Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Гумеров, Азамат Маратович

• Гумеров, Азамат Маратович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гумеров, Азамат Маратович

Оглавление

Введение

1 Литературный обзор

1.1 Уравнение синус-Гордона и его применение в теоретической физике

1.1.1 Уравнение синус-Гордона. Интегрируемая модель

1.1.2 Модификации уравнения синус-Гордона, близкие к интегрируемым моделям

1.1.3 Энергия известных решений уравнения синус-Гордона

1.2 Аналитические методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона

1.2.1 Метод коллективных координат

1.2.2 Пример использования метода с одной коллективной переменной

1.2.3 Пример использования метода с двумя коллективными переменными

1.3 Численные методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона

1.3.1 Конечно-разностные методы решения на примере линейного волнового уравнения

1.3.2 Конечно-разностные схемы для нелинейного уравнения Клейна-Гордона

1.3.3 Другие методы численного решения УСГ

1.4 Выводы по главе

2 Методика численного решения модифицированного уравнения синус-Гордона

2.1 Численная схема

2.1.1 Случай одномерного уравнения

2.1.2 Случай многомерного уравнения

2.1.3 Исследование устойчивости явной схемы

2.2 Методы расчета характеристик системы, структуры кинка и локализованных волн

2.2.1 Вычисление динамических характеристик кинка

2.2.2 Частотный анализ временных зависимостей

2.3 Выбор параметров численной схемы и расчет погрешности

2.3.1 Выбор шага по координате

2.3.2 Выбор шага по времени. Анализ устойчивости схемы

2.3.3 Поглощение волн на краях сетки

2.4 Способы аппроксимации дельта-функции при численных расчетах

2.5 Оценка производительности численных схем и их вычислительная оптимизация

2.6 Выводы по главе

3 Резонансная инерционная динамика солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона

3.1 Динамика кинка в модели с одиночной примесью

3.1.1 Рассеяние кинка на одиночной точечной примеси

3.1.2 Рассеяние кинка на одиночной протяженной примеси

3.1.3 Динамика локализованных в области примеси нелинейных волн

3.1.4 Вычисление частоты колебательной моды в линейном приближении

3.1.5 Влияние формы примеси на динамику солитонов

3.2 Динамика кинка в модели с двумя примесями

3.2.1 Динамика рассеяния кинка в случае точечных примесей

3.2.2 Динамика рассеяния кинка в случае протяженных примесей

3.2.3 Генерация трехкинковых мультисолитонных состояний. Тритоны

3.2.4 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод (квадронов) в случае точечных примесей

3.2.5 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод (квадронов) в случае протяженных примесей

3.3 Выводы по главе

4 Влияние внешней силы и затухания на резонансную динамику солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона

4.1 Динамика кинка при наличии одиночной примеси

4.1.1 Анализ задачи методом коллективных координат

4.1.2 Влияние затухания на динамику кинков

4.1.3 Колебания локализованных волн с учетом затухания и внешней силы

4.2 Резонансная динамика кинка при наличии двойной примеси

4.2.1 Влияние затухания и внешней силы на динамику рассеяния кинка на двойной примеси

4.2.2 Генерация четырехкинковых мультисолитонных состояний в модели с двойной примесью

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список сокращений

Авторский список публикаций

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями»

Введение

Актуальность темы. За последние десятилетия в теоретической физике при исследованиях нелинейных волновых процессов наблюдается бурный прогресс, характеризуемый рядом фундаментальных достижений. Одним из таких достижений бесспорно является прогресс в изучении динамики солитонов — уединенных частицеподобных устойчивых волн, способных распространяться с постоянной скоростью и упруго взаимодействовать с себе подобными волнами. Специальные решения, способные описывать поведение подобных волн, были открыты для ряда нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, часто называемых также «солитонными» уравнениями, одним из самых известных представителей которых является уравнение синус-Гордона (УСГ). Замечательным свойством данного уравнения является его полная интегрируемость.

На сегодняшний день, модели, основанные на использовании данного уравнения и его различных модификаций, встречаются в самых разнообразных областях естествознания [13]: геологии, молекулярной биологии, физики, космологии и т.д. Помимо физической привлекательности солитонная наука интересна и с математической точки зрения. Открытие новых точных решений солитонного типа и исследование различных свойств уже известных, является актуальной математической задачей. При этом, разработано значительное количество методов интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (таких как, например, метод обратной задачи рассеяния, метод Хироты или преобразований Бэклунда) [4, 5], с помощью которых были найдены различные точные решения УСГ типа кинка, бризера и их различные мультисолитонные комбинации (см., например, [6, 7]).

Однако построение различных моделей, наиболее адекватно описывающих физические системы, приводит к необходимости модифицировать УСГ, вводя, например, переменные коэффициенты, внешнюю силу и затухание. Подобное уравнение применимо для теоретического описания динамики доменных границ в ферромагнетиках (ФМ) и слабых ферромагнетиках (СФМ) и протекания сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников. И поскольку, в общем случае, не удается найти точные решения модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ), для его исследования активно разрабатывается и применяется ряд аналитических методов (таких как, например, теория возмущений или метод коллективных координат) [2, 8-11]. С помощью данных методов был исследован ши-

рочайший спектр различных задач, среди которых, например, временная эволюция кинков и солитонов под действием внешней силы различного вида (зависящих от времени и пространственных переменных) [8]. Подробно изучаются также вопросы рассеяния кинков на области пространственной модуляции периодического потенциала (или примеси) и возбуждение локализованных нелинейных волн в области таких примесей. Было показано также, что их влияние на динамику рассеяния солитонов может приводить к качественно новым эффектам [2].

Тем не менее, во многих случаях область применения подобных аналитических методов в теоретической физике существенно ограничена необходимостью наличия малого параметра и они позволяют получить лишь качественную картину эволюции системы. Например, пространственная модуляция периодического потенциала часто моделируется в виде ¿-функции, или в других специальных видах. В более общем случае возникает необходимость применения методов численного моделирования, которые не только позволяют открывать новые явления, но и значительно продвигают исследователей к построению полной картины уже известных эффектов. Так, например, интересный эффект резонансного обмена энергией между солитонами МУСГ был открыт численно [12], а качественное объяснение ему было дано на основе метода коллективных переменных.

Надо отметить, что в настоящее время остаются малоисследованными достаточно многие подобные задачи. Например, слабо изучено влияние вида функций, моделирующих примеси, на динамику солитонов. Коллективное влияние подобных неоднородностей изучалось лишь в частных случаях [2, 13], и практически не рассматривался вопрос их влияния на динамику рассеяния кинка и характер эволюции связанных локализованных колебательных мод. Поскольку многие работы посвящены исследованиям в рамках бездиссипативных моделей, возникает еще много интересных (с физической точки зрения) вопросов. Например, сохраняются ли открытые эффекты и как изменится поведение системы при учете затухания и внешней силы. Рассмотрение таких задач могло бы существенно помочь при проведении экспериментов в реальных физических системах по наблюдению теоретически открытых эффектов (например, резонансного отражения кинков от притягивающих примесей).

Целью данной работы является теоретическое исследование динамики солитонов в одномерной модели синус-Гордона с притягивающими примесями, с учетом генерации локализованных нелинейных волн, описывающей нелинейную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами. Основные задачи, решение которых необходимо для достижения поставленной цели:

1. Изучение резонансной динамики кинков модифицированного уравнения синус-Гордона, при наличии одной и двух локализованных пространственных модуляций периодиче-

ского потенциала, с учетом возможности генерации высокоамплитудных нелинейных локализованных волн.

2. Исследование связанных колебаний двух высокоамплитудных нелинейных волн, локализованных на примесях.

3. Изучение влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и высокоамплитудных локализованных нелинейных волн.

4. Разработка программного комплекса для вычисления динамических характеристик со-литонов модифицированного уравнения синус-Гордона, инструментов анализа и средств визуализации, необходимых для физической интерпретации численно полученных данных.

