Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Смирнова, Светлана Иосифовна

• Смирнова, Светлана Иосифовна
• кандидат педагогических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Смирнова, Светлана Иосифовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Психолого-педагогические и методические | основы обучения доказательствам.

§ 1. Понятия «рассуждение» и «развитие ф умения рассуждать».

§ 2. Психологические основания развития умения рассуждать.

§ 3. Обучение доказательству в методических исследованиях.

ГЛАВА II Методика построения локальных теорий ^ при изучении математики.

§ 4. Основные положения методики построения

1 локальных теорий.

§ 5. Построение локальных теорий при обучении j математике в 5 - 6 классах. j

§ 6. Методика и основные результаты j экспериментальной работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5-6 классах»

Одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, необходимых для полноценной жизни в обществе.

Для общего развития ученика огромное значение имеет развитие умения рассуждать. Кроме того, как указывает И.А. Гибш, «умение логически мыслить, правильно рассуждать является необходимым условием для глубокого и сознательного усвоения математики» [28, С.2].

Сегодня практика обучения математике такова, что обучение доказательствам традиционно связывается с началом изучения в 7-м классе систематического курса геометрии.

Многие методисты и учителя (А.Д. Александров, А.А. Ефим-чик, М.Г. Мехтиев, Т.Ф. Фролова и др.) отмечают, что ознакомление семиклассников с первыми логическими доказательствами является одной из сложнейших проблем. Действительно, усвоение доказательств в начале изучения систематического курса геометрии связано с рядом трудностей. о-первых, учащиеся не осознают необходимости доказательства теорем. В 7-м классе они сталкиваются с обилием логических доказательств, которые, как указывает А.А. Столяр, «вынуждены заучивать, не понимая ещё необходимости доказательства и идеи самого доказательства» [127, С,5]. Практика показывает, что типична ситуация, когда даже хорошо успевающий ученик «имитирует некоторые приёмы, не понимая сути . доказательства» [81> С.41]. В этом непонимании заключена вторая причина трудностей. В 7-м классе изучение сущности доказательства оказывается отодвинутым на второй план, так как более важным для большинства учителей является усвоение учащимися программного материала определений новых геометрических понятий, свойств понятий, доказательств этих свойств). Поэтому на уроке не уделяется должное внимание рассмотрению сути доказательства. Ученик, вынужденный заучивать готовое доказательство, не понимая, откуда оно взялось и почему именно такое, постепенно утрачивает интерес к предмету. Следовательно, третья причина - в перегрузке учащихся на первых шагах изучения систематического курса геометрии. В-четвёртых, особенности геометрических задач на доказательство, в отличие от знакомых алгебраических задач, создают психологический барьер. Как показывает опыт, учащиеся подчас отказываются от выполнения задания, только увидев требование «докажите». Ведь в задаче на доказательство известны не только некоторые условия (как в алгебраической), но и результат (например, что прямые параллельны или четырехугольник является квадратом).

Ещё более серьёзные проблемы возникают при самостоятельном доказательстве утверждений. Главной причиной этого, на наш взгляд, является недостаточность личного опыта учащихся в построении логических доказательств. Известно, что центральным звеном в доказательстве утверждения является нахождение пути, принципа или основного способа его доказательства. Идея доказательства возникает в виде догадки, предположения, гипотезы. Огромную роль в поиске идеи доказательства играет предшествующий накопленный опыт. На это указывает А.Д. Александров: «. вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-либо виду деятельности, будь то работа напильником, ходьба на лыжах или логические рассуждения» [5]. Поэтому появляется необходимость в накоплении учащимися опыта в построении логичен ских рассуждений ещё до изучения систематического курса геометрии. \

Чтобы понять истоки трудностей, возникающих у семикласс- * ников в связи с усвоением доказательств в начале изучения систематического курса геометрии, мы проанализировали программы по математике для общеобразовательных учреждений и отметили, что они не нацеливают учителя на формирование умения рассуждать (это умение оказывается побочным результатом обучения). Как следствие, учитель часто не уделяет должного внимания данной проблеме. Кроме того, в требованиях к математической подготовке учащихся об умении проводить рассуждения говорится только в разделах, относящихся к курсу геометрии. Таким образом, игнорируются возможности курса математики 5-6 классов и курса алгебры в решении поставленной проблемы. Но, как известно, умение рассуждать является общелогическим умением, поэтому недостаточно формировать его лишь на уроках геометрии. Тем более что длительное отсутствие теоретического осмысления сути доказательства не позволяет весь изучаемый с 1-го по 7-й класс материал воспринимать осознанно.

Выявленные затруднения учащихся:

1) свидетельствуют об их неподготовленности к переходу на дедуктивный уровень изучения геометрического материала, предполагающий строгую обоснованность изучаемых (в том числе очевидных) фактов;

2) могут быть связаны с односторонностью и ограниченностью имеющегося у учащихся логического опыта, что, в свою очередь, тормозит формирование основных мыслительных операций;

3) отражают специфику программы и учебников по курсу математики 5-6 классов.

Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы: v начинать знакомство с доказательствами следует на более раннем этапе обучения математике; для каждого этапа обучения полезно определить конкретные задачи в плане развития указанного умения.

Выделяя этапы и формулируя задачи каждого этапа, следует руководствоваться содержанием школьных программ по математике и учитывать возрастные особенности учащихся.

