Однако, несмотря на наличие нескольких конструктивных методов решения обратных задач для квантовых графов, наиболее принципиальный во-про с о характеризации спектральных данных оставался нерешенным даже для оператора Штурма-Лиувилля на простейшем графе-звезде.

Четвертая глава диссертации посвящена задаче Штурма-Лиувилля

-у"(х) + д(х)у(х) = Ху(х), х Е (0,^), (5)

у(0) = 0, М\)у>(п) + /2 (Х)у(п) = 0, (6)

с целыми аналитическими функциями (Л), ] = 1,2, в краевом условии. Некоторые свойства собственных значений и собственных функций задач Штурма-Лиувилля с целыми функциями в краевых условиях исследованы в диссертации Е. В. Фолиадовой [207]. Также изучались обратные задачи Штурма-Лиувилля с полиномиальной зависимостью от спектрального параметра в краевых условиях (см. работы М.В. Чугуновой [71], П. А. Байндинга, Р. Дж. Брауна и Б. А. Ватсона [17; 18], А. Ю. Черножуковой и Г. Фрайлинга [69], Г. Фрайлинга и В. А. Юрко [77; 78], Н. Дж. Гулиева [83; 84]). Однако в диссертации рассмотрена обратная задача в совершенно новой постановке, не связанной с задачами из перечисленных работ.

В диссертации исследуется обратная задача, состоящая в построении потенциала д по части спектра, удовлетворяющей некоторым условиям. Интерес к этой задаче возник у автора в связи с приложениями к неполным обратным задачам, интенсивно изучаемым в настоящее время. В таких задачах предполагается, что коэффициенты дифференциального выражения частично известны априори, и для восстановления оператора достаточно меньшего количества спектральных данных. Например, Х. Хохштадт и Б. Либерман [90] показали, что если потенциал оператора Штурма-Лиувилля задан на половине интервала, то потенциал на второй половине интервала однозначно определяется одним спектром, в то время как в общем случае необходимы два спектра. Конструктивные методы решения задачи Хохштадта-Либермана развиты в работах Л. Сахновича [135], Р. О. Гринива и Я. В. Микитюка [100], О. Мартынюка и В. Пивоварчика [115], С. А. Бутерина [54]. Ф. Гештези и Б. Саймоном [79] и М. Хорвацом [91; 92] были

предложены подходы к неполным обратным задачам в случае, когда потенциал задан не обязательно на половине интервала, а на некоторой его произвольной части (0, а). Также внимание математиков привлекают неполные обратные задачи для операторов с условиями разрыва внутри интервала вида

у(а + 0) = а\_у(а — 0), у'(а + 0) = а—1у'(а — 0) + а2у(а — 0), а1 > 0.

С физической точки зрения, условия такого вида возникают в связи с разрывными свойствами среды. Обратным задачам Штурма-Лиувилля с одним или несколькими разрывами посвящены работы О. Хальда [86], Г. Фрайлинга и

B. Юрко [76], Р. Х. Амирова [8], М. Шахриари, А. Дж. Акбарфама и Г. Теш-ля [139]. Ч.-Т. Шие, С. А. Бутерина и М. Игнатьева [140]. В данном направлении исследовалось много различных частных случаев, и назрела необходимость создания общего подхода к неполным обратным задачам. Автором диссертации было замечено, что упомянутые неполные обратные задачи и многие их обобщения могут быть сведены к обратным задачам с целыми функциями в краевых условиях, построенным по «известной части» потенциала.

Также в последние годы большой интерес математиков и физиков вызывает задача трансмиссии

—у'' + д(х)у = Ху, х е (0,1), (7)

у(0) = 0, у(1)ес8(^Ла) — ^(1)8Ш^а) = 0, а> 0, (8)

V А

имеющая приложения в акустике. Различные подходы к обратной задаче трансмиссии, состоящей в восстановлении потенциала д по спектру задачи (7)-(8), были предложены в работах Дж. Р. Маклафлин и соавторов [117—119], Ф. Какони, Д. Колтона и П. Монка [62], Т. Актосуна, Д. Гинтидеса и В. Г. Па-паниколаоу [2], Д. Колтона и Ю. Дж. Леунга [72], Г. Вея и Х.-К. Сю [148],

C. А. Бутерина и соавторов [55; 60]. Заметим, что задача трансмиссии также может быть сведена к виду (5)-(6).

Наконец, наиболее интересный и трудный класс неполных обратных задач представляют собой неполные обратные задачи для дифференциальных операторов на графах. Имеются в виду задачи, состоящие в восстановлении коэффициентов (например, потенциалов Штурма-Лиувилля) на части ребер графа по спектральным характеристикам при условии, что на оставшейся части графа коэффициенты известны априори. Методы решения таких задач могут быть полезны как для физических приложений в случае, когда свойства части системы

заданы изначально, так и для развития методов решения полных обратных задач. Часть коэффициентов оператора может быть построена другими методами, и после этого применена техника решения неполной обратной задачи.

В.Н. Пивоварчик [127] первым заметил, что если у оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде из трех ребер одинаковой длины потенциалы на двух ребрах заданы, то третий потенциал однозначно определяется одним спектром. Впоследствии Ч.-Ф. Янг [151] показал, что для восстановления потенциала на одном ребре графа-звезды из т ребер достаточно ^-й части спектра. Помимо работ автора диссертации, неполным обратным задачам на графах посвящены статьи В. А. Юрко [158] и группы китайских математиков [112; 147; 152]. Однако результаты других авторов в этом направлении ограничиваются теоремами единственности для операторов на графах весьма частного вида (графов-звезд, простейших графов с циклами), в то время как автором диссертации был разработан конструктивный метод решения, а также исследованы вопросы разрешимости и устойчивости неполных обратных задач для операторов на графах общей структуры. Данные результаты представлены в пятой главе диссертации. В основе исследования лежит развитый автором унифицированный подход, основанный на сведении неполных обратных задач на интервалах и на графах к задаче вида (5)-(6) с целыми функциями в краевом условии.

