Решение задач линейной вязкоупругости изотропного и анизотропного тела на основе метода разделения переменных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Павлов Михаил Сергеевич

• Павлов Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Павлов Михаил Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 Метод разделения переменных для задачи с граничными условиями в напряжениях

1.1 Постановка задачи для изотропного тела с граничными условиями в напряжениях

1.2 Выражение эффективных по времени модулей через решение вариационной задачи

1.3 Выражение эффективных по времени модулей путем тождественных преобразований уравнений равновесия и граничных условий

1.4 Метод разделения переменных для решения граничных задач линейной вязкоупругости с граничными условиями в напряжениях (второго рода)

1.5 Решение тестовых задач

1.6 Осевое растяжение стержня

1.7 Чистый изгиб консольной балки

1.8 Балка, изгибаемая поперечной нагрузкой

1.9 Сравнение результатов вычислений для решений, содержащих оператор связной ползучести

1.10 Защемленное кольцо, нагруженное моментами

1.11 Напряженное состояние длинного цилиндра

1.12 Выводы по главе

2 Метод разделения переменных для задачи с граничными условиями в перемещениях

2.1 Постановка задачи для изотропного тела с граничными условиями в перемещениях

2.2 Эффективные по времени модули лагранжевого типа

2.3 Тестовая задача. Сжатие прямоугольного амортизатора

2.4 Тестовая задача. Релаксация напряжений в растянутом стержне

2.5 Совместное задание перемещений и напряжений на границе. Решение для

манжеты фланцевого уплотнения

2.6 Выводы по главе

3 Метод разделения переменных для анизотропных сред

3.1 Постановка задачи для анизотропного тела

3.2 Эффективные по времени модули кастильянового типа для анизотропной среды

3.3 Уравнения трансверсально изотропного вязкоупругого тела

3.4 Эффективные по времени модули лагранжевого типа

3.5 Тестовые задачи. Изгиб прямоугольной вязкоупругой пластинки

3.6 Тестовые задачи. Изгиб вязкоупругой круглой плиты под действием равномерно распределенного давления

3.7 Тестовые задачи. Равновесие тяжелого трансверсально-изотропного массива с полостью

3.8 Выводы по главе

4 Сравнение эффективности решений, полученных на основе метода разделения переменных и алгоритмов численного интегрирования истории нагружения

4.1 Задание вязкоупругих свойств материала при использовании стандартных средств ANSYS

4.2 Осевое растяжение стержня. Оценка точности

4.3 Осевое растяжение стержня. Оценка экономичности

4.4 Изгиб консольной балки распределенной нагрузкой

4.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач линейной вязкоупругости изотропного и анизотропного тела на основе метода разделения переменных»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Многие искусственные и естественные материалы проявляют вязкоупругие свойства. Чаще всего необходимость учета таких свойств возникает в отношении полимеров и композиционных материалов с полимерной матрицей. Тем не менее вязкоупругость проявляют также и традиционные материалы, например, дерево, бетон, или стекло.

Определяющие уравнения для вязкоупругих тел содержат интегральные операторы, что значительно усложняет математическое описание отклика на механическое нагружение таких тел. Поэтому на практике часто при проектировании изделий из полимерных материалов, эластомеров и других вязкоупругих материалов в первом приближении вопросы анализа ползучести и релаксации опускаются. С другой стороны, в таких случаях увеличиваются риски отказов на этапах отработки и даже эксплуатации. Притом эти отказы могут быть спрогнозированы в случае проведения анализа с учетом реологических свойств материала изделия. Особенно характерна такая практика для проектирования по инженерным методикам, основанным на элементарной теории. Вместе с тем для целого ряда отраслей такого рода отказы неприемлемы, например, с экономической и/или морально-этической точек зрения. Так, при исследовании механических свойств биологических материалов, их вязкоупругое поведение часто не может быть проигнорировано [56, 71, 83, 87, 104, 106, 114] Разработка ракетной и космической техники также является одной из основных отраслей, формирующих запрос на исследования в области вязкоупругости [1, 12, 24, 27, 48, 80, 100]. Необходимость учета ползучести и/или релаксации в механически нагруженных телах может возникать в самых разных областях, таких как, например, дорожное строительство, геология, разработка автомобильных шин, биомедицинские исследования [77, 109], нефтегазовый сектор [47]. т.д.

Во многих случаях при анализе напряженно-деформированного состояния изделий из вязкоупругих материалов применяется инженерное программное обеспечение на основе метода конечных элементов [55, 62, 109, 104]. Однако учет

некоторых неупругих свойств, в том числе вязкоупругости, возможен только в ряде «тяжелых» пакетов. Их освоение и применение требует достаточно высокой квалификации пользователя и сравнительно длительного обучения. Кроме того, коммерческие версии являются весьма дорогостоящими. Напротив, для решения задач линейной упругости разработано большое число алгоритмов и программных продуктов - в том числе на основе метода конечных элементов. Ряд таких продуктов распространяется бесплатно, а коммерческие версии существенно дешевле «тяжелых» пакетов. Поэтому актуален вопрос разработки методов учета вязкоупругих свойств, возможных к реализации при использовании таких продуктов и/или совместно с инженерными методиками прочностных расчетов.

Степень разработанности темы исследования. Начало изучения влияния времени на напряженно-деформированное состояние изделий из металлов, резины и стекла положено в конце девятнадцатого - начале двадцатого веков Кельвином, Максвеллом, Больцманом и другими [63]. Максвелл сформулировал закон деформирования с течением времени в дифференциальном виде [35, 82]. Несколько позже разработан Больцманом и развит Вольтерра общий математический аппарат для описания линейной ползучести [35, 57, 110, 111]. В связи с развитием индустрии полимерных материалов с начала 30-х годов XX века началось более интенсивное изучение вязкоупругости [77]. К настоящему моменту математический аппарат линейной и нелинейной вязкоупругости в значительной степени разработан. Формулировка определяющих соотношений и методов анализа для вязкоупругих тел содержится в фундаментальных монографиях различных авторов, например [11, 13, 16, 26, 33, 35, 61, 64, 65, 66, 77, 79, 90, 91]

Для вязкоупругих тел связь между напряжениями и деформациями описывается с помощью интегральных уравнений Вольтерра, содержащих ядра того, или иного вида.