В методической литературе различное содержание логических умений и последовательность в их формировании у учащихся предлагают А.К. Артёмов, И.Л. Никольская* Н.Ф. Талызина и др.

На основе анализа литературы и в соответствии со сложившейся традицией в преподавании математики мы выделили следующие этапы в обучении доказательствам:

I. - 1 - 4 классы,

II. - 5 - 6 классы,

III. - 7 класс,

IV. -8-11. классы.

В курсе математики начальной школы мало явно сформулированных определений понятий и свойств. Поэтому на данном этапе учащиеся используют доступные им способы обоснования. Это, во-первых, так называемые способы «предматематического» доказательства: эксперимент, неполный индуктивный вывод, измерение, умозаключение по аналогии [77]. Во-вторых, это достоверные способы обоснования, а именно: вычисление и дедуктивный вывод. Содержание учебного материала, а также психологические возможности младших школьников позволяют им проводить простейшие одно- двухшаговые рассуждения.

В 7 классе учащиеся начинают изучать основы наук, что требует овладения дедуктивными рассуждениями на достаточно высоком уровне; учеников к этому надо готовить. Кроме того, к 12 - 13 годам складываются определенные логические структуры [97]. Однако исследования [например, 102] показывают, что при стихийном обучении эти логические структуры могут оказаться неправильно сформированными. Следовательно, необходим этап в обучении, который позволит подготовить учащихся к восприятию и самостоятельному проведению доказательств в 7-м классе и будет способствовать становлению правильных логических структур.

Сказанное позволяет сделать вывод об особом месте 5-6 классов в развитии у учащихся умения доказывать. Именно поэтому мы обратились к данному этапу школьного обучения и поставили перед собой задачу отыскания средства, позволяющего учащимся при обучении математике в 5 - 6 классах:

1) вырабатывать потребность в обосновании суждений;

2) формировать правильные представления о сущности доказательства;

3) развивать умение рассуждать;

4) приобретать опыт построения доказательств.

Вопросы, связанные с обучением учащихся доказательствам, рассматриваются в методической литературе давно, и здесь накоплен достаточно большой опыт. Однако чаще всего в исследованиях находит отражение следующий круг вопросов.

1. Воспитание потребности в обосновании утверждений.

Как правило, здесь особую роль играют специально подобранные упражнения, в которых учащимся предлагается установить истинность или ложность данных предложений. Такие задания, безусловно, полезны для знакомства с разными способами обоснования суждений, но навряд ли они существенно повлияют на воспитание у учащихся потребности обосновывать свои суждения.

2. Формирование некоторых логических понятий, умений и действий.

В ряде исследований предлагается при изучении математики в 5-6 классах познакомить учащихся с явными определениями таких логических понятий, как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, а также с построением умозаключений по правилам вывода (правилам заключения, отрицания и^силлогизма). Мы считаем, что подход, связанный с введением формальных определений логических понятий и обобщенных схем умозаключений, в 5 - 6 классах не всегда оправдан. И вот почему. Проведённая в рамках констатирующего эксперимента контрольная работа показала, что шестиклассники, знакомые с правилами заключения, отрицания и силлогизма, намного успешнее справляются с построением одношаговых рассуждений (что проявляется в полноте умозаключения). С другой стороны, при построении доказательств, содержащих более двух шагов, они практически не отличаются от сверстников, не владеющих указанными знаниями. Эти результаты наводят на мысль о том, что для доказательства математических утверждений недостаточно уметь определять логическую структуру доказываемого тезиса и уметь строить умозаключение по известным правилам вывода.

Кроме того, письменный опрос и беседы, проведённые с учащимися разного возраста, абитуриентами и студентами педагогического университета, показали, что в подавляющем большинстве они затрудняются определить, что значит «доказать некоторое утверждение», а также выявить различия в понятиях «доказательство» и «рассуждение». Это позволяет говорить о том, что в процессе обучения у них не формируются правильные и чёткие представления о сути доказательства.

3. Формирование методов доказательства, например, метода «подведения под понятие путём выделения системы необходимых и достаточных признаков, скрытых за другими понятиями» [19] или апагогического метода [18].

В некоторых исследованиях авторы предлагают свои программы воспитания у школьников логической культуры. Например, Т.А. Кондрашенковой разработана программа формирования общелогических умений учащихся 5 — 6 классов, состоящая из трёх разделов: «Определение», «Классификация», «Элементы дедукции» [51]. Последний раздел включает следующий материал:

1) простейшие умозаключения modus ponens и modus tollens;

2) опровержение контрпримером;

3) логическое следование;

4) простейшие умозаключения по правилу силлогизма;

5) структура доказательства в 1 - 3 шага.

Однако, говоря о доказательствах, автор важное место отводит построению умозаключений, не уделяя должного внимания усвоению логики доказательства, выделению шагов доказательства, установлению взаимосвязи между отдельными шагами.

Таким образом, имеющиеся методические работы, рассматривающие вопросы обучения доказательствам в курсе математики 5-6 классов, раскрывают не все аспекты формирования умения доказывать. Во-первых, недостаточно освещена проблема формирования у младших подростков верных представлений о сущности доказательства. Во-вторых, у учащихся не вырабатывается понимание того, что для проведения доказательств в рамках некоторой темы необходимы: 1) совокупность понятий (терминов), позволяющих говорить и быть понятым, 2) совокупность свойств понятий, позволяющих аргументировать суждения по данной теме. Тем самым не раскрывается механизм использования имеющихся знаний при проведении доказательств.