Цель работы состоит в развитии спектральной теории дифференциальных систем, получении новых результатов общего характера в теории обратных задач для матричного уравнения Штурма-Лиувилля и систем дифференциальных уравнений на графах, разработке новых подходов к исследованию таких задач.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Развиты новые методы и приемы исследования спектральных свойств матричных дифференциальных операторов. Установлены новые структурные и асимптотические свойства спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом из класса W—1 и c ОСКУ, который является обобщением операторов Штурма-Лиувилля на графах. В частности, полученные асимптотические формулы для собственных значений и весовых матриц представляют собой новый важный результат для операторов Штурма-Лиувилля на графах общей структуры с рационально зависимыми длинами ребер.

2. Разработан новый подход к решению обратных спектральных задач для матричных операторов Штурма-Лиувилля. При помощи этого подхода получены теоремы единственности и конструктивный алгоритм решения обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом из класса и ОСКУ, а также дана ха-рактеризация спектральных данных этого оператора.

3. Дана характеризация спектральных данных операторов Штурма-Лиувилля на графе-звезде с сингулярными и регулярными потенциалами и для операторов Штурма-Лиувилля на произвольном графе.

4. Дана новая постановка обратной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля с аналитическими функциями спектрального параметра в краевом условии. Для данной задачи в случае потенциалов из классов

и Ж2—1 получены необходимые и достаточные условия единственности, конструктивные алгоритмы решения, достаточные условия глобальной разрешимости, локальная разрешимость и устойчивость. Исследован общий случай комплекснозначных потенциалов с учетом возможной кратности собственных значений.

5. Предложен новый унифицированный подход к исследованию неполных обратных задач для дифференциальных операторов на интервалах и на графах, основанный на сведении к задачам с аналитическими функциями в краевом условии. При помощи этого подхода получен ряд новых результатов для задачи Хохштадта-Либермана, обратной задачи трансмиссии, неполных обратных задач для операторов на графах. Отметим, что подход применим в том числе к несамосопряженным операторам с кратными собственными значениями.

6. Построена теория неполных обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на графах. В частности, для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами на графе произвольной геометрической структуры с рационально зависимыми длинами ребер изучена неполная обратная задача, состоящая в восстановлении потенциала на одном граничном ребре по части спектра. Получены единственность и конструктивный алгоритм решения обратной задачи, достаточные условия глобальной разрешимости, локальная разрешимость и устойчивость. Для неполной обратной задачи Штурма-Лиувилля на графе-дереве с

неизвестными потенциалами на некотором поддереве получена теорема единственности и разработан метод сведения к полной обратной задаче на поддереве.

7. Доказаны новые теоремы о локальной разрешимости и устойчивости обратных задач для несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля, учитывающие распад кратных собственных значений при малом возмущении спектра.

Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, спектральной теории операторов, алгебры матриц, теории аналитических функций, теории операторов в банаховых пространствах, гармонического и негармонического анализа, асимптотические методы и другие методы комплексного и функционального анализа. Важную роль при исследовании обратных задач играет метод спектральных отображений (см. [76; 210]), основанный на контурном интегрировании Коши-Пуанкаре, а также новые методы автора диссертации для работы с кратными собственными значениями и для сведения неполных обратных задач к полным с использованием специальных базисов из вектор-функций.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бондаренко Наталья Павловна, 2022 год

Список литературы

1. A method for solving the Korteweg-de Vries equation / G. Gardner [et al.] // Phys. Rev. Letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095-1098.

2. Aktosun T, Gintides D., Papanicolaou V. G. The uniqueness in the inverse problem for transmission eigenvalues for the spherically symmetric variable-speed wave equation // Inverse Problems. — 2011. — Vol. 27. — Article ID 115004. - 17 p.

3. Aktosun T., Papanicolaou V. G. Inverse problem with transmission eigenvalues for the discrete Schrodinger equation // J. Math. Phys. — 2015. — Vol. 56, no. 8. — Article ID 082101. - 36 p.

4. Aktosun T., Weder R. Direct and Inverse Scattering for the Matrix Schrodinger Equation. Vol. 203. — Cham : Springer, 2021. — 624 p. — (Applied Mathematical Sciences).

5. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Y. On spectra of non-self-adjoint Stur-m-Liouville operators // Sel. Math. N. Ser. — 2008. — Vol. 13. — P. 571-599.

6. Albeverio S., Hryniv R., Mykytyuk Y. Reconstruction of radial Dirac and Schrodinger operators from two spectra // J. Math. Anal. Appl. — 2008. — Vol. 339. - P. 45-57.

7. Ambarzymian V. A. Uber eine Frage der Eigenwertteorie // Zs. f. Phys. — 1929. - Vol. 53. - P. 690-695.

8. Amirov R. K. On Sturm-Liouville operators with discontinuity conditions inside an interval // J. Math. Anal. Appl. — 2006. — Vol. 317, no. 1. — P. 163-176.

9. Atkinson F. V. Discrete and continuous boundary problems. — New York, London : Academic Press, 1964. — 570 p.

10. Avdonin S. A., Belinskiy B. P, Matthews J. V. Dynamical inverse problem on a metric tree // Inverse Problems. — 2011. — Vol. 27, no. 7. — Article ID 075011. - 21 p.

11. Beals R., Coifman R. R. Scattering and inverse scattering for first order systems // Comm. Pure Appl. Math. — 1984. — Vol. 37, no. 1. — P. 39—90.

12. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line. T. 28. — Providence : AMS, 1988. — 209 c. — (Mathematical Surveys and Monographs).

13. Beals R., Henkin G. M., Novikova N. N. The inverse boundary problem for the Rayleigh system // J. Math. Phys. — 1995. — Vol. 36, no. 12. — P. 6688-6708.

14. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC-method // Inverse Problems. — 2004. — Vol. 20, no. 3. — P. 647-672.

15. Belishev M. I., Vakulenko A. F. Inverse problems on graphs: recovering the tree of strings by the BC-method // J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2006. — Vol. 14. - P. 29-46.

16. Berkolaiko G., Kuchment P. Introduction to Quantum Graphs. — Providence, RI : AMS, 2013. — 270 p. — (Contemp. Math. 415).

17. Binding P. A., Browne P. J., Watson B. A. Sturm-Liouville problems with boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter, II. // J. Comp. Appl. Math. — 2002. — Vol. 148. — P. 147-168.

18. Binding P. A., Browne P. J., Watson B. A. Equivalence of inverse Stur-m-Liouville problems with boundary conditions rationally dependent on the eigenparameter // J. Math. Anal. Appl. — 2004. — Vol. 291. — P. 246—261.

19. Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville operator on a finite interval // Tamkang Journal of Mathematics. — 2011. — Vol. 42, no. 3. - P. 305-327.

20. Bondarenko N. An inverse spectral problem for the matrix Sturm-Liouville operator on the half-line // Boundary Value Problems. — 2015. — Vol. 2015. — Article number: 15. — 22 p.

21. Bondarenko N. Inverse problems for the differential operator on the graph with a cycle with different orders on different edges // Tamkang Journal of Mathematics. — 2015. — Vol. 46, no. 3. — P. 229—243.

22. Bondarenko N. Recovery of the matrix quadratic differential pencil from the spectral data // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2016. — Vol. 24, no. 3. - P. 245—263.

23. Bondarenko N. Inverse scattering on the line for the matrix Sturm-Liouville equation // Journal of Differential Equations. — 2017. — Vol. 262, no. 3. — P. 2073—2105.

24. Bondarenko N.Matrix Sturm-Liouville equation with a Bessel-type singularity on a finite interval // Analysis and Mathematical Physics. — 2017. — Vol. 7, no. 1. - P. 77-92.

25. Bondarenko N., Buterin S. On a local solvability and stability of the inverse transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. — 2017. — Vol. 33, no. 11. — Article ID 115010. - 18 p.

26. Bondarenko N., Buterin S. On recovering the Dirac operator with an integral delay from the spectrum // Results in Mathematics. — 2017. — Vol. 71, no. 3/4. - P. 1521-1529.

27. Bondarenko N., Shieh C.-T. Partial inverse problems for Sturm-Liouville operators on trees // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. — 2017. - Vol. 147, no. 5. — P. 917—933.

28. Bondarenko N. P. A partial inverse problem for the differential pencil on a star-shaped graph // Results in Mathematics. — 2017. — Vol. 72, no. 4. — P. 1933-1942.

29. Bondarenko N. P. A 2-edge partial inverse problem for the Sturm-Liouville operators with singular potentials on a star-shaped graph // Tamkang Journal of Mathematics. — 2018. — Vol. 49, no. 1. — P. 49—66.

30. Bondarenko N. P. A partial inverse problem for the Sturm-Liouville operator on a star-shaped graph // Analysis and Mathematical Physics. — 2018. — Vol. 8, no. 1. - P. 155-168.

31. Bondarenko N. P. An inverse problem for an integro-differential operator on a star-shaped graph // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2018. - Vol. 41, no. 4. - P. 1697-1702.

32. Bondarenko N. P. Inverse problems for the matrix Sturm-Liouville equation with a Bessel-type singularity // Applicable Analysis. — 2018. — Vol. 97, no. 7. - P. 1209-1222.

33. Bondarenko N. P. Partial inverse problems for the Sturm-Liouville operator on a star-shaped graph with mixed boundary conditions // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2018. — Vol. 26, no. 1. — P. 1—12.

34. Bondarenko N. P. An inverse problem for Sturm-Liouville operators on trees with partial information given on the potentials // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2019. - Vol. 42, no. 5. — P. 1512-1528.

35. Bondarenko N. P. An inverse problem for the non-self-adjoint matrix Stur-m-Liouville operator // Tamkang Journal of Mathematics. — 2019. — Vol. 50, no. 1. - P. 71-102.

36. Bondarenko N. P. Inverse problem for the differential pencil on an arbitrary graph with partial information given on the coefficients // Analysis and Mathematical Physics. — 2019. — Vol. 9, no. 3. — P. 1393—1409.

37. Bondarenko N. P. Spectral analysis of the matrix Sturm-Liouville operator // Boundary Value Problems. — 2019. — Vol. 2019. — Article number: 178. — 17 p.

38. Bondarenko N. P. Constructive solution of the inverse spectral problem for the matrix Sturm-Liouville operator // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2020. - Vol. 28, no. 9. - P. 1307-1330.

39. Bondarenko N. P. Inverse problem solution and spectral data characterization for the matrix Sturm-Liouville operator with singular potential [Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые дан. on-line. — New York : Cornell University, 2020. — 20 с. — URL: https://arxiv.org/abs/2007.07299 (дата обращения: 10.04.2021).

40. Bondarenko N. P. Inverse Sturm-Liouville problem with analytical functions in the boundary condition // Open Mathematics. — 2020. — Vol. 18, no. 1. — P. 512-528.

41. Bondarenko N. P. Local solvability and stability of the inverse problem for the non-self-adjoint Sturm-Liouville operator // Boundary Value Problems. — 2020. — Vol. 2020. — Article number: 123. — 13 p.

