Солитоны в магнетиках и нелинейных цепочках в модели синус-гордон с высшей дисперсией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шамсутдинов, Данир Миниахатович

• Шамсутдинов, Данир Миниахатович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шамсутдинов, Данир Миниахатович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР. НЕЛИНЕЙНЫЕ

УРАВНЕНИЯ С ВЫСШЕЙ ДИСПЕРСИЕЙ И ИХ

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

1.1. Модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза.

1.2. Уравнение синус-Гордон.

1.3. Уравнение синус-Гордон с высшей дисперсией.

1.4. Комбинированное уравнение синус-Гордон и МКДФ.

1.4.1. Решение комбинированного уравнения синус-Гордон и МКДФ методом обратной задачи рассеяния.

1.5. Нелинейная динамика молекулярных систем.

1.5.1. Полимерная цепочка.

1.5.2. Двойная спираль ДНК.

1.6. Уравнение движения намагниченности в легкоплоскостном ферромагнетике в магнитном поле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Солитоны в магнетиках и нелинейных цепочках в модели синус-гордон с высшей дисперсией»

В последние несколько десятилетий при описании разнообразных физических задач приходится сталкиваться с необходимостью анализа решений нелинейных эволюционных уравнений, таких как уравнения Кортевега-де Фриза [1], модифицированного Кортевега-де Фриза [2,3], нелинейного уравнения Клейна-Гордона [4,5] и так далее. Физическим приложениям этих вполне интегрируемых моделей поистине нет конца. В том числе в физике конденсированного состояния и динамике молекулярных систем.

При исследовании динамических свойств магнитоупорядоченных кристаллов были получены многочисленные точные решения нелинейных уравнений движения намагниченности [6] - уравнений Ландау-Лифшица [7,8]. Для основных классов магнетиков (ферромагнетиков [9-16], и антиферромагнетиков [17-22]) найдены решения, описывающие динамические и топологические солитоны, нелинейные периодические волны намагниченности и т.д. Для простейших моделей одноподрешеточного ферромагнетика в рамках метода обратной задачи теории рассеяния доказана точная интегрируемость уравнений Ландау-Лифшица, что позволило построить многосолитонные решения и проанализировать процессы взаимодействия солитонов [23]. В работах Боровика, Робука [24] и Склянина [25] доказано, что уравнения Ландау-Лифшица для одномерного двухосного ферромагнетика являются полностью интегрируемой динамической системой. В случае кубических ферромагнетиков полная интегрируемость не доказана, для полной интегрируемости существенно, что свободная энергия является однородной квадратичной формой относительно компонент намагниченности [26]. В связи с этим даже в случае кубических магнетиков, нахождение всех стационарных нелинейных волн является нетривиальной задачей.

Топологические солитоны намагниченности, то есть доменные границы имеют предельную скорость стационарного движения. Существование предельной скорости доменных границ в ферромагнетиках теоретически предсказано Уокером [10]. Лхиезер и Боровик показали, что скорость волны поворота магнитных моментов в ферромагнетиках и легкоплоскостных антиферромагнетиках ограничена фазовой скоростью спиновых волн [27]. Вопрос о возможности достижения этой предельной скорости был поставлен в [9] и долгое время оставался дискуссионным. Предельная скорость доменных границ, обусловленная указанным выше механизмом, впервые была обнаружена в ортофферите иттрия [28].

Динамика доменных стенок в одноосном ферромагнетике исследована достаточно хорошо (см., например, [9,10,29,30]), что нельзя сказать о кубическом ферромагнетике. В кубических ферромагнетиках наряду с естественной кубической магнитной анизотропией может иметь место наведенная магнитная анизотропия, возникающая, например, при холодной прокатке, при наложении на них внешних напряжений, магнитном отжиге или освещении и т.д. [31-34]. Наличие такой сложной анизотропии сильно проявляется и в эпитаксиально выращенных пластинах ферритов-гранатов с развитыми поверхностями (001), (111) и (011) [33]. Теоретические исследования динамики доменных стенок в ферромагнетиках со сложной анизотропией испытывают большие затруднения [35]. При скоростях много меньших предельной скорости уравнение Ландау-Лифшица в приближении одноосного ферромагнетика при малом выходе намагниченности из плоскости доменной стенки можно свести к простому уравнению синус-Гордон, а при учете кубической компоненты магнитной анизотропии — к двойному или тройному уравнению синус-Гордон. В случае скоростей близких к предельной уравнение Ландау-Лифшица уже нельзя свести к указанным уравнениям.

