Спектральный анализ некоторых классов операторов Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бучаев, Яхья Гамидович

• Бучаев, Яхья Гамидович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бучаев, Яхья Гамидович

Стр.

Введение 2

Глава I. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке в зависимости от гладкости коэффициентов 28

§ 1. Подготовительные леммы 28

§ 2. Доказательство теоремы 1.2.1 30

§ 3. Доказательство теоремы 1.3.1 58

Глава II. Исследование спектральных характеристик некоторых операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси 66

§ 1. Подготовительные леммы 66

§ 2. Исследование дискретной компоненты спектра оператора н{е) 78

§ 3. О разложении ПРОИЗВОЛЬНЫХ фуНКЦИЙ ИЗ ¿2(-оо;+оо) по спектру задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса

Глава III. Исследование спектральных характеристик некоторых операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на полуоси

§ 1. Изучение дискретной компоненты спектра

§ 2. Разложение произвольных функций из 12(0;+оо) по спектру оператора Н+ (е)

Глава IV. Задача рассеяния на потенциалах нулевого радиуса

§ 1. Постановка задачи и формулировка основных результатов 114

§ 2. Доказательство теоремы 4.1.1 117

§ 3. Доказательство теоремы 4.1.2 119

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ некоторых классов операторов Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами»

При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольных функций в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.

Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряжённых дифференциальных операторов в последние десятилетия. Оказалось, что ряд важных случаев изучения ^-функции (одного из основных объектов, характеризующих поведение кванто-во-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию

1(у) = -/(*) + Ч(х)у(х) = Лр(х)у(х) » (а < X <Ь) ,

0.1) ь у2 (х) р(х)сЬс = 1

0.2) а в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р(х) > 0, а функция q(x) - вещественнозначная).

Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления» у(а) = у(Ь) = 0. (0.3)

Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [88] и Лиувилля [79], а также цикл работ В.А.Стеклова [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия

0 <т< р(х) < М (0.4) было установлено:

1. Существует счётное множество собственных чисел Хп спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой + со;

2. Все собственные числа вещественны и при п —> +оо f V к Я jjpitjdt а п2 ; (0.5)

3. Совокупность всех нормированных собственных функций спектральной задачи (0.1)-(0.3) равномерно ограничена, то есть sup max | ип (х)| < с0. (0.6)

Заметим, что условие (0.6) позволяет, в частности, получить разложение произвольных функций в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям спектральной задачи (0.1)-(0.3).

Все эти результаты были получены, в основном, путём применения асимптотических методов исследования решений дифференциальных уравнений при большом значении Я » N, развитых Лиу-виллем [79], Биркгофом [75, 76] и Я.Д.Тамаркиным [67].

Резюмируя итоги этих работ, можно сделать вывод о том, что в случае достаточно гладких коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия (0.4), спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля качественно совпадают со спектральными свойствами простейшего оператора (д(х) = 0,р(х) = 1), рассмотренного ещё Фурье.

Этот же вывод остаётся в силе и для более общих граничных условий, лишь бы они обеспечивали самосопряжённость спектральной задачи. В XX столетии самосопряжённая спектральная задача Штурма-Лиувилля вновь привлекла внимание многочисленных исследователей [22], [50], [54]. Эта задача (и различные её обобщения, связанные прежде всего с рассмотрением бесконечного интервала (а, Ь) и обратными задачами спектрального анализа [40], [49]), была включена в спектральную теорию самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, что позволило [40] снять классические условия гладкости на коэффициенты уравнения (0.1).

В частности, М.Г.Крейн [49] показал, что формула (0.5) сохраняется при весьма общих предположениях на весовую функцию р(х).

В.А.Ильин и Н.Ио [45] показали, что если р(х) = 1, q(x) е Ё{а,Ъ), то для нормированных в Ь1 (а, Ь) собственных функций любого самосопряжённого расширения минимального оператора, порождённого дифференциальным выражением /(у), справедлива оценка (0.6).

В 1983 году М.М.Гехтманом, В.Я.Якубовым, Ю.Загировым [32] было установлено, что уже в классе непрерывных весовых функций формула (0.6) не верна, а имеет место неулучшаемая оценка шах|м„(х)| . (0.7) а

Затем было выяснено [33], что оценку (0.7), вообще говоря, нельзя улучшить даже на произвольном компакте \а,/3\ е \а,Ь\, и что существует всюду плотное в С[а ^ множество весовых функций р{х), ассоциированные с которыми нормированные собственные функции ип (х) спектральной задачи Штурма-Лиувилля (0.1 )-(0.3 ) качественно отличаются от случаев собственных функций, соответствующих гладким весовым функциям. Следует особо отметить полученные в последнее время результаты В.Я.Якубова [72], [32], а также Г.А.Айгунова [6] - [9], в которых получены оценки собственных функций в соответствующих классах, значительно ослабляющих условия на весовую функцию:

1) Впервые доказано [28], [49], что оценка (0.6) справедлива и для некоторых классов весовых функций неограниченной вариации, более того, доказан критерий равномерной ограниченности системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля [38];

2) Доказаны теоремы [41], указывающие максимально возможный рост системы собственных функций в зависимости от гладкости весовых функций, причем эти результаты перенесены на полулинейный случай оператора Штурма-Лиувилля [44].

