О существенной самосопряженности и совпадении минимальных и максимальных расширений некоторых дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гриншпун, Эдуард Зиновьевич

• Гриншпун, Эдуард Зиновьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гриншпун, Эдуард Зиновьевич

Введение

ГЛАВА I. О СОВПАДЕНИИ МИНИМАЛЬНЫХ И МАКСИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ И СУЩЕСТВЕННОЙ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

§ I.I. О совпадении минимального и максимального расширений и существенной самосопряженности оператора первого порядка с операторными коэффициентами.

§ 1.2. О совпадении минимальных и максимальных расширений оператора Шредингера с операторным потенциалом в L^

§ 1.3. О существенной самосопряженности и совпадении минимального и максимального операторов, порожденных дифференциальным выражением второго порядка с сильно сингулярным скалярным потенциалом.

ГЛАВА П. О СУЩЕСТВЕННОЙ СМО СОПРЯЖЕННОСТИ, СОВПАДЕНИИ МИНИМАЛЬНЫХ И МАКСИМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ И РАЗДЕЛИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§2.1. Предварительные сведения. Свойства решений и функции Грина однородного уравнения Штурма-Лиувилля с положительным потенциалом на ( - , + ).

§ 2.2. О разделимости оператора Штурма-Лиувилля.

§2.3. Замечание о существенной самосопряженности обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка.

§ 2.4. О совпадении минимального и максимального расширений для одного обыкновенного дифференциального оператора высо

§ 2.5. О разделимости нелинейного оператора Штурма-Лиувилля кого порядка в

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О существенной самосопряженности и совпадении минимальных и максимальных расширений некоторых дифференциальных операторов»

В связи с потребностями квантовой механики в последние тридцать лет возрос интерес к задачам о существенной самосопряженности симметрических дифференциальных операторов, что является принципиально важным при описании динамики квантово-механических систем. В случае несимметрических операторов аналогом этих задач являются задачи о совпадении минимальных и максимальных расширений. Задачам о существенной самосопряженности, совпадении минимальных и максимальных расширений дифференциальных операторов посвящено большое количество работ советских и зарубежных математиков. В последнее время в Советском Союзе возрос интерес к указанному кругу задач для дифференциальных операторов с операторными коэффициентами в связи с многочисленными приложениями (в спектральном анализе операторов, в квантовой механике и т.д.). Вопросы совпадения минимальных и максимальных расширений дифференциальных операторов имеют весьма важное значение и в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении свойств слабых решений.

В .диссертационной работе получен ряд существенно новых достаточных условий существенной самосопряженности и совпадения минимального и максимального расширений операторов I и П порядка в частных производных и обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка со сколь угодно быстро растущими коэ<|фивдентами при старших производных. Рассмотрены также смежные вопросы разделимости для оператора Штурма-Лиувилля. Доказано, что оператор Штурма-Лиувилля (как линейный так и нелинейный) с положительным коэффициентом всегда разделим в /Jl (-оо7 + оо) , тем самым найдено "естественное" пространство в задаче о разделимости оператора Штурма-Лиувилля.

Полученные результаты представляют самостоятельный интерес, а также могут быть использованы в задачах квантовой механики, спектральной теории операторов в гильбертовых и нормированных пространствах, в теории дифференциальных уравнений в частных производных при изучении свойств обобщенных решений.

Результаты диссертационной работы доложены на УШ Всесоюзной шкале по теории операторов в г.Риге, на семинаре по общей теории уравнений в частных производных при мат.-мех. факультете ЛГУ под руководством проф. С.Г.Михлина и проф.В.Г.Мазьи, на семинаре лаборатории численных методов решения задач математической физики под руководством акад. АН КазССР У.М.Султан-газина, на семинаре лаборатории прикладных методов анализа ИММ АН КазССР с участием проф.Б.М.Левитана и проф.А.Г.Костю-ченко, на семинаре по теории уравнений в частных производных под руководством член-корр. АН КазССР Е.И.Кима и СНС С.Н.Хари-на.

Автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., проф.М.Отелбаеву за постановку задач и внимание к работе.

Далее в пл.0.2 и 0.3 настоящего введения приводятся основные результаты диссертационной работы, проводится их обсуждение и: сравнение с известными результатами по данной тематике, а предварительно (в п.0.1) приводятся определения и известные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем.

0.1. ft - /1 -мерное евклидово пространство векторов I

Хп,) с нормой I х| - ( z ! XJZ)/Z> -будем обозначать просто /ft (Пусть Si - произвольное открытое подмножество Щ (возможно совпадающее с

Я ).

Через Lp( J2) ; £< обозначим множество комплекснозначных измеримых функций на J2 с конечной нормой

J2

В случае норма в

L оо (Ю определяется так:

Когда Sl~lH нормы будем обозначать просто ((• ||р.

В случае р-2 L^CR*)- гильбертово пространство со скалярным произведением I u(l)utL)dt .

Через

СГШ) обозначим множество бесконечно гладких функций на SI , обращающихся в ноль вне некоторого компактного подмножества Л . Отметим, что, как известно, CJ°(Sl) плотно в Lp(Sl) при 00 .

Для произвольного множества

IfcR" через Уи - Хи И) будем обозначать характеристическую функцию множества!/, т.е.

1, f е V класс функций

Ut) с непрерывными и ограниченными на Й. производными порядка Т, т.е.

Wp (Я)j пространство Соболева функций

J(t), J которых производная абсолютно нецрерывна и конечна норма wfCtn) щ я

Для интервала [а, б] С //? Ciafy и Wpi Q,6j определяются аналогично. AC o<z+ ~ класс функции:, у которых X -я производная абсолютно непрерывна на

Классы функций С^с Wp^ClH)? «), Lf (Я) определяются стандартно, как множества функций, принадлежащих соответственно СХ(И)} \Л/р(К)? Lp(K) для всякого

Л - компактного подмножества //2

Всюду далее для множества А в топологическом пространстве через /1 будем обозначать его замыкание, для множеств Для открытого множества Й"* и Ь с. /\ будем писать /З^А t если /3 с А и 8 - ограничено.

