Идентификация материальных функций нелинейных теорий вязкоупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Стеценко Нина Сергеевна

• Стеценко Нина Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Стеценко Нина Сергеевна

1.2.6 Выводы к главе

Глава 2. Анализ свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях на базе нелинейных определяющих соотношений вязкоупругости Б. Е. Победри

2.1 Материальные функции нелинейных определяющих со-

отношений вязкоупругости Б. Е. Победри

2.1.1 Общие нелинейные соотношения вязкоупругости в кратно-

интегральной форме

2.1.2 Материальные функции нелинейных определяющих соот-

ношений вязкоупругости Б. Е. Победри и ограничения на них. Критерий применимости данных соотношений для описания испытаний на ползучесть

2.1.3 Кривые ползучести при постоянном нагружении нелиней-

ных определяющих соотношений вязкоупругости Б. Е. Победри и их сравнение с кривыми ползучести линейной теории вязкоупругости

2.1.4 Кривые обратной ползучести

2.2 Исследование теоретических кривых ползучести нели-

нейных определяющих соотношений Б. Е. Победри при ступенчатых нагружениях

2.2.1 Кривые ползучести при ступенчатых нагружениях

2.2.2 Влияние предыстории на скачки упругой деформации

2.2.3 Асимптотические свойства кривых ползучести при ступен-

чатых нагружениях

2.3 Исследование теоретических кривых ползучести нели-

нейных определяющих соотношений Б. Е. Победри при импульсных циклических нагружениях

2.3.1 Свойства кривых ползучести нелинейных соотношений вяз-

коупругости Б. Е. Победри при циклических нагружениях

2.3.2 Выводы к главе

Глава 3. Определение свойств линейных и нелинейных вязко-упругих материалов из различных типов экспериментов 86 3.1 Идентификация функций релаксации линейно вязко-упругих материалов из экспериментов на релаксацию с двухступенчатым процессом деформации

3.1.1 Классический способ определения функции релаксации

для линейно вязкоупругого тела

3.1.2 Идентификация функции релаксации из идеального двух-

ступенчатого теста. Метод обратной рекурсии

3.1.3 Идентификация функции релаксации из неидеального двух-

ступенчатого теста

3.1.4 Использование обобщенной модели Максвелла

3.1.5 Сравнение предложенных методов определения функции

релаксации из экспериментов с двухступенчатым процессом деформации

3.1.6 Теоретическое исследование выполнения «правила 10 ¿0» . 93 3.2 Идентификация функций ползучести вязкоупругих материалов с использованием определяющего соотношения Ю. Н. Работнова

3.2.1 Классический способ определения функции релаксации

для линейно вязкоупругого тела

3.2.2 Методика идентификации материальных функций опреде-

ляющих соотношений Ю. Н. Работнова по кривым ползучести при мгновенном нагружении

3.2.3 Экспериментальные данные полиэтилена и идентифика-

ция материальных функций соотношений Ю. Н. Работ-нова по ним

3.2.4 Верификация материальных функций по данным испыта-

ний полиэтилена

3.2.5 Идентификация материальных функций по данным испы-

таний полипропилена

3.2.6 Выводы к главе

Заключение

Литература

Введение

Диссертация посвящена исследованию нескольких нелинейных вязкоупругих моделей. В рамках их изучения показана возможность качественного описания различных нелинейных явлений, наблюдаемых в экспериментах. К ним относятся ортогональные эффекты при конечных деформациях твердых и жидких реономных сред; проявления неньютоновской вязкости (псевдопластичность и extensional thickening); наличие третьей (ускоряющейся) стадии ползучести; явления, связанные с ползучестью при переменных нагружени-ях.

С целью построения определяющих соотношений при конечных деформациях в работе рассматривается метод, обобщающий элементарную модель Максвелла и использующий однопараметрическое семейство объективных производных Гордона-Шоуолтера. На базе таких соотношений получены аналитические решения задач о простом сдвиге, сдвиговых колебаниях, задаваемых пилообразной функцией, одноосном растяжении и сжатии вязкоупругой среды. Показано, что построенная нелинейная вязкоупругая модель при конечных деформациях для различных параметров модели качественно описывает ненулевую разность нормальных напряжений (normal stress differences), что соответствует эффекту Вейссенберга для некоторых неньютоновских вязких жидкостей и эффекту Пойнтинга для деформируемых твердых тел; явление псевдопластичности (shear thinning) - уменьшение сдвиговой вязкости как функции скорости сдвига; явление объемного утолщения (extensional thickening) - увеличение продольной вязкости как функции кратности растяжения. Модель демонстрирует различные значения вязкости при одноосном растяжении и сжатии, что также характеризует неньютоновское поведение среды. Полученные аналитические решения упомянутых выше задач существенно зависят от параметров модели и параметра производной. Это говорит о более широком спектре возможностей описания поведения материалов исследуемой моделью по сравнению с определяющими соотношениями, априори фиксирующими выбор объективной производной. Кроме того, параметр производной может быть интерпретирован как параметр модели.

Исходя из требований корректности описания базовых типов испытаний (ползучести и обратной ползучести) для одномерного случая нелинейных со-

отношений вязкоупругости Б.Е. Победри сформулированы ограничения на материальные функции. Получена интегральная связь между материальными функциями для определяющих соотношений, записанных в форме интегралов Стилтьеса. Сформулирован критерий применимости рассматриваемой модели к описанию испытаний на ползучесть. С учетом выведенных ограничений на материальные функции исследованы свойства кривых ползучести при ступенчатых и циклических нагружениях, получающихся на базе нелинейных определяющих соотношений Б.Е. Победри. Показано, что рассматриваемые соотношения позволяют моделировать эффект влияния предыстории ползучести на скачки упругой деформации при ступенчатых нагружениях. Исследованы асимптотические свойства теоретических кривых ползучести при ступенчатых нагружениях. Аналитически получено, что при циклических импульсных нагружениях с одинаковыми интервалами нагрузки и ее отсутствия нелинейные соотношения вязкоупругости Б.Е. Победри описывают явление интенсификации ползучести по сравнению с ползучестью при среднем напряжении цикла.

Для нелинейных определяющих соотношений вязкоупругости Ю.Н. Работ-нова сформулирована уточненная процедура идентификации материальных функций из экспериментов на ползучесть. Она составлена на базе классического метода, предложенного Ю.Н. Работновым и его соавторами. Введена количественная оценка подобия изохронных кривых ползучести, что отвечает за необходимое условие применимости этих соотношений для описания поведения материалов. Модифицированная процедура идентификации применена к данным испытаний полиэтилена и полипропилена, причем для полиэтилена проведена также и верификация найденных материальных функций в опытах на ползучесть при мгновенном нагружении для уровней нагружения, не участвовавших в идентификации, для эксперимента на ступенчатое нагру-жение, для опытов при постоянной скорости нагружения. Для приведенных материалов обнаружено адекватное прогнозирование данных испытаний.

