Динамика солитонов уравнения синус-Гордона в модели с притягивающими примесями, внешней силой и затуханием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Кудрявцев Роман Владимирович

• Кудрявцев Роман Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кудрявцев Роман Владимирович

Введение

1. Литературный обзор

1.1. Уравнение синус-Гордона и его солитонные решения

1.2. Модифицированное уравнение синус-Гордона

1.3. Применение модифицированного уравнения синус-Гордона в физике

1.4. Взаимодействие кинка с точечной примесью

1.5. Выводы по главе

2. Получение приближённой системы уравнений динамики солитонов уравнения синус-Гордона в модели с примесями, внешней силой и затуханием

2.1. Получение уравнений движения для случая N примесей

2.2. Уравнения движения для частных случаев

2.3. Выводы по главе

3. Применение модели синус-Гордона с примесями для описания динамики доменной границы и локализованных волн намагниченности в трёх- и пятислойных ферромагнитных структурах

3.1. Колебания локализованных волн намагниченности в отсутствии доменной границы

3.2. Движение доменной границы без учёта локализованных волн намагниченности

3.3. Совместная динамика доменной границы и локализованной волны намагниченности в трёхслойной структуре

3.4. Совместная динамика доменной границы и локализованных волн намагниченности в пятислойной структуре

3.5. Выводы по главе

Заключение

Публикации автора по теме диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика солитонов уравнения синус-Гордона в модели с притягивающими примесями, внешней силой и затуханием»

Введение

Актуальность темы. В теоретической физике описание физических процессов линейными уравнениями, для которых выполняется принцип суперпозиции, зачастую является приближённым, верным лишь для малых параметров. Для более общего и точного описания физических процессов методами теоретической физики нужны уравнения нелинейные, интенсивные исследования которых начались в 1960-х годах. С тех пор в теоретической физике при исследовании нелинейных волновых процессов сделан ряд фундаментальных открытий. Методы интегрирования нелинейных эволюционных уравнений, например, метод обратной задачи рассеяния, метод Хироты и метод преобразований Бэклунда, позволили проинтегрировать некоторые нелинейные дифференциальные уравнения, используемые в теоретической физике, к числу которых относятся уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера и уравнение синус-Гордона (УСГ). При этом были найдены решения, описывающие уединённые волны, которые сохраняют свою форму и скорость во времени, в том числе при взаимодействии друг с другом — солитоны. Изучение солитонов — открытие новых солитонных решений, описание их свойств и поведения — интересно как с фундаментальной точки зрения, так и с прикладной. Изучаемые теоретической физикой нелинейные уравнения и солитон-ная теория применяются в различных разделах физики и других областях естествознания для описания многочисленных явлений и могут найти применение в технике. УСГ является континуальным приближением модели Френкеля-Конторовой (МФК) и точно интегрируемым дифференциальным уравнением в частных производных, с чем связано его широкое использование, например, в описании динамики вихрей в джозефсоновских контактах, доменных границ в магнетиках, макромолекулы ДНК и т.д. Для более адекватного описания реальных физических систем в УСГ вводятся дополнительные коэффициенты и различного вида функции, моделирующие такие параметры, как внешняя сила, диссипация, пространственная неоднородность параметров и другие. Модифицированное уравнение синус-Гордона (МУСГ) в общем случае уже не имеет точного решения, и для его исследования

разрабатываются и применяются приближённые аналитические методы, например, теория возмущений и метод коллективных переменных. Использование солитон-ной модели при этом остаётся актуальным. Область применения подобных методов во многих случаях ограничена малыми параметрами. Их применение позволяет получить лишь качественную картину динамики системы. Более точное описание при произвольных по величине параметрах возможно с помощью численного моделирования.

Один из часто используемых при проведении теоретических исследований способов получения модификаций УСГ заключается в добавлении пространственной неоднородности периодического потенциала в виде примеси. Эта модель часто применяется, например, в теории магнетизма при изучении динамики магнитных неоднородностей в магнетиках с дефектами и мультислойных магнитных наноструктурах. Во многих публикациях изучается взаимодействие топологического солитона (кинка) с примесью. Хотя численный расчёт позволяет получить более точное описание в более широкой области изменений параметров, для качественного понимания изучаемого процесса и для контроля правильности численных расчётов сохраняют актуальность аналитические исследования. Одной из простейших для аналитического расчёта форм примеси является точечная примесь. Ранее рассмотрено движение кинка через одиночную точечную примесь с учётом возбуждения на ней нелинейной локализованной волны — примесной моды. Были найдены три варианта взаимодействия кинка с областью примеси: прохождение, захват и отражение, характерные и для притягивающих примесей других видов. При этом рассмотренная ранее аналитическая модель не учитывала наличия имеющихся в реальных физических системах дополнительных параметров. Например, задача об исследовании одномерной динамики доменных границ в мультислойных магнетиках приводит к необходимости вводить в УСГ слагаемые, отвечающие за неоднородность магнитных параметров и затухание системы. Также не проводилось аналитического расчёта для случая двух и более примесей. Рассмотрение таких задач могло бы существенно помочь при проведении экспериментов в реальных физических системах по наблюдению теоретически открытых эффектов.

Цели и задачи. Целью данной работы является теоретическое исследование динамики солитонов УСГ в одномерной модели с внешней силой, неоднородной диссипацией и произвольным числом различных точечных примесей, находящихся на произвольном расстоянии друг от друга, с учётом генерации локализованных нелинейных волн, которая может описывать, например, нелинейную динамику доменных границ (ДГ) и локализованных волн намагниченности (ЛВН) в ферромагнетиках с присутствием внешнего магнитного поля и плоских тонких слоёв с отличными от основного объёма параметрами магнитной анизотропии, обменного взаимодействия и затухания. Основные задачи, решаемые в рамках исследования:

1. Аналитический вывод системы интегро-дифференциальных одномерных уравнений, приближённо описывающих совместное движение центра кинка и колебания примесных мод для случая произвольного числа разных точечных примесей, расположенных на различном расстоянии друг от друга, в присутствии внешней силы и неоднородной диссипации, аппроксимация входящих в систему уравнений интегралов аналитическими функциями.

2. Исследование с помощью полученной системы уравнений динамики доменных границ и локализованных волн намагниченности в трех- и пятислойной ферромагнитной структуре. Построение и качественный анализ зависимостей координаты центра ДГ и амплитуд ЛВН от времени.

Научная новизна.

1. Впервые получена система интегро-дифференциальных уравнений, качественно описывающая одномерную динамику кинка УСГ с учётом возбуждения примесных мод в модели с произвольным числом разных точечных примесей, расположенных на произвольном расстоянии друг от друга, в присутствии внешней силы и неоднородной диссипации, применимая к описанию динамики ДГ и ЛВН в ферромагнетиках с присутствием внешнего магнитного поля и плоских тонких слоёв с отличными от основного объёма величиной магнитной анизотропии, параметра обменного взаимодействия и коэффициентом диссипации. В уравнениях были учтены слагаемые, которыми пренебрегали в предыдущих исследованиях. Входящие в уравнения интегралы аппроксимированы аналитическими функциями.

