Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок прямоугольного сечения с учетом ползучести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лапина Анастасия Павловна

• Лапина Анастасия Павловна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Лапина Анастасия Павловна

Введение

Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи

1.1 Обзор публикаций по теории и методам расчета балок на боковое выпучивание

1.2 Обзор экспериментальных исследований по боковому выпучиванию балок

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Устойчивость плоской формы изгиба упругих балок

2.1 Боковое выпучивание идеальных балок постоянного поперечного сечения

2.1.1 Случай шарнирно закрепленной по концам балки под действием равномерно распределенной нагрузки

2.1.2 Консольная балка под действием нагрузки, распределенной равномерно и по треугольному закону

2.1.3 Шарнирно опертая по концам балка под действием сосредоточенной силы

2.2 Боковое выпучивание идеальных балок переменного поперечного сечения

2.3 Боковое выпучивание балок с учетом начальных несовершенств

2.4 Выводы по главе

Глава 3. Кручение брусьев некруглого поперечного сечения из физически нелинейного материала

3.1 Кручение вязкоупругого бруса некруглого поперечного сечения

3.2 Конечно-элементная реализация задачи о кручении вязкоупругого бруса

3.3 Решение тестовых задач

3.3.1 Кручение полимерного бруса прямоугольного поперечного сечения

3.3.2 Релаксация напряжений в закрученном полимерном брусе

3.3.3 Кручение деревянного бруса прямоугольного сечения с учетом ползучести

3.4 Приближенная методика расчета на ползучесть для узких прямоугольных сечений

3.5 Кручение бруса прямоугольного сечения из упругопластического материала

3.6 Выводы по главе

Глава 4. Устойчивость плоской формы изгиба балок с учетом физической нелинейности

4.1 Вывод разрешающих уравнений

4.2 Методика расчета

4.3 Решение тестовых задач

4.3.1 Устойчивость полимерной балки при ползучести

4.3.2 Устойчивость деревянной балки при ползучести

4.4 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программы расчета на ЭВМ

Приложение Б. Внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок прямоугольного сечения с учетом ползучести»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Анализ несущей способности любых конструкций помимо расчета на прочность и жесткость должен включать проверку устойчивости как в целом системы, так и ее элементов в отдельности. Для строительной отрасли это особенно актуально, так как потеря устойчивости происходит внезапно, зачастую при напряжениях существенно ниже предела прочности материала, а также может приводить к значительным разрушениям.

Во многих строительных конструкциях применяются балки постоянной жесткости. С целью снижения материалоемкости целесообразно использовать элементы переменной по длине геометрии. При конструировании элементов сплошного прямоугольного сечения стремятся к наименьшему отношению ширины балки к высоте, из чего следует необходимость проверки на устойчивость плоской формы изгиба. Наиболее актуально это для дощатоклееных балок, поскольку древесина отличается низким модулем сдвига, и плохо работает на кручение.

Кроме того, в настоящее время все большее распространение получают конструкции из полимерных композиционных материалов, для которых также характерен низкий модуль сдвига.

Многие материалы, включая дерево, полимеры и композиты на полимерной основе, характеризуются явно выраженными реологическими свойствами, которые могут существенно влиять на устойчивость элементов конструкций. Таким образом, имеется необходимость в более точной формулировке задачи устойчивости плоской формы изгиба балок с учетом физической нелинейности, обусловленной ползучестью материала.

Степень разработанности проблемы. Вопросами геометрически нелинейного расчета а также анализа устойчивости плоской формы деформирования балочных конструкций занимались многие отечественные и зарубежные исследователи, в том числе Л. Прандтль, С.П. Тимошенко, А.С. Вольмир, Ф. Блейх, А.Р. Ржаницын. Существует сравнительно немного

публикаций, в которых рассматриваются балки переменного сечения, например, работы А.А. Журавлева и А.А. Карамышевой. Довольно редко при расчете на устойчивость плоской формы изгиба учитывается физическая нелинейность, и в основном, как правило, рассматривается нелинейная зависимость между напряжениями и мгновенными деформациями без учета эффекта времени. Вопросы бокового выпучивания балок в условиях ползучести остаются незатронутыми. Экспериментальные исследования показывают значительное отклонение теоретических величин критических нагрузок от экспериментальных, вероятно связанные с неучтенными начальными несовершенствами и работой материала за пределами упругости.

Цель работы: разработка методов расчета балок на устойчивость плоской формы изгиба в условиях ползучести с учетом переменной жесткости и начальных несовершенств.

Задачи исследования:

- разработка алгоритма расчета упругих идеальных балок постоянной и переменной жесткости на устойчивость плоской формы изгиба с учетом вертикального смещения нагрузки относительно центра тяжести поперечного сечения;

- получение разрешающих уравнений и разработка алгоритма расчета на боковое выпучивание упругих балок постоянной и переменной жесткости с начальными несовершенствами;

- получение зависимостей между углом закручивания и крутящим моментом, соотношений между углом закручивания и напряжениями для бруса некруглого поперечного сечения из вязкоупругого материала, а также материала с нелинейной зависимостью между напряжениями и мгновенными деформациями при закручивании;

- построение разрешающих уравнений и разработка алгоритма их решения для расчета на боковое выпучивание вязкоупругих балок с учетом переменной жесткости и начальных несовершенств.

Постановка первых двух задач обоснована тем, что для некоторых материалов возможен переход от решения упругой задачи к решению задачи с учетом ползучести при замене упругих характеристик материала на введенные определенным образом длительные характеристики. Научная новизна работы:

- разработан итерационный алгоритм определения критической нагрузки для упругих идеальных балок при приложении нагрузки с вертикальным смещением относительно центра тяжести поперечного сечения, состоящий в последовательном решении обобщенных вековых уравнений с корректировкой параметра, соответствующего критической нагрузке;

- впервые получено разрешающее уравнение для анализа бокового выпучивания балок из идеализированного материала с начальными неправильностями в виде эксцентриситета приложения нагрузки, начальной погиби в плоскости наименьшей жесткости и начального угла закручивания;

- установлены зависимости между углом закручивания и крутящим моментом, соотношения между углом закручивания и напряжениями для бруса некруглого поперечного сечения из вязкоупругого материала, а также материала с нелинейной зависимостью между напряжениями и мгновенными деформациями при закручивании;

- впервые получена группа дифференциальных уравнений для расчета бокового выпучивания балки переменной жесткости из вязкоупругого материала с учетом начальных несовершенств, и разработан алгоритм их решения;

- предложен новый критерий для определения критического времени, основанный на особенностях изменения во времени нормальных напряжений.