Отметим также работы М.М.Гехтмана (мл.) [34], [35], в которых получены двусторонние оценки для собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля в случае весовой функции р(х) е Ыр(а, ТУ).

Все вышеуказанные результаты получены при условии конечности области задания и определённой гладкости коэффициентов уравнения (0.1). Если область задания: ;бесконечна или коэффициенты уравнения не суммируемы (или и то и другое), то задача Штурма-Лиувилля относится к так называемому сингулярному случаю, основы которого были заложены Германом Вейлем в его известных работах [84] - [86].

Сингулярные дифференциальные операторы могут иметь уже не только дискретный спектр, но и непрерывный, в связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стильтьеса.

Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э.Шредингеру, опубликовавшему в 1926 году две краткие заметки [87], в которых был заложен математический фундамент квантовой механики.

Задачи на определение энергетического спектра конкретных систем, изученные после этого в различных работах по квантовой механике, стали решающими для дальнейшего развития теории сингулярных дифференциальных операторов.

Результаты первостепенной важности были получены М.Г.Крейном, Э.Ч.Титчмаршем, Б.М.Левитаном, М.А.Наймарком. Эти работы подытожены в монографиях [70, 49, 54, 57].

Однако, несмотря на эти фундаментальные результаты, проблема спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов ещё далека от завершения даже в одномерном случае.

Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения спектра и его кратности в зависимости от свойств коэффициентов уравнения. Особенно мало разработаны эти вопросы для случая операторов с обобщёнными периодическими коэффициентами.

Класс таких операторов Штурма-Лиувилля возникает в одном из разделов квантовой механики, а именно при описании одномерных кристаллов и полимерных молекул в рамках простейших квантово-механических моделей [14, 46, 58, 68], которые с математической точки зрения сводятся к изучению спектральных характеристик в £2(-оо;+со) уравнения

- у" + q{x)y = Хр(х)у , х е (- со;+со) . (0.8)

В уравнении (0.8) функции р{х) и q{x) - вещественные, периодические с периодом, равным со > 0, функции, причём р{х) > 0.

При условии суммируемости функции ц{х) и р(х) = 1 спектральные характеристики уравнения (0.8) были исследованы Э.Ч.Титчмаршем в его монографии [70], в которой было установлено:

1. Спектр уравнения (0.8) полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

2. Спектр уравнения (0.8) состоит из объединения отрезков (зон) Aj, разделённых интервалами (лакунами) Т ;

3. Число лакун, вообще говоря, бесконечно;

4. Длина лакуны Т асимптотически при у оо стремится к нулю;

5. Произвольная функция /(х)е £2(-оо;+оо) может быть представлена обобщённым интегралом Фурье, как суперпозиция решений уравнения (0.8), соответствующих непрерывному спектру, оо совпадающему с множеством Л = У Ау .

7=0

В дальнейшем, полагая, что периодический потенциал ¿/(х) является гладкой функцией, был уточнён порядок стремления к нулю длины лакуны Т. (у —> со) В.А.Марченко и И.В.Островским [55], а также найдены необходимые и достаточные условия на потенциал q{x), при которых спектр уравнения (0.8) состоит только из конечного числа зон [39].

И.М.Гельфанд [24] (изложение его метода приводится в приложении к книге [70], написанном В.Б.Лидским) предложил новый метод разложения произвольных функций по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, применимый к системам дифференциальных уравнений с частными производными.

В связи с некоторыми задачами теории твёрдого тела М.М.Гехтман и И.В.Станкевич [26], [28] исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщённым периодическим потенциалом вида

0{х,£) = ц(х) + £ • ^8[х-п), х е (- оо;+оо) . (0.9) п = - оо

В формуле (0.9) б - произвольное вещественное число, а ¿>(х)-функция Дирака. Потенциал (0.9) при ¿/(х) = 0 впервые был введён Р.Кронигом и В.Пенни в работе [78].

М.М.Гехтман и И.В.Станкевич показали, что в случае обобщённого потенциала Кронига-Пенни (0.9) для уравнения (0.8) остаются справедливыми все утверждения теории Э.Ч.Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины лакуны Т (у —» оо).

Показано [26], [28], что в случае е ф 0 число лакун в спектре бесконечно и асимптотически при у —> со длина лакуны Т стремится к пределу, равному с0 •¡¿,|, (с0 > 0).

М.Г.Гасымов и Р.З.Халилова в работе [37] выяснили, что в случае уравнения (0.8), где функция р(х + 1) = р(х) > О определена формулой ч [у2, 0

Ах) = \л ^ ,

1 , а

Необходимо отметить, что в случае конечного промежутка спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом, являющимся производной от функции ограниченной вариации (включая и решение в терминах двух спектров обратной задачи спектрального анализа) были изучены В.В.Жиковым в [40].

Наряду с изучением спектральных характеристик уравнения Хилла (0.8) и различных его обобщений, значительные усилия были направлены на изучение спектра возмущённого уравнения Хилла.

Это возмущение может быть описано либо введением в уравнение (0.8) добавочного периодического потенциала Р(х), либо рассмотрением уравнения Хилла на полуоси.