2. С помощью полученных динамических уравнений изучены частные случаи: колебания ЛВН при наличии одного или двух тонких слоёв в отсутствии ДГ, динамика ДГ в отсутствии ЛВН, совместная динамика ДГ и ЛВН при наличии одного или двух тонких слоёв, в том числе в присутствии внешнего магнитного поля и неоднородной диссипации.

3. Найден вид функций, определяющих действующие на ДГ и ЛВН силы для случая наличия одного тонкого слоя. Установлено, что входящие в уравнения движения интегральные члены оказывают не меньшее влияние на динамику, чем неинтегральные. При наличии одного тонкого слоя изучается влияние на динамику ДГ и ЛВН внешнего магнитного поля, неоднородной диссипации и неоднородности параметра обменного взаимодействия.

4. Впервые с помощью аналитических методов изучается колебание ЛВН и динамика ДГ при наличии двух разных тонких слоёв, в том числе с учётом влияния внешнего магнитного поля и неоднородной диссипации. Показано, что колебания ЛВН на двух разных тонких слоях в отсутствии ДГ и диссипации представляют собой сумму двух гармонических колебаний.

Теоретическая и практическая значимость. Построенная аналитическая модель уточняет и обобщает уже имеющуюся модель взаимодействия кинка с точечной примесью. Проведённое исследование расширяет знания о динамике кин-ков МУСГ при их взаимодействии с точечными примесями и знания о колебаниях примесных мод. Полученные результаты имеют важные приложения в тех областях теоретической физики, в которых используется данная модель, например, для описания динамики ДГ в мультислойных ферромагнитных материалах.

Методы исследования. При решении поставленных в данной работе задач использовались аналитические и численные методы. Для получения интегро-диф-ференциальных уравнений, описывающих динамику нелинейных волн, был использован один из приближённых методов аналитического решения МУСГ — метод коллективных переменных, который активно применялся и ранее при изучении динамики солитонов. Для аппроксимации полученных интегралов аналитическими функциями, для анализа и решения полученных обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений и построения графиков использовался численный расчёт. В сравнительно простых случаях система сводилась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым аналитически.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Одномерная модель синус-Гордона с произвольным количеством точечных примесей при наличии внешней силы и неоднородной диссипации, описывающая динамику магнитных неоднородностей в мультислойных ферромагнетиках. Интегро-дифференциальные уравнения, описывающие связанную динамику координаты центра кинка и амплитуды локализованных на примесях волн.

2. Диаграммы возможных сценариев динамики 180-градусных доменных границ в трехслойной ферромагнитной структуре с неоднородными параметрами магнитной анизотропии, обменного взаимодействия и диссипации. Показано, что учёт неоднородности диссипации, обмена и возбуждения локализованных волн намагниченности может существенно изменить не только скорость, но и сценарий динамики доменной границы, в частности может приводить к значительному ослаблению (или полному исчезновению) эффектов резонансного рассеяния доменной границы.

3. Возможные сценарии динамики 180-градусных доменных границ в пяти-слойной ферромагнитной структуре с неоднородными параметрами магнитной анизотропии, обменного взаимодействия и диссипации в зависимости от расстояния между двумя тонкими слоями. Уравнения, описывающие связанные колебания локализованных волн намагниченности на двух тонких слоях. Зависимость частот и амплитуд локализованных волн намагниченности от расстояния между тонкими слоями и величины неоднородности параметров системы.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами. Результаты численного решения аналитических уравнений сравнивались с предельными случаями, рассчитанными аналитически. Основные результаты работы докладывались на конференциях: II Всероссийская конференция «Нелинейные и резонансные явле-

ния в конденсированных средах», Уфа, 2014; The International Conference «Mathematical and Computational Modelling in Science and Technology», Izmir, Turkey, 2015; Международная конференция, посвящённая 80-летию члена-корреспондента РАН И.К. Камилова «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Челябинск, 2015; Школа-семинар с международным участием «Дискретные бризеры в кристаллах», Уфа, 2015; Уфимская международная математическая конференция, Уфа, 2016; VII, VIII и IX Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа, 2014, 2015, 2016; 23 Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ-23), Екатеринбург, 2017; Третья межрегиональная школа-конференция студентов, аспирантов и молодых учёных-физиков «Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных процессов в конденсированных средах», Уфа, 2017; Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Moscow, 2017; Международная математическая конференция по теории функций, посвящённая 100-летию А.Ф. Леонтьева, Уфа, 2017; Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения», Банное, 2018; II, III и V (с международным участием) Всероссийская научная молодёжная конференция «Актуальные проблемы нано- и микроэлектроники», Уфа, 2014, 2015 и 2018.

Личный вклад. Автор принимал участие в постановке задач, выполнил аналитические расчёты, провёл численный анализ полученных уравнений. Часть аналитических результатов получена совместно с А.М. Гумеровым.

Публикации. По результатам работы опубликованы 21 тезис в сборниках материалов российских и международных конференций и 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук и приравненных к ним.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 160 страниц, включая 21 рисунок, 4 таблицы и 139 источников в списке цитируемой литературы.

1. Литературный обзор

В современной теоретической физике использование солитонных решений нелинейных дифференциальных уравнений позволило достигнуть большого прогресса при исследовании нелинейных волновых процессов. История открытия со-литонов описана во многих публикациях, например, в [1]. Первые наблюдения со-литонов — в качестве уединённых волн на воде — выполнил Джон Скотт Рассел, о чём сообщил в 1844 году. Дж. Буссинеск в 1872 г. и Дж. У. Рэлей в 1876 г. нашли, независимо друг от друга, аналитическое выражение для возвышения свободной поверхности воды в уединённой волне. Д.Д. Кортевег и Г. де Фриз, обобщив метод Рэлея, вывели в 1895 году уравнение для длинных волн на мелкой воде. Они описали аналитические решения полученного ими уравнения и показали возможность существования локализованных нерассеивающихся волн. Эти работы во времена линейных теорий не оказали заметного влияния на развитие науки. На уравнение Кортевега-де Фриза после численного эксперимента Энрико Ферми, С. Улама и Д. Паста 1952 года обратили внимание Норман Забуски и Мартин Крускал, которые ввели термин «солитон» в 1965 году. К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура нашли решение уравнения Кортевега-де Фриза с помощью открытого ими в 1967 году метода обратной задачи рассеяния. В.Е. Захаров и А.Б. Шабат в 1971 году показали, что нелинейное уравнение Шредингера, предложенное Э. Шредин-гером в 1926 году, также может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния и тоже имеет солитонные решения. В те времена стало ясно, что солитон является достаточно распространённым объектом. Важность солитонов состоит в том, что они, будучи одним из решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, сохраняют свою форму и скорость и восстанавливаются после взаимодействия друг с другом. Существует довольно широкий класс нестационарных возмущений, которые при своём распространении приближаются асимптотически к солитонам, а также уединённые волны с солитонопо-добным поведением. Занявшие важное место в теоретической физике нелинейные

волны и солитоны описываются во многих книгах [2-20]. Солитонные решения, их свойства и поведение интенсивно изучаются в математике и теоретической физике, так как они, представляя математический интерес, описывают нелинейные волновые явления в различных областях физики и других областях естествознания и могут найти широкое применение в технике.

