Нелинейные возбуждения в магнетиках с неоднородным основным состоянием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.11, кандидат физико-математических наук Расковалов, Антон Александрович

• Расковалов, Антон Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Расковалов, Антон Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Уравнение Ландау - Лифшица для ферромагнетика с анизотропией типа "легкая ось"

2. Применения модели sine-Gordon для описания магнитных структур

3. Типы геликоидальных магнитных структур и основные механизмы их формирования

4. Характеристика метода обратной задачи рассеяния

Глава 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНЫ НАМАГНИЧЕННОСТИ И ДОМЕННОЙ СТЕНКИ

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Причины вынужденного движения доменной стенки в поле спиновой волны

1.1.2. Анализ модуляционной неустойчивости нелинейной волны прецессии

1.1.3. Особенности и основные формулы метода "одевания"

1.2. Интегрирование уравнений Ландау - Лифшица для случая взаимодействия волны накачки с доменной стенкой

1.3. Обсуждение и анализ результатов

Выводы

Глава 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ВОЛНЫ С БРИЗЕРАМИ И ЗАРОДЫШАМИ ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ

2.1. Интегрирование модели методом "одевания"

2.2. Бризер на фоне волны намагниченности и сценарии его "разрушения" под действием волны

2.3. Бризер в отсутствие спиновой волны

2.4. Уединенный домен на фоне волны намагниченности

2.5. Процедура поиска интегралов движения для солитонов на фоне волны

намагниченности

Выводы

Глава 3. МУЛЬСОЛИТОНЫ В ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ

3.1. Постановка задачи

3.1.1. Модель sine-Gordon для геликоидальной структуры

3.1.2. Выбор основного состояния системы: решетка кинков

3.2. Процедура интегрирования модели при наличии солитонов в геликоидальной структуре

3.3. Солитоны в геликоидальной структуре

3.3.1. Однобризерное возбуждение

3.3.2. Столкновения бризеров

3.3.3. "Лишние" доменные стенки ("дислокации") в геликоидальной структуре

Выводы

Глава 4. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ И СПЕКТР НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ

4.1. Полный спектр солитонов и спиновых волн

4.2. Нелинейная динамика спиновых волн

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Техника работы с эллиптическими функциями

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Решение задачи Римана при наличии солитонов в спиральной структуре

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные возбуждения в магнетиках с неоднородным основным состоянием»

ВВЕДЕНИЕ

Одной из главных особенностей развития современной физики является успешное проникновение в область существенно нелинейных явлений и процессов. Классическим примером нелинейной среды служат магнетики. Магнетики разнообразны по структуре и свойствам, обладают множеством нелинейных образований и возбуждений, которыми можно сравнительно легко управлять посредством внешних полей. Поэтому магнитные материалы находят широкое применение в микроэлектронике, вычислительной технике, различных приборах и устройствах.

В традиционной феноменологической теории магнитных кристаллов сложные магнитные структуры рассматриваются как совокупность встроенных друг в друга магнитных подрешеток [1]-[4]. Несмотря на кажущуюся простоту феноменологического выражения для энергии магнетиков, условие постоянства длины векторов намагниченности подрешеток делает задачи теоретического описания больших отклонений намагниченности от основного состояния существенно нелинейными. Магнитные материалы являются хорошими модельными системами, исследование которых привело к развитию нетрадиционных методов теоретической физики. Полученные в этой области результаты в значительной мере сформировали представления о таких новых структурных единицах нелинейной физики конденсированного состояния как солитоны.

Солитоны - это пространственно локализованные частицеподобные волны, которые восстанавливают свою форму даже после взаимодействия с другими солитонами или нелинейными волнами. В нелинейной физике их роль подобна роли квазичастиц в линейной теории. В отличие от квазичастиц, солитоны несут информацию о структуре и динамике нелинейной среды, определяют кинетические, термодинамические, магнитные, механические и другие свойства конденсированных сред в условиях значительного внешнего воздействия на систему. При сильных внешних возмущениях без

предсказания и анализа солитонных состояний невозможна успешная интерпретация экспериментальных данных.

К настоящему времени наиболее полно исследованы солитоны на фоне однородного состояния конденсированных сред, в то время как аналитическое описание солитонов на неоднородном фоне до сих пор представляет значительные трудности. Первоначально ожидалось, что в слабо неоднородных средах солитоны будут испытывать постепенное затухание, а в сильно неоднородных системах произойдет их быстрый распад. Однако в результате теоретических и экспериментальных исследований были обнаружены другие менее очевидные сценарии [5]. В частности оказалось, что в периодически неоднородных средах вполне возможно формирование пространственно локализованных долгоживущих солитонов, которые восстанавливают свою внутреннюю структуру после взаимодействия друг с другом и проходят большие расстояния, не теряя энергии.

Основное состояние конденсированных сред часто бывает неоднородным. В магнитных материалах, как правило, наблюдают всевозможные периодические структуры, например, полосовые доменные структуры ферро- и антиферромагнетиков, а также геликоидальные магнитные структуры, которые теоретически описываются одномерной решеткой солитонов (кинков). Для некоторых кристаллов специальной симметрии (кристаллов без центра инверсии) формирование спиральных структур обусловлено взаимодействием Дзялошинского - Мории. Такого рода структуры обнаружены в металлах (Мп^), диэлектриках (С11В2О4) и полупроводниках (Сг1/3МЬ82).

В последние годы открыты возможности синтеза молекулярных хи-ральных магнетиков со значительным вкладом взаимодействия Дзялошинского - Мории в магнитные свойства [6]-[12]. Практический интерес к таким соединениям обусловлен тем, что они прозрачны в видимой части спектра, что позволяет использовать их при создании магнитооптических приборов и устройств. Кроме того, изменяя химический состав соединений, можно в широких пределах менять спин-спиновые взаимодействия и энергию магнитной

анизотропии. Это позволяет создавать условия, подходящие для формирования солитонов в геликоидальных структурах [13]-[15]. Последнее полезно, например, для записи, хранения, считывания и передачи информации. В природных хиральных магнетиках солитоны наблюдать трудно. Характерные взаимодействия таковы, что размер солитона составляет несколько тысяч постоянной решетки, а его резонансная частота лежит вне области прозрачности материала.