Как известно, уравнение Ландау-Лифшица для намагниченностей подрешеток в антиферромагнетиках при определенных условиях сводится к уравнению синус-Гордон (см., например, [17,18,20-22]). Из лоренц-инвариантности этого уравнения следует существование предельной скорости стационарного движения 180-градусной доменной стенки. Экспериментально определенная величина этой скорости в слабом ферромагнетике совпадает с минимальной фазовой скоростью спиновых волн на линейном участке их закона дисперсии и составляет с «2-104 л*/с [22,28]. Известно, что лоренц-инвариантность уравнений для волн является следствием приближений, допускаемых при решении уравнений Ландау-Лифшица [17]. Нарушение указанной инвариантности имеет место в узкой окрестности вблизи предельной скорости [17]. При этом максимальная скорость движения стенки оказывается очень близкой к минимальной фазовой скорости спиновых волн. Следует отметить, что обычно при исследовании характеристик доменных стенок в записи неоднородной обменной энергии пренебрегают вкладом инвариантов от более высоких степеней пространственных производных намагниченности. Эти слагаемые при скоростях у «с являются малыми, а их вклад в уравнение движения оказывается порядка (а0/Д)2«1 (а0 - параметр решетки, А - характерный размер стенки) (см., например, [30]). Однако при скоростях v, сравнимых с минимальной фазовой скоростью спиновых волн, то есть V—»с, параметр А—>0. В этом случае вкладом выше указанных инвариантов уже нельзя пренебрегать.

Всякая модель теоретической физики представляет результат приближенного описания реальных физических явлений, и каждый конкретный случай требует нового описания физической задачи. При этом попытки выйти за пределы принятых приближений могут привести к новым нелинейным уравнениям и необходимости анализа их решений.

Таким образом, одной из важных актуальных задач физики нелинейных явлений и теоретической физики остается получение новых нелинейных уравнений и приложения их решений для описания нелинейной динамики физических систем.

Модельи уравнение движения. Огромное число задач нелинейной оптики, теории джозефсоновских переходов в сверхпроводниках, теории дефектов кристаллической решетки, магнетизма, молекулярных цепочек и т.д. моделируются системами, динамика которых описывается уравнением синус-Гордон. Во многих приложениях уравнение синус-Гордон возникает как следствие определенных приближений. Попытка выйти за пределы принятых приближений, как сказано выше, приводит к более сложным уравнениям. Такие уравнения в общем виде, как будет показано в первой главе, можно записать так щ-и„ + ръ\т1 + 2кьт(и12)-&1зоах -Р{их)2ихх=0.

Это уравнение является модифицированным двойным уравнением синус-Гордон с высшей дисперсией. В отличии от уравнения синус-Гордон оно содержит высшую дисперсию и^ и нелинейное по пространственным производным слагаемое г^и^. В реальных физических системах параметры Р и g являются малыми. Вследствие этого вклад таких слагаемых может особенно сильно проявляться именно вблизи предельной скорости движения солитонов.

Целью диссертационной работы является исследование 2/тл-кинков (п = 1,2) и бризера модифицированного уравнения синус-Гордон с высшей дисперсией, нахождение интервала скоростей их существования, определение зависимости скорости стационарного движения солитонов от входящих в уравнение параметров.

Также целью работы является изучение в рамках предложенной модели синус-Гордон с высшей дисперсией:

- нелинейной динамики молекулярных цепочек;

- динамики топологических солитонов типа 180-градусных доменных стенок в кубическом ферромагнетике с наведенной анизотропией; динамики 180-, 360-градусных доменных стенок и бризера в орторомбических антиферромагнетиках.

Научная новизна определяется тем, что в рамках модели модифицированного уравнения синус-Гордон с высшей дисперсией с помощью аналитических методов впервые получены следующие результаты: найдены решения в виде 2шг-кинков (п = 1,2), условия их существования и движения со скоростями, превышающими предельную скорость 2л"-кинка модели синус-Гордон; найден новый тип бризера, у которого фазовая скорость волны и скорость огибающей оказываются равными, определен интервал скоростей существования такого бризера; показано, что 4л"-кинк, представляющий собой два сильно связанных 2 л" -кинка, может двигаться с определенной скоростью и распространяться в таких молекулярных системах, как полимерные цепочки и двойная спираль ДНК; исследована динамика 180-градусных доменных границ и определена скорость их движения вблизи предельной скорости в кубическом ферромагнетике с наведенной анизотропией и отрицательной константой кубической магнитной анизотропии в пластинах с развитыми поверхностями (001) и (011); изучено движение 180- и 360-градусных доменных границ и бризера в орторомбическом антиферромагнетике; определены условия движения 180-градусной доменной стенки и уединенного домена со скоростями, превышающими минимальную фазовую скорость спиновых волн на линейном участке их закона дисперсии в модели синус-Гордон.