В дальнейшем будем рассматривать уравнение синус-Гордона (УСГ). Оно возникло в работах Л. Бьянки, А.В. Бэклунда и Г. Дарбу в задаче о вложении поверхностей постоянной кривизны в трёхмерное евклидово пространство в дифференциальной геометрии и рассмотрено Энепером. А.В. Бэклунд в конце 19 века показал, что с помощью специальных преобразований (преобразования Бэклунда) можно последовательно находить аналитические решения УСГ. Я.И. Френкель и Т.А. Конторова нашли решение УСГ в виде солитона. Сегюр с соавторами в начале 1950-х ввели кинки и бризеры для УСГ. В 1962 году Дж. Перрингом и Т. Скирмой были выполнены численные расчёты УСГ на компьютере, в которых они также нашли солитонные решения.

1.1. Уравнение синус-Гордона и его солитонные решения

Наглядный пример простой физической системы, поведение которой в континуальном приближении описывается УСГ, предложен Скоттом и рассмотрен в [7, 11-13]. Он представляет собой цепочку N одинаковых маятников длины I и массы т в гравитационном поле с ускорением свободного падения д, нанизанных на нить на расстоянии а друг от друга и связанных пружинами жёсткости к. Координата -го маятника на направленной вдоль нити оси z равна zt = ia, при отклонении от положения равновесия на угол = ^í(t) на него действуют моменты силы тяжести и силы упругости со стороны соседних маятников, пропорциональные разности углов отклонений. Уравнения Ньютона для цепочки маятников принимают вид дискретного УСГ:

mi2 ^тг = -mgl sin щ - kl2(^t - ^i+1) - kl2(^t - (р—), i = 1,..., N. (1.1)

При переходе к континуальной форме:

Ч ^ z, щ(т) ^(p{zbT)^(p(z,т),

d2<pi d2<p(z,r)

d2<p(z, t)

Vi+i - 2<Pi + (pi-i ^ a2——

получается УСГ

d2<p(z,r) d2<p(z,r)

mi-—--kla2-—--+ mg smw(z,z) = 0, (1.3)

dx2 dz2

а в безразмерном виде:

utt — ихх + sinu = 0, (1.4)

где t = т(д/1)1/2, х = z(mg/kla2)1/2, <p(z,r) ^ u(x,t) — вещественная функция координаты x и времени t, нижние коэффициенты означают частную производную.

УСГ является полностью интегрируемым в естественных переменных с помощью метода обратной задачи рассеяния [4-5, 7-9, 12, 20]. Развитие этого метода привело к методу дибар-одевания [21]. Другой метод — метод одевания [20]. В [22] УСГ исследуется «методом воспроизводящего ядра». В [23] используется «трансформация арктангенса». К прямым методам отыскания точных решений УСГ относятся метод Хироты [4-5, 24], преобразования Бэклунда [4-5, 7-8, 12] и Дарбу [19] и т.д. Различные методы интегрирования описаны также в [5]. В разных случаях могут быть предпочтительны разные методы интегрирования.

Приведём основные солитонные решения УСГ, которые представлены во многих книгах, например, в [4-5, 7-15]. УСГ имеет решение в виде топологического солитона, или кинка:

u(x,t) = 4 arctg[exp(—ay(v)(x — vt — х0))], (1.5)

где о = ±1 обозначает топологический заряд кинка. При одном его знаке, в зависимости от соглашения, решение (1.5) называется кинком, а при другом — анти-кинком. В силу топологического характера кинк может возникать только в паре с антикинком. Кинк как топологический солитон соединяет между собой два различных стационарных состояния. Для него выполняются граничные условия

lim u(x, t) = 0 и lim u(x, t) = 2n или наоборот, так что он представляет собой

х^—<х> х^+ет

перегиб. Множитель y(v) = (1 — v2)-1/2, где v — скорость кинка, характеризует его ширину, обратно пропорциональную y(v). Сокращение ширины кинка при увеличении его скорости подобно Лоренцевскому уменьшению длины тела при релятивистских скоростях. Скорость кинка не может превышать единицу. У него локализована производная их, а не сама и. х0 обозначает начальное положение.

Кроме однокинкового, УСГ имеет двухкинковые решения, такие как кинк-кинк (или противоположное антикинк-антикинк):

vsh(y(v)(x — х0))

u(x,t) = ±4 arctg

и кинк-антикинк

и(х, t) = 4 arctg

ch(yy(v)(t - t0))

sh(vy(v)(t -10))

(1.6)

(1.7)

у Сл(у(у)(х — х0})

Решение (1.6) представляет собой взаимодействие двух кинков (или антикинков), (1.7) — кинка и антикинка, которые движутся навстречу друг другу, объединяются, вновь разделяются, восстанавливая первоначальную форму и величину скорости, и удаляются. Два кинка или антикинка отталкиваются, а кинк и антикинк притягиваются друг к другу, так что после взаимодействия возникает временной сдвиг. Кинк и антикинк, не имеющие достаточно энергии для преодоления их взаимного притяжения и потому связанные вместе, образуют колеблющееся пространственно локализованное нелинейное возбуждение (моду) — динамический солитон, или бри-зер:

и(х, t) = 4 arctg

tgß

sin[cos ß (y(v)(t — vx) — Фо)]

ch[sin ß (y(v)(x — x0 — vt))]

(1.8)

где д определяет амплитуду, 'ф0 — произвольная константа. В случае покоящегося в начале координат бризера, т.е. при V = х0 = 0, а также ~ф0 = 0, (1.8) переходит в:

и(х, t) = 4 arctg

41 — П2 sin(üt)

(1.9)

Я ch(x41—ü2)

где П = cos ß y(v) — частота колебаний, амплитуда равна 4 arctg [л/(1 — П2)/П] =

4д. Ширина бризера обратно пропорциональна л/1 — П2. При малой частоте П ^ 0 бризер похож на слабо связанную пару кинка и антикинка.

Ещё одним решением УСГ являются фононы, представляющие собой протяжённые периодические решения, переходящие в линейном приближении в обычные непрерывные монохроматические волны. Частота волны фононов зависит от волнового числа и амплитуды волны. В рамках УСГ фононы, кинки и бризеры представляют собой элементарные возбуждения. Они двигаются без потерь энергии и взаимодействуют друг с другом упруго, т.е. после взаимодействия восстанавливают свои характеристики — форму, энергию и скорость, происходит лишь сдвиг фаз. Поэтому кинки и бризеры можно рассматривать как собственные нелинейные моды или квазичастицы. Любое локализованное возбуждение можно представить как их некоторую асимптотическую суперпозицию — мультисолитон. Например, один из мультисолитонов — воббл — представляет собой взаимодействующие кинк и бризер [25]. Кроме того, существуют многомерные аналоги УСГ, для которых также предложены решения [15, 26-31].