Пусть / , У некоторые банаховы пространства, А -линейный оператор действующий из X в У с плотной областью определения. Всюду далее будем обозначать D(/l) область оцределения оператора

А ; Пол А

- область значений оператора А * то есть V-Jxe

1 -ядро оператора А , т.е. [xeD(A): А х = о] ; А - замыкание оператора А ; А* - сопряженный к А оператор, действующий из У* в X* , где обозначает сопряженное к X пространство - пространство ограниченных линейных функционалов на X . Для оператора /3 , действующего из X в У будем говорить, что есть расширение А и писать /1^6 если и для х ^ D) ftx- х . ОператорА , действующий в гильбертовом пространстве Н О Э(А) = Н называется симметрическим, если А ^ Д* . Симметрический оператор /I называется существенно самосопряженным, если А ~ А *

Приведем ряд известных результатов, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

ЛЕММА 0.1 (см, В.С.Владимиров fl7]). Для любого множества Ас /^и любого числа L>0 существует функция е С£с (Я*1) такая, что

L *** (0.1)

ЛЕММА 0.2 (см. В.С.Владимиров [17]). Пусть [ У^ произвольное открытое покрытие №Тогда существует система функций ЪИ)е<£с(НЛ)- *4>P*i > О^ти,

ЛЕША 0.3 ([26]). Пусть X - банахово пространство, А и & - плотно определенные линейные операторы в X,

2>(В) ^D(A) и 3 CL>07 llfiuIIх ±atullx+&IIAullx , \/иеШ)7 тогда, если /I замыкаем, то таков и А + &,

D(A+I5) ~])(А), если при этом /I имеет ограниченный обратный А и

О-IIА , то оператор Л + в имеет ограниченный обратный и (Щщ - X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Потенциалом Еисса порядка т, О < т П называется Г

Емкость Рисса множества Я порядка тп степени р (тр^п.) определяется равенством Up 6Г) = { felpdr)- f(xbol)

Иные емкости рассмотрены, например, в монографии В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова [40],

ТЕОРЕМА 0.1 (В.Г.Мазья [41], Д.Р.Адаме [72]). Пусть О ^ Hip ^ П- ji^p^00) Z(x)~ неотрицательная измеримая функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны: i^LpLln. ) б) ДГ= IV*(J(г<*»''е1*)

IK^k к в) 1Си„ъгР)(*А слп(!ш)рс1х)Ко.

Я] - совокупность всех компактов в Ш , причем къ /1± - ^Az. , где С не зависит от Т(х), ( ~р~ + j

ОШ'ЗЭДЕПЕНИЕ. Множество измеримых функций на называется слабым Lp-пространством, а

IIJII/ t'Crnesfx--\Slx)\ri})/p (0.3) p'w Ьуо слабой L, -нормой

Следующая теорема указывает точную константу в неравенстве

Стрихарца.

ТЕСЕЕМА. 0.2 (В.Ф.Коваленко, М.А.Перельмутер, Ю.А.Семенов [28, 90j). Пусть £ Lc^tW, (^eL^w , heLpClR.*1),

Тогда l«g * А) Hvn где Sin " о^ъем единичного шара в Я*1;

ХМ if ^ГС^СГС0^)) i - гамма-пункция, причем константа в неравенстве наилучшая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. И - гильбертово пространство со скалярным произведением <° 1 -Ун . Квадратичная форма есть отображение

Qity) £ » линейное по I аргументу и сопряженно линейное по второму, где О, (<},)- плотное подмножество Н . Q(C^) - называется областью определения формы. Квадратичная форма называется замкнутой, если из v П.,ГП Oo следует ft oo

Квадратичная форма называется секториальной, если множество '• } ~ подмножество сектора

0.4)

ТЕОРЕМА 0.3 ([263, [61 j). Пусть ^ - замкнутая, плотно определенная секториальная форма в /~/. Тогда существует единственный оператор Т в И такой, что а) 7 замкнут. б) ЭСТ)<= QCq,) и если yeQCb), V*TXT), TO при этом D(T)является ядром формы , т.е. qTbef) = % в) DCи если то

Т$7Н 7 при этом DCTV- ядро формы ^ . г) Если ИеСК^^^Н и равенство с^Еи, о справедливо для всех О , принадлежащих ядру формы ^, то

LLe. Э('Т) , =

Следующие две теоремы вложения получены в работе О.Д.Апы-шева и М.Отелбаева [з]. Мы их приводим не в полном объеме.

ТЕОРЕМА 0.4 (ГЗЙ. Пусть I* , -£- + = 4 , р "

W) и ум - непрерывные положительные функции. Если т=gup с fpp(i)dt)i/p( TilK"i)p'v-pmu~, х>о о х то дяя Vf* + =

Tipamfcit* p-(P'S/p'. Tp7m)Пий ,

Обозначим

V*(*) = int { сГ : Д-пр% ( mfoil] (0.6)

Функция являющаяся усреднением функции была впервые введена М.Отелбаевым [бз] и применена при изучении спектра дифференциальных операторов, их разделимости, при получении весовых теорем вложения и т.д.

ТЕОРЕМА 0.5 [3]. Если />=2, sup t/аш Tv^m^cit.-,

Ла ххГ 6r tm L где max(~ , JC-V) , У = 4/г-m/э {I/* то существует постоянная С , не зависящая от fi(i)и такая, что для i" € С^^ + оо) °° +* со + 00 о О о

Теория вложений классов дифференцируемых функций интенсивно развивалась работами советских математиков. Укажем лишь монографии С.Л.Соболева [б5], С.М.Никояьского [48], статьи О.В.Бесова, В.П.Ипьина, Л.Д.Кудрявцева, П.И.Лизоркина, С.М.Ни-ксльсксеею [7], М.Ш.Бирмана [б], М.Ш.Бщ)мана и Б.С.Павлова [9], где можно найти обширную библиографию по данному вопросу.

ЖЕДЕЛЕНИЕ (см. [4], С.Г72). Назовем точку Хе С точкой регулярного типа оператора /I , если 3 К=1Ш)>0 такое, что для любого Х^Ъ(1\) |Мх-Лх1|>ЯМ/. Множество точек регулярного типа оператора /\ назовем полем регулярности оператора /[ .

