Развитие методов расчета двутавровых балок переменного по длине сечения на устойчивость плоской формы изгиба тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зотов Иван Михайлович

• Зотов Иван Михайлович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Зотов Иван Михайлович

Введение

Глава 1. Состояние вопроса. Постановка задачи

1.1 Обзор публикаций по проблеме бокового выпучивания балок

1.2 Вывод разрешающего уравнения

1.3 Выводы по главе

Глава 2. Устойчивость плоской формы изгиба балок постоянной жесткости

2.1 Методика расчета

2.2 Приведение дифференциального уравнения устойчивости балки к безразмерному виду

2.3 Шарнирно-опертая по концам балка под действием сосредоточенной силы

2.4 Консольная балка под действием равномерно распределенной по длине нагрузки

2.5 Консольная балка под действием сосредоточенной силы на конце

2.6 Устойчивость плоской формы изгиба составных балок

2.7 Выводы по главе

Глава 3. Устойчивость балок переменного сечения

3.1 Устойчивость односкатных и двускатных двутавровых балок

3.2 Расчет на устойчивость балок с гофрированной стенкой

3.3 Применение разработанной методики к расчету балок с перфорированной стенкой

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Энергетический метод в расчетах тонкостенных стержней на боковое выпучивание

4.1 Устойчивость плоской формы изгиба балок с узким прямоугольным поперечным сечением

4.2 Устойчивость двутавровых балок постоянного поперечного сечения

4.3 Устойчивость двутавровых балок переменной жесткости

4.4 Выводы по главе

Глава 5. Экспериментальное исследование устойчивости двутавровых балок

5.1 Методика проведения эксперимента

5.2 Учет начальных несовершенств при расчете балок на боковое выпучивание

5.3 Результаты эксперимента

5.4 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие методов расчета двутавровых балок переменного по длине сечения на устойчивость плоской формы изгиба»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Потеря устойчивости строительных конструкций представляет собой опасное явление, поскольку она может происходить мгновенно и зачастую задолго до исчерпания прочностного ресурса материала. Поэтому оценка несущей способности требует помимо расчетов на прочность и жесткости проводить анализ устойчивости как системы в целом, так и отдельных ее элементов. Во многих конструкциях применяются элементы с постоянной по длине геометрией поперечного сечения, однако для снижения материалоемкости целесообразно использовать элементы переменной жесткости.

Балки двутаврового сечения относятся к наиболее распространенным конструктивным изгибаемым элементам. Такое поперечное сечение в тридцать раз жестче и в семь раз прочнее квадратного сечения с аналогичной площадью, однако двутавр обладает низкой жесткостью на кручение. Отсюда вытекает необходимость проверки на устойчивость плоской формы деформирования. Отечественные и зарубежные нормы проектирования стальных конструкций в вопросе расчета на устойчивость плоской формы изгиба весьма консервативны и не содержат рекомендаций по учету переменной жесткости. Также в последнее время все более широко встречаются облегченные двутавровые конструкции с перфорированной или гофрированной стенкой, для которых единственным методом определения критической нагрузки является конечно-элементное моделирование с использованием оболочечных конечных элементов. Для расширения области применения указанных конструкций имеется необходимость в альтернативных более простых и в то же время надежных методах.

Степень разработанности проблемы. Первые работы по вопросам устойчивости плоской формы деформирования изгибаемых элементов появились еще в конце XIX - начале XX века (Л. Прандтль, А.Г. Мичелл и др.) Большой вклад в решение проблемы упругой устойчивости двутавровых балок был внесен Ф. Блейхом, С. П. Тимошенко, Дж. Гере, А. С. Вольмиром. Балки переменного сечения довольно редко рассматриваются в литературе. В работах А. А. Журавлева

и А. А. Карамышевой объектом исследования выступают конструкции переменной жесткости с узким прямоугольным сечением. Из зарубежных исследователей вопросами устойчивости балок переменной жесткости занимались B. Asgarian, M. Soltani, F. Mohri. Вопросы расчета балок с перфорированной и гофрированной стенкой исследовали такие ученые, как А. И. Притыкин, В. А. Рыбаков, В. М. Домрачев, А. О. Лукин, В. Ю. Алпатов, однако они затрагивали в основном проблемы определения напряженно-деформированного состояния и местной устойчивости.

Цель работы: разработка и совершенствование методов расчета на боковое выпучивание двутавровых балок постоянной и переменной по длине жесткости, а также балок с перфорированной и гофрированной стенкой. Задачи исследования:

- вывод разрешающего уравнения для расчета двутавровых балок переменного по длине сечения на устойчивость плоской формы изгиба;

- разработка методики расчета двутавровых балок постоянной и переменной жесткости на устойчивость плоской формы деформирования с использованием метода конечных разностей и метода коллокации, получение расчетных зависимостей, пригодных для инженерных вычислений;

- разработка методики расчета на боковое выпучивание двутавровых балок с перфорированной и гофрированной стенкой, а также составных балок, стенка и полки которых выполнены из различных материалов;

- подтверждение полученных результатов путем численного эксперимента в конечно-элементных комплексах, а также сравнения с решениями других авторов;

- получение разрешающих уравнений на основе энергетического метода для расчета на устойчивость балок узкого прямоугольного и двутаврового поперечного сечения с учетом переменной по длине жесткости;

- исследование эффективности применения энергетического метода в задачах устойчивости плоской формы деформирования;

- проведение эксперимента для подтверждения достоверности полученных результатов.

