Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Голиков, Сергей Николаевич

• Голиков, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голиков, Сергей Николаевич

Введение и обзор литературы

Глава 1. Модифицированный метод аппроксимаций

А.А.Ильюшинав линейной теории вязкоупругости

1.1. Общая постановка решения задач линейной теории вязкоупругости методом аппроксимаций А.А.Ильюшина ^

1.2. Вычисление сопряженных ядер релаксации и ползучести для их использования в модифицированном методе аппроксимаций А.А.Ильюшина

1.3. Растяжение вязкоупругого бруса с прямоугольным поперечным сечением

1.4. Задача о полом вязкоупругом цилиндре при действии внутреннего давления

Выводы по содержанию главы

Глава 2. Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов и её идентификация

2.1. Краткие сведения о нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) ^

2.2. Определение ядра релаксации с использованием начального приближения в виде ядер обобщённой модели Максвелла ^

2.3. Определение ядер релаксации из опыта на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций при монотонной и немонотонной зависимостях напряжений от деформаций

2.4. Приближённый метод идентификации функций старения и вязкости

2.5. Использование генетического алгоритма для идентификации нелинейной эндохронной теории 5 \ стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ)

Выводы по содержанию главы

Глава 3. Решение задач нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов с учётом конечных деформаций

3.1. Описание подхода к решению задачи о деформировании вязкоупругого, заключённого в упругую оболочку цилиндра с вырезом типа "мальтийский крест" под действием внутреннего давления

3.2. Определяющие соотношения между истинными напряжениями и логарифмическими мерами деформаций в рамках нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов

3.3. Инкрементальный метод решения задач

3.4. Краткие сведения о методе конечных элементов

3.5. Результаты числовых расчетов

Выводы по содержанию главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов»

Развитие современной техники неразрывно связано с появлением новых материалов, обладающих свойствами, отличающими их от всех ранее известных. Примерами могут служить материалы, изготовленные с использованием нанотехнологий, в которых частицы, имеющие размеры от одного до нескольких десятков нанометров, соединяются тем или иным способом с материалами, структурные размеры которых могут достигать от десятых долей до нескольких миллиметров.

В результате появляются новые материалы с более высокими физико-механическими характеристиками по сравнению с теми, которые имелись у материалов, не соединяемых с наночастицами. Появление таких материалов находит широкое внедрение в новой технике, однако это становится возможным только при более тщательном, чем прежде, изучении свойств уже известных материалов.

Рассматривая в качестве примера практического использования нанотехнологий для изготовления космических отражателей, выводимых на орбиту вокруг Земли, следует отметить, что в них тонкий металлический слой толщиной от 4 до 40 нм наносился ионным напылением на полимерную "подложку" толщиной 0.5 мм. Эта подложка при длительном пребывании в космическом пространстве может получать повреждения, вызванные действием различных термо-силовых факторов. Поэтому вопрос о долговечности отражателей будет зависеть от правильной оценки их прочности при длительной эксплуатации. Следовательно, учёт повреждений подложки и деформирования нанопокрытия приобретает решающее значение.

Из этого примера можно сделать вывод о необходимости тщательного исследования любых современных материалов, предназначенных для применения в технике. В настоящей диссертации основное внимание уделяется разработке новых методов расчёта прочности наполненных полимерных материалов (НПМ), обладающих характерными свойствами, связанными с технологией их изготовления.

НПМ имеют различную структуру, связанную с её фазами: "связующим" и "наполнителем". В качестве связующих обычно выбирают каучукообразные материалы, приклеенные к наполнителям и образующие композит, в общем случае, многофазной структуры.

В представленной работе рассматривается частный случай НПМ, а именно, предполагается, что имеются только две фазы материала: жёсткий, недеформируемый наполнитель, имеющий некоторую кристаллическую форму, и эластичное связующее, склеенное с частицами наполнителя. Деформирование такого НПМ проявляется за счёт деформирования или разрушения связующего, а также за счёт отрыва (нарушения "адгезии") наполнителей от связующего.

Допуская, что все частицы наполнителя имеют близкие характерные размеры и распределены по объёму НПМ равномерно, приходим к имитационной модели реального материала, представляющей собой квазиоднородный и квазиизотропный материал. Это упрощает постановку задачи, но, как будет показано в дальнейшем, оставляет проблему исследования сопротивления подобных материалов достаточно сложной.