Теоретическая значимость работы:

- установлены ранее не изученные закономерности изменения напряженно-деформированного состояния в процессе ползучести и релаксации в вязкоупругих брусьях некруглого поперечного сечения при кручении;

- выявлены ранее не исследованные особенности изменения во времени напряжений при боковом выпучивании балок в условиях ползучести;

- установлено, что для балок из упругоползучего материала начальные несовершенства существенно влияют на критическое время при боковом выпучивании.

Практическое значение работы: для различных вариантов закрепления и нагружения балок определен поправочный коэффициент к величине критической нагрузки, учитывающий приложение нагрузки над или под центром тяжести; введена величина длительной критической нагрузки при боковом выпучивании балок с учетом ползучести; разработан пакет прикладных программ в среде МайаЬ для расчета упругих и вязкоупругих балок на боковое выпучивание с учетом переменной жесткости и начальных несовершенств, позволяющий использовать произвольные законы ползучести.

Методы исследования. В основе исследования лежат современные методы строительной механики и теории упругости. Исследование базируется на численном моделировании с применением метода конечных разностей и метода конечных элементов. Вычисления производились с использованием современных ПЭВМ и пакета МаЛаЬ. Выполнялось сравнение результатов с решением в программном комплексе ЛИРА-САПР.

Основные положения, выносимые на защиту:

- алгоритм расчета идеальных упругих балок постоянного и переменного сечения на устойчивость плоской формы изгиба;

- разрешающее уравнение и алгоритм расчета на боковое выпучивание упругих балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств;

- разрешающие уравнения и алгоритм определения напряжений при закручивании брусьев некруглого поперечного сечения с учетом ползучести;

- решение задачи о закручивании бруса прямоугольного сечения из упругопластического материала;

- разрешающие уравнения и алгоритм расчета на боковое выпучивание вязкоупругих балок постоянной и переменной жесткости с учетом начальных несовершенств;

- результаты теоретического исследования бокового выпучивания балок при ползучести, понятие длительной критической нагрузки, критерий устойчивости при ползучести для изгибаемых элементов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- проверкой удовлетворения решения всем граничным условиям, дифференциальным и интегральным соотношениям;

- сопоставлением полученных результатов с известными решениями других исследователей;

- сравнением результатов с решениями в МКЭ комплексах.

Внедрение результатов работы. Разработанные автором программные продукты по расчету деревянных балок на боковое выпучивание с учетом нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, а также предложенные автором рекомендации по учету переменной жесткости конструкции, начальных несовершенств и ползучести используются в практике проектирования института ООО «Севкавнипиагропром».

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на международных научно-практических конференциях «Строительство и архитектура: теория и практика развития отрасли» (г. Нальчик, 2018, г. Кисловодск, 2019), XXVIII R-P-S Seminar 2019 (г. Жилина, Словакия, 2019), XXII International Scientific Conference "Construction the Formation of Living Environment" (FORM-2019) (г. Ташкент, 2018).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена на 114 страницах машинописного текста и содержит 54 рисунка и 2 таблицы.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 приведен литературный обзор теоретических и экспериментальных работ по вопросам бокового выпучивания балок постоянного и переменного сечения с учетом различных факторов.

В главе 2 рассматриваются вопросы устойчивости плоской формы изгиба упругих балок. Для идеальных балок постоянной и переменной жесткости приводится итерационный алгоритм определения критической нагрузки на основе метода конечных разностей. Исследуется влияние приложения нагрузки с вертикальным смещением относительно центра тяжести поперечного сечения на ее критическую величину.

Для балок с начальными несовершенствами приводится вывод разрешающего уравнения, учитывающего приложение нагрузки с эксцентриситетом, начальную погибь балки в плоскости наименьшей жесткости, а также начальный угол закручивания. Проводится исследование влияние начальных несовершенств на процесс бокового выпучивания упругих балок.

Глава 3 посвящена вопросам кручения брусьев некруглого поперечного сечения из физически нелинейного материала. Для вязкоупругого стержня произвольного сечения получено дифференциальное уравнение относительно функции напряжений. Предложена методика решения, основанная на применении метода конечных разностей и метода конечных элементов. Проводится исследование напряженно-деформированного состояния бруса прямоугольного поперечного сечения при кручении с использованием линейного (материал -дерево) и нелинейного (материал - ПВХ) закона ползучести. Также исследуется процесс релаксации в брусе, относительный угол закручивания которого во времени остается постоянным.

Приведен вывод разрешающего уравнения для бруса, модуль сдвига которого в поперечном сечении непостоянен. С использованием полученного уравнения решается задача о кручении деревянного бруса с учетом нелинейной зависимости между напряжениями и мгновенными деформациями.

Представлена приближенная методика расчета вязкоупругих брусьев с сечением в виде узкого прямоугольника.

В главе 4 рассматриваются вопросы бокового выпучивания балок из физически нелинейного материала. Получено дифференциальное уравнение, позволяющее рассчитывать балки из вязкоупругопластического материала с учетом переменной жесткости и начальных несовершенств. Изложены вопросы определения длительных критических нагрузок для балок из вязкоупругого материала. На примере деревянной и полимерной балки исследуется влияние начальных несовершенств на величину критического времени при нагрузках, превышающих длительную критическую.

Предлагается новый критерий устойчивости при ползучести, основанный на характере изменения во времени нормальных напряжений.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор публикаций по теории и методам расчета балок на боковое

выпучивание

Вопросы деформационного расчета, а также устойчивости плоской формы изгиба для упругих балок постоянного прямоугольного сечения рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных исследователей. Одни из первых публикаций по этой теме принадлежат Л. Прандтлю, С.П. Тимошенко [1, 2, 3], Ф. Блейху [4], А.Р. Ржаницыну [5, 6], А.С. Вольмиру [7].

Проблема бокового выпучивания балок постоянного и переменного прямоугольного сечения всегда представляла интерес для исследователей. Одной из первых работ, в которых исследуется боковая потеря устойчивости тонкостенных балок постоянной жесткости на основе метода конечных элементов является публикация M. Attard [8]. В указанной статье автор использует положительную определенность второй вариации полной энергии в качестве критерия устойчивости. В статье H. W. Hufendiek и C. Borri [9] производится вывод формул для элементов матрицы жесткости геометрически нелинейного пространственного стержневого конечного элемента. В основу при этом положена общая формулировка Лагранжа. Методика конечно-элементного анализа задач изгиба балок постоянного сечения с учетом геометрической нелинейности описана в работах [10, 11].

