Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Фуфаев Владимир Владимирович

• Фуфаев Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Фуфаев Владимир Владимирович

делитель

3.3 Линии уровня аналитических функций

3.4 Локализация собственных значений

Заключение

Литература

Введение

Актуальность проблемы

Асимптотическая (сингулярная) теория возмущений линейных операторов находит применение в различных вопросах спектрального анализа и характеризуется использованием топологии резольвентной сходимости по параметру возмущения. Одной из важных проблем здесь является изучение спектральных асимптотик краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для построения приближений Лиувилля-Грина решений и локализации спектра широко используется метод фазовых интегралов или метод ВКБ. Настоящая диссертация посвящена развитию метода фазовых интегралов применительно к модельной несамосопряженной краевой задаче Штурма-Лиувилля

с краевыми условиями на отрезке вещественной оси, малым параметром £ > 0 и спектральным параметром Л в случае линейной зависимости потенциала Q(z, Л) = Q(z) — Л от Л, где функция Q(z) - аналитическая.

Подобные задачи наряду с теоретическим имеют и прикладной характер. Задачи рассматриваемого типа (см. [15], [32]) возникают при изучении устойчивости плоско-параллельного течения с профилем скорости Q(z). Для тако-

геу"(^) + Q(z, Л) у^) = 0 , у (А) = у(В) = 0,

(1) (2)

го течения волновые возмущения вида ф(г)ега(х описываются уравнением Орра-Зоммерфельда (являющимся следствием уравнения Навье-Стокса)

¿£(ф(4) (г) — 2а2ф''(г) + а4ф(г)) + (<(г) — е)(ф"(г) — а2ф(г)) — <'(г )ф (г) =

с условиями ф(—1) = ф'(—1) = ф(1) = ф'(1) = 0, где £ > 0 - малый параметр, пропорциональный вязкости. Известно (см. [4]), что его решения асимптотически (при £ ^ 0) приближаются решениями уравнения Рэлея

(<(г) — с)(ф''(г) — а2ф(г)) — <'(г )ф(г) = 0,

и решениями уравнения вида (1)

¿£(ф(4) (г) — 2а2ф''(г) + а4ф(г)) + (<(г) — с)(ф ''(г) — а2ф (г)) =

Для самосопряженных сингулярно возмущенных операторов, как известно, из резольвентной сходимости следует нижняя полунепрерывность спектра (см. [8]), которая (в случае операторов с компактной резольвентой) описывается в терминах плотности концентрации собственных значений (см. [1]). В несамосопряженном случае это свойство предельного (в смысле резольвентной сходимости) оператора, как правило, нарушается, что может приводить (см. [16]) к росту степени неортогональности системы собственных и присоединенных функций. Обусловленный этим резонансный эффект, возникающий в теории гидродинамической устойчивости, служит предметом экспериментальных исследований и численного моделирования (см. [35] и [44]).

Рассматриваемая задача тесно связана с теорией РТ—симметричных операторов (см. [27], [28], [29]), удовлетворяющих условию

[Н, РТ] =0,

где Рф(х) = ф(—х), Тф(х) = ф(х). Для РТ—симметричного оператора

¿2

Н = —— + IV (х) ах2

в случае различных кубических полиномов V(х) было установлено (см. [37], [45]), что при условии у(—<Х)) = у(<х>) = 0 спектр задачи лежит на положительной вещественной полуоси.

Соответствующий задаче (1)-(2) дифференциальный оператор

Ь£ = гед2 + Q(z),

заданный в подходящем функциональном пространстве, в качестве которого в диссертации (для определенности) выбирается пространство функций интегрируемых с квадратом на [А, В], имеет дискретный спектр

а(Ь£) С П := {Л = а + гЬ : а е Q([A, В]),Ь< 0} ,

состоящий из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности. Собственные значения рассматриваемой задачи совпадают (см. [11]) с нулями целой функции - характеристического определителя, построенного по фундаментальной системе решений уравнения (1). При £ ^ 0 оператор Ь£ в смысле сильной резольвентной сходимости (см. [9], [42]) имеет своим пределом оператор Ь0 умножения на Q(z), спектр а(Ь0) которого заполняет отрезок Q([A,B]). Оператор Ь£ является, таким образом, сингулярным возмущением оператора умножения Ь0, а задача (1)-(2) представляет собой модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в несамосопряженном случае.

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

Ключевым элементом используемого в настоящей работе подхода к локализации спектра задачи (1)-(2) является метод фазовых интегралов (метод ВКБ), которому посвящено большое число работ (см. [12], [26]). Его основы были заложены в трудах Дж. Грина [38] и Ж. Лиувилля [41] (1837). Ключевой результат может быть сформулирован следующим образом: в случае

приближениями решений при £ ^ 0 и вещественных z вне окрестностей точек поворота - нулей Q(z) - являются функции

В различных частях окрестности точки поворота уравнения второго порядка одно и то же решение может иметь различные асимптотические представления. Дж. Стокс ([46]), изучая уравнение

обнаружил, что комплексная плоскость разбивается на области, в которых коэффициенты линейной комбинации функций вида (3), аппроксимирующей решение, различны. Это обстоятельство впоследствии было названо явлением Стокса. Причина этого явления - рост погрешности асимптотики при приближении переменной z к границам этих областей - линиям Стокса. Основная трудность, таким образом, состоит не в получении асимптотических формул для различных решений, а в построении асимптотических формул для одного и того же решения, но в разных областях изменения аргумента.

Широкое распространение приближения Лиувилля-Грина получили после публикации работ Дж. Вентцеля [48], Г. Крамерса [40] и Л. Бриллюэна [31] (1926). В них устанавливалась связь между приближениями Лиувилля-Грина на интервале, где Q(z) меняет знак. В связи с этим приближения (3) также называются ВКБ-приближениями, а их построение и анализ изменения асимптотики решения при продолжении - методом ВКБ.

Важный вклад в развитие метода ВКБ внес Дж. Биркгофф. В работе [30], с использованием канонических путей - кривых, вдоль которых величина Ие /^ \ZQtC) ^С изменяется монотонно, - были выделены подобласти, в которых строятся приближения решений уравнения (3).

