Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной нелокальностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Алфимов, Георгий Леонидович

• Алфимов, Георгий Леонидович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Алфимов, Георгий Леонидович

Содержание

Введение

1. Локальные и нелокальные задачи теории нелинейных волн

2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона в моделях нелинейных решеток

3. Нелокальное уравнение синус Гордона в джозефсоновской электродинамике

4. Краткий обзор известных результатов о нелокальном нелинейном уравнении Клейна-Гордона

5. Структура диссертации и положения, выносимые на защиту

6. Основные предположения, терминология и обозначения

Глава 1. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона: кин-

ки в пределе слабой нелокальности

1.1. Динамическая интерпретация уравнения (1.3)

1.2. Нелокальное нелинейное уравнение синус Гордона в пределе слабой нелокальности

1.3. Нелокальное нелинейное уравнение фА в пределе слабой нелокальности

1.4. Заключение к главе 1

Глава 2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Каца- Бейкера. Решения типа бегущих волн

2.1. Связь решений системы уравнений (2.5)-(2.6) с решениями нелокального уравнения (2.2)

2.2. Динамическая интерпретация нелокального уравнения

2.3. Решения типа основных кинков и антикинков уравнения (2.2)

2.4.

2.5.

2.6.

Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром типа Каца-Бейкера.

Нелокальное уравнение фА с ядром типа Каца-Бейкера

Заключение к главе 2

83 104

Глава 3. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Е-ттша. Решения типа бегущих волн

3.1. Связь решений системы уравнений (3.4)-(3.5) и решений нелокального уравнения (3.2)

3.2. Движущиеся кинки: явление дискретизации скоростей

3.3. Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру

3.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром Е^типа

3.5. Заключение к главе 3

Глава 4. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром общего вида. Решения типа бегущих волн

4.1. Метод вспомогательных полей

4.2. Класс 5-ядер. Свойства уравнения (4.2) с ¿'-ядром

4.3. О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями

4.4. Заключение к главе 4

Глава 5. Решения типа кинков нелокальных уравнений джозефсо-новской электродинамики

5.1. Численный метод для нахождения решений типа 27гА;-кинков

5.2. Джозефсоновский переход между массивными сверхпроводящими электродами

5.3. Джозефсоновский контакт с электродами конечной толщины

5.4. Заключение к главе 5

Глава 6. Уравнение синус Гильберта-П: точные решения и их устой-

чивость

6.1. Точные решения уравнения (6.1)

6.2. Является ли уравнение синус-Гильберта-И интегрируемым?

6.3. Спектр малых периодических возбуждений состояний (6.3), (6.5) и (6.2)

6.4. Зонная структура нелокальных задач (6.28) и (6.42)

6.5. Заключение к главе 6

Глава 7. Пульсирующие решения нелокального уравнения синус Гордона

7.1. Общие замечания

7.2. Численное построение решений типа квази-бризера для нелокального нелинейного волнового уравнения. Общая схема

7.3. Квази-бризеры в модели джозефсоновского перехода с нелокальной электродинамикой

7.4. Численное построение решений типа квази-бризера для уравнения синус Гильберта II

7.5. Заключение к главе 7

Глава 8. Уравнение 1~Сих — и + ир — 0 и аналитические свойства его решений

8.1. Постановка задачи

8.2. Некоторые необходимые утверждения

8.3. Аналитические свойства локализованных решений уравнения (8.5)

8.4. Аналитические свойства периодических решений уравнения (8.5)

8.5. Заключение к главе 8

Заключение

Приложение А. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона: локаль-

ный случай, необходимые сведения

А.1. Уравнение синус-Гордона

А.2. Уравнение ф4

Приложение Б. Применение метода обратных итераций для решения уравнений вида Ьи = /(и)

Приложение В. Доказательство лемм 8.1 и 8.3 к главе 8

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной нелокальностью»

Введение

1. Локальные и нелокальные задачи теории нелинейных волн

Бурное развитие теории нелинейных волн во второй половине 20-го века позволило выделить круг нелинейных задач, которые можно считать классическими. К ним, безусловно, можно отнести задачи, связанные с уравнением Кортевега- де Вриза (КдВ), нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), нелинейным уравнением Клейна-Гордона и его частным случаем - уравнением синус Гордона, а также еще с рядом модельных уравнений. Для указанных уравнений характерно то, что они возникают одновременно в нескольких различных по своей природе физических приложениях в качестве простейшего нелинейного приближения. Некоторые из этих уравнений, в частности уравнения КдВ, НУШ и синус Гордона, также выделяются своими замечательными математическими свойствами. Нелинейные объекты, такие как кинки, бризеры, кноидальные волны, которые описываются этими уравнениями, в настоящее время стали естественными элементами языка многих разделов теоретической физики.

Вместе с тем, дальнейшее развитие и уточнение исходной физической модели, как правило, требуют корректировки математической постановки задачи. В целом ряде случаев дальнейшее уточнение модели приводит к нелокальным (инте-гродифференциальным) уравнениям. Одним из традиционных "источников" появления нелокальности в уравнениях, описывающих физическую модель, является учет дальнодействия. Задачи такого типа характерны для решеточных моделей, возникающих, например, в теории дислокаций, теории поверхностного слоя, при исследовании динамики ДНК и т.д. Другая возможность появления нелокальности связана с учетом сложного закона дисперсии. Нелокальные уравнения такого рода типичны, в частности, для задач гидродинамики и нелинейной оптики.

Одним из примеров нелокального обобщения классической задачи является переход от уравнения КдВ,

щ + 2иих + иххх = 0, (1)

к интегродифференциальному уравнению

оо

щ + 2иих + й(х - х')их>(х', £) йх' = 0. (2)

—с»

Уравнение (2) было предложено Дж. Уиземом [1] для описания процессов обострения и опрокидывания волн на поверхности жидкости, и в настоящее время часто называется уравнением Уизема. Ядро при этом выбирается соответствую-

щим реальному закону дисперсии линейных поверхностных волн. Уиземом было показано, что такое сочетание "гидродинамической" нелинейности, ~ иих, и интегрального члена, характеризующего линейную дисперсию среды, позволяют на качественном уровне описать явления обострения и опрокидывания волн. При этом в некоторых случаях сохранялись и солитонные свойства уединенных волн, характерные для уравнения КдВ. Обзор различных модификаций уравнения (2) и соответствующие ссылки на литературу можно найти в монографии [2].

Другой характерный пример, когда учет дальнодействия в классической модели приводит к нелокальному уравнению с качественно новыми свойствами, связан сНУШ

гщ + ихх + \и\2и = 0. (3)

Уравнение (3) в непрерывном приближении описывает динамику одномерной цепочки частиц при учете взаимодействия ближайших соседей. Ю.Гайдидеем и его соавторами было обнаружено [3, 4], что учет взаимодействий между всеми частицами цепочки приводит к нелокальному обобщению НУШ вида

гщ +

в(х - х')их,х,{х', г) с1х + \и\2и = 0 (4)

-оо

причем уравнение (4) позволяет описать режимы с обострением, явления биста-бильности а также локализованные состояния с медленно убывающей асимптотикой. Ядро в этом случае определяется законом взаимодействия между частицами цепочки.

В двух приведенных выше примерах нелокальное уравнение возникало при уточнении дисперсионного члена уравнения. Вместе с тем имеется большое количество примеров, когда нелокальность возникает в нелинейном члене уравнения. В частности, в настоящее время имеется обширная литература, посвященная нелокальным обобщениям НУШ вида

гщ + А и + и

С?(|г — г'|)|«(г)|2 сЬс = 0. (5)

Здесь А - оператор Лапласа, а - ядро, определяемое физикой задачи. Уравнения типа (5) возникают одновременно в различных приложениях, в том числе, в задачах физики плазмы [5], физики жидких кристаллов [6], нелинейной оптике [7-9] и теории конденсата Бозе-Эйнштейна [10]. Известно, что учет нелокальности в нелинейном члене приводит к существенным изменениям свойств модели, в частности, потере коллапсирующих решений и стабилизации неустойчивых вихревых структур.

В данной диссертационной работе рассматривается круг нелокальных задач, связанных с обобщением еще одного классического уравнения: пространственно одномерного нелинейного уравнения Клейна-Гордона

ии-ихх + Р(и) = 0, Г(и) = и'(и). (6)

Здесь штрих означает производную1. В задачах, имеющих различное физическое происхождение, зачастую уточнение физической модели приводит к замене второй пространственной производной на некоторый интегродифференциальный опе-

1 Использование наряду с нелинейностью Р(и) потенциала и (и), как будет видно из дальнейшего, достаточно удобно.