Кроме того, рассмотрен вопрос определения материальных функций линейно вязкоупругих сред из экспериментов с двухступенчатыми процессами деформации. Такие процессы более реалистичны, чем классические испытания, предполагающие мгновенное нагружение, поэтому задача идентификации из двухступенчатых процессов является актуальной для анализа. В работе приведены и сравнены несколько методик определения функции релаксации из экспериментов с двухступенчатым процессом деформации. Исследовано распространенное предположение о выполнении "правила 10to".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация материальных функций нелинейных теорий вязкоупругости»

Актуальность темы

Одной из центральных задач механики деформируемого твердого тела явля-

ется построение определяющих соотношений, описывающих поведение конструкционных материалов и обеспечивающих надежное моделирование их свойств. Анализ аппарата определяющих соотношений, определение и уточнение области их применимости, формулирование необходимых ограничений, накладываемых на материальные функции, остается актуальным и важным вопросом не только для фундаментальной науки, но и для инженерных приложений, материаловедения, диагностики и испытания элементов конструкций.

Цели и задачи работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование возможностей аппарата нескольких нелинейных моделей вязкоупругости; выявление области их корректного применения; получение условий на параметры модели и материальные функции, при которых качественно описываются различные нелинейные эффекты, наблюдаемые в экспериментах.

Научная новизна

1. Для определяющих соотношений вязкоупругости, построенных путем обобщения элементарной модели Максвелла с использованием семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера, аналитически получены решения задач о простом сдвиге, сдвиговых колебаниях, задаваемых пилообразной функцией, одноосном растяжении и сжатии вязкоупругой среды при конечных деформациях.

2. Сформулированы необходимые ограничения на материальные функции нелинейных соотношений вязкоупругости Б.Е. Победри, исследованы возможности моделирования этими соотношениями экспериментов на ползучесть, обратную ползучесть, ползучесть при ступенчатых и циклических нагружениях, изучены асимптотические свойства теоретических кривых ползучести при ступенчатых нагружениях.

3. Уточнена и апробирована модифицированная процедура идентификации материальных функций нелинейных соотношений вязкоупругости Ю.Н. Работнова из экспериментов на ползучесть, позволяющая избежать нахождение материальных функций на базе начальных участков кривых ползучести, которые зачастую регистрируются с большой погрешностью.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение.

1. Полученные в работе аналитические решения для задач простого сдвига, одноосного растяжения и сжатия, сдвиговых колебаний вязкоупругой среды при конечных деформациях имеют большое теоретическое значение, т. к. конкретизируют область возможного применения построенной модели и освещают те нелинейные эффекты при конечных деформациях, которые она может качественно описать. Кроме того, существенная зависимость найденных решений от параметров модели (по сравнению с другими обобщениями элементарной модели Максвелла) расширяет возможности наилучшего выбора модельных параметров для описания поведения каждого конкретного исследуемого материала.

2. Выведенные условия на материальные функции и исследованные свойства нелинейных определяющих соотношений вязкоупругости Б.Е. По-бедри непосредственно влияют на область корректного применения этих соотношений в моделировании испытаний материалов.

Методология диссертационного исследования

В первой главе работы для получения математической модели вязкоупругой среды при конечных деформациях было построено обобщение элементарной модели Максвелла. Применен метод, согласно которому известное определяющее соотношение при малых деформациях переписывается в терминах объективных тензорных мер напряжений и деформаций. Построенное таким образом определяющее соотношение удовлетворяет принципу материальной независимости от системы отсчета.

Рассматривается три вида кинематических соотношений, для которых определяется напряженное состояние среды на базе построенной вязкоупругой модели при конечных деформациях. Для аналитического решения этих задач используется метод из теории дифференциальных уравнений.

При получении теоретических результатов второй главы работы были использованы теоремы математического и функционального анализа, теории интегральных уравнений. Вывод ограничений на материальные функции нелинейных определяющих соотношений Б.Е. Победри основан на обеспечении физической корректности описания экспериментов на ползучесть и обратную ползучесть. Для иллюстрации возможности моделирования испытаний на ползучесть в области нелинейного поведения материала в диссертации проведено моделирование кривых ползучести дуралюмина Д16Т. Для анализа свойств кривых ползучести при переменных нагружениях использованы классические методы математического анализа.

Уточнение процедуры идентификации материальных функций нелиней-

ных определяющих соотношений Ю.Н. Работнова из серии кривых ползучести осуществлено на базе традиционного способа, предложенного самим Ю.Н. Работновым и его соавторами. Количественная оценка подобия изохронных кривых введена согласно базовым понятиям анализа и теории ползучести.

Сравнение методов определения функций релаксации из экспериментов с двухступенчатым процессом деформации осуществлен на основе сравнения результатов их применения к данным, приведенным в литературе.

Новые научные результаты

1. Построено обобщение элементарной модели Максвелла с использованием семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера на случай конечных деформаций.

2. Получены аналитические решения задач о простом сдвиге, сдвиговых колебаниях, задаваемых пилообразной функцией, одноосном растяжении и сжатии исследуемой модели вязкоупругой среды при конечных деформациях.

3. Установлены условия на параметры рассматриваемой модели, при которых качественно описываются ортогональные эффекты твердых и жидких реономных сред.

4. Показана возможность моделирования явлений, связанных с неньютоновской вязкостью при простом сдвиге и одноосном растяжении (псевдопластичность и extensional thickening).

5. Установлена интегральная связь между материальными функциями, соответствующими форме определяющих соотношений Б.Е. Победри в виде интегралов Стилтьеса.

6. Сформулированы необходимые ограничения на материальные функции нелинейных соотношений вязкоупругости Б.Е. Победри в одномерном случае.

7. Исследованы возможности моделирования нелинейными соотношениями Б.Е. Победри экспериментов на ползучесть, обратную ползучесть, ползучесть при ступенчатых и циклических нагружениях, изучены асимптотические свойства теоретических кривых ползучести при ступенчатых нагружениях.

8. Уточнена и апробирована модифицированная процедура идентификации материальных функций нелинейных соотношений вязкоупругости

Ю.Н. Работнова из экспериментов на ползучесть, позволяющая избежать нахождение материальных функций на базе начальных участков кривых ползучести, которые нередко ненадежны.

9. Сравнены методы идентификации функции релаксации из экспериментов с двухступенчатым процессом деформации, обсуждаемые в литературе. Показано, что распространенное "правило 10to" может иметь значительную погрешность, на основании чего даны рекомендации по выбору метода определения функции релаксации из экспериментов с двухступенчатым процессом деформации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Максвелловская модель, использующая однопараметрическое семейство объективных производных Гордона-Шоуолтера, качественно описывает ортогональные эффекты реономных сред при конечных деформациях, явления псевдопластичности и extensional thickening при установленных ограничениях на параметры модели.

2. С помощью определяющих соотношений вязкоупругости Б.Е. Победри возможно качественное моделирование явлений ползучести при переменных нагружениях (влияния предыстории на скачки мгновенно упругой деформации, интенсификации ползучести по сравнению с ползучестью при среднем нагружении цикла и др.).

3. Уточненная процедура идентификации материальных функций нелинейного определяющего соотношения Ю.Н. Работнова из серии кривых ползучести позволяет определять материальные функции без установления зоны линейного поведения материала и без использования данных начальных этапов кривых ползучести, которые зачастую имеют недостоверный характер.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Максвелловская модель, использующая однопараметрическое семейство объективных производных Гордона-Шоуолтера, качественно описывает ортогональные эффекты реономных сред при конечных деформациях, явления псевдопластичности и extensional thickening при установленных ограничениях на параметры модели.