В последнем случае к уравнению (0.8) должны быть присоединены в граничной точке х = 0 некоторые краевые условия, которые обеспечивают самосопряжённость спектральной задачи на полуоси.

Эти исследования были обусловлены в значительной степени задачами квантовой механики и квантовой химии. Отметим прежде всего ставшую классической работу И.Е.Тамма [68], в которой была рассмотрена спектральная задача для уравнения Шредингера с потенциалом

0 , х < 0 , оо х>0

Q0(x,s,v) = п=1 и впервые было указано на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских состояний) в лакунах Т .

Появление дискретной компоненты спектра в лакунах Т , обусловленное граничными условиями или возмущением периодического потенциала q{x) слабым возмущением Р(х), было математически обосновано в работах [41], [43], [44], [55].

Начиная с работы И.Е.Тамма [68], в физической литературе по теории твердого тела [14], [53] значительное внимание уделяется поверхностным состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время.

При исследовании свойств кристаллов, связанных с влиянием границы, возникает задача изучения в L2 (- со;+да) спектра уравнения

-y" + Q(x,s,P{x))y = Äp(x)y , хе(-оо;-нх>). (0.10)

В формуле (0.10) потенциал Q(x,s,P(x)) определён соотношением

Р(х) , х < d , оо q(x) + s -хп), x>d.

Q(x,s,P(x)) = n=l

В формуле (0.11) б, d, хп - вещественные числа, Р(х) - вещественная функция, хп =n + d, q(x +1) = q(x) при х > d, функция р(х +1) = р(х) > 0 достаточной гладкости, функция q(x) - кусочно-непрерывная.

Спектр задачи (0.10) при условии Р(х) = v = const, р{х) =1, d = 0, был изучен М.М.Гехтманом и И.В.Станкевичем в работе [30].

Случай d = - оо, р{х) = 1, хп=п, у'(о) - h • ^(о) = 0, где h-произвольное вещественное число был также изучен М.М.Гехтманом и И.В.Станкевичем [28], где было указано необходимое и достаточное условие существования собственных чисел, но лишь при h = оо, то есть краевого условия у(0) = 0.

В случае же h Ф со спектр задачи (0.10) изучался С.С.Алхасовой в работе [11].

В случае Р(х) = оос, d = 0, а- вообще говоря, комплексное число, S(x)- функция Дирака - спектр задачи (0.10) изучен А.Д.Назаровым в его работе [51].

В случае, когда р{х) = 1, d = 0, хп = п (п = 1,2,.), g(x + l) = q{x) - вещественная, кусочно-непрерывная функция, £)(х)-функция Дирака, а Р{х)~ функция, удовлетворяющая условиям:

1) \Р(х)\ при х -оо;

0.11)

2) Р'(х), Р"(х) не меняют знака в (- со;х0) при достаточно большом по модулю х0 (х0 < о);

3) при х -оо

Щх)| = о|р(х)|с), О <с<|;

4) если Р(х) —> -оо ири х -» -оо, то 1

ЛР(х)р^х: = оо,

-со спектр задачи (0.10) был изучен Киттинявонгом Тхепсаван в работе [45].

В случае же, когда Р(х) при х < 0 представляет собой вещественную, периодическую, с периодом, равным единице, кусочно-непрерывную функцию, спектр задачи (0.10) был изучен С.Пхоммасон в работе [53].

В последние десятилетия проводится детальное исследование некоторого класса решаемых моделей квантовой механики, а именно моделей, задающихся оператором Шредингера с потенциалом, сосредоточенном на дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек (источников). Модели с точечными взаимодействиями такого рода являются решаемыми в том смысле, что для них можно явно определить резольвенты в терминах интенсивностей взаимодействия и координат источников. В результате спектр, собственные функции, равно как резонансы и характеристики рассеяния так же могут быть явно определены. Модели указанного типа уже широко обсуждались в физической литературе (см. библиографию в [10]), посвященной задачам атомной и ядерной физики и физики твёрдого тела.

Выше мы уже упоминали о работах М.М.Гехтмана и И.В.Станкевича [26], [28], где авторы исследовали спектр дифференциального уравнения Хилла с точечным 8 -потенциалом, сосредоточенном на счётном множестве точек, в терминах самосопряжённых расширений симметрического оператора Н = -у", определённого в \ I), где Z- множество целых чисел, причём авторы рассмотрели случай обобщённого периодического потенциала вида (0.9).

А.Д.Назаров [60] исследовал спектр дифференциального уравнения Хилла с обобщённым периодическим потенциалом вида оо д(х,е) = д(х) + е- » х е (-оо;+со), (0.12) где £ - константа связи, а ¿>'(х) - точечное взаимодействие, описываемое в терминах самосопряжённых расширений оператора Н = -у", определённого в \ 2), которое в физической литературе именуется потенциалом "нулевого радиуса". А.Д.Назаров показал, что в случае обобщённого периодического потенциала (0.12) для уравнения (0.8) остаются справедливыми все утверждения теории М.М.Гехтмана и И.В.Станкевича, кроме утверждения о стремлении длины лакуны к конечному пределу. Показано [60], что в этом случае длина лакуны Т стремится к бесконечности.

Приступим к подробному изложению содержания диссертации, состоящей из введения и четырёх глав.