(3)

у"^) — 9zy(z) =

М. В. Федорюк (см. [23], [24]) разработал подход к исследованию глобальной асимптотики решений уравнения вида (1) для широкого класса функций <(г). Было установлено, что при некоторых предположениях линии Сток-са разбивают комплексную плоскость на части, отображающиеся функцией Р \/<(С) ¿С на вертикальную полосу, либо на полуплоскость. При этом так называемые канонические области (надлежащие объединения указанных областей) отображаются указанной функцией на всю плоскость с конечным числом вертикальных разрезов. В этих областях существуют фундаментальные системы решений (ФСР) с асимптотиками вида (3). Для ФСР, которые отвечают различным каноническим областям, были вычислены асимптотики матриц перехода. С использованием произведения этих матриц вычисляется асимптотика решения во всей плоскости с выброшенными окрестностями точек поворота.

Различные способы построения ВКБ-приближений и подробные исторические и библиографические обзоры, посвященные методу фазовых интегралов, приведены в монографиях Ф. Олвера [12], Дж. Хединга [26], В. Вазова [2], и Н. Фреман, О. Фреман [36]. Метод ВКБ тесно связан с методом канонического оператора (см. [10]).

Одним из основных приложений метода фазовых интегралов является исследование краевых задач на собственные значения. При этом особое внимание уделяется изучению спектральных асимптотик — как по малому параметру, стоящему при второй производной, так и по номеру собственного значения. Вопросы, связанные с предельными спектральными свойствами краевых задач, изучались в работах многих авторов.

В. П. Маслов в работе [9] исследовал предельный переход при Н ^ 0 от

точечного спектра дифференциального оператора

а2

—+ и(х)

ах2

к непрерывному спектру оператора умножения на и(х). Было, в частности,

установлено, что при достаточно малых £ > 0 собственное значение Л^(£) указанного оператора, такое что функция ЛП(£) — и(х) имеет 2к нулей XI, ...,х2и, удовлетворяет одному из уравнений

J 3 у/ЛП(£У—д(Х)(х = п (п + + 0(—£), п е н, ; = 1,...,к.

Отсюда следует, что для произвольного числа д , принадлежащего области значений и(х) существует последовательность собственных значений, предел которой совпадает с д.

А. А. Дородницын (см. [6]) исследовал краевую задачу на вещественном отрезке I = [0, с] :

у" (х) + (Л2г(х) + д(х))у(х) =

ау;(0) = «у(0^ Ьу/(с) = Ыс)

где Л - спектральный параметр, г(х) = хр(х), функции р(х) и д(х) достаточно гладкие и 0 < р(х) < М на I. Асимптотики решений при больших Л были описаны в терминах функции Эйри, с помощью которых были получены формулы для собственных значений с большими номерами.

Ю. Н. Днестровский и Д. П. Костомаров (см. [5]) рассмотрели обобщенную задачу на собственные значения

+ = 0,

)

эд(-го) = эд(го) =

с большим вещественным параметром к, вообще говоря, нелинейным вхождением спектральной переменной Л и комплекснозначной функцией Q(z,Л). На функцию Q(z, Л) накладывается ряд условий, обеспечивающих применимость метода ВКБ, описывающих свойства линий Стокса и точек поворота как функций Zj(Л). В указанных предположениях получена локализация собственных значений в 0(к—2)-окрестностях точек, определяемых условиями

сое

^ (Л)

/ ч (Л) /- ■

к лЮ(С,Л) (С

Jzj (Л) У

= 0,

при этом выбор пар точек поворота, дающих вклад в спектральное множество, осуществляется на основе топологической структуры графа Стокса.

Отметим, что расположение линий Стокса связано со структурой траекторий квадратичных дифференциалов (см. [3], [39], [43], [47]).

С. А. Степин исследовал (см. [14], [17]) распределение собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для несамосопряженного уравнения Эйри

Было установлено, что при достаточно малых £ > 0 для произвольного 5 >

нули функции Эйри.

В работах С. А. Степина и А. А. Аржанова (см. [18], [19]) исследована несамосопряженная задача Штурма-Лиувилля (1)-(2) для уравнения Вебера, т. е. в случае Q(z, А) = z2 — А на отрезке [-1,1]. С использованием биркгофовской техники канонических путей доказано, что для произвольного ö > 0 спектр при Im А > Im Л + ö концентрируется при £ ^ 0 вблизи луча arg А = —п/4 и кривой, заданной условием

где Л - единственная точка пересечения указанных кривых. Предложенный подход к решению задачи не требует априорной информации о линиях Стокса (см., например, [13]).

Случай близкого к линейному потенциала <(г, А) исследовался в работах С. А. Степина и В. А. Титова (см. [20], [21]). Были получены условия для функции <(г, А), при которых предельная спектральная конфигурация изоморфна спектральному графу уравнения Эйри. Кроме того, для уравнения

i£y"(z) + (z — A)y(z) = 0,

y (—1)= y(1) =

спектр в области {1т А >5 — 1/л/3, |А ± 1| > 5} состоит из двух серий простых собственных значений А± ~ ±1 ± ехр(±гп/6)£п, где £п С

Эйри был исследован вопрос о переходе собственных значений с мнимой оси на одну из ветвей. Доказано, что существуют две серии £±, £— < £+ < £—_ 1, таких что — г/л/3 является собственным значением, однократным при £ = £— и двукратным при £ = £+, вычислены первые члены соответствующих разложений в ряд Тейлора и Пьюизо.

Недавними публикациями, наиболее близкими к настоящей диссертации, являются работы [7], [22], [33], [34], [37].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений»

Цель работы

Развитие метода квазиклассической локализации собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с использованием аппроксимации характеристического определителя. Изучение асимптотического расположения спектра задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с модельными полиномиальными потенциалами и малым чисто мнимым параметром при второй производной. Исследование геометрических свойств предельного спектрального множества.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для уравнения с малым параметром при второй производной и полиномиальным потенциалом ) разработан метод локализации спектра краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе формул связи решений с ВКБ-асимптотиками и равномерными по спектральному параметру оценками остатков соответствующих приближений.

2. В случае монотонного потенциала ^(г) = г3 + г в правой полуплоскости найдена область, асимптотически свободная от точек спектра рассматриваемой задачи. Локализована кривая, которая служит предельным спектральным множеством, и получены правила квантования типа Бора-Зоммерфельда-Маслова для соответствующих собственных значений.

3. В случае потенциала Q(z) = z3 — z в правой полуплоскости выделена монотонная ветвь предельного спектрального комплекса, концевой вершиной которой является точка ветвления функции Q—1(Л). Для собственных значений, концентрирующихся вблизи найденной кривой, получены локали-зационные формулы типа правил квантования с квалифицированной оценкой погрешности.