На защит)' выносятся: новые типы 2л77-кинков и бризера в модели синус-Гордон с высшей дисперсией;

- результаты аналитического исследования динамики 180-градусных доменных стенок вблизи предельной скорости в кубическом ферромагнетике с наведенной анизотропией в рамках модели двойного уравнения синус-Гордон с высшей дисперсией;

- результаты аналитического исследования динамики 180- и 360-градусных доменных стенок и бризера, в том числе уединенного домена, в орторомбических антиферромагнетиках вблизи предельной скорости.

Практическая ценность. Полученные результаты расширяют существующие представления о возможных типах кинков и бризеров в нелинейных цепочках и ферро- и антиферромагнетиках со сложной анизотропией. Найденные в работе решения в виде 2я;г-кинка (и = 1,2) и бризера могут быть использованы при интерпретации экспериментально наблюдаемых нелинейных явлений в молекулярных цепочках, конденсированных средах и спиновых системах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 116 страниц текста, включая 29 рисунков, список цитированной литературы из 113 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шамсутдинов, Данир Миниахатович

Выводы к Главе 4

1. Показано, что динамика доменных стенок в орторомбических антиферромагнетиках вблизи предельной скорости, равной минимальной фазовой скорости спиновых волн на линейном участке их закона дисперсии, описывается модифицированным уравнением синус-Гордон с высшей дисперсией.

2. Показана возможность движения 180-градусной стенки со скоростями превышающими предельную. Условия, при которых такое движение возможно, определены с учетом в свободной энергии инвариантов, содержащих более высокие степени пространственных производных намагниченностей подрешеток. Л также определены условия, при которых максимальная скорость доменной стенки в модели синус-Гордон с высшей дисперсией оказывается меньше предельной скорости в модели синус-Гордон.

3. Определены условия существования стационарного-движущегося солитона в форме застывшего бризера и эволюция его формы в зависимости от скорости движения. Показано, что такой солитон в орторомбических антиферромагнетиках может существовать в определенном интервале скоростей, превышающих максимальную скорость стационарного движения 180-градусной доменной стенки в модели синус-Гордон с высшей дисперсией. Найдено решение, описывающее стационарное движение уединенного домена разделенного двумя 180-градусными стенками, дано описание экспериментально наблюдаемого, так называемого «сверхпредельного» движения доменных границ в редкоземельных ортоферритах.

4. Найдено солитонное решение в виде 360-градусной доменной стенки, соответствующее двум сильно связанным 180-градусным доменным стенкам, и определена зависимость скорости движения от материальных параметров и внешнего магнитного поля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы солитоны в магнетиках и нелинейных цепочках в модели синус-Гордон с высшей дисперсией. Найдены решения модифицированного уравнения синус-Гордон с высшей дисперсией в виде 2шг-кинков (/7 = 1,2), бризера и условия их существования. Определены зависимости скорости движения кинков от параметров, входящих в уравнение, зависимости энергии и полного импульса от скорости движения. В рамках предложенной математической модели исследована динамика доменных стенок, движущихся со скоростью близкой к предельной, в орторомбических антиферромагнетиках, кубических ферромагнетиках с наведенной магнитной анизотропией, а также изучено движение локализованного металлического состояния в полимерной цепочке, находящейся в диэлектрическом состоянии, и движение локального двойного расплетания спирали ДНК.

1. Показано, что отказ от традиционных приближений при получении уравнения движения в случае различных сред приводит к модифицированному уравнению синус-Гордон с высшей дисперсией, которое в отличие от рассмотренных ранее уравнений содержит нелинейные по пространственным производным слагаемые.

2. Установлено, что решение модифицированного уравнения синус-Гордон в виде 2л"я-кинка (п = 1,2) существует при определенном условии согласованности слагаемых с высшей дисперсией и нелинейных, в том числе по пространственным производным, слагаемых. Причем, при определенных значениях параметров уравнения скорость движения 2^-кинка может превышать предельную скорость 2;г-кинка модели синус-Гордон. .

3. Определены условия согласованности параметров уравнения, при которых существует новый тип локализованной нелинейной волны, представляющей собой стационарный бризер и характеризующийся тем, что фазовая скорость волны и скорость огибающей оказываются равными по величине. Найден интервал скоростей существования такого бризера, произведен анализ формы бризера в зависимости от начальной фазы и значения скорости.