Научная новизна работы:

- впервые получено дифференциальное уравнение бокового выпучивания двутавровых балок переменной жесткости, подходящее для любых граничных условий и вариантов нагружения и позволяющее учесть вертикальное смещение нагрузки относительно центра тяжести поперечного сечения;

- разработан алгоритм расчета на устойчивость плоской формы изгиба двутавровых балок с постоянной и линейно меняющейся по длине высотой поперечного сечения на основе метода коллокации и метода конечных разностей;

- разработана и реализована методика расчета на устойчивость составных двутавровых балок, стенка и полки которых выполнены из различных материалов, а также балок с перфорированной и гофрированной стенкой;

- получены разрешающие уравнения на основе энергетического метода и разработана расчетная методика, позволяющая, в отличие от работ других авторов, задавать произвольное число членов ряда.

Теоретическая значимость работы:

- система дифференциальных уравнений В.З. Власова для расчета на устойчивость произвольных тонкостенных стержней обобщена на случай конструкций переменного по длине сечения;

- выполнена оценка эффективности энергетического метода в задачах устойчивости плоской формы изгиба;

- показана возможность расчета на устойчивость двутавровых балок с перфорированной и гофрированной стенкой как конструкций переменной по длине жесткости;

- исследовано влияние перфорации балок на величину критической нагрузки при боковом выпучивании;

- в отличие от работ предшественников, критическая нагрузка для двутавровых балок выражена не через крутильную жесткость, а через секториальный момент инерции.

Практическое значение работы:

- разработан пакет прикладных программ в среде Matlab для расчета на боковое выпучивание двутавровых балок постоянной и переменной жесткости, а также балок с перфорированной и гофрированной стенкой;

- предложена приближенная методика расчета на устойчивость плоской формы изгиба балок с перфорированной и гофрированной стенкой, позволяющая рассчитывать их как балки постоянного сечения;

- для некоторых граничных условий и вариантов закрепления предложены достаточно простые зависимости, пригодные для инженерных расчетов.

Методы исследования. В основе исследования лежат современные методы строительной механики и теории упругости. Исследование базируется на численном моделировании с применением метода конечных разностей, метода коллокации, энергетического метода и метода конечных элементов. Вычисления производились с использованием современных ПЭВМ и пакета Ма1ЬаЬ. Выполнялось сравнение результатов с решениями в программном комплексе ЛИРА-САПР.

Основные положения, выносимые на защиту:

- разрешающее уравнение для расчета на устойчивость плоской формы изгиба балок постоянной и переменной жесткости;

- методика расчета двутавровых балок постоянного сечения, полученные автором зависимости для инженерных расчетов;

- методика расчета балок при линейном изменении высоты сечения по длине конструкции;

- методика расчета балок с перфорированной и гофрированной стенкой;

- результаты применения энергетического метода к расчету тонкостенных стержней на боковое выпучивание;

- результаты экспериментальных исследований по боковому выпучиванию двутавровых балок.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- проверкой удовлетворения решения всем граничным условиям, дифференциальным и интегральным соотношениям;

- сопоставлением полученных результатов с известными решениями других исследователей;

- сравнением результатов с решениями в МКЭ комплексах;

- применением двух независимых методов к решению одной задачи с последующим сравнением результатов;

- сравнением теоретических результатов с экспериментальными данными.

Внедрение результатов работы. Разработанные автором программные продукты по расчету двутавровых балок на боковое выпучивание, а также предложенные автором упрощенные зависимости для инженерных расчетов используются в практике проектирования ООО «Аванпроект» (г. Казань) и группы компаний АКССтрой (г. Аксай).

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на международных научно-практических конференциях CATPID-2019 (г. Кисловодск), Russian-Slovak-Polish seminar 2019 «Theoretical Foundation of Civil Engineering» (г. Жилина, Словакия), CATPID-2020 (г. Нальчик), национальной конференции «Актуальные проблемы науки и техники. 2020» (г. Ростов-на-Дону).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена на 116 страницах машинописного текста и содержит 53 рисунка и 16 таблиц.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 представлен литературный обзор работ, посвященных проблеме бокового выпучивания балок. Также с использованием теории тонкостенных стержней В.З. Власова приводится вывод разрешающего уравнения для расчета двутавровых балок на устойчивость плоской формы изгиба. В основу положен статический критерий устойчивости Эйлера.