Методы исследования

В работе использованы асимптотические методы, результаты комплексного анализа и техника аналитической теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов, при изучении краевых задач в теории дифференциальных уравнений и гидродинамике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

• Научный семинар "Дифференциальная геометрия и приложения" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. Т. Фоменко;

• Научный семинар "Тригонометрические и ортогональные ряды" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора М. К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко и профессора М. И. Дьяченко;

• Научный семинар лаборатории механики природных катастроф института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского "Асимптотические методы в математической физике" под руководством профессора С. Ю. Доброхотова;

• Научный семинар математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук "Комплексные задачи математической физики" под руководством профессора А. Г. Сергеева и доцента А. В. Домрина;

• Научный семинар "Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления: теория и приложения" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. В. Фурсикова, профессора В. М. Тихомирова, профессора М. И. Зеликина и профессора В. Ю. Протасова;

• Научный семинар "Актуальные проблемы геометрии и механики" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Д. В. Георгиевского и профессора М. В. Ша-молина;

• Научный семинар "Теория рассеяния" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Р. А. Минлоса;

• Научный семинар "Динамические системы и дифференциальные уравнения" механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. А. Давыдова и профессора А. М. Степина;

• Научный семинар "Ортоподобные системы" механико - математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Т. П. Лукашенко, доцента В. В. Галатенко, доцента Т. В. Родионова;

• Научный семинар Добрушинской лаборатории ИППИ РАН под руководством профессора Р. А. Минлоса и старшего научного сотрудника М. Л. Бланка.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих

конференциях:

• Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского (Москва, 2015);

• Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);

• Международная конференция 5th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics (Palermo, 2015);

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016);

• Международная конференция "Системы Аносова и современная динамика", посвященная 80-летию со дня рождения Дмитрия Викторовича Аносова (Москва, 2016).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, три из них опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых состоит из четырех параграфов, заключения и списка литературы.

Во введении дан обзор публикаций, связанных с темой исследования, приводятся постановки задач и формулируются основные результаты.

В первой главе изложена общая схема метода локализации собственных значений задачи (1)-(2). §1.1 содержит конструкцию ВКБ-приближений применительно к уравнению (1). Ключевым объектом здесь является кусочно-гладкий путь 7 = 7(Л) С С, называющийся каноническим для ветви S(г0, г; Л) многозначной функции

если величина Ив S(г0,г; Л) изменяется монотонно вдоль 7.

§1.2 посвящен применению свойств траекторий квадратичных дифференциалов для исследования структуры канонических путей. С помощью полученных результатов в §1.3 строятся формулы связи для фундаментальных систем решений (ФСР), имеющих ВКБ-приближения в различных частях окрестности простого нуля ф(г,Л). Это позволяет в рассматриваемых ниже ситуациях продолжить решения уравнения (1) и получить для них асимптотические формулы, одновременно пригодные в точках А и В. Их подстановка в соответствующий условиям (2) характеристический определитель

Ч(А,Л)

уУ—(А,Л)

дает асимптотическое при малых £ > 0 представление аналитической функции Д(Л), нулями которой являются искомые собственные значения.

В §1.4 изучен надлежащим образом нормированный характеристический определитель

Д(Л) = ехр {— £—1/2^(Л) + гс}(1 + $1(Л)) + ехр {£—1/2(ДЛ) — гс}(1 + $2(Л)) ,

где с € к, в следующих предположениях: пусть для Л, принадлежащих од-нопараметрическому семейству множеств

Е(Ь) := {а + ¿Ь: 01(5) < а < 02(Ь), | Ь — /(а)| < £з(Ь)} С В, Ь > 0,

где величины £1(Ь) и £3(Ь) возрастают, а £2(Ь) убывает, выполнены оценки |Ф^(Л)| ^ С(Ь)£1/2, кроме того, функция ^>(а + ¿Ь) аналитична в области В С сд, причем дИе ^>(а + ¿Ь)/дЬ > 0 и Ие ^(Л) = 0 на некоторой кривой Г, являющейся графиком функции Ь = /(а). В этом случае доказано существование такого С(Ь) > 0, что при достаточно малых £ > 0 нули Д(Л) в £(Ь) расположены в С(Ь)£-окрестностях точек Лп € Г, заданных условием

<^(ЛП) = ¿£1/2 (пп — п/2 + с), п € z.

Здесь каждому Лп € £(Ь) соответствует единственное собственное значение, лежащее в соответствующей окрестности.

Глава 2 посвящена изучению задачи (1)-(2), где Q(z,Л) = Q(z) — Л, в случае модельного монотонного потенциала Q(z) = z3 + z при А = —В = —1. В §2.1 устанавливаются предварительные результаты, касающиеся свойств функции а(Л) = Q—1(Л). На множестве П \ [0, —2г/3л/3], где

П := {ИеЛ € Q([—1,1]), 1тЛ < 0},

выделяются однозначные ветви а+(Л), к = 0, ±1, удовлетворяющие условиям а+(+0) = ¿к. В §2.2 (с использованием результатов §1.3) получено

асимптотическое представление для характеристического определителя соответствующей задачи (1)-(2). При этом спектр задачи описывается в терминах фазовых интегралов

£ +(Л) := 5(а+(Л), 1; Л) = егп/4 Г //$(*, Л)

П+(Л) := 5(а+(Л),а+1(Л); Л) = егп/М лМ^Л) ¿г, С +(Л) := 5(1, —1; Л) = егп/4 ^ 1 /^Л) ¿г,

и асимптотику характеристического определителя описывает

Предложение 1. Для произвольной ограниченной области лежащей вместе со своим замыканием ^ в П\ [0, —2г/3л/3], существует г = г(^) > 0 такое, что при £ € (0, £) аналитический в ^ характеристический определитель Д+(Л) имеет вид

Д+(Л) = вхр {£—1/2С+(Л)}(1 + Ф1 (Л)) — вхр { — £—1/2С + (Л)}(1 + Ф2(Л)) — — г вхр {£—1/2(2£ + (Л) — п+(Л) + с +(Л))} х х [ вхр {£—1/2п+(Л)}(1 + Фз(Л)) + вхр { — £—1/2п+(Л)}(1 + Ф4(Л))].