Нелинейные коллективные возбуждения решетки кинков определяют уникальные физические свойства магнетиков с геликоидальной структурой. Описание локализованных возбуждений в решетке кинков представляет малоисследованную и актуальную задачу физики магнитных явлений. К этому же кругу задач примыкают проблемы исследования взаимодействий нелинейных волн с солитонами. Теоретическое описание нелинейных возбуждений на неоднородном фоне, а также связанных с ними явлений и процессов требует специальных методов интегрирования соответствующих нелинейных моделей.

Предметом данной диссертации является изучение солитонов на "пьедестале нелинейной спиновои волны большой амплитуды, а также нелинейных коллективных возбуждений в геликоидальной магнитной структуре.

Диссертационная работа имеет следующие цели:

- исследовать новые типы солитонов при внешней накачке волной намагниченности произвольной амплитуды в квазиодномерном ферромагнетике с анизотропией типа "легкая ось";

- изучить нелинейные коллективные возбуждения в геликоидальных структурах магнетиков без центра инверсии;

- выявить возможности управления параметрами найденных солитонов.

Для достижения данных целей в работе поставлена задача:

- развить методы аналитического описания нелинейных возбуждений в средах с периодическими структурами и волнами.

На настоящее время полностью решить такую задачу возможно только с помощью метода "одевания" (модификации метода обратной задачи рассеяния). Этот метод позволяет свести проблему интегрирования исходных сильно нелинейных вещественных уравнений к решению задачи Римана теории функций комплексной переменной.

Основная трудность диссертационной работы состоит в том, что при наличии периодического фона приходится решать задачу Римана не в комплексной плоскости, а на римановой поверхности, связанной с волной накачки или с решеткой кинков геликоидальной структуры.

В методическом отношении рассматриваемые цели и задача образуют единое целое, т.к. исследуются особенности нелинейных возбуждений на периодическом фоне, развиваются универсальные методы их описания.

Научная новизна и защищаемые результаты.

1) На основе развитого в диссертации метода обратной задачи рассеяния в рамках универсальной модели sine-Gordon впервые предложена процедура аналитического описания нелинейных коллективных возбуждений в геликоидальной магнитной структуре.

2) Впервые аналитически описаны мультисолитоны и нелинейные спиновые волны в геликоидальной структуре.

3) Найдены и детально проанализированы новые точные решения модели Ландау - Лифшица, описывающие солитоны на фоне нелинейной спиновой волны в ферромагнетике с анизотропией типа "легкая ось".

На защиту выносятся:

1) Процедура интегрирования универсальных моделей магнетизма (уравнений Ландау - Лифшица, sine-Gordon) для сред с неоднородным основным состоянием.

2) Решения солитонного типа на "пьедестале" нелинейной спиновой волны, описываемые моделью Ландау - Лифшица для ферромагнетика с анизотропией типа "легкая ось".

3) Аналитическое описание нелинейных коллективных возбуждений в геликоидальной магнитной структуре в рамках модели sine-Gordon.

4) Спектр энергии коллективных возбуждений в геликоидальной структуре, включающий солитоны и спиновые волны.

Научная и практическая ценность. Изученные в работе новые физические объекты - солитоны на фоне нелинейной волны намагниченности, мультисо-литоны и диспергирующие нелинейные волны в геликоидальных структурах - интересны как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения применений. При решении широкого класса задач теории магнетизма и физики конденсированного состояния могут быть весьма эффективны развитые в диссертационной работе методы описания коллективных возбуждений в средах с неоднородным основным состоянием. Это не только углубляет понимание природы физических явлений, но и открывает перспективы дальнейшего теоретического и экспериментального изучения многочисленных нелинейных свойств таких материалов и протекающих в них процессов. Результаты работы можно использовать для планирования экспериментов по обнаружению новых солитонов в геликоидальных магнетиках. При создании приборов и устройств микроэлектроники важно эффективно возбуждать пространственно локализованные структуры с заранее заданными параметрами и управлять этими структурами. В работе найдены условия, при которых волна накачки может быть использована для управления скоростью движения солитонов.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается использованием современных проверенных математических методов расчета, отсутствием предположений при их использовании, корреляцией получен-

ных решений с известными ранее результатами при соответствующих предельных переходах.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на XXI Международной конференции "Новое в магнетизме и магнитных материалах" (Москва, 2009 г.); Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, Республика Дагестан, 2009 г.); IV конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика" (Саратов, 2009 г.); XXXIII Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка" (Новоуральск, 2010 г.); IV Евро-Азиатском симпозиуме "Trends in MAGnetism" Nanospintronics "EASTMAG 2010" (Екатеринбург, 2010 г.); Научном совете РАН по физике конденсированных сред, секция "Магнетизм" (Москва, 2011 г.).

Публикации. По материалам диссертации имеются 4 статьи в рецензируемых научных журналах, входящих в Перечень ВАК, и 5 тезисов докладов на Всероссийских и Международных конференциях.

Личный вклад автора. В совместных публикациях по теме диссертационной работы личный вклад автора заключался в проведении большинства аналитических расчетов, в обсуждении и интерпретации полученных результатов и написании статей.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух Приложений. Полный объем работы составляет 160 страниц, включая 24 рисунка и 91 наименование цитируемой литературы.