Методы исследования. При решении, поставленных в данной работе задач, использовалось математическое моделирование, на основе численного решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. При наличии малого параметра использовался аналитический подход. Путем линеаризации, исходная задача сводилась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым как аналитически, так и численно. Для получения уравнений, описывающих динамику нелинейных волн, был использован метод коллективных координат, который активно применялся для изучения эволюции динамики солито-нов. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Научная новизна:

1. Исследована резонансная динамика рассеяния кинков как на точечной, так и на протяженной, примесях различных видов, размеры которых качественно соответствуют размерам (ширинам) солитонов.

2. На примере двойной примеси показано, что коллективные эффекты влияния таких примесей на динамику кинков во многом связаны с резонансным обменом энергией между солитонами. Впервые изучена временная эволюция, возбуждаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн, и получена система уравнений, аналогичная модели упруго связанных гармонических осцилляторов, приближенно описывающая колебания данных волн.

3. Впервые выполнено исследование влияния диссипации и внешней силы на резонансное рассеяние кинков на одиночной и двойной примеси и на эволюцию, получаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн. В частности, показано,

что наличие затухания в системе может приводить к значительному ослаблению (или полному исчезновению) эффектов резонансного рассеяния кинка.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенное исследование расширяет знания об общей картине динамики солитонов уравнения синус-Гордона, при наличии ПМПП, которая описывает одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников. Результаты исследования динамики кинков при наличии как точечной, так и протяженной примеси, позволяют определить условия наиболее эффективного прохождения кинка через дефектные области материала. Рассмотренная задача с двойной примесью демонстрирует качественно новые эффекты коллективного влияния примесей, вызванные уже известным ранее резонансным обменом энергией между солитонами. Найденный характер влияния затухания и внешней силы на изученные эффекты, делает рассматриваемую модель более соответствующей реальным физическим системам, что позволяет провести сравнение некоторых результатов с экспериментальными исследованиями, для описания которых применима данная модель. Разработанный программный комплекс дает возможность моделирования разнообразных физических задач, описываемых УСГ, подробного анализа и визуализации получаемых результатов в виде векторного поля. Он также может быть задействован в учебном процессе при выполнении лабораторных работ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования инерционной резонансной динамики кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями точечного и протяженного вида. Механизм использования примесей для возбуждения мультисолитонов УСГ определенного вида. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, в зависимости от начальной скорости и расстояния между двумя примесями. Зависимости частот и амплитуд внутренних мод колебаний кинка и примесных волн от параметров, описывающих свойства примеси. Уравнения, описывающие связанную динамику кинка и примесных волн.

2. Результаты исследования влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями различного вида. Уравнения, описывающие связанную и резонансную динамику кинка и примесных волн, учитывающие наличие затухания и внешней силы. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, движущегося под действием внешней силы, в зависимости от начальной стационарной скорости и расстояния между двумя примесями.

3. Разработанный программный комплекс для вычисления динамических характеристик солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, описывающего одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также путем сравнения с результатами, полученными другими авторами. Результаты численного моделирования сравнивались с известными предельными случаями, рассчитанными с помощью аналитических методов.

Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и докладывались на: Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых — ВНКСФ (Уфа 2008, Кемерово-Томск 2009, Волгоград 2010, Екатеринбург 2011, Красноярск 2012, Архангельск 2013), IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» — НННФ-4 (Саратов, 2009), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), Открытой школе-конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Уфа, 2010, 2012), Moscow International Symposium on Magnetism — MISM (Москва, 2011), Международной конференции «Functional Materials» — ICFM (Украина, Крым, 2011, 2013), Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-XXXIV» (Новоуральск, 2012), XXII Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» — НМММ (Астрахань, 2012), Joint European Magnetic Symposia — JEMS (Италия, Парма, 2012), Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (о. Банное, 2013), Международном симпозиуме «Spin Waves» (Санкт-Петербург, 2013), Международной конференции «Современный групповой анализ» — MOGRAN-16 (Уфа, 2013).

Личный вклад. Автор принимал участие в постановке задач, разработал и оптимизировал комплекс проблемно-ориентированных программ для численного моделирования, анализа и визуализации полученных результатов. Автор выполнил все численные эксперименты. Часть аналитических результатов получена совместно с Е. Г. Екомасовым и Р. В. Кудрявцевым. Разработка некоторых программных модулей велась совместно с Р. Р. Муртазиным.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 29 работах, в том числе, 8 изданы в журналах, рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата наук, 16 — в материалах конференций и других изданиях, 5 — свидетельств о государственной регистрации программ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 178 страниц текста, включающего 85 рисунков, 2 таблицы и 193 библиографических ссылки.

Глава 1 Литературный обзор

В современной теоретической физике важное место занимает понятие «солитона», которым обозначают бегущую с постоянной скоростью уединенную устойчивую волну (или волновой пакет), формируемую в результате нелинейного взаимодействия со средой. Характерная особенность солитонов состоит в том, что они могут длительное время сохранять устойчивость и не расплываться в диспергирующих средах. Но наиболее привлекательна способность этих волн (по меньшей мере некоторых из них) упруго взаимодействовать с себе подобными с последующим восстановлением структуры, благодаря которой им часто приписывают поведение частиц. Солитоны, как очень немногочисленные решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, представляют собой важный инструмент для математических и физических исследований нелинейных волновых феноменов. Впервые эти уединенные волны наблюдались на поверхности воды в 1844 году [14], а математическое описание их поведения было предложено только в 1895 году [15] с помощью нелинейного уравнения в частных производных:

ди ^ д3и _ д

дх3 дх '

известного также как уравнение Кортевега-де-Фриза (КдФ).

Для более детального понимания физических аспектов существования солитона, необходимо прояснить несколько моментов. Математически можно показать, что нелинейное взаимодействие со средой приводит к увеличению крутизны переднего профиля (или «укруче-нию») распространяющих волн и их последующему «опрокидыванию» (см.,например, [16]). Однако в реальности этого не происходит, поскольку данному процессу препятствует дисперсия (а также диссипация) в системе. Дисперсия, в противоположность нелинейности, приводит к расплыванию профиля волны в пространстве. Устойчивость солитонов объясняется противодействием этих двух процессов, и поэтому в уравнении (1.1) нелинейный 6и(ди/дх) и дисперсионный д3и/дх3 члены могут уравновешивать друг друга.

На сегодняшний день наличие решений солитонного типа установлено для ряда других уравнений (которые содержат нелинейный и дисперсионный вклады аналогично (1.1)): Клейна-Гордона, нелинейного уравнения Шредингера, синус-Гордона и т.д. Данные уравнения называются «солитонными» и их объединяет замечательное свойство «полной интегрируемости», под которым подразумевается, что для них существует бесконечный набор коммутирующих интегралов движения [5, 17, 18]. Это обстоятельство обуславливает существенный математический интерес к исследованию данных уравнений. Производные от них неинтегрируемые и «близкие к интегрируемым» модели (получаемые из интегрируемых путем добавления или модификации одного или нескольких членов уравнения) могут описывать поведение уединенных волн в различных реальных средах и играют важную роль во многих областях теоретической физики.

Солитонные решения уравнения синус-Гордона, как одного из наиболее исследуемых «со-литонных» уравнений на сегодняшний день, широко используются в самых различных областях науки и техники. Например, для описания волновых процессов в геологических средах, нематических жидких кристаллах, динамики ДНК в молекулярной биологии, динамики доменных границ в магнетиках, дислокаций в кристаллах, флаксонов в джозефсоновских контактах [1-3, 19].

1.1 Уравнение синус-Гордона и его применение в теоретической физике

Изначально уравнение синус-Гордона использовалось в дифференциальной геометрии для изучения гиперболических криволинейных поверхностей. Однако особую важность для теоретической физики оно приобрело, когда для него были найдены решения солитонного типа, с помощью которых можно описать различные возбуждения, возникающие в реальных физических объектах.