0.2. В первой главе доказываются теоремы локализации (TJT) в задаче о совпадении минимального и максимального операторов (СММО) первого и второго порядков с сингулярными операторными и скалярными коэффициентами. В случае симметрических операторов эта задача эквивалентна задаче о существенной самосопряженности минимального оператора. ТЛ утверждает, что при наличии некоторого ограничения на последовательности телесных слоев, уходящих в бесконечность (это ограничение аналогично условию, обеспечивающему конечную скорость распространения для гиперболического уравнения), СММО определяется независимым поведением коэффициентов в сколь угодно малых окрестностях К? произвольных точек де/Г.

Теоремы такого рода появились в работах М.Отелбаева [54], Б.М.Левитана и М.Отелбаева [34], [35]цри изучении существенной самосопряженности и максимальной диссипативности операторов Щре-дингера и Дирака с операторными коэффициентами, в работах Ю.Б.Орочко [49, 50, 5ll и П.Р.Чернова [73 ] при изучении существенной самосопряженности скалярных операторов Щредингера и конечномерных операторов Дирака.

Метод доказательства ТЛ работ М.Отелбаева и Б.М.Левитана, М.Отелбаева использовал эллиптические оценки и технику разбиений единицы, при этом существенной была диссипатив-ность операторных коэффициентов. Методы работ Ю.Б.Орочко и П.Чернова были связаны с конечной скоростью распространения для гиперболических уравнений, при этом существенно использовались вещественность скалярных коэффициентов. Таким образом, несмотря на различив, методы доказательства ТЛ вышеупомянутых: работ требовали наличия априорных ограничений на резольвентные множества коэффициентов (вещественность скалярных коэффициентов или диссипативность операторных) ,и на поле регулярности рассматриваемого оператора (поле регулярности симметрического оператора содержит множество | Л 6 (Т АФ о J , поле регулярности диссипативного оператора содержит множество ■■ ЪЖО j ).

В настоящей работе мы доказываем ТЛ в задаче о СММО без каких-либо априорных ограничений на резольвентные множества для коэффициентов и поле регулярности для оператора (в частности, поле регулярности оператора может быть пустым множеством) . Метод доказательства использует комбинацию и модификацию идей методов работ Б.М.Левитана, М.Отелбаева Т.Като [М] Jf?]. Такой подход позволяет также в задаче о СММО доказать ТЛ для оператора первого порядка с операторными коэффициентами в Lp и для скалярного оператора Шредин-гера с комплексно-значным потенциалом с^ £ С/Я*1) в

Lл С Я") , что в случав симметрических операторов в дает новые достаточные условия существенной самосопряженности соответствующих минимальных операторов. Приведем точные результаты.

Н - сепарабельное гильбертово пространство, { семейство замкнутых линейных операторов в И с плотными областями определения.

СГСЯ^Н) - множество финитных бесконечно дифференцируемых в сильном смысле вектор-функций на я со значениями в - множество измеримых по

Бохнеру вектор-функций на Я^ со значениями в Н с конечной нормой llfllp=( !j№)ll„clt) Ур (1<р . В случав р=% л \

LXUH 7Н) - гильбертово пространство со скалярным произведением I< ftfh (здесь и далее <•,*> л ||*l/w соответственно скальное произведение и норма в /-/ )

Со~(Г;а*Н) = {аеСо~№Н) : б?"N^ + г^

Условие I. CrCf/i^Q,Н) плотно в плотно в Li (fc^jH) j , jy

B §1.1 при выполнении условия I рассматривается вопрос о совпадении в Lp (Я^, Н) э минимального Т =■ ( Z ве1Ще + QM)^r(K",Q) и

1=1 лакоимального Т= [(-£ £; ЩИ)- t (П^КЛ/Г^Г операторов, где { Вг^\е=Гп " семейства ограниченных, сильно t^ib нецрерывно дифференцируемых операторов в Н , таких что

2 НвсЮНм е(о.б') а оператор в квадратных скобках действует в L ^ (/R^flX Приведем основную теорему §1.1.

ТЕОРЕМА. I.I. Пусть выполнено условие I, а также условие 2): существует последовательность уходящих в бесконечность телесных слоев Ак "толщины" & , таких что i =4 г >

•Ь te Ас

Тогда для Т = Т7 необходимо и достаточно чтобы было выполнено условие

3) Для каждой точки г^е Щ1/1 найдется ограниченная окрестность , семейства замкнутых линейных плотноопре-деленных операторов f 0г /ПИ ) таких что XsJ&Qlt) а C."CH%Q,H)& СЖ;(Эън); СГС^ИНСГЩЦ операторы Ct) удовлетворяют условию (0,6) и минимальо <т7 « ч^ ныи 11 и максимальный < г операторы, порожденные в

Lp Ш '/ Н) выражением 2 + № ? совпадают.

Хорошо известно, что даже для одномерного скалярного симметрического оператора первого порядка (когда индексы дефекта вычисляются непосредственно) от условия 2) полностью освободиться нельзя. Условие 2), например, выполнено, если

- conri-((tl + i) чахлости если fi€(thee- посе=( тоянные ограниченные операторы).

Условие 3) заведомо выполнено, если \\Q(i)i\HG и для V G G И вектор-функции та и (Я. *(t) измеримы. В случае, когда на дифференциальную часть оператора Т наложены некоторые локальные требования эллиптичности (выполненные, например, для обычной системы Дирака когда Н -четырехмерно) методы теории возмущений позволят рассмотреть случай когда может иметь и локальные сингулярности. Приводится ряд достаточных для выполнения 3) условий в терминах емкостей Рисса и принадлежности II XslQC^IIh-^h некоторым - пространствам или Zs,w -пространствам, что позволяет рассмотреть локальные сингулярности IIQ(t)llH^H типа кулоновских потенциалов.