4. Показано, что 4;г-кинк, представляющий собой два сильно связанных 2л"-кинка, может двигаться только с определенной скоростью. Такой An — кинк может распространяться в таких молекулярных системах, как полимерные цепочки и двойная спираль ДНК, в кубических ферромагнетиках с наведенной анизотропией, а также антиферромагнетиках. В кубическом ферромагнетике 4л"-кинку соответствует 180-градусная доменная стенка, движущаяся со скоростью меньшей, но близкой к предельной. При этом как энергия так и толщина доменной стенки принимают конечные значения. Показано, что вблизи предельной скорости такое решение уравнения Ландау-Лифшица имеет место только в случае отрицательной константы кубической магнитной анизотропии.

5. Найдено решение, описывающее движение 180- и 360-градусных доменных границ, а также бризера в орторомбическом антиферромагнетике с учетом инвариантов, содержащих более высокие степени пространственных производных намагниченностей подрешеток, и определена зависимость скорости их движения от материальных параметров. Показана возможность движения 180-градусной доменной стенки, бризера, в том числе уединенного домена, со скоростями, превышающими минимальную фазовую скорость спиновых волн на линейном участке их закона дисперсии, в модели синус-Гордон.

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю профессору Я.Т. Султанаеву, консультанту доценту P.M. Сабитову за руководство и плодотворное сотрудничество. Благодарен профессору А.П. Танкееву за интерес к работе и многочисленные полезные замечания. Выражаю свою признательность родителям и жене за всестороннюю помощь в написании работы.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА, ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

А1. Шамсутдинов Д.М., Султанаев Я.Т. Кинки модифицированного уравнения синус-Гордон // Вестник Башкирского Университета. 2002, №2. С. 22-23.

А2. Shamsutdinov D.M., Sabitov R.M. Dynamics of a 180° domain wall in a cubic ferromagnet with an induced magnetic anisotropy: (Oil) Slab // The Physics of metals and metallography, 2003, V.95, Suppl.l. P.80-83.

A3. Шамсутдинов M.A., Шамсутдинов Д.М., Екомасов Е.Г. Динамика доменных стенок в орторомбических антиферромагнетиках вблизи предельной скорости // ФММ, 2003, Том 96, № 4, с. 16-22.

А4. Shamsutdinov D.M., Sabitov R.M. Domain Wall Dynamics Near the Limit Velocity in a Cubic Ferromagnet With Induced Magnetic Anisotropy // Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2004, V.280/2-3, P.169-175.

A5. Шамсутдинов Д.М., Сабитов P.M. Солитоны в кубическом ферромагнетике // Сборник трудов II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы», 19-22 сентября 2003г., г.Иркутск, с. 114-115.

А6. Шамсутдинов Д.М., Сабитов P.M., Багаутдинов А.Р. Нелинейные волны в антиферромагнетике со спиральной структурой // Сборник трудов XIX международной школы-семинара «Новые Магнитные Материалы Микроэлектроники» 8 июня -2 июля 2004г., МГУ, г.Москва, с.832-834.

А7. Шамсутдинов Д.М., Екомасов Е.Г. О движение доменных стенок в ортоферритах с предельными скоростями // Сборник трудов V межд. семинара, посвященного памяти К.П. Белова (Махачкала-2002), с. 102104.

А8. Шамсутдинов Д.М., Сабитов P.M. Нелинейные волны и динамика доменных стенок в пластине кубического ферромагнетика // Сборник трудов выездной секции по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах, 10-14 сентября 2003 года, г. Астрахань, с.21-23.

А9. Shamsutdinov D.M. Sabitov R.M. Domain Wall Dynamics Near the Limit Velocity in a Cubic Ferromagnet With Induced Magnetic Anisotropy // Abstract book of 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" EASTMAG-2004, Krasnoyarsk, August 24-27, 2004, p.283.

АЮ.Шамсутдинов Д.М. Солитонное решение ID модифицированного уравнения синус-Гордон // Регион. Школа-конференция для студ., аспир. и молодых ученых по матем. и физ. (Уфа-2002). Том.2. - Уфа, БашГУ, 2002, с.91-96.

А11. Шамсутдинов Д.М. Солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001] // Вестник Башкирского Университета. 2003 №2. С. 22-23.

А12.Пономарев О.А., Закирьянов Ф.К., Юл мухам сто в К. Р.,

Шамсутдинов Д.М. Солитоны в квазиодномерной цепочке молекул с диполь-дипольным взаимодействием // Вестник Башкирского Университета. 2003, №3. С. 22-25.

А13.Шамсутдинов Д.М. Кинки системы модифицированных уравнений синус-Гордон с высшей дисперсией // Регион. Школа-конференция для студ., аспир. и молодых ученых по матем. и физ. (Уфа-2003). Том.1. -Уфа, БашГУ, 2003, с.177-188.