Статья [12] посвящена обзору работ по вопросам устойчивости тонкостенных стержней, испытывающих изгиб. Проблема обеспечения устойчивости балки от опрокидывания в случае ее закрепления в одной или нескольких точках по длине рассматривается в работе R. Krumm [13]. В статье P. Dumonteil [14] при анализе устойчивости плоской формы изгиба для балки постоянного сечения также применяются численные методы. Работы [13] и [14] имеют один общий недостаток, состоящий в том, что авторы ограничиваются простейшими расчетными схемами, рассматривая однопролетные и консольные балки постоянной жесткости.

Более сложные задачи, а именно проблемы бокового выпучивания балок переменного сечения, начали исследоваться сравнительно недавно. Одними из первых работ по устойчивости от бокового выпучивания непризматических балок являются статьи Н. Г. Агаева [15, 16]. В первой из указанных статей используется довольно сложный подход, полученное автором разрешающее уравнение представляет собой интегральное уравнение Вольтерры второго рода. Решение указанного уравнения ищется в виде ряда Маклорена и содержит также остаточный член в интегральной форме. Автор также рассматривает вопросы применимости вариационных методов для решения дифференциального уравнения бокового выпучивания. Другая работа Н.Г. Агаева [17], выполненная совместно с Т.Х. Алиевым, посвящена вопросам бокового выпучивания балок из упругопластического материала. Расчет выполняется методом конечных элементов, матрица жесткости выводится из условия минимума полной энергии системы. Необходимо отметить, что применение предложенной авторами методики на практике затруднено, поскольку она требует экспериментального определения коэффициентов, устанавливающих связь между интенсивностями деформаций и напряжений за пределами упругой работы материала.

Некоторые примеры расчета на устойчивость плоской формы деформирования для балок с ломаным очертанием представлены в статье [18] авторов А. Я. Дривинг и В. А. Косиченко. Этой же проблеме посвящена публикация Б. Дурднева [19]. Указанные работы базируются на модификации аппарата метода перемещений, который используется при анализе устойчивости балки, имеющей один перелом оси в случае чистого изгиба. А. Я. Дривинг в работе [18] отмечает, что задача бокового выпучивания балок покрытия в случае их раскрепления из плоскости действия нагрузки при помощи связей или прогонов является статически неопределимой, несмотря на свою кажущуюся простоту. Статическая неопределимость задачи объясняется тем, что при боковом выпучивании конструкции связи жесткости включаются в работу, увеличивая величину критической нагрузки. Учет статической неопределимости позволил бы существенно снизить расход материала.

Одна из работ А.Я. Дривинга более раннего периода [20] посвящена исследованию устойчивости плоской формы деформирования балочных конструкций, имеющих различное число расположенных с одинаковым шагом точечных подкреплений. Автор обнаружил качественные особенности, касающиеся характера потери устойчивости, а также определил величины критических изгибающих моментов для конструкций, имеющих различное отношение высоты поперечного сечения к пролету. Недостатком представленного решения является невозможность его применения к расчету балок переменного сечения, например одно- и двухскатных. Этому же автору принадлежит серия работ [21, 22, 23], в которых разрабатывается специальная форма метода перемещений, позволяющая решать задачи бокового выпучивания балок с различными дискретными подкреплениями. Описанная методика имеет недостаток, состоящий в замене стержневых элементов, жесткость которых представляет непрерывную функцию, элементами кусочно-постоянной жесткости. Еще один недостаток предлагаемого подхода состоит в неопределенности жесткостей пружин, моделирующих раскрепление в концевых сечениях.

В работе [24] исследуются вопросы сопротивления конструкций из дерева в условиях длительных нагрузок. Ползучесть древесины при этом учитывается приближенно путем введения длительного модуля деформации. В статье [25] рассматриваются проблемы расчета на устойчивость плоской формы деформирования балок, испытывающих чистый изгиб, материал которых обладает свойствами пластичности и разупрочнения.

В статье I. Б. Алвй2аЬа1-ОсЬоа [26] приводится описание разработанного автором общего алгоритма, позволяющего анализировать напряженно-деформированное состояние (НДС) и устойчивость конических балок. Упрощенная методика расчета устойчивости балок с высоким поперечным сечением, учитывающая изгибающие моменты в двух плоскостях, предлагается в работе С. БсИеег [27, 28, 29]. Стоит также отметить публикацию Б. А. №Шегсо1 [30], в которой выполняется обзор работ по упругой и неупругой потери устойчивости, в том числе и экспериментальных. Перечисленные в обзоре [30] приемы расчета

имеют общий недостаток, заключающийся в том, что авторы не учитывают раскрепление балок при помощи горизонтальных связей жесткости.

В.С. Шейнкман в своей статье [31] предлагает методику расчета с учетом геометрической нелинейности системы, представляющей собой совокупность стержней-полос, которые объединены между собой упругой плоскостью связей. В описываемой методике дается механическая трактовка, а также содержатся формулы элементов матрицы жесткости раскреплений между смежными узлами в случае прогонного и беспрогонного решения. Почти такая же постановка, получившая более законченный и общий вид в другой статье указанного выше автора [32], используется в задаче устойчивости конструкции, представляющей собой систему балок, объединенную упругой плоскостью связей. Отклоненное равновесное состояние для каждой из балок описывается при помощи теории тонкостенных упругих стержней В.З. Власова [33]. После применения метода Бубнова-Галеркина задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Следует отметить, что предпринятая автором попытка учета работы связей жесткости при решении задач бокового выпучивания балок постоянного сечения является не совсем удавшейся, поскольку автор рассматривал в качестве раскреплений только расположенные в горизонтальной плоскости разрезные балки. Также следует обратить внимание на то, что в заключительной части статьи [32] автор указывает на возможность применения предложенного подхода при расчете устойчивости покрытий зданий, состоящих только из призматических балок.