Содержание диссертации по главам и ход дальнейшего изложения. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух Приложений. Со-

U Т-Х U

держание глав отчасти видно из выносимых на защиту положении. В первой

главе ставится и решается наиболее простая задача о движении доменной стенки на фоне волны прецессии в рамках модели Ландау - Лифшица. На ее примере обсуждается специфика метода "одевания", что будет востребовано в последующих главах. Приведен детальный анализ найденного солитонного решения. В главе 2 по изложенной схеме найдены и проанализированы более сложные объекты: бризер и его частный случай - уединенный домен - на "пьедестале" нелинейной спиновой волны; проанализированы колебательные режимы, предшествующие "разрушению" бризера волной накачки, вычислен спектр интегралов движения для солитонов на фоне волны. В главе 3 ставится задача поиска и анализа нелинейных коллективных возбуждений в геликоидальной магнитной структуре в рамках модели sine-Gordon. Ее решению посвящены главы 3-4. В итоге, найдены новые решения модели sine-Gordon, которые описывают "кинки" ("лишние" доменные стенки) и бризеры (связанные состояния доменных стенок) в геликоидальной структуре, проанализированы частные случаи их взаимодействия с фоновой структурой. В главе 4 поставленная задача находит логическое завершение: с помощью регулярной задачи Римана исследуется динамика нелинейных спиновых волн в геликоидальной структуре. Спиновые волны и солитоны образуют полный спектр нелинейных возбуждений. Соответствующие им интегралы движения также найдены в главе 4. В конце каждой главы и в Заключении приводятся выводы, соответственно, по главам и по работе в целом.

Далее во Введение помещены четыре раздела, касающиеся используемых в работе моделей и метода их решения. Эти разделы содержат предварительные замечания и общие сведения, которые, по мнению автора, могут облегчить чтение основных глав диссертации.

1. Уравнения Ландау - Лнфшнца для ферромагнетика с анизотропией типа "легкая ось"

Динамика одноподрешеточного ферромагнетика описывается уравнениями Ландау - Лифшица [4]:

Э,М = -;г[МхНе{Г], Heff=~f^[' М2=М02= const, (1)

где М - вектор плотности магнитного момента среды, у - магнитомехани-ческое отношение, W - свободная энергия ферромагнетика:

W= fd3r —aik {dfM • 3АМ)+ + - (M • H0)

aik - постоянные обменного взаимодействия, H0 =Н0(г,0 - внешнее магнитное поле, w(a) - плотность энергии магнитной анизотропии кристалла, -плотность магнитостатической энергии:

wM = _I(M.H(m)) (2)

Внутреннее магнитное поле кристалла Н^, обусловленное распределением намагниченности М(х,/), определяется из уравнений магнитостатики:

rotH(m) = 0, div(H(m) + 4ям)= 0. (3)

Уравнения (1) - (3) вместе с подходящими граничными условиями дают полное описание динамики ферромагнетика. В общем случае решение системы (1) - (3) связано с серьезными аналитическими трудностями. Ситуация существенно упрощается при исследовании квазиодномерных задач. Например, при рассмотрении магнитной динамики образцов в форме сильно вытянутых ферромагнитных эллипсоидов или же нелинейных возбуждений в магнитных структурах, представляющих параллельные цепочки из магнитных атомов, когда взаимодействием между разными магнитными цепочками можно пренебречь, а постоянные обменного взаимодействия считать отличными от нуля только для одного направления - вдоль цепочек.

Для одномерных волн намагниченности, распространяющихся вдоль оси, заданной единичным вектором V, уравнения магнитостатики (3) имеют явное решение:

НИ = -4Л:(М-у)У. (4)

В простейшем случае плотность энергии анизотропии ' является квадратичной формой по компонентам вектора М. С учетом (4), энергия также оказывается квадратичной формой по компонентам вектора М. Подходящим выбором осей системы координат выражение + можно

привести в виду:

Да)

+М;(т) =-1(у1М12 +/2М22 + -/3М2). (5)

2

Перейдем к безразмерным переменным:

М = -М08, Н0=-М011, £' = сГ1/2£, ? = (6)

Здесь £ - координата вдоль направления распространения волны намагниченности:

М0 - номинальная намагниченность ферромагнетика, а - постоянная неоднородного обмена.

С учетом (5), (6), уравнения (1) примут вид:

= [8 х 5^]+[в х ./8] +(8x11], в2 =1, (7)

где J = dmg(Jl,J2>Jз)■

Cъoбoднaя энергия ферромагнетика в безразмерных переменных переписывается в форме:

Ж = М1а1'2 • 78)- (в • Ь)

(8)

В случае анизотропии типа "легкая ось", полагая Зх = , У3 - ^ = /?2 > 0, уравнения Ландау - Лифшица (7) можно записать в

виде (! = *):

a,s = [sxd2s]+/?2(n-s)[sxn], S2 = 1,

где n = (0, 0,1).

Расписывая последнее уравнение покомпонентно, получим систему скалярных уравнений Ландау - Лифшица:

ал -s+dxs3]-\p2s+s3, s± = s,

Данная форма записи уравнений используется в первых двух главах диссертации.

2. Применения модели sine-Gordon для описания магнитных структур

Теоретические исследования нелинейных магнитных возбуждений и стационарных распределений намагниченности в значительной мере основываются на использовании приближений, которые позволяют свести нелинейные уравнения феноменологической теории магнетизма к более простым моделям, имеющим точные аналитические решения. При физически оправданных приближениях в большинстве случаев их удается свести к уравнению синус - Гордон (sine - Gordon), которое учитывает основные обменные взаимодействия и эффекты кристаллографической магнитной анизотропии.

Для примера рассмотрим простой ферромагнетик с квадратичной по намагниченности энергией магнитной анизотропии. В кристаллах триклин-ной, моноклинной и ромбической систем плотность энергии ферромагнетика w записывается в виде [1]:

w = ±{a..(d,М.дуМ)-ДМ,2-АМ32} , (9)

где а у = diag(alsa2,a3) - обменные постоянные, Д, Д - постоянные анизотропии, М2 = М\ = const. Пусть выполнены условия Д >0, Д3 < 0, Д /|Д3|«1, тогда имеем преобладающую кристаллографическую анизотропию, которая

стремится "положить" вектор намагниченности среды в плоскость х1Ох2. В плоскости х{Ох2 более слабая остаточная анизотропия выделяет "легкое" направление - ось Ох,. Отсюда следует, что при не слишком сильных внешних воздействиях в параметризации намагниченности углами 0,Ф:

М = М0( sin 0 cos Ф, sin 0 sin Ф, cos 0) полярный угол 0 близок к значению 0 « п/2. Воспользуемся этим обстоятельством для построения упрощенной нелинейной модели.