Пусть числа р> 0, тиМ(0

В множестве С+[oj] введем обычную С - метрику и будем в дальнейшем называть функции, принадлежащие классу C+[o,ij, весовыми функциями. Пусть также Н^у класс функций f(x), определенных на сегменте [0,1] и удовлетворяющих условию: l/M-zfeb^k-^r (°лз)

В соотношении (0.13) положено А > 0, 0 < а< 1, V xh х2 е [0,1].

Множество Н(а,А), определённое условием (0.13), назовем классом Гёльдера с показателем а и постоянной А

Рассмотрим задачу Коши, поставленную в точке х = 0 (р(х) е

С+[0,1],Л>0)

-у "(х) = Л р(х) у(х), 0 <х<1, (0.14) у (0) = а, у'(0) = Ъ, (а2 + b2 = 1). (0.15)

Как известно [44], решение данной задачи Коши существует и ограничено на [0,1], поэтому существует интеграл, определённый соотношением j{X,p{x),a,b)= . (0.16) о

В формуле (0.16) функция у(х) - является решением задачи Коши (0.14)-(0.15), которые будем обозначать иногда через у(х,Л,р(х),а,Ь), порой также опуская часть аргументов, как и у функции j(A,p(x),a,b).

В §2 главы 1 доказана следующая

Теорема 1.2.1. Пусть В(к) - произвольная функция, стремящаяся к +оо при X -»+оо произвольным образом, гу{х, X) - решение задачи Коши (0.14)-(0.15). Тогда:

ЧТО ч г \НХ>Ч1 л а) lim---— = 0

7 л^+оо , 1~а

B(Ä){J{X))~p я2р для любой весовой функции р (х) е Н{а А); б) существует А0 > 0 и весовая функция р0(х) е такие,

I у(х,Л,р0)Ц lim

Мл,Ро)рл2>

Я-»+со

Рассмотрим теперь спектральную задачу Штурма-Лиувилля:

-у "(х) = Л р(х) у(х), 0 < х < 1, (0.17) у(0)=у(1) = 0, (0.18) 1 р(х]у(х]Р с1х = \, (0.19) о где р(х)еС{0Л].

Известно [44], что все собственные значения данной задачи являются однократными и неотрицательными. Обозначим через А,и(р) иуи(х,р), соответственно, собственное число и соответствующую ему собственную функцию задачи (0.17)-(0.19).

В §3 главы 1 доказана следующая

Теорема 1.3.1. Пусть В{А,п) - произвольная функция, стремящаяся к +оо при А,п—>+оо произвольным образом, а уп(х, р) - собственная функция задачи (0.17)-(0.19), соответствующая собственному числу 1„(р).

Тогда: г 1И*,/>)||е л

1. 1ип---- = О и->+оо 1 а

ВЩК" что: для любой функции р(х) е ;

2. существует А0 > 0 и весовая функция ро(х) е такие, «0>Л>)||С , 1ш1 ---—— > А„ я:

1 -а 1-р

Рассмотрим теперь в Ь2{- а>,+оо) спектральную задачу

1\у]*-у' + 0[х,х)у = Лу, |х|<+оо, хфп (п = 1,2,-) , (0.20) у(л + 0) = у(л-0)зу(я) (и = 1,2,.), (0.21) у(п + 0)-у(п-0)=е-у'(п) (и = 1,2,.) . (0.22)

В формуле (0.20) функция определена соотношением: где д(х+1)=^(х)еС(0 +оо) - вещественная функция.

Обозначим через С0Ю0 - плотное в I2 (- со,+оо) множество всех достаточно гладких финитных функций, обращающихся в тождественный нуль в окрестности всех точек х = п (п = 1,2,.). В 1} (— оо,+оо) определим оператор ^ равенством

Яоо/(*)=/[/], /ее; . (0.24)

Оператор 500, определённый формулой (0.24), симметричен в Ь2 (- оо,+сю) и незамкнут [4]. Замыкание в метрике пространства 1} (- оо,+оо) обозначим через Я0. Я0 - симметрический оператор с бесконечными дефектными числами [4], определённый на плотном в 12(-оо,+оо) множестве поэтому он допускает [4] самосопряжённые расширения в гильбертовом пространстве

1} (- со,+оо).

Обозначим через £>(#(£•)) - множество функций из ¿2(-оо,+оо), которые удовлетворяют условиям (0.21)-(0.22) и, кроме того, предполагается, что /[у]е12(- оо,+оо), если у е 0(н(£)).

Определим в Ь2 (- аз,+оо) оператор Н(е) равенством Я(гг)/(х) = /[/], (0.25)

Очевидно, что 50 с н(е). Методом работы [60] показано что Н{е) является самосопряжённым расширением оператора в Х2(-оо,+оо).