А14. Шамсутдинов Д.М., Бризер уравнения синус-Гордон с высшей дисперсией // В кн.: Университетская наука - Республике Башкортостан, Материалы научно-практ. конф., посвященной 95-летию БашГУ. Том.1. Естественные науки. - Уфа, Мин. образования и науки РФ, БашГУ, 2004, с. 18-20.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шамсутдинов, Данир Миниахатович, 2004 год

1. Korteweg D.J. and de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag, 1895, V.39, №5, P. 422-443.

2. Wadati M. The modified Korteweg-de Vries equation // J.Phys.Soc. Japan, 1972, №32, P. 1681.

3. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalization I. A remarkable explicit nonlinear Transformation // J. Math. Phys., 1968, №9, P. 1202-1204.

4. Perring, К. K. and Skyrme Т. H. A Model Uniform Field Equation // Nucl. Phys., 1960, №31, P.550-555.

5. Skyrme Т. H. R. A Nonlinear theory of strong interactions // Proc. Roy. Soc. 1958, V.A247, P.260-278.

6. Косевич A.M, Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев.: Наук, думка, 1983. 192 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. К теории магнитной проницаемости ферромагнитных тел. в кн.: Ландау Л.Д. Собр. Тр. М.: Наука, 1969. Т.1, с.128-143.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Электродинамика сплошных сред. Т.8 М.: Наука, 1982, 621 с.

9. Enz U. Die Dinamik der blochschen Wand // Helv. Phys. Acta., 1961, V.37. S.245-251.

10. L.R. Walker (unpabl.). Quoted by F. Dillon. In: Magnetism / Ed. G.T. Rado, H. Suhl. Pergamon press, N.Y., 1963, V.3. P.451-465.

11. Елеонский B.M., Кирова H.H., Кулагин H.E. О скорости движения доменных границ // ЖЭТФ, 1976, Т.71. вып.6, С.2349-2355.

12. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. О предельных скоростях и типах волн магнитного момента // ЖЭТФ, 1978, Т.74, вып.5, С. 1814-1821.

13. Елеонский В.М., Кирова H.H., Кулагин II.Е. О магнитных солитонах, распространяющихся вдоль оси анизотропии // ЖЭТФ, 1979, Т.29, вып. 10, С.601-605.

14. Елеонский В.М., Кирова H.H., Кулагин Н.Е. Движение доменных границ во внешнем магнитном поле // ЖЭТФ, 1979, Т.76, вып.2, С.705-710.

15. Бабич И.М., Косевич A.M. Влияние магнитодипольного взаимодействия на динамику одномерного солитона намагниченности // Письма в ЖЭТФ, 1980, Т.31, вып.4, С.224-227.

16. Косевич A.M. Нелинейная динамика намагниченности в ферромагнетиках. Динамические и топологические солитоны // ФММ, 1982, Т.53, вып.З, С.420-446.

17. Звездин А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках // Письма в ЖЭТФ, 1979, Т.29, вып.10. С.605-610.

18. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках // ЖЭТФ, 1980, Т.78, вып.4, С. 1509-1522.

19. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский А.Л. К теории движения доменных границ в магнитоупорядоченных кристаллах // Письма в ЖЭТФ, 1978, Т.27, вып.4, С.226-229.

20. Елеонский В.М., Кирова H.H., Кулагин Н.Е. О точных решениях уравнений Ландау-Лифшица для слабых ферромагнетиков // ЖЭТФ, 1980, Т.79, вып. 1(7), С.321-332.

21. Елеонский В.М., Кирова H.H., Кулагин Н.Е. О точно решаемых моделях для двухподрешеточных магнетиков // ЖЭТФ, 1981, Т.80, вып. 1, С.357.

22. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Четкин М.В. Динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках // УФН, 1985, Т. 146, вып.З, С.417-458.

23. Боровик А. N-солитонные решения нелинейного уравнения Ландау-Лифшица // Письма в ЖЭТФ, 1978, 28, вып.10, С.629-932.

24. Боровик Л.Е., Робук В.Н. Линейные «псевдопотенциалы» и законы сохранения для уравнения Ландау-Лифшица, описывающего нелинейную динамику ферромагнетика с одноосной анизотропией // ТМФ, 1981, Т.46, вып.З, С.371-381.

25. Sklyanin E.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation. -Leningrad, 1979. 32 p. (Preprint / Academy of science of USSR. Leningrad Department Steklov Mathematical Institute; E-3).

26. Елеонский B.M. Солитоны в магнитных средах. В кн.: Нелинейные волны: Самоорганизация. М.: Наука, 1983. с. 129-135.