2. С помощью определяющих соотношений вязкоупругости Б.Е. Победри возможно качественное моделирование явлений ползучести при переменных нагружениях (влияние предыстории на скачки мгновенно упругой деформации, интенсификации ползучести по сравнению с ползучестью при среднем нагружении цикла и др.).

3. Уточненная процедура идентификации материальных функций нелинейного определяющего соотношения Ю.Н. Работнова из серии кривых ползучести позволяет определять материальные функции без установления зоны линейного поведения материала и без использования данных начальных этапов испытаний кривых ползучести, которые зачастую имеют недостоверный характер.

Достоверность

Положения, выносимые на защиту, и качественные выводы работы обоснованы строгими математическими методами, взятыми из математического и функционального анализа, теории дифференциальных уравнений. Достоверность полученных результатов количественно и качественно подтверждается при апробации, а также при сравнении с признанными результатами других авторов.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар имени А.А. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского (2016, 2017, 2018, 2019, 2020 г.г.;

аспирантский семинар семинар имени Б.Е.Победри кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. В.И. Горбачева (2020 г.)

научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф., члена-корр. РАН Е.В. Ломакина (2020 г.)

научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

под руководством д.ф.-м.н., проф., академика РАН Р.И. Нигматулина (2020 г.)

научно-исследовательский семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского, д.ф.-м.н., проф. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова (2015, 2019 г.)

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2017», «Ломоносов - 2018», «Ломоносов - 2019».

7th International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (2018 г.)

Всероссийская научно-техническая конференция «Студенческая научная весна» в МГТУ им. Баумана (2017, 2019 г.}

Гагаринские чтения - 2018: XLIV Международная молодёжная научная конференция (2018 г.}

Научная конференция «Ломоносовские чтения» (2018, 2019 г.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертационного исследования представлены в пяти научных публикациях [132, 133, 187 - 189], в том числе в трех статьях рецензируемых научных изданий, индексируемых в базах данных Web of Science, Scopus и RSCI.

Личный вклад автора

Теоретические результаты, изложенные в пунктах 2-8 Новых научных результатов, получены соискателем самостоятельно.

Результаты, сформулированные в пунктах 1, 9 раздела "Новые научные результаты", получены соискателем совместно с кандидатом физико-математических наук Е.Д. Мартыновой.

Научный руководитель доктор физико-математических наук Д.В. Георгиевский предложил постановки задач для анализа нелинейных определяющих соотношений Б.Е. Победри (Новые научные результаты, п. 5, 6, 7).

Результаты, сформулированные в пункте 8 раздела "Новые научные результаты", получены соискателем под руководством кандидата технических наук А.В. Хохлова.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав, формулировки основных результатов и списка литературы. В работе содержится 21 рисунок, 209 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 129 страниц.

Обзор литературы к главе 1. Степень разработанности задачи

Задача описания поведения материалов и их механических свойств, развитие аппарата общей теории определяющих соотношений имеют большее научное и прикладное значение в механике сплошной среды и современной инженерии. Использование новых материалов, создание новых технологий, осуществление сложных режимов функционирования конструкций и сооружений (включая экстремальные режимы нагружения вплоть до разрушения), открытие новых свойств деформируемых тел (память формы, сверхпластичность и др.) порождают потребность в совершенствовании существующих подходов к построению определяющих соотношений и систематизации исследований в этой области.

Работы А. А. Ильюшина [104 - 112] играют фундаментальную роль в создании и становлении теории определяющих соотношений деформируемых сред. В них сформулирован и впервые реализован способ построения определяющих соотношений, опирающийся на гипотезу макрофизической определимости и общий постулат изотропии [108](развитые в дальнейшим в качестве постулата макроскопической определимости [104]), использующий идею корректного описания необратимости процессов [108]. Фактически общая теория пластичности А. А. Ильюшина стала основой современных методов построения определяющих соотношений сплошных сред при малых и конечных деформациях в лагранжевом описании. В работах У. Нолла [47 - 50] приведены общие теоретические концепции построения определяющих соотношений сред при произвольных конечных деформациях в эйлеровом описании. Предложенные Ноллом принцип объективности и понятие простого тела создали базу теории построения определяющих соотношений для малых и конечных деформациях с точки зрения пространственного представления. Таким образом, подходы и идеи А. А. Ильюшина и У. Нолла, развитые ими, их последователями и другими исследователями выражают общие принципы современной теории определяющих соотношений: принцип макроскопической определимости и причинности, локальности и независимости от системы отсчета [47 - 50, 104, 108].

Широкое применение в промышленности резины и изделий из нее, а также улучшение предсказаний поведения материалов, использующихся в огнеметах со времен Первой Мировой Войны, дали толчок к развитию аппарата

определяющих соотношений не только при малых, но и при конечных деформациях. В качестве примеров технологических процессов, в которых материалы подвергаются значительным деформациям можно отнести обработку давлением (прокатка, волочение, прессование, ковка, штамповка, гибка) и резанием, современная химическая и нефтеперерабатывающая промышленность высоких давлений, контактные задачи, задачи с трением, физические и геофизические исследования [207].

В целом исследования определяющих соотношений при конечных деформациях [1 - 3, 5, 9, 12, 14, 15, 24, 26 - 28, 46 - 53, 64, 75 - 83, 91, 98, 104, 108, 113, 115, 119, 125, 129 - 133, 143, 163, 164, 166 - 168, 185, 186, 188, 192, 194, 195, 198, 207, 211] основываются в первую очередь на обобщении известных классических моделей для малых деформаций, и в этом состоит один из способов построения определяющих соотношений при конечных деформациях. Упомянутое обобщение предполагает сохранение формы определяющих соотношений и смысла входящих в них тензоров истинных напряжений и скоростей деформаций. Важную роль в таком подходе играет выбор объективной производной - меры скорости изменения тензора. Таким образом, в рассматриваемом методе построения определяющих соотношений при конечных деформациях материальные производные тензоров заменяются объективными производными, что позволяет удовлетворить принципу материальной независимости от системы отсчета [108]. Исследователями, как правило, рассматривались лишь отдельные объективные производные, например, Яуманна, Кот-тер и Ривлина [9], Олдройда [51], Трусделла [19], "нейтральная" производная Динса [15]. Развитие теоретического аппарата в анализе конечных деформаций привело к возможности построения и целенаправленного использования целых классов (семейств) тензорных мер напряжений и конечных деформаций, что способствует систематизации и упорядочиванию подхода к построению нелинейных моделей. Заметим, что выбор объективной производной естественным образом [79] порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряжений. В дополнение к известным мерам [98, 108, 125, 194] некоторыми исследователями предлагаются голономные меры деформаций, но сложность их связи с тензором скоростей деформаций затрудняет построение энергетически сопряженных мер напряжений. В некоторых работах представлены энергетически сопряженные как голономные, так и неголономные меры деформаций и напряжений, в [77, 81] - целые семейства таких мер, включающие известные меры из [76, 77, 80, 81, 98, 108, 125, 143, 162].

