Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Туркина, Валентина Михайловна

• Туркина, Валентина Михайловна
• кандидат педагогических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Туркина, Валентина Михайловна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ЛОШО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОНЯТИЯ "ДОКАЗАТЕЛЬСТВО" В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

§ I. Логико-математический анализ понятия "доказательство" в школьном курсе математики

§ 2. Анализ доказательства как процесса

Глава П. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ОБЩИХ ПРИЕМОВ ПОИСКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРЖДЕНИЙ

§ 3, Общие приемы учебной работы по поиску доказательства математических утверждений

§ 4» Методика формирования приема "анализ текста утверждения"

§ 5. Методика формирования приема "развертывание условия"

§ 6. Методика формирования приема "последовательный анализ заключения и условия утверждения ("челнок")" III

§ 7. Организация деятельности учащихся по усвоению методов доказательства

§ 8, Организация и основные итоги эксперимента по формированию общих приемов поиска доказательства математических утверждений 129 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 161 БИБЛИОГРАФИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений»

Учебно-воспитательная работа современной средней школы направлена на то, чтобы дать молодежи глубокие и прочные знания о законах природы и общества, сформировать у нее марксистско-ленинское мировоззрение, воспитать стремление к активной трудовой и общественной деятельности. В документах партии и правительства специально отмечается, что при обучении школьников необходимо добиваться не только усвоения фактов. Важно также научить их самостоятельно добывать знания. Решения ХХУ1 съезда КПСС, Постановление Верховного Совета СССР "Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы" /4/ ориентируют школу на развитие мышления таким образом, чтобы получаемые знания становились основой для получения новых знаний и формирования новых умений, чтобы знания и умения помогали решению практических задач.

Обучение математике вносит существенный вклад в решение поставленной задачи: школьники овладевают умениями проводить различные вычисления, правильно строить суждения, обоснованно делать выводы, последовательно и логично проводить рассуждения и т.д. Овладение этими умениями происходит в процессе изучения учебного материала, в том числе и на уроках геометрии.

В курсе геометрии учащиеся решают задачи различных типов, но обязательным этапом решения каждой из них является доказательство того или иного положения. Поэтому особенно важно обратить внимание на обучение учащихся умению доказывать, так как, доказывая утверждение, они сознательно и прочно овладевают системой математических знаний, умений, навыков, глубже проникают в смысл изучаемого материала, приобретают опыт применения знаний в практической деятельности. Обучение доказательству - общая цель изучения геометрии. Для ее достижения потребуется не один год. От успешного решения проблемы эффективного обучения доказательству математических утверждений в значительной мере зависит не только качество обучения (успешное усвоение последующих разделов математики предполагает владение учащимися умением доказывать), но и результативность учебной и трудовой деятельности в дальнейшем, подготовка учащихся к деятельности творческого характера.

Формированию умения доказывать посвящено немало как психологических, так и методических работ (И.И.Бурда, Г.И.Буткин, М.Б.Болович, Е.Ф.Данилова, В.И.Зыкова, Е.Н.Кабанова-Меллер, А.И.Мостовой, И.Ф.Протасов, Ф.Ф.Притуло, О.И.Плакатина, И.С. Якиманская и др.). В исследованиях указанных авторов разрабатывались вопросы о формировании умения оперировать понятием при доказательстве /28,29,30,31,32,37,115,124,130 и др./, умения работать с чертежом /71,132,133,179 и др./, умения делать правильные умозаключения /25,122 и др./, вопросы об обучении доказательству различными методами и способами /57,69,75,103,112, 145 и др.), о применении эвристических указаний при проведении доказательства /9,10,28,29,113,127,128,170 и др./ и др. Большинство авторов отмечают, что центральным звеном в обучении доказательству является формирование умения искать доказательство. Однако, когда, на каком материале, в какой последовательности необходимо начинать специальное обучение поиску доказательства -эта проблема в указанных работах не рассматривается.