27. Ахиезер H.A., Боровик А.Е. О нелинейных спиновых волнах в ферромагнетиках и антиферромагнетиках // ЖЭТФ, 1967, 52, вып.2, С. 13321344.

28. Четкин М.В., Де ла Кампа. О предельной скорости движения доменной границы в слабых ферромагнетиках // Письма ЖЭТФ, 1978, Т.27, вып.З, С. 168-172.

29. Додц Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис. X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:Мир. 1988. 694 с.

30. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.:Мир. 1977. 308 с.

31. Тикадзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практические применения. М.:Мир, 1987. 419 с.

32. Зайкова В.А., Старцева И.Е., Филиппов Б.Н. Доменная структура и магнитные свойства электротехнических сталей. М.:Наука, 1992. 272 с.

33. Эшенфельдер А. Физика и техника цилиндрических магнитных доменов. М.:Мир, 1983. 496 с.

34. Бучельников В.Д., Гуревич В.А., Моносов Я.А., Шавров В.Г. Влияние внешних напряжений на доменную структуру многоосного ферромагнетика // ФММ, 1978, Т.45, вып.6, С.1295-1298.

35. Сабитов P.M., Вахитов P.M., Шанина Е.Г. Статические и динамические свойства магнитных неоднородностей в ЦМД-материалах с ромбической анизотропией // Микроэлектроника, 1989, Т. 18, № 3, С. 266-273.

36. Hirota R. Exact solutions of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons//Phys. Rev. Lett., 1971, V.27, P. 1192-1194.

37. Konno K., Kameyama W., Sanuki H. Effect of weak dislocation potential on nonlinear wave propagation in anharmonic crystal // J. Phys. Soc. Japan, 1974, V.37. №1, P. 171-176.

38. Lamb G.L. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium // Rev. Mod. Phys., 1971, 43, P. 99-124.

39. Hirota R. Exact solutions of the sine-Gordon equation for multiple collisions of solitons // J. Phys. Soc. Japan, 1972, V.33, P. 1459-1463.

40. Gardner C.S. The Korteweg-de Vries equation and generalizations. IV. The Korteweg-de Vries equation as a Hamiltonian system // J. Math. Phys., 1971, V.12, P.1548-1551.

41. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967, V.19, P. 1095-1097.

42. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. // ЖЭТФ, 1971, Т.61, С.118-134.

43. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С. and SegurH. Nonlinear evolution equations of physical significance//Phys. Rev. Lett. A, 1973, V.31, P. 125-127.

44. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C. and Segur H. The inverse scattering transform Fourier analisys for nonlinear problems // Stud. Appl. Math., 1974, V.53, P. 249-315.

45. SabuskyN.J. and Kruskal M.D. Interaction of solitons on a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett., 1965, V.15, P. 240243

46. Турицын С.К., Фалькович Г.Е. Устойчивость магнитоупругих солитонов и самофокусировка звука в антиферромагнетиках // ЖЭТФ, 1985, Т.89, №1, С.258-270.

47. Киселев В.В., Танкеев А.П. Магнитоупругий резонанс длинных и коротких волн в магнетиках // ФММ, 1993, Т.75, №1, С.40-53.

48. Харисов А.Т., Шамсутдинов М.А., Танкеев А.П. Магнитоупругие солитоны и резонанс Захарова-Бени в тетрагональных антиферромагнетиках //ФММ, 1999,Т.87,№4, С.5-12.

49. Косевич A.M., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наукова думка, 1989. 304 с.

50. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newel А.С. and Segur Н. Method for solving the sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett., 1973, 30, pp.1262-1264.

51. Дж. JI. Лэм Введение в теорию солитонов. М.:Мир. 1983. 294 с.

52. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.:Наука, 1980. 315с.

53. Bogdan М.М., Kosevich A.M., Maugin G.A. Soliton complex dynamics in strongly dispersive medium // Wave motion, 2001, V.34, P. 1-26.

54. Peyrard M., Kruskal M.D. Kink dynamics in the highly discrete sine-Gordon system // Physica D, 1984, V.14, P. 88-102.

55. Boesch R., Willis C.R., El-Batanouny M. Spontaneous emission of radiation from a discrete sine-Gordon kink // Phys. Rev. B, 1989, V.40, P. 2284-2296.

56. Peyrard M., Simple theories of complex lattices // Physyca D, 1998, V.123, P.403-424.

57. Nakajima K., Onodera Y., Nakamura Т., Sato R. Numerical analysis of vortex motion on Josephson structures // J. Appl. Phys., 1974, V.45, P. 4095-4099.