В 1903 году Зарембой была введена объективная производная для плоского случая деформации. В 1910 Яуманн рассмотрел эту производную для про-

извольного пространственного процесса больших деформаций, после чего ее стали называть его именем. На базе производной Яуманна изучались модели гипоупругости и пластического течения, кроме тоге рассматривались определяющие соотношения, использовавшие и другие объективные производные [9, 15, 20, 51, 185] и др. Однако было показано, что в некоторых случаях выбор объективной производной Яуманна при конструировании определяющих соотношений при конечных деформациях может привести к "аномальным" проявлениям, что можно трактовать как нефизичное поведение модели. О такого рода последствиях использования этой производной в обобщениях моделей пластического течения на конечные деформации указывали В. Прагер [166] и Л. И. Седов [185]. Было обнаружено, что, если использовать производную Яуманна в определяющих соотношениях модели пластического течения в решении задачи о простом сдвиге, получится, что компоненты тензора напряжений будут проявлять колебательный характер в зависимости от степени сдвига. Чтобы избежать подобных "аномальных" проявлений, предлагалось или модифицировать форму определяющих соотношений, или использовать другие объективные производные. Хотя указанная "аномалия" была известна и до 1982 года, после публикации Де Джонга и Нагтегаала [46] она получила широкое обсуждение в научной литературе. Появилось большое количество работ, в которых исследователи использовали в определяющих соотношений гипоупругости и пластического течения для конечных деформаций другие объективные производные, изучали их особенности и влияние на свойства модели [37, 186]. Накопленный материал породил вопрос о систематизации исследований объективных производных. В 1984 году С. Н. Этлури [1] впервые была рассмотрена возможность применения разного типа производных в определяющих соотношениях гипоупругости и пластического течения. Он обобщил классические линейные определяющие соотношения гипоупругости, включив в них некоторые члены нелинейности, и показал, что в этом случае использование любой коротационной производной дает неосциллирующее решение задачи о простом сдвиге (в том числе и производная Яуманна). С 1978 года А. А. Ильюшин в своих книгах по механике сплошных сред [104] рассматривал известные объективные производные, а также предложил вариант обобщений теории упругопластических процессов (постулата изотропии) на конечные деформации. Другие варианты были предложены в [119].

В работе 1990 года Г. Л. Бровко [78] был рассмотрен широкий класс производных конвективно-коротационного типа (пространственное и материальное представление), были изучены их свойства и показано, что предложенные ранее в литературе производные Яуманна, Олдройда, Коттер-Ривлина, Трусделла, Динса и Седова принадлежат этому классу производных. В [79]

понятие объективной производной было расширено на тензоры различных рангов (скаляры, векторы и тензоры второго ранга) и разных типов объективности. В [77, 79] было показано, что выбор объективной производной естественным образом порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряжений; было выделено семейство коротационных производных, обладающих широким набором свойств.

Аппарат математической теории определяющих соотношений при конечных деформациях применялся не только к моделям пластичности и гипо-упругости, но и к моделям вязкоупругости. Существуют различные подходы к формулировке определяющих соотношений нелинейной вязкоупругости при конечных деформациях. Так, например, Колеманом [7, 8] развита общая термодинамическая теория нелинейной вязкоупругости, что является частным случаем теории простых материалов Нолла [48] применительно к материалам с затухающей памятью. Кроме того, строятся отдельные теории вязкоупру-гости для твердых тел и для жидкостей. В [64] Трусделл и Нолл дали общий подход к построению соотношений для нелинейной механики сплошных сред, частными случаями которых является механика твердого тела и жидкостей. Другой тип нелинейной теории вязкоупругости развивали Грин и Ривлин [21], Грин и др. [22]. Применительно к неньютоновским жидкостям можно привести теории Рейнера-Ривлина, Ривлина-Эриксона, теорию второго порядка Колемана-Нолла. Эти теории кратко изложены и исследованы в работе [44]. Большое количество работ посвящено обобщению элементарной модели Максвелла с использованием производных Олдройда, Коттер-Ривлина и Яу-манна [5, 12, 14, 24, 26, 34, 43, 53, 56, 60, 91] (upper-convected Maxwell, lower-convected Maxwell, corotational Maxwell models соответственно). При анализе получаемых определяющих соотношений в таких работах большое внимание уделяется способности моделирования некоторых нелинейных эффектов, наблюдаемых в экспериментах. Здесь можно выделить явления, наблюдаемые в жидкостях и в твердых деформируемых телах при больших деформациях. К числу явлений, отмеченных у некоторых неньютоновских вязких жидкостей, можно отнести наличие не равных нулю разностей нормальных напряжений (normal stress differences) [92] при сдвиговом течении (например, полимерных растворов). Этот факт был обнаружен еще К. Вейссенбергом [66]. Жидкости, демонстрирующие эффект Вейссенберга при простом сдвиге, и в более сложных программах деформирования ведут себя иначе, чем жидкости, не проявляющие этот эффект [91, 180]. Это подчеркивает важность моделирования ненулевых разностей нормальных напряжений определяющих соотношений при конечных деформациях. Другой характерной особенностью неньютонов-

ского поведения некоторых вязких жидкостей является зависимость сдвиговой вязкости от скорости сдвига, причем сдвиговая вязкость может оказаться убывающей функцией относительно скорости сдвига (shear thinning или все-вдопластичность), что характерно, например, для полимерных систем, так и возрастающей функцией сдвига (shear thickening или дилатантные жидкости), что характерно, например, для суспензий твердых частиц при их высоких концентрациях и крахмалистых клейстеров. Кроме того, была обнаружена зависимость вязкости при одноосном растяжении (продольной вязкости) для некоторых неньютоновских жидкостей от кратности удлинения: возможны как увеличение вязкости при растяжении как функции кратности удлинения (extensional thickening), так и уменьшение (extensional thinning). Анализу возможностей моделирования всех этих нелинейных эффектов также уделяется значительное внимание в работах, посвященных построению нелинейных вязкоупругих определяющих соотношений при конечных деформациях [2, 5, 6, 10, 11, 14, 20, 24, 26, 29, 34, 35, 43 - 45, 53, 56, 60, 91 - 93, 113, 164, 184, 188]. Приведенные явления не исчерпывают всего разнообразия и специфики свойств неньютоновских вязких жидкостей. Так, жидкости, механические свойства которых существенно зависят не только от скорости деформирования, но и от продолжительности деформирования и предыстории потока, называют тиксотропными. К примерам таких жидкостей можно отнести цементные растворы, кефир [124]. Нормальные напряжения при сдвиге всегда возникают при больших деформациях не только в жидкостях, но и в твердых телах [83, 91, 119, 125, 130 - 132, 188, 194, 211]. Возникновение ненулевых разностей нормальных напряжений, необъяснимых линейной теорией и возникающих при сдвиговых деформациях твердых тел, относят к эффекту Пойнтинга. Отличие же от нуля среднего нормального напряжения предвидел еще Кельвин, поэтому это явление называют эффектом Кельвина [125]. Безусловно, при выборе нелинейной модели важно сопоставление данных, получаемых при различных базовых режимах деформирования, и приоритетным и актуальным является поиск тех определяющих соотношений, которые пригодны в описании свойств материала инвариантно по отношению к программе деформирования.