Анализ отчетов о вступительных экзаменах, публикуемых в журнале "Математика в школе" /119 и др./, результатов контрольных работ, проводимых органами народного образования /99 и др./, результатов нашего констатирующего эксперимента показывает, что учащиеся неплохо справляются с доказательством теорем, которые рассмотрены в учебнике, но с решением задач на доказательство справляются с большим трудом, чаще же не справляются совсем. Это обусловлено несколькими причинами. Во-первых, сказывается формализм в знаниях детей, который проявляется в том, что учащиеся, не видя общего подхода к поиску доказательства, пытаются запомнить само доказательство. Во-вторых, значительное число учащихся затрудняется раскрыть ход своих рассуждений в процессе доказательства даже в том случае, когда ими получен правильный результат. Это говорит о том, что ученики не осознают сам процесс поиска доказательства,способ своей деятельности. В то же время "логически правильное мышление может формироваться только на основе осознания своих собственных действий, совершаемых первоначально под контролем учителя" /49, с.265/.

Исследования психологов и методистов (М.И.Бурда, Г.И.Бут-кин, Е.Ф.Данилова, Ф.Ф.Притуло, О.И.Плакатина, Н.Ф.Талызина и дрО, результаты нашего исследования показывают, что учащиеся не научаются самостоятельно доказывать математические утверждения до тех пор, пока не научатся искать доказательство. Поэтому необходимо обучение поиску доказательства сделать объектом специального усвоения.

Анализ методологических основ организации учебного материала в школьном курсе математики показывает, что основное внимание доказательству уделялось при построении курса геометрии. Анализ школьных программ и учебников по геометрии позволил выделить различные подходы к построению этого предмета в зависимости от того, как трактуется понятие "доказательство" в этом курсе: построение геометрии на содержательной основе, дедуктивный подход к построению школьной геометрии, построение геометрии на дедуктивной основе. В отличие от первых двух подходов построение геометрии на дедуктивной основе вводит метод этой науки с первых уроков изучения курса: представлена вся система аксиом; при рассмотрении понятия доказательства указывается не только его форма и цель, но и аргументы доказательства; высказано требование "доказывать все" с самого начала изучения курса. Введение метода учебного предмета с начала изучения систематического курса требует, в свою очередь, и формирования умений, связанных с ним: умения искать доказательство, умения проводить доказательство, умения оформить доказательство.

Как было сказано выше, центральным звеном в процессе доказательства является его поиск. Это и обусловливает необходимость обучения поиску доказательства с первых уроков геометрии, построенной на дедуктивной основе. С этой точки зрения проблема обучения поиску доказательства в методике математики не стави -лась.

Специалистами в области психологии разрабатываются различные концепции формирования умений (С.Л.Рубинштейн, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Е.Н.Кабанова-Меллер, А.К.Маркова, Н.А.Менчин-ская, Н.Ф.Талызина и др.). Общим в этих концепциях является то, что отмечается необходимость формирования общих приемов учебной деятельности, соответствующих логике учебного предмета. Средством обучения поиску доказательства математических утверждений может стать формирование общих приемов поиска доказательства, вытекающие из логики предмета и анализа деятельности, соответствующей поиску доказательства. Возникает необходимость выделения таких приемов, которые необходимо формировать в самом начале изучения систематического курса геометрии, построенной на дедуктивной основе.

Таким образом, недостаточная разработанность в теории и практике обучения школьников общим приемам поиска доказательства математических утверждений обуславливает актуальность выбранной темы исследования.

Проблема исследования: выявление условий, необходимых для формирования умения находить доказательство в начале изучения систематического курса геометрии.

Объект исследования: процесс формирования умения находить доказательство.

Предмет исследования: общие приемы учебной работы по поиску доказательства математических утверждений, их формирование при изучении первых тем систематического курса геометрии, построенного на дедуктивной основе.