Требования, предъявляемые к виду и структуре таких ядер, вытекают из ряда физических соображений. Так, принцип затухающей памяти определяет монотонно стремление ядра к нулю при неограниченно возрастающем аргументе (времени). Условие замкнутого цикла приводит к требованию зависимости ядра от разности

верхнего предела и переменной интегрирования. Такие ядра называются разностными и описывают материалы, вязкоупругие свойства которых не меняются с течением времени. [33]

В литературе [35, 53] можно встретить различные варианты моделей вязкоупругости, основанные на комбинации вязких и упругих элементов. Классическими моделями такого типа являются модели Максвелла [82] и Фойгта-Кельвина [35, 103], а также их комбинация - т.н. модель стандартного линейного тела [116]. Практически все такие модели сводятся к ядрам (и функциям) ползучести и релаксации, содержащим константы и экспоненты времени. Строго говоря, такие функции не описывают процесс деформирования в начальный момент времени, поскольку принимают конечные значения [13], в то время как при ? ^ 0 скорость ползучести и релаксации стремится к бесконечности. Этого недостатка лишены слабосингулярные ядра. Наиболее популярные из них -дробно-экспоненциальные. Например, ядро Работнова [29], частным случаем которого является экспоненциальное ядро, или ядро Колтунова [13, 14, 15], частными случаями которого являются ядра Ржанцина [34], Слонимского [43], Бронского [3]. Простейшее ядро такого типа - ядро Абеля.

Несмотря на то, что экспоненциальные ядра, не удовлетворяют строго требование сингулярности в начальный момент истории нагружения, можно сказать, что для практических расчетов на сегодняшний день наиболее популярными ядрами являются именно суммы убывающих экспонент (ряды Прони) [75, 77, 93, 100]. Такой вид ядра позволяет достичь высокой точности анализа путем аппроксимации большого объема экспериментальных данных за счет увеличения числа слагаемых. Это не является проблемой при численной реализации. С практической точки зрения данное преимущество является решающим, поскольку, сравнительно редко требуется анализировать начальный этап ползучести/релаксации.

При том, что за время изучения вопросов деформирования вязкоупругих тел сформирована обширная библиография, число задач, для которых получено точное аналитическое решение, остается небольшим. В первую очередь это связано с

высокой сложностью задач. Практически единственным аналитическим способом точного решения прикладных задач остается принцип соответствия (Вольтерра). Помимо вычислительной сложности имеются также ограничения на применимость принципа Вольтерра к решению задач теории линейной вязкоупругости.

1) Требование аналитической зависимости упругого решения от констант. Как правило, большинство решений граничных задач может быть найдено лишь в численном виде, поэтому проблема выделения зависимости решения от упругих констант становится трудноразрешимой. Например, имеются подходы по восстановлению зависимости упругого решения от материальных констант. В [8] доказан аналитический характер зависимости упругого решения от постоянных. В [25] приведен метод основанный на построении зависимости упругого решения относительно констант в виде рядов.

2) Условием применимости принципа Вольтерра является свойство коммутативности интегральных операторов справедливое только для нестареющих тел.

3) Условием применимости также является условие неизменяемости во времени объема, занимаемого телом и его границы.

Ввиду сложностей получения точных решений, разработано большое число приближенных, в первую очередь численных, методов.

Ильюшин [9, 10, 11], Schapery [94], сформулировали способы решения задач линейной вязкоупругости, основанные на преобразовании Лапласа и получившие широкое распространение в том числе и для задач, учитывающих анизотропию свойств анализируемой среды. Например, Wu и др. [107] используют подобный подход для анализа динамического отклика сваи в трансверсально изотропном слоистом грунте.

Катьки и Selivanov в [73] рассматривают метод ветвящихся цепных дробей применительно к линейно вязкоупругим анизотропным телам.

В [81] развит метод решения краевых задач для вязкоупругих кусочно-однородных композитов, а в [59] сформулирован экстремальный принцип для линейных вязкоупругих задач с ядром общего вида.

Развитие вычислительной техники повлекло за собой разработку методов, предназначенных для численной реализации на компьютерах.

В статьях [54 60, 76, 87, 113] дано развитие классического подхода метода конечных сумм к решению систем интегро-дифференциальных уравнений линейной вязкоупругости.

Lee и Rogers [78] предложили схему вычисления интегралов в соотношениях Вольтерра на основе конечных разностей и теоремы о среднем. Отметим, что их алгоритм предполагал хранение в памяти вычислительной машины всей истории интегрирования. Zak [115] разработал конечно-разностную схему решения вязкоупругих задач с использованием рядов Прони-Дирихле для представления ядра интегрального уравнения Вольтерра для решения проблемы хранения.

Zienkiewicz и Watson [117] предложили метод анализа вязкоупругих напряжений на основе метода конечных элементов. Для решения проблемы хранения также было использовано представление функций ползучести в виде рядов Прони.

Holzapfel и Gasser [69] разработали способ моделирования вязкоупругих армированных волокнами композитов методом конечных элементов, опираясь, в том числе на работу Simo [97], где, в свою очередь, была представлена трехмерная вязкоупругая модель с конечными деформациями, не ограниченная при этом условием изотропии.

В настоящее время рекурсивные формулы интегрирования истории нагружения совместно с представлением функций ползучести и релаксации в виде рядов Прони широко используется в программном обеспечении прикладного конечно-элементного анализа (ANSYS, Nastran, ABAQUS, Elmer, CalculiX и т.п.) [49, 53, 69, 96, 97]. Обоснование некоторых таких формул содержится в[70, 97, 101]. Популярность такого программного обеспечения связана с тем, что разработка новых численных алгоритмов и даже применение существующих связаны с большим объемом работы по написанию и отладке программного кода, реализующего тот, или иной алгоритм решения задачи. Использование

специализированного программного обеспечения позволяет минимизировать эти затраты.

Имеется ряд работ, посвященных итерационным методам, например [28, 68, 88, 98]. Наиболее известным среди них является метод упругих решений [11]. Однако на сегодняшний день практическое применение таких методов в большинстве случаев не представляется целесообразным, поскольку на получение упругого решения часто требуется больше вычислительных ресурсов, чем на интегрирование истории нагружения.

Подробная справка о развитии методов учета вязкоупругих свойств материалов при конечно-элементном моделировании в течение последних десятилетий XX в. содержится в работах М. А. 7оЛег [118 119]. Стоит отметить, что многие их представленных в [118, 119,] результатов сохраняют актуальность на момент подготовки настоящей работы. Вместе с тем, развитие методов решения задач вязкоупругости продолжается.