В главе 2 рассматривается методика расчета балок постоянной жесткости на устойчивость плоской формы изгиба методом конечных разностей и методом

коллокации. Представлены различные варианты закрепления и нагружения балок, для каждого из которых подобраны зависимости, пригодные для инженерных расчетов. Выполняется сравнение с результатами расчета на основе действующих норм проектирования стальных конструкций, а также с решениями других авторов. Для подтверждения достоверности результатов производится конечно-элементное моделирование в программном комплексе ЛИРА-САПР.

Глава 3 посвящена вопросам расчета балок переменной жесткости на устойчивость плоской формы деформирования. Представлены решения для односкатной и двускатной балки двутаврового поперечного сечения. Также рассмотрены вопросы расчета балок с гофрированной и перфорированной стенкой.

В главе 4 изложены вопросы применения к задаче бокового выпучивания балок энергетического метода. Рассматриваются балки постоянной и переменной по длине жесткости с узким прямоугольным и двутавровым сечением. Исследуется сходимость метода для различных вариантов закрепления и нагружения конструкций.

В главе 5 представлены результаты экспериментальных исследований бокового выпучивания клеефанерных двутавровых балок со сплошной и перфорированной стенкой.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор публикаций по проблеме бокового выпучивания балок

Потеря устойчивости плоской формы изгиба или боковое выпучивание является опасным предельным состоянием для балок двутаврового поперечного сечения, поскольку жесткость при изгибе в плоскости действия нагрузки обычно существенно выше жесткости при изгибе в поперечном направлении и крутильной жесткости.

Двутавровые балки могут иметь различные формы потери устойчивости в зависимости от геометрии поперечного сечения, свойств материала, граничных условий и характера нагружения, причем для большепролетных балок изгибно-крутильная форма является наиболее распространенной.

Исследования по изгибно-крутильной потере устойчивости балок начались еще в конце XIX века. Первые публикации по данной теме принадлежат Л. Прандтлю [1] и А. Мичеллу [2], в работах которых рассматривалась потеря устойчивости балок узкого прямоугольного поперечного сечения. В дальнейшем их работа была продолжена Ф. Блейхом [3], а также С.П. Тимошенко [4, 5, 6] и Дж. Гере [7], которые помимо балок прямоугольного сечения исследовали и двутавровые балки, а также получили классическое энергетическое уравнение для расчета на боковое выпучивание в упругой стадии тонкостенных балок.

К одним из первых исследований по неупругой потере устойчивости двутавровых балок относится работа ^ V. Galambos [8]. Потерю устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, также рассматривал С.П. Тимошенко в работе [4]. Для учета нелинейности деформирования материала им вводится приведенный модуль упругости, меняющийся с величиной напряжения. В случае чистого изгиба напряжения в полках постоянны вдоль пролета, следовательно и постоянен приведенный модуль для всех поперечных сечений, что позволяет использовать те же уравнения, что и для упругой балки. Критическое значение при этом рассчитывается методом попыток. При изгибе

балок сосредоточенными и распределенными нагрузками изгибающие моменты и напряжения в полках меняются вдоль пролета балки, следовательно и будет меняться по длине приведенный модуль упругости. Таким образом, задача сводится к расчету конструкций переменной по длине жесткости. С.П. Тимошенко для упрощения предлагает вычислять приведенный модуль по напряжению, соответствующему максимальному изгибающему моменту, что приводит к завышенной величине критической нагрузки.

Еще одно исследование по неупругой потере устойчивости принадлежит M. W. White [9]. Все перечисленные выше работы базируются на классическом подходе, которые позволяет получать точные решения, но с определенными ограничениями, поскольку вычисления выполняются аналитически. Полученные решения применимы только для балок постоянной жесткости при конкретных граничных условиях и условиях нагружения.

В конце 60-х годов XX века количество публикуемых работ по проблемам устойчивости существенно возросло благодаря появлению ЭВМ. Исследователи стали применять численные методы к задачам бокового выпучивания. К используемым для данных задач методам относится метод Рэлея-Ритца, который был применен, например, в работе C.M. Wang [10], метод конечных разностей, использованный в [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. В статьях N. S. Trahair [18, 19] рассмотрено применение к задачам устойчивости плоской формы изгиба метода конечных интегральных преобразований. В публикациях того же автора совместно с P. Vacharajittiphan [20, 21] рассмотрена изгибно-крутильная потеря устойчивости портальных и плоских рам. Более поздние исследования по теории изгибно-крутильной потери устойчивости были представлены в работах G. Tong и L. Zhang [22, 23]. Ими была предложена новая теория с целью прояснения несоответствий существующих теорий изгибно-крутильной потери устойчивости тонкостенных элементов конструкций.

Классическое энергетическое уравнение для расчета критической нагрузки при изгибно-крутильной потере устойчивости тонкостенных стержней в упругой стадии, как правило, предполагает отсутствие начального прогиба до выпучивания.

Ранние исследования влияния начальных деформаций были основаны на решениях разрешающего дифференциального уравнения [2]. В работе P. Varcharajittiphan [20] использовался метод конечных интегральных преобразований, а T.M. Roberts совместно с Z.G. Azizian [24] использовали метод конечных элементов (МКЭ), чтобы учесть влияние начальных деформаций на боковое выпучивание.