Обзор литературы к главам 2, 3. Степень разработанности задачи

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стеценко Нина Сергеевна, 2020 год

Литература

[1] Atluri S.N. On constitutive relations at finite strain: hypoelasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1984. V.43, №2. P. 137-171.

[2] Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric liquids V. 1. Fluid mechanics. N.Y.: Wiley. 1977. 576 p.

[3] Bird R.B., Carreau P.J. A nonlinear viscoelastic model for polymer solutions and melts - I // Chem. Eng. Sci. 1968. 23, P. 427-434.

[4] Boltzmann L. Zur theorie der elastischen nachwirking // Sitzungsber. Akad. Wiss. 1874. Abh. 1 P. 279-306.

[5] Cho K.S. Viscoelasticity of polymers. theory and numerical algorithms // Springer Series in Materials Science. 2016. V. 241, 612 p.

[6] Christiansen E.B., Leppard, W.R. Steadystate and oscillatory flow properties of polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1974. 18, P. 65-86.

[7] Coleman B.D. Thermodynamics of materials with memory // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V.17, №2. P. 1-46.

[8] Coleman B.D. On thermodynamics, strain impulses and viscoelasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V.17, №2. P. 230-254.

[9] Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress // Quart. Appl. Math. 1955. V.13, №2. P. 177-188.

[10] Cross M.M. Rheology of non-newtinian fluids: a new flow equation for pseudoplastic systems //J. Colloid Sci. 1965. 20, P. 417-437.

[11] Cross M.M. Relation between viscoelasticity and shear-thinning behaviour in liquids // Rheol. Acta 1979. 18, P. 609-614.

[12] Da Costa Mattos H. S. Some remaks about the use of Gordon-Schowalter time derivative in rate-type viscoelastic constitutive equations // Int. J. Eng. Sci. 2013. 73, P. 56-66.

[13] Dandrea J., Lakes R.S. Creep and creep recovery of cast aluminum alloys // Mech. Time-Depend. Mater., 2009. V. 13, №4. P. 303-315.

[14] Deshpande A.P., Krishnan J.M., Kumar P.B.S. Rheology of complex fluids. New York: Springer Science & Business Media, 2010. 257 p.

[15] Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mech. 1979. V.32, №4. P. 217-232.

[16] Ferry J.D. Viscoelastic properties of polymers. N. Y.: Wiley, 1961. 482 p.

[17] Flory A., Mckenna G.B. Finite step rate corrections in stress relaxation experiments: a comparison of two methods // Mech. Time-Depend. Mater. 2004. №8 P. 17-37.

[18] Fung Y.C. Stress-strain history relations of soft tissues in simple elongation // Biomechanics,Its Foundations and Objectives (ed. by Fung Y.C. et al.) 1972 N.J. : Prentice-Hall, Englewood Cliffs P. 181-208.

[19] Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. N.Y.: Springer-Verlag, 1993. 568 p.

[20] Gordon R.J., Schowalter W.R. Anisotropic fluid theory: a different approach to the dumbbell theory of dilute polymer solutions // Trans. Soc. Rheol. 1972. P. 79-97.

[21] Green A.E., Rivlin R.S. The mechanics of non-linear materials with memory. Part I // Arch. Rat. Mech. Anal. 1957 V.1, №1 P. 1-21.

[22] Green A.E., Rivlin R.S., Spenser A.J. The mechanics of non-linear materials with memory. Part II // Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. V.3, №1 P. 82-90.

[23] Gross B. Mathematical theories of viscoelasticity. P.: Hermann & Sie, 1953. 74 p.

[24] Gupta R.K. Polymer and composite rheology. New York: Marcel Dekker, Inc. 2000. 416 p.

[25] Hamouda B.H., Laiarinandrasana L., Piques R. Viscoplastic behavior of a medium density polyethylene (MDPE): constitutive equations based on double nonlinear deformation model // Int. J. Plasticity, 2007. v. 23, №8. P. 1307-1327.

[26] Han C.D. Rheology and processing of polymeric materials: volume I polymer rheology. New York: Oxford University Press, 2007.

[27] Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time // Mech. and Phys. Solids. 1959. V. 7, №3. P. 209-225

[28] Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Advances in Appl. Mech. N. Y.; London: Acad. Press., 1978. V. 18, P. 1-75.

[29] Keentok M., Georgescu A.G., Sherwood A.A., Tanner R.I. The

measurement of the second normal stress difference for some polymer solutions //J. Non-Newtonian Fluid 1980. 6, P. 303-324.

[30] Kennedy A.J. Processes of creep and fatigue in metals // Wiley series on the science and technology of materials. 1963. V. 19, 480 p.

[31] Khan F., Yeakle C. Experimental investigation and modeling of nonmonotonic creep behavior in polymers // Int. J. Plasticity, 2011. V. 27, №4. P. 512-521.

[32] Knauss W.G., Emri I., Lu H. Mechanics of Polymers // Viscoelasticity Springer Handbook of Experimental Solid Mechanics, ed. by W.N. Sharpe. N.Y.: Springer. 2008. P. 49-96.

[33] Knauss W.G., Zhao J. Improved relaxation time coverage in ramp-strain histories // Mech. Time-Depend. Mater. 2007. V. 11, P. 199-216.

[34] Larson R.G. The structure and rheology of complex fluids. New York: Oxford University Press, 1999. 663 p.

[35] Laun H.M, Schuch H. Transient elongational viscosities and drawability of polymer melts // J. Rheol. 1989. №33. P. 119-175.

[36] Lee S., Knauss W.G. A note on the determination of relaxation and creep data from ramp tests // Mech. Time-Depend. Mater. 2000. V. 4, P. 1-7.

[37] Lee E.H., Mallett R.L., Wertheimer T.B. Stress analysis for anisotropic hardening in finite-deformation plasticity // Trans. ASME: Journ. Appl. Mech. 1983. V.50, №3. P. 554-560.

[38] Lenoe E.M., Heller R.A, Freudenthal A.M. Viscoelastic behavior of a filled elastomer in the linear and nonlinear range Trans. Soc. Rheol. 1965. №9. P. 77-102.

[39] Liu H., Polak M.A., Penlidis A. A practical approach to modeling time-dependent nonlinear creep behavior of polyethylene for structural applications // Polymer Engineering & Science, 2008. V. 48, P. 159-167.

[40] Love E.R. Linear superposition in viscoelasticity and theories of delayed effects // Austral. J. Phys. 1956. V. 9. №4. P. 1-12.

[41] McKenna G.B. Viscoelasticity. Encyclopedia of Polymer Science and Technology // Wiley, 2002. V. 4, P. 533-628.

[42] McKenna G.B. Measurement of the torque and normal force in torsion in the study of the thermoviscoelastic properties of polymer glasses Relaxations in complex systems. 1985. V.A.: Springfield P. 129-143.

[43] Macosco C.W. Rheology: principles, measurements and applications. N.Y.: WILEY-VCH, 1993. 568 p.