1.1.1 Уравнение синус-Гордона. Интегрируемая модель

Уравнение синус-Гордона имеет вид [20]:

д2и д2и

«г-а^"^0- С-2'

Его двумерный аналог записывается в форме:

д2и _ д2и _ д2и

<Э£2 дх2 ду2

+ 8тС7 = 0. (1.3)

В зарубежной литературе размерность уравнения (1.3) часто обозначается как «(2+1)-размерность», которая означает, что функция и = и(Ь,х,у) зависит от трех независимых переменных: одной временной и двух пространственных переменных [21]. В этом смысле уравнения (1.2), как и (1.1), являются (1 + 1)-мерными нелинейными эволюционными уравнениями. Трехмерное уравнение синус-Гордона, т.е. (3+1)-размерности, запишется в виде:

д2и д2и д2и д2и тт п

Уравнение (1.2) имеет решение в виде топологического солитона (или «кинка»):

= 4агсЬё (ехр [Д(и0)_1(® - «о*)]) , (1.5)

где А(у) = (1 — г>2)1/2, у0 - непрерывный параметр (0 < у0 < 1), определяющий скорость движения кинка. Есть также пространственно локализованное решение уравнения (1.2) -покоящийся «бризер»:

/■ \ I \/1 — оо2 БтсоЬ \ ,,

иЫеаШег{х,Ь) = 4arctg-------, (1.6)

У СО СП [VI — СОг{х — Жо)] I

где и - частота колебаний бризера, х0 - координата его центра. Решение (1.6) часто рассматривается как связанное состояние кинка и антикинка. Другим двухкинковым (не локализованным) решением является «солитон-антисолитонная пара»:

икшк-апиыпк{х= 4ап^ (----■ ^—VI1 • (1-7)

Уг»0 сЬ [Д(г»о) 1{х-х0)\;

Для двумерного случая (1.3) недавно также были предложены точные солитонные решения. Например, двумерное обобщение для покоящегося кинка можно представить в виде

[7]:

и(х,у,Ь) = 4агй£ (ехр[Дх(ж-ж0) + Ау(у - у0)\), (1.8)

где безразмерные константы Ах и Ду связаны соотношением:

+ = 1.

(1.9)

А двумерный аналог бризера можно записать в виде [7]:

тт / \ л (л/1— вт^ \

иыеа1кег{х,у^) = 4aГCtg------г- , (1.10)

V и сЬ (Ах(ж-гсо) +Ду(у-2/о))/ где на Дж и также накладывается ограничение:

1 + ш

А2 + А2 = ——. (1.11)

Соответственно солитон-антисолитонная пара запишется в виде [7]:

ик^апЫкгпк(х,У>г) = 4агс1ё • сЬ Шх-ъП^У-У*))] ' ^

где константы Ах и Ау связаны следующим образом:

2

+ = (1-13)

Также в работе [7] получено несколько новых точных решений, которые можно рассматривать как модифицированные аналоги решений (1.8)-(1.12): в виде одиночного движущегося двумерного кинка, движущейся локализованной бризерной волны и взаимодействующих солитон-антисолитонной пары (движущейся как целое).

Активно исследуется также уравнение синус-Гордона более высоких размерностей пространства. Так, например, предложены трехмерные точные решения уравнения (1.4) (см., например, [22-24]). В работах [25, 26] исследуется случай п-мерного пространства и получены точные решения, которые включают в себя различные комбинации гиперболических, тригонометрических и эллиптических функций Якоби.

Стоит отметить, что в последнее время интерес многих исследователей направлен на изучение связанных состояний приведенных выше решений типа кинка и бризера (1.5)-(1.6), которые являются точными решениями уравнений (1.2)—(1.4) (так называемые «мультисо-литоны») [27, 28]. При этом, для нахождения мультисолитонных решений, на сегодняшний день существует богатый набор специальных аналитических методов, обсуждение которых будет приведено в подразделе 1.2.

Часто мультисолитонное решение можно получить из возмущенного односолитонного состояния. Например, в [28] численно для одномерного случая было показано, что слабовозмущенный кинк сохраняет устойчивость с течением времени, однако при действии сильного возмущения у кинка происходит существенное возбуждение внутренних мод и он переходит в мультисолитонное решение типа «воббл», которое уже описывается более сложным

решением [6, 28]:

y/l-ш2 gjn lgEm(x-xo) / g-m\/l-w2(x-xo) ß2 emVl-w2 (x-xo) \

Uwobbie{x, t) = -arctg—--- --=5-----(1.14)

P ch (mV 1 - u2(x - xq)) + pe£m(x~x°) sin mut

где

1 — £у/1 — W

P= „ , Л-=f. -1<W<1, e = ±l, (1.15)

i + ел/Г^

ж0 - координата «центра» решения (однако, в отличие от кинка (1.5), этот параметр не совпадает с геометрическим центром кинка), ш - частота осцилляции воббла. Решение (1.14) получено аналитически с помощью метода обратной задачи рассеяния [4]. Стоит отметить, что параметры ß, т, е позволяют принципиально изменять общий вид решения. Для определенности рассмотрим лишь частный случай /3 = 1, т = 1, е = 1 и исключим данные параметры из дальнейшего рассмотрения. Предельный переход из мультисолитонного состояния (1.14) в односолитонное (1.5) возможен в случае и —> 1:

lim Uwobble(x,t) = 4arctge£(x-xo). (1.16)

ш—>1

По аналогии с численным исследованием возмущенного кинка [28], в работе [29] изучаются свойства других разновидностей воббла, которые получаются путем возмущения пар, состоящих из солитонов и бризеров. Для найденных солитонных и бризерных состояний характерна также дополнительная зависимость амплитуды от времени. При этом, в качестве численной проверки на солитоноподобность используется тот факт, что данные мультисоли-тонные образования упруго взаимодействуют с движущимся бризером. В работе [6] другим аналитическим методом помимо воббла (1.14) получено также устойчивое мультисолитонное решение, состоящее из кинка и двух бризеров. Численно показана устойчивость полученных мультисолитонов к действию малых возмущений. В работе [30] аналитически получены многосолитонные решения (на примере двух- и трехсолитонных) не только для одномерного уравнения (1.2), но и для его аналогов более высокой размерности (1.3) и (1.4).

1.1.2 Модификации уравнения синус-Гордона, близкие к интегрируемым моделям

На сегодняшний день известно достаточно большое количество задач, для моделирования которых в том или ином приближении можно применить полностью интегрируемое уравнение синус-Гордона (1.2). Однако реалистичные модели (более адекватно соответствующие реальным физическим системам) основываются, как правило, на различных модификациях

данного уравнения, учитывающих действие различных внешних возмущений, неоднородно-стей параметров системы и т.д.

К примеру, изучается влияние различного вида возмущений на возбуждение внутренних мод солитонов УСГ. Причем, если исследование влияния малых возмущений на решения УСГ можно проводить с помощью хорошо разработанной теории возмущений для солитонов [1, 2, 31, 32], то влияние больших возмущений, в общем случае, можно изучать только при помощи методов численного исследования [33, 34]. Например, во многих работах изучается влияние внешней силы, которая зависит от координат и времени и описывается функциями дельтообразного, ступенчатого, гиперболического и гармонического видов [2, 3].

Так как УСГ описывает многие явления в различных областях теоретической физики, ясно, что задача о решении данного уравнения в присутствии локальных неоднородностей параметров системы (или примесей) возникает вполне естественно. Например, в магнитных системах такие неоднородности могут возникать не только от структурных дефектов кристаллической решетки, но и от химического, светового или механических воздействий [1, 35, 36]. Другим примером могут быть искусственно созданные многослойные структуры, состоящие из различных материалов (или одного и того же, но с различными материальными параметрами) [37, 38]. Причем есть два основных подхода, часто используемых при теоретическом описании неоднородных материалов. Первый из них заключается в том, что для каждой однородной области системы (т.е. в пределах которых материальные параметры неизменны) записывается отдельное уравнение, и на границе областей добавляются дополнительные условия «сшивки» решений. Другой возможный метод состоит в том, что для описания неоднородной области используется пространственная модуляция параметров уравнения. Например, наличие примеси в модели УСГ часто учитывается пространственной модуляцией периодического потенциала (т.е. коэффициента перед синусом).

Таким образом, в одном из вариантов модифицированное уравнения СГ можно представить в виде:

д2и д211 ди

ж + *(*)81п и = ~р(х> - 0 ■■17>

где ф(х) — функция, характеризующая пространственную модуляцию периодического потенциала, Р(х,1,и) — внешняя сила, а — параметр диссипации.