Выбор данного предмета исследования обусловлен несколькими причинами: а) несмотря на то, что многие авторы затрагивают проблему формирования умения доказывать, они обычно рассматривают только деятельность учителя по обучению доказательству. Деятельность учеников в этих работах не является объектом специального изучения. В нашей работе делается акцент на формирование приемов учебной работы учеников по поиску доказательства; б) рассмотрение общих приемов поиска доказательства дает возможность вооружить учеников "инструментом", с помощью которого они будут иметь возможность самостоятельно приступить к поиску доказательства любого математического утверждения. По мнению психологов(Брунер Дж., В.В.Давыдов, А.К.Маркова и др.), наиболее целесообразно обучение новому предмету начинать не только с изучения отдельных фактов, но и с формирования общих приемов учебной работы, характерных для данного учебного предмета, что даст возможность ученикам осознать этапы своей учебной работы, которые привели к результату; в) специалисты в области возрастной психологии (В.А.Крутец-кий, Л.И.Божович, А.К.Маркова и др.) отмечают, что в подростковом возрасте имеются благоприятные условия для формирования саморегуляции учебной деятельности: общая широкая активность детей этого возраста, готовность их включаться в разные виды деятельности, стремление к "взрослым" формам учения. Однако эти условия недостаточно используются, ибо "не всегда учителя умеют организовать формирование способов учебной работы и на этой основе -способов саморегуляции" /104, с.10/.

Гипотеза: если формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений начинать с первых уроков курса геометрии, построенного на дедуктивной основе, то это позволит повысить общий уровень умения искать доказательство, даст возможность ученикам успешно усваивать теоретический материал и будет способствовать готовности школьников к самостоятельному изучению математики.

Для проверки сформулированной гипотезы предполагалось решить следующие задачи:

1) выявить содержание понятий "уметь доказывать", "искать доказательство", выделить уровни владения умением доказывать, умением искать доказательство;

2) на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, изучения опыта работы учителей выделить общие приемы поиска доказательства математических утвержденийj которые необходимо формировать при изучении первых тем систематического курса геометрии, построенного на дедуктивной основе, обосновать по следовательность формирования этих приемов;

3) выявить тот учебный материал, на котором наиболее целесообразно формировать эти приемы учебной работы;

4) разработать методику формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений;

5) провести экспериментальную проверку выдвинутой гипотезы.

Для решения поставленных задач использовались различные методы исследования:

- изучение и анализ математической, психолого-педагогической, методической литературы по проблеме исследования;

- наблюдение за деятельностью учеников при поиске доказательства математических утверждений, наблюдение за деятельностью учителей по обучению поиску доказательства;

- беседы с учителями и учениками по проблеме исследования;

- анкетирование;

- организация и проведение лабораторного эксперимента;

- организация и проведение обучающего эксперимента;

- количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе эксперимента.

Кроме того, мы опирались на личный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение II лет.

Исследование проводилось с 1981 по 1984 год и включало четыре этапа. На первом этапе был проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы, выбор методики исследования, организация лабораторного эксперимента. В результате работы на этом этапе была выделена теоретическая концепция проводимого исследования, выделены общие приемы поиска доказательства математических утверждений, которые необходимо формировать в первую очередь при систематическом изучении курса геометрии, построенного на дедуктивной основе, выявлены уровни владения умением доказывать, искать доказательство, теоретически исследована возможность формирования общих приемов учебной работы по поиску доказательства.

На втором этапе исследовалась возможность формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений в рамках лабораторного и поискового экспериментов, уточнялась теоретическая концепция исследования. Итогом этого этапа было определение теоретических основ формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений, которые необходимо формировать в начале изучения геометрии, построенной на дедуктивной основе, выбор методических путей реализации теоретических положений.

На третьем этапе разрабатывалась и проверялась методика проведения педагогического эксперимента, разрабатывались методические материалы и проведен обучающий эксперимент.

На четвертом этапе была проведена качественная и количественная обработка материалов эксперимента, сделаны общие выводы по проведенному исследованию.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что

- доказана возможность и необходимость формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений с начала изучения систематического курса геометрии, построенного на дедуктивной основе;

- выявлены общие приемы поиска доказательства, которые необходимо формировать в первую очередь (анализ текста утверждения, развертывание условия утверждения, последовательный анализ заключения и условия утверждения), формирование указанных приемов осуществляется одновременно с обучением учеников проводить доказательство прямым и косвенным методом;

- выделен операционный состав и последовательность формирования приемов;

- определены условия формирования приемов (указание полной системы действий, входящих в прием; поэлементное усвоение действий; развернутость применения приема при его первоначальном показе и освоении; использование таблиц, схем; указаний, карточек при введении и закреплении приема; использование теоремы, доказанной в учебнике, в качестве образца при введении приема).