ратор С. Основное уравнение при этом принимает вид

ии - Си + = 0, Г(и) = V(и). (7)

Уравнение (7) естественно назвать нелокальным нелинейным уравнением Клейна-Гордона или нелинейным нелокальным волновым уравнением. Достаточна типична ситуация, при которой оператор С является мультипликатором Фурье. В этом случае действие оператора С на функцию и(х) в пространстве Фурье сводится к умножению преобразования Фурье й(си) на некоторую функцию ф{ш),

Си(ш) — ф(ш)й(и),

называемую символом оператора С. Сохраняя преемственность записи, выделим в С вторую пространственную производную. В этом случае действие оператора С, на функцию и{х) можно определить формулой

оо

д

Си =

ох

в{х - х')их,(х') &х'. (8)

—оо

Символ оператора С при этом имеет вид ф(ш) = — и2 СИ (и), где С!(ш) - преобразование Фурье ядра £(£)• Уравнение (7) принимает вид

оо

д

ии - тг

ох

в(х - х')их>(х', Ь) (1х + Г (и) = 0. (9)

—оо

В такой записи переход —> 5(£) соответствует возвращению к традицион-

ному (локальному) нелинейному уравнению Клейна-Гордона (6). Тип ядра С?(£) и нелинейности Р(и) определяется физической постановкой задачи. Интегралом энергии для уравнения (9) является величина

е =

оо

[\$-\чСч + Щч)\^ § = 0. (10)

Даже предварительный анализ показывает, что переход от уравнения (6) к его нелокальному обобщению (9) может сопровождаться существенным изменением

свойств модели. Во-первых, существенным отличием уравнения (9) от уравнения (6) является отсутствие у этого уравнения релятивистской инвариантности, которая обуславливает существование непрерывного спектра скоростей нелинейных волн. Во-вторых, сравним дисперсионные соотношения, определяемые уравнениями (6) и (9). Предполагая, что F(u) ~ и при и —> 0, подставляя в уравнение (9) выражение и ~ exp{icj(a: — ct)} и отбрасывая нелинейные члены, получаем

-cV + 1 + uj2G(cj) = 0 (И)

где G{uj) - преобразование Фурье ядра (в случае уравнения (6) имеем то же соотношение (11) с G{uS) = 1). Действительные корни уравнения (11) при фиксированном значении с, с2 < 1, определяют частоты малоамплитудных колебаний вблизи нулевого состояния равновесия и — 0. Очевидно, что для широкого класса ядер G(£) уравнение (11) имеет действительные корни и = ш* (см. лемму 4.9 в разделе 4.2), в то время, как в случае G(w) = 1 таких корней нет. Наличие гармонических осцилляций с такой частотой, движущихся со скоростью с, |с| < 1, может оказаться фатальным для семейства локализованных волн. В частности, это может привести к "приклеиванию" этих осцилляций к локализованной волне, также бегущей со скоростью с, таким образом, что условие строгой локализации при х —> ±оо оказывается нарушенным. Восстановление условия строгой локализации может произойти лишь при выделенных значениях параметров задачи. Подобная ситуация возникала в различных физических моделях, в частности в задачах нелинейной оптики [11-13] и гидродинамики [14, 15]. Локализованные волны, существование которых возможно лишь при фиксированных значениях внешнего параметра получили название embedded solitons [16]. Они активно исследовались теоретически и численно (см. напр. работы [17,18] и обзор [19]). В данной диссертации показано, что разрушение семейства локализованных бегущих волн уравнения (9) происходит именно по такому сценарию.

В целом настоящая диссертационная работа посвящена детальному изучению

свойств уравнения (9) и выделению его характерных черт, общих для различных типов ядер Наибольшее внимание в работе будет уделено двум случаям:

случаю синусной нелинейности,

Г(и) — эти, и (и) = 1 — соя и, (12)

(уравнение синус-Гордона), и случаю кубической нелинейности,

Р(и) = -и + и3, Щи) = ± - ¿и2 + (13)

(уравнение ф4). Именно эти типы нелинейностей являются модельными, и, как будет показано в дальнейшем, возникают независимо в различных приложениях. Заметим, что исследованию моделей, где нелокальность возникает в нелинейном члене (6), также посвящен ряд работ, (см. напр. [20, 21, А12]), но этот круг задач выходит за рамки данной диссертационной работы.

В следующих двух разделах, 2 и 3, будут приведены примеры двух типов физических моделей, где естественным образом возникает уравнение (9).

2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона в моделях нелинейных решеток

Рассмотрим цепочку частиц единичной массы, взаимодействующих друг с другом и находящихся в поле некоторого периодического внешнего потенциала КиьСи)- Предположим, что частицы могут двигаться только в одном измерении. Пусть ип - безразмерная координата п-й частицы цепочки. Энергия системы частиц складывается из кинетической и потенциальной составляющих. Кинетическая энергия цепочки имеет вид

п 4 '

Потенциальная энергия цепочки £/, в свою очередь, складывается из энергии взаимодействия частиц друг с другом и энергии их взаимодействия с внешним потенциалом. Первое из этих двух слагаемых записывается в виде

и1П1 = - Утп),

п т>п

где Утг{и) - потенциал взаимодействия частиц данного типа (см. ниже). Вклад второго слагаемого равен

изиъ =

п

Тогда уравнения движения частиц цепочки можно вывести из следующего гамильтониана

Н = К + иш + изиЬ = (^г) + Л Угт{ип ~ ит) + УзиЬ{ип) 1. (14)

п ^ ^ ' т>п )

Предполагая гармоничность взаимодействия между частицами, гамильтониан (14) можно переписать в виде

Н = +Лугп-п{ип-ит)2 + УзиЬ{ип) 1 (15)

п ^ ^ ' т>п )

где Уп-т - бесконечная симметричная матрица, элементы которой заданы законом дальнодействия. Модели такого типа используются в большом числе физических приложений, в том числе в теории дислокаций [24-26], теории магнетиков [27, 28], моделях динамики ДНК [29, 30],(см. также [31], гл. 5), и других областях. Стоит сослаться, например, на монографию [32], содержащую обширную литературу, а также работу [33], где для перехода к нелокальному описанию в достаточно общем случае используются универсальные энергетические принципы.

Обсудим некоторые примеры систем, динамика которых определяется гамильтонианом (14).

Vint

-e-

Рис. 1. Цепочка, соответствующая гамильтониану (14).

1. Предположим, что взаимодействие между ближайшими "соседями" в цепочке является доминирующим,

1/2/г2, если т = п + 1 О, если т ф п + 1.

(к - действительный параметр). Тогда для динамики цепочки возникает возникает следующая система уравнений

VТ). —?77

d2ur

~ Та ~~ 2Un + + Vsub(un) = 0, п = 0 ± 1, ±2,...

(16)

Gh(0 =

(17)

dt2 h2

Вводя функцию и(х, ¿), совпадающую в узлах хп = nh со значениями un(t), можно записать систему (16) в виде (9) со следующим "треугольным" ядром, см. Рис.2,

(h - |<е|)//12, о < ICI < /г

0, > /I.

Для проверки этот факта достаточно дважды проинтегрировать по частям интегральный член в уравнении (9). Нетрудно убедиться также, что учет влияния конечного числа более отдаленных "соседей" также приводит к уравнению (9) с кусочно-линейным ядром более сложного вида.

Приведенная выше модель достаточно хорошо изучена. В частности, обширная литература посвящена случаю периодического потенциала

Vsub(u) = 1 - cos и. 12

1 и

-и

Рис. 2. "Треугольное" ядро (?(£) уравнения (9), соответствующее учету взаимодействия ближайших соседей в цепочке частиц.

В этом случае модель носит название модели Френкеля-Конторовой, [24, 25], (см. монографию [32], содержащую большое количество ссылок).

2. Предположим, что на каждую частицу влияют не только ближайшие "соседи", но и все остальные частицы цепочки (цепочка с дальнодействием). В этом случае для описания динамики цепочки, уместно перейти от дискретного к континуальному приближению, используя некоторую стандартную процедуру (см., напр. [34, 35]). Оказывается, если потенциал взаимодействия затухает экспоненциально, (потенциал Каца-Бейкера), то при некоторых дополнительных предположениях динамику цепочки можно описать при помощи уравнения, имеющего следующий операторный вид

Параметр нелокальности Л при этом связан с параметрами V® и (3 рассматриваемого потенциала (см. напр. [36].) Уравнение (19) эквивалентно уравнению (9) с экспоненциальным ядром

д2и

и + КиьЫ) =

(19)

В случае синусоидальной нелинейности (18) данная задача рассматривалась в работах [36-38]. Случаю кубической нелинейности (модель ф4) посвящены работы

3. Если закон взаимодействия между частицами цепочки является степенным, то в континуальном приближении динамику исходной модели также предлагалось описывать уравнением типа (9) [43, 44]. При этом ядро интегрального оператора убывает степенным образом и имеет вид

"Обрезание" подынтегральной функции на некотором расстоянии а производится, чтобы избежать расходимости интеграла в дисперсионном члене. Параметр а и расстояние а при этом определяются параметрами потенциала взаимодействия.