Заметим, что условия (0.21)-(0.22) на физическом уровне строгости [10] можно формально учесть, рассматривая вместо дифференциального выражения (0.20) с потенциалом (0.23), дифференциальное выражение вида (0.26) В формуле (0.26) функция Я(х,е,у) определена соотношением у,* < 0,

О0

7=1

0.27)

В формуле (0.27) е - вещественное число, З'(х)~ «точечный потенциал» или «потенциал нулевого радиуса», действие которого описывается соотношениями (0.21)-(0.22), определяющими самосопряжённое расширение оператора $0. Рассмотрим уравнение

- /(*) + Ч(х)у = Лу , |х| < +оо. (0.28)

Пусть в{х,Х) и (р{х,Х) являются решениями задачи Коши для уравнения (0.28), которые, соответственно, определяются условиями: р(0,Л)=0'(0,Л)=0, (0.29) в(0,А)=

Как известно [70], решения задач (0.28)-(0.29), (0.28)-(0.30) 0(х,Л) и

Рассмотрим теперь уравнение у\=Лу, |х|<+оо, хфп (и = 1,2,.). (0.32)

Используя методы работы [60], получим, что уравнение (0.32) имеет при х>0 два линейно независимых решения 3(х,Л) и ф(х,Л), которые на [ОД] совпадают с функциями 0(х,л) и

Обозначим через

Р(л)=£-0'+0 + <р', (0.33)

-0' + в-

035)

0.36)

В формулах (0.33)-(0.36) положено

0 = 0(1 ,Л), <Р = ^(1Д), = 0'(1 ,Л), <р' =

Обозначим, далее, через Л]- корни уравнения Р(Л)+2 = 0, а через ¡л]-корни уравнения Р(Л) -2 = 0. Обозначим также через AJ и Ту - отрезки и интервалы, соответственно, которые расположены на веще-ственнои оси Л -плоскости и определены соотношениями

Л/'^Л

7 = 2 к ,к = 0,1,2,., , у = 2к + 1,к = 0,1,2,.,

-со;Я0),

Ту = • (//,,, //Д у = 2* +1, * = 0,1,2,.,

Л;1,Л;)^ = 2к , Л: = 1,2.

Интервалы Ту (у = 0,1,.) будем называть лакунами, а отрезки Лу (у = 0,1,.) будем называть зонами. Под замыканием вырожденной лакуны будем понимать соответствующую ей точку ЛJ или . Обозначим через - корень уравнения в' = 0, то есть а-] е 5, где 5 определено формулой (0.36). В [60] показано, что

-оо <Я0

Обозначим

Г = {Л\Ж(Л) = 0}.

В формуле (0.41) функция ЩЛ) определена соотношением В формуле (0.42) функция л/Я-у определена в комплексной плоскости Л с разрезом вдоль полуоси Я > V условием Iтл/Я-у >0, если 1тЯ > 0, а функция т2(л) определена из (0.34).

Введём также обозначения 1

0.38)

0.39)

0.40)

0.41)

0.42)

0.43) (0.44) (0.45) (0.46) и пусть <2,- подпространство в ¿2(-оо,+оо), натянутое на собственные функции оператора Н(е), а б2- его ортогональное дополнение. Оператор н(е), как это следует из общей теории [4], можно разложить в прямую сумму

В формуле (0.47) Н1 (е) 0 = 1,2) - самосопряжённые операторы, индуцируемые в пространствах £); (/ = 1,2) оператором Н{е).

В § 1 главы 2 показаны подготовительные леммы, которые необходимы для доказательства основных утверждений главы 2.

В §2 главы 2 построены два линейно независимых решения (//ДхД) 0' = 1,2) задачи (0.20)-(0.22) и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть 1ш Л ф 0, тогда существуют два линейно независимых решения задачи (0.20)-(0.22) у/х{х,л) и ^2(х,Д), аналитические по параметру Л при каждом фиксированном хе(-оо;+оо), причём ц/х (х,Л) е Ь2 (- оо;0), щ (х,Л) ё Ь2 (0;+оо), у2 (х,Я) е 1} (0;+°о), уг (х,Л) е 1} (- оо;0), и определяются формулами (2.1.19), (2.1.25).

Теорема 2.1.2. Пусть 1т Л ф0, /(х)е 12(-со;+да), тогда резольвента оператора н(е) существует и определена соотношением

Н(е)=Н1(е)+Н2(е).

0.47)

0.48)

В формуле (0.48) функция я(х,/Д) определена формулой

0.49)

В формуле (0.49) у>^х,Х) (у = 1,2) определены формулами (2.1.19), (2.1.25), а =

В §2 главы 2 исследуется дискретная компонента спектра оператора Н(е) и доказана следующая

Теорема 2.2.1. Справедливы следующие утверждения:

1. Подпространство конечномерно;

2. Дискретная компонента спектра оператора н{е) совпадает с множеством = {(Гп52)\£}, (0.50) где множества определены формулами (0.41), (0.44) и (0.46), соответственно;

3. Собственные числа оператора Н(е) однократны.

В §3 главы 2 исследуется непрерывная компонента спектра оператора н{е), а также получено разложение произвольных функций /(х)е 1} (— оо;+со) по спектру оператора н{е) и в этом направлении доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.3.2. Для любого сегмента Д = [а,р] вещественной оси, концы которого не принадлежат множеству и для любой функции /(х)е 12(-оо;+оо) справедливо равенство

0.51)

0.52)

В формуле (0.52) ск - вычет функции относительно её про стого полюса tkeTr\S2, множества Г,52 определены формулами (0.41), (0.44), а Е^д) - спектральное семейство, соответствующее самосопряжённому оператору Нх (г).