Y.L. Pi и N.S. Trahair [25] указали, что решения на основе МКЭ, представленные в [24], имели неточности, и представили свои собственные конечно-элементные решения для проблемы бокового выпучивания. Всесторонняя монография о изгибно-крутильной потере устойчивости была опубликована N.S. Trahair [26].

Отдельно следует выделить публикации по проблеме бокового выпучивания композитных балок. В работе D.A. Nethercot и K.C. Rockey [27] исследовалось влияние положения точки приложения нагрузки на боковое выпучивание балок двутаврового сечения из композитных материалов. На основе конечно -элементного анализа указанными авторами была подобрана аппроксимирующая формула для определения критической нагрузки. В статье M. D. Pandey [28] с использованием метода Бубнова-Галеркина для решения дифференциального уравнения равновесия представлено теоретическое выражение для критической нагрузки при изгибно-крутильной потере устойчивости тонкостенных композитных балок, а также упрощенные формулы для некоторых граничных условий и условий нагружения. В работе H. Murakami и J. Yamakawa [29] приведено приближенное решение задачи бокового выпучивания анизотропных балок с использованием введенных авторами функций напряжений. Z. M. Lin [30], используя конечный элемент с семью степенями свободы, проводит параметрическое исследование оптимального направления волокон для повышения устойчивости балок двутаврового сечения из однонаправленного стеклопластика. F. Fraternali и L. Feo [31] разработан метод конечных элементов на основе теории умеренных вращений для моделирования бокового выпучивания тонкостенных композитных балок. E. J. Barbero и I. G. Raftoyiannis [32] было выполнено обобщение решения T. M. Roberts и P. S. Jhita [33] для исследования

потери устойчивости шарнирно опертых по концам композитных балок двутаврового сечения под действием сосредоточенной силы в середине пролета.

Для двутавровых балок малого пролета более вероятной является локальная потеря устойчивости, что в конечном итоге приводит к значительным деформациям или повреждению материала. Существует большое количество публикаций по анализу локальной потери устойчивости пластин и оболочек, в том числе композитных, включая [34, 35, 36, 37]. Были предприняты некоторые аналитические попытки для развития явных методов анализа локальной потери устойчивости ортотропных композитных пластин с различными граничными условиями и условиями нагружения. Критическое локальное напряжение упругой потери устойчивости при нормальных температурах тщательно исследовалось теоретически и экспериментально многими авторами [6, 7, 38]. Критическая нагрузка локального выпучивания определяется с использованием гибкости пластины и коэффициента местной потери устойчивости при соответствующей длине полуволны выпучивания [39].

К наиболее поздним публикациям по проблеме бокового выпучивания относятся работы [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46].

В статье В.В. Галишниковой [40] выполняется сравнение методов расчета стальных балок на устойчивость плоской формы изгиба, представленных в Еврокоде [47], рекомендациях Американского института стальных конструкций (AISC) [48], а также отечественных нормах [49]. В результате сравнения указанных нормативных документов авторы делают выводы, что расчет в соответствии с российскими нормами требует больших затрат времени и более глубокой инженерной подготовки. В рекомендациях AISC и Еврокоде процесс анализа более точный и имеет свою логику и алгоритм. В целом, AISC дает больший запас в области неупругой работы материала, а Еврокод и СП - в области упругой работы материала для гибких элементов конструкций.

В работе L. Ascione, A. Giordano, S. Spadea [41] рассматриваются вопросы бокового выпучивания стеклопластиковых тонкостенных стержней открытого профиля. При анализе устойчивости учитываются сдвиговые деформации,

которыми пренебрегает классическая теория тонкостенных стержней В.З. Власова. Выполняется сравнение с результатами конечно-элементного моделирования и решениями других авторов.

В статье ^ Anapayan и M. Mahendran [42] представлены результаты испытаний на устойчивость нового типа двутавровых балок с поясами в виде прямоугольных труб (LSB). В отличие от обычных двутавровых балок потеря устойчивости LSB сопровождается изменением формы поперечного сечения. Авторами указанной работы было проведено более 50 испытаний конструкций с различными размерами поперечного сечения и величиной пролета по схеме шарнирного опирания с двумя сосредоточенными силами в четвертях пролета. В статье [44] тех же авторов приводятся результаты конечно-элементного анализа LSB-балок. Выполняется параметрическое исследование с целью разработки рекомендаций по проектированию указанных конструкций.

В работе польских ученых J. Jankowska-Sandberg и J. Kolodziej [43] приведены результаты экспериментальных исследований изгибно-крутильной потери устойчивости стальных ферм с элементами трубчатого поперечного сечения. Выполнялось сравнение с результатами численного анализа при помощи МКЭ, а также с рекомендациями, представленными в Еврокоде [47]. Авторами сделан вывод о том, что нормы [47] слишком консервативны и рекомендовано использовать для оценки устойчивости численные методы.