Необходимость совершенствования сложившейся практики обучения доказательствам при изучении математики, роль и значимость формирования у учащихся (для более осознанного изучения математики, а также для общего развития) целостного умения рассуждать, недостаточная разработанность всех аспектов обучения доказательствам в методической литературе, низкий уровень овладения учащимися умением логически рассуждать определили актуальность темы данного исследования.

Мы считаем, что решению вышеобозначенных проблем будет способствовать создание учащимися под руководством учителя локальных теорий. Построение таких теорий описывает А.А. Столяр [48, 128]. Автор рассматривает построение математической теории в качестве одного из трёх основных аспектов математической деятельности.

Ценность создания локальных теорий может заключаться в том, что эта деятельность позволит:

• мотивировать проведение логических рассуждений,

• эффективно влиять на понимание учащимися сущности доказательства,

• объединить отдельные, разрозненные умения в новое целостное образование, на основе которого будет происходить развитие умения рассуждать,

• приобретать учащимся опыт в логических рассуждениях.

Кроме того, изучение локальных теорий

• будет способствовать пониманию учащимися изучаемого материала, то есть позволит им рассматривать новый материал как элемент теории, выстроенной кем-то другим.

Поэтому мы обратились к исследованию проблемы выявления возможностей использования локальных теорий с целью развития у учащихся умения логически рассуждать.

Данные практики обучения доказательству, анализ методических исследований, посвященных формированию умения доказывать, показали, что обучение доказательству проводится в основном на геометрическом материале. Однако в рамках обучения математике в 5 - 6 классах это требует высвободить достаточно много времени, что не всегда удается. Практически нет работ, в которых организация арифметического материала рассматривалась бы как средство развития умения доказывать. Это привело нас к выводу о том, что возможности арифметического материала в обучении логическим рассуждениям используются недостаточно. Изучение этого материала не служит в полной мере средством формирования адекватных представлений о сущности доказательства, а также средством, позволяющим учащимся приобретать опыт в доказательстве утверждений. Сказанное свидетельствует о важности исследования возможностей построения в курсе математики 5-6 классов локальных теорий на арифметическом материале.

Решение поставленной выше проблемы мы связывали с изучением математики в 5 - 6 классах и стремились при этом ответить на следующие вопросы:

1. Какой конкретно арифметический материал целесообразно использовать при построении локальных теорий?

2. Какие методы изложения этого материала наиболее эффективны?

Объектом исследования служит процесс формирования умения рассуждать при обучении математике.

Выбор указанного объекта исследования обусловлен двумя основными причинами. Во-первых, умение рассуждать является общекультурным умением, и поэтому его формирование должно пронизывать весь процесс обучения, в том числе математике. Во-вторых, умение рассуждать является общеучебным умением, и поэтому его формирование преимущественно при изучении геометрии не оправдано.

Предметом исследования является содержание учебного материала, способствующего развитию умения рассуждать, и методика его изучения.

Исследование указанного предмета должно привести к решению поставленной проблемы и достижению цели настоящего исследования, состоящей в проектировании арифметического материала, допускающего построение учащимися локальной теории, которое даёт возможность развивать у них умение рассуждать, и в разработке методики построения такой теории в 5 - 6 классах.

Гипотеза исследования строилась на предположении о том, что развитие у школьников умения рассуждать будет более эффективным, если при изучении математики в 5 - 6 классах осуществляется систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующего их применения при решении математических задач.

В ходе исследования предполагалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать ведущие идеи в обучении доказательствам в курсе математики основной школы;

2. Изучить содержание и методику обучения доказательствам и выявить имеющиеся возможности использования локальных теорий в качестве средства развития у учащихся умения рассуждать;

3. Выявить критерии оценки уровня развития у учащихся умения рассуждать;

4. Спроектировать материал, допускающий построение локальной теории, и разработать методику его изучения;

5. Экспериментально проверить эффективность полученной методики и разработать научно-практические рекомендации по совершенствованию процесса обучения математике в 5-6 классах.

Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, программ и учебников по математике для основной школы; наблюдение за деятельностью учащихся на уроках; опросы и беседы с учащимися и учителями; педагогический эксперимент; обработка и интерпретация полученных данных.

В ходе исследования учитывался также собственный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение восьми лет.

Исследование проводилось с 1993 по 1999 гг. и включало несколько этапов.

На первом этапе (1993 - 1995 гг.) был проведён анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования. В ходе работы учителем математики в 5-6 классах (1993 - 1995 гг.) вёлся активный поиск содержания и методов, позволяющих обучать школьников обоснованным рассуждениям. В результате теоретического анализа литературы и практической работы были выявлены возможности обучения младших подростков доказательствам, а также возможности использования локальных теорий для этого обучения. Проведён анализ состояния обучения доказательствам в курсе математики основной школы (содержания и методики обучения), организован констатирующий эксперимент. Результатом этого этапа явилась разработка теоретической концепции исследования и основных положений методики использования локальных теорий в качестве средства развития умения рассуждать, в том числе - требований к отбору материала.

На втором этапе (1996 - 1997 гг.) в ходе поискового эксперимента с учётом требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, такой материал был спроектировали разработана методика его изучения.