Shankar и др. [95] предложили постановку граничной задачи вязкоупругого тела как задачу оптимизации. Объектом оптимизации является поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия и граничным условиям в напряжениях и перемещениях. Критерием оптимизации является невязка определяющих соотношений. Для реализации предложенного подхода авторы предложили специальные формулировки конечных элементов

В работе [50] S Ananthapadmanabhan, и Saravanan развивают подход Shankar, предлагают шесть формулировок метода и производят сравнение их эффективности друг с другом, а также с стандартными средствами программного обеспечения ABAQUS.

Мо^^ Dufour, Muhlhaus в [85] предложили использование лагранжевых точек интегрирования на эйлеровой сетке при использовании метода конечных элементов для анализа больших деформаций геологических материалов с учетом их реологии.

Учет анизотропии существенно усложняет решение задачи определения НДС вязкоупругого тела. С другой стороны, множество материалов проявляют вязкоупругие свойства, являясь одновременно анизотропными.

Kaloerov и Koshkin в работе [72] развивают метод малого параметра для задач изгиба анизотропных вязкоупругих пластин.

Часто сочетание анизотропии и вязкоупругих свойств имеет место для композиционных материалов, в которых вязкоупругие свойства определяются главным образом изотропной матрицей, а анизотропия вызвана в основном свойствами и/или укладкой наполнителя. Для таких материалов логичным представляется разделение отклика матрицы и наполнителя с наложением условия эквивалентности градиента деформации в них. Например, такую процедуру использовали Klinkel и др. [74] для случая вязкопластичности и Nedjar [86] для вязкоупругости. Подобный подход используют Saxena, Hossan и Steinman [92] для магнито-активных полимеров (magneto-active polymers).

В задаче о деформации плоского ортотропного тела [4] использован метод представления ядер вязкоупругой ортотропии в виде, в котором временная составляющая каждого из ядер одинакова. Разница между ядрами определяется только наличием постоянных множителей. Аналогичный метод применен в М.Н.М. Аллам, Б.Е. Победря [2].

В. И. Малый, Н. А. Труфанов разработали метод квазиконстантных операторов [20, 21, 22], согласно которому при выполнении условия квазиконстантности интегральных операторов, определяющих физические свойства материала, вязкоупругое решение может быть получено на основе упругого, через использование упрощенных соотношений для перемножения, обращения и аналитических функций квазиконстантных операторов [26]. Далее этот метод развит для случая частичных аппроксимаций [44, 45].

В диссертации [36] и затем в работе [40]сформулирован следующий подход. Решение задачи для вязкоупругого тела может быть получено аналогично решению упругой задачи путем замены в последнем материальных констант на некоторые функции времени, называемые эффективными по времени модулями. Параметрами

этих функций являются материальные константы, определяющие вязкоупругие свойства материала. В зависимости от формулировки краевой задачи в виде функционалов Лагранжа, или Кастильяно, определены два типа эффективных по времени модулей - соответственно лагранжев и кастильянов. Эти эффективные по времени модули обладают следующими свойствами:

- их размерность соответствует размерности модулей сдвига и объемного сжатия;

- они положительно определены при ? > 0;

- при ? = 0 и ? ^ да они совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями;

- не зависят от вида граничных условий;

- не зависят от вида аппроксимации кривых ползучести и/или релаксации.

Допущением метода является возможность представления граничных

напряжений и перемещений в виде сумм попарных произведений заданных функций координат на заданные функции времени. Это справедливо во многих практических случаях.

Эффективные по времени модули могут быть найдены в аналитическом виде до решения граничной задачи путем вычисления свертки интегральных операторов и функций времени, входящих в представление условий на границе.

Позже проведены исследования, направленные на развитие этого подхода [6, 7, 29, 37, 38, 39, 40, 41, 50, 51, 58, 89, 99, 102]. В работах [23, 40] представлены методы определения эффективных по времени модулей смешанного типа, аналогичные методам определения эффективных упругих характеристик композиционных материалов. Показано, что такие эффективные по времени модули позволяют увеличить точность решений, даваемую эффективными по времени модулями, представленными в [36]. В работе [105] уточнен вид эффективных по времени модулей.

Метод решения краевых задач вязкоупругого тела, основанный на этом подходе назван методом разделения пространственных и временных переменных, поскольку при расчете эффективных по времени модулей исключаются из

рассмотрения пространственные переменные, а при получении упругого решения - временные.

Апробация метода разделения пространственных и временных переменных, проведенная, в том числе, автором настоящей работы показала, что условие независимости эффективных по времени модулей от вида граничных условия является препятствием к достижению необходимой точности решений. Соответственно, вид функций времени - эффективных по времени модулей может быть уточнен. Также может быть указан способ учета вида граничных условий при решении практических задач.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертационной работы является уточнение метода разделения переменных для анализа напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел, путем указания зависимости эффективных по времени модулей от типа граничных условий

Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие задачи:

1. Определение в зависимости от типа граничных условий вида функций времени, используемых в качестве эффективных по времени модулей для изотропных тел.

2. Распространение полученных результатов на случай анизотропии.

3. Практическая отработка и валидация метода разделения переменных на задачах, имеющих аналитическое решение.

4. Оценка точности метода и формулировка ограничений на его применение.

5. Оценка эффективности разработанного метода при численной реализации с использованием программного обеспечения для инженерного анализа.

Научная новизна исследования:

Предложена модификация метода разделения переменных для граничных задач линейной вязкоупругости, устанавливающая зависимость вида эффективных по времени модулей от типа граничных условий

2. Получены новые выражения для обобщенных эффективных по времени модулей.

3. Получены новые обоснования вида функций метода разделения переменных, зависящих от времени - эффективных по времени модулей.

4. Произведено сравнение решений, получаемых с использованием модифицированного метода разделения переменных с решениями, полученными на основе принципа Вольтерра. Даны оценки точности.

5. Произведена оценка эффективности применения метода разделения переменных для учета вязкоупругих свойств материала при конечно-элементном моделировании. Приведено сравнение по точности и времени счета с методом интегрирования истории нагружения.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Теоретическая значимость состоит в развитии метода разделения переменных для решения граничных задач вязкоупругости с учетом типа граничных условий, расширении и уточнении пределов его применимости. Произведено уточнение метода путем указания вида эффективных по времени модулей в зависимости от типа граничных условий. Обосновано распространение метода на краевые задачи анизотропного линейно вязкоупругого тела.

Практическая значимость состоит в возможности применения полученных в диссертации результатов для решения прикладных задач. Причем возможны два наиболее применяемых способа:

- аналитическое решение, в том числе с использованием инженерных методик, основанных на элементарной теории;

- численное решение, в том числе с применением программного обеспечения для инженерного конечно-элементного анализа. При этом само это программное обеспечение может не иметь специальных инструментов для учета вязкоупругих свойств материала.