58. Ustinov A.V., Malomed B.A., Sakai S. Bunched fluxon states in one-dimensional Josephson-junction arrays // Phys. Rev. B, 1998, V.57, P. 11691— 11697.

59. Bogdan M.M., Kosevich A.M. Radiationless motion of one dimensional solitons in dispersive medium, in: Nonlinear Coherent Structures in Physica and Biology // NATO ASI Series: Physics, Vol.329, Plenum Press, New York, 1994, P.373-376.

60. Bogdan M.M., Kosevich A.M. Interaction of moving solitons in a dispersive medium and regimes of their radiationless motion // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math., 1997, V.46, №1/2, P. 14-23.

61. Косевич A. M., Гришаев В. И. Об условиях существования 1D магнитных солитонов с частотными характеристиками, попадающими в сплошной спектр // ФНТ, 2002, Т.28, вып. 8-9, С. 834-839.

62. Peyrard М., Piette В., Zakrzewski W.J. Soliton—like behavior in a modified sine-Gordon model // Physica D, 1993, V.64, P. 355-164.

63. Алфимов Г.Л., Елеонский B.M., Мицкевич H.В. О влиянии пространственной дисперсии на самолокализованные состояния поля // ЖЭТФ, 1993, Т.103, вып.4, С.1151-1158.

64. Alfimov G.L., Eleonskii V.M., Kulagin N.E. and Mitskevich N.V. Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions // Chaos, 1993, V.3, Issue 3, P.405-414.

65. Vazquez L., Evans W.A.B., and Rickayzen G. Numerical investigation of a nonlocal sine-Gordon model //Phys.Lett. A, 1994, V.189, P.454-459.

66. Alfimov G.L. and Korolev V.G. On multilink states described by the nonlocal sine-Gordon equation // Phys.Lett. A, 1998, V.246, P. 429-435.

67. Leung K.M. Path integral approach to the statistical mechanics of solitons // Phys.Rev. B, 1982, V.26, P. 226-244.

68. CondatC.A., GuyerR.A., and Miller M.D. Double sine-Gordon chain // Phys.Rev.B, 1983, V.27, P.474-494.

69. Maugin G.A. and Miled A. Solitary waves in elastic ferromagnets // Phys.Rev.B, 1986, V.33, P.4830-4842.

70. Bogdan M.M., Kosevich A.M., and Maugin G.A. Formation of soliton complexes in dispersive systems // Cond.Matt.Phys., 1999, V.2, P.225-265.

71. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наук. Думка, 1984.288 с.

72. Лачинов А.Н., Жеребов АЛО., Корнилов В.М. Высокоироводящее состояние в тонких пленках полимеров. Влияние электрического ноля и одноосного давления//ЖЭТФ, 1992, Т102, вып.1. С.187-193.

73. Лачинов А.Н., Жеребов АЛО., Корнилов В.М. Аномальная неустойчивость полимеров при одноосном давлении // Письма в ЖЭТФ, 1990, Т52, вып.2. С.742-745.

74. Шиховцева Е.С., Пономарев Е.С. Устойчивость перехода диэлектрик-металл в кислородосодержащих полимерах // Письма в ЖЭТФ, 1996, Т.64, вып.7, С.468-472.

75. Пономарев О.А., Шиховцева Е.С. Механизм влияния давления и поля на электропроводность сопряженных полимеров с изолирующими мостиками, ЖЭТФ, 1995. Т. 107, вып.2, С.637-648.

76. Yakushevich L.V. Is DNA a nonlinear dynamical system where solitary conformational waves are possible? //J. Biosci, 2001, V.26, №3, P.305-313.

77. Якушевич Л.В. Методы теоретической физики и их применение в теории биополимеров (монография) Пущино: НЦБИ АН СССР, 1990.

78. Yakushevich L.V. Nonlinear dynamics of biopolymers: theoretical models, experimental data// Quart.Rev.Biophys., 1993, V.26, P.201-223

79. Watson J. D. and Crick F. H. C. Molecular structure of nucleic acids. A structure of deoxyribose nucleic acid//Nature (London), 1953, V.171, P.737-738.

80. Crick F. H. C. and Watson J. D. The complementary structure of deoxyribonucleic acid // Proc. R. Soc. (London), 1954, V.A223, P.80-96.

81. McCommon J.A. and Harvey S. C. Dynamics of proteins and nucleic acids. Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

82. Yakushevich L.V. Nonlinear physics of DNA. New York: Wiley, 1998.

83. Englander S.W., Kallenbach N.R., Heeger A.J., Krumhansl J.A. and Litwin A. Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations // Proc. Natl. Acad. Sei. USA, 1980, V.77, 1980, P.7222-7226.