На третьем этапе (1997 - 1999 гг.) была уточнена методика изучения отобранного материала е учётом результатов поискового эксперимента, проведён обучающий эксперимент, обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы, разработаны и внедрены в образовательную практику научно-методические рекомендации по совершенствованию процесса обучения математике в 5 - 6 классах основной школы.

Теоретической базой исследования явились положения теории познания, современной философии образования, психологии; системный подход в построении методики обучения; теория учебной деятельности; работы в области развивающего обучения математике.

Научная новизна исследования состоит в теоретическом обосновании возможности использования локальных теорий как эффективного средства развития у школьников умения проводить обоснованные рассуждения в курсе математики 5-6 классов и в определении требований к отбору материала, позволяющего выстраивать локальную теорию, в выявлении критериев для определения уровня развития умения рассуждать;

Теоретическая значимость исследования определяется научно-методическим обоснованием необходимости выделения этапов в обучении школьников доказательству математических утверждений, уточнением содержания понятий "рассуждение" и "доказательство" и их взаимосвязи, теоретическим обоснованием йозможности и целесообразности организации целенаправленной работы по развитию у учащихся умения рассуждать, предусматривающей построение локальных теорий.

Практическая значимость проведённого исследования заключается в том, что вскрыты и охарактеризованы резервы и возможности обучения учащихся 5-6 классов доказательству математических утверждений; определены этапы в обучении школьников доказательству математических утверждений и сформулированы основные задачи каждого этапа; разработана методика построения локальных теорий при обучении математике в 5 - 6 классах на нематематическом и арифметическом материале; разработаны принципы проектирования учебного материала, позволяющего выстраивать локальную теорию.

Сформулированные теоретические положения и научно-методические рекомендации могут послужить основой для создания локальных теорий на другом конкретном материале. Результаты исследования могут быть использованы учителями в практике обучения математике, методистами - в курсе методики преподавания математики на математических факультетах педагогических университетов и институтов.

Полученные результаты используются автором при проведении спецкурса «Формирование и развитие у учащихся умения обоснованно рассуждать при обучении математике» на факультете начального образования Карельского государственного педагогического университета.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические положения исследования, результаты эксперимента и выводы докладывались и обсуждались на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (Санкт-Петербург, 1995, 1997 гг.), на семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики преподавания математики РГПУ (1996 г.), на семинаре аспирантов и преподавателей физико-математического факультета и факультета начального образования Карельского государственного педагогического университета (1997 - 1998 гг.), на научно-практических конференциях КГПУ

1993 - 1999 гг.), на международной научно-практической конференции (КГПУ и университет г.Йоэнсуу) (1998 г.).

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. К вопросу об умении доказывать//Математическое образование: современное состояние и перспективы: Тезисы докладов международной конференции. - Могилёв, 1999. - С. 175176.

2. К вопросу о развитии у учащихся умения рассуждать при обучении математике в 5 - 6 классах//Прикладная математика, информатика, электроника (методические и научно-практические вопросы). Межвузовский сборник научных трудов. - СПб., 1997. -С,92-103.

3. Проблемы организации предметных действий при обучении доказательствам/Юсобенности обучения математике в профильной школе и подготовка учителя к работе в ней: Тезисы докладов на Герценовских чтениях. - СПб.: Образование, 1996. - С.35.

4. Работа над речью учащихся на уроках математики//Проблемы развития речи. Материалы межвузовской научно-практической конференции. - Петрозаводск, 1992. - С.46-51.

5. Teaching Children to Think Logically at Mathematics Les-sons//Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education. - Joensuu University Press, 1998. - P. 151-154.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Смирнова, Светлана Иосифовна

Выводы по главе II

В данной главе:

1. Сформулированы основные положения методики:

- Построение локальной теории должно быть мотивированным;

- Процесс обучения доказательству посредством локальных теорий выстраивается в виде создания и снятия учащимися последовательности проблемных ситуаций;

- Предусматривается сочетание различных видов мышления, использование различных средств наглядности;

- На этапе непосредственного построения локальной теории и в дальнейшем её применении при решении задач организуется деятельность, предусматривающая проговаривание вслух выполняемых действий каждым учеником;

- Накапливаемые теоретические положения систематизируются в процессе построения локальной теории.

2. Выявлены требования к материалу, на котором может быть выстроена локальная теория при обучении математике в 5-6 классах:

- связан с программным материалом;

- позволяет использовать опыт учащихся;

- вызывает интерес у учащихся;

- допускает использование различных способов обоснования;

- включает небольшое число теоретических положений;

- даёт возможность применять теорию при решении широкого класса задач.

3. Предложена реализация основных положений для двух конкретных локальных теорий (на нематематическом и арифметическом материале).

4. Экспериментально доказана целесообразность и возможность организации деятельности по построению локальных теорий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель проведённого исследования состояла в поиске арифметического материала, допускающего построение локальной теории, и в разработке методики построения такой теории в 5 - 6 классах. Получение такой методики представляет один из аспектов работы, направленной на формирование и развитие у школьников умения рассуждать, на достижение учащимися более высокого уровня аргументированности суждений.

Период обучения математике в 5 - 6 классах является наиболее значимым в организации целенаправленной деятельности по формированию у учащихся определённых умений, связанных с обоснованием математических утверждений. Это объясняется возрастными особенностями младших подростков, их потребностями и возможностями, а также особым значением этой деятельности в плане подготовки учащихся к изучению доказательств в курсах геометрии и алгебры.