Р. А. Островерх в своих двух публикациях [34, 35] исследовал вопросы устойчивости стержневых элементов переменного сечения. В указанных работах предлагается достаточно оригинальный прием, позволяющий перейти от расчета стержней переменной жесткости к решению задачи о расчете стержней постоянного сечения. Недостаток предложенного подхода состоит в его ограниченной применимости, а также невозможности непосредственного использования в анализе устойчивости плоской формы деформирования непризматических балок.

В работе B. Heimeshoff [36] объектом исследования выступают составные деревянные балки, состоящие из отдельных слоев, которые связаны между собой при помощи механических связей. Автор устанавливает, что несущая способность, а также деформативность рассматриваемых конструкций существенно зависит как от характеристик материала слоев, так и от податливости соединений. Опираясь на анализ многочисленных экспериментальных данных, B. Heimeshoff приходит к выводу о том, что в существующих методиках расчета не учитывается влияние податливости соединений на положение центра тяжести поперечного сечения. Утверждение автора о пригодности полученных им простых расчетных зависимостей для определения НДС многослойных конструкций как в случае наличия механических связей, так и при использовании клеевых соединений, требует дополнительной проверки, более того, автор рассматривает только балки постоянного таврового и двутаврового сечения, применяемые для небольших пролетов и в основном как несущие конструкции в междуэтажных и чердачных перекрытиях.

В работах И.С. Заривняк [37, 38, 39] также рассматриваются вопросы бокового выпучивания многослойных балок, имеющих связи, которые работают на сдвиг в продольном направлении. Так, в статье [37] исследуется устойчивость плоской формы изгиба элементов с начальными неправильностями. Последние две работы основаны на вероятностном подходе. В них представлено получение формул для вычисления критических величин начальных несовершенств для балок постоянного сечения с использованием энергетического метода. Также определяются вероятностные характеристики, показывающие степень исчерпания несущей способности многослойных балок при потере устойчивости их плоской формы деформирования вследствие наличия начальных погибей. Использование приведенных в указанных выше статьях результатов при проектировании балок переменного сечения, в том числе односкатных и двускатных, не представляется возможным.

В статье авторов И. С. Заривняк и В. Ю. Перель [40] предельная величина начальной технологической или конструктивной погиби полок для составных

двутавровых балок, высота стенки которых изменяется по линейному закону, определяется на основе гипотезы о равенстве критических величин начальных несовершенств для конструкций постоянного и переменного сечения. Такой искусственный прием вызывает большие сомнения в его корректности, поскольку авторы заведомо предполагают идентичными начальные искривления в двух совершенно разных конструкциях, к тому же еще и с двутавровым поперечным сечением. Вместе с этим следует отметить, что вопросы, возникающие при прочностном расчете конструкций и их элементов в случае проведения работ по восстановлению, а также реконструкции зданий и сооружений, включают в себя расчет балок с начальным искривлениями в плоскости наименьшей жесткости. Указанная проблема в настоящее время является одной из наименее исследованных. Также отметим, что действующие нормы проектирования деревянных конструкций [41], несмотря на их актуализацию, этот вопрос вообще не рассматривают. К одним из первых публикаций, в которых исследовалось влияние начальных несовершенств для конструкции в целом, относится монография А.Р. Ржаницына [5]. В указанной работе рассматривались вопросы расчета двутавровых металлических балок с начальным искривлением в горизонтальной плоскости. Б.Е. Родин в статье [42], указывая на недостатки методики, представленной в СНиП 11-25-80 и не учитывающей начальные несовершенства, предлагает начальное искривление изгибаемых элементов принимать в соответствии с первой формой потери устойчивости с наибольшей амплитудой в середине пролета.

Отметим также, что подавляющее большинство исследователей, рассматривающих влияние начальных неправильностей, делают совершенно произвольные априорные предположения касательно характера начальных искривлений изгибаемых элементов конструкций. Довольно часто решение основывается на анализе влияния начального прогиба, заданного уравнением с одним случайным параметром. В результате проблема сводится к решению относительно более простых задач строительной механики. Однако начальные погиби могут иметь разнообразные свойства, и более корректным при оценке

устойчивости изгибаемых элементов с начальными несовершенствами будет использование полученной о них информации в виде массива дискретных значений. Наиболее существенно начальные геометрические неправильности влияют на устойчивость тонкостенных элементов открытого сечения. Указанная проблема исследуется авторами Y. Wang и D. Nethercot в статье [43], в которой они обсуждают, какую опасность представляет потеря устойчивости плоской формы деформирования при поперечном изгибе, изгибно-крутильное выпучивание, а также закритическое поведение для тонкостенных балок двутаврового сечения без боковых ограничителей. Авторы определяют необходимые условия при введении дополнительных подкрепляющих элементов, включающих настилы, обрешетку, прогоны, анализируют два ключевых аспекта рассматриваемой проблемы: определение требуемой жесткости элементов подкрепления с целью увеличения несущей способности балочных конструкций до необходимого уровня, а также анализ прочности вводимых элементов подкрепления при действии нагрузок, передаваемых на них основной балкой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лапина Анастасия Павловна, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней пластин и оболочек [Текст] / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1971. - 810 с.

2. Тимошенко, С.П. Механика материалов [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж. Гере. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

3. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем [Текст] / С.П. Тимошенко. - Л., М.: Гостехиздат, 1946. - 532 с.

4. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций [Текст] / Ф.Блейх. -М.: Физматгиз, 1959. - 544 с.

5. Ржаницын, А.Р. Расчет металлических двутавровых балок, получивших начальное искривление в горизонтальной плоскости [Текст] / А.Р. Ржаницын. - Л., М.: Стройиздат, 1946. - 30 с.

6. Ржаницын, А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем [Текст] / А.Р. Ржаницын. - М.: Гостехиздат, 1955. - 475 с.

7. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1975. - 984 с.

8. Attard, M. M. Lateral buckling analysis ol beams by the FEM [Текст] / M.M. Attard // Comput. and Struct. - 1986. - № 2. - Pp. 217-231.

9. Borri, С. Geometrically nonlinear behavior of space beam structures [Текст] / C. Borri, H.W. Hulendiek // J. Struct. Mech. - 1985. - № 1. - Pp. 1-26.

10. Hsiao, K.M. A practical large displacements inplane analysis of elastic beams [Текст] / K.M. Hsiao, G.Y. Hou // Comput. Mech. 86: Theory and Appl. Proc. Int. Conf., Tokyo, May 25-29, 1986. Vol. 1. Tokyo e.a., 1986, III/59-III/64.