Теорема 2.3.3. Пусть р

E'2(A)/ = 1-S J Щ^-da U^o-m^/m ■ (0.53) я j дпл, alh i

В формуле (0.53) введены следующие обозначения

A,H=(l +{v-ct)Q2{ct), (0.54)

Теорема 2.3.4. Пусть Л >v, f(x)e C0(-co;+oo), тогда справедлива следующая формула

1 I

Е" (А)/ = ■— 2 J ^ГГТ • ^ (х> ^dcT f & fc + у дпт, ази i

I +00 7С дпл,

1. (Е2(А)/,/)=

0.55)

0.56)

В формуле (0.56) суммирование распространяется на сегменты Л. и интервалы Т;, имеющие с отрезком А непустое пересечение. Вектор-функция у/(х,

1/(х,

Функция А3(сг) определена равенством

Аъ(ст) = 1 + (

0 ,AeS2,

E'2(A)/,/),Ae515 (0.59)

Е" (А)/, /), А е [v;+co), где функции Е'2(а)/ иЕ"(А)/ определены формулами (0.53), (0.56), соответственно;

2. Спектр оператора Н(е) абсолютно непрерывен и совпадает с множеством S1 u [v;+qo), причём при X е у (l\ n [v;+oo)) кратj ность спектра равна единице и двум при X е у (Л7 n [v;+oo)). j

Теорема 2.3.6. Для произвольной функции /(х)е 12(-оо;+

Я J A//-»;v]M°') f A / \ \(f{x),y>2{x,a)fd(j +

П J tyn[v;+.) лзи

М+О0 —X Jt/cr j jV(x, сг), L(a)i//(t, a))2 f(t)f(x)dxdt. J Ayn[v;+co) —со—со

В главе 2, таким образом, изучены спектральные характеристики оператора H(s) в случае v ф +<х> и при р(х)=1.

Случай v = +оо, р(х) - не тождественная единица, соответствует следующей спектральной задаче в L2 (0;+оо)

-y"{x)+q(x)y{x) = Xp(x)y(x), х>0,хфп (п = 1,2,.), (0.61) у(0) = 0, (0.62) def у'(п + 0)= у'{п-0) = у'(п) (п = 1,2,.), (0.63) у(п + 0)-у(п-0) = еу'(п) (п = 1,2,.), (0.64)

Г[у] = -у + ^(хМх)е Z2(0;+*). (0.65) Определим в L2 (0;+<х>) оператор Н+(е) равенством

H+{s)f(x) = Г [/], /(x)eD(tf+(4 (0.66)

В формуле (0.66) £>(я+(<?)) - множество функций из 12(0;+оо), удовлетворяющих условиям (0.62)-(0.65). Очевидно, оператор Н+(а) может быть получен из оператора н(е) формальным переходом к пределу при V —> +со. Оператор Н+(е) самосопряжён в 1?(0;+оо). Обозначим л) = 1¥[ф(х,л1Их>л)]- (0.67)

В формуле (0.67) функция ф(х,А)^ Ь2(0;+со), а функция у>(хД)е 12(0;+оо) и представляется в виде у/{х, Л) = ф(х, Л)+т2 (л]д(х,л), (0.68) где тг(л) определена из (0.34).

В § 1 главы 3 исследована дискректная компонента оператора Н+ (¿г) и доказана следующая

Теорема 3.1.1. Дискретная компонента 5с! спектра оператора Н+(е) однократна, зависит от е, совпадает с нулями функции Ж+(л), расположенными в лакунах Т], собственные числа которых при к -> +оо определены асимптотическим соотношением

2£ + 1> ,^ 1 ^ к2

0.69) п. у и образуют счётное множество. В формуле (0.69) положено i tk =4\-ct , а = ¡Jpüfidt. (0.70) о

В §2 главы 3 исследована непрерывная компонента спектра и в этом направлении доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть отрезок А = [а,р] не содержит точек tk е Lj , где Lj =Tj пГ , а Г - множество корней (0.69), /(*)- непрерывная финитная функция, тогда

1. е2(Д)/ = 1.£ | (0.71) п / дпл, а1и 0 где положено

Д,(

V ' 20'(<т) ^ ' 2\в'(а\

2. Непрерывная компонента спектра абсолютно непрерывна и совпадает с множеством Л = ул7 у у назовём решением уравнения (0.75), если она удовлетворяет услови

0.73)

Теорема 3.2.2. Длина лакун в непрерывном спектре оператора Н+ (<е) при j +со стремится к + да.

Теорема 3.2.3. Пусть /(х) е ]} (0;+оо), тогда справедливо равенство Парсеваля-Стеклова ш=иФ'в2+• (°-74)

К ] д'АИ

В главе 4 диссертационной работы исследуется задача рассеяния на потенциалах нулевого радиуса и в этом направлении доказаны следующие теоремы.

Пусть хфх2, к > 0, |а| +Щ > О, а, ¡5 - вещественные числа. Рассмотрим уравнение

- У(х)+ 2аб(х - х! )у(х)+ 2 06'(х - х2 )у(х) = к2у(х\ (0.75)

Функцию е,кх + В(кУкх, -оо

-у1{х) = кгуй{х\ хФхх, хфх2, -оо

V; & + 0) ■- у о (х1 - 0) = 2ау0 {х,), (0.79) е/■

Уо^2+О) = у,0(хг-О)^у0(х2\ (0.80)

0(х2+0)-^0(х2-0)= 2/К (х2). (0.81)

Справедлива следующая

Теорема 4.1.1. Решение уравнения (0.75) существует, единственно, и для коэффициентов в(к) и Р(к) справедливы равенства:

V ' а@кеы{х>-х>} + (¡к - «X1 - Л

Пусть теперь хфхх, к> 0, |а| +|/?| >0, а, у? - вещественные числа.