Суть задачи, решаемой в диссертации, сводится к следующему: найти и использовать применительно к конкретным примерам новые определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости, позволяющие учитывать физические свойства НПМ, которые выявляются при экспериментальных лабораторных исследованиях НПМ с "пониженной адгезионной прочностью". Последнее соответствует тому, что разрушение таких материалов начинается, главным образом, с отслоения наполнителей от связующего и только затем нарушается "когезионная" прочность, т.е. происходит разрыв связующего.

Практически такое явление начинается в высоконаполненных полимерных материалах, когда объём наполнителя в несколько раз превосходит объём связующего. В настоящее время наиболее подходящей для применения на практике и описания указанных явлений является "нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов" (НЭТСВУМ), получившая теоретическое развитие и экспериментальную проверку в работах Д.Л.Быкова, Д.Н.Коновалова, В.Э.Апетьяна [2]-[4],[6]-[16]. Этой теории предшествовали многие работы в области линейной и нелинейной теорий вязкоупругости отечественных и зарубежных авторов, среди которых наиболее важное значение имеют монографии А.А.Ильюшина и Б.Е.Победри [23], Ю.Н.Работнова [50]-[53], В.В.Москвитина [41]. В этих монографиях была проведена важная с практической точки зрения систематизация опубликованных в нашей стране и за рубежом работ, посвященных развитию теорий термо-вязкоупругости по состоянию на начало 70-х годов прошлого столетия. В последующих статьях указанных авторов, а также их учеников и соратников были развиты идеи, предложенные ранее А.А.Ильюшиным, в том числе эффективный "метод аппроксимаций" для решения задач линейной теории вязкоупругости.

Развитие механики полимерных материалов протекало в тесной связи с созданием экспериментальных установок для проведения опытов, позволяющих уточнять механические характеристики таких материалов. Одновременно с этим совершенствовалась вычислительная техника, расширяющая возможность использования всё более сложных определяющих соотношений, которые могли с высокой точностью описывать результаты экспериментов, имитирующих реальные режимы нагружения конструкций.

Если в 50-е - 70-е годы прошлого века, когда происходило интенсивное развитие линейной теории вязкоупругости, в основном преобладало представление ядер релаксации и ползучести в виде функций времени, содержащих от 2-х до 4-х материальных констант материала, подлежащих экспериментальному определению в конкретных опытах, то уже в конце прошлого столетия и в настоящее время стало широко использоваться представление указанных ядер с помощью сумм большого числа убывающих экспоненциальных функций, позволяющих описывать кривые ползучести и релаксации с погрешностью не более 1%. Наличие численных программ значительно облегчило идентификацию таких функций и, что важно, эти виды представления ядер релаксации и ползучести стали входить в стандартные пакеты для решения задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости.

Это, конечно, не обесценивает ранее предложенные аналитические выражения упомянутых ядер, поскольку всегда можно указать задачи, в которых их использование оправдано практическими соображениями. Но сокращение времени расчётов конструкций из НПМ, достигаемое применением отрезков рядов Прони и других комбинаций из убывающих экспоненциальных функций, заставляет во многих задачах отдавать предпочтение последним.

Отметим ещё одну важную особенность использования экспоненциальных функций. Как отмечалось, суммы таких функций могут достигать 20-40 слагаемых, то есть, иметь до 80 неизвестных констант для аппроксимации неизвестных зависимостей, используемых в определяющих соотношениях. Было бы ошибкой считать, что в такой точности аппроксимации нет необходимости, из-за того, что в реальных материалах могут быть разбросы механических характеристик, превышающие значения 10%. В действительности, большое количество материальных констант требуется для другой более важной цели. А именно, это нужно для того, чтобы записывать представления "универсальных", т.е. пригодных для одновременного описания различных опытов, характеристик, из которых можно находить ядра релаксации и ползучести. При малом числе констант из каждого опыта, описывающего конкретный деформационный процесс, будут находиться конкретные варианты представления ядер релаксации и ползучести, что исключает надёжные расчёты конструкций, в которых заранее не известны последовательности деформационных процессов.

Из этого следует важный вывод о полезности и необходимости представления ядер с помощью большого числа убывающих экспоненциальных функций.