42. Bondarenko N. P. Solvability and stability of the inverse Sturm-Liouville problem with analytical functions in the boundary condition // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2020. — Vol. 43, no. 11. — P. 7009-7021.

43. Bondarenko N. P. Spectral analysis of the Sturm-Liouville operator on the star-shaped graph // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2020. - Vol. 43, no. 2. — P. 471-485.

44. Bondarenko N. P. Spectral data characterization for the Sturm-Liouville operator on the star-shaped graph // Analysis and Mathematical Physics. — 2020. — Vol. 10. — Article number: 83. - 28 p.

45. Bondarenko N. P. A partial inverse Sturm-Liouville problem on an arbitrary graph // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2021. — Vol. 44, no. 8. - P. 6896-6910.

46. Bondarenko N. P. Direct and inverse problems for the matrix Sturm-Liouville operator with general self-adjoint boundary conditions // Mathematical Notes. - 2021. - Vol. 109, no. 3. - P. 358-378.

47. Bondarenko N. P. Solving an inverse problem for the Sturm-Liouville operator with singular potential by Yurko's method // Tamkang Journal of Mathematics. — 2021. — Vol. 52, no. 1. - P. 125-154.

48. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. — 1946. — Vol. 78. — P. 1—96.

49. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for anisotropic media // J. Math. Phys. - 1995. - Vol. 36, no. 7. - P. 3443-3453.

50. Brown B. M., Weikard R. A Borg-Levinson theorem for trees // Proc. Royal Society A: Math. Phys. Engin. Sci. — 2005. — Vol. 461. — P. 3231-3243.

51. Buterin S., Kuznetsova M. On Borg's method for non-selfadjoint Sturm-Liouville operators // Anal. Math. Phys. — 2019. — Vol. 9. — P. 2133—2150.

52. Buterin S., Kuznetsova M. On the inverse problem for Sturm-Liouville-type operators with frozen argument: rational case // Comp. Appl. Math. — 2020. — Vol. 39. — Article number: 5. - 15 p.

53. Buterin S. A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm-Liouville operator on a finite interval // J. Math. Anal. Appl. — 2007. — Vol. 335, no. 1. - P. 739-749.

54. Buterin S. A. On half inverse problem for differential pencils with the spectral parameter in boundary conditions // Tamkang J. Math. — 2011. — Vol. 42, no. 3. - P. 355-364.

55. Buterin S. A., Choque-Rivero A. E., Kuznetsova M. A. On a regularization approach to the inverse transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. -2020. - Vol. 36, no. 10. — Article ID 105002. - 20 p.

56. Buterin S. A., Freiling G. Inverse spectral-scattering problem for the Stur-m-Liouville operator on a noncompact star-type graph // Tamkang J. Math. — 2013. - Vol. 44, no. 3. - P. 327-349.

57. Buterin S. A., Hu Y.-T. Inverse spectral problems for Hill-type operators with frozen argument // Anal. Math. Phys. — 2021. — Vol. 11. — Article number: 75. - 22 p.

58. Buterin S. A., Shieh C.-T., Yurko V. A. Inverse spectral problems for non-selfad-joint second-order differential operators with Dirichlet boundary conditions // Boundary Value Problems. — 2013. — Vol. 2013. — Article ID 180. - 24 p.

59. Buterin S. A., Yang C.-F. On an inverse transmission problem from complex eigenvalues // Results Math. — 2017. — Vol. 71, no. 3/4. — P. 859—866.

60. Buterin S. A., Yang C.-F., Yurko V. A. On an open question in the inverse transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. — 2015. — Vol. 31, no. 4. — Article ID 045003. - 8 p.

61. Buterin S. A., Yurko V. A. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with a large constant delay // Anal. Math. Phys. — 2019. — Vol. 9, no. 1. - P. 17-27.

62. Cakoni F, Colton D., Monk P. On the use of transmission eigenvalues to estimate the index of refraction from far field data // Inverse Problems. — 2007. - Vol. 23. - P. 507-522.

63. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform II // Nouvo Cimento B. — 1977. — Vol. 39. — P. 1-54.

64. Carlson R. Large eigenvalues and trace formulas for matrix Sturm-Liouville problems // SIAM J. Math. Anal. — 1999. - Vol. 30, no. 5. — P. 949—962.

65. Carlson R. An inverse problem for the matrix Schrodinger equation // J. Math. Anal. Appl. - 2002. - Vol. 267. - P. 564-575.

66. Chabanov V. M. Recovering the M-channel Sturm-Liouville operator from M+1 spectra // J. Math. Phys. — 2004. — Vol. 45, no. 11. — P. 4255-4260.

67. Chelkak D., Korotyaev E. Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Stur-m-Liouville operators on the unit interval // J. Func. Anal. — 2009. — Vol. 257. - P. 1546-1588.

68. Chelkak D., Matveenko S. Inverse vector-valued Sturm-Liouville problem. I. Uniqueness theorem [Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые дан. on-line. — New York : Cornell University Library, 2013. — URL: https://arxiv.org/abs/1312.3621 (дата обращения: 28.09.2020).

69. Chernozhukova A., Freiling G. A uniqueness theorem for inverse spectral problems depending nonlinearly on the spectral parameter // Inv. Probl. Sci. Eng. - 2009. - Vol. 17, no. 6. - P. 777-785.

70. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases. — Boston : Birkhauser, 2003. — 440 p. — (Applied and Numerical Harmonic Analysis).

71. Chugunova M. V. Inverse spectral problem for the Sturm-Liouville operator with eigenvalue parameter dependent boundary conditions // Operator Theory, System Theory and Related Topics. Vol. 123. — Basel : Birkhauser, 2001. — P. 187—194. — (Oper. Theory: Advan. Appl.)