Практическая значимость проведенного исследования заключается в разработке методики формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений в начале изучения систематического курса геометрии, построенного на дедуктивной основе. Данная методика может быть реализована в условиях общеобразовательной школы без перестройки планов и программы, не требует дополнительного времени и обеспечивает успешное усвоение учебного материала^ позволяет учителю управлять процессом усвоения знаний, их применением.

Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов на Герценовских чтениях (г.Ленинград, 1982, 1983, 1984 гг.), совещании преподавателей физико-математических факультетов пединститутов Северо-Западной зоны РСФСР (г.Петрозаводск, 1982 г.; г.Псков, 1984 г.), на курсах повышения квалификации учителей математики при Карельском ИУУ (г.Петрозаводск, 1983 г.), выступлений на заседаниях методических объединений учителей школ г.Петрозаводска, г.Сестрорецка.

Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях:

I. Формирование умения доказывать утверждения методом от противного в 6 классе. - Методические рекомендации по алгоритмизации обучения математике в восьмилетней школе. Л., 1984, с.55-62.

2. Общий прием поиска доказательства теорем "развертывание условия". - Активизация учебной деятельности учащихся при обучении математике (Методические рекомендации). - Л.: ЛГШ, 1984, с.20-26.

3. Методические рекомендации по формированию общих приемов поиска доказательства математических утверждений в начале изучения систематического курса геометрии. Петрозаводск, 1984.- 22 с.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Туркина, Валентина Михайловна

Выводы no II главе

1. Под приемом учебной работы понимается способ, с помощью которого ученик достигает результата в своей учебной деятельности. Перечень действий, входящих в прием учебной работы, может быть представлен в виде указаний, таблиц, схем, граф-схем и т.д.

Приемы учебной работы бывают двух видов: общие и специфические. Под общим приемом учебной работы понимается прием, применимый при решении широкого класса задач.

2. Для обучения умению искать доказательство при построении курса геометрии на дедуктивной основе с самого начала необходимо формировать следующие общие приемы поиска доказательства: анализ текста утверждения, развертывание условия, последовательный анализ заключения и условия утверждения.

3. Основой для обучения поиску доказательства является формирование приемов учебной работы по проведению доказательства прямым и косвенным методом. Обучение приемам учебной работы по поиску и проведению доказательства этими методами осуществляется одновременно.

4. При построений методики формирования этих приемов нужно учитывать следующие моменты: а) указание полной системы действий, входящих в прием; б) поэлементное освоение приема; в) развернутость применения приема при его первоначальном показе и освоении; г) формирование приема.на разнообразном материале, что требует длительного времени; д) использование схем, таблиц, карточек, эвристических указаний и т.д. при введении и освоении приема; е) использование теоремы, доказанной в учебнике, в качестве образца при введении приема.

5. Процесс формирования общих приемов поиска доказательства проходит несколькоо этапов: подготовительный, введения, освоения, самостоятельного применения.

6. Результаты проведенного обучающего эксперимента показывают, что специальное формирование общих приемов поиска доказательства способствует повышению уровня овладения умением искать доказательство, дает возможность ученику успешно усваивать теоретический материал, подготавливает его к самостоятельному изучению дальнейшего теоретического материала.

- 161

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрена методика формирования общих приемов поиска доказательства математических утверждений в самом начале изучения систематического курса геометрии, построенного на дедуктивной основе.

Для выделения таких приемов необходимо рассмотреть понятие "доказательство" с разных точек зрения: в широком и узком смыслах, как процесс и как результат. В широком смысле доказательство - это любая процедура установления истины, в узком - рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность суждения на основе истинных посылок. В данной работе доказательство рассматривается в узком смысле.

При рассмотрении доказательства как результата можно выделить уровни обоснования математического утверждения: рассуждение, аргументация, доказательство. При рассмотрении доказательства как процесса можно выделить в умении доказывать его компоненты: умение искать доказательство, умение проводить доказательство, умение оформлять доказательство.

В деятельности по доказательству математических утверждений центральным звеном является поиск доказательства. Анализ мыслительной деятельности позволяет выделить уровни умения искать доказательство. Владение умением искать доказательство на эвристическом уровне позволяет учащимся успешно усваивать дальнейший теоретический материал.