Имея достаточно большое число произвольных констант, входящих в отрезки рядов Прони, можно добиться хорошей аппроксимации результатов не одного, а нескольких опытов (например, проводимых с различными постоянными значениями скоростей деформаций). Это позволяет в рамках линейной теории вязкоупругости добиваться обоснованного использования линейной теории при сложном режиме нагружения, меняющем скорости деформаций в заданном интервале их изменения, соответствующем проведённым лабораторным опытам. Таким образом, при увеличении числа слагаемых в отрезках рядов Прони, удаётся находить ядра релаксации и ползучести, более пригодные для расчёта реальных конструкций, когда реализуются изменяющиеся скорости деформаций.

Следует заметить, что ранее в работе А.К.Малмейстера [40] была реализована идея о получении для железобетонной конструкции ядра ползучести, пригодного для одновременного описания деформационного процесса при постоянном растяжении и при циклическом нагружении. Это удалось сделать благодаря введению не одного, а двух собственных времён ползучести, что является частным случаем изложенного выше метода увеличения числа неизвестных констант (на примере отрезков рядов Прони) для расширенного описания одновременно различных деформационных процессов.

В монографии "Методы прикладной вязкоупругости" [1] указан другой метод описания ядер ползучести и релаксации при одновременной реализации различных режимов нагружения. При этом аналитические представления ядер не сводились к отрезкам рядов Прони, а брались в виде других ранее известных функций времени (в частности, в виде ядра М.А.Колтунова [29,31]). В этом случае использовались также "усреднённые" ядра, которые для конкретных видов испытаний давали вполне удовлетворительное согласование с данными экспериментов.

Изложенные выше замечания нашли отражение в настоящей диссертации при идентификации механических характеристик, как в линейной, так и в нелинейной теории вязкоупругости, когда потребовалось определять большое число неизвестных материальных констант. При решении линейных задач в Главе 1 использовалось от 9 до 17 неизвестных констант, входящих в ядра релаксации и ползучести. В НЭТСВУМ (Главы 2 и 3) использовалось 17 констант. При этом в нелинейной теории константы входили не только в отрезки рядов Прони, как бывает в линейной теории вязкоупругости, но и в экспоненциальные функции, зависящие от деформированного состояния материала и удельной поглощённой энергии, отражающей необратимое изменение внутренней структуры материала, т.е. её повреждённость.

Необходимо также заметить, что в линейной теории вязкоупругости нахождение неизвестных констант достигалось стандартными методами итераций (из-за того, что константы брались не только в виде множителей перед экспоненциальными функциями, но и входили в показатели экспонент, что делало уравнения трансцендентными). В нелинейной теории приходилось применять метод "Генетического алгоритма" (ГА) [5,28,64,66], который оказывался более эффективным именно при большом числе неизвестных констант, вводимых множителями при неизвестных характеристиках деформированного состояния материала.

Помимо этого, значительное число констант может требоваться также при решении задач линейной теории вязкоупругости методом аппроксимаций А.А.Ильюшина [23]. В Главе 1 диссертации описывается модифицированный метод аппроксимаций А.А.Ильюшина, суть которого заключается в том, что ядра релаксации и ползучести должны определяться при одном и том же процессе нагружения. Например, если ядро релаксации определяется из опыта на релаксацию, то и ядро ползучести так же должно определяться из этого опыта на релаксацию, а не из опыта на ползучесть, как это проводилось в течение долгого времени. Такая необходимость возникает потому, что для материалов с "низкой адгезионной прочностью" механические характеристики (в частности, ядра релаксации и ползучести) не являются универсальными, они отличаются, например, в опытах на релаксацию и ползучесть. И поскольку в методе аппроксимаций требуется, чтобы в пространстве Лапласа-Карсона произведение изображений ядер релаксации и ползучести было равно единице, то необходимо, чтобы при истинном времени связь между ядрами релаксации и ползучести подчинялась уравнению Больцмана-Вольтерра в прямом и обратном представлении напряжений и деформаций. Очевидно, что при этом представлении речь идёт об одном и том же деформационном процессе, следовательно, ядро ползучести должно находиться при том же деформационном процессе, что и ядро релаксации.