Методология и методы исследования. В работе использованы методы механики деформируемого твердого тела, методы решения задач линейной вязкоупругости изотропного и анизотропного тел, в том числе методы вариационного исчисления, принцип Вольтерра, алгебра интегральных операторов Работнова, [29, 33] метод конечных элементов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модификация метода разделения переменных, позволяющая учитывать тип граничных условий краевой задачи линейной вязкоупругости.

2. Обоснования вида функций метода разделения переменных -эффективных по времени модулей для граничных задач линейной вязкоупругости изотропного и анизотропного материала I и II рода путем решения вариационных задач.

3. Обоснования вида функций метода разделения переменных -эффективных по времени модулей для граничных задач линейной вязкоупругости изотропного и анизотропного материала I и II рода путем тождественных преобразований уравнений равновесия и граничных условий.

4. Результаты сравнения решений, полученных модифицированным методом разделения переменных с решениями, полученными на основе принципа Вольтерра для задач линейной вязкоупругости с граничными условиями I, II, III рода для изотропного и анизотропного тела.

5. Результаты сравнения по точности и экономичности конечно-элементных решений, полученных с использованием модифицированного метода разделения переменных с решениями, полученными алгоритмом интегрирования истории нагружения по рекуррентным формулам.

Степень достоверности результатов исследования. Большинство результатов, представленных в диссертации, получены двумя независимыми способами. Это справедливо как для теоретических формулировок метода разделения переменных для решения краевых задач линейной вязкоупругости, так и для решений тестовых задач, представленных в диссертации. Это, в сочетании со строгостью примененного математического подхода, гарантирует достоверность результатов исследования.

Апробация результатов исследования. Основные результаты, представленные в диссертации, обсуждались на следующих конференциях:

1. V Международная научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике (ВТСНТ 2016)», Томск, 05-07 декабря 2016 г.

2. Конференция «Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS 2016)», Томск, 27-29 октября 2016 г.

3. 26 Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Томск, 24-28 июня 2019 г.

4. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 19-24 августа 2019 г.

5. XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», Томск, 27-30 апреля 2021 г.

6. XI Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 13-17 апреля 2022 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в журналах, включённых в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 2 статьи в зарубежных научных журналах, входящих в Scopus, 1 статья в российском научном журнале, входящем в Scopus), 1 статья в сборнике материалов конференции, представленных в издании, входящем в Scopus, 4 публикации в сборниках материалов конференций.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 122 страницах машинописного текста, состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 119 наименований. Работа содержит 46 рисунков.

Во введении обоснована актуальность работы, приведен обзор наиболее значимых публикаций по теме диссертации, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, обоснованы теоретическая и практическая значимость исследования, достоверность его результатов, описаны методы

исследования, приведены сведения о научной апробации результатов исследования.

Первая глава посвящена модификации метода разделения переменных для краевых задач линейно вязкоупругого изотропного тела с граничными условиями в напряжениях (II рода). Приводятся обоснования вида функций метода разделения переменных - эффективных по времени модулей для таких задач путем решения вариационных задач и путем тождественных преобразований уравнений равновесия и граничных условий. Рассмотрен ряд тестовых задач, приведены результаты сравнения решений, полученных модифицированным методом разделения переменных с решениями, полученными на основе принципа Вольтерра для задач с граничными условиями II рода.

Вторая глава посвящена модификации метода разделения переменных для краевых задач линейно вязкоупругого изотропного тела с граничными условиями в перемещениях (I рода). Рассмотрены тестовые задачи с граничными условиями I рода, а также со смешанными граничными условиями (III рода). Приведены сравнения решений, полученных модифицированным методом разделения переменных с решениями, полученными на основе принципа Вольтерра.

В третьей главе обосновано распространение метода разделения переменных для граничных задач линейно вязкоупругого тела на случай анизотропии. Рассмотрены тестовые задачи, приведено сравнение решений по методу разделения переменных с решениями на основе принципа Вольтерра.

Четвертая глава содержит результаты сравнения по точности и экономичности конечно-элементных решений, полученных с использованием модифицированного метода разделения переменных с решениями, полученными алгоритмом интегрирования истории нагружения по рекуррентным формулам.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационного исследования, в том числе выявленные преимущества и ограничения модифицированного метода разделения переменных. Указаны направления дальнейшей разработки темы исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлов Михаил Сергеевич, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамов А. А. Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций при конечных деформациях: дис. ... д-ра физ. - мат. наук / А. А. Адамов. - Пермь, 2004. - 303 с.

2. Аллам М. Н. М. К решению квазистатических задач анизотропной вязкоупругости / М. Н. М. Аллам, Б.Е. Победря // Известия АН АрмССР, Механика. - 1978. - № 2. - С. 19-27.

3. Бронский А. П. Явление последействия в твердом теле // Прикладная математика и механика. - 1941. - Т. 5, № 1. - С. 31-56.

4. Галин. Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. - М. : Наука, 1980. - 304 с.

5. Горшков А. Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 576 с.

6. Гибридные эффективные модули вязкоупругих композитов / А. А. Светашков, Ф. А. Симанкин, М. С. Павлов, А. В. Лушников // Высокие технологии в современной науке и технике (ВТСНТ-2016) : сборник научных трудов V Международной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов, г. Томск, 5-7 декабря 2016 г. — Томск, 2016 . — С. 168-169.

7. Дубровский Д. Д. Расчет изгиба вязкоупругих анизотропных балок / Д. Д. Дубровский, Н. А. Куприянов, М. С. Павлов // Перспективы развития фундаментальных наук : сборник научных трудов XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, г. Томск, 27-30 апреля 2021 г. - 2021. - Т. 6. - С. 35-37.

8. Ефимов А. Б. Метод аналитического продолжения в линейной вязкоупругости стареющих материалов / А. Б. Ефимов, В. И. Малый // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1974. - Вып. 1. - С. 5-13.

9. Ильюшин А. А. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости // Механика полимеров. - 1968. - № 2. -С. 210-221.

10. Ильюшин А. А. Некоторые основные вопросы механики полимеров / А. А. Ильюшин, П. М. Огибалов // Механика полимеров. - 1965. - № 3. - С. 180190.

11. Ильюшин А. А. Основы математической теории термо-вязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. - М. : Наука, 1970. - 280 с.