Существенная самосоцряжвнность скалярной симметрической одномерной системы Дирака с произвольным непрерывным потенциалом была впервые доказана Б.М.Левитаном(см.£ 3 3 7стр.бЗ,2]) и В.В.Мартыновым Z}8J. В случае И= £т , СММО, порожденных конечномерными эллиптическими системами I порядка с непрерывными коэффициентами в LA } С") рассмотрел А.Г.Брусенцев С / 3 J , а случай не эллиптической системы I порядка с непрерывными коэффициентами в С") - Х.Фатто-рини ГШ .

Теорема I.I и ее следствия (теоремы 1.3 и 1.5) обобщают соответствующие результаты Б.М.Левитана, В.В.Мартынова, А.Г. Брусенцева, Х.Фатторини, П.Чернова 17 31 на случай операторов с сингулярными операторными коэффициентами без ограничений на их резольвентные множества. В случае симметрического

7 п. ^ ^ оператора вида Т7= 2 ве Ю-ТГ ^ в ^ Ш . Н) получены новые достаточные условия существенной самосопряженности минимального оператора обобщающие соответствующие результаты работы Б.М.Левитана и М.Отелбаева [З^И , где рассматривались постоянные операторные коэффициенты

Поскольку в приложениях теоремы I.I в условии 3) удобнее всего брать it) ~ Xsi^^Qtt) , то встает воцрос, насколько это близко к необходимому условию для Т~Т ? Ответ на этот вопрос дает

ТВЭРЕМА 1.4. открытое подмножество ft . Если

Т — Т7 и существует £ ~>0 , такое что для оператора и максимальное расширения совпадают, то и для оператора 2 Ке.&'дГе + Xsi Со (^^минимальное и максимальное г=1 расширения совпадают. (Здесь SL sSi-с = {teSl: uij1 /£-xl<£j)

В §1.2 рассматривается задача о СММО для оператора Шре-дингера с сингулярными операторными коэффициентами в иоя%и).

Ws. №»?Н) пополнение СГ(1И"?Н) по соболевской норме({65"])

I"IU = llull^ Zllk^ll^ .

X о бМЩ+ецуГ семейство замкнутых, шютноопределенных линейных операторов в и . сг(я*,<т определяется несколько иначе:

Условие 4. СГ(К.]Р,Н) шготно в и в

В /j(/И п} Н) рассматривается вопрос о совпадении минимального (- A t в(Н)0 = C-A + Q(t))h СГС/^Q) , и максимального

-л7о(е)) = [(-Д+ Q*M)e>Y операторов, (д и

Условие 5. Существует последовательность телесных слоев Фк "толщины" , уходящих в бесконечность, числа

1 , такие что для % е сГ ( Рк , = { иеСГ(1Г,0,н)' s'clppU€<PKJ выполнено одно из условий, а) или б):

С=1 б) Re + » Ук ^, 2

Условие 6. У каждой точки ^ ^ существует окрестность э , семейство линейных операторов ,

- 17 числа 1 ? Хр^О такие, что а /г, Q) ^сгиг,вг), z^m=xVt0t@t

-&+02 ^))„=(-А^д ли V и С(Я ЛДН) ki-a-w+Xyfimji* I ^^mKqi^iifii*.

ТЕОРЕМА. 1.7. При выполнении условии 4, 5, 6 для t/и £ дС-^Шд будат VuelSle,c(/Я * Н)

Отметим, что условие 4 выполняется, если, например, у каждой точки у ё найдется окрестность такая, что

-плотно в /7,и для

QOla £ Lz (R* Н), eLM]H)- Приведен также достаточный признак выполнения условия 6 в терминах Q(t). В случае вещественного потенциала La/ioc(Rn'hc:!l0mB 6 выполняется, если (-f) удовлетворяет условию 7а (см. ниже); имеет место также аналог теоремы 1.4.

Полученный результат является новым и в скалярном случае и обобщает соответствующие результаты работ В.Б.Лидского [36J, Ф.С.Рофе-Бекетова и А.И.Холькина [647, В.Д.Эванса [76] о СММО, порожденных дифференциальным выражением -A -t с комплексным скалярным потенциалом.

В случае когда {^^^J^ у^п" С0М0ЙСТВО самосояцэяженных операторов в Г( (и, следовательно, симметрический оператор), утверждение теоремы 1.8 с условием 5а) есть результат работы Б.М.Левитана, М.Отелбаева [35 J о существенной самосопряженности оператора Tot а теорема

1.8 с условием 56) является новой для операторов с операторными коэффициентами. В случае скалярного ^ у^новым также является возможность ставить локальное условие в виде (0.8.) (величина константы в (0.7) также ранее не указывалась),

В случае скалярного оператора Щредингера с вещественные потенциалом tyfi") в работах Ю.Б.Орочко [4в?5~1]показано, что при "равномерной" локализации, то есть когда шары одинакового радиуса cL , в условии типа 6 можно брать

Ег^О ,однако, как отмечает сам автор, при этом полуограниченность операторов ( -А ч- ) влечет полуограниченность оператора -Д + , а в случае неполуограни-ченностл оператора в условии типа 5 можно брать £ -О ,однако при этом требуются более жесткие, чем у нас локальные ограничения на (}(£)• Кроме того,как известно ( ),если в условии.6 »то для LiСможет не выполняться V U £ L3) to^ at).

Возможность в задачах о существенной самосопряженности задавать условия на коэффициенты лишь на последовательности телесных ело ев, уходящих в бесконечность была впервые показана в работах Ф.Хартмаго £831 и Р.С.Исмагилова [22,2 3] для одномерного случая,где Хц в аналогах условий 5а)и 5Б) (условие типа 5Б) впервые появилось в С23J )есть инфимум функции на А к. . Достаточнью условия самосопряжённости в терминах операторных неравенств рассматривались в работах А.Я.Повз-нераС5"#Л , Ю.М.Березанского 1Ю1 ,Ю.М.Березанского и В.Г.Са-мойленко CiiJ, Ф.С.Рофе-Бекетова [£3], А.Г.Брусенцева и Ф.С.Ро-фе-Бекетова [ 14, /5J , Б.М.Левитана и М.Отелбаева [ЪЧ , Зб~] Ю.Б.Орочко [ 4Я, So, 51J и других ( см. также [ 1] ).