Статья [45] авторов B. Asgarian, M. Soltani, F. Mohri посвящена вопросам бокового выпучивания конических тонкостенных балок. Используется принцип минимума полной энергии, складывающейся из потенциальной энергии деформации и работы внешних сил. Составляющие полного перемещения аппроксимируются степенными рядами. Критические нагрузки определяются путем решения обобщенного векового уравнения. Производится сравнение результатов с конечно-элементными решениями в программном комплексе Ansys и другими численными или аналитическими подходами. Предложенный авторами метод применим и для балок постоянного сечения.

В статье N.8. ТгаИак [46] рассматривается задача неупругой потери устойчивости стальной консольной балки. Автор утверждает, что методы, используемые для расчета стальных балок, опертых по концам, не всегда применимы для консольных балок, поскольку перемещения и углы закручивания в консольных балках принимают максимальные значения на свободном конце, а не в середине пролета. Существующие методы расчета на боковое выпучивание консольных балок являются модификациями методов для опертых по концам балок и имеют сомнительную точность, а также могут быть слишком консервативными. Указанная статья резюмирует данные по влиянию распределения изгибающих моментов и положения точки приложения нагрузки на упругую потерю устойчивости консолей, и затем выполняется развитие метода на случай неупругой работы конструкций.

На этом значительный объем публикаций по проблеме устойчивости плоской формы изгиба не заканчивается. Краткий, но в то же время комплексный обзор по вопросам устойчивости тонкостенных конструкций можно найти в работе М.Р. Гарифуллина, и Н.И. Ватина [50].

Отдельно следует выделить работы А.А. Карамышевой [13, 16, 51], в которых рассматриваются вопросы совершенствования расчета деревянных балок прямоугольного сечения постоянной и переменной жесткости на устойчивость плоской формы изгиба. Ею отмечается, что действующие нормы проектирования деревянных конструкций, которые в части расчета на боковое выпучивание не претерпевали изменений с 80-х годов прошлого века, имеют ряд спорных положений. Так, устойчивость балок переменной жесткости оценивается одной и той же расчетной формулой, вне зависимости от конфигурации балки и действующей на нее нагрузки. Отечественные нормы проектирования стальных конструкций в вопросах расчета на боковое выпучивание также весьма консервативны.

Кроме того, в настоящее время все более широкое применение находят облегченные конструкции в виде двутавровых балок с перфорированной или гофрированной стенкой. Большинство публикаций по данным конструкциям

относится к определению их напряженно-деформированного состояния [52, 53, 54, 55, 56] или к вопросам местной устойчивости [57, 58]. Указанные конструкции при расчете на боковое выпучивание нами будут рассмотрены как балки переменной по длине жесткости.

1.2 Вывод разрешающего уравнения

Воспользуемся для решения задачи бокового выпучивания двутавровых балок переменной жесткости общей теорией тонкостенных упругих стержней открытого профиля В.З. Власова [59]. В данной работе для анализа устойчивости произвольных тонкостенных стержней постоянной жесткости получена следующая система дифференциальных уравнений:

с14у с1 Е1г—~г ——

z Ах4 йх

б4^ с1

йв\

Е1

у

йх4 йх

N

/(1у \йх

ё2

+ — (Мув) = 0;

йв\

(1х у йх/

(1х2

а2

+

а4в а2в — и

а

ах4

(1х2 (1х

(Мгв) = 0;

ав

(1х2

(г2И + 2ргМу-2руМг)^ (I ( (1у\ (I

№(еу — ау) + ч0(еж — аг)]в — + ау-(Ы

+

(1.1)

ё.2у

Ось х здесь представляет продольную ось стержня. 12, 1у - осевые моменты инерции, ж и у - прогибы стержня вдоль осей г и у, N - продольная сила, в - угол закручивания, а2и ау - координаты центра изгиба, Му и М2 - изгибающие моменты, 1к - момент инерции при кручении, 1Ш - секториальный момент инерции, г2 = 1р/А - квадрат полярного радиуса инерции, (Зу = Бу/21г — ау,рг = Бг/21у —

'р .о „ „о

аг, и - погонные поперечные нагрузки, Бу и - статические моменты. Представленная система выведена для левой системы координат.

При получении данной системы В.З. Власов исходит из следующих дифференциальных зависимостей, справедливых только для стержней постоянной жесткости:

Е1.

ш

а4у Е4 ах4 =

а% Шу ах4 = ^; (1.2)

а4 в а2 в , . С1к , „ — т. ах4 ках2

Здесь qy и qz - интенсивности дополнительных погонных поперечных нагрузок, возникающих в момент потери устойчивости, т - интенсивность дополнительного внешнего погонного крутящего момента.