В терминах углов 0,Ф уравнения Ландау - Лифшица для ферромагнетика имеют вид [4]:

(уМ^у1 sm0dt0+aikdf)k& - aik sin <9cos 0<Э;ФЗАФ+Д sin 0 cos ©eos2 Ф-Д sin(9cos(9 = О, (yM0)"' д, (cos0) + aikdi (sin2 0дкФ)~ Д sin2 0sinФ cosФ = 0, (10)

где у - магнитомеханическое отношение. Пусть характерный размер магнитных неоднородностей X удовлетворяет неравенству «¿/(¡Д3pl2)«l. Тогда из первого уравнения системы (10), полагая 0 = /(г,/) + ж/2 (j < 1), выражаем

поле % через угол Ф: %&(уМ0 |Д3|) ' д;Ф . После этого в главном приближении первое уравнение (10) сводится к эффективной модели для расчета Ф( r,t):

-[{уМ,)2 |Д|]_1 д]Ф + алдркФ - Д sinФ cosФ = 0. (11)

В безразмерных переменных х\ = xl-sJfij2al (/ = 1,2,3), t' = yM0t<JjB1\j33\/2 уравнение (11) принимает вид

(а2+52+а2-а2)Ф=зт2Ф . (12)

"Штрихи" над новыми переменными далее опускаем. В основном приближении намагниченность среды определяется формулой

M = M0(costf>, sin<P,0). (13)

В рассмотренном примере выделение направления в базисной плоскости связано со слабой квадратичной по намагниченности анизотропией. Это проявилось в появлении множителя 2 перед азимутальным углом Ф(г,/) в

правой части уравнения (12). В базисной плоскости могут быть "остатки" не квадратичной, а кубической анизотропии [16], [17]. Тогда в модельном уравнении (12) аргументом синуса будет 4Ф. В случае ферромагнетика с анизотропией типа "легкая плоскость" выделить направление в этой плоскости можно магнитным полем. При этом в выражении для энергии ферромагнетика (9) вместо слагаемого с коэффициентом Д появится зеемановская энергия: -(Н-М), где Н = (Я, 0,0) - постоянное внешнее магнитное поле. В конечном счете, опять придем к уравнению (12), только аргументом синуса будет азимутальный угол Ф. Таким образом, описание широкого класса нелинейных возбуждений в ферромагнетиках можно осуществить в рамках моделей типа

где р = 1,2,4,...

Довольно полное исследование статических и динамических распределений намагниченности в двухподрешеточных магнетиках с эквивалентными магнитными подрешетками также может быть достигнуто в рамках модели (14) [18]-[22]. К таким магнетикам относятся коллинеарные антиферромагнетики и слабые ферромагнетики (в последних намагниченность отлична от нуля из-за слабой неколлинеарности намагниченностей подрешеток, обусловленной взаимодействием Дзялошинского). Так слабый ферромагнетик в отсутствии внешнего магнитного поля может быть описан в терминах уравнения sine-Gordon (14) с коэффициентом р = 2.

При построении модели (14) магнитостатика не учитывалась. Поэтому такая модель лучше описывает динамические и статические распределения намагниченности в антиферромагнетиках и слабых ферромагнетиках или в квазиодномерных ферромагнетиках.

Когда поле Ф зависит от одной из пространственных координат и времени, например Ф = Ф(х,{), модель (14) сводится к одномерному гиперболическому уравнению sine-Gordon:

(14)

[д2х-д2)ф = sinрФ.

Это уравнение описывает одномерные волновые процессы, которые можно исследовать методом обратной задачи рассеяния. В данной работе модель sine-Gordon используется для анализа нелинейных возбуждений в геликоидальной магнитной структуре (главы 3 и 4 диссертации).

3. Типы геликоидальных магнитных структур и основные механизмы их формирования

В природе существует особый класс магнитоупорядоченных веществ, в которых магнитную структуру можно рассматривать как длиннопериодиче-скую модуляцию простых магнитных структур - ферромагнитной или антиферромагнитной [23]. Поскольку период модуляции зачастую непрерывно меняется в зависимости от температуры или других факторов, принимая несоизмеримые значения по отношению к периоду кристаллической решетки, то модулированные, или длиннопериодические структуры также называют несоизмеримыми. По данной тематике имеется ряд хороших обзоров и монографий [23]-[25].

а?

я7 ¿р

■«Г:

ss

ш

ш

е..

FAN

Рис. 1. Основные типы модулированных магнитных структур: SS - простая спираль, FS - ферромагнитная спираль, SS - скошенная спираль, LSW (TSW) - продольная (поперечная) спиновая волна, FAN - веерная структура [23].

н

К числу основных типов модулированных магнитных структур относятся простая, ферромагнитная и скошенная спирали, а также продольная и поперечная спиновые волны (рис. 1). Все перечисленные магнитные структуры можно назвать квазиодномерными. Это означает, что спиновая плотность в таких структурах модулируется лишь в одном направлении, в то время как в любой атомной плоскости, перпендикулярной этому направлению, все спины коллинеарны.

Различают следующие механизмы, ответственные за образование модулированных структур: в диэлектриках и полупроводниках - в основном, конкуренция обменных взаимодействий разных знаков между ближайшими атомными соседями и соседями, следующими за ближайшими, в случае редкоземельных металлов - взаимодействие магнитного порядка с электронами проводимости, приводящее к перестройке электронных состояний вблизи поверхности Ферми. Для некоторых кристаллов специальной симметрии (кристаллы без центра инверсии) модуляцию магнитной структуры вызывает неоднородное анизотропное взаимодействие Дзялошинского - Мория обменно-релятивистского происхождения [26], [27].

