Динамическая устойчивость ортотропных прямоугольных пластин и оболочек вращения переменной жесткости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Черинько, Павел Николаевич

• Черинько, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черинько, Павел Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ МНОГОСЛОЙНЫХ OPTO

ТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

1.1. Исходные предположения . . . •

1.2. Основные соотношения теории тонких многослойных оболочек

1.3. Разрешающая система дифференциальных уравнений оболочек вращения . . ^

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН

И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ . ^

2.1. Динамическая устойчивость пластин переменной жесткости

2.2. Динамическая устойчивость оболочек вращения переменной жесткости. . 5О

2.3. Оценка точности и достоверности получаемых результатов

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ.

3.1. Построение областей динамической неустойчивости свободно опертых прямоугольных пластин переменной жесткости.

3.2. Динамическая устойчивость свободно опертой трехслойной цилиндрической оболочки

3.3. Исследование динамической устойчивости ортотроп-ной усеченной конической оболочки

3.4. Динамическая устойчивость составной оболочки вращения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая устойчивость ортотропных прямоугольных пластин и оболочек вращения переменной жесткости»

В различных областях современной техники при создании высокопрочных и надежных конструкций в качестве конструктивных элементов широкое применение находят тонкие пластины и оболочки, подвергающиеся действию неравномерно распределенных нагрузок и температурных полей. Образованные из тонких оболочек конструкции обладают высокой прочностью и легкостью, являются теплостойкими и звуконепроницаемыми, эффективно противостоят действию агрессивных сред. Этими положительными качествами и объясняется тот большой интерес, который проявляется к тонкостенным конструкциям в самолетостроении, судостроении, химическом машиностроении и т.д.

В разработке общей теории тонких оболочек важную роль сыграли работы В.З.Власова[50,^],А.Л.Гольденвейзера , Н.А.Кильчевского[5*$], А.И.Лурье[тИ] , А.Лява[£2], Х.М.Мушта-РирИ], В.В.Новожилова W], С.П.Тимошенко[96] , А.Н.Гузя[48], К.Ф.ЧерныхС-НОИ^] , Флюгге П02.] и других авторов. В этих работах содержатся основные зависимости современной теории оболочек, а также дано решение многих конкретных примеров.

С возрастанием предъявляемых к современным конструкциям требований в различных областях техники широко внедряются оболочки переменной жвсткости. В современной технике наряду с оболочками из металлических материалов широко используются конструкции из новых композиционных материалов, что приводит к необходимости рассмотрения как изотропных, так и слоистых анизотропных оболочек.

Существенный вклад в развитие теории многослойных анизотропных пластин и оболочек внесли исследования С.А.Амбарцумяна [3 ~ 5"] , В.В.БолотинаПй] » Э.И.Григолюка Я.М.Григоренко[42] , В.И.КоролеваС65], С.Г.Лехницкого[69] и других авторов.

Упомянутые выше работы посвящены главным образом статическим задачам. Между тем в последнее время все более актуальными становятся задачи о динамическом поведении пластин и оболочек. Сюда относятся исследования периодических или близких к периодическим колебаний тонкостенных конструкций и их неустановившейся деформации при быстром и ударном нагружении.

Большой вклад в развитие динамики оболочек внесли работы А.А.АлумяэС 2] , В.В.Болотина С^б] » А.С.Вольмира[52-ЗУ, Э.И.Григолюка Е^О] и других авторов.

Среди динамических задач теории пластин и оболочек особое место занимают задачи о динамической устойчивости (параметрических колебаниях). Параметрические колебания возникают при периодическом изменении вибрационных нагрузок. В основные дифференциальные уравнения задачи величины, характеризующие такие нагрузки, входят в качестве параметров. Таким образом, предметом изучения теории динамической устойчивости пластин и оболочек являются колебания, возникающие под действием вибрационной параметрической нагрузки.

Впервые вопрос о динамической устойчивости упругих систем был поставлен в 1924 году Н.М.Беляевым Сi2.] , который рассмотрел устойчивость прямолинейного призматического стержня, шарнирно опертого по обоим концам и сжатого продольной синусоидально изменяющейся со временем силой. Автором при помощи метода Хилла было получено приближенное выражение для определения границ главной области неустойчивости.

В 1938 - 1939 гг. В.Н.Челомеем был рассмотрен ряд задач динамической устойчивости стержней, неразрезных балок, пластин и оболочек, решение которых приведено в его книге QOS"]. Автору принадлежит постановка задачи о динамической устойчивости пластин и оболочек. Применение энергетического метода к задаче об устойчивости пластины, нагруженной по краям переменными во времени силами, приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую автор решает в первом приближении ВО6]. В книге В.Н.Челомея рассмотрен и ряд задач динамической устойчивости круговых труб и цилиндрических оболочек.

В 1938 году В.А.Боднер[Н5] , независимо от В.Н.Челомея, решил ряд задач динамической устойчивости прямоугольных,круглых и кольцеобразных пластин. Для свободно опертой пластины им получено точное решение, а для других случаев закрепления краев при помощи метода Галеркина - приближенное. Автором получены выражения для определения границ первой, второй и третьей областей динамической неустойчивости.

В 1940 году Г.Ю.Джанелидзе и М.А.Радциг£5-1] рассмотрели задачу о динамической устойчивости кругового кольца, нагруженного в своей плоскости радиальной, периодически меняющейся во времени по гармоническому закону, равномерно распределенной нагрузкой. Оказалось, что кольцо имеет два типа потери динамической устойчивости: первый тип - потеря устойчивости в своей плоскости и второй - соответствующий выходу кольцо из плоскости. При помощи метода разделения переменных задача отыскания неизвестных функций времени и для первого рода движения, и для движения второго рода сводится к уравнениям Матье. Авторами была высказана мысль, что и для обширного класса упругих систе: исследование динамической устойчивости приводит к уравнениям Матье. Таким образом, все выводы Н.М.Беляева, переносятся и на задачу о кольце. В заключение приводятся приближенные значения границ первой области неустойчивости.