4. Стоит отметить еще одну версию нелокального обобщения нелинейного уравнения Клейна-Гордона вида (9), связанное с введением дробных производных [45]. Рассмотрим решеточную модель с гамильтонианом вида (15), где Уп-т - бесконечная симметричная матрица взаимодействия с элементами

Здесь Уо - некоторая константа, а степень 5 определяется законом взаимодействия между частицами цепочки. В соответствии с результатами работ [46, 47] дискретная задача с гамильтонианом (15) может быть сведена к одному из трех уравнений:

(а) Если в > 3, то описание динамики системы возможно в рамках нелинейного уравнения Клейна-Гордона, с точностью до перенормировки пространственной переменной

[39-42].

\£\>а

ICI < а.

иа ~ Dsuxx + Vsub{u) = 0. Здесь D, = JVbC{s ~ 2) и £(■) - дзета-функция Римана.

(Ь) Если я = 2, то континуальное описание возможно в рамках уравнения

ии - В2Пих + у;иь(и) = 0, (21)

где 1^2 = 7гУо и Н - преобразование Гильберта,

оо

Ни = — у.р.

7Г

и(х') йх' . .

^ ; (22)

х — х'

—оо

Интеграл при этом понимается в смысле главного значения. Уравнение (21) возникает также в других приложениях, см. введение, раздел 3.

(с) В случае, когда 2 < я < 3, в континуальном приближении возникает уравнение

д3~1

ии ~ + у'зиъ(и) = О

Здесь константа связана с я и Ц, а ^ ^ - дробная производная Рисса, которая является оператором умножения в пространстве Фурье с символом —

3. Нелокальное уравнение синус Гордона в джозефсоновской электродинамике

Джозефсоновский переход представляет собой структуру, состоящую из двух сверхпроводящих электродов, разделенных тонким туннельным слоем. Особенность такой структуры заключается в том, что если туннельный слой достаточно мал (несколько нанометров), то между макроскопическими волновыми функциями сверхпроводников возникает перекрытие и, как следствие, через туннельный слой начинает течь ток, даже если к электродам не прикладывается напряжение. Это явление называется эффектом Джозефсона [48, 49]. В настоящее время

джозефсоновские переходы используются в различных областях науки и техники, например, при создании точных датчиков, генераторов излучения высокой частоты и т.д.

На Рис.3 изображена схема перехода, образованного двумя сверхпроводящими электродами, толщиной D, шириной w и длиной L. Толщина туннельного слоя, разделяющего электроды, равна d. Величина A¿ - лондоновская длина, соответствующая глубине проникновения в сверхпроводящие электроды магнитного поля. Характерный размер структуры, возникающей в переходе, описывается джо-зефсоновской длиной, Aj, которая выражается через другие параметры перехода.

Известно, что длинный джозефсоновский переход, L Aj, у которого длина и толщина электродов много больше лондоновской длины и Aj ^ A¿, описывается уравнением синус Гордона,

sin (р + íptt + oupt - 7 = (fixx. (23)

содержащим, вообще говоря, члены, отвечающие диссипации и накачке. Здесь (f(t]x) - разность фаз волновых функций сверхпроводящих электронов в электродах (джозефсоновская фаза). Уравнение (23) записано в безразмерном виде, при этом пространственная координата нормирована на Aj, а временная - на плазменную частоту Lüp, детали см. в [48, 49].

Вместе с тем, при нарушении перечисленных выше условий, уравнение (23) перестает быть справедливым. Выяснилось, что уравнение для разности фаз tp(t; х) при этом может оказаться нелокальным и иметь вид (37). Активное теоретическое развитие нелокальной джозефсоновской электродинамики началось в начале 90-х годов 20-го века [50-55] и было во многом связано с исследованием высокотемпературных сверхпроводников. В настоящее время появились экспериментальные работы, подтверждающие необходимость учета нелокальности при описании некоторых типов джозефсоновских структур [56, 57].

Следуя обзору [А20], можно выделить два механизма возникновения нелокаль-

Рис. 3. Схема джозефсоновского перехода.

ного члена в уравнении синус Гордона. Первый из этих механизмов связан с нарушением условия А/, Ал, см. работы [52, 53, 58, 59, А10]. Это имеет место, например, в случае сверхпроводников с большим значением параметра Гинзбурга-Ландау [А2]. Нелокальность такой природы в обзоре [А20] предложено называть внутренней нелокальностью. Другой механизм возникновения нелокальности характерен для джозефсоновских переходов с очень тонкими электродами, где и> сравнимо с лондоновской длиной А^ [50, 51, 60-63]. Примером такого перехода может служить трещина в очень тонкой сверхпроводящей пластине. В этом случае в силу специфической геометрии магнитное поле перехода выходит за пределы сверхпроводящих электродов. Воздействие этого поля на переход осуществляется через окружающее пространство и является нелокальным. Такой тип нелокальности уместно назвать геометрической нелокальностью, см. также [65-69].

Перечислим теперь некоторые типы ядер интегрального оператора уравнения (37), возникающие в задачах нелокальной джозефсоновской электродинамики.

1. Джозефсоновский переход, образованный двумя одинаковыми и бесконечно толстыми электродами, Б —■» оо, описывается уравнением (37) с ядром интегро-

дифференциального оператора вида [52-54]

= ¿к° (?) • <24>

где К0(-) - функция Макдональда [70], а А = Аь/Ад. Нелокальность здесь обусловлена "внутренними" причинами. При А —> 0 ядро (24) вырождается в ¿-функцию, а уравнение (37) при этом превращается в традиционное уравнение синус Гордона. Уравнение (37) с ядром (24) обсуждалось в большом числе физических работ [71-74]. Близкие уравнения с нелинейной диссипацией и таким же интегральным оператором рассматривались в работах [75, 76].

2. В работах [58, 59] было рассмотрено обобщение модели с ядром (24) на случай несимметричного джозефсоновского перехода. Было показано, что при этом возникает уравнение (37) с ядром довольно сложного вида.

3. В случае, когда толщина И электродов конечна, а сравнима с А,/, возникает уравнение (37) с ядром вида

оо

1

2тгА

d(

— 00

yr+í

th [ру/ТТе) e^IC/A. (25)

(см. [А10, А18]). Здесь А = Al/Aj а (3 = D/A¿. Когда D —> оо ядро (25) вырождается в ядро (24). Другой интересный предел возникает при (3 <С 1. В этом случае ядро интегрального оператора принимает вид

а уравнение (37) с этим ядром допускает точные решения [77, А10].

4. Очень узкий джозефсоновский переход, ширина которого w меньше лондо-новской длины A¿, описывается уравнением (37) с ядром вида [63]

ОЮ- *

Mf)-"(f)]

(27)

2 Ар

где Н0(-) and Y0(-) - функции Струве и Бесселя соответственно, а параметр Ар = 2\\/w - перловская длина [78]. Здесь нелокальность имеет "геометрическое" происхождение.

5. Если ширина перехода w сравнима с Аследуя работе [66], ядро (27) должно

быть заменено на ядро:

G({) = í(() + £

41

(28)

где Л = Ль/Ал.

6. Ядро более общего вида, учитывающее как "внутренний" так и "геометрический" механизмы появления нелокальности и применимое в случае, когда соотношение ии и Аь произвольно было предложено в [67]:

2Aj

7TW

Jo(C|í|/A) di

(l + f2)3/2 угт? + с coth (то^/ГТ?

(29)

(30)

Этот случай обобщает ядра (24), (27) и (28). Дальнейшее развитие этой теории можно найти в работах [68, 79, 80].

7. Предел сильной нелокальности в некоторых из перечисленных выше моделей может быть описан при помощи уравнения

sin <р(х, t) + iptt(x,t) + aipt{x,t) - 7 = —Hipx{x,t),

(31)

где Ti - оператор Гильберта, определенный формулой (22), а А* - некоторый параметр нелокальности, физический смысл которого зависит от исходной модели. В работах, посвященных джозефсоновским переходам, такой тип нелокальности обсуждался еще в 70-е годы в работах Лихарева с соавторами [81, 82]. В отсутствие диссипации и накачки, а = 7 = 0, уравнение (31) совпадает с уравнением (21) с F(u) = sini¿, причем последнее можно записать в свободном от параметров виде

ии — Них + sin и = 0.

(32)

Нелокальное уравнение синус Гордона с ядрами (24) и (25) вырождаются в (31) в пределе, когда характерный размер структуры в переходе Аз оказывается много

меньше Л^- Такая ситуация является довольно экзотической для искусственно изготовленных джозефсоновских переходов, но вполне возможна при описании слабых связей в высокотемпературных сверхпроводниках. Независимо уравнение (31) возникает в модели узкого джозефсоновского перехода (см п.4) в пределе, когда размер структуры, возникающей в переходе, оказывается много меньше перловской длины. В этом случае также А* = А = Al/Aj.