Важным отличием уравнения (1.17) от (1.2) является то, что оно не является полностью интегрируемым и для него не удается найти точные решения (в общем случае).

Во многих случаях (например, при ф(х) = 1) для описания поведения солитонов применима модель точечной частицы. В этом случае их временная эволюция может быть описана обыкновенными дифференциальными уравнениями [2, 8]. Например, в работах [39, 40] бы-

ли получены качественные оценки для изменения скорости кинка, вызванного действием внешней силы.

В литературе вопросы солитон-примесных взаимодействий (т.е. когда ф(х) Ф 1) для одномерного случая освещаются достаточно широко, см., например, [31, 41]. Надо отметить, что модель классической частицы для взаимодействия кинка с примесью применима в случае, когда примесь не допускает существования примесной моды — локализованного колебательного состояния на примеси. Важность примесных мод при взаимодействии кинка с примесями показана в работах [12, 27, 34, 42-44].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гумеров, Азамат Маратович, 2013 год

Список использованных источников

1. Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны / М. А. Шамсутдинов, В. Н. Назаров, И. Ю. Ломакина [и др.]. — М. : Наука, 2009. — 368 с.

2. Браун, О. М. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения / О. М. Браун, Ю. С. Кившарь. — М. : Физматлит, 2008. — 519 с.

3. Якушевич, Л. В. Нелинейная физика ДНК / Л. В. Якушевич. — М. : Институт компьютерных исследований; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. — 252 с.

4. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X. Сигур. — М. : Мир, 1987. - 479 с.

5. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский. — М. : Наука, 1980. — 321 с.

6. Ferreira, L. A. Wobbles and other kink-breather solutions of sine-Gordon model / L. A. Ferreira, B. Piette, W. J. Zakrzewski // Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 77. - P. 036616.

7. Johnson, S. New exact solutions for the sine-Gordon equation in 2+1 dimensions / S. Johnson, P. Suarez, A. Biswas // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2012. - Vol. 52, no. 1. - P. 98-104.

8. Шаповалов, А. В. Солитоны уравнения синус-Гордона / А. В. Шаповалов, Л. А. Крас-нобаева. - Томск : Изд-во ТГУ, 2009. - 192 с.

9. Stability of stationary fronts in a non-linear wave equation with spatial inhomogeneity /

C. J. K. Knight, G. Derks, A. Doelman, H. Susanto // Journal of Differential Equations.

- 2013. - Vol. 254, no. 2. - P. 408-468.

10. Ferreira, L. A. The concept of quasi-integrability: a concrete example / L. A. Ferreira, W. J. Zakrzewski // Journal of High Energy Physics. - 2011. - Vol. 2011, no. 5. -P. 1-39.

11. Dauxois, T. Physics of solitons / T. Dauxois, M. Peyrard. — New York : Cambridge University Press, 2010. - 436 p.

12. Kivshar, Yu. S. Resonant soliton-impurity interactions / Yu. S. Kivshar, F. Zhang, L. Vazquez // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol. 67. - P. 1177-1180.

13. Paul, D. I. Application of soliton theory to ferromagnetic domain wall pinning /

D. I. Paul // Physics Letters A. - 1978. - Vol. 64, no. 5. - P. 485-488.

14. Russell, J. S. Report on waves / J. S. Russell //' 14th meeting of the British Association for the Advancement of Science. - Vol. 311. - 1844. - P. 390.

15. Korteweg, D. J. XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves / D. J. Korteweg, G. De Vries // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1895.

- Vol. 39, no. 240. - P. 422-443.

16. Рыскин, H. M. Нелинейные волны / H. M. Рыскин, Д. И. Трубецков. — М. : Физматлит, 2000. - 272 с.

17. Заславский, Г. М. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. — М. : Наука, 1988. — 379 с.

18. Lamb, G. L. Jr. Elements of Soliton Theory / G. L. Jr. Lamb. - New York : Wiley, 1980. - 289 p.

19. Борисов, А. Б. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т.2. Топологические солитоны, двумерные и трехмерные «узоры» / А. Б. Борисов,

B. В. Киселев. - Екатеринбург : УрО РАН, 2011. - 416 с.

20. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. - М. : Мир, 1988. - 694 с.

21. Дубровский, В. Г. Введение в метод d-одевания: учеб. пособие / В. Г. Дубровский. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. — 65 с.

22. Leibbrandt, G. New Exact Solutions of the Classical Sine-Gordon Equation in 2+1 and 3+1 Dimensions / G. Leibbrandt // Phys. Rev. Lett. - 1978. - Vol. 41. - P. 435-438.

23. Аэро, Э. JI. Решения трехмерного уравнения синус-Гордон / Э. JI. Аэро, Э. JI. Булыгин, Ю. В. Павлов // Теоретическая и математическая физика. — 2009. — Т. 158, № 3. —

C. 370-377.

24. Аэро, Э. J1. Новый подход к решению классического уравнения синус-гордона и его обобщений / Э. JI. Аэро, Э. JI. Булыгин, Ю. В. Павлов // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 10. - С. 1428-1438.

25. New exact solutions of the (n+1)-dimensional sine-Gordon equation using double elliptic equation method / Meng Qing, He Bin, Rui Weiguo, Long Yao // International Journal of Computer Mathematics. - 2010. - Vol. 87, no. 3. - P. 591-606.

26. Li, Jibin. Bounded travelling wave solutions for the (n+l)-dimensional sine- and sinh-Gordon equations / Jibin Li, Ming Li // Chaos, Solitons and Fractals. — 2005. — Vol. 25, no. 5. - P. 1037-1047.

27. Белова, Т. И. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля / Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев // УФН. - 1997. - Т. 167, № 4. - С. 377-406.

28. Kalberman, G. The sine-Gordon wobble / G. Kalberman // J. Phys. A: Math. Gen. — 2004. - Vol. 37. - P. 11603-11612.

29. Попов, С. П. Возмущенные солитонные решения уравнения sin-Гордона / С. П. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Т. 49, № 12. - С. 2182-2188.

30. Wazwaz, А. М. N-soliton solutions for the sine-gordon equation of different dimensions / A. M. Wazwaz // Journal of Applied Mathematics and Informatics. — 2012. — Vol. 30, no. 5-6. - P. 925-934.

31. Dynamics of sine-Gordon solitons in the presence of perturbations / M. B. Fogel, S. E. Trullinger, A. R. Bishop, J. A. Krumhandl // Phys. Rev. B. - 1977. - Vol. 15. -P. 1578-1592.

32. Алфимов, Г. JI. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа «кинк» в пределе слабой нелокальности / Г. Л. Алфимов // Нелинейная динамика. — 2009. — Т. 5, № 4. - С. 585-602.

33. Zhang, F. Resonant kink-impurity interactions in the sine-Gordon model / F. Zhang, Yu. S. Kivshar, L. Vazquez // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 45, no. 8. - P. 6019-6030.

34. Piette, B. Scattering of sine-Gordon breathers on a potential well / B. Piette, W. J. Za-krzewski // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 79. - P. 046603.

35. Шафеев, P. P. Динамика магнитных солитонов локализованных в области неоднородности параметра обменного взаимодейтсвия / Р. Р. Шафеев, В. Н. Назаров, М. А. Шам-сутдинов // Вестник Башкирского университета. — 2011. — Т. 16, № 2. — С. 326-329.

36. Light-induced magnetic anisotropy in Co-doped garnet films / A. Stupakiewicz, A. Maziewski, I. Davidenko, V. Zablotskii // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64, no. 6. - P. 064405.

37. Динамика магнитного кинка в обменно-связанных ферромагнитных слоях / М. А. Шамсутдинов, И. Т. Хабибуллин, А. Т. Харисов, А. П. Танкеев // Физика металлов и металловедение. — 2009. — Т. 108, № 4. — С. 345-358.

38. Фазовые переходы и полидоменные состояния в магнитных наноструктурах с конкурирующими анизотропиями / И. Е. Драгунов, С. В. Бухтиярова, И. В. Жихарев [и др.] // Физика твердого тела. - 2006. - Т. 48, № 8. - С. 1504-1514.