11. Рыбаков, В. А. Напряженно-деформированное состояние элементов каркасных сооружений из тонкостенных стержней [Текст] / В.А. Рыбаков, О.С. Гамаюнова // Строительство уникальных зданий и сооружений. - 2013. - №7. URL: http ://unistroy. spb.ru/ index_2013_12/10_rybakov_.

12. Гарифуллин, М. Р. Устойчивость тонкостенного холодногнутого профиля при изгибе - краткий обзор публикаций [Текст] / М.Р. Гарифуллин, Н. И. Ватин //

Строительство уникальных зданий и сооружений. - 2014. - №6. URL: http ://www.unistroy. spb.ru/index_2014_21 /3_gari.

13. Krumm, R. Bemessung eines Stabilisierungsriegels unter Beriicksichtigung der Riegelhohe [Текст] / R. Krumm // Stahlbau. - 1987. - № 9. - Pp. 267-270.

14. Dumonteil, P. Calcul numerique exact du deversement ela-stique d'une poutre flechie [Текст] / P. Dumonteil // Constr. met. - 1986. - № 26. - Pp. 17-70.

15. Агаев, Н. Г. Вычисление значений критического параметра для балок с переменным поперечным сечением [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1985. - №12. - С. 19-22.

16. Агаев, Н.Г. Некоторые особенности решения задач устойчивости плоской формы изгиба балок [Текст] / Н.Г. Агаев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986. - № 12. - С. 20-24.

17. Алиев, Т. Х. Решение задач неупругой устойчивости плоской формы изгиба методом конечных элементов [Текст] / Н.Г. Агаев, Т.Х. Алиев // Строительная механика сооружений. - 1989. - С. 66-71.

18. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба балок ломанного очертания [Текст] / А. Я. Дривинг, В. А. Косиченко // Исследования по строительной механике и надежности конструкций. - 1986. - №5. - С. 143-153.

19. Дурднев, Б. Устойчивость плоской формы чистого изгиба балок ломанного очертания с точечными подкреплениями [Текст] / Б. Дурднев // Теория сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского канала им. В.И. Ленина. - 1985. - №1. - С. 106-119.

20. Дривинг, А. Я. Исследование устойчивости плоской формы чистого изгиба балок с дискретными подкреплениями [Текст] / А. Я. Дривинг, Б. Дурднев // Теория сооружений и расчет строительных конструкций в зонах Каракумского канала им. В.И.Ленина. - 1985. - №1. - С. 126-.

21. Дривинг, А. Я. Аппарат метода перемещений в задачах устойчивости плоской формы сжато-изгибаемых стержневых систем [Текст] / А.Я. Дривинг // Строительная механика и расчет сооружений. - 1987. - №1. - С. 56-62.

22. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба стальных стержневых конструкций [Текст] // Металлоконструкции и испытание сооружений / А.Я. Дривинг. - Л., 1987. - С. 49-55.

23. Дривинг, А. Я. Об устойчивости плоской формы изгиба статически неопределимых тонкостенных балок [Текст] / А.Я. Дривинг // Строительная механика и расчет сооружений. - 1988. - № 5. - С. 34-37.

24. Пятикрестовский, К. П. Силовое сопротивление пространственных деревянных конструкций при кратковременных и длительных нагрузках : дис. ... докт. техн. наук : 05.23.01 / - К.П. Пятикрестовский. - Москва, 2011. - 320 с.

25. Стружанов, В. В. Итерационные процедуры расчёта параметров равновесия и устойчивость процесса чистого изгиба балок из пластических и хрупких разупрочняющихся материалов [Текст] / В. В. Стружанов, Е.А. Бахарева //Вестник Самарского гос. техн. ун-та. - 2010. - №. 1.

26. Aristizabal-Ochoa, I. D. Statics, stability and Vibration ol nonprismatic beams and columns [Текст] / I.D. Aristizabal-Ochoa // J. Sound and Vibr. - 1993. - № 3. - Pp. 441-445.

27. Scheer, C. Vorschlag einer erwei-terten Seiten last q bei Normalkraftbeamspruchung [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F. S. Szu // Bauen mit Holz. - 1992. - Pp. 1014-1021.

28. Scheer, C. Beitrag zum Kipp-Stabi-litatsnachweis im Holzbau. Vorschlag eines lastabhangigen K-Werts [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, S. Eang. // Bauen Holz. -1994. - № 1. - Pp. 17-21.

29. Scheer, C., Laschinski C., Szu F.S. Vorschlag eines lastabhangigen К -Werts [Текст] / C. Scheer, C. Laschinski, F.S. Szu // Holzbau-Statik-Aktuel. Information zur Berechnung von Holzkonstruktionen. - 1992. - №4. - Pp. 12-16.

30. Nethercot, D.A. Lateral buckling [Текст] / D.A. Nethercot // Stabil. Steel.Struct. - 1988. - №1. - Pp.217-235.

31. Шейнкман, В. С. Расчет по деформированной схеме стержней-полос, соединенных плоскостью связей [Текст] / В.С. Шейнкман // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1983. - №2. - С. 18-22.

32. Шейнкман, В.С. Устойчивость плоской формы изгиба системы балок с непрерывными связями [Текст] / В.С. Шейнкман // Строительная механика и расчет сооружений. - 1989. - № 4. - С. 44-48.

33. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни [Текст] / В.З. Власов. - М.: Физматгиз, 1959. - 586 с.

34. Островерх, Р. А. Исследование потери устойчивости стержней переменного сечения [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и зашита судов от коррозии. - 1985. - №3. - С. 38-40.

35. Островерх, Р.А. Собственные значения при потере устойчивости стержней [Текст] / Р.А. Островерх // Прочность корпуса и защита судов от коррозии. - 1989. - №5. - С. 80-85.

36. Heimeshoff, В. Zur Berechnung von Biegetragern aus nach-giebig miteinander verbundenen Querschnittsteilen im Ingenieurholzbau [Текст] / B. Heimeshoff // Holz Roh- und Werkst. - 1987. - № 6. - Pp. 237-241.

37. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба криволинейного составного стержня с учетом начальных неправильностей [Текст] / И. С. Заривняк, Г. Р. Заривняк // Проблемы прочности. - 1986. - № 2. - С. 43-44.

38. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба слоистого стержня под воздействием начальных прогибов [Текст] / И. С. Заривняк // Проектирование самолетных конструкции и их соединений. - 1986. - №3. - С. 132-136. .

39. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составного стержня со случайными начальнымим неправильностями [Текст] / И. С. Заривняк // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1988. - № 5. - С. 32-35.

40. Заривняк, И. С. Устойчивость плоской формы изгиба составных балок с переменными поперечными сечениями и начальными неправильностями [Текст] / И.С. Заривняк, В.Ю. Перель // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1988. -№1. - С. 36-39.

41. СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-25-80.

42. Родин, Б. Е. Деформационный метод расчета устойчивости деревянных изгибаемых элементов [Текст] / Б.Е. Родин // Исследование прочности и эффективности современных конструкций из древесины и пластмасс. - МИСИ им.

B. В. Куйбышева. - 1987. - С. 62-66.

43. Wang, Y. C. Bracing reguirements for elate-rally unrestrained beams / Y.C. Wang, D.A. Nethercot [Текст] // J. Constr. Steel Res. - 1990. - №4. - Pp. 305-315.

44. Зарифьян, А. З. Об устойчивости двутавровых балок при действии внецентренно приложенной поперечной нагрузки [Текст] / А.З. Зарифьян // Строительство и архитектура. - 1966. - № 1. - С. 69-74.

45. Duy, W. Das Ersatzstabverfahren im Holzbau [Текст] / W. Duy // Bauingenieur. - 1988. - № 6. - Pp. 253-266.

46. Mollman, H. Interactive buckling in thin-walled beams. Part. 1. Theory [Текст] / H. Mollman, P. Golterman // Rept. Dan. Cent. Appl. Math and Mech. - 1987. - № 344.

- Pp. 1-26.

47. Nevrly, V. Pouziti metodi prenosovych matic pro reseni kombinace ohybu a tlaku (tahu) primych nosniku [Текст] / V. Nevrly // Strojirenstvi. - 1988. - № 11. - P. 597-603.

48. Williams, F. W. Buckling curves for elastically-supported columns with varying axial force, to predict lateral buckling of beams [Текст] / F. W. Williams, A.K. Jemah // Constr. Steel Res. - 1987. - № 2. - Pp. 133-147.

49. Wang, C. M. Out-of-plane buckling formulae for beam-columns (tiebeams) [Текст] / C.M. Wang, S. Kitipornehai // Res. Rept. Univ. Queensl. Dep. Civ. Eng. - 1988.

- № 92. - Pp. 11-23.

50. Тамакулов, С. П. Исследование устойчивости плоской формы изгиба клееных деревянных балок, раскрепленных боковыми жесткими связями [Текст] /

C.П. Тамакулов // Новые облегченные конструкции зданий. - Ростов-на-Дону: РИСИ, 1982. - С. 102-107.

51. Goltermann, P. Lateral distirtional buckling: pedicting elastic critical stress [Текст] / P. Goltermann, S.E. Svensson // J. Struct. Eng. (USA). - 1988. - №7. - Pp. 1606-1625.

52. Kessel, M. H. Zur seitlichen Stabilisierung des unterspannten Tragers [Текст] / M. H. Kessel // Bauingeniertr. - 1988. - № 6. - Pp. 281-287.

53. Kessel, M. H. Zum raumlichen Tragverhalten von Nagelplatten-bindern [Текст] / M. H. Kessel // Bauingenieur. - 1996. - №71. - Pp. 211-218.

54. Mohler, K. Zur Bemessung von Knickverbanden und Knickaussteif ungen im Holzbau [Текст] / K. Mohler, W. Schelling // Bauingenieur. - 1968. - №. 2. - Pp. 43-48.

55. Pienaar, R. P. The effective length and bracing requirments for out of plane buckling of timber rafters in compression [Текст] / R.P. Pienaar // J. Afr. Forest. J. -1986. - № 137. - Pp. 13-25.

56. Wang, C. M. Buckling of braced monosymmetrie cantilever [Текст] / C.M. Wang, S. Kitipornehai, V. Thevendran // Int. J. Mech. Sci. - 1987. - № 5. - Pp. 321-337.

57. Reyer, E. Zum genaueren Nachweis der Kippstabi-litat biegebeanspruehter parallelgurtiger Brettschichtholz-Trager mit seitliehen Zwisehenabstiitzimgen des Obergurtes nach Theorie II.Ordnung [Текст] / E. Reyer, D. Stojic // Holzbau-Statik-Aktuel. - 1992. - № 4. - Pp.2-11.

58. Чепурненко, А.С. Расчёт на устойчивость полимерных стержней при изменении температуры в поперечном сечении [Текст] / А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов, А.А. Тараева // Строительство-2013: Материалы международ. науч.-практ. конф. — Ростов-н/Д: РГСУ, 2013. — С.194-195.

59. Чепурненко, А.С. Расчёт стержней на продольно-поперечный изгиб с учётом деформаций ползучести и начальных несовершенств [Текст] / А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов, М.А. Филенко // Строительство-2013: Матер. междунар. науч. - практ. конф. — Ростов-н/Д: РГСУ,2013. — С.195.

60. Козельская, М.Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций [Текст] / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно-технический вестник Поволжья. — 2013. — №4. — С. 190-194.

61. Козельская, М.Ю. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / М. Ю. Козельская, А.

С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2013. — №2. — URL: http:/ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

62. Козельская, М.Ю. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов [Текст] / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С.Б. Языев // Науковедение. — 2013. — №2 3. — URL: http://naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.

63. Чепурненко, А.С. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести [Текст] / А. С. Чепурненко, В. И. Андреев, Б. М. Языев // Вестник МГСУ. — 2013. — №1. — С. 101-108.

64. Andreev, V.I. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep [Текст] / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M. Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.

65. Дудник, А.Е. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / А.Е. Дудник, Н.И. Никора, А.С. Чепурненко, С.Б. Языев // Известия Кабардино-Балкарского государственного университета. — 2015. — C. 106-108.

66. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня в условиях нелинейной термовязкоупругости [Текст] / Н. И. Никора, А. С. Чепурненко, А. Е. Дудник // Научно-технический вестник Поволжья. — 2015. — № 4. — С. 107-110.

67. Чепурненко, А.С. Устойчивость продольно-сжатых стержней переменной жесткости [Текст] / А.С. Чепурненко, Н.И. Никора // Строительство-2015: Материалы международ. науч.-практ. конф. — Ростов-н/Д: РГСУ, 2015. — С. 103104.