[44] Marcovitz H. Nonlinear steady flow behaviour // Reology. theory and applications, F. R. Eirich Ed. 1967. V.4, №1 P. 347-410.

[45] Meissner J. Experimental aspects in polymer melt elongational rheometry // Chemical engineering communications 1985. V. 33, P. 159-180.

[46] Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some aspects of nonisotropic work hardening in finite strain plasticity // Plasticity of metals at finite strain: theory, experiment and computation. Stanford Univ. and Dept. Mech. Eng., R.P.I., 1982. P. 65-102.

[47] Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V. 2, P. 197-226.

[48] Noll W. A new mathematical theory of simple materials // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1972. V. 48, №1. P. 1-50.

[49] Noll W. Lectures on the foundations of continuum mechanics and thermodynamics // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1973. V. 52, №1. P. 62-92.

[50] Noll W. Materially uniform simple bodies with inhomogeneities // Arch. Rat. Mech. and Anal., 1967. V. 27, №1, P. 1-32.

[51] Oldroyd J.G. On the Formulation of rheological equations of state // Proc. Roy. Soc. Lond. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1950. V. 200, №1063. P. 523-541.

[52] Oldroyd J.G. Non-Newtonian effects in steady motion of some idealized elastic-viscous liquids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1958. V. 245, №1241. P. 278-297.

[53] Papanastasiou T.C., Georgiou G.C., Alexandrou A.N. Viscous fluid flow. Boca Raton: CRC Press, 2000. 418 p.

[54] Pollett W.F., Cross A.H. A continuous-shear rheometer for measuring total stress in rubber-like materials //J. Sci. Instrum. 1950. 27, P. 209-212.

[55] Sauren A.A., Rousseau E.P. A concise sensitivity analysis of the quasi-linear viscoelasticmodel proposed by Fung. //J. Biomech. Eng. 1983. V. 105, P. 92-95.

[56] Siginer D.A., Kee D.De, Chhabra R.P. Advances in the flow and rheology of non-newtonian fluids. Amsterdam: Elsevier, 1999. V. 8, 1514 p.

[57] Sorvari J., Malinen M. Determination of the relaxation modulus of a linearly viscoelastic material // Mech. Time-Depend. Mater. 2006. V. 10, P. 125-133.

[58] Sorvari J., Malinen M. On the direct estimation of creep and relaxation functions // Mech. Time-Depend. Mater. 2007. V. 11. P. 143-157.

[59] Sorvari J., Malinen M. Finite ramp time correction method for non-linear viscoelastic material model // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2006. №41. P. 1058-1064.

[60] Spriggs T.W. A four-constant model for viscoelastic fluids // Chem. Eng. Sci. 1965. 20, P. 931-940.

[61] Stankiewicz A. Algorithm of relaxation modulus identification using stress measurements from the real test of relaxation // Ini'ynieria Rolnicza. 2012. V. 16. P. 389-399.

[62] Stankiewicz A. An algorithm for approximate identification of relaxation modulus of viscoelastic materials from non-ideal ramp-test histories // TEK A Commission of Motorization and Energetics in Agriculture. 2013. V. 13. №. 1, P. 179-186

[63] Tscharnuter D., Jerabek M., Major-Z., Lang R.W. On the

determination of the relaxation modulus of PP compounds from arbitrary strain histories // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2011. V.15, P. 1-14.

[64] Truesdell C., Noll W. The nonlinear field theories of Mechanics: Handbuck der Physik. III/3. Berlin: Springer, 2004. 602 (+xxix)p.

[65] Wagner M.H. Analysis of time-dependent non-linear stress-growth data for shear and elongational flow of a low-density branched polyethylene melt // Rheol. Acta 1976. 15, P. 136-142.

[66] Weissenberg K. A continuum theory of rheological phenomena // NATURE 1947. 159, P. 310-311.

[67] Volterra V. La theoria dei funzionali applicata ai fenomeni ereditary // Atti Congresso Int. di Bologna 1928. V. 1, P. 215-232

[68] Zapas L.J., Craft T. Correlation of large longitudinal deformations with different strain histories // Journal of Research of the National Bureau of Standards. 1965. V. 69A, №6. P. 541-546.

[69] Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н.

Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с.

[70] Анисимов А.Б. Об эффекте ускорения ползучести в теории вязкоупругости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ. 2007. №2 C. 57-61.

[71] Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.

[72] Баренблатт Г.И., Козырев Ю.И., Малинин Н.Н., Павлов Д.Я., Шестериков С.А. О виброползучести полимерных материалов // ПМТФ. 1965. №5. С. 68-75.

[73] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2008. 636 c.

[74] Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. М.: Мир, 1965. 199 с.

[75] Бровко Г.Л. Следствия постулата макроскопической определимости для различных мер деформаций и напряжений. Проблемы механики деформируемого твердого тела: межвуз. сб. науч. тр. Калинин. политехн. ин-т. Калинин: КГУ. 1986. С. 96-102.

[76] Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость М.: Изд-во МГУ. 1987. С. 68-81.

[77] Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1989. Т. 308, №3. С. 565-570.

[78] Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1990. №1. С. 54-60.

[79] Бровко Г.Л. "Лагранжевы" и "эйлеровы" формы определяющих соотношений деформируемых твердых тел // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1990. №1 С. 73-78.

[80] Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1992. №4. С. 86-91.

[81] Бровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: 1996. 32 с.

[82] Бровко Г.Л. Развитие общих принципов теории определяющих соотношений сплошных сред // Изв. ТулГУ. Серия Естественные науки 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 43-58 .

[83] Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды: развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017. 432 с.

[84] Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. 287 с.

[85] Быков Д.Л., Пелешко В.А. Определяющие соотношения деформирования и разрушения наполненных полимерных материалов в процессах преобладающего осевого растяжения в различных барометрических условиях // Изв. РАН. МТТ, 2008. №6. С. 40-65.

[86] Быков Д.Л., Казаков А.В., Коновалов Д.Н., Мельников В.П., Милехин Ю.М., Пелешко В.А., Садовничий Д.Н. О законе накопления поврежденности и критерии разрушения в высоконаполненных полимерных материалах // Изв. РАН. МТТ, 2014. №5. С. 76-97.

[87] Быков Д.Л., Мартынова Е.Д., Мельников В.П. Численно графический метод описания ползучести поврежденных высоконаполненных полимерных материалов // Изв. РАН. МТТ, 2015. №5. С. 108-115.

[88] Вакулюк В.В. Определяющие соотношения нелинейной вязкоупруго-сти нового интегрального вида. В сб. Труды международной конференции «Неклассические задачи механики» Кутаисси: Кутаисский государственный университет, т.1, С. 43-46.

[89] Вакулюк В.В. О новом типе определяющих соотношений интегрального вида в нелинейной теории вязкоупругости // Упругость и неупругость М.: Изд-во МГУ. 2011. С. 322-325.

[90] Вакулюк В.В. Описание экспериментальных данных с использованием нелинейных соотношений Б.Е. Победри // Упругость и неупругость М.: Изд-во МГУ. 2016. С. 283-286.

[91] Виноградов Г.В., Малкин А.А. Реология полимеров. М.: Химия, 1977. 440 с.