12. Казанцев В. Г. Динамика и прочность ракетных двигателей на твердом топливе : монография / В. Г. Казанцев, Ю. Б. Жаринов, М. П. Карпутин. - Бийск : Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2014. - 380 с.

13. Колтунов. М. А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчанинов. - М. : Высшая школа, 1983. - 239 с.

14. Колтунов М. А. Сингулярные функции влияния в анализе релаксационных процессов // Прочность и пластичность. - 1971. - С. 277-285.

15. Колтунов М. А. Функции влияния в теории оболочек с наследственными свойствами // Исследования по теории пластин и оболочек. - 1967. - Вып. 5. - С. 640-645.

16. Кристенсен Р. М. Введение в теорию вязкоупругости / Р. М. Кристенсен.

- М. : Мир, 1974. - 340 с.

17. Лавендел Э. Э. Расчет резинотехнических изделий /Э. Э. Лавенделл. - М. : Машиностроение, 1976. - 232 с.

18. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. - М. -Л. : ОГИЗ Гостехиздат, 1947. - 355 с.

19. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехницкий.

- М. : Наука, 1977. - 416 с.

20. Малый В. И. Квазиконстантные операторы в теории вязкоупругости нестареющих материалов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1980. -№ 1. - С. 77-86.

21. Малый В. И. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов / В. И. Малый, Н. А. Труфанов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. - № 6. -С.148-154.

22. Малый В. И. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости кусочно-линейных материалов / В. И. Малый, Н. А. Труфанов // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций : сб. науч. тр. - Свердловск, 1989. - С. 78-85.

23. Манабаев К. К. Модификации приближенных методов расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из вязкоупругих и композиционных материалов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / К. К. Манабаев. -Томск, 2016. - 152 с.

24. Марицкий Н. Н. Моделирование механического поведения материалов элементов конструкций космических аппаратов : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. Н. Марицкий. - Томск, 2013. - 135 с.

25. Матвеенко В. П. Построение решений задач теории упругости в виде рядов по степени упругих постоянных, и их приложения к вязкоупругости / В. П. Матвеенко, И. Е. Трояновский, Г. С. Цаплина. // Прикладная математика и механика. - 1996. - Т. 60, вып. 4. - С. 651-659.

26. Методы прикладной вязкоупругости / А. А. Адамов, В. П. Матвеенко, Н.

A. Труфанов, И. Н. Шардаков. - Екатеринбург : УрО РАН, 2003. - 411 с.

27. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе) /

B. В. Москвитин. - М. : Наука, 1972. - 328 с.

28. Павлов С. М. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости / С. М. Павлов, А. А. Светашков // Известия ВУЗов. Физика. - 1993. - Т. 36, № 4. - С. 129-136.

29. Павлов М. С. Модифицированная формулировка итерационного алгоритма решения задач линейной вязкоупругости на основе разделения временных и пространственных переменных / М. С. Павлов, А. А. Светашков,

Н. А. Куприянов. - DOI: 10.17223/19988621/61/8 // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2020. - № 61. - С. 8294. -

URL: http://journals.tsu.ru/mathematics/&journal_page=archive&id=1905&article_id= 42631 (дата обращения 03.06.2022). - Режим доступа: по договору с организацией-держателем ресурса.

30. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов / Б. Е. Победря. -М. : Изд-во Моск. Ун-та, 1984. - 336 с.

31. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б. Е. Победря. - М. : Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.

32. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. -М. : Наука, 1966. - 752 с.

33. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю. Н. Работнов. - М. : Наука, 1977. - 384 с.

34. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени / А. Р. Ржаницын. - М.-Л. : Гостехиздат, 1949. -252 с.

35. Ржаницын А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. - М. : Издательство литературы по строительству, 1968. - 418 с.

36. Светашков А. А. Итерационные методы решения задач линейной и нелинейной вязкоупругости, термовязкоупругости, термоупругости : дис. ... д-ра. физ.-мат. наук / А. А. Светашков. - Томск, 2000. - 338 с.

37. Светашков, А. А. Модификации эффективных модулей типа Хашина-Штрикмана для двухкомпонентного изотропного композита / А. А. Светашков, Н. А. Куприянов, К. К. Манабаев // Физическая мезомеханика. — 2015 . — Т. 18, № 6. — С. 57-65.

38. Светашков А. А. Новые эффективные по времени характеристики для решения задач линейной вязкоупругости / А. А. Светашков, Н. А. Куприянов, К. К. Манабаев // Известия вузов. Физика. — 2013. — Т. 56, № 7-3. — С. 206-208.

39. Светашков А. А. О решении квазистатических задач теории вязкоупругости изотропного нестареющего тела на основе аналитического метода / А. А. Светашков, М. С. Павлов, А. А. Вакуров // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов. г. Уфа, 19-24 августа 2019 г. - Уфа, 2019. - С. 191.

40. Светашков А. А. Прикладные задачи механики вязкоупругих материалов / А. А. Светашков. - Томск : Изд-во Томского политехнического университета, 2012. - 205 с.

41. Светашков А. А. Расчет изгиба вязкоупругой анизотропной плиты на упругом основании / А. А. Светашков, Д. Д. Дубровский // Современные проблемы машиностроения : сборник трудов XIV Международной научно-технической конференции, г. Томск, 25-30 октября 2021 г. — Томск, 2021. — С. 241-242.

42. Светашков А. А. Эффективные по времени вязкоупругие модули типа Хашина-Штрикмана / А. А. Светашков, Н. А. Куприянов, К. К. Манабаев // Физическая мезомеханика. - 2013. - Т. 16, № 2 . — С. 33-39.

43. Слонимский Г. Л. Релаксационные процессы в полимерах и пути их описания // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 1971. - Т. 13, № 2. -С. 450-460.

44. Труфанов Н. А. Применение метода квазиконстантных операторов с частичными аппроксимациями для прогнозирования эффективных термовязкоупругих характеристик однонаправленного органопастика / Н. А. Труфанов, Е. В. Куимова, А. В. Путилова // Вести Пермского национального. исследовательского политехнического университета. Механика. -2010. - № 3. -С. 31-48.

45. Труфанов Н. А. Применение частичных аппроксимаций в методе квазиконстантных операторов // Вести ПГТУ. Полимерные материалы. - 1997. -№ 3. - С. 86-89.

46. Физическая акустика. Т!., ч. А. Методы и приборы ультразвуковых исследований / ред. У. Мэзон : Пер. с англ. под ред. Л.Д, Розенберга. - М. : Мир, 1966. - 592 с.