72. Colton D., Leung Z-Z.Complex eigenvalues and the inverse spectral problem for transmission eigenvalues // Inverse Problems. — 2013. — Vol. 29. — Article ID 104008. - 6 p.

73. Djakov P, Mityagin B. Spectral gap asymptotics of one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials // Integral Transforms Spec. Funct. - 2009. - Vol. 20, no. 3/4. - P. 265-273.

74. Ershova Y., Kiselev A. V. Trace formulae for graph Laplacians with applications to recovering matching conditions // Methods Funct. Anal. Topology. — 2012. - Vol. 18, no. 4. - P. 343-359.

75. Freiling G., Ignatiev M., Yurko V. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with singular potentials on star-type graph // Proc. Symp. Pure Math. - 2008. - Vol. 77. - P. 397-408.

76. Freiling G., Yurko V. Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Applications. — Huntington : Nova Science Publishers, 2001. — 305 p.

77. Freiling G., Yurko V. Determination of singular differential pencils from the Weyl function // Advances in Dynamical Systems and Applications. — 2012. - Vol. 7, no. 2. - P. 171-193.

78. Freiling G., Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville equations with boundary conditions polynomially dependent on the spectral parameter // Inverse Problems. — 2010. — Vol. 26. — Article ID 055003. - 17 p.

79. Gesztesy F., Simon B. Inverse spectral analysis with partial information on the potential, II. The case of discrete spectrum // Trans. AMS. — 2000. — Vol. 352, no. 6. - P. 2765-2787.

80. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations. — 3rd ed. — Baltimore, London : The Johns Hopkins University Press, 1996. — 694 p.

81. Guan S.-Y., Yang C.-F., Wu D.-J. A partial inverse problem for quantum graphs with a loop // J. Inv. Ill-Posed Probl. — 2020. — URL: https: //doi.org/10.1515/jiip-2020-0085 ; published online.

82. Guillot J.-C., Ralston J. V. Inverse spectral theory for a singular Sturm-Liouville operator on [0, 1] // J. Diff. Eqns. - 1988. - Vol. 76. - P. 353-373.

83. Guliyev N. J. Schrodinger operators with distributional potentials and boundary conditions dependent on the eigenvalue parameter // J. Math. Phys. — 2019. - Vol. 60, no. 6. - Article ID 063501. — 28 p.

84. Guliyev N. J. On two-spectra inverse problems // Proc. AMS. — 2020. — Vol. 148. - P. 4491-4502.

85. Gutkin B., Smilansky U. Can one hear the shape of a graph? // J. Phys. A. — 2001. - Vol. 34, no. 31. - P. 6061-6068.

86. Hald O. Discontinuous inverse eigenvalue problem // Commun. Pure Appl. Math. - 1984. - Vol. 37. - P. 539-577.

87. Harmer M. Inverse scattering for the matrix Schrodinger operator and Schrodinger operator on graphs with general self-adjoint boundary conditions // ANZIAM J. - 2002. — Vol. 43. — P. 1—8.

88. Harmer M. Inverse scattering on matrices with boundary conditions // J. Phys. A. - 2005. - Vol. 38, no. 22. - P. 4875-4885.

89. He X., Volkmer H. Riesz bases of solutions of Sturm-Liouville equations // J. Fourier Anal. Appl. — 2001. — Vol. 7, no. 3. - P. 297—307.

90. Hochstadt H., Lieberman B. An inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data // SIAM J. Appl. Math. - 1978. - Vol. 34, no. 4. - P. 676-680.

91. Horvath M. On the inverse spectral theory of Schrodinger and Dirac operators // Trans. AMS. - 2001. - Vol. 353, no. 10. - P. 4155-4171.

92. Horvath M. Inverse spectral problems and closed exponential systems // Ann. Math. — 2005. — Vol. 162. — P. 885—918.

93. Hryniv R., Pronska N. Inverse spectral problems for energy-dependent Stur-m-Liouville equations // Inverse Problems. — 2012. — Vol. 28, no. 8. — Article ID 085008. - 21 p.

94. Hryniv R. O. Analyticity and uniform stability in the inverse singular Sturm-Liouville spectral problem // Inverse Problems. — 2011. — Vol. 27, no. 6. — Article ID 065011. - 25 p.

95. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials // Inverse Problems. — 2003. — Vol. 19, no. 3. - P. 665-684.

96. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. II. Reconstruction by two spectra // North-Holland Mathematics Studies. — 2004. — Vol. 197. — P. 97—114.

97. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Transformation operators for Sturm-Liouville operators with singular potentials // Math. Phys. Anal. Geom. — 2004. — Vol. 7. - P. 119-149.

98. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Eigenvalue asymptotics for Sturm-Liouville operators with singular potentials // J. Funct. Anal. — 2006. — Vol. 238, no. 1. - P. 27-57.

99. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials. IV. Potentials in the Sobolev space scale // Proc. Edinb. Math. Soc. - 2006. - Vol. 49, no. 2. - P. 309-329.

100. Hryniv R. O., Mykytyuk Y. V. Half-inverse spectral problems for Sturm-Liou-ville operators with singular potentials // Inverse Problems. -- 2004. -Vol. 20. - P. 1423-1444.

101. Ignatiev M. Inverse scattering problem for Sturm-Liouville operator on non-compact A-graph. Uniqueness result // Tamkang J. Math. — 2015. — Vol. 46, no. 4. - P. 401-422.

102. Ignatiev M., Yurko V. Numerical methods for solving inverse Sturm-Liouville problems // Results Math. — 2008. — Vol. 52. — P. 63—74.