1.2. Модифицированное уравнение синус-Гордона

Для более адекватного описания физических систем и для расширения области применимости в УСГ добавляются дополнительные члены — так называемые возмущения, превращающие его в модифицированное уравнение синус-Гордона (МУСГ), многие варианты которого можно записать в виде [11-13]:

ии — ихх + К(х) яти = Р(х, г,и) — а(х,и)щ, (1.10)

где К(х) характеризует пространственную неоднородность параметров системы, или, другими словами, пространственную модуляцию периодического потенциала, т.е. зависимость параметра системы от координаты, Р(х, I, и) — внешняя сила, которая может зависеть от координаты, времени и величины и, а(х, и) — коэффициент диссипации. Так как для него в общем случае не удаётся получить точных решений, с помощью различных аналитических методов ищутся решения приближённые. В случае малых возмущений МУСГ является почти интегрируемым, и со-

литонная модель остаётся для него применимой. Так теория солитонов стала применяться и для неинтегрируемых систем. Для нахождения влияния возмущений на поведение солитонов разработана теория возмущений [4, 9, 11, 14]. Форма соли-тона зачастую предполагается неизменной при изменении его параметров под действием возмущений, например, в [32]. Классическая теория возмущений обычно существенно ограничивает область изменения параметров системы. В работе [33] был предложен энергетический метод, свободный от многих ограничений метода возмущений. Метод коллективных переменных (или координат) [4, 11-13] также свободен от таких ограничений. Он предполагает построение плотности функции Лагранжа для МУСГ. Решение ищется в виде анзаца, содержащего зависящие от времени параметры, называемые коллективными переменными, и определяемого свойствами решений. Зависимость параметров от времени определяется лагранже-вой формой МУСГ. Этот метод относится к классу вариационных методов и даёт удовлетворительные результаты лишь при правильном выборе анзаца. Рассмотрим его подробнее.

Так как солитоны во многих случаях достаточно устойчивы и ведут себя подобно частицам, то представляется естественным перейти от непрерывного поля и(х, Ь) к конечному набору функций f(t), зависящих только от времени и характеризующих состояние этих квазичастиц. Такой переход и осуществляется в методе коллективных координат. При этом поле аппроксимируется суммой решений для солитонов, содержащих соответствующие характеризующие состояние солитонов функции, называемые коллективными переменными:

Коллективные координаты и используемая для аппроксимации функция иа(х>/(^)), называемая «анзац», должны соответствовать реальным объектам рассматриваемой системы. Для получения уравнений для коллективных переменных исходному уравнению (1.10) сопоставляется функция Лагранжа

и(х^) « иа(х,/(1)).

(1.11)

(1.12)

которая приводит к исходному уравнению (1.10) подстановкой в уравнение Ла-гранжа-Эйлера

а Ы' ди д дИ

----+--= 0. (1.13)

& дщ ди дх дих

Подставляя анзац (1.11) в (1.12), получаем так называемый эффективный лагранжиан Ьэ, являющийся аппроксимацией исходного лагранжиана Ь. После избавления интегрированием от координаты х приближённые уравнения движения для коллективных переменных можно получить подстановкой эффективного лагранжиана в уравнения Лагранжа-Эйлера по коллективным координатам:

d дЬэ дЬэ

э э = 0. (1.14)

мдш д№

Получающаяся система обыкновенных дифференциальных уравнений в ряде случаев решается легче исходного уравнения (1.10).

В работах [34-35] разрабатываются методы на основе концепции квазиинтегрируемости. В присутствии больших возмущений аналитические методы в общем случае оказываются недостаточными. Тогда МУСГ исследуется численно. Численное моделирование применимо к гораздо более широкому спектру параметров и точнее описывает состояние системы. Существует множество вариантов численного анализа [7, 36-48]. Многие из них основаны на методе конечных разностей, суть которого состоит в замене производных по координате и времени их конечно-разностными аппроксимациями.

С помощью аналитических и численных методов изучается поведение соли-тонов в присутствии тех или иных возмущений. Зачастую к ним применима модель точечной частицы, их движение может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. Простейшим случаем является наличие диссипации, замедляющей и останавливающей кинк, или постоянной внешней силы, разгоняющей его до максимально возможной скорости. При наличии постоянной силы и диссипации скорость кинка растёт до некоторой определённой величины. В [3233] проводятся оценки для изменения скорости кинка под действием внешней силы. В более сложных случаях сила меняется во времени различным образом. В

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кудрявцев Роман Владимирович, 2018 год

Список литературы

1. Rebbi, C. Solitons / Claudio Rebbi // Scientific American. — 1979. — V. 240, № 2. — P. 76-91.

2. Магнус, К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем / К. Магнус. Пер. с нем. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

3. Рабинович, М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. — НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 560 с.

4. Косевич, А.М. Введение в нелинейную физическую механику / А.М. Косе-вич, А.С. Ковалев. — Киев: Наук. думка, 1989. — 304 с.

5. Новокшенов, В.Ю. Математические модели в естествознании (Введение в теорию солитонов): Учебное пособие / В.Ю. Новокшенов. — Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 1999. — 98 с.

6. Молотков, И.А. Аналитические методы в теории нелинейных волн / И.А. Молотков. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 208 с.

7. Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

8. Лонгрен, К. Солитоны в действии / Под редакцией К. Лонгрена и Э. Скотта. Перевод на русский язык — М.: Мир, 1981. — 312 с.

9. Давыдов, А.С. Солитоны в молекулярных системах / А.С. Давыдов. — Киев: Наук. думка, 1984. — 288 с.

10. Шиховцева, Е.С. Нелинейные задачи квантовой механики в физике макромолекул: Учебное пособие / Е.С. Шиховцева. — Уфа: Гилем, 2002. — 114 с.

11. Браун,О.М. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения / О.М. Браун, Ю.С. Кившарь. Пер. с англ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 536с.

12. Шаповалов, А.В. Солитоны уравнения синус-Гордона: Учебное пособие / А.В. Шаповалов, Л.А. Краснобаева. — Томск: Томский государственный университет, 2009. — 192 с.

13. Dauxois, T. Physics of solitons / T. Dauxois, M. Peyrard. — New York: Cambridge University Press, 2010. — 436 p.

14. Екомасов, Е.Г. Солитоны модифицированного уравнения синус-Гордона. Учебное пособие / Е.Г. Екомасов. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. — 94 с.

15. Ivancevic, V.G. Sine-Gordon Solitons, Kinks and Breathers as Physical Models of Nonlinear Excitations in Living Cellular Structures / Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic // Journal of Geometry and Symmetry in Physics. — 2013. — V. 31. — P. 1-56.

16. Шамсутдинов, М.А. Введение в теорию доменных стенок и солитонов в ферромагнетиках. Учебное пособие / М.А. Шамсутдинов, В.Н. Назаров, А.Т. Ха-рисов. — Уфа: БашГУ, 2010. — 148 с.

17. Шамсутдинов, М.А. Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны / М.А. Шамсутдинов, И.Ю. Ломакина, В.Н. Назаров, А.Т. Харисов, Д.М. Шамсутдинов. — М.: Наука, 2009. — 456 с.

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

Давыдов, А.С. Солитоны в биоэнергетике / А.С. Давыдов. — Киев: Наукова думка, 1986. — 160 с.

Lamb, G.L. Elements of Soliton Theory / G.L. Lamb. — New York: Wiley, 1980.

— 289 p.

Захаров, В.Е. Теория солитонов: метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. — М.: Наука, 1980. — 321 с. Дубровский, В.Г. Введение в метод 3-одевания: учеб. пособие / В.Г. Дубровский. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. — 65 с.

Akgul, A. A new approach for one-dimensional sine-Gordon equation / Ali Akgul, Mustafa Inc, Adem Kilicman, Dumitru Baleanu // Advances in Difference Equations. — 2016. — 8.