Признаки существенной самосопряжённости найденные в [ <22]( в её части относящейся к оператору Штуриа-Лиувилля) и в [23 ] качественно различны и получены различными методами. Наше доглазательство позволяет получить их в рамках единого подхода, (Иное доказательство у Ю.Б.Орочко [50,51J ).

Отметим, что существенная самосопряженность операторов Щредингера с операторным потенциалом изучалась в работах А.Н.Кочубея [зо], Л.И.Вайнермана [1б], М.Г.Гимадисламова [19], М.М.Гехтмана [l8], М.Л.Горбачука и В.И.Горбачук [20 ] и других (эти списки не претендуют на полноту).

В §1.3 доказывается ТЛ в задаче о совпадении замыкания минимального Го и максимального Т операторов Щредингера, порожденных в (Я11) дифференциальным выражением 2" — -A + tyCt) с комплекснозначным С^ £ Lifoc (1ЯП) . Отметим, что в этом случае мы уже не можем воспользоваться условием I, игравшим существенную роль при доказательстве ТЛ в вышеуказанных работах Б.М.Левитана, М.Отелбаева и ПЛернова. Минимальный и максимальный операторы определяются следуя Т. Кат о [87] и И.Ноулсу [89]:

7 =Г A{ileljr): q,ue Llm(Rn),tuelp/C foeffljii - финитнаj.

Иной мшшмальный оператор рассмотрел Ю.Б.Орочко. d&f'

Условие 7. ) = jClRe(^(i)\-ReC^H)) удовлетворяет условиям: а) для каждой точки ЯЛнайдется о1фестность такая, что либо

2-П

SCU) П> з (0.7) tiiy? Up где g ~ ^^) у1' Г(а)~ гамма-функция, (при ft=1 достаточно (Я) щ>жп=г ^ £U^bcOH*), >5 где Q-ц ~ объем единичного шара в Я , Ln^^w - слабое Z/^-цро-странство; б) квадратичные формы A^Ml^^M+Xvfl^ секториаль-ны на сгап.

ТЕОРЕМА. 1.9. При выполнении условия 4 оператор Т0 плотно определен, замыкаем, а оператор Т есть сопряженный кооператору (-Д+^'))0.Если при этом выполнено условие 5, то L = T (в условии 5 $еСГ(<Рк)1

Отметим, что ограничение 76) сугубо локальное, и совсем не обязана быть подчиненной а в случав условие 76) не нужно. Теорема 1.9 обобщает соответствующие результаты Т.Като [87], И.Ноулса [89], Д.Фортунато [82], В.Ф.Коваленко, М.А.Перель-мутера и Ю.А.Семенова [90], а в случае вещественного дает новые достаточные условия существенной самосопряженности минимального оператора. В случав вещественного Ю.Б.Орочко [50,51] получил близкий по смыслу результат, где в условии 5 допускается t=0, однако локальные ограничения на (^сильнее, чем у нас: ^Z^&c, Этот случай охватывается нашими условиями, но не охватывает их. В частности, наши условия допускают наличие у ^д/-^) сингулярностей типаj^jz. Поскольку "размеры" множеств U~2 в условии 7 могут произвольно уменьшаться при <ро (в работах Ю.Б.Орочко проводится равномерная локализация), в нашем случав сингулярности С!^) могут сгущаться к бесконечности (например, О *

Во второй главе рассматриваются вопросы существенной самосопряженности и совпадения минимальных и максимальных расширений для обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка, а также смежные вопросы о разделимости оператора Штурма-Лиувилля. Остановимся подробнее на результатах.

В §2.1 приводится полное доказательство двух лемм типа теорем о дифференциальных неравенствах С.А. Чаплыгина (см. [б]) о свойствах положительных решений и функций Грина однородного уравнения Штурма-Лиувилля -у = 0 на вещественной оси 00 > +

Эти леммы существенно используются нами в дальнейшем, поэтому хотя основные положения этих лемм известны, ввиду того что в известной литературе подобные утверждения в необходимой нам форме отсутствуют ([27], [29], [33], f42], [67J, [бв], [б9], [70 J ) для замкнутости изложения мы приводим доказательство полностью.

В §2.2 рассматривается задача о разделимости оператора Штурма-Лиувилля у--у"уе^ьсС/Ю (о.ю) действующего в L р СЮ 00 7 и определенного на (плотном в случае i^p < ) множестве {^L^nhcLCihe^eLpUO} <о.ш

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор (O.IO)-(O.II) называется разделимым в пространстве LpUR), l^p^ °° , если для l/tf^DC^) y"t=LpUR) И eLp(№).

Приведем основную теорему §2.2.

ТЕОРЕМА 2.1. Оператор £ (O.IO)-(O.II) всегда разделим в LtCR) .

СЛЕДСТШЕ (теорема 2.2). Если оператор £, (O.IO)-(O.II)

разделим в пространстве Lpa(R), L < /Л £ ^ , то £ разделим во всех пространствах (R) г L<p<po .

Задача о разделимости оператора Штурма-Лиувилля в LP OR) изучалась в работах советских и зарубежных математиков. За рубежом это работы В.Н.Эверитта, М.Гирца С? 8], [7 91 , а в Советском Союзе работы учеников Б.М.Левитана и А.Г.Костюченко -М.Отелбаева , К.Х.Боиматова , М.Б.ОДуратбекова Д.С.^думабаева и Р.А.Медетбековой и других.

В вышеуказанных работах обычно предполагалось, что Се^с (Ю, поэтому задача заключалась в нахождении достаточных условий на поведение ^ на бесконечности. Наименее ограничительные достаточные условия разделимости ранее были получены в пространстве L^ (Я) . Эти условия требовали определенных ограничений на характер роста и колебания

Cj^(x) на бесконечности. При рФЛ. ранее известные достаточные условия разделимости оператора (о.ю) в пространстве были более жесткими, чем в

U (Ю Как показывает теорема 2.1, гильбертовость исходного пространства не играет решающей роли в задаче о разделимости оператора Штурма-Лиу-вилля, "естественным" в данной задаче является пространство L± (/Я) , где на С^Сос.) не надо накладывать никаких дополнительных ограничений на бесконечности.