Обсуждению некоторых решений уравнения (31) посвящена глава 6. Ввиду особой роли, которое занимает уравнение (31) в приложениях, в работе [58] для него было предложено название "уравнение синус Гильберта". Это название, однако, оказалось "занято": другим уравнением, называемым в литературе "уравнение синус Гильберта", является интегрируемое уравнение [83]

Нщ = sm и, (33)

возникающее, в том числе в модели дислокации Пайерлса [84, 85]. В данной работе мы будем называть уравнение (31) "уравнением синус Гильберта - II". 2

8. Отдельно следует упомянуть приложения нелокального уравнения (37) для описания систем точечных джозефсоновских контактов [86, 87, А8] или слоистых джозефсоновских структур [88-91]. Таким структурам в последнее время уделяется большое внимание, в связи с возможностью создания источников, детекторов и фильтров терагерцового излучения на их основе [73, 74]. В частности, в работе [74] показано, что если один из контактов в слоистой джозефсоновской структуре существенно выделяется из других, для описания вихревых структур в нем применимо уравнение (37) с ядром (24). В других ситуациях [92] для описания слоистых структур предлагалось использовать нелокальное уравнение синус Гордона с экс-

2Название "синус Гильберта" возникает естественно по аналогии с названием уравнения "синус Гордона". Следует заметить, что уравнения Нщ = sinw и ии — Них + sin и = 0 (бездиссипативный предел (31)) объединяет то, что оба они получаются из уравнения синус Гордона заменой одной из производных по пространственной переменной на оператор Гильберта (в первом случае замена происходит после записи уравнения синус Гордона в конических переменных, щх = sin и.)

поненциальным ядром (20). Стоит заметить, что такое же уравнение возникало в модели джозефсоновской линии передачи с индуктивной связью между ячейками [А8]. Нелокальное уравнение синус Гордона, использованное в [90, 91] для описания суперрешеток джозефсоновских переходов, имело ядро (26), упоминавшееся выше.

Наконец стоит отметить, что близкие к (37) нелокальные уравнения возникали в теории джозефсоновских переходов с пассивной областью ("window junctions", [93, 94]).

4. Краткий обзор известных результатов о нелокальном нелинейном уравнении Клейна-Гордона

Приведенными примерами круг приложений уравнения (7) не исчерпывается. Например, уравнения вида (7) возникают при описании динамики спиновых волн в ферромагнитной пластине, см. [22]. В работе [22] уравнение (7) имеет кубическую нелинейность, а оператор С выражается через преобразование Гильберта. Стоит также отметить, что подобные (7) уравнения, но с мнимым временем, возникают в различных задачах теории инстантонов, см. напр. [23]. Поэтому выделение класса уравнений (7) в качестве самостоятельного объекта исследований представляется вполне естественным.

Задачи, связанные с уравнением (7), достаточно трудны для исследования именно в силу сочетания факторов нелинейности и нелокальности. Частичное "отключение" хотя бы одного из этих факторов позволяет существенно продвинуться в исследовании задачи. Соответственно, в некоторых работах удавалось провести достаточно полное исследование в предположении, что нелинейность представляется кусочно линейной функцией и возможно точное решение задачи в различных областях с последующей "сшивкой" [95-97]; при этом нелокальный член учитывался полностью. В других работах предполагалось, что нело-

кальность может быть аппроксимирована высшими производными [98], а также использовались оба упомянутые приближения [99, 100]. Эти исследования позволили обнаружить новое явление "склеивания" кинков с формированием сложных движущихся структур ("soliton complex") с большим топологическим зарядом, которые невозможно описать локальной моделью. Кроме того, выяснилось, что скорости свободного движения таких образований не могут быть произвольными, а определяются из некоторых дополнительных условий [98, 101]. Интересно, что подобное явление было обнаружено также в дискретной модели типа модели Френкеля-Конторовой [102]. Вместе с тем детальное исследование мультисолитонных комплексов и спектров их скоростей при полном учете нелинейности и нелокальности не проводилось.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алфимов, Георгий Леонидович, 2014 год

Литература

[1] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977 - 622с.

[2] Naumkin P.I., Shishmarev I.A. Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves// Amer. Math. Soc., Translations of mathematical monographs, 1994, v. 133, 289 p.

[3] Gaididei Yu. В., Mingaliev S. F., Christiansen P. L. and Rasmussen K. 0. Effects of nonlocal dispersive interactions on self-trapping excitations// Phys.Rev.E, 1997. - v. 55, pp. 6141-6150.

[4] Gaididei Yu. В., Mingaliev S. F., Christiansen P. L. and Rasmussen К. O. Effect of nonlocal dispersion on self-interacting excitations// Phys.Lett.A, 1996. - v.222, pp. 152-156.

[5] Кольчугина И.А., Миронов В.А., Сергеев A.M. О структуре стационарных солитонов в системах с нелокальной нелинейностью//Письма в ЖЭТФ, 1980. - т.31, вып. 6, стр.333-337.

[6] Conti С., Peccianti М., Assanto G. Route to Nonlocality and Observation of Accessible Solitons// Phys.Rev.Lett., 2003. - v.91, 073901.

[7] Snyder A.W., Mitchell D.J. Accessible solitons// Science, 1997 - v.276, pp.1538-1541.

[8] Mitchel D. J., Snyder A.W. Soliton dynamics in a nonlocal medium// J.Opt. Soc. Am. B, 1999. - v.16, pp.236-239.

[9] Krolikowski W., Bang O. Solitons in nonlocal nonlinear media: exact solutions// Phys.Rev.E, 2001. - v.63,016610.

[10] Pitaevskii L., Stringari S. Bose-Einstein condensation. Oxford Univ. Press, 2003.

- 383 c.

[11] Champneys A.R., Malomed B.A., Friedman M.J. Thirring solitons in the presence of dispersion// Phys. Rev. Lett., 1998. - v.80, pp. 4168-4171.

[12] Yang J., Malomed B.A., Kaup D.J., Champneys A.R. Embedded solitons: a new type of solitary wave//Mathematics and Computers in Simulation, 2001. - v.56 pp. 585-600.

[13] Yagasaki K., Champneys A.R., Malomed B.A. Discrete embedded solitons//Nonlinearity, 2005. - v.18, pp.2591-2613.

[14] Champneys A.R., Groves M.D. A global investigation of solitary wave solutions to a two-parameter model for water waves// J. Fluid Mech., 1997. - v.342 pp. 199-229.

[15] Kichenassamy S., Olver P.J. Existence and non-existence of solitary wave solutions to higher-order model evolution equations//SIAM J.Math. Anal., 1996.

- v.23, pp. 1141-1166.

[16] Yang J., Malomed B.A., Kaup D.J. Embedded solitons in second- harmonic-generating systems//Phys. Rev. Lett., 1999. - v. 83, pp. 1958-1961.

[17] Wagenknecht T., Champneys A.R. When gap solitons become embedded solitons: a generic unfolding//Physica D, 2003. - v.177, pp.50-70.

[18] Champneys A.R., Malomed B.A., Yang J., Kaup D.J. Embedded solitons: solitary waves in resonance with the linear spectrum//Physica D, 2001. - v. 152-153, pp. 340-354.

[19] Fujioka J., Espinosa-Cerron A., Rodriguez R.F. A survey of embedded solitons// Revista Mexicana de Fisica, 2006. - v. 52 (1) pp. 6-14.

[20] Vázquez L., Evans W.A.B., Rickayzen G. Numerical investigation of a non-local sine-Gordon model//Phys.Lett.A, 1994. - v.189, p.454.

[21] Cunha M.D., Konotop V.V., Vázquez L. Small-amplitude solitons in a nonlocal sine-Gordon model// Phys.Lett.A, 1996. - v.221, pp.317-322.

[22] Киселев В.В., Танкеев А.П. Длинноволновые слабонелинейные спиновые возбуждения в тонких ферромагнитных пленках// Физика Металлов и Металловедение, 1996 - т.82 (3), стр. 32-45.

[23] Корнеев В.И., Кулагин Н.Е., Попков А.Ф., Нелинейные локализованные волны в среде с нелокальным взаимодействием// Теоретическая и математическая физика, 1998. - т.114, вып. 3 стр. 366-379.

[24] Френкель Я.И., Конторова Т. К теории пластической деформации и двой-никования. ч.1//ЖЭТФ, 1938. - т.8(1), стр.89-95.

[25] Френкель Я.И., Конторова Т. К теории пластической деформации и двой-никования. ч.2//ЖЭТФ, 1938. - т.8(12), стр.1340-48.

[26] Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.; Наука, 1972 - 280с.

[27] Enz U. Die dynamik der Blochscen wand// Helv.Phys.Acta,1964 - v.37(3), p.245.

[28] Mikeska H.J. Solitons in a one-dimensional magnets with an easy plane// Journal of Phys. С - solid state physics, 1978. - v.ll, 1, p. L29-32.

[29] Zhou G.-F, Zhang C.-T. A short review on the nonlinear motion in DNA// Physica Scripta, 1991. - v.43, p.347-352.