[92] Георгиевский Д.В. Об ортогональных эффектах напряженно-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вюник Кшвського нацюнального ушверситету 1меш Тараса Шевченко Серия физ.-мат. науки 2013. №3. С. 114-116.

[93] Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Изв. РАН. МТТ, 2018. №4. С. 29-33.

[94] Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М. ЛЕНАНД, 2018. 560 с.

[95] Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Победря Б.Е. Особенности поведения вязкоупругих моделей // Изв. РАН. МТТ. 2004. №1. С. 119-157.

[96] Голуб В.П. Циклическая ползучесть жаропрочных никелевых сплавов. Киев: Наумова думка, 1983. 224 с.

[97] Голуб В.П. Исследования в области циклической ползучести материалов (обзор) // Прикладная механика. 1987. Т. 23, №12. С. 3-19.

[98] Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

[99] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

[100] Дергунов Н.Н., Паперник Л.Х., Работнов Ю.Н. Анализ поведения графита на основе нелинейной наследственной теории // ПМТФ. 1971. №2. С. 76-82.

[101] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 1979. 759 с.

[102] Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

[103] Зорич В.А. Математический анализ в 2-ух частях. М.: МЦНМО, 2007. 664 с., 794 с.

[104] Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 310 с. (См. также: М.: 1965-1966; М.: 1971; М.: 1978.)

[105] Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред // ПММ. 1954. Т. 18, Вып. 6. С. 641-666.

[106] Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН УССР, 1961. С. 3-29.

[107] Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.

[108] Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

[109] Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязко-упругости и метод малого параметра // Механика полимеров. 1966. №2 С. 170-189.

[110] Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

[111] Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.

[112] Ильюшин А.А., Ленский В.С. О соотношениях и методах современной теории пластичности. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 240-255.

[113] Кадашевич Ю.И., Помыткин С.П. Поведение нестабильных материалов при циклическом сдвиге // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2007. №1 (14) С. 158-161.

[114] Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Механика сплошной среды: вязкопластические течения. М.: Юрайт, 2018. 394 с.

[115] Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Н.: Издательство СО РАН, 2000. 262 с.

[116] Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

[117] Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. 338 с.

[118] Кучер Н.К., Земцов М.П., Данильчук Е.Л. Кратковременная ползучесть и прочность полипропиленовых волокнистых структур // Проблемы прочности. 2007. №6. С. 77-90.

[119] Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. К.: Наукова думка, 1987. 231 с.

[120] Локощенко А.М., Шестериков С.А. О виброползучести // Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1966. №3. С. 141-143.

[121] Локощенко A.M., Наместникова И.В., Шестериков С.А. Описание длительной прочности при ступенчатом изменении напряжения // Проблемы прочности и пластичности, 1981. №10. С. 47-51.

[122] Локощенко А.М. Виброползучесть металлов при одноосном и сложном напряженных состояниях // Изв. РАН. МТТ, 2014. №4. С. 111-120.

[123] Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. 504 с.

[124] Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

[125] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

[126] Милдман С. Течение полимеров. М.: Мир, 1971. 259 с.

[127] Малинин Н.Н. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1981. 221 с.

[128] Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Р.: Зинатне, 1980. 572 с.

[129] Маркин А.А., Соколова М.Ю, Христич Д.В. Постулат А.А. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих

соотношений // Изв. РАН. МТТ. 2011. №1. С. 38-45.

[130] Мартынова Е.Д. Процессы кручения цилиндрических образцов из несжимаемых вязкоупругих материалов Максвелловского типа // ПММ. 2019. Т. 83, №1. С. 95-106.

[131] Мартынова Е.Д. Использование объективных производных Гордона-Шоуолтера в моделях вязкоупругих материалов максвелловского типа при конечных деформациях: сб. тр. XII Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики 2019. С. 142-144.

[132] Мартынова Е.Д., Стеценко Н.С. Использование однопарамет-рического семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера для описания конечных деформаций вязкоупругих тел // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2017. №6 С. 64-68.

[133] Мартынова Е.Д., Стеценко Н.С. Определение свойств линейно вязкоупругих материалов из экспериментов на релаксацию с начальным участком возрастания деформаций // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2018. №1 С. 71-75.

[134] Мелнис А.Э., Лайзан Я.Б. Нелинейная ползучесть компактной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров. 1978. Т. 14, №1. С. 97-100.

[135] Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов применительно к зарядам ракетных двигателей на твёрдом топливе. М.: Наука, 1972. 328 с.

[136] Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.

[137] Москвитин Г.В. Малоцикловая прочность компенсирующих элементов трубопроводов с винтовыми и кольцевыми гофрами. Автореф. дисс. д-ра техн. наук. М.: 2002. 45 с.

[138] Наместников В.С., Работнов Ю.Н. О наследственных теориях ползучести // ПМТФ. 1961. Т.2. №4. С. 148-150.

[139] Наместников В.С., Хвостунков А.А. Ползучесть дуралюмина при постоянных и переменных нагрузках // ПМТФ. 1960. №4 С. 90-95.

[140] Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике, СМФН, 2015, том 55, С. 3-194.

[141] Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления с приложениями к механике// Деп. в ВИНИТИ РАН. 2013. №231. 242 с.

[142] Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: НГАСУ, 1997. 278 с.

[143] Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об "истинных" мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1987. №5 С. 73-80.

[144] Огибалов П.М., Ломакин В.А., Тетерс Г.А. Вопросы теории деформирования полимерных материалов // Механика полимеров 1972. №3 С. 422-433.

[145] Одинг И.А., Иванова В.С., Бурдукский В.В., Геминов В.Н.

Теория ползучести и длительной прочности металлов. М.: Металлургиздат, 1959. 488 с.

[146] Пелешко В.А. К построению определяющих соотношений вязкоупру-гости и ползучести при нестационарных и сложных нагружениях // Изв. РАН. МТТ, 2006. №3. С. 144-165.

[147] Пелешко В.А. Специализированные теории деформирования и разрушения высоконаполненных полимерных материалов и металлических сплавов для некоторых основных классов нагружений. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: 2019. 34 с.

[148] Победря Б.Е. О нелинейной вязкоупругости // Механика полимеров 1965. №6 С. 30-39.

[149] Победря Б.Е. Об уравнениях состояния в нелинейной теории вязко-упругости // Механика полимеров 1967. №3. С. 427-435.

[150] Победря Б.Е. О методе последовательных приближений в нелинейной теории вязко-упругости // Механика полимеров 1969. №2.

[151] Победря Б.Е. О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругости // ДАН СССР, 1970, т.195 №2. С. 307-310.

[152] Победря Б.Е. Симметричная деформация цилиндрической оболочки из нелинейного вязкоуцрутого материала. В кн.: Теория пластин и оболочек. - М.: Наука, 1971, С. 227-231.

[153] Победря Б.Е. Расчет вязко-упругих систем по численной упругой реализации // Проблемы прочности 1972. №4. С. 58-61.

[154] Победря Б.Е. Численные методы в теории вязко-упругости // Механика полимеров 1973. №1. С. 417-428.

[155] Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость М.: Изд.-во МГУ 1973. Вып. 3 С. 95-173.