Eleuch, H. Analytical solution to sine-Gordon equation / H. Eleuch, Y.V. Ros-tovtsev // Journal of Mathematical Physics. — 2010. — V. 51. — P. 093515. Hirota, R. The Direct Method in Soliton Theory / R. Hirota. — New York: Cambridge University Press, 2004. — 212 p.

Ferreira, L.A., Wobbles and other kink-breather solutions of the sine-Gordon model / L.A. Ferreira, B. Piette, W.J. Zakrzewski // Physical Review E. — 2008. —V. 77. — P. 036613.

Kudryashov, N.A. A note on "New kink-shaped solutions and periodic wave solutions for the (2+1)-dimensional Sine-Gordon equation" / Nikolay A. Kudryashov, Pavel N. Ryabov, Dmitry I. Sinelshchikov // Applied Mathematics and Computation. — 2010. — V. 216, Is. 8. — P. 2479-2481.

Zitian, L. New kink-shaped solutions and periodic wave solutions for the (2+1)-dimensional Sine-Gordon equation / Li Zitian // Applied Mathematics and Computation. — 2010. — V. 215. — P. 3777-3781.

Johnson, S. New Exact Solutions for the Sine-Gordon Equation in 2+1 Dimensions / S. Johnson, P. Suarez, A. Biswas // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2012. — V. 52, № 1. — P. 98-104.

Аэро, Э.Л. Решения трехмерного уравнения синус-Гордон / Э.Л. Аэро, А.Н. Булыгин, Ю.В. Павлов // Теоретическая и математическая физика. — 2009.

— Т. 158, № 3. — С. 370-377.

Qing, M. New exact solutions of the (n+1)-dimensional sine-Gordon equation using double elliptic equation method / M. Qing, H. Bin, R. Weiguo, L. Yao // International Journal of Computer Mathematics. — 2010. — V. 87, №2 3. — P.591-606. Wazwaz, A.-M. ^-soliton solutions for the sine-Gordon equation of different dimensions / Abdul-Majid Wazwaz // Journal of Applied Mathematics and Informatics. — 2012. — V. 30, № 5-6. — P. 925-934.

Fogel, M.B., Dynamic polarizability of the sine-Gordon soliton / M.B. Fogel, S.E. Trullinger, A.R. Bishop // Physics Letters A. — 1976. — V. 59, № 2. — P. 81-83. McLaughling, D.W. Perturbation analysis of fluxon dynamics / D.W. McLaugh-ling, A.C. Scott // Physical Review A. — 1978. — V. 18, № 4. — P. 1652-1680. Bazeia, D. Classical behavior of deformed sine-Gordon models / D. Bazeia, L. Losano, J.M.C. Malbouisson, R. Menezes // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2008. — V. 237, № 7. — P. 937-946.

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Ferreira, L.A. The concept of quasi-integrability: a concrete example / L.A. Ferreira, W.J. Zakrzewski // Journal of High Energy Physics. — 2011. — V. 2011, № 5. — P. 130.

Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов. Уравнения в частных производных / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. — Минск: Наука и техника, 1986. — 311 с.

Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М.: БИНОМ, 2008. — 636 с.

Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

Кунин, С. Вычислительная физика / С. Кунин. Пер. с англ. — М.: Мир, 1992.

— 518 с.

Ames, W.F. Numerical methods for partial differential equations / W.F. Ames. — Florida: Academic Press, 1992. — 378 p.

Currie, J.F. Numerical simulation of sine-Gordon soliton dynamics in the presence of perturbations / J.F. Currie, S.E. Trullinger, A.R. Bishop, J.A. Krumhansl // Physical Review B. — 1977. — V. 15, №. 12. — P. 5567-5580. Ben-Yu, G. Numerical solution of the sine-Gordon equation / G. Ben-Yu, P. J. Pascual, M. J. Rodriguez, L. Vazquez // Applied Mathematics and Computation.

— 1986. — V. 18, №. 1. — P. 1-14.

Khaliq, A.Q.M. A predictor-corrector scheme for the sine-Gordon equation / A.Q.M. Khaliq, B. Abukhodair, Q. Sheng, M.S. Ismail // Numerical Methods for Partial Differential Equations. — 2000. — V. 16, №. 2. — P. 133-146. Dehghan, M. A numerical method for one-dimensional nonlinear Sine-Gordon equation using collocation and radial basis functions / M. Dehghan, Ali Shokri // Numerical Methods for Partial Differential Equations. — 2008. — V. 24, №. 2. — P. 687-698.

Bratsos, A.G. A numerical method for the one-dimensional sine-Gordon equation / A.G. Bratsos // Numerical Methods for Partial Differential Equations. — 2008.

— V. 24, №. 3. — P. 833-844.

Li-Min, Ma. A numerical method for one-dimensional nonlinear sine-Gordon equation using multiquadric quasi-interpolation / Ma Li-Min, Wu Zong-Min // Chinese Physics B. — 2009. — V. 18, №. 8. — P. 3099.

Mohebbi, A. High-order solution of one-dimensional sine-Gordon equation using compact finite difference and DIRKN methods / A. Mohebbi, M. Dehghan // Mathematical and Computer Modelling. — 2010. — V. 51, №. 5-6. — P. 537-549. Amin, A. N. Unification of Well-known Numeric Methods for Solving Nonlinear Equations / Amin Najafi Amin // American Journal of Numerical Analysis. — 2015. — V. 3, №. 3. — P. 65-76.

Закирьянов, Ф.К. Управление динамикой кинка модифицированного уравнения синус-Гордона внешним воздействием с меняющимися параметрами / Ф.К. Закирьянов, Л.В. Якушевич // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 5. — С. 821-834.

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

Fogel, M.B., Dynamics of sine-Gordon solitons in the presence of perturbations / M.B. Fogel, S.E. Trullinger, A.R. Bishop, J.A. Krumhansl // Physical Review B. — 1977. — V. 15, № 3. — P. 1578-1592.

Paul, D.I., Soliton theory and the dynamics of a ferromagnetic domain wall / D.I. Paul // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1979. — V. 12, № 17. — P. 585-593.

Quintero, N.R., Existence of internal modes of sine-Gordon kinks / N.R. Quintero, A. Sanchez, F.G. Mertens // Physical Review E. — 2000. — V. 62, №1. — P. R60-R63.

Willis, C.R. Comment on Existence of internal modes of sine-Gordon kinks / C.R.

Willis // Physical Review E. — 2006. — V. 73. — P. 068601.

Gonzalez, J.A. Arbitrarily large numbers of kink internal modes in inhomogeneous

sine-Gordon equations / J.A. Gonzalez, A. Bellorin, M.A. Garcia-Nustes, L.E.

Guerrero, S. Jimenez, L. Vazquez // Physics Letters A. — 2017. — V. 381. — P.

1995-1998.

Gonzales, J.A., Internal modes of sine-Gordon solitons in the presence of spatiotemporal perturbations / J.A. Gonzales, A. Bellorin, L.E. Guerrero // Physical Review E. (Rapid Commun.) — 2002. — V. 65. — P. 065601. Dmitriev, S.V. Soliton collisions / Sergey V. Dmitriev, Panayotis G. Kevrekidis // Nonlinear Systems and Complexity. — 2014. — V. 10. — P. 59-85. Kivshar, Y.S. Creation of sine-Gordon solitons by a pulse force / Yuri S. Kivshar, Boris A. Malomed, Zhang Fei, Luis Vazquez // Physical Review B. — 1991. — V. 43, № 1. — P. 1098-1109.