где ф(Л)| ^ С(^)£1/2, з = 1, 2,3, 4.

В §2.3 изучены свойства эллиптических интегралов £+(Л), п+(Л), С +(Л) в полуполосе П и ее части П+ := {Л € П: Ив Л > 0}. Ключевым для дальнейшей локализации спектра является

Утверждение 1. Функции Ив п +(Л), Ив (+(Л), Л = а + гЬ € П, доопределенные на отрезке [0, —2г/3л/3] по непрерывности, возрастают по а при фиксированном Ь так, что дИв п+(а + гЬ)/да > 0 для Ь < —2/3л/3 и Ив п+ (Л) = Ив (+(Л) =0 на луче гм—. Величина Ив £ +(а + гЬ), продолженная по непрерывности на замыкание множества П+ = П П с+, возрастает по Ь при фиксированном а € [0, 2] и дИв£+(а + гЬ)/дЬ > 0 для а + гЬ € П+.

Линия уровня

Г := {Л = а + ib е П+: Re(Л) = 0}

представляет собой график гладкой функции b = f (а) с производной /'(а) < 1/л/3, а е (0,2). Кривая Г пересекает действительную ось под углом п/6 и лежит в треугольнике с вершинами 2, -2г/\/3, —2i(2 — \/3). Для точки пересечения ГПгМ. = ¿д справедливо неравенство |д+2/3| < 1/20.

Утверждение 1 позволяет в различных частях П получать редуцированную формулу для характеристического определителя.

В §2.4 дважды используются результат §1.4, а именно для локализации спектра в правой полуплоскости и вблизи мнимой оси. В правой полуплоскости асимптотику спектра задачи (1)-(2) описывает

Теорема 1. В случае Q(z) = z3 + z при фиксированном M < 0 для произвольного 5 > 0 найдется е1 = еД5) > 0 такое, что множество

{Л е П : Re Л > 5, dist^, Г) ^ 5, Im Л > M}

при е е (0,£1) не содержит точек спектра задачи (1)-(2), а в области

{Л е П : Re Л > 5, dist^, Г) < 5, |Л — Q(1)| > 5}

спектр задачи состоит из однократных собственных значений, причем для некоторой константы C(1) (5) > 0 все они находятся в C(1) (5)е-окрестностях

- \ (1) ^ т

корней Лп е 1 уравнения

cos (¿е—1/2^ + (Л) + п/4) = 0.

Наряду с найденной в теореме 1 спектральной серией, имеется симметричная ей относительно оси ¿R серия собственных значений, которые концентрируются вблизи кривой —Г. В области, ограниченной отрезком [—2, 2] и ребрами Г и —Г, спектр рассматриваемой задачи при малых е > 0 оказывается

непустым и концентрируется вблизи вертикального отрезка, соединяющего точки гд и А именно, имеет место

Теорема 2. Для Q(z) = z3 + z и произвольного 5 > 0 существуют е2 = е2(5) > 0 и C(2)(5) > 0 такие, что при е £ (0,е2) множество

{Л £ П : |Re Л| < 5, Im Л > -2/3^3 + 5 }

не содержит собственных значений задачи (1)-(2), а в области

{Л £ П : |Re Л| < 5, д + 5 < Im Л < -2/3^3 - 5 }

спектр задачи исчерпывается однократными собственными значениями, расположенными в C(2) (5)е-окрестностях нулей ЛП2) £ [гд,

функции cos (г£-1/2п+(Л)), занумерованных согласно правилу квантования

п+(лп2)) = ге1/2^(п + 1/2) , n £ z.

В Главе 3 рассматривается случай потенциала Q(z) = z3 — z, имеющего две критические точки на [—1,1]. В §3.1 в полосе

П := {Re Л £ Q([-1,1]), Im Л < 0}

выделяются однозначные ветви корней , удовлетворяющие условиям

(Л) = k, k = 0, ±1. Локализация собственных значений рассматриваемой задачи описывается в терминах фазовых интегралов

£-(Л) := ein/4 [ //Q(z, Л) dz, п-(Л) := ein/4 f °( /о^Л)dz,

JaZ1(Ay Ja°°1 (A)V

Z-(Л) := ein/4^ Q(z, Л) dz.

Для исследования спектра в правой полуплоскости c+ в §3.2 (с использованием результатов §1.3) доказывается

Предложение 2. Если ограниченная область Q содержится в

П+ := П П c+, д^ П r+ С (0, 2/3\/3)

и дQ П ir_ С (0,iv), то существует 19

£ = е(П) > 0 такое, что при е € (0,£) аналитический в ^ характеристический определитель Д— (Л) для Л € ^ имеет вид

—

Д"(Л) = ехр{ е"1/2С "(Л^(1 + Ф1(Л))-

— ехр { — е"1/2С"(Л)}(1 + Ф2(Л)) — —г ехр {е—1/2(2£—(Л) — С—(Л))}(1 + Фз(Л)) — —гехр {е"1/2(С —(Л) — 2£ —(Л) + 2п— (Л))}(1 + Ф4(Л)) + + ехр {е—1/2(С"(Л) + 2п—(Л))}(1 + Фв(Л)), где ф(Л)| ^ С(^)е1/2, з = 1, 2,3,4, 5.

В §3.3 устанавливаются следующие свойства эллиптических интегралов

Утверждение 2. Для Л = а + гЬ € П+ выполнены неравенства дИе£—(Л)/да > дИеп—(Л)/да, дИе£—(Л)/дЬ > 0, дИеп— (Л)/дЬ > 0 и дИе (—(Л)/да > 0, величина Ие (—(Л) обращается в нуль на луче гМ_, а боковые ребра предельного комплекса

Г1 := {Л € П+: Иеп—(Л) = 0, Ие£—(Л) > 0} ,

Г2 := {Л € П+: Ие£—(Л) = Иеп—(Л) < 0},

Гз := {Л € П+: Ие£ —(Л) = 0, Иеп—(Л) > 0} ,

являющиеся графиками монотонных функций, соединяют узел их сочленения Л = р + гд с точками 0, 2/3л/3 и ¿V соответственно, где | Л — 1/4 + г/8 | < 1/25 и IV + 9/20| < 1/40.