То обстоятельство, что во многих публикациях прежних лет на указанное уточнение не обращалось внимания, говорит о том, что, очевидно, прежде в большинстве опытов не исследовалась универсальность ядер ползучести и релаксации. Необходимость в этом появилась только с появлением материалов с низкой адгезионной прочностью. Такие материалы создаются не только для того, чтобы составляющий их композит сохранял прочность, но, помимо этого, и для того, чтобы изготовленный материал удовлетворял требованиям по регулируемой теплопередаче.

Поскольку ядра релаксации и ползучести вначале находятся в виде экспериментальных кривых, а затем после аппроксимации последних приобретают аналитическое представление, то для получения высокой точности аппроксимаций необходимо использовать значительное число экспонент с соответствующим числом констант. Кроме того, ясна необходимость применения численного расчёта для определения ядра релаксации через ядро ползучести и наоборот, так как прямым экспериментальным методом из одного и того же опыта трудно одновременно найти оба ядра. Из изложенного следует, что для нахождения двух ядер, соответствующих одному опыту, необходимо в каждом из них использовать большое число констант для их идентификации.

Также в первой главе диссертации решены задачи, во-первых, о растяжении вязкоупругого бруса с прямоугольным поперечным сечением и, во-вторых, о действии постоянного внутреннего давления на полый вязкоупругий цилиндр, заключённый в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест". Первая задача является тестовой и позволяет сравнить полученное решение с решениями, полученными по методу конечных элементов (МКЭ) с использованием инкрементальных соотношений линейной теории вязкоупругости, а также с аналитическим решением. Решение второй задачи даёт результат, совпадающий, с достаточной точностью, с решением задачи по МКЭ при условии малых деформаций в конструкции.

Во второй главе диссертации приведены основные соотношения

НЭТСВУМ. Указаны составляющие удельной работы внутренних сил. Далее представлены несколько способов идентификации основных параметров, входящих в определяющие соотношения НЭТСВУМ.

Первый способ заключается в последовательном нахождении параметров. Вначале из опыта на релаксацию находятся коэффициенты ядра релаксации, затем, из опытов на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций, в которых присутствует немонотонная зависимость напряжений от деформаций, последовательными приближениями находятся параметры функций вязкости и функций старения.

Второй способ заключается в аппроксимации опытов на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций соотношениями линейной теории вязкоупругости. Важно отметить, что для данного опыта можно получить хороший результат, если считать, что часть коэффициентов, входящих в ядро релаксации, могут быть отрицательными.

Третий способ заключается в параллельном нахождении параметров при использовании метода ГА. Основной проблемой такого расчёта является указание областей поиска параметров. Границы этих областей находились итерационными методами. Так, области сначала задавались приближённо и, если для какого-либо параметра значение, реализующее минимум функции квадратичного отклонения, достигало границы, то последняя расширялась. После этого расчёты продолжались до тех пор, пока все искомые параметры не оказывались внутри соответствующей области.

В третьей главе диссертации рассматривается обобщение НЭТСВУМ на случай конечных деформаций. Модель описывается системой соотношений инкрементального типа. Последовательность вывода этих соотношений включает три этапа. На первом этапе делается допущение о "вмороженности" главных направлений тензора истинных напряжений в материал частицы, и формулируются три скалярных соотношения связи наследственного типа между главными истинными напряжениями и логарифмическими деформациями. Форма этих соотношений аналогична форме соотношений эндохронной теории. На втором этапе выводятся скалярные соотношения инкрементального типа, основанные на допущении о постоянстве скоростей логарифмических деформаций и скоростей изменения приведённых времён на интервале времени . На третьем этапе инкрементальные соотношения формулируются в тензорном виде и обобщаются на случай произвольной истории деформирования материальной частицы.

С использованием данного алгоритма решены задачи о толстостенной вязкоупругой трубе, заключённой в тонкую упругую оболочку. В первой задаче внутренний радиус подвержен осесимметричному расширению с постоянной радиальной скоростью, во второй задаче цилиндр подвержен постоянному внутреннему давлению. Обе задачи решаются с помощью как линейной, так и нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов. Также решаются задачи о действии внутреннего давления на стареющий вязкоупругий цилиндр, заключённый в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест". Даётся сравнение решений геометрически линейной, но физически нелинейной задачи, а также задачи как геометрически нелинейной (с логарифмической мерой деформации), так и физически нелинейной задачи.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Цель работы. Целью работы является исследование и разработка методов идентификации НЭТСВУМ, а также расчёт конструкций из НПМ с учётом конечных деформаций.