Построение обоснованных рассуждений имеет важное общеобразовательное значение, отражает специфику и особенности предмета математики на доступном учащимся 5-6 классов уровне. Умение обосновывать свои суждения (доказывать), являясь общелогическим, общекультурным умением, позволяет учащимся приобрести "инструмент" для решения многих задач как в курсах других учебных предметов, так и в жизни вообще.

В деятельности по обучению доказательствам можно выделить несколько аспектов: воспитание потребности в обосновании, знакомство с различными способами обоснования, изучение сущности доказательства и методов доказательства, приобретение опыта в построении аргументированных рассуждений и другие.

Изучение практики работы школы свидетельствует, что> практически, на всех этапах обучения учащиеся испытывают затруднения в восприятии и особенно самостоятельном проведении доказательств. Поэтому обучение учащихся обоснованным рассуждениям требует существенного улучшения.

Одним из средств развития у школьников умения аргументированно рассуждать является внедрение в учебный процесс построения локальных теорий с последующим их применением при решении задач.

В результате выполненного исследования:

1. Показана необходимость и целесообразность обращения в процессе обучения математике к понятиям "рассуждение" и "доказательство". Предложено различать эти понятия по наличию характерного признака - аргументации. При этом термины "обоснованное рассуждение", "аргументированное рассуждение", "логическое рассуждение" и "доказательство" считаются синонимами.

2. Обоснована целесообразность поэтапного формирования и развития у школьников умения доказывать. Выделено четыре этапа:

I - 1-4 классы,

II - 5-6 классы,

III - 7 класс,

IV - 8-11 классы, которые согласуются с установившейся практикой обучения математике в школе. Определены основные задачи каждого этапа в плане обучения обоснованным рассуждениям.

3. Обоснована необходимость и возможность обучения младших подростков некоторым аспектам доказательства как совокупности умений, не разделяя обучение отдельным умениям во времени.

4. Выявлены возможности использования локальных теорий как эффективного средства обучения школьников обоснованным рассуждениям при изучении математики в 5 - 6 классах.

5. Сформулированы требования к отбору материала для построения локальных теорий и основные положения методики обучения обоснованным рассуждениям в курсе математики 5-6 классов. Доказано, что разработанная с учётом этих положений методика является эффективным средством развития у учащихся умения рассуждать.

Результаты экспериментальной проверки показали, что внедрение разработанных материалов способствует не только повышению уровней аргументированности суждений у учащихся, но и формированию у них элементов теоретического мышления. Это позволяет обозначить следующие выводы:

• у значительной части детей этого возраста можно сформировать и обеспечить предпосылки последующего развития основ теоретического мышления;

• эту задачу можно решить, если обеспечить усвоение знаний (некоторой их части) младшими подростками посредством локальных теорий.

Перечисленные результаты убеждают в практической значимости проведённого исследования.

Результаты внедрения разработанных материалов подтвердили выдвинутую нами гипотезу о том, что развитие у школьников умения рассуждать будет более эффективным, если при изучении математики в 5 - 6 классах осуществляется систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующего их применения при рещении математических задач.

Направления дальнейшего исследования проблемы обучения доказательствам мы видим:

1) в разработке других локальных теорий, построенных с учётом требований к материалу и основных положений методику строения локальных теорий;

2) в поиске возможностей представления основного содержания курса математики 5-6 классов в виде последовательных локальных теорий;

3) в более полном установлении возможностей построения локальных теорий и их влияния на общее развитие школьников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Смирнова, Светлана Иосифовна, 1999 год

1. Абилова Г.Т. Методика обучения геометрии в 5 - 6 классах общеобразовательной средней школы: Автореф. дис. . кан^. пед. наук. - Алматы, 1996. - 20 с.

2. Аблова B.C. Формирование элементов логико-алгоритмической культуры учащихся в процессе обучения математике в начальной школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Орёл, 1995. - 16 с.

3. Аксиома. Аксиоматика и аксиоматический метод// Энциклопедический словарь юного математика. М., 1985. - С.9—13.

4. Александров А.Д. Геометрия в современной математике и математическом образовании//Математика в школе. 1993. - № 4. — С.3-9. '

5. Александров А.Д. О геометрии//Математика в школе. 1980. -№3,-С.56-62.

6. Ананченко К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключениям в курсе алгебры восьмилетней школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. - 20 с.

7. Ананьев Б.Г. О проблемах современного человекознания. — М.: Наука, 1997. С.312-331.

8. Артёмов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: Дисс. . док. пед. наук. -Пенза, 1984. 350 с.

9. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. -М.: Госполитиздат, 1954.-88 с.

10. Атаханов Р.А. К диагностике развития математического мыш-ления//Вопросы психологии. 1992. - №№ 1 - 2. - С.60-67.

11. Ахмедов Ж.Д. Подготовка учащихся 4-5 классов к проведению доказательств в систематическом курсе геометрии: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1988. — 14 с.

12. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект. М.: Педагогика, 1977. - 254 с.

13. Байрамов А.С. Динамика развития самостоятельности и критичности мышления у детей младшего школьного возраста: Ав-тореф. дисс. . док. пед. наук. Баку, 1968. - 128 с.