С использованием полученных результатов устанавливается, что формула для Д—(Л) допускает в П+ упрощение

Д—(Л) = ехр {е—1/2С—(Л)}((1 + 0(^£)) + ехр {2е—1/2п —(Л)} х

'(1 + 0(^£)) — г ехр { — 2£_1/2£_(Л)}(l + 0(^£))

В §3.4 с использованием развитой в §1.4 методики проводится локализация спектра рассматриваемой задачи (1)-(2). Асимптотическое распределение собственных значений задачи в окрестности Г1 U Г2 описывает

Теорема 3. Для Q(z) = z3 — z и произвольного 5 > 0 существуют ез = ез(5) > 0 и C (3)(5) > 0 такие, что при е е (0, ез) в области

{Л е П+ : dist(Л, Г1) < 5, dist^, Г2 U Г3) >5, | Л — 2/3^3| > 5}

спектр задачи (1)-(2) представляет собой серию простых собственных значений, лежащих в C(3)(5)е-окрестностях нулей ЛП3) е Г1 функции cos (¿е—1/2п— (Л)), занумерованных согласно правилу квантования

П—(ЛП3)) = ¿е1/2п(п + 1/2) , n е z,

а часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая области

{Л е П+ : dist^, Г2) < 5, dist(Л, Г1 U Г3) >5, | Л — iv| >5},

состоит из однократных собственных значений, находящихся в C(3)(5)е-окрестностях корней ЛП4) е Г2 уравнения

tg (¿е—1/2(п—(Л) — £—(Л))) = 1.

Помимо Г1 и Г2, предельный спектральный комплекс также содержит в П+ ребро, соединяющее узел сочленения Л со сдвоенной концевой вершиной -точкой Q(±1) = 0. Локализацию соответствующих собственных значений описывает

Теорема 4. В случае Q(z) = z3 — z для произвольного 5 > 0 существуют е4 = е4(5) > 0 и C(4)(5) > 0 такие, что при е е (0,е4) часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая множеству

{Л е П+ : Im Л ^ v, | Л| >5, dist^, Г1 U Г2) > 5} ,

состоит из простых собственных значений, находящихся в C(4) (5)е-окрестностях нулей ЛП5) £ Г3 функции cos (ге-1/2£-(Л) - п/4), которые определяются из соотношений

£-(ЛП5)) = ге1/2п(п + 1/4) , n £ z.

Серия собственных значений, описанная в теореме 4, имеет ту же природу, что и серия собственных значений, лежащих на Г, описанная в теореме 1.

Всюду в дальнейшем литерой C, быть может, с аргументами в скобках, но без индексов и надстрочных знаков, обозначены положительные (вообще говоря, различные) константы (зависящие только от аргументов в скобках).

Глава 1

Геометрические свойства приближений Лиувилля-Грина

В основе используемого подхода к проблеме квазиклассической локализации спектра для задачи (1)-(2) лежит метод фазовых интегралов или метод ВКБ. В настоящей главе вводятся основные определения и устанавливаются (в необходимой для наших целей общности) утверждения, описывающие асимптотику решений уравнения (1) при £ ^ 0 с помощью приближений Лиувилля-Грина в случае линейной зависимости ф(г,Л) = — Л от спектрального параметра Л и где - аналитическая функция. Полученная техника позволяет разработать метод локализации собственных значений [51].

1.1 Асимптотика решений вдоль канонического пути

Определение. Кусочно-гладкий путь 7 = 7(Л) С С называется каноническим для ветви Б(г0,г; Л) многозначной функции

если величина Ив Б(г0,г; Л) изменяется монотонно вдоль 7.

ВКБ-приближения для ФСР уравнения (1) и их производных по г с квалифицированными оценками остатков на канонических путях (см. [23], [30])

(1.1)

Предложение 1.1.1. Пусть при каждом Л из ограниченной области ^ для БЛ) существует канонический путь 7 = 7(Л), удовлетворяющий условию

Тогда при достаточно малых е > 0 и всех Л € ^ у уравнения (1) суще-

У±(2,Л) = ^(2,Л)—1/4 ехр ( ± е-1/2Б(20, г; Л)) ( 1+ г±(2,Л)) , (1.2) У± (2, Л) = ±д(2,Л)1/4 ехр (± е-1/2Б(2о,2; Л)^вгп/4е-1/2 + г±(2,Л)) , (1.3)

Доказательство предложения 1.1.1 следует схеме, изложенной в [25].

Зависимость от Л в обозначении для Б(20,2; Л) в дальнейшем явно указывается лишь там, где это существенно. В качестве 20 = 20(Л) как правило выбирается начало соответствующего канонического пути, которое всегда будет равномерно по Л € ^ отделено от точек поворота, т. е. корней уравнения ^(2) = Л, и расположено в некоторой ограниченной области плоскости С. Для применения метода ВКБ будет проверяться следующее достаточное условие: если ак(Л), к € К0 - все корни уравнения ^(2, Л) = 0, и выполнены условия г(7) := шт*еКо ^Аеп ^{а*(Л), 7} > 0 и /(7) := 8ирЛбп |т1 < то оценки для приближений решений и их производных равномерны по 2 € 7 и Л €

При исследовании квазиклассической локализации спектра методом фазовых интегралов возникают специфические обстоятельства, связанные с явлением Стокса, состоящим в том, что в различных частях окрестности точки

< оо .

ствуют решения У±(2,Л), имеющие на 7 вид

где | г±(2,Л)| ^ 2 (ехр(2е1/2р(^)) — 1) и, кроме того,

г±(2,Л) ± ®(2,Л) (1+ г±(2,Л)) ^ 2 (ехр(2е1/2р(^)) — 1).

поворота коэффициенты линейной комбинации функций вида (1.2)-(1.3), задающей асимптотику некоторого решения уравнения (1), оказываются различными. Связь между этими коэффициентами обсуждается в [23] и [26] в предположении, что известна топологическая структура линий Стокса, т.е. линий уровня Re S(zo,z; Л) = const, выходящих из точек поворота. В работе [18] был предложен способ отыскания указанных коэффициентов, не требующий априорной (и избыточной для наших целей) информации о расположении линий Стокса, использующий фундаментальные свойства линий уровня в окрестности точек поворота.

1.2 Структура линий уровня

Выражение F(z) dz2 называется квадратичным дифференциалом (см. [3], [43], [47]), кривые, на которых F(z) dz2 > 0 - траекториями квадратичного дифференциала, а на которых F(z) dz2 < 0 - ортогональными траекториями. При фиксированном Л линии уровня {z: Im S(z0, z; Л) = const} являются траекториями квадратичного дифференциала i(Q(z) - Л) dz2 , а {z: Re S(z0, z; Л) = const} - ортогональными траекториями этого квадратичного дифференциала.