В магнитных кристаллах без центра инверсии простейшая модель спиральной структуры с однокомпонентным параметром порядка имеет типичное выражение для плотности свободной энергии [23], [24], [28]:

= ,Ф)2+уд2Ф + к(1-со8Ш) . (15)

Для магнетиков с анизотропией типа "легкая плоскость" (плоскость хОу) угол Ф описывает вращение вектора ферро- или антиферромагнетизма в "легкой плоскости": М = мДсовФ, втФ, 0), обменное взаимодействие характеризуется постоянной а . Третий член в (15) описывает модуляцию длинноволновой структуры внешним магнитным полем Н ( N = 1,2 ; косНм ). В антиферромагнетиках магнитное поле, приложенное в плоскости вращения спинов (перпендикулярно оси магнитной спирали), приводит к наведенной магнитной анизотропии второго порядка [28]. Третий член может быть также

связан с магнитной кристаллографической анизотропией в базисной плоскости N =2,4,6. В этом случае параметр к зависит от температуры. Второй член в (15) обусловлен инвариантами Лифшица:

лмуд2мх-мхд2му) (16)

для магнетиков кристаллических классов С„, Д, (и = 2,4,6) и Т (соединения Мп81, БеСе ) или индуцирован внешним полем для кристаллов других симметрий [24], [29]-[32]. Например, свободная энергия антиферромагнетиков СоТЮз и БеТЮз содержит слагаемое (16) с у~Е, где Е - компонента внешнего электрического поля вдоль тригональной оси (ось Ог). Инварианты Лифшица могут быть также индуцированы магнитным полем и деформацией (например, в соединении 7пСг28е4) .

Заметим, что для холестерических жидких кристаллов в одноконстантном приближении (15) совпадает с энергией искажения спиральной структуры электрическим или магнитным полем, приложенным перпендикулярно оси спирали (N=2) [33], [34].

В главах 3,4 данной работы исследуются возбуждения на фоне решетки кинков спиральной структуры. Кратко обсудим причины ее формирования.

В легкоплоскостных магнетиках без центра инверсии наличие в гамильтониане (15) инвариантов Лифшица (16) приводит к идеальному спиральному упорядочению магнитных моментов атомов. Вектор намагниченности лежит в плоскости хОу и при смещении вдоль оси Ог поворачивается так, что образуется спиральная структура с неизменным шагом. При наличии внешнего магнитного поля или магнитной анизотропии в плоскости хОу появляются взаимодействия, которые стремятся выстроить магнитные моменты атомов вдоль выделенных направлений в этой плоскости. Отметим, что в исходных (размерных) переменных анизотропия N -ого порядка выделяет N эквивалентных направлений в плоскости хОу, к которым стремятся подстроиться атомные магнитные моменты. В результате конкуренции противоположных тенденций идеальная спираль трансформируется в модулированную спиральную структуру. Вдоль оси Ог формируются протяженные области, в пределах которых распределение

намагниченности почти однородно. Соседние области разделены узким переходным слоем, где сохраняется спиральный разворот намагниченности. Такое "раскручивание" спирали теоретически описывается решеткой кинков. Фазовый переход из несоизмеримой фазы в соизмеримую соответствует неограниченному росту периода решетки кинков при изменении температуры или поля.

4. Характеристика метода обратной задачи рассеяния

Классический вариант обратной задачи рассеяния идеально приспособлен для интегрирования эволюционных (волновых) нелинейных уравнений в частных производных, которые содержат только одну пространственную координату л; и время I.

Для возможности применения метода обратной задачи рассеяния исходное нелинейное уравнение необходимо представить в форме условия совместности:

[дх-и{л), д(-у{л)}=др{л)-дх¥{л)+[и{л),у{л)}=ъ (17)

некоторой системы линейных дифференциальных уравнений для вектор-функции %(Л ):

дхХ = и(Л)%, да = у{л)х. (18)

Элементы матриц и и V содержат полевые переменные и их производные по координатам л и / , в терминах которых записано исходное нелинейное дифференциальное уравнение. Величины I/, V, % зависят не только от координат хи t, но еще и от дополнительного комплексного параметра Л ; и (Л) и 7(Л) являются мероморфными функциями от параметра Я, т. е. являются аналитическими всюду, за исключением конечного числа полюсов. После выполнения всех операций в формуле (17), зависимость от спектрального параметра Л полностью устраняется и соотношение (17) оказывается тождественным исходному нелинейному уравнению для рассматриваемых полей.

Матричные функции и и V называют обобщенной парой Лакса, представлением Захарова - Шабата [35], или просто V -V - парой [36], [37].

Представление (17), (18) используется для перехода от исходных динамических переменных (полей) к новым обобщенным переменным (данным рассеяния). В новых переменных нелинейное уравнение распадается на ряд не зацепляющихся линейных дифференциальных уравнений. После того как решение последних найдено, обращением замены переменных получают решение исходного нелинейного уравнения. Таким образом, все этапы интегрирования нелинейного уравнения методом обратной задачи рассеяния связаны с решением определенных линейных задач. Тем самым открывается возможность детального описания существенно нелинейных явлений и процессов.

Используемые при интегрировании обобщенные переменные отвечают допустимым типам возбуждений в системе и естественным образом разбиваются на две группы: дискретный набор переменных, которым отвечают возбуждения солитонного типа (в магнитных средах это доменные границы, уединенные домены, самолокализованные волны намагниченности и т.д), и набор переменных, непрерывных по Я, которые описывают волны с преобладающим влиянием дисперсии, расплывающиеся с течением времени.

Классический вариант метода обратной задачи рассеяния связан с изучением свойств аналитичности частных решений вспомогательной линейной системы (18). Последнее представляет достаточно сложную задачу и возможно лишь для быстро убывающих при х ±оо решений исходного нелинейного уравнения. Между тем, для построения частных решений уравнений движения в полном исследовании спектральной задачи (18) нет необходимости. Были предложены прямые методы вычисления точных решений, V - V -пара которых рациональным образом зависит от спектрального параметра Я: метод полиномиального замыкания, процедура "одевания" [38]-[40], метод Хироты [41], [42], преобразования Бэклунда (Дарбу) и другие [43]-[45].

Из всех перечисленных модификаций традиционной схемы обратной задачи рассеяния процедура "одевания" более универсальна и технически прозрачна. Процедура "одевания" основана на использовании матричной задачи Римана в комплексной Я- плоскости и позволяет по известному частному решению исходного нелинейного уравнения (17) строить новые решения. Недостатком метода "одевания" частных решений является то, что он в отличие от классического варианта обратной задачи рассеяния, не дает решения задачи Коши для исходного эволюционного нелинейного уравнения.