Одним из средств формирования умения искать доказательство является обучение учащихся общим приемам поиска доказательства. При построении систематического курса геометрии на дедуктивной основе достижение этой цели выдвигается на первый план, так как само содержание предмета требует знакомства с доказательством с самых первых уроков. В то-же время при таком построении есть возможность показать логическую стройность курса, используя его метод-доказательство.

В диссертации ввделены общие приемы поиска доказательства математических утверждений, которые необходимо формировать в первую очередь, обоснована последовательность знакомства с этими приемами. При построении методики формирования указанных приемов учитывалась необходимость введения полной системы действий приема, поэлементное освоение этих действий, развернутость применения приема при первоначальном показа и освоении, формирование в течение длительного времени, использование разного рода таблиц,схем, указаний, задач нематематического содержания. При отборе материала, на котором формируется прием, учитывалась необходимость его введения на рассмотренной в учебнике задаче или теореме.

В ходе эксперимента было доказано, что использование общих приемов поиска доказательства дает в руки ученика "инструмент", с помощью которого он может подойти к решению задачи, добиться успеха. Результаты эксперимента показывают, что применение этих приемов поиска в учебной-деятельности повышает не только уровень умения искать доказательство, но и способствует повышению уровня умения доказывать. Таким образом, подтверждена гипотеза, высказанная в исследовании.

Процесс формирования умения искать доказательство - длительный процесс. В диссертации рассмотрено обучение этому умению на первоначальном этапе. Но с увеличением объема математических знаний будет расти сложность материала. В таком случае данные приемы не смогут полностью обеспечить поиск доказательства. Поэтому необходимо введение новых общих приемов поиска, связанных как с логической организацией материала (знакомство с методами доказательства), так и с наличием эвристических процессов мышления (приемы эвристического поиска).

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Туркина, Валентина Михайловна, 1984 год

1. Энгельс ф. Анти-Дюринг. - Маркс К., Энгельс Ф. Соч., 2-е изд., т.20, с.5-342.

2. Ленин В.И. Конспект книги Гегеля."Наука логики". -Полн.собр.соч., Философские тетради, т.29, с.77-218.

3. Материалы ОТТ съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981. -256с. .

4. О дальнейшем собершенетеобании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду: Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР. Советская педагогика, 1978, Я 2, с.1-10.

5. Основные направления реформы общеобразовательной школы: Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР. Правда, 1984, II апреля.

6. Абузярова С.И. Диагностика познавательных умений и качеств мышления школьников. В кн.: Вопросы диагностики и прогнозирования в воспитании учащихся. Вып.1. Красноярск, 1979, с.112-125.

7. Александров А.Д. О геометрии. Математика в школе, 1980, Л 3, с.56-62.

8. АнцифероЕа Л.И. Роль анализа в познании причинно-следственных отношений. В кн.: Процесс мышления и закономерности анализа, синтеза и обобщения / Под общ. ред. Рубинштейна С.Л. М.: Изд-во АН СССР, I960, с.102-121.

9. Артемов А.К. Об эвристических приемах при обучении геометрии. Математика в школе, 1973, Л 6, с.25-29.

10. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Пенза: Приволжское книжное изд-во,1969. 336 с. .

11. Асмус В.Ф. Логика. М.: Госполитиздат, 1947. - 387 с.

12. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровеще-нии. М.: Госполитиздат, 1954, с.88.

13. Атанасян Л.С. и др. Алгебра. Геометрия. Пробные учебники для 6 класса средней школы. 3-е изд., испр. и доп. М.: Просвещение, 1982,с.336.

14. Ашкинузе К.Г., Кацева В.П. Моделирование на ЭВМ процесса доказательства геометрических теорем. В кн.: Вопросы алгоритмизации.и программирования обучения. Вып.2. / Под ред. Л.Н.Ланда. -М.: Педагогика, 1973, с.89-110.

15. Бабанский Ю.К. Оптимизация. процесса обучения. Общедидактический аспект. М.: Педагогика, 1977. - 256 с.

16. Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований (Дидактический аспект). М.: Педагогика, 1982. - 191.с.