В работе Б.З.Брачковского Ц2.Ц] показано, что решение задачи динамической устойчивости при действии нагрузок вида

JU 4- "t точно сводится к уравнению Матье только для таких упругих систем, у которых статические формы потери устойчивости совпадают с соответствующими формами свободных колебаний.

Ряд задач динамической устойчивости упругих систем, в частности пластин, а также целых сооружений (мостов)под действием движущихся масс, был исследован И.И.Гольденблатом В?], При этом установлено, что при определенных скоростях движения масс, превышающих некоторые критические пределы, возможна динамическая неустойчивость системы.

Динамическая устойчивость пластинок, сжатых периодическими продольными силами, рассматривалась в известной монографии В.В.Болотина Elk] , а также в работах З.ИДалилова ПОЗ] , Шмидта В НЭД Дани и НакамурыСШ], Пасика и Германа [12.9], Остигая и Ивэн-ИвановскиВ^Я], Даффилда и ВильямсаСКЗ].

В работе М.Р.Фельдмана[1 СИ] рассматривалось приближенное решение задачи о динамической устойчивости прямоугольных ор-тотропных пластин при различных контурных условиях. Пластины подвержены действию равномерно распределенных по периметру и лежащих в срединной плоскости периодических продольных сжимающих сил. Для решения указанной задачи применяется синтез разностного метода и метода Бубнова-Галеркина. После преобразований задача сводится к уравнению типа Матье, решение которого известно. В качестве примеров рассмотрены частные задачи: динамическая устойчивость квадратной ортотропной пластины, свободно опертой по контуру и сжатой по двум взаимно перпендикулярным направлениям; ортотропной квадратной пластины ступенчато переменной жесткости, равномерно сжатой в одном направлении; ортотропной прямоугольной пластины, две стороны которой свободно оперты, а другие две - защемлены.

В работе Тани Св5]исследовалась динамическая устойчивость защемленных ортотропных кольцевых пластин под действием пульсирующего кручения с учетом статического нагружения. При помощи метода Галеркина задача сводится к задаче для системы с конечным числом степеней свободы, для которой границы областей неустойчивости определяются при помощи результатов Шу П^Ш] для системы связанных уравнений Хилла.

Динамическая устойчивость ортотропных пластин рассматривалась также'в работах С.А.Амбарцумяна и А.А.Хачат-рянаСА] , М.А.Тихонова [37], А.Г.Чкуасели[^2], Тани и Доки ПОД.

В работах М.А.Ильгамова и Х.М.МуштариCSl], М.А.Ильгамо-ва[53], С.А.Амбарцумяна и В.Ц.ГнуниС£>] ,Джонсона и Баулда

12]рассматривалась динамическая устойчивость слоистых пластин для простых видов граничных условий (как правило, свободное опирание краев). Исследования проводились как в рамках классической теории, так и с учетом поперечных сдвигов.

Из сказанного выше вытекает, что в литературе рассмотрен относительно небольшой класс задач динамической устойчивости пластин для простых видов граничных условий. Практически отсутствуют работы, в которых учитывается переменность толщины или других механических или геометрических параметров.

Что касается динамической устойчивости оболочек, то, как уже отмечалось выше, постановка задачи здесь принадлежит В.Н.Челомею, который и сделал первые шаги в этой области.

В работе А.Н.Маркова 5]исследовалась динамическая устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек под действием пульсирующих сил в случае свободного опирания торцов. При сделанных автором предположениях задача сводится к дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно прогиба. В работе исследовалась динамическая устойчивость круговой цилиндрической оболочки под действием продольной нагрузки, под действием равномерно распределенной по внешней (или внутренней) поверхности поперечной нагрузки, а также устойчивость коротких круговых оболочек и цилиндрических оболочек произвольного очертания.

В монографии В.В.Болотина С16] одна из глав посвящена динамической устойчивости оболочек. Здесь предлагается подход, основанный на предположении о безмоментности докритическо-го состояния. Взяв за исходные уравнения моментной теории В.З.Власова [50] , автор получает систему дифференциальных уравнений динамической устойчивости оболочек, считая, что поверхностная нагрузка состоит из нагрузки исходного безмоментного состояния, сил инерции и добавочной приведенной нагрузки, возникающей при отклонении срединной поверхности оболочки от исходного безмоментного состояния. Компоненты добавочной приведенной нагрузки определяются из уравнений безмоментной теории без учета сил инерции этого состояния. Таким образом, получается система дифференциальных уравнений, линейных по отношению к перемещениям и их производным. В случае периодической внешней нагрузки, разлагая перемещения в ряды по фундаментальным функциям, удовлетворяющим граничным условиям, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В качестве примеров рассматривается динамическая устойчивость весьма пологой оболочки, цилиндрической оболочки, загруженной равномерно распределенными радиальной нагрузкой и продольной силой, а также сферической оболочки, под действием равномерно распределенной по поверхности радиальной нагрузки.

Некоторые частные задачи динамической устойчивости оболочек решены в книге О.Д.ОниашвилиКй]. Здесь рассматриваются пологие и подъемистые цилиндрические оболочки в случае свободного опирания торцов на основе технической моментной теории В.З.Власова. Приводятся результаты численного определения областей динамической неустойчивости для железобетонной и металлической цилиндрических оболочек. При вычислениях использовались выражения для границ первой, второй и третьей областей, полученные Б.А.Боднером[15].