Преимущество процедуры "одевания" в том, что новые решения уравнений движения строятся локально в окрестности каждой точки (x,t ), что позволяет исследовать любые решения, а не только убывающие при х —> ±оо.

Конечно, не все нелинейные системы обладают представлением (17), а значит и не все нелинейные уравнения в частных производных могут быть проинтегрированы с помощью метода обратной задачи рассеяния или его модификаций. Точно также как метод Фурье не позволяет проинтегрировать все линейные дифференциальные уравнения. Поэтому возникает вопрос о практической значимости метода обратной задачи рассеяния. В этой связи, прежде всего, важно свойство универсальности точно интегрируемых уравнений. Универсальность интегрируемых уравнений объясняется тем, что они объединяют наиболее распространенные типы дисперсии с характерными типами нелинейностей и определяются требованиями симметрии, общими для многих физических систем. Число нелинейных явлений, которые (в определенном приближении) могут быть описаны данным уравнением, необычайно велико. Например, уравнение sine-Gordon описывает распространение дислокаций в кристаллах, движение доменных границ в ферромагнетиках, распространение магнитного потока по джозефсоновской линии, поведение волн зарядовой плотности, фазовые переходы соизмеримость-несоизмеримость [46]-[48], может быть использовано для изучения ряда магнитных возбуждений в слабых ферромагнетиках и антиферромагнетиках [18]-[20] (см. раздел 2 Введения).

Кроме того, развит аппарат теории возмущений, основанный на методе обратной задачи рассеяния, который позволяет исследовать уравнения, близкие к точно интегрируемым [49]-[51]. Решения, найденные по такой теории возмущений, нельзя получить ни в каком конечном порядке теории возмущений для линейных мод. Использование теории возмущений существенно расширяет рамки применимости обратной задачи рассеяния и придает еще большую ценность изучению точно интегрируемых моделей.

Заключение диссертации по теме «Физика магнитных явлений», Расковалов, Антон Александрович

Основные результаты и выводы настоящей диссертации состоят в следующем.

1. Развит метод аналитического описания солитонов (доменных границ, бри-зеров, уединенных доменов) на фоне бегущей нелинейной спиновой волны в рамках модели Ландау - Лифшица для квазиодномерного ферромагнетика с анизотропией типа "легкая ось".

2. Предложена процедура аналитического описания нелинейных коллективных возбуждений в геликоидальной структуре магнетиков без центра инверсии в рамках модели sine-Gordon. Это открывает перспективу аналитического описания солитонов и спиновых волн при произвольных начальных распределениях намагниченности в спиральной структуре.

3. Выявлены следующие особенности солитонов в средах с неоднородным основным состоянием, которые могут быть полезны для планирования экспериментов по обнаружению солитонов и управлению скоростью их движения.

Показано, что под действием волны накачки топология доменной стенки изменяется в зависимости от плотности импульса проходящей через нее циркулярно-поляризованной волны и параметра анизотропии ферромагнетика.

Показано, что бризер при определенных значениях параметров превращается в уединный домен, который движется навстречу волне с той же скоростью, что и доменная стенка. Предсказаны возможности формирования локализованных колебаний вблизи границы устойчивости бризера.

Установлено, что скоростью движения зародышей перемагничивания и областей локализации колебаний можно управлять, меняя волновое число и амплитуду волны накачки. Мы полагаем, что измерения фазового сдвига, который приобретает циркулярно-поляризованная спиновая волна после прохождения через уединенный домен, можно использовать для обнаружения зародышей перемагничивания в ферромагнитных образцах.

Показано, что как отдельные солитоны, так и мультисолитонные состояния приводят к трансляциям геликоидальной структуры. Макроскопические локальные сдвиги геликоидальной структуры, которые сопровождают движение и столкновения солитонов в ней, можно визуализировать с помощью магнитооптических методов. Меняя величину внешнего магнитного поля, скорость солитонов можно сделать малой, что удобно для их диагностики.

Бризеры в спиральной структуре можно обнаружить по резонансному поглощению СВЧ - мощности на характерных частотах внутренних мод бри-зеров.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.В. Киселеву за постоянную помощь и поддержку, А.П. Танкееву, A.C. Овчинникову и М.И. Куркину за плодотворное обсуждение результатов работы, А.Б. Борисову, А .Г. Шагалову, М.А. Боричу, C.B. Баталову и Ф.Н.Рыбакову за полезные критические замечания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Расковалов, Антон Александрович, 2012 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. М.: Издательство АН СССР, 1963.

2. Ахиезер А.И., Баръяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967.

3. Туров Е.А., Колчанов А.В., Меныненин В.В. и др. Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков. М.: Физматлит, 2001.

4. Борисов А.Б., Киселев В.В. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т.1. Екатеринбург, УрО РАН, 2009.

5. Маломед Б.А. Контроль солитонов в периодических средах. М.: Физматлит, 2009.

6. Roessli D., Schefer J., Petrakovskii G.A., Ouladdiaf В., Boehm M., Staub U., Vorotinov A., and Bezmaternikh L. Formation of a magnetic soliton lattice in copper metaborate // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P. 1885-1886.

7. Zheludev A., Maslov S., Shirane G. , Sasago Y., Koide N., and Uchinokura K. Field-induced commensurate-in commensurate phase transition in a Dzyaloshinskii - Moriya spiral antiferromagnet. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78, N. 25. P. 4857-4860.

8. Beghidja A., Rogez G., Rabu A., Welter R., and Drillon M. An approach to chiral magnets using a-hydroxycarboxylates // J. Mater. Chem. 2006. V. 16, N26. P. 2715-2728/

9. Kishine J., Inoue K., and Yoshida Y. Synthesis, structure and magnetic properties of chiral molecule-based magnets // Progr. Theor. Phys. Supplement. 2005. N 159. P. 82-85.

10. Magnetism: Molecules to materials. V. Edited by J.S. Miller and M. Drillon. 2005. Willey - VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinhein.