Kivshar, Y.S. Resonant soliton-impurity interactions / Yuri S. Kivshar, Zhang Fei, Luis Vazquez // Physical Review Letters. — 1991. — V. 67. — P. 1177-1180. Екомасов, Е.Г. Изучение зарождения и эволюции магнитных неоднородно-стей типа солитонов и бризеров в магнетиках с локальными неоднородно-стями анизотропии / Е.Г. Екомасов, Ш.А. Азаматов, Р.Р. Муртазин // Физика металлов и металловедение. — 2008. — Т. 105, № 4. — С. 341-349. Екомасов, Е.Г., Временная эволюция кинков модифицированного уравнения синус-Гордона при наличии пространственной неоднородности параметров / Е.Г. Екомасов, М.А. Шабалин, Ш.А. Азаматов // Препринт. Уфа: РИО БашГУ. — 2005. — с. 40.

Gonzalez, J.A. Internal degrees of freedom, long-range interactions and nonlocal effects in perturbed Klein-Gordon equations / J.A. Gonzalez, S. Jimenez, A. Bellorin, L.E. Guerrero, L. Vazquez // Physica A. — 2012. — V. 391. — P. 515-527. Kalbermann, G. A model for soliton trapping in a well / G. Kalbermann // Chaos, Solitons and Fractals. — 2001. — V. 12. — P. 2381-2385. Piette, B. Scattering of sine-Gordon kinks on potential wells / Bernard Piette, W.J. Zakrzewski // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — V. 40. — P. 5995-6010.

Al-Alawi, J.H. Scattering of topological solitons on barriers and holes of deformed Sine-Gordon models / Jassem H. Al-Alawi, Wojtek J. Zakrzewski // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2008. — V. 41. — P. 315206.

65. Goatham, S.W. Dynamics of multi-kinks in the presence of wells and barriers / Stephen W. Goatham, Lucy E. Mannering, Rebecca Hann, Steffen Krusch // Acta Physica Polonica B. — 2011. — V. 42, № 10. — P. 2087-2106.

66. Гумеров, А.М. Моделирование взаимодействия нелинейных волн в модели синус-Гордона для материалов с дефектами / А.М. Гумеров, Е.Г. Екомасов // Перспективные материалы. — 2011. — № 12. — С. 104-108.

67. Baron, H.E. Collective coordinate approximation to the scattering of solitons in modified NLS and sine-Gordon models / H.E. Baron, W.J. Zakrzewski // Journal of High Energy Physics. — 2016. — 2016 — 185.

68. Saadatmand, D. Interaction of sine-Gordon kinks and breathers with a parity-time-symmetric defect / Danial Saadatmand, Sergey V. Dmitriev, Denis I. Borisov, Pa-nayotis G. Kevrekidis // Physical Review E. — 2014. — V. 90. — P. 052902.

69. Гумеров, А.М. Трансформация солитонов уравнения синус-Гордона в моделях с переменными коэффициентами и затуханием / А.М. Гумеров, Е.Г. Екомасов, Р.Р. Муртазин, В.Н. Назаров // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2015. — Т. 55, № 4. — С. 631-640.

70. Екомасов, Е.Г. О возбуждении солитонов при взаимодействии кинков уравнения синус-Гордона с притягивающей примесью / Е.Г. Екомасов, А.М. Гумеров, Р.Р. Муртазин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2012. — Т. 4, № 3. — С. 509-520.

71. Екомасов, Е.Г. Коллективное влияние примесей на динамику кинков модифицированного уравнения синус-Гордона / Е.Г. Екомасов, А.М. Гумеров // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5, № 3. — С. 403-412.

72. Ekomasov, E.G. Resonant Dynamics of the Domain Walls in Multilayer Ferromagnetic Structure / E.G. Ekomasov, A.M. Gumerov, R.R. Murtazin, R.V. Kudrya-vtsev, A.E. Ekomasov, N.N. Abakumova // Solid State Phenomena. — Switzerland, Trans Tech Publications, 2015. — V. 233-234. — p. 51-54.

73. Gonzalez, J.A. Kink dynamics in spatially inhomogeneous media: The role of internal modes / Jorge A. Gonzalez, Sara Cuenda, Angel Sanchez // Physical Review E. — 2007. —V. 75. — P. 036611.

74. Malomed, B.A. Interaction of a phase soliton with charged impurities in a commensurate charge-density-wave system / Boris A. Malomed, Alexander A. Nepom-nyashchy // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1991. — V. 3, № 6. — P. 693-714.

75. Zhang, F. Kink capture by a local impurity in the sine-Gordon model / Fei Zhang, Yuri S. Kivshar, Boris A. Malomed, Luis Vazquez // Physics Letters A. — 1991. — V. 159, № 6-7. — P. 318—322.

76. Goodman, R.H. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: phase space transport in a two-mode model / Roy H. Goodman, Philip J. Holmes, Michael I. Weinstein // Physica D. — 2002. — V. 161, № 1-2. — P. 21-44.

77. Zhang, F. Resonant kink-impurity interactions in the sine-Gordon model / Fei Zhang, Yuri S. Kivshar, Luis Vazquez // Physical Review A. — 1992. — V. 45, № 8. — P. 6019-6030.

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

Javidan, K. Analytical formulation for soliton-potential dynamics / Kurosh Javidan // Physical Review E. — 2008. — V. 78. — P. 046607.

Goodman, R.H. Interaction of sine-Gordon kinks with defects: the two-bounce resonance / Roy H. Goodman, Richard Haberman // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2004. — V. 195, №. 3-4. — P. 303-323.

Гумеров, А.М. Структура и свойства четырехкинковых мультисолитонов уравнения синус-Гордона / А.М. Гумеров, Е.Г. Екомасов, Ф.К. Закирьянов, Р.В. Кудрявцев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 3. — С. 481-495.

Tao, T. Breather Dynamics in the Perturbed sine-Gordon Equation / Tu Tao, Cheng Geng // Communications in Theoretical Physics. — 2003. — V. 40, № 4. — P. 390-392.

Johnson, S. Breather Dynamics of the Sine-Gordon Equation / Stephen Johnson, Anjan Biswas // Communications in Theoretical Physics. — 2013. — V. 59, №. 6.

— P. 664-670.

Gulevich, D.R. Perturbation theory for localized solutions of the sine-Gordon equation: Decay of a breather and pinning by a microresistor / D.R. Gulevich, F.V. Kusmartsev // Physical Review B. — 2006. — V. 74. — P. 214303. Piette, B. Scattering of sine-Gordon breathers on a potential well / B. Piette, W.J. Zakrzewski // Physical Review E. — 2009. — V. 79. — P. 046603. Kivshar, Y.S. Radiative and inelastic effects in dynamics of double sine-Gordon solitons / Yuri S. Kivshar, Boris A. Malomed // Physics Letters A. — 1987. — V. 122, № 5. — P. 245-248.