17. Беляев Е.А., Киселева Н.А., ПерминоЕ В.Я.Некоторые особенности математического знания. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 112 с.

18. Бескин Н.М. Методика геометрии. М.: Учпедгиз, 1947.276 с.

19. Беспалько В.П. Программированное обучение. Дидактические основы. -М.: Высшая школа, 1970. 300 с.

20. Битинас Б. Измерения в педагогическом исследовании. -Сов.педагогика, 1972, Л 7, с.59-69.

21. Богоявленский Д.Н. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников. Вопросы психологии, 1969, Л 2, с.25-37.

22. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвое- 166 ния знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 347 с.

23. Болтянский Б.Г. Анализ поиск решения задачи. - Математика в школе, 1974, Л I, с.34-40.

24. Болтянский В.Г. Что такое теорема? Математика в школе, 1973, И I, с.41-49.

25. Бреслер Г.Р. Методика обучения элементам доказательства в курсе математики 1У и У.классов: Автореф. дис. . канд. пед.наук. 31., 1974. - 17 с.

26. Бреслер Г.Р. Обучение доказательству в 1У класса. -Математика в школе, 1974, Л 5, с.34-37.

27. Брунер Дж. Процесс обучения / Под ред. А.РЛурия. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. 84 с.

28. Бурда М.И. Формирование у учащихся 4-8 классов.умений доказывать геометрические утверждения: Автореф. дис. . канд. пед.наук. Киев, 1980. - 21 с.

29. Бурда М.И. Формирование умений осуществлять поиск геометрических доказательств. В кн.: Преподавание алгебры и геометрии в школе / Из опыта работы. Пособие для.учителя. Составитель О.А.Боковнев. - М.: Просвещение, 1982, с.99-106.

30. Буткин Г.А. Управление формированием осуществлять геометрическое доказательство. В кн.: Теория поэтапного формирования умственных действий и управление процессом учения. - М.: Изд-ео Моск. ун-та, 1967, с.ЮЗ-ПЗ. .

31. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства. В кн.: Зависимость.обучения от типое ориентировочной деятельности / Под ред. П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968, с.187-237.

32. Буткин Г.А. Формирование умения.осуществлять геометрическое доказательство: Автореф. дисс. . канд.пед.наук (по пси- 167 -хологии). М., 1967. - 22 с.

33. Возрастная и педагогическая психология: Учебник для пед. ин-тов / Под ред. А.В.Петровского. 2-е изд., испр. и доп.-М.: Просвещение, 1979. 288 с.

34. Волгина.В.Ф. Графовые модели в методике математики: Автореф. дисс. . канд.пед.наук. М., 1977. - 13 с.

35. Волгина В.Ф. Графовый подход к закреплению.геометрического материала. Математика в школе, 1975, Л 2, с.64-66.

36. Волович М.Б. Программированное усвоение начальных геометрических понятий. В кн.: Теория поэтапного формирования умственных действий и управление процессом усвоения знаний. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967, с.90-101.

37. Волович М.Б. Формирование общих приемов работы с понятиями (На материале начального курса геометрии):. Автореф. дисс. . канд. пед.наук (по психологии). М., 1967. - 17с.

38. Володарская И.А. Формирование обобщенных приемов геометрического мышления. Вкн.: Управление познавательной деятельностью учащихся / Под ред. П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972, с.163-208.

39. Галкина М.С., Колягин Ю.М., Ройтман П.Б. Уроки геометрии в У1 классе (первое полугодие). М.: Просвещение, 1972. -94с. .

40. Галкина М.С., Колягин Ю.М., Ройтман П.Б. Уроки геометрии в У1 класса (второе полугодие). М.: Просвещение, 1973. -80 с.

41. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. В.кн.: Исследование мышлений е советской психологии. - М.: Наука, 1966, с.236-277.

42. Гальперин П.Я. К исследованию интеллектуального разЕИтия ребенка. Вопросы психологии, 1969, Л I.

43. Гальперин П.Я., Данилова В.Л. Воспитание систематического мышления в процессе решения малых творческих задач. Вопросы психологии, 1980, II I, с.31-38.