11. Coronado E., Galán-Mascarós J.R., Gómes-Garsiá С. J., and Murcia-Martínez A. Chiral molecular magnets: Synthesis, structure and magnetic

behavior of series [M(L-tart)] (M=Mn", Fe", Co", Ni" ; L-tart=(2R,3R) - (+)-tartrate ) // Chem. Eur. J. 2006. V. 12. P. 3484-3492.

12. Ohishi K., Higemoto W., Koda A., Saha S.R., Kadano R., Inoue K., and Higashikawa H.. Possible magnetic chirality in optically chiral magnet [Cr(CN)6] [Mn(S)-pnH(H20)](H20) muon spin rotation and relaxation.

//J. Phys. Soc. Jpn. 2006. V. 75, N. 6. P. 063705-(l-9).

13. Моргунов Р.Б., Берлинский В.Д., Кирман М.В., Иное К., Кишине Ж.,

о

Иошида И. Спиновые солитоны в молекулярных магнетиках с хираль-ной структурой // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 84, № 8. С. 524-528.

14. Morgunov R., Kirman M.V., Inoue К., Tanimoto Y., Kishine J., Ovchinnikov A.S., and Kazakova O. Spin solitons and spin waves in chiral and racemic molecular based ferrimagnets // Phys. Rev. В. 2008. V.77. P. 184419(1-9).

15. Моргунов Р.Б., Кирман M.B., Иное К., Танимото Й., Кишине Ж.,. Спиновые солитоны и волны в молекулярных хиральных ферримагнетиках. // ЖЭТФ. 2008. Т. 134, № 1 (7). С. 95-104.

16. Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими доменами. М.: Мир, 1982 .

17. Суху Р. Магнитные тонкие пленки. М.: Мир, 1967.

18. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках // ЖЭТФ. 1980. Т.78, №4. С.1509-1522.

19. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А. Нелинейные волны намагниченности антиферромагнетиков // ФНТ. 1979. Т. 5, вып. 7. С.759-770.

20. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А. О нелинейных волнах намагниченности антиферромагнетика. Препринт № 80-4 ДонФТИ АН УССР. Донецк, 1980.

21. Звездин А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29. №2. С. 605-610.

22. Иванов Б.А. Динамика доменных границ в ферромагнетиках. Препринт 80/5 ИФМ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1980.

23. Изюмов Ю.А. Дифракция нейтронов на длиннопериодических структурах. М.: Энергоатомиздат, 1987.

24. Изюмов Ю.А. Модулированные, или длиннопериодические, магнитные структуры кристаллов // Успехи физических наук. 1984. Т. 114, №3, С. 439-474.

25. Малеев C.B. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках // Успехи физических наук. 2002 . Т. 172. №6. С. 617-646.

26. Dzyaloshinsky I. A thermodynamic theory of "weak" ferromagnetism of antiferromagnetics // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1958. V.4. №4. P. 241-255.

27. Moriya T. Anisotropic Superexchange Interaction and Weak Ferromagnetism//Physical Review. 1960. V. 120. №1. P. 91-98.

28. Дзялошинский И.Е. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках, часть III // ЖЭТФ. 1964. Т.47. №3. С. 992-1003.

29. Соболева Т.К., Стефановский Е.П. Равновесные состояния и магнитные фазовые переходы в ромбических кристаллах с неоднородным об-менно-релятивистским взаимодействием // ФММ. 1982. Т. 54. № 1. С. 186-188.

30. Барьяхтар В.Г., Яблонский Д.А. Индуцирование длиннопериодических структур в ромбических и ромбоэдрических антиферромагнетиках // ФТТ. 1982. Т.24. № 8. С.2522-2524.

31. Витебский И.М. Об индуцировании несоразмерных структур внешним полем //ЖЭТФ. 1982. Т. 82. № 2. С.357-361.

32. Барьяхтар В.Г., Леонов И.А., Соболева Т.К. Некоторые качественные аспекты теории неоднородных сверхструктур в магнетиках. Киев, препринт ИТФ - 84 - 126 Р. 1984. 14 с.

33. Де Жен П. Жидкие кристаллы. М.: Мир, 1977.

34. Chandrasekhar S., Ranganath G.S. The structure and energetics of defects in liquid crystals // Adv. Phys. 1986. V.35. N 6. P. 507-596.

35. Захаров B.E., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. М.: Наука, 1974 .

36. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М.: Мир, 1987.

37. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

38. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

39. Захаров В.Е., Михайлов A.B. Релятивистки-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. № 6. С. 1953-1973.

40. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния // Функц. анализ и его прилож. 1979. Т. 13, № 3. С.13-22.

41. Hirota R. Bilinearization of soliton equation // J. Phys. Soc. Jpn. 1982. V. 51. N 1. P.323-331.

42. Хирота P. Прямые методы в теории солитонов. - В кн.: Солитоны -под ред. Буллафа Р., Кодри Ф. - М.: Мир, 1983.

43. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.

44. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

45. Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. М.: Физматлит, 2007 г.

46. Scott A.C., Chu F.Y., Me Iaughlin D.W. The soliton: a new concept in applied science // Proc. IEEE. 1973. V. 61. P.1443-1483 (имеется перевод: ТИИР. 1973. T. 61. С.79-123).

47. Bishop A.R., Krumhansl J.A., Trullinger S.E. Solitons in condensed matter: A paradigm//Physica D. 1980. V. ID. N1. P. 1-14.

48. Бишоп А. Солитоны и физические возмущения. - в кн. "Солитоны в действии", под ред. Лонгрена К., Скотта Э. - М.: Мир, 1981.

49. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 3. вып. 2. С.537-559.

50. Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений. - В кн.: Солитоны в действии. - под ред. Лонгрена К., Скотта Э. - М.: Мир, 1981. С.210-268.

51. Kivshar Y.S., Malomed В.А. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. №4. P.763-916.

52. Деринг В. Инерция границ между ферромагнитными областями. Ферромагнитный резонанс. Под ред. С.В. Вонсовского. М.: Изд-во иностр. Лит, 1952. С. 312-319.

53. Slonczewski J.C. Dynamics of domain walls // Intern. J. Magn. 1972. V. 2. N 3. P. 85-97.

54. Филиппов Б.Н, Танкеев А.П. Динамические эффекты в ферромагнетиках с доменной структурой. М.: Наука, 1987.