84. Yomosa S. Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices // Phys. Rev. A, 1983, V.27, P. 2120-2125.

85. Takeno S. and Homma S. Topological solitons and modulated structure of bases in DNA double helices // Prog. Theor. Phys., 1983, V.70, P.308-311.

86. Krumhansl J. A. and Alexander D. M. Nonlinear dynamics and conformational excitations in biomolecular materials, in Structure and dynamics: nucleic acids and proteins (eds) E. Clementi and R. H. Sarma, New York: Adenine Press, 1983, P.61-80.

87. Fedyanin V.K. and Lisy V. Soliton conformational excitations in DNA // Stud. Biophys., 1986, V. 116, P. 65-71.

88. Zhang Ch-T. Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices//Phys. Rev. A, 1987, V.35, P.886-891.

89. Yakushevich L.V. A Nonlinear DNA dynamics: a new model // Phys. Lett. A, 1989, V.136, P.413-417.

90. Fedyanin V.K. and Yakushevich L.V. Scattering of neutrons and light by DNA solitons//Stud. Biophys., 1984, V.103, P.171-178.

91. Baverstock K.F. and Cundal R.D. Are solitons responsible for energy transfer in oriented DNA?//Int. J. Radiat. Biol., 1989, V.55, P. 152-153.

92. Yakushevich L.V. The effects of damping, external fields and inhomogeneity on the nonlinear dynamics of biopolymers // Stud. Biophys., 1987, V.121, P.201-207.

93. Polozov R.V. and Yakushevich L.V. Nonlinear waves in DNA and regulation of transcription // J. Theor. Biol., 1988, V.130, P.423-430.

94. Yakushevich L.V., Savin A.V., Manevitch L.I. Nonlinear dynamics of topological solitons in DNA // Phys. Rev. E, 2002 V.66, 016614.

95. Seeger A., Donth IL and Kochendorfer. Theorie der Versetzunger in eindimensionalen Atomreihen. III. Versetzunger, Eigenbewegungen und ihre Wechselwirkung//Zeischrift fur Physik, 1953, V.134, S. 173-193.

96. Малоземоя А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. М.:Мир, 1982, 382 е.

97. Mikeska H.I. Solitons in a one-dimensional magnet with an easy plane. J.Phys. C: Solid State Phys. 1978. 11, №1, P. 66-32.

98. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. Спин-переориентационные фазовые переходы в кубических ферромагнетиках при упругих напряжениях // ФТТ, 1981, Т.23, вып.5, С. 1296-1301.

99. Tomas J., Murtinova L., Kaczer J. Easy magnetization axes in materials with combined cubic and uniaxial anisotropics. // Phys. Stat. Sol. (a), 1983, V.75, P.121-127.

100. Вахитов P.M. Магнитные фазовые диаграммы кубического ферромагнетика с наведенной одноосной анизотропией // ФММ, 2000, Т. 89. № 6. с. 16-20.

101. Андреев А.Ф., Марченко В.И. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков // УФН, 1980, Т. 130, вып.1, С.39-63.

102. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. М.: Издательство АН СССР, 1963, 224с.

103. Фарзтдинов М.М. Физика магнитных доменов в антиферромагнетиках и ферритах. М.:Наука, 1981, 156 с.

104. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика (Нерелятивистская теория). М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1989, 768с.

105. Кузьменко А.П., Булгаков B.K. Особенности сверхзвуковой нелинейной динамики доменных границ в редкоземельных ортоферритах // ФТТ, 2002, Т.44, вып.5, С.864-871.

106. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI. Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах // Письма в ЖТФ, 1979, Т.5, вып. 14, С.853-856.

107. Четкин М.В., Ахуткина А.И., Шалыгин А.Н. Сверхпредельные скорости доменных границ в ортоферритах // Письма в ЖЭТФ, 1978, Т.28, вып. 11, С.700-704.

108. Дж. Смарт. Эффективные поля в теории магнетизма, М.:Мир, 1968, 271с.

109. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI. О предельной скорости движения доменных границ в магнетиках // ФТТ, 1978, Т.20, вып.7, С.2177-2187.

110. Ахиезер H.A., Боровик А.Е. К теории спиновых волн конечной амплитуды // ЖЭТФ, 1967, Т.52, вып.2, С.508-513.

111. Иванов Б.А., Косевич A.M. Связанные состояния большого числа магнонов в ферромагнетике с одноионной анизотропией // ЖЭТФ, 1977, Т.72, вып. 5, С.2000-2015.

112. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейная локализованная волна намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого числа магнонов // ФНТ, 1977, Т.З, вып.7, С.906-921.