14. Блонский П.П. Избранные педагогические и психологические сочинения: В 2-х т. Т.2. - М.: Педагогика, 1979. - 399 с.

15. Богоявленский Д.Н. Приёмы умственной деятельности и их формирование у школьников//Вопросы психологии. 1969. -№> 2. - С.29-34.

16. Бреслер Г.Р. Методика обучения элементам доказательства в курсе математики 4 и 5 классов: Дисс. . канд. пед. наук. — Л., 1974. 164 с.

17. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. -М.: Знание, 1983. 96 с.

18. Бурда М.И. Формирование у учащихся 4-8 классов умений доказывать геометрические утверждения: Автореф. дисс. . кацд. пед. наук. Киев, 1980. - 21 с.

19. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства/Формирование приёмов математического мышления. Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995. -С. 120-155.

20. Бутко Д.Г. Влияние методов и приёмов обучения на формирование умения доказывать у учащихся старших классов (на материале дисциплин физико-математического цикла): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1983. - 22 с.

21. Быртова Н.А. Обучение обоснованным рассуждениям на уроках математики: Дипломная работа. Петрозаводск, 1999. - 64 с.

22. Верченко С.Б. Развитие пространственных представлений при изучении геометрического материала в 4 5 классах средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1984. - 16 с.

23. Возрастная и педагогическая психология. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов/Под ред. проф. А.В. Петровского. -М.: Просвещение, 1973. 288 с.

24. Возрастные и индивидуальные особенности младших подростков/Под ред. Д.Б. Эльконина и Т.В. Драгуновой. М.: Просвещение, 1967. - 360 с.

25. Выготский JI.C. Проблема отношения развития и обучения в процессе обучения и развития учащихся: Избранные психологические исследования. М.: Наука, 1977. - 320 с.

26. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребёнка. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.

27. Гальперин П.Я., Эльконин Д.Б. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления./Послесловие к книге Дж. X. Флей-велл Генетическая психология Жана Пиаже. М.: Просвещение, 1967. - С.596-621.

28. Гибш И.А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики//Математика в школе. 1995. - №6. - С.2-5.

29. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире и математическое образование//Математика в школе. 1991. - № 1. - С.2-4.

30. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. (Логико психологические проблемы построения учебных предметов). - М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

31. Давыдов В.В. Основные проблемы развития мышления в процессе обучения//Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Под ред. И.И. Ильясова, В.Я. Ляудис. М.: Просвещение, 1981. - Ч. 2. - С.203-207.

32. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.

33. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности школьников//Вопросы психологии. 1981. - № 6. - С.13-26.

34. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач: Дисс. . канд. пед. наук. Калинин, 1958.- 375 с.

35. Демидова С.И. Пути формирования обобщенных умений при обучении геометрии в восьмилетней школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1981. - 18 с.

36. Доказательство//БСЭ. М., 1972. - Т.8. - С.398-399.

37. Драгунова Т.В. Подросток. М.: Знание, 1976. - 96 с.

38. Дрозд В.Л. Обучение учебным приёмам логической организации математического материала в курсе геометрии 6-7 класса: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1980. - 18 с.

39. Ерицян М.С. Психология дедуктивных умозаключений: Автореф. дисс. . канд. пед. наук, (по психологии) М., 1953. - 15 с.

40. Ефимчик А.А. Изучение первых геометрических понятий и доказательств. (Из опыта работы). Минск: Нар. асвета, 1963. -48 с.

41. Журавлёва О.Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1996. - 16 с.

42. Занков Л.В. О предмете и методах дидактических исследований. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 148 с.

43. Иванова А.В. Преемственность в обучении геометрическому материалу между курсами математики 1 3 и 4 - 5 классов средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - Л., 1987. -16 с.

44. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить: Кн. для учащихся. -М.: Просвещение, 1986. 224 с.

45. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. - 288 с.

46. Истомина Н.Б. Учить рассуждать младшего школьни-ка//Начальная школа. 1976. - № 9. - С.47-52.

47. Кабанова Меллер Е.Н. Формирование приёмов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

48. Каплан Б.С. и др. Методы обучения математике: Некоторыевопросы теории и практики/Б.С. Каплан, Н.К. Рузин, А.А. Столяр; под ред. А.А. Столяра. -Мн.: Нар. асвета,1981. 191 с.

49. Клименченко Д.В. Задачи, воспитывающие исследовательские умения у младших школьников//Начальная школа. 1983. - № 7. -С.51-55.

50. Кондаков Н.И. Логика. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз. - 1954.- 512 с.

51. Кондрашенкова Т.А. Методика формирования общелогических умений при обучении математике в 4 5 классах: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1981. - 20 с.

52. Концепция развития школьного математического образова-ния//Математика в школе. 1990. - № 1. - С.2-14.

53. Костюк Г.С. Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1988. - 304 с.

54. Кравцов Г.Г. Психологические особенности учебной деятельности младших подростков: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1977.- 16 с.

55. Краснослобоцкая Г.В. Формирование общих интеллектуальных умений у учащихся на математическом материале в основной школе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1994. - 16 с.

56. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. М.: Просвещение, 1976. - 303 с.

57. Лаина П. Результативность обучения математике в школе. -Л.,1991. 78 с.

58. Латотин Л.А. Развитие логического мышления учащихся 4 — 7 классов на алгебраическом материале: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Минск, 1982. - 16 с.