В работах В.Ц.ГнуниСЗД,^] для пологих оболочек показывается, что при определении областей динамической неустойчивости необходимо исходить из линейного приближения уравнений нелинейной теории, которые совпадают с уравнениями линейной теории только в случае, если начальное невозмущенное состояние принимается недеформированным. Записывается разрешающая система уравнений движения оболочек, собранных из нечетного числа однородных ортотропных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности. Начальное состояние принимается без-моментным. Задача для прямоугольной в плане радиально опертой по всем краям оболочки сводится к уравнению Хилла, для которого определить области динамической неустойчивости можно на основании результатов В.В.Болотина С^Ь].

Г.З.МикаэляномС^Чрассматривалась задача о динамической устойчивости многослойной ортотропной круговой цилиндрической оболочки, к торцам которой внецентренно по отношению к толщине стенки приложены сжимающие усилия, периодически изменяющиеся во времени. Предполагалось, что докритическое напряженное состояние является моментным, осесимметричным. Задача рассматривалась в рамках гипотезы недеформируемых нормалей для всего пакета оболочки в целом и использованием аппарата пологих оболочек. Силы инерции, соответствующие перемещениям в координатной поверхности, не учитывались. Для случая шарнирного опирания задача сводится к уравнению Матье, области неустойчивости решений которого хорошо изучены. Исследовано влияние докритического напряженного состояния на величины критических частот и областей динамической неустойчивости. В качестве примеров исследована динамическая устойчивость слоистой изотропной оболочки с одинаковым коэффициентом Пуассона слоев и центрально сжатой двухслойной изотропной оболочки. Показано, что эксцентриситет приложения нагрузки резко изменяет границы областей неустойчивости.

В работе Нагаи и Ямаки D 2.G] исследовалась динамическая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, находящихся под действием сжимающих сил. Используя в качестве исходных уравнения технической теории Муштари-Доннелла-Власова, авторы сводят задачу к задаче с конечным числом степеней свободы. Динамическая устойчивость получаемой системы связанных уравнений Хилла исследуется на основе результатов Шу 20,Ч2.•(]. Рассматривались четыре вида граничных условий (шарнирное опирание, жесткое защемление и их комбинации) с учетом начальной несимметричности. Показано, что для любых граничных условий существуют первая (главная) и вторая области неустойчивости, а также их комбинация, для каждого волнового числа. Наиболее важной является главная область с волновыми номерами, соответствующими минимальной собственной частоте. Исследовано влияние статической составляющей сжимающей нагрузки. Показано, что наличие подобной нагрузки уменьшает частоты и увеличивает ширину областей неустойчивости. Сделан вывод, что рассматриваемые в работе граничные условия не оказывают существенного влияния на области динамической неустойчивости.

Динамическая устойчивость пологих и цилиндрических оболочек исследовалась также в работах Г.В.Мишенкова , Г.В.Ножака[&?>] , Н.К.Алексеевой С4 ] ,Г.М.СальниковаС9 3] , К.А.Наумова и А.С.Шапкина,П.М.Варвака, В.Г.Пискунова и А.Ф.Рябова С2.6] , С.К.НикитинаCS2] , Биника,Фэна и Лакмана DH*], Джонсона и БаулдаС42.2].

В работе А.Е.Богданович С^] исследовалась динамическая устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с учетом поперечных сдвигов.

Динамическая устойчивость усеченных конических оболочек, находящихся под действием периодических осевых сил, исследовалась в работе ТаниС^ЗД]. В качестве исходных выбирается динамический вариант уравнений технической теории. Докритическое состояние считается безмоментным. Решение записывается в виде произведения координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям, и неизвестных функций, зависящих от времени. При помощи метода Бубнова-Галеркина исходные уравнения сводятся к системе связанных уравнений Матье для временно-зависимых функций. Эта система нормализуется и области неустойчивости ее решений определяются на основе результатов Задача исследуется для четырех видов граничных условий: свободное опирание, жесткое защемление и их модификации. Получаемые результаты хорошо согласуются с теорией первого приближения Болотина С^Ь] . В качестве числового примера исследуется динамическая устойчивость полностью защемленной усеченной конической оболочки. Определены главные области неустойчивости и области комбинированного резонанса для широкого диапазона частот. Показано, что главные области неустойчивости значительно шире областей комбинированного резонанса. Исследовано влияние статического нагрукения и затухания. Сделан вывод, что с увеличением статической нагрузки области неустойчивости почти параллельно смещаются в сторону более низких частот, а наличие трения уменьшает области неустойчивости так, что для малых периодических осевых нагрузок параметрическая неустойчивость становится невозможной.

В работе Массаласа, Даламангаса и Триванидиса С Ч 2.5J исследовалась динамическая неустойчивость усеченных конических оболочек с переменным модулем упругости, находящихся под действием периодических сжимающих сил. Задача формулируется на основе динамического варианта основных уравнений типа Доннелла, пренебрегающих деформациями изгиба до момента потери устойчивости. При помощи метода Галеркина основные уравнения сводятся к системе связанных уравнений Матье-Хилла, из которой главные области неустойчивости определяются при помощи метода Болотина. Исследование проводится для полностью защемленной усеченной конической оболочки, когда модуль упругости изменяется по толщине оболочки и во времени. В качестве примера рассматривалась задача о свободных колебаниях. Исследовалась динамическая устойчивость указанных оболочек для трех типов осевой нагрузки. Построены главные области неустойчивости. Исследовано влияние переменности модуля упругости. Сделан вывод, что случай, когда модуль упругости периодически меняется во времени, аналогичен действию на оболочку параметрической нагрузки.