[30] Якушевич JI.В. Нелинейная физика ДНК. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2007. -252 стр.

[31] Скотт Э. Нелинейная наука. Рождение и развитие когерентных структур. -М.: Физматлит, 2007. - 559 стр.

[32] Браун О., Кившарь Ю. Модель Френкеля-Конторовой. Концепции, методы, приложения. -М.: Физматлит, 2008. - 519 с.

[33] Bates P.W. On some nonlocal evolution equations arising in materials science// In: Nonlinear dynamics and evolution equations, Fields Inst. Commun., 2006. -v.48, pp. 13-52, Amer. Math. Soc., Providence, RI.

[34] Rosenau Ph. Dynamics of nonlinear mass-spring chains near the continuum limit.// Phys. Lett. A, 1986. - v.118, pp.222-227.

[35] Rosenau Ph. Hamiltonian dynamics of dense chains and lattices: or how to correct the continuum.// Phys. Lett. A, 2003. - v.311, pp.39-52.

[36] Mingaleev S.F., Gaididei Yu.B., Majernikova E., Shpyrko S. Kinks in the discrete sine-Gordon model with Kac-Baker long-range interactions//Phys. Rev. E, 2000. - v.61(4), p.4454-4461.

[37] Woafo P., Kenne J.R., Kofane T.C. Topological solitons in a sine-Gordon system with Kac-Baker interactions// Journal of Physics: Cond. Matt., 1993. - v.5(10), L123-L128.

[38] Kenne J.R., Woafo P., Kofane T.C. Dynamics and thermodynamics of the sine-Gordon system with long-range interaction potential// Journal of Physics: Cond. Matt., 1994 - v.6, pp. 4277-4288.

[39] Sarker S.K., Krumhansl J.A. Effect of solitons on the thermodynamic properties of a system with long-range interactions// Phys.Rev.B, 1981. - v.23, pp.2374-2387.

[40] Woafo P., Kofane T.C, Bokosah A.S. Discreteness effects in а фА chain with long-range interactions//J.Phys.: Condens. Matter, 1991. - v.3, pp.2279-2286.

[41] Woafo P., Kofane T.C, Bokosah A.S. Statistical mechanics of the continuum and discrete фА system with long-range interaction potential: the soliton dilute-gas phenomenology //J.Phys.: Condens. Matter, 1992. - v.4, pp.3389-3404.

[42] Woafo P., Kofane T.C, Bokosah A.S. Kink static properties in a discrete фА chain with long-range interactions //Phys.Rev.B, 1993. - v.48, pp. 10153-10159.

[43] Pokrovsky V.L., Virosztek A. Long-range interactions in commensurate-incommensurate phase transition// J. Phys. C: Solid State Phys., 1983.- v.16, pp.4513-4525.

[44] Braun O.M., Kivshar Yu.S., Zelenskaya I.I. Kinks in the Frenkel-Kontorova model with long-range interparticle interactions.// Phys.Rev.B, 1990. - v.41, pp.7118-7138.

[45] Самко С. Г., Кильбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и Техника, 1987. - 688 с.

[46] Laskin N., Zaslavsky G. Nonlinear fractional dynamics on a lattice with longrange interactions.// Phys. A, 2006. - v.368, pp.38-54.

[47] Tarasov V.E. Continuous limit of discrete systems with long-range interaction// J. Phys. A: Math. Gen., 2006. - v.39, pp. 14895-14910.

[48] Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. -М.: Мир, 1985. - 640с.

[49] Likharev К. Dynamics of Josephson junctuins and circuits. - Gordon and Breach, New York - London - Paris - Montreux - Tokyo, 1986 - 614 c.

[50] Иванченко Ю.М., Соболева Т.К. Джозефсоновский переход с нелокальным взаимодействием// Письма в ЖЭТФ, 1990 - т.51, вып.2, стр 100-102.

[51] Ivanchenko Yu. М., Soboleva Т.К. Nonlocal interaction in Josephson junction// Phys. Lett. A, 1990// - v.147, 1, pp. 65-69.

[52] Алиев Ю.М., Силин В.П., Урюпин С.А. К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсоновских контактах// СФХТ. 1992. - Т.5, N2, стр.228-235.

[53] Gurevich A. Nonlocal Josephson electrodynamics and pinning in superconductors//Phys. Rev. В., 1992. - V.46, N5, pp.3187-3190.

[54] Gurevich A. Nonlinear viscous motion of vortices in Josephson contacts//Phys. Rev. В., 1993. - V.48, N17, pp.12857-12865.

[55] Mints R.G. Nonlocal Josephson electrodynamics//J. Low. Temp. Phys., 1997. -v.106, N3/4, pp.183-192.

[56] Abdumalikov A.A. (Jr.), Fistul M.V., Ustinov A.V. Vortex radiation in long narrow Josephson junctions: Theory and experiment.//Phys.Rev.B, 2005. - v.72, 144526.

[57] Abdumalikov A. A. (Jr.), Kurin V. V, Helm C., De Col A., Koval Y, Ustinov A. V. Nonlocal electrodynamics of long ultranarrow Josephson junctions: Experiment and theory//Phys. Rev. B, 2006. - v.74, 134515.

[58] Алиев Ю.М., Силин В.П. О нелокальной джозефсоновской электродинами-ке//ЖЭТФ, 1993 - т.104, вып 1, стр.2526-2537.

[59] Aliev Yu. М., Silin V. P. Travelling 47r-kink in nonlocal Josephson electrodynamics// Phys. Lett. A, 1993 - v.177, pp.259-62.

[60] Mints R.G., Snapiro I.В. Josephson-vortex Bloch oscillations: single-pair tunneling effect// Europhys. Lett, 1994 - v.28, 5, pp.357-362.

[61] Mints R. G., Snapiro I. B. Dynamics of Josephson pancakes in layered superconductors// Phys. Rev. B, 1994 - v.49, pp.6188-92

[62] Mints R.G., Snapiro I.B. Electromagnetic waves in a Josephson junction in a thin film//Phys. Rev. В., 1995 - v.51, N5, pp.3054-3057.

[63] Kogan V. G., Dobrovitski V. V., Clem J. R., Mawatari Ya., Mints R. G. Josephson junction in a thin film// Phys. Rev. B, 2001 - v. 63, 144501.

[64] Mints R.G., Snapiro I.B. Josephson vortex Cherenkov radiation// Phys.Rev.B., 1995. - v.52, N13, pp.9691-9696.

[65] Kogan V. G. Pearl's vortex near the film edge// Phys.Rev. B, 1994 - v. 49, pp. 15874-8.

[66] Ivanchenko Yu. M. Nonlocal interaction in a system of Josephson junctions// Phys. Rev. B, 1995 - v.52, pp. 79-81.

[67] Кузовлев Ю.Е., Ломтев А.И. Нелокальная джозефсоновская электродинамика пластин конечной толщины// ЖЭТФ, 1997 - т. 111, Вып. 5, стр. 1803-1809.

[68] Ломтев А.И. Электромагнитные волны в нелокальной электродинамике наклонного джозефсоновского перехода конечной толщины//ЖЭТФ, 1998 -т. 113, Вып. 6, стр. 2256-2262.

[69] Moshe М., Koga n V.G., Mints R.G. Thin-film Josephson junctions with alternating critical current density//Phys. Rev. B, 2009. - v. 79, 024505.

[70] Справочник по специальным функциям, под ред. М.Абрамовича и И. Сти-ган// М.:Наука, 1979 - 830 с.

[71] Абдуллаев Ф.Х. Модуляционная неустойчивость электромагнитных волн в длинных джозефсоновских переходах// Письма в ЖТФ, 1997. - т.23, вып.2, стр.8-11.

[72] Ломтев А.И. Модуляционная неустойчивость диспергирующих электромагнитных волн в джозефсоновском переходе с нелокальным взаимодействием// Письма в ЖТФ, 2004. - т.ЗО, вып 4, стр. 6-14.

[73] Savel'ev S., Yampol'skii V., Rakhmanov A., Nori F. Using Josephson vortex lattices to generate, detect and control THz radiation// Physica C, 2006. -v.437-438, pp.281-284.

[74] Savel'ev S., Yampol'skii V., Rakhmanov A., Nori F. Terahertz Josephson plasma waves in layered superconductors: spectrum, generation, nonlinear and quantum phenomena//Rep. Prog. Phys. 2010.- v.73, 026501.

[75] Rauh H., Genenko Y.A. Bistable current-voltage characteristic of a weak-link between superconducting grains//Physica C, 2004. - v.401, pp.286-290.

[76] Rauh H., Genenko Y.A., Rieck C.T. Nonlocal fluxon dynamics in long Josephson junctions with Newtonian dissipative loss//J. Phys.: Condens. Matter, 2004. -v.16, S2715-S2733.

[77] Silin V.P., Studenov A.V. About 4-7r-kink in a Josephson junction// Phys. Lett. A, 1999. - v.264, pp.324-327.