39. Fogel, М. В. Dynamic polarizability of the sine-Gordon soliton / M. B. Fogel, S. E. Trullinger, A. R. Bishop // Physics Letters A. - 1976. - Vol. 59, no. 2. -P. 81-83.

40. McLaughlin, D. W. Perturbation analysis of fluxon dynamics / D. W. McLaughlin, A. C. Scott // Physical Review A. - 1978. - Vol. 18, no. 4. - P. 1652.

41. Numerical simulation of sine-Gordon soliton dynamics in the presence of perturbations / J. P. Currie, S. E. Trullinger, A. R. Bishop, J. A. Krumhandl // Phys. Rev. B. - 1977. -Vol. 15, no. 12. - P. 5567-5580.

42. Javidan, K. Analytical formulation for soliton-potential dynamics / K. Javidan // Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 78. - P. 046607.

43. Piette, B. Scattering of sine-Gordon kinks on potential wells / B. Piette, W. J. Za-krzewski // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — Vol. 40. — P. 5995-6010.

44. Екомасов, E. Г. Изучение зарождения и эволюции магнитных неоднородностей типа солитонов и бризеров в магнетиках с локальными неоднородностями анизотропии / Е. Г. Екомасов, Ш. А. Азаматов, Р. Р. Муртазин // Физика Металлов и Металловедение. - 2008. - Т. 105, № 4. - С. 341-349.

45. Zhang, Fei. Breather scattering by impurities in the sine-Gordon model / Fei Zhang // Phys. Rev. E. - 1998. - Vol. 58. - P. 2558-2563.

46. Bratsos, A. G. The solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using the method of lines / A. G. Bratsos // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2007.

- Vol. 206, no. 1. - P. 251-277.

47. Екомасов, E. Г. Возбуждение нелинейных уединенных изгибных волн в движущейся доменной границе / Е. Г. Екомасов, Ш. А. Азаматов, Р. Р. Муртазин // Физика Металлов и Металловедение. — 2009. — Т. 108, № 6. — С. 1-6.

48. Mirzaei, D. Boundary element solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using continuous linear elements / D. Mirzaei, M. Dehghan // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2009. - Vol. 33, no. 1. - P. 12-24.

49. Dehghan, M. The dual reciprocity boundary element method (DRBEM) for two-dimensional sine-Gordon equation / M. Dehghan, D. Mirzaei // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2008. — Vol. 197, no. 6-8. — P. 476-486.

50. Christiansen, P. L. Numerical study of 2+1 dimensional sine-Gordon solitons / P. L. Christiansen, P. S. Lomdahl // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1981. — Vol. 2, no. 3. — P. 482-494.

51. Djidjeli, K. Numerical solutions of a damped Sine-Gordon equation in two space variables / K. Djidjeli, W. G. Price, E. H. Twizell // Journal of Engineering Mathematics. — 1995.

- Vol. 29, no. 4. - P. 347-369.

52. Hilgenkamp, H. Pi-phase shift Josephson structures / H. Hilgenkamp // Superconductor Science and Technology. - 2008. - Vol. 21, no. 3. - P. 034011.

53. Goodman, R. H. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: The two-bounce resonance / R. H. Goodman, R. Haberman // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2004. — Vol. 195, no. 3. - P. 303-323.

54. Goodman, R. H. Chaotic scattering and the n-bounce resonance in solitary-wave interactions / R. H. Goodman, R. Haberman // Physical review letters. — 2007. — Vol. 98, no. 10. - P. 104103.

55. Kivshar, Yu. S. Addendum: Dynamics of solitons in nearly integrable systems / Yu. S. Kivshar, B. A. Malomed // Reviews of Modern Physics. — 1991. — Vol. 63, no. 1. - P. 211.

56. Real time fluxon dynamics in Josephson transmission line / H. Akoh, S. Sakai, A. Yagi, H. Hayakawa // Magnetics, IEEE Transactions on. — 1985. — Vol. 21, no. 2. — P. 737-740.

57. Sakai, S. Fluxon transfer device / S. Sakai, H. Akoh, H. Hayakawa // Japanese journal of applied physics. - 1985. - Vol. 24, no. 10. - P. L771-L773.

58. Серпученко, И. JI. Экспериментальное наблюдение тонкой структуры на ВАХ длинных джозефсоновских переходов с решеткой неоднородностей / И. Л. Серпученко,

A. В. Устинов // Письма в ЖЭТФ. - 1987. - Т. 46, № 11. - С. 435-437.

59. Обнаружение статических связанных состояний флуксонов в распределенных джозефсоновских переходах с неоднородностями / Л. Я. Выставкин, Ю. Ф. Драчевский,

B. Я. Кошелец, И. Л. Серпученко // Физика низких температур. — 1988. — Т. 14. —

C. 646-647.

60. Kivshar, Yu. S. Finite-size effects in fluxon scattering by an inhomogeneity / Yu. S. Kivshar, A. M. Kosevich, O. A. Chubykalo // Physics Letters A. - 1988. — Vol. 129, no. 8. - P. 449-452.

61. Piette, B. Dynamical properties of a soliton in a potential well / B. Piette, W. J. Za-krzewski // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — Vol. 40, no. 2. - P. 329-346.

62. Pinned fluxons in a Josephson junction with a finite-length inhomogeneity / G. Derks, A. Doelman, C. J. K. Knight, H. Susanto // European Journal of Applied Mathematics. — 2012. - Vol. 23, no. 2. - P. 201-244.

63. Coupling of two superconductors through a ferromagnet: evidence for а ж junction / V. V. Ryazanov, V. A. Oboznov, A. Yu. Rusanov [et al.] // Physical review letters. — 2001. - Vol. 86, no. 11. - P. 2427.

64. Stability analysis of 7r-kinks in а 0-7Г Josephson junction / G. Derks, A. Doelman, S. A. van Gils, H. Susanto // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. — 2007.

- Vol. 6, no. 1. - P. 99-141.

65. Goldobin, E. Semifluxons in long Josephson 0-7Г-junctions / E. Goldobin, D. Koelle, R. Kleiner // Physical Review B. - 2002. - Vol. 66, no. 10. - P. 100508.

66. Static semifluxons in a long Josephson junction with ^--discontinuity points / H. Susanto, S. A. van Gils, T. P. P. Visser [et al.] // Physical Review B. - 2003. - Vol. 68, no. 10.

- P. 104501-104508.

67. Ratchetlike Dynamics of Fluxons in Annular Josephson Junctions Driven by Biharmonic Microwave Fields / A. V. Ustinov, C. Coqui, A. Kemp [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2004.

- Vol. 93, no. 8. - P. 087001.

68. Gulevich, D. R. Flux Cloning in Josephson Transmission Lines / D. R. Gulevich, F. V. Kus-martsev // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 97. - P. 017004.

69. Косевич, A. M. Введение в нелинейную физическую механику / А. М. Косевич, А. С. Ковалев. — Киев : Наукова думка, 1989. — 304 с.

70. Ландау, Л. Д. Собрание трудов / Л. Д. Ландау. — М. : Наука, 1972. — Т. 1. — 254 с.

71. Борисов, А. Б. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т.1. Квазиодномерные магнитные солитоны / А. Б. Борисов, В. В. Киселев. — Екатеринбург : УрО РАН, 2009. - 511 с.

72. Киселев, В. В. Нелинейные коллективные возбуждения в геликоидальных магнитных структурах / В. В. Киселев, А. А. Расковалов // Физика металлов и металловедение.

- 2012. - Т. 113, № 12. - С. 1180-1192.

73. Звездин, А. К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках / А. К. Звез-дин // Письма в ЖЭТФ. - 1979. - Т. 29, № 10. - С. 553-610.

74. Барьяхтар, В. Г. Влияние периодического поля с постоянной и медленно меняющейся частотой на движение кинка в ДНК / В. Г. Барьяхтар, Б. А. Иванов, А. Л. Сукстан-ский // ЖЭТФ. - 1980. - Т. 78, № 4. - С. 1509-1522.

75. Преображенский, А. А. Магнитные материалы и элементы / А. А. Преображенский, Е. Г. Бишард. — М. : Высшая школа, 1986. — 352 с.