103. Ignatyev M. Spectral analysis for differential systems with a singularity // Results Math. - 2017. - Vol. 71, no. 3/4. - P. 1531-1555.

104. Inverse spectral problems for Schrödinger-type operators with distributional matrix-valued potentials / J. Eckhardt [et al.] // Differential Integral Equations. - 2015. - Vol. 28, no. 5/6. - P. 505-522.

105. Korotyaev E. Characterization of the spectrum of Schrodinger operators with periodic distributions // International Mathematics Research Notices. — 2003. - Vol. 2003, no. 37. - P. 2019-2031.

106. Kostrykin V., Schrader R. Kirchhoff's rule for quantum wires. II: The inverse problem with possible applications to quantum computers // Fortschritte der Physik. — 2000. - Vol. 48. - P. 703—716.

107. Kravchenko V. V. Direct and Inverse Sturm-Liouville Problems. — Birkhauser : Basel, 2020. — 154 p. — (Frontiers in Mathematics).

108. Kuchment P. Quantum graphs. I. Some basic structures // Waves Random Media. - 2004. - Vol. 14, no. 1. - S107-S128.

109. Kurasov P., Nowaczyk M. Inverse spectral problem for quantum graphs // J. Phys. A. — 2005. — Vol. 38, no. 22. — P. 4901—4915.

110. Law C.-K., Pivovarchik V. Characteristic functions on quantum graphs // J. Phys. A: Math. Theor. - 2009. - Vol. 42. - Article ID 035302. - 11 p.

111. Law C.-K., Yanagida E. A solution to an Ambarzumyan problem on trees // Kodai Math. J. - 2012. - Vol. 35, no. 2. - P. 358-373.

112. Liu D.-Q., Yang C.-F. Horvath-type theorems on a star graph with mixed boundary conditions // Results Math. — 2020. — Vol. 75. — Article number: 16.

113. Malamud M. M. Uniqueness of the matrix Sturm-Liouville equation given a part of the monodromy matrix, and Borg type results // Sturm-Liouville Theory. — Basel : Birkhauser, 2005. — P. 237—270.

114. Marletta M., Weikard R. Weak stability for an inverse Sturm-Liouville problem with finite spectral data and complex potential // Inverse Problems. — 2005. - Vol. 21. - P. 1275-1290.

115. Martinyuk O., Pivovarchik V. On the Hochstadt-Lieberman theorem // Inverse Problems. — 2010. — Vol. 26. - P. 035011.

116. McLaughlin J. R. Analytical methods for recovering coefficients in differential equations from spectral data // SIAM Review. — 1986. — Vol. 28, no. 1. — P. 53-72.

117. McLaughlin J. R., Polyakov P. L. On the uniqueness of a spherically symmetric speed of sound from transmission eigenvalues // J. Diff. Eqns. — 1994. — Vol. 107, no. 2. - P. 351-382.

118. McLaughlin J. R., Polyakov P. L., Sacks P. E. Reconstruction of a spherically symmetric speed of sound // SIAM J. Appl. Math. — 1994. — Vol. 54, no. 5. - P. 1203-1223.

119. McLaughlin J. R., Sacks P. E., Somasundaram M. Inverse scattering in acoustic media using interior transmission eigenvalues // Inverse Problems in Wave Propagation. — New York : Springer, 1997. — P. 357—374.

120. Mochizuki K., Trooshin I. On inverse scattering on a sun-type graph // New Trends in Analysis and Interdisciplinary Applications. — 2017. — P. 319—325.

121. Moller M., Pivovarchick V. Spectral Theory of Operator Pencils, Hermite-Biehler Functions, and Their Applications. — Basel : Birkhauser, 2015. — 418 p. — (Operator Theory: Advances and Applications).

122. Mykytyuk Y. V., Puyda D. V. Inverse spectral problems for Dirac operators on a finite interval // J. Math. Anal. Appl. — 2012. — Vol. 386, no. 1. — P. 177-194.

123. Mykytyuk Y. V., Trush N. S. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials // Inverse Problems. — 2009. — Vol. 26, no. 1. — Article ID 015009.

124. Nowaczyk M. Inverse Problems for Graph Laplacians : PhD thesis / Nowaczyk M. — Lund, Sweden : Lund University, 2007.

125. Olmedilla E. Inverse scattering transform for general matrix Schrodinger operators and the related symplectic structure // Inverse Problems. — 1985. — Vol. 1. - P. 219-236.

126. Papanicolaou V. G. Trace formulas and the behaviour of large eigenvalues // SIAM J. Math. Anal. — 1995. — Vol. 26, no. 1. - P. 218—237.

127. Pivovarchik V. N. Inverse problem for the Sturm-Liouville equation on a simple graph // SIAM J. Math. Anal. — 2000. — Vol. 32, no. 4. — P. 801-819.

128. Poschel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. — New York : Academic Press, 1987. — 192 p. — (Pure and Applied Mathematics).

129. Pronska N.Reconstruction of energy-dependent Sturm-Liouville equations from two spectra // Integral Equations and Operator Theory. — 2013. — Vol. 76. - P. 403—419.

130. Puyda D. V. On inverse spectral problems for self-adjoint Dirac operators with general boundary conditions // Meth. Func. Anal. Topol. — 2013. — Vol. 19, no. 4. - P. 346-363.

131. Quantum Graphs and Their Applications / G. Berkolaiko [et al.]. — Providence, RI : AMS, 2006. — 307 p. — (Contemp. Math. 415).

132. Ruedenberg K., Scherr W. S. Free-electron network model for conjugated systems. I. Theory // J. Chem. Physics. — 1953. — Vol. 21, no. 9. — P. 1565-1581.