[78] Pearl J. Current distribution in superconducting films carrying quantized fluxoids// Appl. Phys. Lett., 1964 - v.5, pp.65-6.

[79] Ломтев А. И. Модуляционная неустойчивость электромагнитных возбуждений в джозефсоновском переходе в пластине конечной толщины// ЖТФ, 2005 - т. 75, вып. 1, стр.123-126.

[80] Ломтев А.И. Модуляционная неустойчивость диспергирующих электромагнитных волн в джозефсоновском переходе в пластине конечной толщи-ны//ЖТФ, 2008 - т.786 вып.6, стр.34-38.

[81] Лапир Г.М., Лихарев К.К., Маслова Л.А., Семенов В.К. Критические токи сверхпроводящих мостиков переменной толщины// ФНТ, 1975. - т.1, N10, стр 1235-1243

[82] Куприянов М.Ю., Лихарев К.К., Семенов В.К. Джозефсоновские вихри в мостиках переменной толщины// ФНТ, 1976 -т.2, N6, стр.706-718.

[83] Ablowitz М. J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991 -516 p.

[84] Seeger A. Theorie der Gitterfehlstellen, in Handbuch der Physik, v.7, Part 1, Kristallphysik, Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1955, p.383.

[85] Peierls R. The size of a dislocation// Proc.Phys.Soc.London, 1940. - v.52, pp.34-37.

[86] Pfeiffer J., Schuster M., Abdumalikov A.A. (Jr)., Ustinov A.V. Observation of soliton fusion in a Josephson array// Phys. Rev. Lett., 2006. - v. 96, 034103.

[87] Pfeiffer J., Abdumalikov A.A.(Jr.), Schuster M., Ustinov A.V. Resonances between fluxons and plasma waves in underdamped Josephson transmission lines of stripline geometry//Phys. Rev. В., 2008. - v.77, 024511.

[88] Gr0nbech-Jensen N., Samuelsen M. R. Long-range magnetic interaction between Josephson junctions// Phys. Rev. Lett., 1995. - v.74, N1, pp.170-173.

[89] Gr0nbech-Jensen N., Samuelsen M. R. Magnetic interaction between spatially extended superconducting tunnel junctions// Phys. Rev. B, 2002.- v.65 144512.

[90] Gaididei Yu., Lazarides N., Flytzanis N. Static fluxons in superlattice of Josephson junctions// J.Phys.A: Math. Gen, 2002. - v. 35, pp. 10409-10427.

[91] Gaididei Yu., Lazarides N., Flytzanis N. Fluxons in a superlattice of Josephson junctions: dynamics and radiation//J.Phys.A: Math. Gen, 2003. - v. 36, pp.2423-2441.

[92] Алиев Ю.М., Овчинников К.H. Силин В.П., Урюпин С.А. Нелокальная джо-зефсоновская электродинамика слоистых структур// ЖЭТФ, 1995. - т.107, вып.З, стр 972-988.

[93] Caputo J-G., Flytzanis N., Kurin V. V., Lazarides N., Vavalis E. Effective sine-Girdon model for the static properties of narrow window junction// J. Appl. Phys., 1999. - v.85, N10, pp.7291-301.

[94] Flytzanis N., Lazarides N., Chiginev A., Kurin V. V. and Caputo J-G. Dynamics of fluxons in narrow window junctions//J. Appl. Phys, 2000. - v.88, N.7, pp.4201-211.

[95] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A. 107r-kink and conception of Cherenkov gluing of the Josephson vortices//Phys. Lett. A, 2000. - v. 270, pp.347-352.

[96] Малишевский А.С., Силин В.П., Урюпин С.А. Склеивание джозефсонов-ских вихрей черенковски-захваченными волнами Свихарта// ЖЭТФ, 2000 - т.117, вып. 4, стр. 771-789.

[97] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A., Uspenskii S.G. Vortex chains travelling with discrete velocities//Phys. Lett. A, 2008. - v.372, pp.4109-4114

[98] Косевич A.M., Гришаев В.И. Об условиях существования 1D магнитных со-

литонов с частотными характеристиками, попадающими в сплошной спектр. // Физика низких температур, 2002. - т.28 (8-9), с.834-839.

[99] Силин В.П., Студенов А.В. О квантованности движения и черенковской структуре джозефсоновского вихря// ЖЭТФ, 2000. - т.117, вып. 6, стр 1230-1241.

[100] Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О спектре скоростей топологических соли-тонов в нелокальной джозефсоновской электродинамике// ЖЭТФ, 2001 -т.119, вып. 5, стр 971-978.

[101] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A. 47r-kink vortices in long Josephson junctions//Phys.Lett.A, 1999. - v.253, pp.333-340.

[102] A.V. Savin, Y. Zolotaryuk, J.C. Eilbeck, Moving kinks and nanopterons in the nonlinear Klein-Gordon lattice// Phys. D, 2000. - v. 138, p.267-281.

[103] Силин В.П., Урюпин С.А. Вихри Абрикосова-Джозефсона в слоистой туннельной структуре// ЖЭТФ, 1995. - т. 108, вып. 6, с. 2163-2185 (1995).

[104] Kawahara Т. Oscillatory solitary waves in dispersive media// Journal of Phys. Soc. of Japan, 1972 - v.33, pp.260-264.

[105] Ахмедиев H.H., Анкевич А. Солитоны, нелинейные импульсы и пучки. Москва, Физматлит, 2003 - 304с.

[106] Malishevskii A.S., Silin V.P., Uryupin S.A. On the possibility of experimental observation of Cherenkov losses effect on the Josephson vortex induced motion// Phys.Lett. A, 2006 - v.348, pp.361-364.

[107] Mozer J. On generalization of a theorem of Liapounoff// Comm. Pure Appl. Math., 1958. - v.ll, N2, pp.257-271.

[108] Champneys A. R. Homoclinic orbits in reversible systems and their applications in mechanics, fluids and optics//Physica D, 1998. - v. 112, pp.158-186.

[109] Лерман Л.М. О гамильтоновых системах с петлей сепаратрисы седло-центра.Методы качественной теории дифференциальных уравнений: межвузовский тематич. сб. науч. тр./Под ред. Е.А.Леонтович-Андроновой; Горьк. гос. ун-т, Горький, 1987. - стр.89-103.

[110] Mielke A., Holmes P., O'Reilly О. Cascades of homoclinic orbits to, and chaos near, a hamiltonian saddle-center, Journal of Dynamics and Differential Equations, 1992. - v.4, pp.95-126.

[111] Champneys A.R., Harterich J. Cascades of homoclinic orbits to a saddle-centre for reversible and perturbed Hamiltonian systems// Dynamics and stability of systems, 2000. - v.15, N3, pp.231-252.

[112] Koltsova O.Y., Lerman L.M. Periodic orbits and homoclinic orbits in a two-parameter unfolding of a Hamiltonian system with a homoclinic orbit to a saddle-center//Int. J. Bifurc. Chaos, 1995. - v.5 pp. 397-408

[113] Lombardi E. Oscillatory Integrals and Phenomena Beyond all Algebraic Orders. - Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Singapore, Tokyo, Springer, 2000 (Lecture Notes in Mathematics, 1741).

[114] Champneys A., Kivshar Yu.S., Origin of multikinks in dispersive nonlinear systems// Phys.Rev.E, 2000.-v.61(3), p.2551-2554.

[115] loss G., Pelinovsky D.E. Normal form for travelling kinks in discrete Klein-Gordon lattices//Physica D, 2006. - v. 216, pp. 327-345.

[116] Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качествен-

ной теории в нелинейной динамике. Часть 1. - Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004, 416 стр.

[117] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных// Мат. сб., 1952. - т.31, (73), стр.575-586.

[118] Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры// Мат. сб., 1950. - т.29,(69), стр.148-156.

[119] Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений// Москва: Высшая школа, 1990.- 208 стр.

[120] Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений// Москва, Наука, 1981. - 398 с.

[121] Jones C.K.R.T. Geometric singular perturbation theory//in: Dynamic Systems, Lecture Notes in Mathematics, V. 1609, ed. by R. Johnson, Springer-Verlag, Berlin (1995) pp. 44-118.

[122] Devaney R.L. Blue sky catastrophes in reversible and Hamiltonian systems// Indiana University Mathematical Journal, 1977. - v.26, pp. 247-263.

[123] Harterich J. Cascades of reversible homoclinic orbits to a saddle-focus equilibrium// Physica D, 1998. - v.112, pp.187-200.

[124] Devaney R.L. Homoclinic •orbits in Hamiltonian systems// J. Diff.Equations, 1976, - 21, p.431-438.

[125] Беляков Л.А., Шильников Л.П., Гомоклинические кривые и сложные уединенные волны/ Межвузовский сборник "Методы качественной теории дифференциальных уравнений", ред. Баутин Н.Н. и др. Горький, Горьковский гос. Университет им. Лобачевского, 1985. - с.22-35.