Распространяя известные результаты (см. теоремы 8.1 и 8.2, леммы 8.3 и 8.4 из [43]) на случай зависимости квадратичного дифференциала от параметра, получаем, что имеет место

Лемма 1.2.1. Пусть при фиксированном Л функция Q(z^) аналитична в области U С cz. Тогда

1) из каждого простого нуля а(Л) £ U функции Q(z^) выходят три линии Стокса, угол между соседними линиями равен 2п/3;

2) Множество {z £ U: Re S(z0, z; Л) = const} не содержит компоненты, гомеоморфной окружности;

3) Если область и ограничена и функция ф(г,Л) имеет в и единственный простой нуль а(Л), то каждая из трех линий Стокса с началом в точке а(Л) выходит из и;

Кроме того, как следствие теоремы 8.1 из [43], в достаточно малой окрестности а(Л) существуют образующие простой замкнутый контур три канонических для продолженной аналитически ветви Б(г0,г; Л) функции (1.1) пути. В дальнейшем будет предполагаться существование канонических путей 7,7, 7, удовлетворяющих условиям г(7 и 7 и 7) > 0 и /(7 и 7 и 7) < то. Обозначения выбираются таким образом, что контур 7и7и7 - положительно ориентирован, т.е. при его обходе в указанном порядке осуществляется обход а(Л) в положительном направлении. В случаях ^(г) = г3 ± г канонические пути будут указаны явно.

Необходимые в дальнейшем локальные свойства линий уровня содержат приведенные ниже утверждения.

Утверждение 1.2.2. Пусть для Л £ ^ существуют образующие замкнутый положительно ориентированный контур канонические для Б(г0,г; Л) пути 7, 7 и 7, ограничивающие область, которая содержит единственный (простой) нуль а (Л) функции Л). Тогда любая линия Стокса с началом в а (Л) имеет непустое связное пересечение в точности с одной из кривых 7, % Т

Доказательство. В силу леммы 1.2.1 существуют три линии Стокса £, £, £ с началом в точке а (Л), каждая из которых выходит из области, ограниченной 7, 7 и 7, следовательно, пересекает по крайней мере один из этих канонических путей. Таким образом, множество точек пересечения некоторой линии уровня с границей указанной области непусто.

При этом две линии Стокса не могут пересекать один канонический путь. Предположим, что £ и £ пересекают 7, а 70 С 7 соединяет точку множества

£ П 7 с точкой множества £ П 7. Тогда Ие Б(а(Л), 2) = 0 для 2 € 70 и £ и £ ввиду каноничности 7, что невозможно в силу леммы 1.2.1. Таким образом, каждый канонический путь имеет непустое пересечение с единственной линией уровня {2: ИеБ(а(Л),2) = 0}, выходящей из а(Л). Для завершения доказательства заметим, что пересечение связно, так как в противном случае, ввиду каноничности пути, также существует компонента множества ИеБ(а(Л),2) = 0, гомеоморфная окружности. Доказательство окончено.

В дальнейшем обозначения для линий Стокса и канонических путей будут согласованы в том смысле, что линии £, £, £ пересекают пути 7, 7, 7 соответственно.

Пусть С = С(Л) - область, ограниченная кривыми 7, 7 и 7. Зафиксируем точки ¿о £ 7П7, ^ 7П7 и 2:2 ^ 7П7 и выделим в подобласти С, ограниченной линиями ^ Стокса £ и £ и содержащей 7, однозначную аналитическую ветвь Б(го1г) = о, г; Л), в подобласти С, ограниченной линиями Стокса £ и £ и содержащей 7, выделим однозначную аналитическую ветвь г) = г; Л) та-

кую, что 7(20,а(Л)) = Б(20,а(Л)). рис.1

Наконец, выделим в подобласти С, ограниченной линиями Стокса £ и £ и содержащей 7, ветвь 7(20,2) = ¿?(20,2; Л), такую что ¿>(22, а(Л)) = Б(22, а(Л)). Обозначим через д(2, Л), 7(2, Л) и 7(2, Л) ветви функции ^(2,Л)—1/4, согласованные с Б(20,2; Л), 7(20,2; Л) и ¿>(20,2; Л) и, с точностью до знака, определяемые условиями д(20, Л) = 7(20, Л) и д(22, Л) = д(22, Л); в силу того, что пути 7,7 и 7 образуют положительно ориентированный замкнутый контур, справедливо соотношение 7(21, Л) = гд(21, Л).

С использованием леммы 1.2.1 и утверждения 1.2.2 устанавливаются следующие свойства ветвей функции (1.1):

Утверждение 1.2.3. Пусть при Л £ ^ существуют образующие замкнутый положительно ориентированный контур канонические для продолженной аналитически ветви Б(г0,г) пути 7, 7 и 7, ограничивающие область, которая содержит единственный (простой) нуль а(Л) функции ^(г,Л). Тогда функции Ив Б(а(Л),гк; Л), к = 0,1, 2, знакоопределены, а следующие свойства эквивалентны:

1) имеет место знакоопределенность Ив Б(а(Л),г0) < 0;

2) функция Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0;

3) функция Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0;

4) функция Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки х\. Доказательство. Предположим, что Ив Б(а(Л),г0) = 0, тогда в силу

утверждения 1.2.2 и каноничности 7 имеем г0 £ £ П 7, а в силу каноничности 7 выполнено г0 £ £ П 7, стало быть, £ и £ содержит компоненту, гомеоморф-ную окружности, что невозможно в силу леммы 1.2.1. Аналогично получаем знакоопределенность величин Ив Б(а(Л),гк), к = 1, 2.

Далее, если Ив Б(а(Л),г0) < 0 и при этом Ив Б(г0,г) не возрастает при движении вдоль 7 от точки г0, то Ив Б(а(Л),г) < 0 при всех г £ 7, что невозможно в силу утверждения 1.2.2. Таким образом, Ив Б(г0, г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0.

Обратно, если Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0 и Ив Б(а(Л),г0) > 0 то Ив Б(а(Л),г) > 0 при всех г £ 7, что невозможно, следовательно, первое и второе свойства эквивалентны.