68. Horvath, L. Lateral buckling of continuous beams [Текст] / L. Horvath, M. Ivanyi, W. Karoly // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem Otto Halasz. - Vol. 1. - Budapest. - 1988. - Pp. 287-294.

69. Ings, N. L. Beam and column buckling under directed loading [Текст] / N.L. Ings, N.S. Trahair // J. Struct. Lng. - 1987. - № 6. - Pp. 1251-1263.

70. Lindner, J. Comments to theme III: lateral buckling [Текст] / J. Lindner // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Colloq., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem. Otto Halasz. -Vol.1. - Budapest, 1988. - Pp. 345-348. .

71. Melcher, J. Restrained beam buckling-theory and experiments [Текст] / J. Melcher // Stabil. Steel Struct: 2nd Reg. Collog., Tihany, Sept. 25-26, 1986: Mem Otto Halasz. - Vol.1. Budapest, 1988. - Pp. 303-310.

72. Журавлев, А. А. Устойчивость плоской формы деформирования непризматических дощатоклееных балок : дис. ... канд. техн. наук : 05.23.01. -Ростов-на-Дону, 1998. - 154 с.

73. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при чистом изгибе [Текст] / А. А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. - 1995. - № 5 - 6. - С. 29-35.

74. Журавлёв, А. А. Устойчивость непризматических балок при действии сосредоточенной силы [Текст] / А.А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. - 1996. - № 4. - С. 110-113.

75. Журавлёв, А. А. Влияние положения точки приложения силы на устойчивость плоской формы изгиба непризматической балки [Текст] / А.А. Журавлев // Изв. вузов. Строительство. - 1996. - № 7. - С. 7-10.

76. Мартемьянов, В. И. Об устойчивости призматических деревянных балок при изгибе силой, приложенной не посередине пролёта [Текст] / В. И. Мартемьянов, А. А. Журавлев // Лёгкие строительные конструкции. - Ростов-на-Дону: РГАС, 1996. - С. 58-69.

77. Карамышева, А. А. Совершенствование расчета на устойчивость плоской формы изгиба деревянных балок переменного сечения и их оптимизация: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / А.А. Карамышева. - Ростов-на-Дону, 2016 - 124 с.

78. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок переменной жесткости [Текст] / А. А. Карамышева, С. Б. Языева, А. С. Чепурненко // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. — 2016. — № 1. — С. 95-98.

79. Карамышева, А.А. Устойчивость плоской формы изгиба односкатной дощатоклееной балки [Текст] / А.А. Карамышева, А.С. Чепурненко, Б.М. Языев // Научное обозрение. — 2016. — № 7. — С. 25-27.

80. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования односкатной балки [Текст] / А.А. Карамышева, Н.И. Никора, С.Б. Языев // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. - 2015. -С. 32-35.

81. Карамышева, А.А. Выпучивание двухскатной балки при чистом изгибе // А.А. Каамышева, С.Б. Языев, А.Е. Дудник [Текст] // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. - 2015. - С. 35-37.

82. Karamisheva, A.A. Calculation of plane bending stability of beams with variable stiffness [Текст] / A.A. Karamisheva, S.B. Yazyev, A.A. Avakov // Procedia Engineering. - 2016. - Vol.150. - Pp. 1872-1877.

83. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] / В.И. Самуль. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

84. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности [Текст] / Г.С. Варданян [и др.] - М.: Издательство АСВ, 2015. - 568 с.

85. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегерлинд. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

86. Andreev, V.I. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep [Текст] / V. I. Andreev, B. M. Yazyev, A. S. Chepurnenko // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 900. — С. 707-710.

87. ^epurnenko, A.S. Determination of Rheological Parameters of Polyvinylchloride at Different Temperatures [Электронный ресурс]/ A.S. Chepurnenko, V.I. Andreev, A.N. Beskopylny, B.M. Jazyev // MATEC Web of Conferences. — 2016. — Т. 67. — С. 06059. — Режим доступа: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/abs/2016/30/matecconf_smae2016_06059/mateccon f smae2016 06059.html

88. Клименко, Е. С. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учётом физической нелинейности материала : дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Е.С. Клименко. - Ростов-на-Дону, 2011. - 112 с.

89. Вареник, К. А. Расчет центрально-сжатых деревянных элементов с учетом ползучести: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.01 / К.А. Вареник. - Великий Новгород, 2015. - 167 с.

90. Никора, Н.И. Определение длительных критических нагрузок для сжатых полимерных стержней при нелинейной ползучести [Электронный ресурс] / Н. И. Никора, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Инженерный вестник Дона. — 2015. — № 1. — Режим доступа: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2796.

91. Никора, Н. И. Продольный изгиб стержней переменной жесткости с учетом деформаций ползучести и температурных воздействий: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / Н.И. Никора. - Махачкала, 2016. - 118 с.

92. Никора, Н.И. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом дискретного спектра времен релаксации полимера [Текст] / Н.И. Никора [и др.] // Научное обозрение. — 2016. — № 4. — С. 40-43.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА НА ЭВМ

Расчет деревянной балки прямоугольного сечения на боковое выпучивание с

учетом ползучести

clc

clear variables Ь=5;%ширина сечения, см h=15; %высота сечения, см %Осевые моменты инерции Iz=bA3*h/12; Iy=b*hA3/12;

Е=1.48е3;%Модуль упругости, кН/см2

0=50;%Модуль сдвига,кН/см2

El=1e3;%Длительный модуль упругости

Gl=33.8;%Длительный модуль сдвига

n=18; %Время релаксации, сут

l=30 0;%Длина балки, см

ny=10;%количество интервалов по y

nz=30;%количество интервалов по z

dy=b/ny;%шаг по y

dz=h/nz;%шаг по z

P=1.25;%Нагрузка, кН

е=0.04;%Эксцентриситет, см

nx=2 0;%количество интервалов по х

dx=l/nx;%шаг по х

t=200; %Время, сут

nt=100;%количество отрезков по времени dt=t/nt;%шаг по времени %Определение крутильной жесткости ind=zeros(ny+1,nz+1); k=1;

for i=1:ny+1

for j=1:nz+1

ind(i,j)=k; k=k+1;

end

end

Matr=zeros((ny+1)*(nz+1),(ny+1)*(nz+1)); Svob=zeros(1, (ny+1)*(nz+1)); for i=1:ny+1

for j=1:nz+1

if i~=1&&j~=1&&i~=ny+1&&j~=nz+1 k=ind(i,j);