Для достижения этой цели предстояло решить следующие задачи:

1. Вычислить сопряжённые ядра релаксации и ползучести с целью их использования в модифицированном методе аппроксимаций;

2. Провести идентификацию НЭТСВУМ различными методами, в том числе и методом генетического алгоритма;

3. Вывести инкрементальные соотношения НЭТСВУМ для расчёта конструкций методом конечных элементов;

4. Произвести расчёт конструкций из НПМ модифицированном методом аппроксимаций А.А.Ильюшина и методом конечных элементов при малых деформациях;

5. Произвести расчёт конструкций из НПМ методом конечных элементов при учёте физической и геометрической нелинейности материала.

Научная новизна работы. В диссертации предложена модификация метода аппроксимаций А.А.Ипьюшина, заключающаяся в специальном выборе ядер релаксации и ползучести, отвечающих постановке решаемой задачи линейной теории вязкоупругости. При идентификации НЭТСВУМ использован метод «генетического алгоритма», для которого указаны области допустимого изменения 16-ти неизвестных механических параметров ядер релаксации. Используя инкрементальные представления соотношений НЭТСВУМ и логарифмические меры деформаций, впервые произведён расчёт неосесимметричного плоского деформирования вязкоупругого цилиндра, имеющего внутренний вырез типа "мальтийский крест" и заключённого в упругую оболочку, при действии внутреннего давления с учётом физической и геометрической нелинейности материала.

Достоверность основных положений и выводов базируется на физической и математической корректности постановки решаемых задач, использовании апробированных численных методов расчёта систем инкрементальных уравнений и сопоставлении найденных решений, полученных разными методами. Физическая корректность подтверждается хорошим совпадением результатов расчётов, проведённых ранее в рамках НЭТСВУМ, с данными многочисленных экспериментов, включая случаи использования логарифмических мер деформаций. Математическая корректность подтверждается применением широко известного метода конечных элементов, анализом полученных решений и их сопоставлением при использовании различных методов расчёта.

Научно-практическая значимость работы. Диссертация посвящена решению практических задач современной техники, связанных с обеспечением прочности конструкций, сделанных из наполненных полимеров с низкой адгезионной прочностью. Их особенность состоит в зависимости ядер релаксации и ползучести от конкретных деформационных процессов уже при малых деформациях, то есть неуниверсальности механических характеристик. Кроме того, низкая адгезионная прочность приводит к необходимости одновременно учитывать физическую и геометрическую нелинейность материала. В диссертации предложены методы учёта указанных особенностей: применительно к линейной теории вязкоупругости - на основе модифицированного метода аппроксимаций А.А.Ильюшина, а применительно к нелинейной эндохроной теории стареющих вязкоупругих материалов - на основе инкрементального метода численного интегрирования НЭТСВУМ с использованием логарифмических мер деформаций.

Разработанные в диссертации методы позволяют найти практические применения для прогнозирования прочности конструкций из НПМ.

Расчетом задач методами НЭТСВУМ можно получить не только напряжённо-деформированные состояния, позволяющие при известных критериях разрушения судить о несущей способности конструкций, но и рекомендации технологам по совершенствованию материалов из наполненных полимеров, исходя из анализа их повреждённости в процессах нагружения.

Апробация и внедрение результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва 2005-2008 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ под руководством проф. И.А.Кийко (20042009 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Б.Е.Победря.

Некоторые из основных результатов диссертации получили внедрение в производственную практику предприятия ФГУП "ФЦДТ "Союз".

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Голиков, Сергей Николаевич

5. Выводы. Показано, что зона максимума повреждённости конструкции с вырезом типа "мальтийский крест", в котором достигается максимум повреждённости материала, совпадает с зонами максимума значений напряжений и деформаций.

Рекомендации. При расчётах конструкций из наполненных полимерных материалов, имеющих зоны концентрации напряжений, рекомендуется вычислять значения максимальных величин удельной рассеянной энергии и удельной поглощённой энергии, указывающих на зоны максимальной повреждённости конструкций. Проведённые в диссертации расчёты показали, что эти зоны совпадают с зонами максимальных значений напряжений и деформаций.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голиков, Сергей Николаевич, 2009 год

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. «Методы прикладной вязкоупругости». Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411с.

2. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Определение нелинейных вязкоупругих характеристик наполненных полимерных материалов // Космонавтика и ракетостроение. 2002. №3(28). С. 202-214.

3. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Анализ немонотонной зависимости напряжений от деформаций в вязкоупругих материалах. // Изв. РАН. МТТ. 2004. №4. С. 106-115.

4. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Структурно-энергетический анализ одноосного напряжённо-деформированного состояния при сжатии и разгрузке вязкоэластичного материала. //Изв. АН. МТТ. 2005. №6. с.63-76.

5. Батищев Д.И. «Генетические алгоритмы решения экстремальных задач» Учебное пособие Воронеж, 1995.

6. Быков Д.Л. Об использовании результатов вспомогательных экспериментов при решении задач линейной теории вязкоупругости // Механика полимеров. 1968. №6. С.963-969.

7. Быков Д.Л. Использование структурных составляющих удельной работы внутренних сил для описания сопротивления вязкоупругих материалов // Изв. АН. МТТ. 2003. №3. С. 99-111.

8. Быков Д.Л. Метод структурно-энергетического анализа напряжённо-деформированного состояния вязкоупругих материалов // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. 2006. с. 59-62.

9. Быков Д.Л. Об учёте повреждённости в наполненных полимерных материалах // Изв. АН. МТТ. 1998. №1. С. 19-28.

10. Ю.Быков Д.Л. Голиков С.Н. Плоская неосесимметричная деформация вязкоупругого цилиндра с учётом его физической и геометрической нелинейности // Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2009 №6 С.41-45.

11. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов // Изв. АН. МТТ. 2002. №4. С. 63-76.

12. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Определение материальных функций нелинейной теории термовязкоупругости с использованием её иерархической структуры //Изв. АН. МТТ. 1999. №5. С. 189-205.

13. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Расчётная оценка влияния повреждённости твёрдых топлив на прочность изготавливаемых из них зарядов ракетных двигателей // Ракетостроение и космонавтика. 1999. № 16. С. 82-91.

14. Быков Д. Л., Коновалов Д.Н. Эндохронная модель механического поведения стареющих вязкоупругих материалов при конечных деформациях. //Изв. РАН. МТТ. 2006.№6. С.136-148.

15. Бровко Г.Л., Ткаченко Л.В. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. - № 4. - С.45-49.

16. Грин А., Адкинс Дж. «Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды». М: Мир, 1965, 445 с.

17. Диткин В.А., Прудников А. Л. Справочник по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965.

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

19. Ильюшин A.A. «Метод аппроксимаций для расчёта конструкций по линейной теории термовязко-упругости» // Механика полимеров. 1968. №2. С.210-221.

20. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978, 287 с.

21. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. «Основы математической теории термовязко-упругости» Мысль 1970г., 280с.

22. Каплун А.Б. Морозов Е.М. Олферьева М.А. «Ansys в руках инженера» М.: Едиториал УРСС, 2004. 272с.

23. Качанов JI. М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31

24. Качанов JI. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

25. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения, 1989.

26. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Таганрог: ТРТУ, 1998. 241 с.

27. Колтунов A.A. Определяющие функции метода аппроксимаций // Механика полимеров. 1970. №4. С.622-632.

28. Колтунов A.A. «Некоторые зависимости между определяющими функциями и константами вязкоупругих сред». // Механика полимеров. 1973 №5. С.810-814.

29. Колтунов A.A. «К вопросу выбора ядер при решении задач с учётом ползучести и релаксации». // Механика полимеров. 1966. №2. С.483-497.

30. Колтунов A.A., Колтунов М.А. «Переходные функции метода аппроксимаций Ильюшина» // Механика полимеров. 1973. №3. С.405-428.

31. Колтунов М.А. «Ползучесть и релаксация». М.: Высшая школа, 1976. 277с.

32. Колтунов М.А., Майборода В.П., «Зубчанинов В.Г. Прочностные расчёты изделий из полимерных материалов». М.Машиностроение. 1983. 239 с.

33. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. «Метод аппроксимаций Ильюшина в применении к средам с нестабильными свойствами». // Механика полимеров. 1970. №3 С.411-419.

34. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука. 1999. — 224 с.