Приведенная теорема 2.2 позволяет распространить известные достаточные условия разделимости оператора / в L^ (R^S^) на все пространства LpCR), L<p <х , и достаточные условия разделимости оператора £ ъ L^ Г//?)[2.1]на все пространства Lp (/R)y 2<р < » а кроме того показывает, что известные примеры неразделимых в Lx(/R) операторов Штурма-Лиувилля одновременно являются примерами операторов, неразделимых в Lp(lR) , Z^P*^ .

В §2.5 теорема 2.1 обобщается на случай нелинейного оператора Штурма-Лиувилля. Приведем точную формулировку результата:

Рассмотрим уравнение ^UCld). (0.12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция yetiM) ПС вое (7^,) называется слабым решением уравнения (0.12) если существует последовательность функций [ ijrn } G- Li (1Ю таких что для любого П >0 найдется номер т(п) : ¥т> т(п) ут<£ АС1[-п,пз,

Приведем простое следствие из основной теоремы. СЛЕДСТВИЕ 2.36. Если >,8>0> q.C^^'^i^-^C^yh ^е^ЬсСййЦг&фнепрерывна по совокупности переменных на каждом компактном подмножестве Я * /Я » то уравнение (0.12) всегда имеет слабое решение Цо ^ Ll (&0 и для всякого слабого решения Lj уравнения (0.12) имеет место

Метод доказательства существенно использует разделимость линейного оператора и модификацию одного метода работы М.Б.Му-ратбекова и М.Отелбаева , где исследовалась гладкость решении о. 12)в LX(R) при этом на С^ (ОС) Lj) накладывались дополнительные ограничения на характер роста, колебания, характер "нелинейности" по у .

Использование оценок §2.1 позволило существенно упростить методику доказательства и рассмотреть в отличие от случай не обязательно непрерывного

Оператор^). 12^в С (ft)рассматривался в работе [43]. Дифференциальные свойства решений нелинейных уравнений в ограниченных областях: рассматривались,например, в С 32 Ц , [37], £60j.

В § 2.3. рассматривается вопрос о существенной самосопряжённости в С IfO минимального симметрического квазидифференциального оператора вида & fg) W (0.13)

Р (X) >0, p. (X) >0ipiCx) »0;(I£ I

В^случае Л^З оператор (0.13) охватывает операторы вида Z, jfi^c?)(р0М( ' f гладкими коэффициентами).

Приведём ослабленный результат теоремы 2.5.Обозначил ч-stt ты

На (-<») -аналогичныз константы > ^s (»/,«.

Если = Гp2(t)dt = оо , д'А <^ >+ffirA7} ££ ^ я00 то минимальный оператор (0.13) существенно самосопряжён.

Как известно, в отличие от оператора Штурма-Лиувилля, п. . ^ ^ j ^ при tl^Z для оператора 1хи = 2 CpS^ ) "д->0,из положиi=t? тельной определённости не следует, вообще говоря,его существенная самосопряжённость. Контрпримеры приведены в f£3] и . Вместе с тем в работах Р.С.Исмагшюва [22~] А.Г.Брусенцева и Р.С.Рофе-Бекетова[/^/5], Х.Курсса и Г.Мейера C9i], Р.М.Кауф-фмана [8Я] , В.Эванса и А. Цеттяа С7/Jи других были найдены достаточные условия существенной самосопряжённости для широких классов операторов вида с l-ojt.Эти условия допуская цроизвольное поведение рп, (jc), требовали от коэффициентов pi(x)tl&i&n-i /'подчиненности" ра(х), накладывались некоторые ограничения на рост и колебания pi (х), (либо глобальные,либо на последовательности интервалов ходящих в бесконечность). Более быстрый рост коэффициентов при промежуточных производных рассматривался Л.И.Аникеевой [2 ] для опев /J\n-,.(.2n) /у\n-ic /^et.Xn-iOsCn-K) ок ратора вида </ J ь (-1) cl(x ^ )

В работах А.Девинатщ [75], Е.А.Касымова, М.Отелбаева (24] и Е.А.Касымова £%5]для оператора четвертого порядка вида ti было показано,что сколь угодно большой рост и колебание на бесконечности не влияет на существенную самосопряжённость. Метод [?5"Лбыл целиком приспособлен для четвертого порядка. В работах Е.А.Касымова и М.Отелбаева £24,2^рассматривался оператор e^ft^f-faCfi')' ( в С^С30)>ЩЧ6Сибыло доказано,что £ъ существенно самосопряжён,если он положительно определён на С<ГИЮ .В работе К.0спановаС52]такой результат был получен для оператора шестого порядка * р^Я^ргУ) 111)11 тех же Усло~ виях на р и ty . Теорема 2.5. обопрет результаты Е.А.Касымова и М.Отелбаева С24], Е.А.Касымова [25], К.ОспановаГ52],и показывает, что для существенной самосопряжённости минималыюго оператора вида не нужно подчинения коэффициента р±(х-) крайним коэффициентам /э0(Х) и рп(х)-,т /Dj(r) , не накладывается никаких ограничений "сверху",наоборот,требуется,чтобы хоть один из коэффициентов ^(а^'=0или1)был"под-перт"снизу достаточно быстро растущей на бесконечности функцией, при цроизвольном поведении второго коэффициента. В случаекогда р0(х)ъ8 >0 но не слишком быстро растет на бесконечности (и не обеспечивает существенной самосопряжённости ( 0.13))использование функции Cj/fe), введенной М. Отелбаевым [53], позволяет допустить в выражении (0.13) сильную осцилляцию рх(Х). Данный результат является новым и для оператора четвертого порядка. Приведен ряд примеров.