Для завершения доказательства достаточно установить эквивалентность второго и третьего свойств. Пусть функция Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0 и Ив Б(г0, г) не возрастает при движении вдоль 7 от точки г0. Согласно утверждению 1.2.2 и каноничности путей, выполнено Ив Б(а(Л),г0; Л) = 0, что невозможно в силу доказанного выше. Таким же образом устанавливается, что Ив Б(г0,г) не убывает при движении вдоль 7

от точки г0, если функция Ив /7(г0,г) не убывает при движении вдоль 7 от точки г0. Доказательство окончено.

Из утверждений 1.2.2 и 1.2.3 непосредственно получаем Следствие 1.2.4. Если Ив Б(а(Л), г0) < 0, то имеют место знакоопределенности Ив Б(г0,г2) > 0, Ив Б?^,^) > 0 и Ив Б?^,^) < 0, кроме того, Ив¿^(Л),^) > 0, Ив¿^(Л),^) < 0, откуда ^(¿^(Л)) = -¿'(гьа(Л)).

1.3 Асимптотические формулы для матрицы перехода

Продолжение ФСР в окрестность простой точки поворота с отслеживанием изменения асимптотики осуществляется с помощью предложения 1.3.1, идея доказательства которого состоит в следующем: в рассматриваемой ситуации существуют решения У±(г, Л), У±(г,Л), У±(г,Л) уравнения (1) с асимптотиками (1.2)-(1.3) на канонических путях 7, 7, 7 соответственно. ФСР У±(г,Л) и Л) связаны при г £ 7 и 7 соотношением

7+(г,Л)

Л

аа(Л) а2(Л)

уаз(Л) а4(Л)у уУ_(г,Л)

У+(*,Л)

I = А(Л) +( , )

где А(Л) - матрица Стокса перехода от ФСР !±(г, Л) к ФСР У±(г, Л). Асимптотика элементов этой матрицы при £ ^ 0 вычисляется с учетом асимптотических представлений ФСР при г = г0. Как следствие, |а3(Л)| убывает при £ ^ 0 в то время как |У+(г, Л)| возрастает, что приводит к необходимости уточнения асимптотики элемента а3(Л).

Для уточнения вводятся матрицы перехода В(Л), С (Л) такие что

(

7+(г,Л) \/_(*,Л)у

7+(г, Л)'

= В(Л)

= С(Л)

7+(г,Л)

(

\У_{г,Л)) (Л) &4(Л)

61 (Л) 62(Л)

(

(

У+(*,Л)

\У_(*,Л)у \с,(Л) С4(Л)

С1(Л) С2(Л)

7+(г,Л) \/_(*,Л)у

Вычислив асимптотику элементов матрицы С (Л), используя приближения в точке 22, и матрицы В(Л), с использованием приближений в точке 21, учитывая, что В(Л)С(Л) = А(Л), получаем необходимую информацию.

Предложение 1.3.1. Пусть при Л € ^ существуют образующие простой замкнутый положительно ориентированный контур канонические для продолженной аналитически ветви Б(20, 2; Л) функции (1.1) пути 7,7 и 7, такие что г (7 и 7 и 7) > 0, /(7 и 7 и 7) < то и область ими ограниченная содержит единственный (простой) нуль 2 = а(Л) функции ^(2,Л), причем Ие Б(20,а(Л); Л) > 0. Тогда найдется е0 > 0 такое, что для е € (0,е0) и Л € ^ уравнение (1) имеет две ФСР У±(2, Л) и У±(2,Л) с асимптотиками (1.2)-(1.3) на 7 и 7 соответственно и при 2 € 7 и 7 справедливы формулы связи

?+(2,Л) = У+(2,Л)(1 + 01(Л)) + У—(2,Л)02(Л), (1.4)

7—(2, Л) = -¿У+ (2, Л) ехр (2е—1/2Б(а(Л), 20; Л))(1 + 0з(Л)) +

+У—(2,Л)(1 + 04(Л)) , (1.5)

где | 0,-(Л)| ^ С(^)е1/2.

Доказательство. Согласно предложению 1.1.1 у уравнения (1) существуют ФСР У±(2, Л) и У±(2,Л) с асимптотическими при е ^ 0 представлениями

У±(2,Л) = д(2,Л)ехр ( ± е-1/2Б(20,2; Л))(1+ г±(2,Л)),

У±(2, Л) = ±вгп/4д(2,Л)-1е—1/2 ехр ( ± е-1/2Б(20,2; Л))(1+ г±(2,Л)), 2 € 7,

У±(2,Л) = 7(2, Л) ехр ( ± е-1/2Б(20,2; Л))(1+ 7±(2,Л)),

У±(2,Л) = ±егп/4д(2,Л)—1е—1/2 ехр ( ± е-1/2<7(20,2; Л))(1+ г±(2,Л)), 2 € 7,

причем |г±(2,Л)| < С(^)е1/2, |7±(2,Л)| < С(^)е1/2, |г±(2,Л)| < С(^)е1/2 и |7±(2, Л)| < С(^)е1/2. Подставляя эти формулы в соотношения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фуфаев Владимир Владимирович, 2017 год

Литература

[1] Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек - М.: Наука, 1974. 156 с.

[2] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. 460 с.

[3] Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 265 с.

[4] Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. -Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 108 с.

[5] Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1964. - Т.4, вып. 2. - С.267-277.

[6] Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН, 1952. - Т.7, вып.6. - С.3-96.

[7] Есина А.И., Шафаревич А.И. Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шредингера с комплексным потенциалом // Матем. заметки, 2010. - Т.88, №2. - С.229-248.

[8] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972. 740 с.

[9] Маслов В.П. О предельном поведении некоторых квантово-механических величин // Докл. АН СССР, 1954. - Т.94, №4. -С.623-626.

[10] Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 312 с.

[11] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука, 1969. 528 с.

[12] Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции - М.: Наука, 1990. 528 с.

[13] Повзнер А.Я. Константы Стокса для уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом // ТМФ, 1982. - Т.51, №1. - С.54-72.

[14] Степин С.А. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному // УМН, 1995. - Т.50, вып.6. - С.219-220.

[15] Степин С. А., Гидродинамическая задача Рэлея: теорема разложения по собственным функциям и устойчивость плоскопараллельных течений // Изв. РАН. Сер. матем., 1996. - Т. 60, №6. - С.201-221.

[16] Степин С.А. Несамосопряженные сингулярное возмущения и спектральные свойства краевой задачи Орра-Зоммерфельда// Матем. сб., 1997. -Т.188, №1. - С.129-146.