35. Лурье А.И. «Нелинейная теория упругости» Наука М., 1980, 512с.

36. Лурье А.И. «Теория упругости» Наука М., 1970, 940с.

37. Матвеенко В.П. О методе решения задачи сопряжения двух вязкоупругих тел в виде ряда по степеням оператора Вольтера // Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985 С.7-13.

38. Малмейстер А. К, Тамуж В. П., Тетере Т. А. «Сопротивление жестких полимерных материалов» Рига, Зинатне, 1972. 498 с.

39. Москвитин В.В. «Сопротивление вязкоупругих материалов», М., Наука 1972, 328стр.

40. Мусхелишвили Н.И. «Некоторые основные задачи математической теории упругости», 1966, 707с.

41. Новацкий В.К. «Теория упругости», М. Мир 1975, 875с.

42. Новожилов В.В. «Основы нелинейной теории упругости», М.: Гостехиздат, 1948.45.0ден Дж. «Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред», М. Мир 1976, 465с.46.0гибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. «Механика полимеров», Изд-воМГУ, 1975,528с.

43. Победря Б.Е. «Численные методы в теории упругости и пластичности», Издательство Московского Университета 1995г, 336с.

44. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости // М. Эдиториал УРССД999 204с.

45. Работнов Ю. Н. «Введение в механику разрушения», М.: Наука, 1987. 80 с.

46. Работнов Ю.Н. «Механика деформируемого твердого тела», М.: Наука 1988, 712с.

47. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5-7.

48. Работнов Ю.Н. «Ползучесть элементов конструкций», М.: Наука, 1966 752с.

49. Работнов Ю.Н. «Элементы наследственной механики твёрдых тел», М.: Наука, 1977. 383с.

50. Седов Л.И. «Механика сплошной среды», Том 1,2 Наука 1970, 492+568стр

51. Трусделл К. «Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред», М. Мир 1975, 592 стр.

52. Тимошенко С.П. «Сопротивление материалов», Государственное издательство физ-мат литературы М.1960, т1(368),т2().

53. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. «Теория упругости», М. Наука 1975, 576с

54. Шарафутдинов Г. 3. «Фотовязкоупругость», М.: Изд-во МГУ, 1987. 199с.

55. Шердаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. «Метод геометрического погружения в задачах теории упругости», Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 298с.

56. Bonet J. «Large strain viscoelastic constitutive models». // International Jornal of Solids and Structures 38, 2001 ,P.2953-2968.

57. Bykov D.L. «Modeling damage accumulation in filled polymers». // Fatigue and Fracture of Eng. Materials and Structures. 1999. V. 22. № 11. P. 981-988.

58. Drozdov A. «Viscoelastic structures: mechanics of growth and aging». // ademic Press, San Diego, 1998, 596p.

59. Ferry J.D., «Viscoelastic Properties of Polymers», New York 1961.

60. Goldberd David E. «Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning». Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1989, 412p.

61. Janajreh I., Heller R.A., Thangjitham S. «Safety Index Approach to Predicting the Storage Life of Rocket Motors». // Journal of Spacecraft and Rockets. 1994 V.31. №6. P. 1072-1078.

62. Holland John H., «Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Application to Biology, Control, and Artificial Intelligence». University of Michigan, 1975. P. 183.

63. Lockett F.J. «Nonlinear Viscoelastic Solids». L.; N.Y.:Acad Press, 1972. 195p.

64. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. № 11. P. 582-592.

65. Polak E. «Optimization: Algoritms and Consistent Approximations». N.Y.: Springer-Verlag, 1997. 779p.

66. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. P. 459-508.

67. Tanner R.J. «From A to (BK)Z in constitutive relations» // J.Rheology.l988.V.32 №7.P.673-702.

68. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 1. «The finite element method. The basis», 2000, 707p

69. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 2. «The finite element method. Solid mechanics», 2000, 479p

70. Zienkiewicz O. C., «The Finite Element Method in Engineering Science», McGraw-Hill, London, 1971;

71. Van der Vegt A.K. «From Polymers to Plastics», Delft University Press, 1999, p.240.

72. Yang L.M., Shim V.P.W., Lim C.T. «A visco-hyperelastic approach to modeling the constitutive behavior of rubber» // Intern.J. Impact Engineering.2000.V.24. P.545-560.