Из примера, построенного в ^88J, следует, что оператор где p(x)^IXl^(X)=j3MuJxlH; р(х)>17y(X)>0) pfye C^ffljnpn некоторых fi и A >G несамосопряжен в существенности на С0 (Ю . Вместе с тем по теореме 2.5 оператор ^ у ~ '(р^У^) существенно самосоцряжен на Со (Я), а оператор бесконечно мал в сшсле форм по сравнению с . Кроме того, если рсх)^\х\} ty(x)=fl\X\ при IS^maxCGjU^-i), то по теореме 2.5 Р5 существенно самосопряжен на Со (/Я)т, как известно, оператор l7LJ~-fjС^(х)ij существенно самосопряжен при Это говорит о том, что не самосопряженность в существенном оператора вызвана не слишком быстрым ростом р(Х)на бесконечности, а специальным соотношением между р(Х)жЦ(Х).

В случав соответствует операторам четвертого и шестого порядков, рассмотренным в f24], [25],[52]), в §2.4 рассмотрен вопрос о СММО, порожденных выражением (0.13) с гладкими коэффициентами. В случае р £ Z мы уже не могли использовать общие теоремы теории индексов дефекта и, кроме того, из положительной определенности оператора в сшсле форм уже не следует наличие ограниченного обратного в

LPW

Полученные достаточные условия СШО также требуют, чтобы pi(X)6mo "подперто" снизу достаточно быстро растущей на бесконечности функцией, но на подпирающую функцию накладываются некоторые условия "регулярности".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гриншпун, Эдуард Зиновьевич, 1984 год

1. Александрии P.А., Березанский Ю.М., Ильин В.А. Достючен-ко А.Г- Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными.- В сб.: Дифф.уравн. с частн. произв. Тр.симпоз. посвящ. 60-летию акад. С.Л.Соболева. М.:Наука,1970,с.3-32.

2. Аникеева Л.И. Об индексе дефекта одного дифференциального оператора высшего порядка.- Успехи мат.наук,1977,32I, с.179-180

3. Апышев О.Д.,0телбаев М.О. О спектре одного класса дифференциальных операторов и некоторые теоремы вложения. Изв.АН СССР.Сер.матем. ,1979,43,4,с.739-764.

4. Ахиезер Н.И ,Глазман И.М. Теория линейных операторов в гиль' бертовом цространстве. Харьков.: Выща школа,Т.I.,1977, 316с.,т.II., 1978.- 288 с.

5. Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач -Мат.сб., 1961,55 /97/,с. 125 174.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М. :Физ-матгиз, 1962.-639с.

7. Бесов О.В.,Ильин В.П.,Кудрявцев Л.Д. ,Лизоркин П.И.,Никольский С.М. Теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных. В кн.: Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1970,с.1-252.

8. Бирман М.Ш-, Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.Л.:Изд.ЛГУ, 1980.-264с.

9. Бирман М.Ш.Павлов Б.С.О полной непрерывности некоторых операторов вложения.- Вестн.ЛГУ.Сер.мат. ,мех. ,астр ,1961, № I, с.61-64.Ю.Березанский Ю.М.Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. К.:Наукова Думка,1965.-798с.

10. Березанский Ю.М.,Самойленко В.Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения.-Успехи мат.наук, I98I,t.36,b.5,c.3-50.

11. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости для операторов Штурма-Лиувилля .-Мат.заметки,I973,т.143,с.349-359.

12. Брусенцев А.Г. Некоторые вопросы качественного спектрального анализа несамосопряжённых эллиптических систем произвольного порядка.-Мат.физ.и функц.анал.,1973,вып 4,с.93-116.

13. Брусенцев А.Г. ,Рофе-Бекетов Ф.С. Самосопряжённость эллиптических операторов высокого порядка.-Функц.ан.и прил.1973, 7/4,с.78-79.

14. Брусенцев А.Г.,Рофе-Бекетов Ф.С. Условия самосопряжённости сильно эллиптических систем произвольного порядка.-Мат.сб.,1974,195 / 137 /,# I,с.108-129.

15. Вайнерман Л. И. О самосопряжённости абстрактных дифференциальных операторов гиперболического типа- Мат.заметки, 1976,20, В 5,с. 703-708.

16. Владимиров B.C. Обобщённые функции в математической физике. М.:Наука, 1979.-318с.

17. Гехтман М.М. О самосопряжённости абстрактных дифференциальных операторов.- Мат.заметки,1969,т.6, № I,с.65-72.

18. Гимадисламов М.Г. Об условиях самосопряжённости дифференциального оператора высшего порядка с операторным коэффициентом.- Мат.заметки,1969,т.5,№ 6,с.697-703.

19. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных уравнений эллиптического типа в цространстве вектор-функций. У1ф. матем. журн., 1976, т.28, Л 6, с.323-335.

20. Джумабаев Д.С., Медетбекова Р.А. О разделимости линейного дифференциального оператора второго порядка. Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1983, й 5, с.21-26.

21. Исмагилов Р.С. Об условиях самосопряженности дифференциальных операторов высшего порядка. ДАН СССР, 1962, т. 142,6, с.1239-1242.

22. Исмагилов Р. С. О самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля. Успехи матем.наук, 1983, 18, $ 5, с.161-166.

23. Касымов Е.А., Отелбаев М. О существенной самосопряженности одного дифференциального оператора. Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1979, № I, с.20-23.

24. Касымов Е.А. Достаточное условие существенной самосопряженности дифференциального оператора. Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1980, 3, с.40-44.

25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

26. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Иностранная литература, 1958. -474 с.

27. Коваленко В.Ф., Перельмутер М.А., Семенов Ю.А. Точные константы в некоторых классических /^-неравенствах и вопросы спектральной теории операторов Щредингера. Успехи матем. наук, 1979, т.34, вы.4, с.153-154.

28. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Расцределение собственных значений. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1979. - 399 с.

29. Кочубей А.Н.О самосопряжённости и характере спектра некоторых классов абстрактных дифференциальных операторов.-Укр.мат.ж.,1973,т.25,№ 6,0.811-815.

30. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.:Наука,1967.-464 с.

31. Ладыженская О.А. ,Уральцева Н Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука,1973.-538 с.

32. Левитан Б.М.,Саргсян И.О. Введение в спектральную теорию. Самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы. М.:Наука,1970.-672с.

33. Левитан Б.М.,0телбаев М.О существенной самосопряжённости операторов Шредингера и Дирака.-ДАН СССР,т.235, № 4,с.768-771.