47. Якубовская С. В. Явление ползучести и релаксации армированных полиэтиленовых трубопроводов / С. В. Якубовская, Н. Ю. Сильницкая, Е. Ю. Иванова // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 2. - Ч. 8. - С. 1676— 1680.

48. Янкин А. С. Деформационные свойства высоконаполненных вязкоупругих полимеров при двухчастотных законах нагружения : дис. ... канд. техн. наук / А. С. Янкин. - Пермь, 2017. - 136 с.

49. ABAQUS theory manual. - [s. l.] : Dassault Systems, 2019. - 841 p.

50. Algorithm of constructing hybrid effective modules for elastic isotropic composites / A. A. Svetashkov, J. Micinski, N. A. Kupriyanov, [et al.]. DOI : 10.1088/1757-899X/177/1/012095 // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS 2016). — 2017. — Vol. 177. — 012095, 5 p. - URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/177/1/012095 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

51. Algorithm of iterative transformation for effective modules of multicomponent isotropic composite / A. A. Svetashkov, J. Micinski, M. S. Pavlov, A. A. Vakurov. -DOI : 10.1088/1757-899X/177/1/012094 // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS 2016). - 2017. - Vol. 177. — 012094, 6 p. - URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/177/1/012094 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

52. Ananthapadmanabhan S. Numerical techniques for solving truss problems involving viscoelastic materials / S Ananthapadmanabhan, U Saravanan. - DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103479 // International Journal of Non-Linear Mechanics. -2020. - № 122. - 103479. -

URL: https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S0020746220301414?token=7C0DCBB0

BF1C69BB0E0BBFAB4A7C6A393C9D260194D7EC9E60A67266F468B5763B368A

80306C90024467DAC5E4C108CD&originRegion=eu-west-

1&originCreation=20220603131738 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

53. ANSYS Mechanical APDL theory reference / Edit. P. Kohnke. - [s. l.] : ANSYS Inc, 2013. - 988 p.

54. Ataoglu S. A two dimensional mixed boundary - value problems in a viscoelastic medium. // Structural Engineering and Mechanics. - 2009. - Vol. 32, iss. 3. - p.407-427.

55. Barbero E. J. Finite element analysis of composite materials using ABAQUS / E. J. Barbero. - Boca Ration : CRC Press, 2013. - 438 p.

56. Biphasic creep and stress relaxation of articular cartilage in compression: Theory and experiments / V. C. Mow, S. C. Kuei, W. M. Lai, C. G. Armstrong. - DOI : 10.1115/1.3138202 // Journal of Biomechanics. - 1980. - Vol. 102, № 1. - P. 73-84. -URL:

https://asmedigitalcollection.asme.org/biomechanical/article-abstract/102/1/73/416832/Biphasic-Creep-and-Stress-Relaxation-of-Articular?redirectedFrom=fulltext (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users

57. Boltzman L. Zur theorie der elastischen nachwirkung. - DOI : 10.1002/andp.18782411107 // Wiener Berichte. - 1874. - № 70. - P. 275-306. - URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.18782411107 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

58. Calculation by iterative method of linear viscoelastic plate under biaxial tension / A. A. Svetashkov, J. Micinski, K. K. Manabaev, A. A. Vakurov. - DOI : 10.1088/1757-899X/177/1/012078 // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering: Mechanical Engineering, Automation and Control Systems (MEACS 2016). - 2017. -Vol. 177. - 012078, 6 p. - URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/177/1/012078 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

59. Carini A. An energetic formulation for the linear viscoelastic problem. Part I: Theoretical results and first calculations / A. Carini, P. Gelfi, E. Marchina. - DOI : 10.1002/nme.1620380104 // International Journal for Numerical Methods in

Engineering. - 1995. - Vol. 38, iss. 1. - P. 37-62. URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nme.1620380104 (access date: 03.06.2022).

- Access mode: for registered users.

60. Chazal C. Integral approach for time dependent materials finite element method / C. Chazal, R. M. Pitti // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. - 2011. - Vol. 49, iss. 4. - P. 1029-1048.

61. Christensen R. M. Theory of viscoelasticity: an introduction / R. M. Christensen. - New York : Academic, 1980. - 364 p.

62. Ding, A. A Three dimensional thermo-viscoelastic analysis of process-induced residual stress in composite laminates / A. A. Ding, S. Li, L. Zu. -DOI : 10.1016/j.compstruct.2015.03.034 // Composite Structures. - 2015. - Vol. 129. -P. 60-69. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S026382231500207X7via%3Dihub (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

63. Doubal S. Theory of viscoelasticity handbook / S. Doubal, J. Doubal. - [s. l.] : Delter, 2014. - 81 p.

64. Drozdov A. D. Mechanics of viscoelastic solids / A. D. Drozdov. - [s. l.] : Wiley, 1998. - 472 p.

65. Ferry J. D. Viscoelastic properties of polymers / J. D. Ferry. - [s. l.] : Wiley, 1980. - 641 p.

66. Flugge W. Viscoelasticity / W. Flugge. - New York : Blaisdell Press, 1967. -

187 p.

67. Gurtin M. E. On the linear theory of viscoelasticity / M. E. Gurtin, E. Sternberg.

- DOI : 10.1007/bf00253942 // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1962. -Vol.11, iss. 1, P. 291-356. - URL: https://link.springer.com/article/10.1007/BF00253942 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

68. Haj-Ali R. Numerical finite element formulation of the Schapery non-linear viscoelastic material model / R. Haj-Ali, A. Muliana. - DOI : 10.1002/nme.861 // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2004. - № 59. - P. 25-

45. - URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nme.861 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

69. Holzapfel G. A. A viscoelastic model for fiber-reinforced composites at finite strains: Continuum basis, computational aspects and applications / G. A. Holzapfel, T. C. Gasser. - DOI : 10.1016/50045-7825(00)00323-6 // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. - Vol. 190, iss. 34. - P. 4379-4403. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782598003892?via%3Dihub (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

70. Holzapfel G. A. Nonlinear solid mechanics. A continuum approach for engineering / G. A. Holzapfel. - [s. l.] : Wiley, 2001. - 468 p.

71. Humphrey, J. D. Continuum biomechanics of soft biological tissues / J. D. Humphrey // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2003. - Vol. 459, iss. 2029. - P. 3-46.

72. Kaloerov S. A. Solving the problem of linear viscoelasticity for piecewise-homogeneous anisotropic plates / S. A. Kaloerov, A. A. Koshkin. - DOI 10.1007/s10778-018-0851-9 // International Applied Mechanics. - 2017. - Vol. 53, № 6. - P. 1123-1129.

- URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s10778-018-0851-9 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

73. Kaminskii A. A. A Method for solving boundary-value problems of Linear viscoelasticity for anisotropic composites / A. A. Kaminskii, M. F. Selivanov. - DOI : 10.1023/B:INAM.0000015599.90700.86 // International Applied Mechanics. - 2003. -Vol. 39, № 11. - P. 1294-1304. - URL:

https://link.springer.com/article/10.1023/B:INAM.0000015599.90700.86 (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

74. Klinkel S. An anisotropic fibre-matrix material model at finite elastic-plastic strains / S. Klinkel, C. Sansour, W. Wagner. - DOI:10.1007/s00466-004-0629-2 // Computational Mechanics. - 2005. - Vol. 35, iss. 6. - P. 409-417. - URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s00466-004-0629-2 (access date: 03.06.2022).

- Access mode: for registered users.

75. Kwok K. Micromechanics models for viscoelastic plain-weave composite tape springs / K. Kwok S. Pellegrino. - DOI : 10.2514/1.J055041 // AIAA Journal. - 2017. -Vol. 55, iss. 1. - P. 309-321. - URL: https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/1J055041 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

76. Lahellec N. Effective behavior of linear viscoelastic composites: a time integration approach - DOI : 10.1016/j.ijsolstr.2006.04.038 // International Journal of Solids and Structures. - 2007. - Vol. 44, iss. 2. - P. 507-529. - URL: https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2020.0407 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

77. Lakes R. S. Viscoelastic materials / R. S. Lakes. - New York : Cambridge University Press, 2009. - 476 p.

78. Lee E. H. Solution of viscoelastic stress analysis problems using measured creep or relaxation functions / E. H. Lee, T.G. Rogers. - DOI : 10.1115/1.3630057 // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. - 1960. - Vol. 30, iss. 1. - P. 127133. - URL: https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/30/1/127/386798/Solution-of-Viscoelastic-Stress-Analysis-Problems?redirectedFrom=fulltext (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

79. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity / F. Mainardi. - Singapore : Imperial College Press, 2010. - 368 p.

80. Mathematical Model of composite fibre-glass aramide-wired cord rheological properties / M. Pavlov, S. V. Ponomarev, N. Maritsky, S. A. Ponomarev. // AIP Conference Proceedings : 13th International Conference of Students and Young Scientists on Prospects of Fundamental Sciences Development (PFSD 2016). - 2016. - Vol. 1772. - 060002.

81. Matveenko V. Multi-operator boundary value problems of viscoelasticity of piecewise - homogeneous bodies / V. Matveenko, N. Trufanov // Journal of Engineering Mathematics. - 2013. - Vol. 78, № 1. - P. 119-129.

82. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Philosophical Transactions. - 1867. - № 157. - P. 49-88.

83. Mechanical Characterization and viscoelastic model of the ovine temporomandibular joint disc in indentation, uniaxial tension, and biaxial tension / K. M. Labus, J. P. Kuiper, J. Raulinson, C. M. Puttlitz. -DOI : 10.1016/jjmbbm.2020.104300 // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2021. - Vol. 116. -URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S17516161203083657via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

84. Modification of the time-effective moduli of viscoelastic bodies / A. A. Svetashkov, S. C. Fok, N. A. Kupriyanov, [et al.]. - DOI : 10.1007/s11029-019-09843-8 // Mechanics of Composite Materials. - 2019. - Vol. 55, iss. 5. - P. 667-686. -URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11029-019-09843-8 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

85. Moresi L. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials / L. Moresi, F. Dufour, H.-B. Muhlhaus // Journal of Computational Physics. - 2003. - Vol. 184. - P. 476-497.

86. Nedjar B. An anisotropic viscoelastic fibre-matrix model at finite strains: continuum formulation and computational aspects. - DOI : 10.1016/j.cma.2006.09.009 // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. - Vol. 196. -P. 1745-1756. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00457825060030457via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

87. Numerical methods for treating problems of viscoelastic isotropic solid deformation / V. Janovsky, S. Shaw, M. K. Wardy, J. R. Whiteman. - DOI : 10.1016/0377-0427(95)00059-3 // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1995. - Vol. 63, №1. P. 91-107. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/03770427950005937via%3Dihub (access date: 03.06.2022). - Access mode: for registered users.

88. Numerical modeling of nonlinear elastic components of mooring systems / I. Tsukrov, O. Eroshkin, W. Paul, B. Celikkol. - DOI : 10.1109/JOE.2004.841396 // IEEE Journal of Oceanic Engineering. - 2005. - Vol. 30, № 1. - P. 37-46. - URL:

https://ieeexplore.ieee.org/document/1435575 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

89. Pavlov M. S. Comparison of the innovative method for linear viscoelasticity problems with standard ANSYS tools using simple tasks / M. S. Pavlov, A. A. Svetashkov, V. Barashkov. - DOI : 10.1051/epjconf/201922101036 // EPJ Web of Conferences. - 2019. - Vol. 221. - 01036. - URL: https://www.epj-conferences.org/articles/epjconf/abs/2019/26/epjconf_epps2018_01036/epjconf_epps20 18_01036.html (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

90. Pipkin A. C. Lectures of viscoelasticity theory/ A. C. Pipkin. - New York : Springer Verlag, 1986. - 181 p.

91. Reddy J. N. An introduction to continuum mechanics. / J. N. Reddy. - New York : Cambridge University Press, 2008. - 449 p.

92. Saxena P. Nonlinear magneto-viscoelasticity of transversally isotropic magneto-active polymers / P. Saxena, M. Hossain, P. Steinmann // Proceeding of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2014. - Vol. 470, iss. 2166. - 20140082.

93. Schapery R. A. On the characterization of nonlinear viscoelastic materials. -DOI : 10.1002/pen.760090410 // Polymer Engineering and Science. - 1969. - Vol.9, iss. 4. - P. 295-310. - URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/pen.760090410 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

94. Schapery R. A. Stress analysis of viscoelastic composite materials // Journal of Composite Materials. - 1967. - Vol. 1, iss. 3. - P. 228-267.

95. Shankar L. S.Numerical technique for solving truss and plane problems for a new class of elastic bodies / L. S. Shankar, S. Rajthilak, U. Saravanan. - DOI 10.1007/s00707-015-1529-6 // Acta Mechanica. - 2016. - Vol. 227, iss. 11. - P. 31473176. - URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s00707-015-1529-6 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

96. Simcenter Nastran 2019.2 advanced nonlinear theory and modeling guide. - [s. l.] : Siemens Product Lifecycle Management Software Inc., 2019. - 509 p.