76. Борщеговский, О. А. Квазирелятивистская динамика антиферромагнитных вихрей в доменных границах ортоферрита иттрия : Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.04.11 / О. А. Борщеговский ; МГУ. - М. : МГУ, 2007. - 106 с.

77. Kiselev, V. V. Forced motion of breathers and domain boundaries against the background of nonlinear magnetization wave / V. V. Kiselev, A. A. Rascovalov // Chaos, Solitons and Fractals. - 2012. - Vol. 45, no. 12. - P. 1551-1565.

78. Киселев, В. В. Вынужденное движение уединенных доменов и доменных границ в поле нелинейной волны намагниченности / В. В. Киселев, А. А. Расковалов // Физика металлов и металловедение. — 2010. — Т. 109, № 6. — С. 625-638.

79. Shafeev, R. R. Influence of an external magnetic field on the dynamics of a new-phase nucleus in the vicinity of the first-order phase transition'in magnets with defects present / R. R. Shafeev, V. N. Nazarov // Modern Physics Letters B. - 2012. - Vol. 26, no. 28.

- P. 1250183.

80. Киселев, В. В. Взаимодействие бризера с волной намагниченности в ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось» / В. В. Киселев, А. А. Расковалов // Теоретическая и математическая физика. — 2010. — Т. 163, № 1. — С. 94-113.

81. Влияние одномерных «дефектов» на динамику зародыша новой фазы вблизи фазового перехода I рода в магнетиках / В. Н. Назаров, Р. Р. Шафеев, М. А. Шамсутдинов, И. Ю. Ломакина // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54, № 2. - С. 282-287.

82. Скалдин, О. А. Асимметрия временной динамики бризеров в электроконвективной твист-структуре нематика / О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева // Письма в ЖЭТФ. - 2013. - Т. 97, № 2. - С. 98-103.

83. Шиховцева, Е. С. Нелинейные задачи квантовой механики в физике макромолекул / Е. С. Шиховцева. — Уфа : Гилем, 2002. — 112 с.

84. Alfimov, G. L. Nonlocal electrodynamics of fluxons and nonlinear plasma oscillations in a distributed Josephson junction with electrodes of arbitrary thickness / G. L. Alfimov, A. F. Popkov // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73, no. 21. - P. 214512.

85. Abdumalikov, A. A. Jr. Nonlocal electrodynamics of Josephson vortices in superconducting circuits / A. A. Jr. Abdumalikov, G. L. Alfimov, A. S. Malishevskii // Superconductor Science and Technology. - 2009. - Vol. 22, no. 2. - P. 023001.

86. Kivshar, Yu. S. Radiative and inelastic effects in dynamics of double sine-gordon solitons / Yu. S. Kivshar, B. A. Malomed // Physics Letters A. - 1987. - Vol. 122, no. 5. -P. 245-248.

87. Creation of sine-Gordon solitons by a pulse force / Yu. S. Kivshar, B. A. Malomed, F. Zhang, L. Vazquez // Phys. Rev. B. - 1991. - Vol. 43. - P. 1098-1109.

88. Ferreira, L. A. A simple formula for the conserved charges of soliton theories / L. A. Ferreira, W. J. Zakrzewski // Journal of High Energy Physics. — 2008. - Vol. 2007, no. 09.

- P. 015.

89. Кудряшов, H. А. Нелинейные волны и солитоны / Н. А. Кудряшов // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — Т. 2. — С. 85-91.

90. Kudryashov, N. A. A note on 'New kink-shaped solutions and periodic wave solutions for the (2+l)-dimensional Sine-Gordon equation' / N. A. Kudryashov, P. N. Ryabov, D. I. Sinelshchikov // Applied Mathematics and Computation. — 2010. — Vol. 216, no. 8.

- P. 2479-2481.

91. Konopelchenko, B. G. Introduction to multidimensional integrable equations: the inverse spectral transform in 2+1-dimensions / B. G. Konopelchenko. — New York - London : Plenum Press, 1992.

92. Киселев, В. В. Нелинейная динамика квазиодномерной спиральной структуры / В. В. Киселев, А. А. Расковалов // Теоретическая и математическая физика. — 2012.

- Т. 173, № 2. - С. 268-292.

93. Hirota, R. The Direct Method in Soliton Theory / R. Hirota. — New York : Cambridge University Press, 2004. - 212 p.

94. Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications / Ed. by R. M. Miura. - New York : Springer-Verlag, 1974. - 295 p.

95. Hirota, R. Exact Three-Soliton Solution of the Two-Dimensional Sine-Gordon Equation / R. Hirota // Journal of the Physical Society of Japan. — 1973. — Vol. 35. — P. 1566.

96. Kobayashi, К. K. Exact Solution on the n-Dimensional Sine-Gordon Equation / К. K. Kobayashi, M. Izutsu // Journal of the Physical Society of Japan. — 1976. — Vol. 41. - P. 1091.

97. Christiansen, P. L. Return effect for rotationally symmetric solitary wave solutions to the sine-Gordon equation / P. L. Christiansen, О. H. Olsen // Physics Letters A. — 1978. — Vol. 68, no. 2. - P. 185-188.

98. Grella, G. Special solutions of the Sine-Gordon equation in 2 + 1 dimensions / G. Grella, M. Marinaro // Lettere A1 Nuovo Cimento Series 2. - 1978. - Vol. 23, no. 12. -P. 459-464.

99. Zagrodziriski, J. Particular solutions of the sine-Gordon equation in 2 + 1 dimensions / J. Zagrodzinski // Physics Letters A. - 1979. - Vol. 72, no. 4-5. - P. 284-286.

100. Kaliappan, P. Kadomstev-Petviashvile and two-dimensional sine-Gordon equations: reduction to Painleve transcendents / P. Kaliappan, M. Lakshmanan // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1979. - Vol. 12, no. 10. - P. L249.

101. Ma, Zhengyi. Symmetry group and non-propagating solitons in the (2+l)-dimensional sine-Gordon equation / Zhengyi Ma // Applied Mathematics and Computation. — 2007.

- Vol. 194, no. 1. - P. 67-73.

102. Hereman, W. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differential equations / W. Hereman, A. Nuseir // Mathematics and Computers in Simulation. — 1997.

- Vol. 43, no. 1. - P. 13-27.

103. Chen, H. Double elliptic equation method and new exact solutions of the (n+l)-dimensional sinh-Gordon equation / H. Chen, H. Yin // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Vol. 48, no. 1. - P. 013504.

104. Gulevich, D. R. Perturbation theory for localized solutions of the sine-Gordon equation: Decay of a breather and pinning by a microresistor / D. R. Gulevich, F. V. Kusmartsev //

Phys. Rev. В. - 2006. - Vol. 74. - P. 214303.

105. Sánchez, A. Collective coordinates and length-scale competition in spatially inhomogeneous soliton-bearing equations / A. Sánchez, A. R. Bishop // SIAM review. — 1998. — Vol. 40, no. 3. - P. 579-615.

106. Malomed, B. A. Variational methods in nonlinear fiber optics and related fields / B. A. Mal-omed // Progress in Optics. - 2002. - Vol. 43. - P. 71-193.

107. Goodman, R. H. Kink-Antikink Collisions in the ф4 Equation: The n-Bounce Resonance and the Separatrix Map / R. H. Goodman, R. Haberman // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. - 2005. - Vol. 4, no. 4. - P. 1195-1228.

108. Belova, Т. I. Quasi-periodic orbits in the scalar classical Лф4 field theory / Т. I. Belova, A. E. Kudryavtsev // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 32, no. 1. — P. 18-26.

109. Campbell, D. K. Resonance structure in kink-antikink interactions in ф4 theory / D. K. Campbell, J. F. Schonfeld, C. A. Wingate // Physica D: Nonlinear Phenomena.

- 1983. - Vol. 9, no. 1. - P. 1-32.

110. Classical behavior of deformed sine-Gordon models / D. Bazeia, L. Losano, J. M. C. Mal-bouisson, R. Menezes // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2008. — Vol. 237, no. 7.

- P. 937-946.