[126] Lerman L.M. Complex dynamics and bifurcations in a Hamiltonian system having a transversal homoclinic orbit to a saddle focus// Chaos, 1991 - v. 1(2), p.174-180.

[127] Lerman L.M. Dynamical phenomena near a saddle-focus homoclinic connection in a Hamiltonian system// J. Stat. Phys., 2000 - v. 101, n 1/2, pp.357-372.

[128] Afendikov A.,Mielke A. Bifurcation of homoclinic orbits to a saddle-focus in reversible systems with SO(2)-symmetry// J.Diff.Eq., 1999. - v.159, pp.370-402.

[129] Vanderbauwhede A., Fiedler B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative systems// Z. angew. Math. Phys., 1992. - v.43, pp. 292-318.

[130] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики.// М., ВИНИТИ, 1985 -304 с.

[131] Bogdan М.М., Kosevich A.M. Radiationless motion of one-dimensional solitons in dispersive medium. In. Nonlinear Coherent Structutres in Physics and Biology, (Spatschek K.H., Mertens F.G., eds.), NATO ASI Series, Physics, vol. 329, New York, Plenum Press, 1994, p.373-376.

[132] Bogdan M.M., Kosevich A.M., Maugin G.A. Formation of soliton complexes in dispersive systems//Cond. Matt. Phys, 1999. - v.2, N2(18), p.255-265.

[133] Kalies W.D., VanderVorst R.C.A.M. Multitransition homoclinic and heteroclinic solution of the extended Fisher-Kolmogorov equation.//J.Diff.Eq.,1996 - v.131, p.209-228.

[134] Van den Berg J.В., The phase-plane picture for a class of forth-order conservative differential equations.// J. Diff. Eq., 2000.- v. 161, p.110-153.

[135] Kalies W.D., Kwapisz J., VanderVorst R.C.A.M., Homotopy classes

for Stable Connections between Hamiltonian Saddle-Focus Equilibria// Commun.Math.Phys, 1998 - v.193, p.337-371.

[136] Dee G.T., van Saarloos W. Bistable systems with propagating fronts leading to patera formation//Phys. Rev. Lett., 1988. - v.60, pp. 2641-2644.

[137] Akveld M.E., Hulshof J., Travelling wave solutions of a fourth-order semilinear diffusion equation// Appl.Math.Lett., 1998 - v.ll, p.115-120.

[138] Peletier L.A., Troy W.C. Spatial patterns described by the extended Fisher-Kolmogorov (EFK) equation: kinks// Differential and Integral Equations, 1995.

- v.8, N6, pp.1279-1304.

[139] Gardner R.A., Jones C.K.R.T, Travelling waves of perturbed diffusion equation arising in a phase field model// Indiana Univ. Math. J., 1990 - v.39, p.1197-1222.

[140] Kyrychko Yu. N., Blyuss K.B. Persistence of travelling waves in a generalized Fisher equation//Phys. Lett. A, 2009 - v.373, pp.668-674.

[141] Bonheure D. Multitransition kinks and pulses for fourth order equations with a bistable nonlinearity// Ann.I.H.Poincare -AN, 2004. - v.21, pp.319-340.

[142] Peletier L.A., Troy W.C. A topological shooting method and the existence of kinks of the extended Fisher-Kolmogorov equation//Topological Methods Nonlin. Anal., 1995. - v.6, pp.331-355.

[143] Лерман Л.М., Гомо- и гетероклинические орбиты, гиперболические подмножества в однопараметрических деформациях гамильтоновой системы с ге-тероклиническим контуром, имеющим два седла-фокуса// Per. хаот. дин., 1997. -т.2 (3-4), с.139-155.

[144] Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике.

- Ижевск, Издательство Удмуртского гос. Университета, 1995, 432 стр.

[145] Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость//УМН, 2001. - т.56, N3, стр. 79-142.

[146] Хорн Р., Джонсон. Матричный анализ// М.: Мир, 1989 - 655с.

[147] Palmer K.J. A generalization of Hartman's linearization theorem// J.Math.Anal.Appl., 1973. - v.41, pp.753-758.

[148] Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds// J.Diff.Eq., 1967. - v.3, pp.546-570.

[149] Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. -688 с.

[150] Eleonsky V.M., Korolev V.G., Kulagin N.E., Shil'nikov L.P. Dynamical systems in the theory of nonlinear waves with allowance for nonlocal interactions (the Whitham-Benjamin equation)// Chaos, 1994. - v.4, N2, pp.377-384.

[151] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука, 1981 - 798 с.

[152] Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1 - М.: Наука, 1969. - 343 с.

[153] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве//М.: Наука, 1970. - 534 с.

[154] Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975. - 631с.

[155] Matsuno Y. Pulse formation in a dissipative nonlinear system// J. Math. Phys., 1992. - v.33, N9, pp.3039-3045.

[156] Matsuno Y. Periodic solutions of a resistive model for nonlocal Josephson dynamics//J. Phys. A: Math. Theor., 2009. - v.42, 025401.

[157] Якубович В.А, Старжииский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.//М.: Наука, 1972. -720 с.

[158] Makhankov V.G. Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems)//Phys. Rep., 1978 - V. 35, N 1, pp. 1-128

[159] Bogolubsky I.L. Cascade evolution of spherically symmetric pulsons in multivacuum field theory models// Phys. Lett. A, 1977 - v. 61, N4, pp. 205-206

[160] Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. Динамика сферически симметричных пульсонов большой амплитуды// Письма в ЖЭТФ, 1977 - т. 25, вып.2, стр.120-123.

[161] Geicke J. Cylindrical pulsons in nonlinear relativistic wave equations// Physica Scripta 1984. - v.29, pp.431-434.

[162] Evans W. A. B. and Vazquez L. Numerical Study of a "unique" sme-Gordon "breather" in (2+1) dimensions.// in: Supercomputation in nonlinear and disordered systems: algorithms, applications and architectures, (Proc. of the Euroconference, San Lorenzo de Escorial, Madrid, Spain, 23-28 September 1996), ed. L.Vazquez, F. Tirado, I. Martin; World Scientific, Singapore, 1997, p.278-286.

[163] Piette В., Zakrzewski W.J. Metastable stationary solutions of the radial d-dimensional sine-Gordon model//Nonlinearity, 1998 - v.11, pp. 1103-1110.

[164] Kruskal M. and Segur H. Nonexistence of small-amplitude breather solutions in </>4 theory//Phys.Rev.Lett, v.58 - pp.747-750.

[165] Елеонский B.M., Кулагин H.E., Новожилова H.C. Классификация солитон-ных решений в бесконечномерном фазовом пространстве на основе теории динамических систем//ТМФ, 1985. - т.65, N3, стр.391-399.

[166] Eleonsky V. Problems of existence of nontopological solitons (breathers) for nonlinear Klein-Gordon equations// in book: Asymptotics beyond all orders, ed. by H.Segur et al, Plenum Press, New York, 1991 - pp.357-363.

[167] Boyd J.P. A numerical calculation of a weakly non-local solitary wave: the </>4 breather//Nonlinearity, 1990. - v.3, pp.177-195.

[168] Fodor G., Forgacs P., Grandclement Ph., Racz I. Oscillons and quasibreathers in the Klein-Gordon model//Phys.Rev.D, 2006. - v.74, 124003.

[169] Fodor G., Forgacs P., Horvath Z., Mezei M. Computation of the radiation amplitude of oscillons// Phys. Rev. D, 2009. - v. 79, 065002.

[170] Peyrard M. Nonlinear dynamics and statistical physics of DNA//Nonlinearity, 2004. - v. 17 pp. R1-R40.

[171] Peyrard M. Nonlinear analysis of the dynamics of DNA breathing//J.Biol. Phys., 2009 - v.35, pp.73-89.

[172] Flach S., Willis C.R. Discrete breathers// Phys.Rep., 1998. - v. 295, pp. 181-264.

[173] Flach S., Gorbach A.V. Discrete breathers — advances in theory and applications// Phys.Rep., 2008. - v. 467, pp. 1-116.

[174] Bountis T, Capel H.W., Kollman M., Bergamin J.M., Ross J.C., van der Weele J.P., Multibreathers and homoclinic chaos in 1-dimensional nonlinear lattices// Phys. Lett. A, 2000. - v. 268, pp.50-60.

[175] Bona J.L., Li Yi.A. Decay and analyticity of solitary waves// J.Math.Pures Appl, 1997 -v.76, pp.377-430.

[176] Murray J.D. Asymptotic analysis. Springer-verlag, 1984. - 175 c.

[177] Campbell D.K., Schonfeid J.F. and Wingate C.A. Resonance structure in kink-antikink interactions in </>4 theory// Physica D, 1983. - v.9, pp.1-32.

[178] Albert J.P., Bona J.L., Saut J.-C. Model equations for waves in stratified fluids// Proc.R.Soc.Lond.A, 1997. - v.453, pp.1233-1260.