34. Левитан Б.М., Отелбаев М. Об условиях самосопряжённости операторов Шредингера и Дирака.-Тр.Моск.мат.об-ва,1981, т.42,с.143-159.

35. Лидский В.Б. Несамосопряжённый оператор Штурма-Лиувилля с дискретным спектром.-Тр.моек.мат.об-ва,I960,т. 9,с.45-80.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир,1972.- 458 с.

37. Мартынов В.В. Прямые методы качественного спектрального анализа несамосопряжённой системы дифференциальных уравнений первого порядка. 1.-Дифф.Ур.,1968,4,8,с.I494-I508.il.-Дифф-ур.♦ 1968,4,12, с.2243-2256.

38. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения К.:Наукова Думка,1977.-331 с.

39. Марченко В.А. Друслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей.К. :Наукова Думка, 1974.-280 с.

40. Мазья В.Г. Емкостные оценки сильного типа.-Зап.научн. семин. Ломи, 1977, с.161-1в8.

41. Массера Х.Л. ,Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М. ;1970 456 с.

42. Медетбекова Р.А. Об ограниченности решения и его производных нелинейного дифференциального уравнения П порядка -Изв.АН КазССР,Оер.физ.-мат.,1983,J£ 3,с.72-76.

43. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.:Мир,1977 504 а.

44. Муратбеков М.Б., Отелбаев М. О гладкости решения нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля.- В кн. :Математика.Тез.докл. 711 Каз.межвуз.конф. по мат.мех.Караганда,1981,с.34-35.

45. Мынбаев К.Т. Об условиях самосопряжённости оператора Дирака.-Изв.АН КазССР,Сер.физ-мат.,1977,Л 3,с.36-40.

46. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М: Наука, 1969.-526 с.

47. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М. :Наука, 1977.- 455 с.

48. Орочко Ю.Б. Замечание о существенной самосопряжённости оператора Щредингера с сингулярным потенциалом Мат.заметки, 1976, т.20, В 4, с.571-580.

49. Орочко Ю.Б. К теории самосопряжённых операторов,порождённых сильно сингулярными выражениями второго порядка диверент-ного вида.- Функц.ан. и прил., 1982, т.16, $ 3, с.80-82.

50. Орочко Ю.Б. Самосопряжённые реализации дифференциальных выражений типа Щредингера с сильно сингулярным потенциалом.-Успехи мат. наук., 1983, т.38, вып.5, с.137-138.

51. Оспанов К. Условия самосоцряжённости дифференциальногооператора У1 порядка,- В кн.'Математика.Тез.докл.УП Каз меж-вуз.конф. по мат. и мех. Караганда,1982,с.38.

52. Отелбаев М. Оценки спектра эллиптических операторов и теоремы вложения, связанные с ними:Дис.на соиск.уч.ст.докт. физ-матем.наук:М. :МГУ, 1977, 324с.

53. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности оператора Шредин-гера с операторным потенциалом.-Укр.мат.ж. ,1976,т.28,№5,с.763-771.

54. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в /й^ Тр.мат.инст.им.Стеклова, 1983, т.161, с.195-217.

55. Отелбаев М. О суммируемости с весом решения уравнения Штур-ма-Лиувилля.-Мат.заметки,1974,т. 16,J£ 6, с.969-980.

56. Отелбаев М. 0 гладкости решений уравнения Штурма-Лиувилля-Изв.АН КазССР ,Сер.физ-мат. ,1977, №5, с.45-48.

57. Павлов Б.С. 0 несамосопряженном-операторе Lj"+ на полуоси.-ДАН СССР,1961,т.146, &2, с.807-810.

58. Повзнер А.Я. О разложении произвольных функций в терминах собственных функций оператора -AU + С Ц. -Мат.сб. ,1953, т.32, /74/ с.109-156.

59. Похожаев С.И. .0 нормальной разрешимости нелинейных уравне-ний.-ДАН СССР, 1969, т. 184, JEE, с.40-43.

60. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.I.функциональный анализ.М.:Мир,1977 -357с.Д.П Гармонический анализ. Самосопряженность.М. :МирД978 395 с.

61. Треногин В.А. функциональный анализ.М. :Наука,1980 495 с.

62. Рофе-Бекетов Ф.С. О позитивных дифференциальных операторах. Препринт ФТИНТ АН УССР. 23-83, Харьков, ФТИНТ АН УССР,1983, 21 с.

63. Рофе-Бекетов Ф.С., Холькин A.M. Условия самосопряженности операторов эллиптического типа второго порядка общего вида. Теор.функц., функцион.анализ и их прил. Харьков, 1973, т.17, с.41-51.

64. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 255 с.

65. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. - 342 с.

66. Титчмарш ЭЛ. Разложения по собственным функциям, т.п. -М.: Иностранная литература, 1961. 556 с.

67. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

68. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

69. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. -477 с.

70. J)eirtnatz A Positive, definite fouitA ozdez dUkxjtntuxiopezatozs. II. J. London MaiA.SQC.,lW,2ser,UI0,fi/3,p.3O9-3l3.

71. Huxss H.jMeyer Ximii-potnt criteria Sot zeaC sym-yyiettLC cliHeurfttai eocpussCon? of ozder Лп.- Pxoc. Roy. Uc. ddinia^k; 191 i, Aii, л/i p. 203-201.

72. Гриншпун Э.З. 0 существенной самосопряженности одного класса обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15 июля 1983. $ 3968-83,6 с.

73. Гриншпун Э.З. Совпадение минимального и максимального расширений для оператора I порядка в Lp, В сб.: Дифференциальные уравнения и их приложения. Алма-Ата, 1984, с.52-64.

74. Гриншпун Э.З. О совпадении минимальных и максимальных расширений оператора Щредингера с операторным потенциалом в Z^. -В сб.: Строительная механика пластин и оболочек. Караганда,1983, с. 79-81.

75. Гриншпун Э.З. Теоремы локализации в задаче о совпадении минимального и максимального операторов первого из второго порядка.-Тез.докл. УШ Казахст.межвуз.конф.по мат.и. мех. Алма- Ата, 1984 ,с.15.