В литературе имеется незначительное число публикаций, посвященных экспериментальному исследованию динамической устойчивости пластин и оболочек. Почти все имеющиеся работы в этой области выполнены для цилиндрических оболочек. Вийяраг-хаваном и Ивэн-Ивановски|ЧЭД] теоретически и экспериментально исследована динамическая неустойчивость тонких круговых цилиндрических оболочек, в срединных плоскостях которых действуют продольные силы инерции, возникающие вследствие движения жестко защемленного основания оболочки по синусоидальному закону; верхние торцы оболочек свободны. Для расчетов использовалась линейная теория изгиба. В пределах исследовавшегося диапазона частот возбуждения были обнаружены поперечные колебания экспериментальных образцов с частотами, равными половине частоты возбуждения. В соответствии с экспериментальными наблюдениями изучалась лишь главная область неустойчивости.Получено превосходное совпадение теоретических и экспериментальных результатов. Экспериментальному исследованию динамической устойчивости оболочек посвящены также работы А.Н.ЧемерисаС$3,<0?] , В.О.Коно-ненко, А.А.Бондаренко,П.И.Галаки и др.[6Ц] , А.А.Бондаренко и П.И.ГалакиШ] , А.А.Бондаренко и А.Й.ТелаловаС20 , А.А.Бон-даренкоС20]и других авторов.

Из приведенного обзора работ следует, что исследование динамической устойчивости пластин и оболочек с переменной жесткостью является актуальной задачей при рациональном проектировании конструкций. Необходимо отметить, что в литературе практически отсутствуют задачи подобного рода, несмотря на их практический и теоретический интерес. Очевидно, это в некоторой степени объясняется существенными трудностями при их решении как математического, так и вычислительного характера.

Таким образом, из анализа рассматриваемых вопросов можно сформулировать цель настоящего исследования:

- разработка эффективного подхода к численному решению задач динамической устойчивости слоистых изотропных и ортотропных пластин и оболочек вращения переменной жесткости при достаточно общих предпосылках относительно геометрии, характера внешних воздействий и краевых условий;

- оценка достоверности получаемых по предлагаемой методике результатов путем сравнения с другими, полученными аналитическими или численными методами;

- исследование динамической устойчивости конкретных пластин и оболочек вращения переменной жесткости.

Настоящая работа посвящена разработке подхода к решению задач динамической устойчивости пластин и многослойных оболочек вращения,собранных из произвольного числа изотропных и ортотропных слоев. Рассматриваются прямоугольные пластины со свободно опертыми краями, а также оболочки вращения с переменными вдоль меридиана характеристиками при произвольных граничных условиях на контурах. Указанные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами при заданных краевых условиях. Соответствующие многомерные краевые задачи решаются численно путем сведения к задачам на собственные значения либо для бесконечной системы алгебраических уравнений, либо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка.

Таким образом, научная новизна и значимость работы заключается в следующих основных положениях,выносимых на защиту:

- разработке подхода к численному решению задач динамической устойчивости слоистых изотропных и ортотропных прямоугольных пластин и оболочек вращения переменной жесткости;

- обосновании достоверности разработанной методики на основе сравнительного анализа решений некоторых задач по данной методике с решениями других авторов;

- выявлении и изучении эффектов, обусловленных переменностью геометрических и механических параметров рассматриваемого класса пластин и оболочек.

Результаты исследований включены в отчеты отдела вычислительных методов Института механики АН УССР "Разработка методов решения задач о свободных колебаниях гибких оболочек с переменными параметрами" ( № г.р.81026490, инв. №0284,0042144, 1984) и "Анализ напряженно-деформированного состояния и свободных колебаний рболочечных систем и разработка рекомендаций по расчету элементов конструкций при силовых и температурных воздействиях"*: № г.р. 81026490, инв. № 0285.0004139 ,1984) по теме НИР №112 "Теория и методы исследования напряженного состояния и свободных колебаний слоистых анизотропных оболочек".

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 80 страниц машинописного текста, 14 рисунков, II таблиц и библиографического списка, включающего 140 наименований.

В первой главе формулируются исходные предпосылки, приводятся основные уравнения и соотношения динамики оболочек переменной жесткости. Приведенные соотношения основываются на теории тонких оболочек, базирующейся на гипотезе недеформируемых нормалей для всего пакета оболочки в целом. Материал оболочки предполагается ортотропным и подчиняющимся обобщенному закону Гука, перемещения - малыми по сравнению с толщиной, а углы поворота - по сравнению с единицей. Граничные условия на контурах оболочки могут формулироваться в усилиях и моментах, в деформациях, в перемещениях и в смешанном виде.

При помощи этих основных уравнений и соотношений^записыва-ется разрешающая система дифференциальных уравнений динамики тонких многослойных ортотропных замкнутых в окружном направлении оболочек вращения, чьи геометрические, механические и массовые свойства изменяются вдоль меридиана. Эта система разрешающих уравнений получена из основных соотношений теории тонких оболочек без каких-либо пренебрежений, которые могли бы привести к решениям, противоречащим физическому смыслу [58].

Так как получаемая многомерная краевая задача решается путем сведения ее к одномерной, то в качестве неизвестных функций выбираются такие, которые позволяют сформулировать краевые условия на контурах оболочки, соответствующих границам одномерной области.

Вторая глава посвящена разработке подхода к решению задач динамической устойчивости пластин и оболочек вращения переменной жесткости, находящихся под действием равномерно распределенных периодических сил. На условия закрепления торцов оболочки никаких ограничений не накладывается.

В первом параграфе рассматривается динамическая устойчивость свободно опертых прямоугольных пластин с переменной в одном из координатных направлений толщиной. Представив решение в виде разложения в двойной тригонометрический ряд по фундаментальным функциям, удовлетворяющим граничным условиям, сведем задачу к бесконечной системе связанных уравнений Матье. Определение границ областей неустойчивости решений этой системы сводится к нахождению условий существования ее периодических решений. Последняя задача сводится к задаче на собственные значения для бесконечных систем алгебраических уравнений.