[17] Степин С. А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений // ФПМ, 1997. - Т.3, №4. - С. 1199-1227.

[18] Степин С.А., Аржанов А.А. Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера // Докл. РАН, 2001. -Т.378, №1. - С.18-21.

[19] Степин С.А., Аржанов А.А. О локализации спектра в одной задаче сингулярной теории возмущений // УМН, 2002. - Т.57, №3. - С.161-162.

[20] Степин С.А., Титов В.А. О концентрации спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений // Докл. РАН, 2007. - Т.413, №1. -С.27-30.

[21] Степин С.А., Титов В.А. О возмущении кратного собственного значения. // УМН, 2005. - Т.60, №1. - С.155-156.

[22] Туманов С. Н., Шкаликов А. А. Предельный спектральный граф в квазиклассическом приближении для задачи Штурма-Лиувилля с комплексным полиномиальным потенциалом // Докл. РАН, 2015. - Т. 465, №6. -С. 660-664.

[23] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. 357 с.

[24] Федорюк М.В. Асимптотика собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом // Дифференц. уравнения, 1972. - Т.8, №5. - С.811-816.

[25] Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Книжный дом "Либроком", 2009. 448 с.

[26] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). - М.: Мир, 1965. 237 с.

[27] Bender CM., Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT symmetry //Phys. Rev. Lett., 1998. - 80. - P. 5243-5246.

[28] Bender C.M., Jones H.F. WKB analysis of PT-symmetric Sturm-Liouville problems //J. Physics A, 2012. - V.45, №44.

[29] Bender C.M., Wu T.T. Anharmonic oscillator// Phys. Rev., 1969, V.184, P.1231-1260.

[30] Birkhoff G.D. Quantum mechanics and asymptotic series // Bull. Amer. Math. Soc., 1933.- V.39., N10. - P.681-700.

[31] Brillouin L. Remarques sur la mécanique ondulatoire // J. Phys. Radium, 1926. - V.7., N12. - P. 353- 368

[32] Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 605 p.

[33] Esina A.I., Shafarevich A.I. Analogs of Bohr-Sommerfeld-Maslov quantization conditions on Riemann surfaces and spectral series of nonself-adjoint operators // Russ. J. Math. Phys., 2013. - V.20, №2. - P.172-181.

[34] Esina A.I., Shafarevich A.I. Semiclassical asymptotics of eigenvalues for non-selfadjoint operators and quantization conditions on Riemann surfaces // Acta Polytechnica, 2014. - V.54, №2. - P.101-105.

[35] Farrell B.F. Optimal excitation of perturbations in viscous shear flow // Phys. Fluids, 1988. - V.31, №8. - P.2093-2102.

[36] Froman N., Froman P. O. Physical Problems Solved by the Phase-Integral Method. - Cambridge: Cambridge University press, 2002. 230 p.

[37] Giodanelli I., Graf G.M. The real spectrum of the imaginary cubic oscillator: an expository proof // Ann. H. Poincare, 2015. - V.16, N1. - P.99-112.

[38] Green G. On the motion of waves in a variable canal of small depth and width // Trans. Cambridge Philos. Soc., 1837. - V.6. - P. 457-462.

[39] Hubbard J., Masur H. Quadratic differentials and foliations // Acta Math. 1979. - V.142, N1. - P.221-274.

[40] Kramers H. A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung // Z. Physik, 1926. - V.39., N.10. - P.828-840.

[41] Liouville J. Second Memoire sur le developpement des fonctions ou parties de fonctions en series, dont les divers termes sont assujettis a satisfaire a une meme equation différentielle du second ordre, contenant un parametre variable // J. Math. Pures Appl., 1837. - V.2. - P. 16-36

[42] Newburgh J. D. The variation of spectra // Duke Math. J., 1951. - V.18, N1. - P. 165-176.

[43] Pommerenke C., Jensen G. Univalent functions. Studia Mathematica, V.25. - Göttingen:Vandenhoeck und Ruprecht, 1975. 376 p.

[44] Reddy S.C., Schmid P.J., Henningson D.S. Psuedospectra of the OrrSommerfeld operator// SIAM J. Appl. Math., 1993. - V.53, №1. - P.15-47.

[45] Shin K.C. On the reality of the eigenvalues for a class of PT-symmetric operators// Comm. Math. Phys., 2002. - V.229, №3. - P.543-564.

[46] Stokes, G. G. On the discontinuity of arbitrary constants which appear in divergent developments // Trans. Cambridge philos. soc., 1858. - V. 10. - P. 105-128.

[47] Strebel K. Quadratic differentials - Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1984. 194 p.

[48] Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen för die Zwecke der Wellenmechanik // Z. Physik, 1926, V.38. N 6. - P. 518-529.

[49] Степин С. А., Фуфаев В. В. Метод фазовых интегралов в задаче квазиклассической локализации спектра // Докл. РАН, 2015. - Т.462, №3. -С. 283-287.

[50] Фуфаев В. В. О линиях уровня гармонических функций, связанных с некоторыми абелевыми интегралами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Ма-тем. Мех., 2017. - №1. - С. 16-25.

[51] Степин С. А., Фуфаев В. В. Метод фазовых интегралов в одной задаче сингулярной теории возмущений // Изв. РАН. Сер. матем., 2017. - Т.81, №2. - С. 129-160.

[52] Степин С. А., Фуфаев В. В. Асимптотические оценки точности приближений в одной задаче теории возмущений // Международная конференция "Функциональные пространства и теория приближения функций", посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского (25-29 мая 2015 г., МИАН, г. Москва): Тезисы докладов. - М.: МИАН, 2015. - С. 228.

[53] Фуфаев В. В. Об одной модельной задаче Штурма-Лиувилля // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 3-7 июля 2015 г.: Тезисы докладов. - М.: МИАН, 2015. - С. 135-136.

[54] Фуфаев В. В. Квазиклассическая локализация спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 8-12 июля 2016 г.: Тезисы докладов. - М.: МИАН, 2016. - С. 217.

[55] Фуфаев В. В. Асимптотический анализ в одной задаче сингулярной теории возмущений // Международная конференция "Системы Аносова и современная динамика", посвященная 80-летию со дня рождения Дмитрия Викторовича Аносова, Москва, 19-23 декабря 2016 г.: Тезисы докладов. - М.: Математический институт им.

В. А. Стеклова РАН, 2016. - С. 43.