[179] Benjamin T.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth// J.Fluid Mech., 1967. - v. 29, pp.559-592.

[180] Amick C.J. Toland J.F. Uniqueness of Benjamin's solitary-wave solution of the Benjamin-Ono equation// IMA Journal of Applied Mathematics, 1991. - v.46, pp.21-28.

[181] Amick C.J. Toland J.F. Uniqueness and related analytical properties for the Benjamin-Ono equation - a nonlinear Neumann problem in the plane//Acta Math., 1991. - v.167, pp.107-126.

[182] Ковалев А.С., Косевич A.M., Манжос И.В., Маслов К.В. Прецесионный солитон в ферромагнитной пленке// Письма в ЖЭТФ, 1987. - т.44(4), стр. 174-177.

[183] Абловиц М., Сегур X. Солитоны и метод обратной задачи// М.: Мир, 1987. - 480с.

[184] Доброхотов С.Ю., Кричевер И.М. Многофазные решения уравнения Бен-джамина-Оно и их усреднение// Математические заметки, 1991. - т.49, вып. 6, стр. 42-58.

[185] Li Yi.A., Bona J.L. Analyticity of solitary-wave solutions of model equations for long waves// SIAM J.Math.Anal, 1996 - v.27 (3), pp.725-737.

[186] Ablowitz M. J., Ramani A. and Segur H. A connection between nonlinear

evolution equations and ordinary differential equations of P-type// J. Math. Phys., 1980, V. 21. - pp. 715-721.

[187] Boyd J.P. Large-degree asymptotics and exponential asymptotics for Fourier, Chebyshev and Hermite coefficients and Fourier transforms//J.Eng. Math.,2009. - v.63, pp.355-399.

[188] Weinstein M. I. Existence and dynamic stability of solitary wave solutions of equations arising in long wave propagation//Commun.in Partial Differential Equations, 1987. -v.12, pp. 1133-1173.

[189] Федорюк M.B. Метод перевала//М.:Наука, 1977 - 368 стр.

[190] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа//М: Наука, 1981. - 544с.

[191] Pava J.A., Natali F.M.A. Positive properties of the Fourier transform and the stability of periodic travelling-wave solutions// SIAM J.Math.Anal, 2008. -v.40,(3), pp.1123-1151.

[192] Takaoka M. Pole distributions and steady pulse solution of the fifth order Korteweg- de Vries equation// J.Phys.Soc.of Japan, 1989. - v.58, (1), pp.73-81.

[193] Peyrard M., Kruskal M.D., Kink dynamics in the highly discrete sine-Gordon system// Physica D, 1984.- v.14, pp.88-102.

[194] Додд P., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.- М.: Мир, 1988. - 694 с.

[195] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория соли-тонов: метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980. -320с.

[196] Салль М.А. Преобразование Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тоды// ТМФ, 1982. - т.53, N2, стр.227-237.

[197] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. 4.2. Трансцендентные функции.// М.: Гос.изд. физ.-мат. лит-ры, 1963. -500 с.

[198] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. т.З Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье.// М.: Наука, 1967.—300с.

[199] Lebwohl P., Stephen M.J. Properties of vortex line in superconducting barriers// Phys.Rev, 1967. - v.163, p.376-379.

[200] Shnirman A., Hermon Z., Ustinov A.V., Malomed B.A., Ben-Jacob E. Fluxon density waves in a modulated Josephson ring//Phys.Rev.B, 1994. - v.50, N17, pp.12793-12804.

[201] Arscott F.M. Periodic Differential Equations. An introduction to Mathieu, Lame and allied functions// Pergamon Press, 1964 - 281 c.

[202] Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений// М.: Наука, 1970. - 564 с.

[203] Georg К. On the convergence of an inverse iteration method for nonlinear elliptic eigenvalue problems//Numer.Math.,1979. - v.32, pp.69-74.

[204] Eydeland A. and Spruck J. The inverse power method for semilinear elliptic equations// в кн.: Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States, ed. W.-M.Ni, L.A. Peletier and J.Serrin, Math.Sci.Res.Inst.Publ., 1988. - v.12, pp.273-286.

[205] Агранович M. С. Обобщенные функции//М.:МЦНМО, 2008. - 128 стр.

[■] Публикации диссертанта [■]

[Al] Алфимов Г.Л., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О динамических системах теории солитонов при учете нелокальных взаимодействий// Межвузовский сборник "Методы качественной теории и теории бифуркаций", ред. Л.П.Шильников, Н.Новгород, 1991. - с. 4-17.

[А2] Алфимов Г.Л., Силин В.П. Мелкомасштабные пространственно-периодические джозефсоновские структуры//ЖЭТФ, 1994 - т.106, вып.2, стр 671-685.

[A3] Алфимов Г.Л., Силин В.П. О возбуждениях в мелкомасштабных вихревых структурах Абрикосова-Джозефсона//ЖЭТФ, 1995. - т. 108, вып.5, стр 1668-1685.

[A4] Алиев Ю.М., Алфимов Г.Л., Овчинников К.Н., Силин В.П., Урюпин С.А. Вихри Абрикосова-Джозефсона// Физика низких температур, 1996. - т.22, N6, стр.626-628.

[А5] Алфимов Г.Л. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа "кинк" в пределе слабой нелокальности// Нелинейная динамика, 2009. - т.5, N4, стр. 585-602.

[А6] Алфимов Г.Л. О размерности множества решений нелокального нелинейного волнового уравнения// Нелинейная динамика, 2011.- т.7, N2. сс. 209-226.

[А7] Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E. Dynamical systems in the theory of solitons in the presence of nonlocal interactions// Chaos, 1992. - v.2 N4, pp.565-570.

[A8] Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E., Mitskevich N.V. Dynamics of topological solitons in models with nonlocal interactions// Chaos, 1993.- v.3(3), p.405-415.

[A9] Alfimov G.L., Silin V.P. On small perturbations of stationary states in a nonlinear nonlocal model of a Josephson junction//Phys.Lett.A, 1995 - v.198, pp.105-112.

[A10] Alfimov G. L., Popkov A. F. Magnetic vortices in a distributed Josephson junction with electrodes of finite thickness// Phys.Rev.B, 1995 - v. 52, pp. 4503-10.

[All] Alfimov G.L. On a nonlocal sine-Gordon equation//in: Nonlinear and KleinGordon and Schrodinger systems: theory and applications. Proc. of Conference, El Escorial, Madrid, Spain, 25-30 September, 1995, ed. L.Vázquez, L.Streit, V.Pérez-Garcia, World Scientific Publishing Co, 1996, pp.257-261.

[A12] Alfimov G.L., Korolev V.G., On multikink states described by the nonlocal sine-Gordon equation// Phys.Lett.A, 1998, - v.246, pp.429-435.

[A13] Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Lerman L.M. Solitary wave solutions of nonlocal sine-Gordon equations//Chaos, 1998. - v.8, N1, pp.257-271.

[A14] Alfimov G.L., Evans W.A.B, Vazquez L. On radial sine-Gordon breathers// Nonlinearity, 2000. - v. 13, pp. 1657-1680.

[A15] Alfimov G.L., Konotop V.V. On the existence of gap solitons//Physica D, 2000.-v. 146, pp. 307-327.

[A16] Alfimov G.L., Usero D., Vázquez L. On complex singularities of solutions of the equation Hux-u + v? = 0// J.Phys.A: Math.Gen., 2000. - v. 33, pp.6707-6720.

[A17] Alfimov G., Pierantozzi T, Vazquez L. Numerical study of a nonlocal sine-Gordon equation//in: Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects, ed. by F.Kh.Abdulaev, V.V.Konotop, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht - Boston -London, 2004. - pp.121-128.

[A18] Alfimov G. L., Popkov A. F. Nonlocal electrodynamics of fluxons and nonlinear plasma oscillations in a distributed Josephson junction with electrodes of arbitrary thickness// Phys. Rev. B, 2006 - v. 73, 214512.

[A 19] Alfimov G., Pierantozzi T., Vazquez L. Numerical study of a fractional sine-Gordon equation// in: Fractional Differentiation and its Applications, ed-s A. Le Mahaute, J. A. Tenreiro Machado, J. C. Trigeassou y J. Sabatier (Eds), 2006. - UBooks Verlag, Neusab, p. 153-162.

[A20] Abdumalikov A.A. (Jr), Alfimov G.L., Malishevskii A.S. Nonlocal electrodynamics of Josephson vortices in superconducting circuits// Supercond. Sci. Technol., 2009 - v.22, 023001.

[A21] Alfimov G.L., Medvedeva E.V. Moving nonradiating kinks in nonlocal </>4 and 04 _ 06 modeis//Phys. Rev. E., 2011. - v.84, 056606.

[A22] Alfimov G.L. On analytic properties of periodic solutions for equation 7~Lux — u + vP = 0.// J. Phys. A: Math. Theor., 2012, v. 45, 395205.