Второй параграф посвящен решению задачи динамической устойчивости многослойных ортотропных оболочек вращения с переменными вдоль меридиана характеристиками. Докритическое состояние оболочек предполагается безмоментным. Предполагается, что нагрузка на оболочку состоит из нагрузки безмоментного состояния, сил инерции и добавочной приведенной нагрузки, возникающей при отклонении координатной поверхности оболочки от исходного безмоментного состояния. Последняя нагрузка определяется при помощи уравнений безмоментной теории, в которых не учитываются силы инерции этого состояния. Представляя разрешающие функции в виде разложений в ряды Фурье по окружной координате, добиваемся точного разделения пространственных переменных. Разрешающие функции представляются в виде одночленного разложения в ряд Фурье по временной координате. В результате рассматриваемая задача сводится к одномерной задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка при соответствующих краевых условиях.

В третьем параграфе оценивается точность и достоверность получаемых результатов. Отмечается, что погрешность окончательного результата связана с точностью сведения исходной многомерной краевой задачи к одномерной.

Для оценки достоверности получаемых результатов использовались следующие индуктивные приемы: оценка точности по убыванию разности решений при различном числе точек аппроксимации и при различных шагах интегрирования; сравнение с аналитическими и численными решениями для отдельных оболочек.

В третьей главе на основе разработанной в предыдущей главе методики проведено исследование влияния различных факторов на динамическую устойчивость некоторых элементов конструкций, состоящих из прямоугольных пластин и оболочек, относящихся к рассматриваемому классу.

В первом параграфе рассмотрена задача динамической устойчивости свободно опертой прямоугольной пластины линейно-переменной толщины. Построены главные области неустойчивости. Исследовано влияние переменности толщины на области неустойчивости.

Второй параграф посвящен решению задачи динамической устойчивости свободно опертой трехслойной цилиндрической оболочки со слоями линейно-переменной толщины. Построены главные области неустойчивости для различного количества волн в окружном направлении.

В третьем параграфе исследуется динамическая устойчивость консольно закрепленной'ортотропной усеченной конической оболочки как постоянной, так и линейно-переменной толщины. Рассмотрено семь вариантов ортотропии. Построены главные области неустойчивости для различных значений параметра волнообразования в окружном направлении. Исследовано влияние параметров ортотропии на области неустойчивости.

В четвертом параграфе рассмотрена динамическая устойчивость составной оболочки вращения, состоящей из цилиндрической и конической оболочек, соединенных между собой при помощи оболочки, полученной вращением вокруг оси отрезка параболы.

Построены главные области неустойчивости для различных значений параметра волнообразования в окружном направлении.

Основное содержание диссертации изложено в работах [28, 2.9 "(08 И0<3 ] • Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах отдела вычислительных методов Института механики АН УССР (1980-1984 гг), на семинаре по строительной механике Института механики АН УССР (1984 г), на Всесоюзной конференции молодых ученых и специалистов "Строительство ГЭС в горных условиях" (г.Поти, 1982 г.), на Уральской зональной конференции "Пути повышения надежности и ресурса систем машин" (г.Свердловск,1983 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек" (г.Казань, 1983 г.), а также на X конференции молодых ученых Института механики АН УССР (г.Киев, 1984 г.).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук А.Т.Василенко за постановку задачи и внимание к настоящей работе, а также старшему научному сотруднику А.Б.Китайгородскому за постоянную помощь при выполнении вычислительных работ.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Черинько, Павел Николаевич

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем.

Основным результатом диссертационной работы является разработка подхода к численному решению задач динамической устойчивости прямоугольных пластин и слоистых ортотропных оболочек вращения с переменными геометрическими и механическими параметрами, находящихся под действием периодически изменяющихся во времени нагрузок.

При этом получены следующие конкретные результаты:

1. Рассмотрена динамическая устойчивость свободно опертых прямоугольных пластин переменной жесткости под действием периодически изменяющихся во времени сжимающих усилий.

2. Построена разрешающая система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая задачу динамической устойчивости оболочек вращения переменной вдоль меридиана жесткости.

3. С помощью метода разложения выполнено сведение исходной краевой задачи к одномерной краевой задаче на собственные значения при произвольных граничных условиях на контурах оболочек.

Построен алгоритм численного решения указанного класса задач, реализованный в вычислительном комплексе.

5. Проведен анализ точности и достоверности получаемых результатов путем сравнения с другими решениями, полученными аналитическим и численным путями.

6. Исследована динамическая устойчивость конкретных оболочек вращения, в частности, свободно опертой трехслойной цилиндрической оболочки со слоями линейно переменной толщины, консольно закрепленной ортотропной усеченной конической оболочки переменной жесткости, а также составной оболочки вращения переменной жесткости.

Таким образом, изложенный в работе подход позволяет эффективно исследовать динамическую устойчивость прямоугольных пластин и оболочек вращения с учетом таких характерных особенностей как ортотропия и переменность упругих свойств материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черинько, Павел Николаевич, 1984 год

1. Алексеева НД. К вопросу динамической устойчивости пологих оболочек.- Прикл. механика, 1969, 5, fe 12, с.60-68.

2. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояний равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии.- Прикл. матем. и мех., 1949, 13, № I, с.95-106.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек.- М.: Физмат-гиз, 1961,- 384 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.- М.: Наука, 1967,- 268 с.

5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.- 446 с.

6. Амбарцумян С.А., Гнуни В.Ц. О вынужденных колебаниях и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок. Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностр., 1961, №3, с.117-123

7. Багдасарян Ж.Е., Гнуни В.Ц. К теории динамической устойчивости слоистых анизотропных оболочек вращения,- Изв. АН Арм.ССР, Физ.-мат. н., I960, 13, № 5, с.27-36.

8. Бажанов В.Л., Гольденблат И.И., Копнов В.А., Поспелов А.Д., Синюков A.M. Сопротивление стеклопластиков.- М.: Машшностро-ение, 1968.- 304 с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1973.- 631 с.

10. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем.- Прикл. матем. и мех., 1952, 16, № 5, с.635-648.

11. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.- М.: Фшзмат-гиз, 1962.- Т.2. 620 с.

12. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных: продольных сил.- В кн.:Инженерные сооружения и строительная механика.- Л.: Путь, 1924, с.149-167.

13. Беспалова Е.И., Григоренко Я.М., Китайгородский А,Б., Шинкарь А.И. Исследование свободных колебаний ортотропных оболочек вращения с переменными параметрами.- Прикл. механика, 1978, 14, № 8, с.43-50.

14. Богданович А.Е. Динамическая устойчивость упругой ортотропной цилиндрической оболочки с учетом поперечных сдвигов.-Механика полимеров, 1973, № 2, с.312-320.

15. Боднер Б.А, Устойчивость пластин под действием продольных периодических сил.- Прикл. матем. и мех., 1938, Я, № I, с.87-104.

16. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.: Гостехиздат, 1956.- 600 с.

17. Болотин В.В., Бабин О.А., Голубков А.В. и др. Численные методы расчета параметрически возбуждаемых систем.- Сб. "Расчеты на прочность", 1983, 23, с.194-207.

18. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980,- 376 с.

19. Бондаренко А.А., Галака П.И, Параметрическая неустойчивость стеклопластиковых цилиндрических оболочек.- Прикл. механика, 1977, 13, № 4, с.124-128.

20. Бондаренко А.А. Теоретические и экспериментальные исследования динамической неустойчивости стеклопластиковых оболочек.- В кн.: Труды XII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. T.I, Ереван, 1980, с.212-216.

21. Бондаренко А.А., Телалов А.И. Динамическая неустойчивость цилиндрических оболочек при продольном кинематическом возбуждении.- Прикл. механика, 1982, 18, № I, с.57-61.

22. Бондаренко Г.В. Уравнение Хилла и его применение в областитехнических колебаний. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936.-51 с.

23. Бондарь Н.Г. Динамическая устойчивость и колебания бесшарнирных параболических арок.- Инж. сборник, 1952, 13, с. 87-102.

24. Брачковский Б.З. О динамической устойчивости упругих систем.- Прикл. матем. и мех., 1942, б, № I, с. 87-88.

25. Бурдун Е.Т., Кржечковский П.Г., Попов В.Г. Динамическая .устойчивость трехслойных цилиндрических оболочек.- Сб.4.я Всесоюзная конф. по проблемам устойчивости и строит, механики М., 1972, с. 147-148.

26. Варвак П.М., Пискунов В.Г., Рябов А.Ф. Динамическая устойчивость многослойных пологих оболочек.- Сопротивл. материалов и теория сооруж., 1972, 16,с. 143-145.

27. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М., Шинкарь А.И. Решение задач статики многослойных оболочек вращения с ортотропными слоями переменной толщины.- Прикл. механика, 1970, 6, № 2, с. 12-17.

28. Василенко А.Т., Черинько П.Н. Исследование динамической устойчивости пластин переменной жесткости.- Прикл. механика, 1984, 20, № 3, с. II9-I23.

29. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Черинько П.Н. Динамическая устойчивость ортотропных оболочек вращения переменной жесткости.- Докл. АН УССР, Сер. А, 1984, № Ю, с. 28-31.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике.- М.-Л.: Гостехиздат, 1949.- 784 с.

31. Власов В.З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем.- М.: Стройиздат, 1949.- 435 с.

32. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1972.- 984 с.

33. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.-М.: Наука, 1972.- 432 с.

34. Гнуни В.Ц. О границах динамической неустойчивости оболочек.- В кн.: Труды конф. по теории пластин и оболочек, Казань, 1961, с. II7-I23.

35. Гнуни В.Ц. О параметрически возбуждаемых колебаниях слоистых анизотропных оболочек.- Изв. АН Арм.ССР, Сер. физ.-мат. н., 1962, 15,№ 3, с. 29-36.

36. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- Успехи мат. наук, 1961, 16,№ 3, с. I7I-I74.

37. Гольденблат И.И. Динамическая устойчивость сооружений.-М.: Стройиздат, 1948.- 59 с.

38. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. 2-е изд.- М.: Наука, 1976.- 512 с.

39. Григолюк Э.И. Тонкие биметаллические оболочки и пластины.-Инж. сборник, 1953, 17, с. 177-200.

40. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1978.- 360 с.

41. Григоренко Я.М. Напряженное состояние изотропных и анизотропных оболочек вращения.- В кн.: Армированные материалы и конструкции из них. Киев: Наук, думка, 1970, с.

42. Григоренко Я.М, Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости.- Киев: Наук, думка, 1973.- 228 с.

43. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища школа, 1979.- 280 с.

44. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости.- Киев: Наук, думка, 1981.- 544 с. ( Методырасчета оболочек. Т.4 ).

45. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Черинько П.Н. О динамической устойчивости слоистых пластин переменной жесткости.- Тезисы докладов Уральской зональной конференции

46. Пути повышения надежности и ресурса систем машин Свердловск, 1983, с. 35-36.

47. Григоренко Я.М., Китайгородский А.Б., Семенова В.В. идр. Расчет ортотропных слоистых оболочек вращения с переменными параметрами на ЕС ЭВМ.- Киев: Наук, думка, 1980.104 с.

48. Гузь А.Н., Григоренко Я.М., Бабич И.Ю. и др. Механика элементов конструкций.- Киев: Наук, думка, 1983.- 464 с. ( Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т.2 ).

49. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов В.Н. и др. Теория оболочек, ослабленных отверствиями.- Киев: Наук, думка, 1980.- 636 с. ( Методы расчета оболочек. T.I ).

50. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. и др. Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах.- Львов: Вища школа, 1983,- 288 с.

51. Ильгамов М.А., Муштари Х.М. Некоторые задачи статической и динамической устойчивости трехслойных пластин с заполнителем,- В кн.: Труды конф. по теории пластин и оболочек,1. Казань, I961, о. 155-163.