Для учета переменной по длине жесткости уравнения (1.2) необходимо заменить на следующие:

а2 ( . . а2у

а2 (

1Х2\е1у(х) а3в

ах2 I ь>

ах2

— qz)

(1.3)

с1Х[Е1ш(х) ах3

а в

-С1кю-1 = т

Тогда система (1.1) перепишется в виде:

а2

ах2 ах2

а I

1Х[Е1ш(х) ах3

а2у' ах2

а2^ у(х)~ох2

а3 в

еь(х)

( еi у(х)

а

ах а

ах

/ау авх

\ах z ах)

/а™ ав\

\ах у ах)

N

+

а2

ах а

+

ах2 а2

ах2

(Мув) — 0;

Мв) — 0;

ав „ С1к(х^Ох1 ох

а в

+

(1.4)

+

г , Л а ( ау\ а ( аю\

[ь{ву - ау) + сг^ - ~ ох) + аУох гIX)

а2у а2ш +МЛ!——— + Му——— = 0.

У ах2

ах2

При действии изгибающих моментов только в одной плоскости и отсутствии продольных сил из трех уравнений в (1.4) остается только два, и задачу можно свести к одному дифференциальному уравнению восьмого порядка относительно угла закручивания. Однако для сечений с двумя осями симметрии может быть получено более простое дифференциальное уравнение четвертого порядка по типу представленного в работе С. П. Тимошенко [4].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зотов Иван Михайлович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Prandtl, L. Kipperscheinungen. Lin Pall von instabilen elastischen Gleichgewicht. Dissertation der Universitat Munehen / L. Prandtl. - Nürnberg, 1900. - 75 p.

2. Michell, A. G. M. Elastic Stability of Long Beams under Transverse Forces / A. G. M. Michell // Philosophical M. - 1899. - Т. 48. - С. 298-309.

3. Bleich, F. Buckling Strength of Metal Structures / F. Bleich. - New York: McGraw-Hill, 1952. - 544 с.

4. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем. / С.П. Тимошенко. - Л., М.: Гостехиздат, 1946. - 532 с.

5. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1971. - 810 с.

6. Тимошенко, С.П. Механика материалов / С.П. Тимошенко, Дж. Гере. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

7. Timoshenko, S. P. Theory of elastic stability / S. P. Timoshenko, J. M. Gere. -Courier Corporation, 2009. - 544 c.

8. Galambos, T. V. Inelastic Lateral Buckling of Beams / T. V. Galambos // J. Struct. Division, ASCE. - 1963. - Vol. 89(ST5). - Pp. 217-242.

9. White, M. W. The Lateral Torsional Buckling of Yielded Structural Steel Members / M. W. White. - Bethlehem, Pennsylvania: PhD Dissertation, Lehigh University, 1956.

10. Wang, C. M. Beam-Buckling Analysis via Automated Rayleigh-Ritz Method / C. M. Wang, L. Wang, K. K. Ang. //J. Struct. Engrg., ASCE. - 1994. - Vol. 120(1). - Pp. 200-211.

11. Chajes, A. Principles of Structural Stability Theory / A. Chajes. New Jersey: Prentice-Hall, 1993. - 336 p.

12. Karamisheva, A.A. Calculation of plane bending stability of beams with variable stiffness / A.A. Karamisheva, S.B. Yazyev, A.A. Avakov // Procedia Engineering. - 2016. - Vol.150. - Pp. 1872-1877.

13. Карамышева, А.А. Выпучивание двухскатной балки при чистом изгибе // А.А. Каамышева, С.Б. Языев, А.Е. Дудник // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. - 2015. - С. 35-37.

14. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования односкатной балки / А.А. Карамышева, Н.И. Никора, С.Б. Языев // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. - 2015. - С. 3235.

15. Карамышева, А.А. Устойчивость плоской формы изгиба односкатной дощатоклееной балки / А.А. Карамышева, А.С. Чепурненко, Б.М. Языев // Научное обозрение. — 2016. — № 7. — С. 25-27.

16. Карамышева, А.А. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба балок переменной жесткости / А. А. Карамышева, С. Б. Языева, А. С. Чепурненко // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. — 2016. — № 1. — С. 95-98.

17. Chepurnenko, A.S. Calculation of wooden beams on the stability of a flat bending shape enhancement / A. S. Chepurnenko, V.V. Ulianskaya, S.B. Yazyev, I.M. Zotov // MATEC Web of Conferences. - 2018. - Vol. 196. - С. 01003.

18. Anderson, J. M. Stability of Monosymmetric Beams and Cantilevers / J. M. Anderson, N. S. Trahair // J. Struct. Division, ASCE. - 1972. - Vol. 98(1). Pp. 269-285.

19. Kitipornchai, S. Elastic Behavior of Tapered Monosymmetric I-Beams Under Moment Gradient / S. Kitipornchai, N. S. Trahair. // J. Struct. Division, ASCE. -1975. -Vol. 101(8). - Pp. 1661-1678.

20. Vacharajittiphan, P. Elastic Lateral Buckling of Portal Frames / P. Vacharajittiphan, N. S. Trahair // J. Struct. Division, ASCE. - 1973. - Vol. 99(ST5). - Pp. 821-835.