Попов, С.П. Влияние дислокаций на кинковые решения двойного синус-Гордон уравнения / С.П. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. — Т. 53, № 12. — С. 126-135. Popov, C.A. Perturbation theory for the double sine-Gordon equation / Constantine A. Popov // Wave Motion. — 2005. — V. 42, №4. — P. 309-316. Попов, С.П. Взаимодействия бризеров и кинковых пар двойного уравнения синус-Гордона / С.П. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики — 2014. — Т. 54, № 12. — С. 1954-1964. Nazifkar, S. Collective coordinate analysis for double sine-Gordon model / Samira Nazifkar, Kurosh Javidan // Brazilian Journal of Physics. — 2010. — V. 40, № 1.

— P. 102-107.

Nazifkar, S. Interaction of Double Sine-Gordon Solitons with External Potentials: an Analytical Model / Samira Nazifkar, Kurosh Javidan, Mohsen Sarbishaei // Chinese Physics Letters. — 2016. — V. 33, № 12. — P. 120502. Fabian, A.L. Perturbation of topological solitons due to sine-Gordon equation and its type / Anne L. Fabian, Russell Kohl, Anjan Biswas // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2009. — V. 14, № 4. — P. 12271244.

Bratsos, A.G. The solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using the method of lines / A.G. Bratsos // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2007. — V. 206, № 1. — P. 251-277.

93. Ekomasov, E.G. Excitation of high-amplitude localized nonlinear waves as a result of interaction of kink with attractive impurity in sine-Gordon equation / E.G. Ekomasov, A.M. Gumerov, R.R. Murtazin, A.E. Ekomasov, S.V. Dmitriev // arXiv:1307.3470.

94. Kobayashi, M. Sine-Gordon kinks on a domain wall ring / Michikazu Kobayashi, Muneto Nitta // Physical Review D. — 2013. — V. 87, № 8. — P. 085003.

95. Ekomasov, E.G. Interaction of sine-Gordon solitons in the model with attracting impurities / Evgenii G. Ekomasov, Azamat M. Gumerov, Ramil R. Murtazin // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2017. — V. 40, № 17. — P. 6178-6186.

96. Алфимов, Г.Л. Нелокальное уравнение синус-Гордона: решения типа «кинк» в пределе слабой нелокальности / Г.Л. Алфимов // Нелинейная динамика. — 2009. — Т. 5, № 4. — С. 585-602.

97. Alfimov, G.L. Nonlocal electrodynamics of fluxons and nonlinear plasma oscillations in a distributed Josephson junction with electrodes of arbitrary thickness / G.L. Alfimov, A.F. Popkov // Physical Review B. — 2006. — V. 73, № 21. — P. 214512.

98. Abdumalikov, A.A. Nonlocal electrodynamics of Josephson vortices in superconducting circuits / A.A. Abdumalikov, G.L. Alfimov, A.S. Malishevskii // Superconductor Science and Technology. — 2009. — V. 22, № 2. — P. 023001.

99. Hilgenkamp, H. Pi-phase shift Josephson structures / H. Hilgenkamp // Superconductor Science and Technology. — 2008. — V. 21, № 3. — P. 034011.

100. Kivshar, Y.S. Interaction of a Fluxon with a Local Inhomogeneity in a Long Josephson Junction / Yuri S. Kivshar, Boris A. Malomed // Japanese Journal of Applied Physics. — 1987. — V. 26. — P. 1583-1584.

101. Malomed, B.A. "Supersolitons" in periodically inhomogeneous long Josephson junctions / B.A. Malomed, V.A. Oboznov, A.V. Ustinov // Zhurnal Ehksperi-mental'noj i Teoreticheskoj Fiziki. — 1990. — V. 97, № 3. — P. 924-937.

102. Derks, G. Pinned fluxons in a Josephson junction with a finite-length inhomogeneity / G. Derks, A. Doelman, C.J.K. Knight, H. Susanto // European Journal of Applied Mathematics. — 2012. — V. 23, № 2. — P. 201-244.

103. Ali, A. Breathing Modes of Long Josephson Junctions with Phase-Shifts / Amir Ali, Hadi Susanto, Jonathan A.D. Wattis // Siam Journal on Applied Mathematics. — 2011. — V. 71, № 1 — P. 242-269.

104. Knight, C.J.K. Stability of stationary fronts in a non-linear wave equation with spatial inhomogeneity / C.J.K. Knight, G. Derks, A. Doelman, H. Susanto // Journal of Differential Equations. — 2013. — V. 254, № 2. — P. 408-468.

105. Hatakenaka, N. Double sine-Gordon fluxons in isolated long Josephson junctions / Noriyuki Hatakenaka, Hideaki Takayanagi, Yoshihiro Kasai, Satoshi Tanda // Physica B: Condensed Matter. — 2000. — V. 284-288, P. 1. — P. 563-564.

106. Kasai, Y. Fluxon dynamics in isolated long Josephson junctions / Yoshihiro Kasai, Satoshi Tanda, Noriyuki Hatakenaka, Hideaki Takayanagi // Physica C: Superconductivity. — 2001. — V. 352, № 1-4. — P. 211-214.

107. Goldobin, E. Josephson junctions with second harmonic in the current-phase relation: Properties of ф junctions / E. Goldobin, D. Koelle, R. Kleiner, A. Buzdin // Physical Review B. — 2007. — V. 76. — P. 224523.

108. Nishida, M. Time Dilation of a Bound Half-Fluxon Pair in a Long Josephson Junction with a Ferromagnetic Insulator / Munehiro Nishida, Kyoko Murata, Toshiyuki Fujii, Noriyuki Hatakenaka // Physical Review Letters. — 2007. — V. 99. — P. 207004.

109. Звездин, А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках / А.К. Звездин // Письма в ЖЭТФ. — 1979. — Т. 29, № 10. — С. 605-610.

110. Bar'yakhtar, V.G. Nonlinear waves and the dynamics of domain walls in weak fer-romagnets / V.G. Bar'yakhtar, B.A. Ivanov, A.L. Sukstanskii // Sov. Phys. JETP.

— 1980. — V. 51, № 4. — P. 757-764.

111. Шафеев, Р.Р. Динамика магнитных солитонов локализованных в области неоднородности параметра обменного взаимодействия / Р.Р. Шафеев, В.Н. Назаров, М.А. Шамсутдинов // Вестник Башкирского университета. — 2011.

— Т. 16, № 2. — С. 326-329.

112. Stupakiewicz, A. Light-induced magnetic anisotropy in Co-doped garnet films / A. Stupakiewicz, A. Maziewski, I. Davidenko, V. Zablotskii // Physical Review B. — 2001. — V. 64, № 6. — P. 064405.

113. Шамсутдинов, М.А. Динамика магнитного кинка в обменно-связанных ферромагнитных слоях / М.А. Шамсутдинов, И.Т. Хабибуллин, А.Т. Харисов, А.П. Танкеев // Физика металлов и металловедение. — 2009. — Т. 108, № 4.

— С. 345-358.

114. Драгунов, И.Е. Фазовые переходы и полидоменные состояния в магнитных наноструктурах с конкурирующими анизотропиями / И.Е. Драгунов, С.В. Бухтиярова, И.В. Жихарев [и др.] // Физика твердого тела. — 2006. — Т. 48, № 8. — С. 1504-1514.