111. Ferreira, L. A. The concept of quasi-integrability [Electronic resource] / L. A. Ferreira, G. Luchini, W. J. Zakrzewski // arXiv: 1307.7722 [hep-th], - 2013. - URL: http: //arxiv.org/abs/1307.7722.

112. Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрен, Э. Скотт. — М. : Мир, 1981. — 312 с.

113. Goodman, R. Н. Vector soliton interactions in birefringent optical fibers / R. H. Goodman, R. Haberman // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol. 71. - P. 056605.

114. Sugiyama, T. Kink-antikink collisions in the two-dimensional ф4 model / T. Sugiyama // Progress of Theoretical Physics. - 1979. - Vol. 61, no. 5. - P. 1550-1563.

115. Goodman, R. H. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: Phase space transport in a two-mode model / R. H. Goodman, P. J. Holmes, M. I. Weinstein // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2002. - Vol. 161, no. 1. - P. 21-44.

116. Willis, C. R. Comment on Existence of internal modes of sine-Gordon kinks / C. R. Willis // Phys. Rev. E. - 2006. - Vol. 73. - P. 068601.

117. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — M. : Наука, 1989. — 616 с.

118. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.

- М. : Наука, 1987. - 600 с.

119. Кунин, С. Вычислительная физика / С. Кунин. — М. : Мир, 1992. — 518 с.

120. Крылов, В. И. Начала теории вычислительных методов: Уравнения в частных производных / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. — Минск : Наука и техника, 1986. - 311 с.

121. Ames, W. F. Numerical methods for partial differential equations / W. F. Ames. — Florida : Academic Press, 1992. - 378 p.

122. Яненко, H. H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н. Н. Яненко. — Новосибирск : Наука, Сибирское отделение, 1967. — 196 с.

123. Курант, Р. О разностных уравнениях математической физики / Р. Курант, К. О. Фридрихе, Г. Леви // Успехи математических наук. — 1941. — № 8. — С. 125-160.

124. Жуков, А. И. Метод Фурье в вычислительной математике / А. И. Жуков. — М. : Наука, 1992. - 176 с.

125. Approach to equilibrium in a chain of nonlinear oscillators / F. Fucito, F. Marchesoni,

E. Marinari [et al.] // Journal de Physique. - 1982. - Vol. 43, no. 5. - P. 707-713.

126. Caravati, G. Numerical computations of Liapunov exponents for a discretized one-dimensional nonlinear Klein-Gordon equation / G. Caravati, A. Giorgilli, L. Galgani // Lettere al Nuovo Cimento. - 1983. - Vol. 38, no. 11. - P. 385-389.

127. Perring, J. K. A model unified field equation / J. K. Perring, T. H. R. Skyrme // Nuclear Physics. - 1962. - Vol. 31. - P. 550-555.

128. Strauss, W. Numerical solution of a nonlinear Klein-Gordon equation / W. Strauss, L. Vazquez // Journal of Computational Physics. - 1978. - Vol. 28, no. 2. - P. 271-278.

129. Numerical solution of the sine-Gordon equation / Guo Ben-Yu, P. J. Pascual, M. J. Rodriguez, L. Vazquez // Applied Mathematics and Computation. — 1986. — Vol. 18, no. 1.

- P. 1-14.

130. Fei, Z. Two energy conserving numerical schemes for the sine-Gordon equation / Z. Fei, L. Vázquez // Applied Mathematics and Computation. — 1991. — Vol. 45, no. 1. — P. 17-30.

131. Ablowitz, M. J. Solitary wave collisions / M. J. Ablowitz, M. D. Kruskal, J. F. Ladik // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1979. - Vol. 36, no. 3. - P. 428-437.

132. Jiménez, S. Comportamiento de ciertas cadenas de osciladores No lineales / S. Jiménez // Spain: Univ. Complutense de Madrid. Ph. D. Thesis. — 1988.

133. Jiménez, S. Analysis of four numerical schemes for a nonlinear Klein-Gordon equation / S. Jiménez, L. Vazquez // Applied Mathematics and Computation. — 1990. — Vol. 35, no. 1. - P. 61-94.

134. Mohebbi, A. High-order solution of one-dimensional sine-Gordon equation using compact finite difference and DIRKN methods / A. Mohebbi, M. Dehghan // Mathematical and Computer Modelling. - 2010. - Vol. 51, no. 5-6. - P. 537-549.

135. van der Houwen, P. J. Parallel diagonally implicit Runge-Kutta-Nystrom methods / P. J. van der Houwen, B. P. Sommeijer, N. H. Cong // Applied Numerical Mathematics. - 1992. - Vol. 9, no. 2. - P. 111-131.

136. Dehghan, M. A numerical method for one-dimensional nonlinear Sine-Gordon equation using collocation and radial basis functions / M. Dehghan, Ali Shokri // Numerical Methods for Partial Differential Equations. - 2008. - Vol. 24, no. 2. - P. 687698.

137. Bratsos, A. G. The solution of the sine-gordon equation using the method of lines / A. G. Bratsos, E. H. Twizell // International Journal of Computer Mathematics. — 1996.

- Vol. 61, no. 3-4. - P. 271-292.

138. Lakestani, M. Collocation and finite difference-collocation methods for the solution of nonlinear Klein-Gordon equation / M. Lakestani, M. Dehghan // Computer Physics Communications. - 2010. - Vol. 181, no. 8. - P. 1392-1401.

139. Dehghan, M. The spectral collocation method with three different bases for solving a nonlinear partial differential equation arising in modeling of nonlinear waves / M. Dehghan,

F. Fakhar-Izadi // Mathematical and Computer Modelling. — 2011. — Vol. 53, no. 9-10.

- P. 1865-1877.

140. Ali, A. H. A. Chebyshev Collocation Spectral Method for Solving the RLW Equation / A. H. A. Ali // International Journal of Nonlinear Science. — 2009. — Vol. 7, no. 2. — P. 131-142.

141. Li-Min, Ma. A numerical method for one-dimensional nonlinear sine-Gordon equation using multiquadric quasi-interpolation / Ma Li-Min, Wu Zong-Min // Chinese Physics B.

- 2009. - Vol. 18, no. 8. - P. 3099.

142. Bratsos, A.G. A numerical method for the one-dimensional sine-Gordon equation /

A.G. Bratsos // Numerical Methods for Partial Differential Equations. — 2008. — Vol. 24, no. 3. - P. 833-844.

143. A predictor-corrector scheme for the sine-Gordon equation / A. Q. M. Khaliq, B. Abukho-dair, Q. Sheng, M. S. Ismail // Numerical Methods for Partial Differential Equations. — 2000. - Vol. 16, no. 2. - P. 133-146.

144. Akgul, A. Numerical solution of one-dimensional Sine-Gordon equation using Reproducing Kernel Hilbert Space Method [Electronic resource] / A. Akgul, M. Inc // arXiv: 1304.0534 [math.NA], - 2013. - URL: http://arxiv.org/abs/1304.0534vl.

145. Sheng, Q. Numerical simulation of two-dimensional sine-Gordon solitons via a split cosine scheme / Q. Sheng, A. Q. M. Khaliq, D. A. Voss // Mathematics and Computers in Simulation. - 2005. - Vol. 68, no. 4. - P. 355-373.

146. Bratsos, A. G. An explicit numerical scheme for the Sine-Gordon equation in 2+1 dimensions / A. G. Bratsos // Applied Numerical Analysis and Computational Mathematics. — 2005. - Vol. 2. - P. 189-211.

147. Bratsos, A. G. A modified predictor-corrector scheme for the two-dimensional sine-Gordon equation / A. G. Bratsos // Numerical Algorithms. — 2006. — Vol. 43, no. 4. — P. 295-308.

148. Bratsos, A. G. A modified explicit numerical scheme for the two-dimensional sine-Gordon equation / A. G. Bratsos // International Journal of Computer Mathematics. — 2008. — Vol. 85, no. 2. - P. 241-252.

149. Bratsos, A. G. A third order numerical scheme for the two-dimensional sine-Gordon equation / A. G. Bratsos // Mathematics and Computers in Simulation. — 2007. — Vol. 76, no. 4. - P. 271-282.