21. Vacharajittiphan, P. Analysis of Lateral Buckling in Plane Frames / P. Vacharajittiphan, N. S. Trahair // J. Struct. Division, ASCE. - 1975. - Vol. 101(ST7). -Pp. 1497-1516.

22. Tong, G. A General Theory for the Flexural-Torsional Buckling of Thin-Walled Members I: Energy Method. / G. Tong, L. Zhang // Adv. in Struct. Engrg. - 2003.

- Vol. 6(4). - Pp. 293-298.

23. Tong, G. A General Theory for the Flexural-Torsional Buckling of Thin-Walled Members I: Fictitious Load Method / G. Tong, L. Zhang. // Adv. in Struct. Engrg.

- 2003. - Vol. 6(4). - Pp. 299-308.

24. Roberts, T. M. Influence of Pre-Buckling Displacements on the Elastic Critical Loads of Thin-walled Bars of Open Cross Section / T.M. Roberts, Z.G. Azizian // Int. J. Mech. Sci. - 1983. - Vol. 25(2). - Pp. 93-104.

25. Pi, Y. L. Energy Equation for Beam Lateral Buckling / Y. L. Pi, N. S. Trahair, S. Rajasekaran // J. Struct. Engrg., ASCE. - 1992. - Vol. 118(6). - Pp. 1462-1479.

26. Trahair, N. S. Flexural-Torsional Buckling of Structures / N. S. Trahair. -Florida: CRC Press, 1993. - 352 p.

27. Nethercot, D.A. An Unified Approach to the Elastic Lateral Buckling of Beams / D. A. Nethercot, K.C. Rockey // Struct. Engrg. - 1971. - Vol. 49(7). - Pp. 321-30.

28. Pandey, M.D. Flexural-Torsional Stability of Thin-Walled Composite I-Section Beams / M.D. Pandey, M.Z. Kabir, A.N. Sherbourne // Comp. Engrg. - 1995. - Vol. 5(3).

- Pp. 321-42.

29. Murakami, H. On Approximate Solutions for the Deformation of Plane Anisotropic Beams / H. Murakami, J. Yamakawa // Comp. Part B. - 1996. - Vol. 27B. -Pp. 493-504.

30. Lin, Z. M. Stability of Thin-Walled Pultruded Structural Members by Finite Element Method / Z. M. Lin, D. Polyzois. // J. Thin-Walled Struct. - 1966. - Vol. 24(1). -Pp. 1-18.

31. Fraternali, F. On a Moderate Rotation Theory of Thin-Walled Composite Beams / F. Fraternali, L. Feo // J. Comp. Part B. - 2000. - Vol. 31. - Pp. 141-58.

32. Barbero, E.J. Lateral and Distortional Buckling of Pultruded I-Beams / E. J. Barbero, I. G. Raftoyiannis // Comp. Struct. - 1994. - Vol. 27(3). - Pp. 261-268.

33. Roberts, T.M. Lateral, Local and Distorsional Buckling of IBeams / T. M. Roberts, P. S. Jhita // Thin-Walled Struct. - 1983. - Vol. 1(4). - Pp. 289-308.

34. Бажанов, В. Л. Пластинки и оболочки из стеклопластиков / В.Л. Бажанов, И.И. Гольденблат, В.А. Копнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 408 с.

35. Андреев, А. Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. -Новосибирск, 2001. - 288 с.

36. Макаров, М. В. Нелинейные задачи о смешанных формах потери устойчивости трехслойных пластин при продольно-поперечном изгибе / М. В. Макаров, И. Б. Бадриев, В. Н. Паймушин // Вестник Тамбовского университета. -2015. - Т. 20. - №. 5. - С. 1275-1278.

37. Сухинин, С.Н. Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек / С. Н. Сухинин. - М.: Физматлит, 2010. - 248 с.

38. Thompson, J. M. A general theory of elastic stability / J. M. Thompson, G. W. Hunt. - London: Wiley, 1973. - 335 p.

39. Pengcheng, J. Analytical Evaluations of Buckling Behavior of Wood Composite I-Joist with Sinusoidal Web / J. Pengcheng. - Morgantown: West Wirginia University, 2012. - 106 p. .

40. Galishnikova, V. V. A comparative study of beam design curves against lateral torsional buckling using AISC, EC and SP / V. V. Galishnikova, Tesfaldet H. Gebre // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2019. - № 15(1).

- С. 25-32.

41. Ascione, L. Lateral buckling of pultruded FRP beams / L. Ascione, A. Giordano, S. Spadea //Composites Part B: Engineering. - 2011. - Т. 42. - №2. 4. - С. 819824.

42. Anapayan, T. Lateral distortional buckling tests of a new hollow flange channel beam / T. Anapayan, M. Mahendran, D. Mahaarachchi //Thin-Walled Structures. - 2011.

- Т. 49. - №. 1. - С. 13-25.

43. Jankowska-Sandberg, J. Experimental study of steel truss lateral-torsional buckling / J. Jankowska-Sandberg, J. Kolodziej //Engineering Structures. - 2013. - Т. 46.