133. Rundell W., Sacks P. E. Reconstruction techniques for classical inverse Stur-m-Liouville problems // Math. Comput. — 1992. — Vol. 58, no. 197. — P. 161-183.

134. Sadovnichii V., Sultanaev Y. T., Akhtyamov A. The inverse problem of recovering the coefficients of a differential equations on a graph // J. Inv. Ill-Posed Probl. - 2020. - Vol. 28, no. 5. - P. 727-738.

135. Sakhnovich L. Half-inverse problem on the finite interval // Inverse Problems. - 2001. - Vol. 17, no. 3. - P. 527-532.

136. Sakhnovich L. A. Spectral Theory of Canonical Differential Systems. Method of Operator Identities. Vol. 107. — Basel : Birkhauser, 1999. — 202 p. — (Operator Theory: Adv. and Appl.)

137. Savchuk A. M., Shkalikov A. A. Inverse problem for Sturm-Liouville operators with distribution potentials: Reconstruction from two spectra // Russ. J. Math. Phys. - 2005. - Vol. 12, no. 4. - P. 507-514.

138. Schuur P. Inverse scattering for the matrix Schrodinger equation with non-Her-mitian potential // Nonlinear Waves. — New York : Cambridge Univ. Press, 1983. — P. 285—297. — (Cambridge Monographs Mech. Appl. Math.)

139. Shahriari M., Akbarfam A. J., Teschl G. Uniqueness for inverse Sturm-Liouville problems with a finite number of transmission conditions // J. Math. Anal. Appl. - 2012. - Vol. 395, no. 1. - P. 19-29.

140. Shieh C. T., Buterin S. A., Ignatiev M. On Hochstadt-Liberman theorem for Sturm-Liouville operator // Far East J. Appl. Math. — 2011. — Vol. 52, no. 2. - P. 131-146.

141. Shieh C.-T. Isospectral sets and inverse problems for vector-valued Stur-m-Liouville equations // Inverse Problems. — 2007. — Vol. 23. — P. 2457—2468.

142. Solvable Models in Quantum Mechanics / S. Albeverio [et al.]. — 2nd ed. — Providnce, RI : AMS Chelsea Publishing, 2005. — 488 p.

143. Supersymmetry and Schrodinger-type operators with distributional matrix-valued potentials / J. Eckhardt [et al.] // J. Spectral Theory. — 2014. — Vol. 4, no. 4. - P. 715-768.

144. Tkachenko V. Non-selfadjoint Sturm-Liouville operators with multiple spectra // Interpolation Theory, Systems Theory and Related Topics. Vol. 134. — Basel : Birkhauser, 2002. — P. 403—414. — (Oper. Theory Adv. Appl.)

145. Vasiliev S. V. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with singular potentials on arbitrary compact graphs // Tamkang J. Math. — 2019. - Vol. 50, no. 3. - P. 293-305.

146. Wadati M. Generalized matrix form of the inverse scattering method // Solitons. Vol. 17. — Berlin : Springer, 1980. — P. 287—299. — (Topics in Current Physics).

147. Wang Y.-P., Shieh C.-T. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on a star-shaped graph with mixed spectral data // Appl. Anal. — 2020. — Vol. 99, no. 14. - P. 2371-2380.

148. Wei G., Xu H.-K. Inverse spectral analysis for the transmission eigenvalue problem // Inverse Problems. — 2013. — Vol. 29, no. 11. — Article ID 115012. — 24 p.

149. Weidmann J. Spectral Theory of Ordinary Differential Operators. — Berlin : Springer-Verlag, 1987. — 304 p. — (Lecture Notes in Mathematics).

150. Xu X.-C. Inverse spectral problem for the matrix Sturm-Liouville operator with the general separated self-adjoint boundary conditions // Tamkang J. Math. — 2019. - Vol. 50, no. 3. - P. 321-336.

151. Yang C.-F. Inverse spectral problems for the Sturm-Liouville operator on a d-star graph // J. Math. Anal. Appl. — 2010. - Vol. 365. - P. 742—749.

152. Yang C.-F., Wang F. Inverse problems on graphs with loops // J. Inverse Ill-Posed Probl. - 2017. - Vol. 25, no. 3. - P. 373-380.

153. Yurko V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. — 2005. — Vol. 21, no. 3. — P. 1075—1086.

154. Yurko V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. — 2005. — Vol. 21, no. 3. — P. 1075—1086.

155. Yurko V. Inverse problems for the matrix Sturm-Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems. — 2006. — Vol. 22. — P. 1139—1149.

156. Yurko V. A. An inverse problems for operators of a triangular structure // Results in Mathematics. — 1996. — Vol. 30, no. 3/4. — P. 346—373.

157. Yurko V. A. Inverse problems for matrix Sturm-Liouville operators // Russ. J. Math. Phys. — 2006. — Vol. 13, no. 1. — P. 111-118.

158. Yurko V. A. Inverse nodal problems for the Sturm-Liouville differential operators on a star-type graph // Siberian Math. J. — 2009. — Vol. 50, no. 2. — P. 373-378.

159. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential operators with non-separated boundary conditions // J. Inv. Ill-Posed Probl. — 2020. — Vol. 28, no. 1. - P. 567-616.

160. Zhabko A. P, Nurtazina K. B., Provotorov V. V. Uniqueness solution to the inverse spectral problem with distributed parameters on the graph-star // Vest-nik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. — 2020. — Vol. 16, no. 2. — P. 129—143.

161. Zhornitskaya L. A., Serov V. S. Inverse eigenvalue problems for a singular Sturm-Liouville operator on (0,1) // Inverse Problems. — 1994. — Vol. 10, no. 4. - P. 975-987.

162. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities // Comm. Pure Appl. Math. — 1989. — Vol. 42, no. 7. — P. 895-938.

163. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М. : Мир, 1987. — 479 с.

164. Агранович З. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. — Харьков : Изд-во Харьковского ун-та, 1960. — 270 с.

165. Березанский Ю. М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи // ДАН СССР. — 1985. — Т. 281, № 1. — С. 16—19.

166. Бондаренко Н. П. Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01. — Саратов, 2011. — 117 с.

167. Бондаренко Н. П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного оператора Штурма-Лиувилля // Функциональный анализ и его приложения. — 2012. — Т. 46, № 1. — С. 65—70. — Trans.: Bondarenko N. P. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem for the matrix Sturm-Liouville operator // Functional Analysis and Its Applications. — 2012. — Vol. 46, no. 1. — P. 53-57.

168. Бутерин С. А. О восстановлении сверточного возмущения оператора Штурма-Лиувилля по спектру // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 146—149.

169. Бутерин С. А., Юрко В. А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале // Вестник Башкир. ун-та. — 2006. — № 4. — С. 8—12.

170. Велиев О. А. О не само сопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81, № 4. — С. 496—506.

171. Гасымов М. Г., Гусейнов Г. Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. — 1981. — Т. 37, № 2. — С. 19—23.

172. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79, №4.— С. 619—630.

173. Герасименко Н. И., Павлов Б. С. Задача рассеяния на некомпактных графах // ТМФ. - 1988. - Т. 74, № 3. - С. 345-359.

174. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный [и др.]. — М. : Физматлит, 2005. — 272 с.

175. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. — М. : Наука, 1991. - 368 с.

176. Конечная Н. Н., Мирзоев К. А. Главный член асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями первого порядка // Матем. заметки. - 2019. - Т. 106, № 1. - С. 74-83.

177. Конечная Н. Н., Мирзоев К. А., Шкаликов А. А. Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами // Матем. заметки. - 2018. - Т. 104, № 2. - С. 231-242.

178. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. -1951. - Т. 76, №1.-С. 21-24.

179. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. - 1954. - Т. 94, № 6. - С. 987-990.

180. Кузнецова М. А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на временных шкалах // Матем. заметки. - 2021. - Т. 109, № 1. - С. 82-100.

181. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1975. - Т. 39, № 3. - С. 657-702.

182. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. - Москва : Наука, 1984. - 240 с.

183. Маламуд М. М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на конечном интервале // Тр. ММО. -1999. - Т. 60. - С. 199-258.

184. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. - 1950. - Т. 72, № 3. - С. 457-460.

185. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев : Наукова Думка, 1977. - 331 с.

186. Марченко В. А., Маслов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Матем. сб. — 1970. — Т. 81, № 4. — С. 525—551.

187. Мирзоев К. А. Операторы Штурма-Лиувилля // Тр. ММО. — 2014. — Т. 75, № 2. — С. 335—359.

188. Мирзоев К. А., Сафонова Т. А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций // Уфимск. матем. журн. — 2011. — Т. 3, № 3. — С. 105—119.

189. Мирзоев К. А., Сафонова Т. А. Об индексе дефекта векторного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. — 2016. — Т. 99, № 2. — С. 262—277.

190. Мирзоев К. А., Шкаликов А. А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами-распределениями // Матем. заметки. — 2016. — Т. 99, № 5. — С. 788—793.

191. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 1. — С. 40—44.

192. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М. : Наука, 1969. — 527 с.

193. Поляков Д. М. О спектральных характеристиках не само сопряженного оператора четвертого порядка с матричными коэффициентами // Матем. заметки. — 2019. — Т. 105, № 4. — С. 637—642.

194. Рябушко Т. И. Устойчивость восстановления оператора Штурма-Лиувил-ля по двум спектрам // Теория функций, функц. анализ и их прилож. — 1973. — Т. 18. — С. 176—185.

195. Савчук А. М. Восстановление потенциала оператора Штурма-Лиувилля по конечному набору собственных значений и нормировочных чисел // Матем. заметки. — 2016. — Т. 99, № 5. — С. 715—731.

196. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. — 1999. — Т. 66, № 6. — С. 897—912.

197. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. ММО. — 2003. — Т. 64. — С. 159—212.

198. Савчук А. М., Шкаликов А. А. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева // Матем. заметки. - 2006. - Т. 80, № 6. - С. 864-884.

199. Савчук А. М., Шкаликов А. А. О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля // Тр. МИАН. - 2008. - Т. 260. -С. 227-247.

200. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость // Функц. анализ и его прил. - 2010. - Т. 44, № 4. - С. 34-53.

201. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями // Матем. сб. - 2020. - Т. 211, № 11. - С. 129-166.

202. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Обратная задача Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями на геометрическом графе // Дифференциальные уравнения. - 2019. - Т. 55, № 2. -С. 193-202.

203. Седлецкий А. М. Негармонический анализ // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. - 2006. - Т. 96. - С. 106-211.

204. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солито-нов. - М. : Наука, 1986. - 527 с.

205. Теория солитонов: метод обратной задачи / В. Е. Захаров [и др.]. - М. : Наука, 1980. - 319 с.

206. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. - 1949. - Т. 69, № 6. - С. 797-800.

207. Фолиадова Е. В. Осцилляционные свойства решений краевых задач со спектральным параметром в граничном условии : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01. - Ульяновск, 1998. - 144 с.

208. Шабат А. Б. Обратная задача рассеяния // Дифф. уравнения. - 1979. -Т. 15, № 10. - С. 1824-1834.

209. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР. - 1990. - Т. 313, № 6. - С. 1368-1372.

210. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М. : Физ-матлит, 2007. — 384 с.

211. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях // УМН. — 2016. — Т. 71, № 3. — С. 149—196.