150. Dehghan, M. A numerical method for solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using the radial basis functions / M. Dehghan, A. Shokri // Mathematics and Computers in Simulation. - 2008. - Vol. 79, no. 3. - P. 700-715.

151. Dehghan, M. Numerical simulation of two-dimensional sine-Gordon solitons via a local weak meshless technique based on the radial point interpolation method (RPIM) / M. Dehghan, A. Ghesmati // Computer Physics Communications. — 2010. — Vol. 181, no. 4.

- P. 772-786.

152. Власова, E. А. Приближенные методы математической физики / Е. А. Власова,

B. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

- 700 с.

153. Argyris, J. Finite element approximation to two-dimensional sine-Gordon solitons / J. Ar-gyris, M. Haase, J. C. Heinrich // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1991. - Vol. 86, no. 1. - P. 1-26.

154. Dehghan, M. The boundary integral equation approach for numerical solution of the one-dimensional Sine-Gordon equation / M. Dehghan, D. Mirzaei // Numerical Methods for Partial Differential Equations. - 2008. - Vol. 24, no. 6. - P. 1405-1415.

155. Gustafsson, B. High Order Difference Methods for Time Dependent PDE / B. Gustafsson.

- Berlin : Springer-Verlag, 2007. - 345 p.

156. Fishback, P. E. Linear and nonlinear programming with Maple: an interactive, applications-based approach / P. E. Fishback. — Boca Raton : CRC Press, 2011. — 413 p.

157. Kirkup, L. Data Analysis with Excel®: An Introduction for Physical Scientists / L. Kirkup.

- New York : Cambridge University Press, 2002. — 446 p.

158. De Levie, R. Advanced ExcelR for Excientific Data Analysis / R. De Levie. — New York : Oxford University Press, 2004. — 615 p.

159. Васильев, A. H. Научные вычисления в Microsoft Excel / A. H. Васильев. — M. : Диалектика, 2004. — 512 с.

160. Екомасов, E. Г. Солитоны модифицированного уравнения синус-Гордона. Учебное пособие / Е. Г. Екомасов. - Уфа : РИД БашГУ, 2009. - 94 с.

161. Кальменов, Т. Ш. Перенос условий излучения Зоммерфельда на границу ограниченной области / Т. Ш. Кальменов, Д. Сураган // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 52, № 6. — С. 1063-1068.

162. Chang, Wen-Fong. Absorbing boundary conditions for 3-D acoustic and elastic finite-difference calculations / Wen-Fong Chang, G. A. McMechan // Bulletin of the Seismolog-ical Society of America. - 1989. - Vol. 79, no. 1. - P. 211-218.

163. Engquist, B. Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations /

B. Engquist, A. Majda // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1979. — Vol. 32, no. 3. - P. 313-357.

164. Константинов, А. А. Снос краевых условий для уравнений с частными производными / А. А. Константинов, В. П. Маслов, А. М. Чеботарев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1988. — Т. 28, № 12. — С. 1763-1778.

165. Higdon, R. L. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation / R. L. Hig-don // Mathematics of computation. - 1987. - Vol. 49, no. 179. - P. 65-90.

166. Macias-Dfaz, J. E. Two finite-difference schemes that preserve the dissipation of energy in a system of modified wave equations [Electronic resource] / J. E. Macias-Dfaz, S. Jerez-Galiano // arXiv:l 112.0594 [math.NA], - 2011. - URL: http://arxiv.org/abs/ 1112.0594vl.

167. Gustafsson, B. Time dependent problems and difference methods / B. Gustafsson, H. O. Kreiss, J. Oliger. — New Jersey : John Wiley and Sons, 2013. — 528 p.

168. Min, M. S. The instability of the Yee scheme for the magic time step / M. S. Min,

C. H. Teng // Journal of Computational Physics. — 2001. — Vol. 166, no. 2. — P. 418-424.

169. Шабалин, M. А. Статика и динамика доменных границ с «тонкой структурой» в редкоземельных ортоферритах : Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.04.07 / М. А. Шабалин ; БашГУ. - Уфа : БашГУ, 2005. - 158 с.

170. Берже, П. Порядок в хаосе: О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. - М. : Мир, 1991. - 368 с.

171. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров / А. А. Амосов, Ю. А. Дубин-ский, Н. В. Копченова. - М. : Изд-во МЭИ, 2003. - 600 с.

172. Akima, Н. A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures / H. Akima // Journal of the ACM. - 1970. - Vol. 17, no. 4. - P. 589-602.

173. Ekomasov, E. G. Simulation the nonlinear dynamics of domain walls in weak ferromagnets / E. G. Ekomasov, M. A. Shabalin // The Physics of Metals and Metallography. — 2006.

- Vol. 101. - P. S48-S50.

174. Белова, Т. И. О взаимодействии солитона с примесью в теории Аф\ / Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев // ЖЭТФ. - 1995. - Т. 108, № 4. - С. 1489-1500.

175. Фаронов, В. В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня / В. В. Фаронов.

- СПб. : Питер, 2006. - 640 с.

176. Бартеньев, О. В. Современный фортран / О. В. Бартеньев. — М. : Диалог-МИФИ, 2005. - 445 с.

177. Intel®64 and IA-32 Architectures Optimization Reference Manual [Electronic resource] // Intel Corporation. — 2013. — URL: http: //intel.com/content/www/us/en/architecture-and-technology/ 64-ia-32-architectures-optimization-manual.html.

178. Voider, J. E. The CORDIC trigonometric computing technique / J. E. Voider // Electronic Computers, IRE Transactions on. — 1959. — no. 3. — P. 330-334.

179. Байков, В. Д. Вопросы исследования вычисления элементарных функций по методу «цифра за цифрой» : Автореф. дис... к-та тех. наук: 05.252 / В. Д. Байков ; Ленин, электротех. ин-т. — Л. : Изд-во Ленин, электротех. ин-та, 1972. — 19 с.

180. Байков, В. Д. Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ / В. Д. Байков, В. Б. Смолов, А. М. Шауман. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. — 96 с.

181. Muller, J. M. Elementary functions: algorithms and implementation / J. M. Muller. — Berlin : Springer, 2006. - 265 p.

182. Кнут, Д. Э. Искусство программирования. Получисленные алгоритмы / Д. Э. Кнут. — М. : Вильяме, 2001. - Т. 2. - 788 с.

183. Intel®64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual [Electronic resource] // Intel Corporation. — 2013. — URL: http://intel.com/content/www/us/en/ processors/architectures-software-developer-manuals.html.

184. AMD64 Architecture Programmer's Manual. 128-Bit and 256-Bit Media Instructions [Electronic resource] // Advanced Micro Devices. — 2013. — Vol. 4.

— URL: http://developer.amd.com/resources/documentation-articles/ deve1ope r-guides-manua1s/.

185. Precision & Performance: Floating Point and IEEE 754 Compliance for NVIDIA GPUs [Electronic resource] // NVIDIA. - 2013. - URL: http://developer.nvidia.com/content/precision-performance-\

floating-point-and-ieee-754-compliance-nvidia-gpus.

186. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, В. В. Воеводин. — СПб. : БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

187. Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, E. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2004. — 800 с.

188. Paul, D. I. Soliton theory and the dynamics of a ferromagnetic domain wall / D. I. Paul // J.Phys. C: Solid State Phys. - 1979. - Vol. 12. - P. 585-593.

189. Трубецков, Д. И. Линейные колебания и волны: Учебное пособие для вузов / Д. И. Трубецков, А. Г. Рожнев. — М. : Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2001. — 416 с.

190. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. — М. : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 560 с.

191. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. — М. : Либроком, 2010.

- 552 с.

192. Четкин, М. В. Динамика доменных границ в пленках ферритов-гранатов в больших плоскостных магнитных полях / М. В. Четкин, Ю. Н. Курбатова, Т. Б. Шалаева // Физика твердого тела. — 2010. — Т. 52, № 9.

193. Юлдашбаев, И. С. Численное моделирование зарождения магнитных неоднородностей в магнетиках с неоднородными материальными параметрами / И. С. Юлдашбаев, Р. Р. Муртазин // Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. — Красноярск : Изд-во АСФ России, 2012. — С. 320.