[156] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

[157] Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1995. 336 с.

[158] Победря Б.Е. Модели линейной вязкоупругости // Изв. РАН. МТТ. 2003. №3. С. 120-134.

[159] Победря Б.Е. Об адекватности нелинейной теории вязкоупругости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. М.: Изд-во МГУ. 2012. №5. С. 65-69.

[160] Победря Б.Е., Вакулюк В.В. О нелинейной теории вязкоупругости // Изв. РАН МТТ. 2005. №6. С. 49-55.

[161] Победря Б.Е., Вакулюк В.В. Об адекватности нелинейной теории вязкоупругости // Упругость и неупругость М.: Изд-во МГУ. 2012. С. 213-220.

[162] Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 272 с.

[163] Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопла-стические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

[164] Помыткин С.П. Эндохронная теория неупругости для больших деформаций и поворотов. Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. СПб.: 2013. 31 с.

[165] Постников М.М. Лекции по геометрии. Ч. 1. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986. 414 с. Ч. 2 Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1986. 399 с.

[166] Прагер В. Элементарный анализ определений скорости изменения напряжений // Сб. пер. и обзоров иностр. период. лит. Механика, 1960. №3. С. 69-74.

[167] Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология / Под. ред. Ф. Эйриха. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. С. 86-126.

[168] Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 312 с.

[169] Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966. 752 с.

[170] Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

[171] Работнов Ю.Н. Некоторые вопросы теории ползучести // Вестник МГУ. 1948. №10 С. 81-91.

[172] Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров. 1971. №1. С. 74-87.

[173] Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. Нелинейная ползучесть стеклопластика ТС8/3-250 // Механика полимеров. 1971. №3. С. 391-397.

[174] Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. О связи характеристик ползучести стекло-пластиков с кривой мгновенного деформирования // Механика полимеров. 1971. №4. С. 624-628.

[175] Работнов Ю.Н., Суворова Ю.В. О законе деформирования металлов при одноосном нагружении // Известия АН СССР. МТТ. 1972. №4. С. 41-54.

[176] Радченко В.П., Кичаев П.Е. Энергетическая концепция ползучести и виброползучести металлов. Самара: Самар. гос. тех. ун-т, 2011. 157 с.

[177] Радченко В.П., Самарин Ю.П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита // Механика композитных материалов. - 1983. - Т. 19, №2. С. 231-237.

[178] Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. М.: Машиностроение-1, 2005. 226 с.

[179] Радченко В.П., Шапиевский Д.В. О дрейфе упругой деформации для нелинейно-упругих материалов вследствие ползучести // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2006. Вып. 43. С. 99-105.

[180] Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 226 с.

[181] Ржаницын А.Р. Общий нелинейный закон наследственной ползучести // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1966. №6. С. 150-154.

[182] Сазанова Н.Д. Испытание жаропрочных материалов на ползучесть и длительную прочность. М.: Машиностроение, 1965. 265 с.

[183] Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. К.: Изд. Куйбышев. ун-та, 1979. 84 с.

[184] Семенов А.С., Мельников Б.Е., Горохов М.Ю. Циклическая нестабильность при расчетах больших упруго-пластических деформаций // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2003. Т. 33. №3. С. 129-138.

[185] Седов Л.И. Понятие разных скоростей изменения тензоров // ПММ. 1960 Т. 24, Вып. 3. С. 393-398

[186] Сетх Б.Р. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 528-531.

[187] Стеценко Н.С. Степенные и экспоненциальные функции ползучести в определяющих соотношениях нелинейной вязкоупругости Победри // Молодежный научно-технический вестник Электрон. журн. №4.

[188] Стеценко Н.С. Нелинейные эффекты, моделируемые вязкоупругой моделью максвелловского типа при конечных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2020 №5 С. 76-86.

[189] Стеценко Н.С., Хохлов А.В. Идентификация нелинейного определяющего соотношения Работнова по данным испытаний полиэтилена и полипропилена на ползучесть // Труды МАИ 2018 №103 С. 1-23.

[190] Стрижало В.А. Циклическая прочность и ползучесть металлов при малоцикловом нагружении в условиях низких и высоких температур. К.: Наукова думка, 1978. 238 с.

[191] Суворова Ю.В. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работ-нова и его приложениях // Известия АН СССР. МТТ. 2004. №1. С. 174-181.

[192] Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

[193] Торгованов А.О., Москвитин Г.В. Экпериментальное исследование деградации упругих свойств алюминиевых образцов при циклическом нагружении В сб. трудов XXXI международной конференции МИКМУС-2019, 2020. С. 191-194.

[194] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

[195] Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. Ч.1. Общая теория П.: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 1997. 98 с.

[196] Уржумцев Ю.С. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных материалов. М.: Наука, 1982. 222 с.

[197] Уржумцев Ю.С. Варианты нелинейной связи между напряжениями и деформациями в анизотропных материалах // Изв. ТулГУ Серия Естественные науки. Механика. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 216-224.

[198] Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика 2000. Т. 6, Вып. 2. С. 160-166.

[199] Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.

[200] Хохлов А.В. Кривые ползучести и релаксации нелинейного определяющего соотношения Ю. Н. Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Проблемы прочности и пластичности. 2016. Вып. 78. №4. С. 452-466.

[201] Хохлов А.В. Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // Наука и образование Электрон. журн. МГТУ им. Н.Э. Баумана 2016. №5. С.

187-245

[202] Хохлов А.В. Асимптотическая коммутативность кривых ползучести при ступенчатом нагружении в линейной теории наследственности // Машиностроение и инженерное образование. 2016. №1. С. 70-82.

[203] Хохлов А.В. Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатом нагружении, порождаемых нелинейным соотношением Работнова для вязкоупругопластичных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. №3. С. 93-123.

[204] Хохлов А.В. Моделирование зависимости кривых ползучести при растяжении и коэффициента Пуассона реономных материалов от гидростатического давления с помощью нелинейно-наследственного соотношения Работнова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2018. Т.24. №3. С. 407-436.

[205] Хохлов А.В. Анализ свойств кривых релаксации с начальной стадией гатр-деформирования, порождаемых нелинейной теорией наследственности Работнова // Механика композитных материалов. 2018. Т. 54, №4. С. 687-708.

[206] Хохлов А.В. Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова для вязкоупру-гопластичных материалов // Изв. РАН. Механ. тверд. тела. 2018. №6. С. 78-97.

[207] Христич Д.В., Ю.В. Астапов, Е.В. Артюх, М.Ю. Соколова

Нелинейная модель деформирования сжимаемых грунтов // Изв. ТулГУ Серия Науки о Земле. Геомеханика. 2019. Вып. 4. С. 305-312.

[208] Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязко-пластичности. К.: Наукова Думка, 1982. 240 с.

[209] Шестериков С.А., Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов // Итоги науки и техники. Сер. Механ. деформ. тверд. тела, Т. 13. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 3-104.

[210] Шестериков С.А., Юмашева М.А. Конкретизация уравнения состояния при ползучести // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №1. С. 86-91.

[211] Шуткин А.С. Подходы к обобщению определяющих соотношений для твердых тел на область конечных деформаций // Мех. комп. матер. констр. 2010. №2. Р. 166-180.