Matr(k,k)=-2/dyA2-2/dzA2;

k1=ind(i+1,j);

Matr(k,k1)=1/dyA2;

k1=ind(i-1,j);

Matr(k,k1)=1/dyA2;

k1=ind(i,j-1);

Matr(k,k1)=1/dzA2;

k1=ind(i,j+1);

Matr(k,k1)=1/dzA2;

Svob(k)=-2;

else

k=ind(i,j); Matr(k,k)=1; Svob(k)=0;

end

end

end

Fi=Matr\Svob' ; Ik=0 ;

for i=1:ny+1

for j=1:nz+1

y=-b/2+(i-1)*dy; z=-h/2+(j-1)*dz ; Ik=Ik+Fi(ind(i,j))*2*dy*dz;

end

end

Pkr=4.01/lA2*(G*Ik*E*Iz)A0.5;%Мгновенная критическая нагрузка

Pdl=4.01/lA2*(Gl*Ik*El*Iz)A0.5;%Длительная критическая нагрузка

Tmax=zeros(1,nt+1);

Mkr=zeros(1,nx+1);

Mkr =zeros(1,nx+1);

Mz=zeros(1,nx+1);

My=zeros(1,nx+1);

gamma zx =zeros(nx+1,ny+1,nz+1); gamma yx =zeros(nx+1,ny+1,nz+1); tau yx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1); tau zx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1); gamma yx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1); gamma zx=zeros(nx+1,ny+1,nz+1); ez=zeros(nx+1,ny+1,nz+1); sigma=zeros(nx+1,ny+1, nz + 1) ; tau yx max=zeros(1,nt+1); tau zx max=zeros(1,nt+1); smax=zeros(1,nt+1); for it=1:nt+1 matr=zeros(nx+1,nx+1); svob=zeros(nx+1,1); matr(1,1)=1; Mkr_=dif(Mkr, dx) ; for i=2:nx

x=(i-1)*dx;

matr(i,i)=-2/dxA2*G*Ik+PA2*(l-x)A2/E/Iz; matr(i,i-1)=1/dxA2*G*Ik; matr(i,i+1)=1/dxA2*G*Ik; svob(i)=Mkr_(i)+P*(l-x)/E/Iz*Mz(i);

end

matr(nx+1,nx-1)=1/2/dx; matr(nx+1,nx)=-2/dx; matr(nx+1,nx+1)=3/2/dx; svob(nx+1)=(P*e+Mkr(nx+1))/G/Ik; Theta=matr\svob; Tmax(it)=max(abs(Theta)); Theta_=dif(Theta,dx); %Определение напряжений Mkr=zeros(1,nx+1); My=zeros(1,nx+1); Mz=zeros(1,nx+1); for i=1:nx+1

x=(i-1)*dx;

V_=(P*(l-x)*Theta(i)-Mz(i))/E/Iz; W_=(-P*(l-x)-My(i))/E/Iy; Svob=zeros(1, (ny+1)*(nz+1)); for j =2:ny for k=2:nz m=ind (j,k) ;

Svob(m)=-2*G*Theta (i)+G*(gamma zx (i,j,k)-gamma yx (i,j,k)); end end

fi=Matr\Svob'; Fi=zeros(ny+1,nz+1); for j=1:ny+1 for k=1:nz+1

Fi(j,k)=fi( ind (j,k) ) ; end end

%Определение напряжений и деформаций ползучести4 for j=1:ny+1

for k=1:nz+1

if k~=1&&k~=nz+1

tau_yx(i,j,k) = (Fi(j, k+1)-Fi(j,k-1) )/2/dz; elseif k==1

tau_yx(i,j,k)=(-3*Fi(j,k)+4*Fi(j,k+1)-Fi(j,k+2))/2/dz;

else

tau_yx(i,j,k) = (3*Fi(j,k)-4*Fi(j, k-1)+Fi(j, k-2) )/2/dz;

end

if j~=1&&j~=ny+1

tau_zx(i,j,k)=-(Fi(j+1,k)-Fi(j-1,k))/2/dy; elseif j==1

tau_zx(i,j,k)=-(-3*Fi(j,k)+4*Fi(j+1, k)-Fi(j+2, k) )/2/dy;

else

tau_zx(i,j,k)=-(3*Fi(j,k)-4*Fi(j-1,k)+Fi(j-2,k))/2/dy;

end

y=-b/2+(j-1)*dy; z=-h/2+(k-1)*dz;

sigma(i,j,k)=-E*(y*V_+z*W_+ez(i,j,k)); ez(i,j,k)=ez(i,j,k)+(1/n/E*((1-El/E)*sigma(i,j,k)-El*ez(i,j,k)))*dt;

gamma yx(i,j,k)=gamma yx(i,j,k)+(1/n/G*((1-Gl/G)*tau yx(i,j,k)-Gl*gamma yx(i,j,k)))*dt;

gamma zx(i,j,k)=gamma zx(i,j,k)+(1/n/G*((1-Gl/G)*tau zx(i,j,k)-Gl*gamma zx(i,j,k)))*dt;

if j~=1&&k~=1&&j~=ny+1&&k~=nz+1

delt=dy*dz; elseif or(j==1&&k==1,j==ny+1&&k==nz+1)

delt=dy*dz/4; elseif or(j==1&&k==nz+1, j==ny+1&&k==1) delt=dy*dz/4;

else

delt=dy*dz/2;

end

Mkr(i)=Mkr(i)+G*(-gamma yx(i,j,k)*z+gamma zx(i,j,k)*y)*delt; My(i)=My(i)+E*ez(i,j,k)*z*delt; Mz(i)=Mz(i)+E*ez(i,j,k)*y*delt;

end

end end

tau yx max(it)=max(max(max(abs(tau yx)))); tau zx max(it)=max(max(max(abs(tau zx)))); smax(it)=max(max(max(abs(sigma)))); clc

proc=fix(it/(nt+1)*10 0) end

time=0:dt:t;

%Вывод графика изменения относительного угла закручивания figure;

plot(time, Tmax);

%Вывод графика изменения максимальной величины касательных напряжений figure;

plot(time,tau zx max*10); hold on

%Определение критического времени

tkr=0;

for i=1:nt

if smax(i+1)>smax(i) tkr=(i-1)*dt; break

end

end tkr

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