Рассмотрим уравнение

- у'(х)+ 2 рд'(х - х! )у(х)+ 2с^(х - х2 )у(х) = к2у{х). (0.84)

Решением уравнения (0.84) назовем функцию, определённую соотношением (0.76) и удовлетворяющую следующим условиям

-у1=к2у0, хфхх, хфх2, -оо

У(Х1+0) = У(х,-0)-У(Х1), (0.87)

УоЬ +0)-л(*. -0) = 2^;(х1), (0.88)

Уо(*2 (0-89)

Уо (*2 +0)-у'0 (х2 - 0) = 2ау0 (х2). (0.90)

Тогда справедлива следующая

Теорема 4.1.2. Решение уравнения (0.84) существует, единственно, и для коэффициентов в(к) и F(&) справедливы равенства: я(к) АФ - ¿*>2Л* + и{№+1

Щ)~ аргке^^ + {гк-а\\-ргк) ' гк а(Ике2'к{х^] Щк -«XI - /й*)'

1 + -V, (0.92) в(к]2+\\+Р(к)2=1. (0.93)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бучаев, Яхья Гамидович, 1998 год

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений 1. - УМН, 1976, т. 31, № 6, с. 28-83.

2. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений И. УМН, 1977, т. 32, № 1, с. 107-130.

3. Арсеньев A.A. Сингулярные потенциалы и резонансы. Из-во МГУ, 1974.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Наука, 1966.

5. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с периодическими коэффициентами и периодическими отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Известия вузов, Математика, №5 (264), 1984, с. 3-8.

6. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса операторов Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке. -Успехи математических наук, М., 1996, т. 51, вып. 2, с. 143-144.

7. Айгунов Г.А. Об одном критерии равномерной ограниченности нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке. Успехи математических наук, М., 1997, т. 52, вып. 2(314), с. 149-150.

8. Айгунов Г.А. К вопросу об асимптотике нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Успехи математических наук, М., 1997, т. 52, вып. 6, с. 147-148.

9. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. М., ВИНИТИ, Итоги науки и техники, математический анализ, 1977, т. 14, с. 5-58.

10. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве (учебное пособие). Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1980.

11. Бродский A.M., Урбах М.И. О спектре поверхностных состояний кристаллов. В сб.: Задачи механики и математической физики. М., Наука, 1976, с. 43-52.

12. Бучаев Я.Г. Задача рассеяния на потенциалах нулевого радиуса. -Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский сборник. Махачкала, 1997, с. 57-66.

13. Бучаев Я.Г. О резольвенте задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса. Деп. ВИНИТИ, 1998, № 1332 - В98.

14. Бучаев Я.Г. Изучение дискретной компоненты спектра задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на полуоси.- Деп. ВИНИТИ, 1998, № 1334 В98.

15. Бучаев Я.Г. Изучение дискретной компоненты спектра задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси.- Деп. ВИНИТИ, 1998, № 1333 В98.

16. Бучаев Я.Г. О разложении произвольных функций из Ь1 (0;+оо) по спектру оператора Н+(е). Деп. ВИНИТИ, 1998, № 2163 - В98.

17. Бучаев Я.Г. О разложении произвольных функций из /,2(-оо;+оо) по спектру задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса. Деп. ВИНИТИ, 1998, № 2164 - В98

18. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, 1953, т. 88, с. 593-596.

19. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1971.

20. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. ДАН СССР, 1950, т.73, №6, с. 1117-1120.

21. Гехтман М.М. К вопросу о спектре самосопряжённых расширений симметрического полуограниченного оператора. ДАН СССР, 1969, т. 186, № 6, с. 1250-1252.

22. Гехтман М.М. Изучение спектра некоторых неклассических самосопряжённых расширений оператора Лапласа. Функц. анализ и его приложения, 1970, т. 4, № 4, с. 72.

23. Гехтман М.М. О принципе предельной амплитуды. ДАН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 20-23.

24. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Обобщённая задача Кронига-Пенни. Функц. анализ и его приложения, 1977, т. II, вып. I, с. 5961.

25. Гехтман М.М. О существовании поверхностных состояний для неклассических самосопряжённых расширений оператора Лапласа. Функц. анализ и его приложения, 1982, т. 16, вып. I, с. 62-63.

26. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Исследование спектральных характеристик некоторых операторов Штурма-Лиувилля, применяемых в теории кристаллов. Дифф. уравнения, 1981, т. 18, № 12, с. 2269-2270.

27. Гехтман М.М., Станкевич И.В. О классификации локальных состояний в спектрах одномерных кристаллов. Первая Всесоюзная конференция по квантовой химии твёрдого тела. Тезисы докладов. Л., 1982, с. 53-54.

28. Гехтман М.М., Загиров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Функц. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 3, с. 71-72.

29. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Мат. сборник, 1987, т. 133 (275), № 2, с. 184199.