55. Winter J.M. Bloch walls excitation // Phys. Rev. 1961. V. 124, N2. P.452-461.

56. Yanak J. F. Quantum theory of domain-wall motion // Phys. Rev. 1964. V. 134. N28. P. A411-420.

57. Танкеев А.П, Райдугин Ю.Г. Спин-волновая динамика ферромагнетиков с доменными границами в слабых магнитных полях // ФММ. 1983. Т.56. №. 1.С. 30-40.

58. Михайлов А.В, Яремчук А.И. Вынужденное движение доменной стенки в поле спиновой волны // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т.39. №7. С. 296-298.

59. Kittel С. Note on the inertia and damping constant of ferromagnetic domain boundaries // Phys. Rev. 1950. V. 80. P. 918

60. Баталов С.В, Маслов Е.М, Шагалов А.Г. Автофазировка солитонов. // ЖЭТФ. 2009. Т.135, вып. 5. С. 1021-1028.

61. Steiner M., Villain J., Windsor C. The theoretical and experimental studies on one-dimensional magnetic systems // Adv. Phys. Sol. 1976. V.25, №2. P. 87-209.

62. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М: Мир, 1983 г.

63. Бейтмен Г., Эрдейи А. Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967 г.

64. Яремчук А.И. Взаимодействие доменной стенки со спиновой волной в рамках интегрируемого случая уравнения Ландау - Лифшица // ТМФ. 1985. Т. 62. № 1. С.153-158.

65. Borovik А.Е., Klama S., Kulinich S.I. Integration of the Landau - Lifshitz equation with preferred-axis anisotropy by the method of the inverse scattering problem // Physica D. 1988. V.32. P.107-134.

66. Mikhailov A.V. Integrable magnetic models, ed. by Trullinger S.E., Zakharov V.E., Pokrovsky V.L., in book: Solitons, Modern Problem in Condensed matter, - Elsiver Sciences Publishers B.V., 1986. V.17. P. 625690.

67. Rodin Yu. L. The Riemann boundary problem on Riemann surfaces and the inverse scattering problem for the Landau - Lifshitz equation // Physica D. 1984. V. 11. P. 90-108.

68. Борисов А.Б., Киселев В.В. Многосолитонные решения асимметричных хиральных SU(2), SL(2,R) - теорий (d=l) // ТМФ. 1983. Т.54. №2. С. 246-257.

69. Ахиезер А.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

70. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Наукова думка: Киев, 1983.

71. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

72. Широбоков М. К теории механизма намагничивания ферромагнетиков //ЖЭТФ. 1945. Т.15. №1-2. С. 57-76.

73. Borisov А.В, Kiseliev V.V. Vortex dipoles on a solution lattice background: Solution of the boundary-value problem by inverse spectral transform // Physica D. 1998. V. 111. P. 96-128.

74. Kiselev V.V. 2D vortices in incommensurate (stripe-domain) magnetic structures // Phys. Met. Metallogr. 2003. V. 95. Suppl. 1. P. S28-S34.

75. Борисов А.Б, Киселев B.B. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т.2. Топологические солитоны, двумерные и трехмерные "узоры". Екатеринбург: УрО РАН, 2011.

76. Borisov А.В, J. Kishine, Bostrem Y.G, Ovchinnikov A.S. Soliton excitations in a chiral spiral with strong easy-plane anisotropy // Phys.Rev.B. 2009. V.79. P. 134436-134446.

77. Borisov A.B, Kiseliev V.V. Topological defects in incommensurate magnetic and crystal structures and quasi-periodic solutions of the elliptic sine-Gordon equation // Physica D. 1988. V.31. P. 49-64.

78. Тахтаджян JI.A, Фаддеев Л.Д.. Гамильтонов подход в теории солито-нов. М.: Наука, 1986.

79. Kishine J, Ovchinnikov A.S. Theory of spin resonanse in a chiral helimagnet // Phys. Rev. B. 2009. V.79. №22. P. 220405 (1-4).

80. Памятных Л.А, Лысов M.C, Кандаурова Г.С. Механизм дрейфа полосовых доменов в кристаллах ферритов-гранатов // Изв. РАН, сер. Физическая. 2007. Т. 71. № 11. С. 1542-1544.

81. Памятных Л.А, Лысов М.С, Шматов Г.А, Кандаурова Г.С, Дружинин А.В. Динамический дрейф магнитных доменов в кристаллах ферритов-гранатов // Изв. РАН, сер. Физическая. 2010. Т.74. №1. С. 14781480.

82. Петраковский Г.А, Саблина К.А. и др. Синтез нового оксокупрата Cu2Bi2B4014 и исследование его структурных, магнитных и резонансных свойств // ФТТ. 2002. Т.47. №7. С. 1280-1284.

83. Моргунов Б.Р., Мушенок Ф.Б., Кирман М.В. Влияние хиральности на электронный спиновый резонанс в молекулярных магнетиках [Mnn(HL)(H20)] [Mnin(CN)6] -2Н20 с хиральными лигандами L II ФТТ. 2008. Т.50. №7. С.1252-1256.

84. Мушенок Ф.Б., Моргунов Б.Р., Коплак О.В., Кирман М.В. Влияние хиральности на динамику доменных стенок в молекулярном ферримаг-нетике [Mnn(HL-pn)(H20)][Mnin(CN)6]-2H20 // ФТТ. 2012. Т.54. №4. С.709-714.

85. Koppelman W. Singular integral equations, boundary value problems and Riemann - Roch theorem // Y. of Math, and Mech. 1961. V. 10, №2, P. 1335.

86. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гель-деровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. V. XXVI. №1. Р. 113-179.

87. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1973.

88. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматлит, 2006.

89. Byrd P.F., Friedman M.D. Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists. Springer-Verlag, 1971.

90. Mikhailov A.V. The Landau - Lifshitz equation and the Riemann-boundary problem on a torus // Phys.Lett.A. 1982. V.92. №2. C. 51-55.

91. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск, 2001.