59. Левинов A.M. О содержании понятий «навык» и «уме-ние»//Советская педагогика. 1980. - № 3. - С.68-72.

60. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

61. Лёхова В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов//Начальная школа. 1998. - № 5. - С.28-31.

62. Лоповок Л.М. Варианты доказательства геометрических тео-рем//Математика в школе. 1975. - № 5. - С.29-31.

63. Лященко Е.И., Мазаник Е.И. Методика обучения математике в 4-5 классах. Минск: Народная асвета, 1976. - 222 с.

64. Маланюк Е.П. Подготовка учащихся к проведению доказа-тельств/Шачальная школа. 1980. - № 5. - С.33-36.

65. Маланюк Е.П. Формирование логической грамотности учащихся 1-5 классов в процессе обучения математике: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1979. - 24 с.

66. Манцаев Н.Г. Система упражнений на составление задач учащимися как средство повышения эффективности обучения математике в 5 6 классах: Дисс. . канд. пед. наук. - СПб., 1992. -174 с.

67. Маркова А.К. Психология обучения подростка. М.: Знание, 1975.- 64 с.

68. Маркова А.К. и др. Формирование мотивации учения: Книга для учителя/А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов. М.: Просвещение, 1990. - С.78-121.

69. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. Учреждений/Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина. М.: Просвещение, 1994. - 272 с.

70. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Л.П. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. М.: Просвещение, 1994. -319 с.

71. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. М.: Просвещение, 1992. - 304 с.

72. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. школы/Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. М.: Просвещение, 1994. - 312 с.

73. Матис Т.А. Психологические условия формирования совместной учебной деятельности школьников: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1977. - 21 с.

74. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

75. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. -М.: Просвещение, 1977. 240 с.

76. Махров В.Г. Решение логических задач (для внеклассных за-нятий)//Начальная школа. 1979. - Jfe 2. - С.56-59.

77. Медведская В.П. Обучение младших школьников доказательству математических предложений: Авторефер. дисс. . канд. пед. наук. Минск, 1988. - 18 с.

78. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. Мн.: Университетское, 1989. - 160 с.

79. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А.Я. Блох, Е.С. Канин, П.Г. Килина и др.; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр.- М.: Просвещение, 1985. 336 с.

80. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннин-ский. М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

81. Мехтиев М.Г. Некоторые суждения о проблеме обучения геометрии в школе//Математика в школе. 1994. - № 2. - С.40-42.

82. Михайлович Т.С. Формирование логических умений у младших школьников в процессе решения задач: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Киев, 1992. - 22 с.

83. Мостовой А.И. Различные способы доказательства в курсе геометрии восьмилетней школы. М.; Просвещение,1965.-103 с.

84. Мубараков A.M. Преемственность в изучении геометрического материала между курсами математики 5 6 и 7 - 9 классов: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1993. - 18 с.

85. Немов Р.С. Психология. Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений. В двух кн. Кн. 2. Психология образования. М.: Просвещение, 1994. - 496 с.

86. Нечаева О.А. Функционально-смысловые типы речи. (Описание. Повествование. Рассуждение.) Улан-Удэ: Бурят, кн. изд-во, 1974.-261 с.

87. Никитин Б.П. Ступеньки творчества, или Развивающие игры. 3-е изд., доп. - М.: Просвещение, 1990. - 160 с.

88. Никольская И.Л. Воспитание логической культуры при обучении алгебре в 6 8 классах/Преподавание алгебры в 6 — 8 кл.; составители Ю.Н. Макарычев и Н.Г Миндюк. - М.: Просвещение, 1980.-С.168-185.

89. Никольская Р.И. Обучение рассуждениям в 1-м клас-се//Начальная школа. 1981. - № 5. - С.70-74.

90. Нодельман B.C. Система средств обучения для развития логической культуры учащихся на уроках математики в 4 8 классах: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. - М., 1979. - 20 с.

91. Общая психология/Под ред. А.В. Петровского. 2-е изд., доп.- М.: Просвещение, 1977. 479 с.

92. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе: Дисс. . док. пед. наук. Ереван, 1984. - 349 с.

93. Окунев А.А. Как учить не уча. СПб.: Питер Пресс, 1996. -448 с.

94. Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления учащихся с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1979. 18 с.

95. Перькова О.П., Сазанова Л.И. Выявление способности ребёнка анализировать, сравнивать, обобщать//Начальная школа. 1994.- № 9. С.30-33.

96. Пиаже Ж. Эволюция интеллекта в подростковом и юношеском возрасте/Шсихологическая наука и образование. 1997. - № 4. -С.56-64.

97. Плакатина О.И. Приёмы управления умственной деятельностью учащихся по актуализации знаний при решении задач надоказательство по геометрии: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1979. 16 с.

98. Платоненкова М.М. Сравни и сделай вывод//Начальная школа. 1998. - № 7. - С.71-72.

99. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы/Сост. Г.Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989. - 240 с.

100. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1988. 303 с.

101. Подгорецкая Н.А. Изучение приёмов логического мышления у взрослых. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. - 150 с.

102. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. И.А. Вайнштейна,- М.: Наука, 1975,- 464 с

103. Пономарёв Я.А. Фазы творческого процесса//Исследование проблем психологии творчества. М.: Наука, 1983. - С.3-26.

104. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. -М.: Просвещение, 1994. 240 с.

105. Психология современного подростка/Под ред. О.О. Фельд-штейна. М.: Педагогика, 1987. - 240 с.

106. Пышкало A.M. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1973.- 208 с.

107. Развитие творческой активности школьников/Под ред. A.M. Матюшкина. М.: Педагогика, 1991. - 160 с.

108. Ревуцкас Ю.И. Система упражнений как средство обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1978. - 21 с.

109. Рогановский Н.М. Формирование навыков дедуктивных рассуждений в процессе решения задач//Математика в школе. -1980.-№ 3. С.52-53.

110. Ротенберг B.C., Бондаренко C.M. Мозг. Обучение. Здоровье: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1989. - 238 с.

111. Рубинштейн C.JI. Основы общей психологии: В 2-х т. М.: Педагогика, 1989. - С.360-483.

112. Рудакова Е.А., Царёва С.Е. Разбор задачи с использованием графических схем//Начальная школа. 1992.- № 11-12.-СЛ4-19.

113. Русанов В.Н. Логические задачи на раскрашивание//Начальная школа. 1991. - № 6. - С.36-38.

114. Саранцев Г.И. Применение карточек при обучении доказа-тельствам//Математика в школе. 1976. - № 3. - С.19-20.

115. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Дисс. . канд. пед. наук. Саранск, 1985. - 303 с.

116. Сельдюкова С.И. Использование математическх заданий и задач из детских журналов и газет//Начальная школа. 1980. -№ 1. - С.38-42.

117. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семёнов А.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1978. 64 с.

118. Серебрянников О.Ф., Бродский И.Н. Дедуктивные умозаключения. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1969. - 96 с.

119. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб.: Социально-психологический центр, 1996. - 346 с.

120. Слонская Л.П. Узловые вопросы преподавания геометрии в 6 8 классах средней школы: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -Киев, 1968. - 16 с.

121. Слуцкий В.М., Моррис А.К. Когнитивные механизмы способности рассуждать у подростка: вклад культурных и образова169 .Iтельных факторов//Психологический журнал, т. 18. 1997. - № 2. - С.79-96.

122. Сто л л P.P. Множество. Логика. Аксиоматические теории. Перевод с англ. Ю.А. Гастева и И.Х. Шмаина; под ред. Ю.А. Н1и-хановича. -М.: Просвещение, 1968.-231 с.

123. Столяр А.А. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником. т Мн.: Нар. асвета, 1987. 143 с.

124. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. — Мн.: Выпг. школа, 1991. 207 с.

125. Столяр А.А. Как мы рассуждаем? Мн.: Нар. асвета, 1968. -109 с.

126. Столяр А.А. Логика и интуиция в преподавании геометрии. — Мн.: Нар. асвета, 1963. 126 с.

127. Столяр А.А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. факульт. пед. ун-тов. Мн.: Выш. школа, 1986. - 414 с.

128. Тагиев Шагин Таги Оглы. Поблема формирования умения учащихся обосновывать правильность своих результатов при изучении математики в 1 классе: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. Баку, 1982. - 15 с.

129. Талызина Н.Ф. Теоретические проблемы программированного обучения. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 133 с.

130. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 343 с.

131. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1988.- 175 с.

132. Теплов Б.М. Практическое мышление//Хрестоматия по общей психологии: Психология мышления. М.:Изд-во МГУ, 1981. -С.37 - 56.

133. Тоцки Е. Методические основы локально-дедуктивного обучения геометрии в средней школе (с учётом специфики Польши): Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1993. - 33 с.

134. Туркина В.М. Методические рекомендации по формированию общих приёмов поиска доказательства математических утверждений в начале изучения систематического курса геометрии. -Петрозаводск: КГПИ, 1984. 22 с.

135. Туркина В.М. Формирование общих приёмов поиска доказательства математических утверждений: Дисс. . канд. пед. наук. -Л., 1984. 180 с.

136. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5-6 классов средствами логического конструирования при обучении математике: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1996. - 16 с.

137. Ушинский К.Д. Собрание сочинений. Т.5. Методические статьи и материалы к «Детскому миру»,- М.: Изд-во Акад. пед. наук, 1949. 592 с.

138. Фискович Т.Т. Повышение уровня логического развития учащихся 4-5 классов//Математика в школе.- 1973.-№ 6.-С.23-25.

139. Формирование приёмов математического мышления/Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995. - 230 с.

140. Фридман Н.Н., Кулагина Ю.И. Психологический справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. - 288 с.

141. Фролова Т.Ф. Роль наглядных представлений в преподавании дедуктивного курса геометрии: Автореф. дисс. . канд. пед. наук. -М., 1989. 16 с.

142. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963. - 302 с.

143. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов//Начальная школа. 1988. - № 5. - С.31-36.

144. Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Т. 2. М.: МГУ, 1981. - 304 с.

145. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего обучения). М.: АО «Столетие», 1994. - 192 с.

146. Эльконин Д Б. Психология обучения младшего школьника. -М.: Знание, 1974, 64 с.

147. Юнг Дж.В.А. Как преподавать математику/Пер. с англ. А Р. Кулишер: Руководство для преподавателей. М.: Госиздат, 1924. - 288 с.

148. Якиманская И.С. Знания и мышление школьника. М.: Знание, 1985. - 80 с.

149. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.