52. Ильгамов М.А. Вынужденные и параметрические колебания трехслойных пластин.- Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машино-строен., 1962, № 3, с. 114-119.

53. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.- 512 с.

54. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1971,- 576 с.

55. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5-е изд.- М.-Л.: Физматгиз, 1962.- 708 с.

56. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.- М.: Машиностроение, 1975.- 376 с.

57. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек.-Прикл. матем. и мех., 1939, 2, № 4, с. 427-438.

58. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин Л.А. Теория тонких конических оболочек и ее приложение в машиностроении.- Киев: Ызд-во АН УССР, 1963.- 287 с.

59. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.- М.: Изд-во иностр. лит., 1953.- 503 с.

60. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.- 503 с.

61. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек.- М.: Высшая школа, 1972.- 296 с.

62. Кольман Э.Р. Устойчивость конической оболочки при динамическом нагружении равномерным давлением.- Изв. высш. учебных,заведений, Машиностроение, 1968, №4, с. 60-65.

63. Кононенко В.О., Галака П.И., Бондаренко А.А. и др. Исследование колебаний стеклопластиковых оболочек.- Киев: Нау-кова думка, 1974.- 84 с.

64. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс.- М.: Машиностроение, 1965,272 с.

65. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2.- М.: Наука, 1977,- 400 с.

66. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек.- Киев: Наук, думка, 1984.- 220 с.

67. Кузнецов А.Д. Об устойчивости оболочек вращения при динамическом нагружении.- Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1977, № 4, с. 157-162.

68. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд.- М.: Наука, 1977.- 415 с.

69. Лиходед А.И. Динамическая устойчивость оболочек вращения с сосредоточенными включениями при осевом сжатии.- Сб.4.я Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строит, механике М., 1972, с. 174.

70. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек.- Прикл. матем. и мех., 1940, 4, № 2, с. 7-34.

71. Ляв А. Математическая теория упругости.- М.-Л.: ОНТй, 1935.- 674 с.

72. Мак-Лахлан Н. Теория и приложения функций Матье.- М.: Иностр. литература, 1953.- 475 с.

73. Малкина Р.Л. Устойчивость круговых арок под действием продольных периодических сил.- Инж. сборник, 1952,14, с. 123-130.

74. Марков А.Н. Динамическая устойчивость анизотропных цилиндрических оболочек,- Прикл. матем. и мех., 1949, 13,2, с. 145-150.

75. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.- 456 с.

76. Микаэлян Г.З. Динамическая устойчивость многослойной ор-тотропной круговой цилиндрической оболочки.- Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1968, 21, № 2, с. 42-52.

77. Мишенков Г.В. О динамической устойчивости пологой цилиндрической оболочки.- В кн.: Труды конф. по теории пластин и оболочек, Казань, 1961, с. 239-245.

78. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгофа-Лява.- Прикл. матем. и мех., 1947, 2, № 15, с. 24-29.

79. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ: Справочник.- М.: Машиностроение, 1981.- 216 с.

80. Наумов К.А., Шапкин А.С. Динамическая устойчивость орто-тропной цилиндрической оболочки.- Труды Моск. ин-та ради-отехн., электрон, и автомат., 1969, 38, с. 256-259.

81. Никитин С.А. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки под действием всестороннего давления.- Сопрот. материалов и теория сооруж., 1972, 16, с. 230-232.

82. Ножак Г.В. Параметрические колебания цилиндрической оболочки, сжатой пульсирующей нагрузкой,- Прикл. механика, 1965, I, № 7, с. 135-138.

83. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. 2-е изд.- Л.: Судостроение, 1962.- 431 с.

84. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: Изд. МГУ,1969.- 695 с.

85. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек.

86. M.: Изд-во МГУ, 1963,- 420 с.

87. Ониашвили О.Д, 0 динамической устойчивости пологих оболочек.- Сообщ. АН Груз.ССР, 1950, № 9, с. 169-175.

88. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек.- М.: Изд-во АН СССР, 1957.- 195 с.

89. Писаренко Г.С., Чемерис А.Н. К вопросу о динамической устойчивости цилиндрической оболочки.- В кн.: Рассеяние энергии при колеб. мех. систем, Киев, 1968, с. I07-114.

90. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник / Под общей ред. й.А.Биргера, Я.Г.Пановко.- М.: Машиностроение, 1968.- Т.З. 568 с.

91. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов.- Рига: Зинатне, 1974.- 310 с.

92. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии.- М.: Гос-техиздат, 1950.- 360 с.

93. Сальников Г.М. Динамическая устойчивость цилиндрическихи конических оболочек кругового и некругового сечения при различных граничных условиях.- йсслед. по теории пластин и оболочек, Казань, 1967, №5; с. 469-479.

94. Симитсес Дж. Влияние начального статического нагружения на динамическую устойчивость конструкций.- Аэрокосмическая техника, 1984, 2, № 4, с. 96-105.

95. Стретт М.Д. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике.- ДНТВУ, 1935,- с.

96. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.: Физматгиз, 1963.- 635 с.

97. Тихонов М.А. Динамическая устойчивость ортотропных прямоугольных пластин.- В кн.: Строит, механика сооружений, Л., 1981, с. I08-113.

98. Тонкостенные оболочечные конструкции. Под ред. Э.И.Григолюка.- М.: Машиностроение, 1980,- 608 с.

99. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970.- 564 с.

100. Уилкинсон Дж.Х., Райнш С. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.- М.: Машиностроение, 1976,- 389 с.

101. Фельдман М.Р. Динамическая устойчивость ортотропных пластин.- В кн.: Теория пластин и оболочек, Киев, 1962, с.244-248.

102. Флюге В. Статика и динамика оболочек.- М.: Гостехиздат, 1961.- 306 с.