- С. 165-172.

44. Anapayan, T. Numerical modelling and design of LiteSteel Beams subject to lateral buckling / T. Anapayan, M. Mahendran //Journal of Constructional Steel Research.

- 2012. - Т. 70. - С. 51-64.

45. Asgarian, B. Lateral-torsional buckling of tapered thin-walled beams with arbitrary cross-sections / B. Asgarian, M. Soltani, F. Mohri //Thin-walled structures. -2013. - Т. 62. - С. 96-108.

46. Trahair, N. S. Steel cantilever strength by inelastic lateral buckling / N.S. Trahair //Journal of Constructional Steel Research. - 2010. - Т. 66. - №. 8-9. - С. 993999.

47. EN 1993: 2005 Eurocode 3 - Design of steel structures.

48. Steel Construction Manual. 13th edition / American Institute of Steel Construction. 2011.

49. СП 16.13330.2017 "Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*" (с Поправкой, с Изменением N 1).

50. Гарифуллин, М. Р. Устойчивость тонкостенного холодногнутого профиля при изгибе — краткий обзор публикаций / М. Р. Гарифуллин, Н. И. Ватин // Строительство уникальных зданий и сооружений. - 2014. - №6(21). - С. 32-57 .

51. Карамышева, А. А. Совершенствование расчета на устойчивость плоской формы изгиба деревянных балок переменного сечения и их оптимизация: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.17 / А.А. Карамышева. - Ростов-на-Дону, 2016 - 124 с.

52. Притыкин, А. И. Концентрация напряжений во флорах с круглыми и овальными вырезами / А. И. Притыкин //Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. - 2009. - №. 1.

- С. 76-81.

53. Притыкин, А. И. Прогибы перфорированных балок с круглыми вырезами / А. И. Притыкин, А. С. Лаврова // Вестник ТГАСУ. - 2015. - №3 (50). - С. 94-102.

54. Притыкин, А.И. Особенности расчета перфорированных балок МКЭ / А. И. Притыкин, А. В. Мисник, А. С. Лаврова // Известия КГТУ. - 2016. - №43. - С. 249-259.

55. Лукин, А.О. Определение прогибов балок с гофрированной стенкой с учетом сдвиговых деформаций / А. О. Лукин // Инженерный вестник Дона. - 2013. - №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1496.

56. Lukin, A. A. Beams with corrugated web: calculation peculiarities of bending torsion analysis/ A.A. Lukin [и др.] //Procedia Engineering. - 2016. - Т. 153. - С. 414418.

57. Притыкин, А.И. Влияние ширины перемычек на местную устойчивость балок с шестиугольными вырезами / А. И. Притыкин, И. А. Притыкин // Вестник МГСУ. - 2011. - №2-2. - С. 169-173.

58. Притыкин, А. И. Повышение местной устойчивости перфорированных балок за счет смещения оси расположения отверстий / А. И. Притыкин //Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2009. - №. 8. - С. 116-121.

59. Власов, В. З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. - М.: Физматгиз, 1959. - 586 с.

60. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем. / А.С. Вольмир. -М.: Наука, 1975. - 984 с.

61. Бате, К.-Ю. Методы конечных элементов / К. Ю. Бате. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 1024 с.

62. Синцов, А. В. Прочность и деформативность составной деревянной балки со стенкой из ориентированной стружечной плиты / А. В. Синцов, В. П. Синцов //Строительство и техногенная безопасность. - 2014. - №. 50. - С. 152-158.

63. Синцов, А. В. К расчету составных деревянных двутавровых балок со стенкой из OSB и нагельными соединениями поясов со стенкой / А. В. Синцов //Современные строительные конструкции из металла и древесины. - 2012. - №. 16 (1). - С. 232-238.

64. Литовченко, П. А. Экспериментальное исследование двутавровых деревянных балок / П. А. Литовченко [и др.] //Motrol: наук. журнал.- Люблин: ПАН, 2009.- Вып. 11. - 2009. - С. 145-151.

65. Синцов, В. П. О работе составной деревянной балки со стенкой из OSB / В. П. Синцов, А. В. Синцов // Сб. научных трудов. Строительные конструкции и техногенная безопасность. - 2010. - №. 31. - С. 68-72.

66. Павленко, И. В. Экспериментальные и компьютерные исследования изгибаемых ортотропных пластин / И. В. Павленко, В. О. Курган // Научная мысль информационного века - 2013. - Режим доступа: http: //www.rusnauka. com/8_NMIV_2013/Tecnic/2_130020.doc.htm.

67. Zotov, I.M. Rectangular Cross Section Beams Calculation on the Stability of a Flat Bending Shape Taking into Account the Initial Imperfections / I.M. Zotov, A.P. Lapina, A.S. Chepurnenko, B.M. Yazyev // Materials Science Forum. - 2019. - Vol. 974.

68. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности / Г.С. Варданян [и др.] - М.: Издательство АСВ, 2015. - 568 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВНЕДРЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