115. Ekomasov, E.G. One-dimensional dynamics of domain walls in two-layer ferro-magnet structure with different parameters of magnetic anisotropy and exchange / E.G. Ekomasov, R.R. Murtazin, O.B. Bogomazova, A.M. Gumerov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2013. — V. 339. — P. 133-137.

116. Екомасов, Е.Г. Моделирование нелинейной динамики магнитных неоднород-ностей в реальных магнетиках / Е.Г. Екомасов, Ш.А. Азаматов, Р.Р. Мурта-зин, А.М. Гумеров, А.Д. Давлетшина // Известия РАН. Серия физическая. — 2010. — Т. 74, № 10. — С. 1520-1522.

117. Екомасов, Е.Г. Нелинейная динамика доменных границ в ферромагнетиках с учетом возбуждения магнитных солитонов на дефектах / Е.Г. Екомасов, А.М. Гумеров // Письма о материалах. — 2012. — Т. 2, № 1. — С. 17-20.

118. Ekomasov, E. Excitation and Dynamics of Domain Walls in Three-Layer Ferromagnetic Structure with Different Parameters of the Magnetic Anisotropy and Exchange / Evgenii Ekomasov, Ramil Murtazin, Oksana Bogomazova and Vladimir Nazarov // Materials Science Forum. — 2016. — V. 845. — P. 195-198.

119. Екомасов, Е.Г. Численное моделирование пиннинга и нелинейной динамики доменных границ в ферромагнетиках с дефектами / Е.Г. Екомасов, А.М. Гу-меров, И.И. Рахматуллин // Вестник Башкирского университета. — 2010. — Т. 15, №3. — С. 564-566.

120. Ekomasov, E.G. Numerical simulation of the generation of multisoliton type magnetic inhomogeneities in ferromagnets with inhomogeneous parameters / E.G. Ekomasov, A.M. Gumerov // Letters on materials. — 2014. — V. 4, № 4. — P. 237-240.

121. Гумеров, А.М. Исследование влияния точечных дефектов на нелинейную динамику магнитных неоднородностей / А.М. Гумеров, Е.Г. Екомасов // Письма о материалах. — 2013. — Т. 3, № 2. — С. 103-105.

122. Ekomasov, E.G. Excitation of magnetic inhomogeneities in three-layer ferromagnetic structure with different parameters of the magnetic anisotropy and exchange / E.G. Ekomasov, R.R. Murtazin, V.N. Nazarov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2015. — V. 385. — P. 217-221.

123. Назаров, В.Н. Влияние одномерных "дефектов" на динамику зародыша новой фазы вблизи фазового перехода I рода в магнетиках / В.Н. Назаров, Р.Р. Ша-феев, М.А. Шамсутдинов, И.Ю. Ломакина // Физика твёрдого тела. — 2012.

— Т. 54, № 2. — С. 282-287.

124. Nazarov, V. Influence of an External Magnetic Field on the Dynamics of a New-Phase Nucleus in the Vicinity of the First-Order Phase Transition in Magnets with Defects Present / Vladimir Nazarov, Rishat Shafeev // Modern Physics Letters B.

— 2012. — V. 26, № 28. — P. 1250183.

125. Buijnsters, F.J. Motion of domain walls and the dynamics of kinks in the magnetic Peierls potential / F.J. Buijnsters, A. Fasolino, M.I. Katsnelson // Physical Review Letters. — 2014. — V. 113. — P. 217202.

126. Krasnobaeva, L.A. Rotational dynamics of bases in the gene coding interferon alpha 17 (IFNA17) / L.A. Krasnobaeva, L.V. Yakushevich // Journal of Bioinformat-ics and Computational Biology. — 2015. — V. 13, № 1. — P. 1540002.

127. Скалдин, О.А. Асимметрия временной динамики бризеров в электроконвективной твист-структуре нематика / О.А. Скалдин, В.А. Делев, Е.С. Шихов-цева // Письма в ЖЭТФ. — 2013. — Т. 97, № 2. — С. 98-103.

128. Rubinstein, J. Sine-Gordon Equation / Julio Rubinstein // Journal of Mathematical Physics. — 1970. — V. 11, № 1. — P. 258-266.

129. Cruz, W.T. Gravity localization in sine-Gordon braneworlds / W.T. Cruz, R.V. Maluf, L.J.S. Sousa, C.A.S. Almeida // Annals of Physics. — 2016. — V. 364. — P. 25-34.

130. Leung, K.M. Mechanical properties of double-sine-Gordon solitons and the application to anisotropic Heisenberg ferromagnetic chains / K.M. Leung // Physical Review B. — 1983. — V. 27, № 5. — P. 2877-2888.

131. Leblond, H. Derivation of a generalized double-sine-Gordon equation describing ultrashort-soliton propagation in optical media composed of multilevel atoms / Herve Leblond, Houria Triki, Dumitru Mihalache // Physical Review A. — 2012.

— V. 86, № 6. — P. 063825.

132. Cuevas-Maraver, J. The Sine-Gordon Model and Its Applications: From Pendula and Josephson Junctions to Gravity and High-energy Physics / J. Cuevas-Maraver, P. G. Kevrekidis, F. Williams (Eds.) // Springer. — 2014. — V. 10. — P. 263.

133. Novoselov, K.S. Domain wall propagation on nanometer scale: coercivity of a single pinning center / K.S. Novoselov, A.K. Geim, D. van der Berg, S.V. Dubonos, J.K. Maan. // IEEE Transactions on Magnetics. — 2002. — V. 38, № 5. — P. 2583-2585.

134. Kukreja, R. X-ray Detection of Transient Magnetic Moments Induced by a Spin Current in Cu / R. Kukreja, S. Bonetti, Z. Chen, D. Backes, Y. Acremann, J.A. Katine, A.D. Kent, H.A. Dürr, H. Ohldag, J. Stöhr // Phys. Rev. Lett. — 2015. — V. 115. — P. 096601.

135. Tetienne, J.-P. Nanoscale imaging and control of domain-wall hopping with a nitrogen-vacancy center microscope / J.-P. Tetienne, T. Hingant, J.-V. Kim, L.H. Diez, J.-P. Adam, K. Garcia, J.-F. Roch, S. Rohart, A. Thiaville, D. Ravelosona, V. Jacques // Science. — 2014. — V. 344, № 6190. — P. 1366-1369.

136. Rusz, J. Magnetic measurements with atomic-plane resolution / J. Rusz, S. Muto, J. Spiegelberg, R. Adam, K. Tatsumi, D.E. Bürgler, P.M. Oppeneer, C.M. Schneider // Nature Communications. — 2016. — V. 7. — Article number 12672.

137. Gerasimov, M.V. Time evolution of domain-wall motion induced by nanosecond laser pulses / M.V. Gerasimov, M.V. Logunov, A.V. Spirin, Yu.N. Nozdrin, I.D. Tokman // Phys. Rev. B. — 2016. — V. 94. — P. 014434.

138. Golovchan, A.V. Magnonic band spectrum of spin waves in an elliptical helix / A.V. Golovchan, V.V. Kruglyak, V.S. Tkachenko, A.N. Kuchko // Royal Society Open Science. — 2018. — V. 5, № 1. — P. 172285.

139. Tang, D.D. Magnetic Memory: Fundamentals and Technology / D.D. Tang, Y.-J. Lee. — New York: Cambridge, Cambridge University Press, 2010. — 196 p.