103. Халилов З.й. Динамическая устойчивость пластинки под действием продольных периодических сил.- Труды Азерб.университета, сер.мат., 1942, I, с.28-32.

104. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1979.312 с.

105. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций.- М.: Редиздат Аэрофлота, 1939.- 79 с.

106. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость пластин.- Труды Киевского авиац. ин-та, 1938, № 10, с.31-40.

107. Черемис А.Н. Методика исследования динамической устойчивости цилиндрических оболочек с учетом затухания.- В кн.: Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Киев: Наукова думка, 1968, с.203-205.

108. Черинько П.Н. Численное исследование динамической устойчивости оболочек вращения с переменными параметрами.- Труды X научн.конф. молодых ученых Ин-та механики АН УССР. Киев, 1984, с.298-302. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 30.07.84, № 553584 Деп.

109. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.- Ч.П, 395 с.

110. Чкуасели А.Г. Динамическая устойчивость ортотропных пластинок.- Изв.высш. учебных заведений. Стр-во и архитектура, 1968, №> Ю, с.48-57.

111. Шмидт Г. Параметрические колебания.- М.: Мир, 1978.- 336 с.

112. Шу С.С. Параметрическое возбуждение и задачи прощелкивания для оболочек.- В кн.: Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980, с.125-156.

113. Якубович В.А. О динамической устойчивости упругих систем.-Докл. АН СССР, 1958, 121, № 4, с.602-605.

114. Вагг A.D.S., Мс* Whannell D.G. Parametric instabilitystructures with motion foundation.- J. Sound and Vibr., 1971» 14, Ж 4, p. 491-509.

115. Bieniek M.P., Pain Т.О., Lackman Z.M. Dynamic stability of cylindrical shells.- AIM Journal, 1966, 8, H 5,p. 495-500.

116. Crimi P. Stability of dynamic systems with periodically varying parameters.- AIAA Journal, 1970, N 10, p. 1760-1764.

117. Duffield R.C., Willems N. Parametric resonance of stiffened rectangular plates.- Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1972,2, p. 217-226.

118. Hsu C.S. On the parametric excitation of a dynamic system having multiple degrees of freedom,- Trans. ASME. J. Appl.

119. Mech., 1963, £0, N 3, p. 367-571.121» Hsu O.S. Further results on parametric excitation of a dynamical system.- Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1965, 12, N 3, P. 573-377.

120. Jons on O.D., Bauld N.R. Dynamic stability of rectangularsandwich plates under pulsating loads.- AIAA Journal, 1968, 6, N II, p. 2205-2208.

121. Krajjcinovic D., Herrmann G. Numerical solution of thedynamic stability problems.- Int. J, for numerical methods in Eng., 1970,2, p. 551-561.

122. Lindth K.G., Likins P.W. Infinite determinant methods for stability analysis of periodic-coefficient differential equations.- AIAA Journal, 1970, 8, N 4, p. 680-686.

123. Massalas C., Dalamangas A,, Trivanidis J. Dynamic instability of truncated conical shells with variable modulus of elasticity under periodic compressive forces.- J. Sound and Vibr., 1981, 22» N 4» p. 5I9-528T

124. Nagai K., Xamaki N. Dynamic stability of circular cylindrical shells under periodic compressive forces.- J. Sound and Vibr., 1978, £8, N 3, p. 425-441,

125. Noah S.T., Hopkins J.R. A generalized Hill's method for the stability analysis of parametrically excited dynamic systems.- Trans. ASME. J. of Appl. Mech., 1982, 4$, N I,p. 217-223.

126. Ostiguy G.L., Evan-Ivanowski R.M. Influence of the aspect ratio on the dynamic stability and nonlinear response of rectangular plates.- Trans. ASME. J. of Mech. Design, 1982, 104. N 2, p. 94-103.

127. Pasic H., Herrmann J. Dynamic shear response of rectangular plates with initial imperfections.- Tras. ASME. J. of Mech.

128. Design, 1980, 102, N p. 769-775.

129. Salama A.M., Chen J.C. On the dynamic stability of multilayer sandwich plates.- J. Struct. Mech., 1973, 2, p. 325-341,

130. Shieh Rong G., Masur E.F. Some general principles of dynamic instability of solid bodies.- ZAMP, 1968, I^, p. 927-941.

131. Takahashi S., Suzuki K., Kosawada Т., Anzai A. Vibrations of cylindrical shells with varying thickness,- Bull, of JSME, 1981, 2£, N 196, p. 1826-1836.

132. Tamura X.S,, Babcock G.D. Dynamic stability of cylindrical shells under step loading.- Trans. ASME. J. of Appl. Mech., 1975, 42, p. 190-194.

133. Tani J. Dynamic instability of truncated conical shells under periodic axial load.- Int. J, of Solids and Struct., 1974, 10, N 3, p. 169-176.

134. Tani J. Dynamic stability of orthotropic annular plates under pulsating torsion.- JASA, 1981, 6^, N 6, p. 1688-1694.

135. Tani J., Doki H. Dynamic stability of orthotropic annular plates under pulsating radial loads.- JASA, 1982, 72, N 3. p. 845-850.137» Tani J., Nakamura T. Dynamic stability of annular plates under periodic radial loads.- JASA, 1978, 64, N 2, p. 827831.

136. Taya M., Ivlura F. Dynamic instability of truncated conical shells under periodic axial loads.- Int. J, of Solids and Struct., 1974, 10, N 2, p. 169-176.

137. Vijayaraghavan A., Evan-Iwanovski H.M. Parametric instability of circular cylindrical shells.- Trans. ASME. J. of Appl. Mech., 1967, 14, N 4, p. 266-272.

138. Yao I.G. Dynamic stability of cylindrical shells under axial and radial loads.- AIAA Journal, 1963, I, N 6, p. 139I-1396.