30. Гехтман М.М. (мл.). О возможности локализации кинетической энергии свободных колебаний распределённых систем. Деп. ВИНИТИ, 1991, № 287-В91.

31. Гехтман М.М. (мл.). Двусторонние оценки для собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Деп. ВИНИТИ, 1991, № 912-В91.

32. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М., Физматгиз, 1958.

33. Гасымов М.Г., Халилова Р.З. О лакунах в спектре одной периодической задачи. Учёные записки АГУ им. С.М.Кирова, сер. физ. мат. наук, 1977, № 3.

34. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., Физматгиз, 1963.

35. Дубровин Б.А., Матвеев В.Г., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фризе, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т. XXXI, №1, с. 55138.

36. Жиков В.В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Изв. АН СССР, сер. матем.,1967, т. 31, вып. 5, с. 965976.

37. Желудев В.А. О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера с периодическим потенциалом. Проблемы математической физики, вып. 2, Изд-во ЛГУ, 1967.

38. Желудев В.А. О возмущениях периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом. Вестник ЛГУ, серия математическая, 1968, №7, вып. 2.

39. Йо И., Ильин В.А. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса д(о,/). Дифф. уравнения, 1979, т. 15, №7, с. 1164-1174.

40. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972.

41. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М., Наука, 1979.

42. Красносельский М.А. О самосопряжённых расширениях эрмитовых операторов. УМЖ, 1949, № 1, с. 21-38.

43. Крейн М.Г. Теория самосопряжённых расширений полуограниченных эрмитовых операторов и её приложения I. Матем. сб., 1947, т. 20, вып. 3, с. 431-491.

44. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1. -М., Гостехиздат, 1951.

45. Китинявонг Тхепсаван. Авторская диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. 1993.

46. Ладыженская O.A. О принципе предельной амплитуды. УМН, 1957, вып. 3, с. 161-164.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.-Л., Гостех-издат, 1948.

48. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. Изд-во технико-технической литературы, М., 1950.

49. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла. Мат. сб., 1975, 97 (139), №4 (8), с. 540-606.

50. Наймарк М.А. О самосопряжённых расширениях второго рода симметрического оператора. Изв. АН СССР, сер. матем.,1940, т. 4, № 1, с. 53-104.

51. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

52. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., Наука, 1964.

53. Назаров А.Д. Авторская диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. 1982.

54. Назаров А.Д. О спектре задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский сборник. Махачкала, 1997, с. 146-155.

55. Назаров А.Д. Об операторе Хилла с обобщённым периодическим потенциалом на всей оси.-Дагестан на пути к рынку, 1998, с.110.

56. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А.Стеклова. Мат. сб., 1981, т. 114, № 2, с. 269-298.

57. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, 2.-М, Мир, 1978.

58. Рофе-Бекетов Ф.С. Самосопряжённые расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. ДАН СССР, 1969, т. 184, № 5, с. 1034-1037.

59. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М., Наука, 1983.

60. Суетин П.К. Проблема В.А.Стеклова в теории ортогональных многочленов. ВИНИТИ, математический анализ, т. 15, 1977.

61. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

62. Тамм И.Е. О возможности связи электронов на поверхности кристалла. Phys. 2, Sowjet Union, 1932, т. 1, № 5.

63. Титчмарш Э.Ч. Теория функций. М., Гостехиздат, 1951.

64. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т. 2. -М.,ИЛ, 1961.

65. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. Функц. анализ и его приложения, 1982, т. 16, вып. 4, с. 92-93.

66. Якубов С.А. Краевая задача для уравнения Лапласа с неклассической спектральной асимптотикой. ДАН СССР, 1982, т. 265, № 6, с. 1330-1331.

67. Agmon S. Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. Princeton, N.J., 1965, p. 291.

68. Agmon S. On kernels, eigenvalues and eigenfunctions of operators related to elliptic problems. Communs Pure and Appl. Math., 1965, 18, №4, pp. 627-663.

69. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the Solutions of certain linear differential equations containing a parameter. Trans. Amer. Math. Soc, 1908, 9, pp. 219-231.

70. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 1908, 9, pp. 373-395.

71. Carleman T. Über die Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen. Ber. der Sachs. Acad. d. Wiss. Leipzig. 1936, 86, s. 119-132.

72. Krenig R. and Penney W.G. Quantum mechanics of elektrons in krystal lattices. Proc. Royal, Soc. Ser. A, 130, 1930, 449-513.

73. Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren. Math. Ann. 1929, 102, s. 49-131.

74. Sears D. Note of the unigueness of the Green functions associated with certain differential equations. Canadian I. Math, 2, 1950, 314325.

75. Stone M.N. Linear Transformations in Hilbert Space. Amer. Math. Soc, Colloquium Publications, 1932, XV, New York.

76. Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen. Math. Ann, 1912, 71, s. 441-479.

77. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und ihre eigenfunktioner. Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl, 1909, s. 37-64.

78. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und zugehörigen Entwicklungenwillkurlichen Funktionen. -Math. Ann., 1910, Bd. 68, s. 220-269.

79. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen. Math. Phys. Kl. Nachr. Wiss. Gottingen, 1910, s. 442-467.

80. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwertproblemm. Ann. D. Phys., Folge 1V79 (1959), s.s. 631-642, 483-527.