97. Simo J. C. On a fully three-dimensional finite-strain viscoelastic damage model: Formulation and computational aspects. - DOI : 10.1016/0045-7825(87)90107-1 // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1987. - № 60. - P. 153173. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/00457825879010717via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

98. Svetashkov A. Modification of the iterative method for solving linear viscoelasticity boundary value problems and its implementation by finite element method / A. Svetashkov, N. Kupriyanov, K. Manabaev. - DOI : 10.1007/s00707-018-2129-z // Acta Mechanica. - 2018. - Vol. 229, iss. 6. - P. 2539 - 2559. - URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s00707-018-2129-z (access date: 06.06.2020). -Access mode: for registered users.

99. Svetashkov A. A. New effective moduli of isotropic viscoelastic composites. Part I. Theoretical justification / A. A. Svetashkov, A. A. Vakurov. -DOI : 10.1088/1757-899X/124/1/012099 // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : Mechanical Engineering Automation and Control Systems (MEACS2015). - 2016. - Vol. 124. - 012099, 4 p. - URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/124/1/012099 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

100. Tang Y. Creep and recovery behavior analysis of space mesh structures / Y. Tang, T. Li, X. Ma // Acta Astronautica. - 2016. - № 128. - P. 455-463.

101. Taylor R. L. Thermomechanical analysis of viscoelastic solids / R. L. Taylor, K. S. Pister, G. L. Goudreas // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1970. - № 2. - P. 45-59.

102. The hybrid effective modules of viscoelastic composites / A. Svetashkov, F. Simankin, N. Kupriyanov, A. Lushnikov. - DOI : 10.4028/www.scientific.net/KEM.743.217 // Key Engineering Materials Scientific Journal : High Technology: Research and Applications (HTRA 2016). - 2017. — Vol. 743. — P. 217-222. - URL: https://www.scientific.net/KEM.743.217 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

103. Thomson J. J. Applications of dynamics to physics and chemistry / J. J. Thomson. - London : Macmillan and Co, 1888. - 330 p.

104. Usability of finite elements eased on the absolute nodal coordinate formulation for deformation analysis of the achilles tendon / L. Obrezkov, A. B. Harish, M. K. Matikainen, P. Eliasson // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2020. - Vol. 129. - 103662.

105. Variable separation method for solving boundary value problems of isotropic linearly viscoelastic bodies / A. A. Svetashkov, N. A. Kupriyanov, M. S. Pavlov, A. A. Vakurov. - DOI : 10.1007/s00707-020-02698-4 // Acta Mechanica. - 2020. - Vol. 231, iss. 9. - P. 3583-3606. - URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s00707-020-02698-4?error=cookies_not_supported&code=c6907e7a-ecea-49ec-ba2f-c0bb8759a675 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

106. Variation of biomechanical, structural, and compositional properties along the tendon to bone insertion site / S. Thomopoulos, G. R. Williams, G.A. Gimbel [et al.]. -DOI : 10.1016/S0736-0266(03)0057-3 // Journal of Orthopaedic Research. - 2003. - Vol. 21, № 3. - P. 413-419. - URL:

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdfdirect/10.1016/S0736-0266%2803%290057-3 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

107. Vertical dynamic response of pile embedded in layered transversely isotropic soil / W. Wu, G. Jiang, S. Huang, C. J. Leo // Mathematical Problems in Engineering. -2014. - Vol. 2014. - 126916, 12 p.

108. Viscoelastic and equilibrium shear properties of human meniscus: Relationships with tissue structure and composition / C. Norberg, G. Filippone, F/ Andreopouolos, [et al.]. - DOI : 10.1016/jjbiomech.2021.110343 // Journal of Biomechanics. - 2021. - Vol. 120. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021929021001238?via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

109. Viscoelastic studies of human subscapularis tendon: Relaxation test and Wiechert model / C. Machiraju, A. V. Phan, A. W. Pearsall, S. Madanagopal. -DOI : 10.1016/j.compb.2006.05.004 // Computer Methods and Programs in Biomedicine.

- 2006. - Vol. 83, iss. 1. - P. 29-33. - URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S14740346090006647via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

110. Volterra V. Lecons sur les fonctions de lignes / V. Volterra. - Paris : Gautierr Villars, 1912. - 230 p.

111. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integrodifferential equations / V. Volterra. - London-Glasgow : Blackie & Son Limited, 1930. - 226 p.

112. Walia R. S. Finite element analysis of media used in the centrifugal force assisted abrasive flow machining process / R. S. Walia, H. S. Shan, P. K. Kumar // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture. - 2006. - Vol. 220, iss. 11. - P. 1775-1785.

113. Wang H. N. Analytical expressions for stress and displacement fields in viscoelastic axisymmetric plate problem involving time - dependent boundary regions. / H. N. Wang, G. H. Nie // Acta Mechanica. - 2010. - Vol. 210, iss. 3. - P. 315-330.

114. Wang J. H. Mechanobiology of tendon. - DOI : 10.1016/j.jbiomech.2005.05.011 // Journal of Biomechanics. - 2006. - Vol. 39, № 9. - P. 1563-1582. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00219290050022657via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

115. Zak A. R. Structural analysis of realistic solid-propellant materials. - DOI : 10/2514/3.29237 // Journal of Spacecraft and Rockets. - 1968. - Vol 5, iss.3. - P. 270275. - URL: https://arc.aiaa.org/doi/10.2514Z3.29237 (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

116. Zener C. Elasticity and anelasticity of metals / C. Zener. - Chicago : University of Chicago Press, 1948. - 170 p.

117. Zienkiewicz O. C. Some creep effects in stress analysis with particular reference to concrete pressure vessels / O. C. Zienkiewicz, M. Watson. - DOI : 10.1016/0029-5493(66)90069-0 // Nuclear Engineering and Design. - 1966. - Vol. 4, iss. 4. - P. 406-412. - URL:

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/00295493669006907via%3Dihub (access date: 06.06.2020). - Access mode: for registered users.

118. Zocher M. A. A thermoviscoelastic finite element formulation for the analysis of composites : Ph.D. Dissertation / M. A. Zocher. - College Station, 1995. - 152 p.

119. Zocher M. A. A three-dimensional finite element formulation for thermoviscoelastic orthotropic media / M. A. Zocher, S.E. Groves, D.H. Allen // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1997. - Vol. 40, iss. 12. -P. 2267-2288.