44. Гастев Ю.А. Доказательство. В кн.: БСЭ. 3-е изд., 1977, т.8, с.398-400.

45. Геометрия в 6 классе. Пособие для учителя / А.М.Абрамов, В.А.Гусев, Г.Г.Маслова и др. М.: Просвещение, 1980. -112 с.

46. Герасименко О.П. Обучение учащихся.применять теоретические знания на практике: Автореф. дис. . канд. пед.наук. -М., 1972. 19 с. .

47. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. М.:Педагогика, 1977. - 136 с.

48. Град штейн И.О. Прямая и обратная теоремы. М.: Наука , 1973. - 128 с.

49. Гурова Л.Л. К вопросу о формировании логических операций. В кн.: Применение знаний в учебной практике школьников, (психологические^исследования) / Под ред. Н.А.Менчинской. - М.: Изд-во АПН ВЖР, 1961, с.227-276.

50. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж: Изд-во Воронежского государственного университета, 1976.328 с. . . . .

51. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические .проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

52. Давыдов В.В. Содержание и структура учебной деятельности школьников. В кн.: Формирование учебной деятельностишкольников / Под ред. В.В.Давыдова, И.Лошшера, А.К.Марковой.-М.: Педагогика, 1982, с.10-20.

53. Давыдов В.В., Маркова А.К. Концепция учебной деятельности. Вопросы психологии, 1981, Л 6, с.13-26.

54. Данилов М.А. Основные проблемы методологии и методики педагогических исследований. Сов. педагогика, 1969, Jf 5,с.70-87.

55. Данилов М.А. Процесс обучения в советской школе. М.: Учпедгиз, I960. - 299 с.

56. Данилова В.Л. Воспитание систематического мышления в решении "задач на соображение": Автореф. дис. . канд.псих.наук.- М.,. 1978. 26 с.

57. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических.задач. М.: Учпедгиз, 1958. - 96 с.

58. Декарт Р. Рассуждение о методе. М.: Изд-во АН СССР, 1953.- 656 с.

59. Демидова С.И. Пути формирования обобщенных умений при обучении геометрии в восьмилетней школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1981. - 18 с.

60. Джумаев К. Изучение геометрических задач в.школе. Методическое пособие для учителей и студентов / Под ред. Л.М.Фридмана. Душанбе, 1975. - 148 с.

61. Дидактика средней школы / Под ред. М.Н.Скаткина. Изд.- 170 2.е, перераб. и дол. М.: Просвещение, 1982. - 319 с.

62. Доблаев Л.П. Смыслоеэя структура учебного текста и проблемы его понимания. М.: Педагогика, 1982. - 176 с.

63. Дрозд В.Л. Обучение учащихся приемам логической организации математического материала в курсе геометрии У1-УП классов: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Киев, 1980. - 22 с.

64. Дрозд В.Л. 0 построении доказательств математических предложений в 6 классе. В кн.:.Вопросы методики преподавания математики. Вып.20. - Минск: Нар. асвета, 1982, с.26-31.

65. Енакиева В.И. Особенности применения анализа и синтеза учащимися при изучении некоторых тем геометрии (на материале 6^-7 классов). В кн.: Вопросы преподавания математики в школе. Классные и факультативные занятия. - Куйбышев, 1971, с.47-78.

66. Енакиева В.И. Развитие мышления учащихся, при изучении теорем геометрии. В кн.: Вопросы преподавания математики в школе. Классные и факультативные занятия. - КуйбышеЕ, 1971,с.79-89.

67. Ефимчик А.А. Изучение первых геометрических понятий и доказательств. Шнек: Нар. асвета, 1963. - 43. с.

68. Зайцев В.В. Метод нисходящего анализа одно из средств развития логического.мышления учащихся. Научные труды Курского пед.ин-та, т.9(103), вып.5, 1972, с.59-68.

69. Занков Л.В. Дидактика и жизнь. М.: Просвещение, 1968. - 176 с.

70. Зыкова В.И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний.-. М.: Учпедгиз, 1955.- 164 с.

71. Ительсон.Л.Б. Математические.и кибернетические методы е педагогике. М.: Просвещение, 1964. - 248 с.

72. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М.: Знание, 1981. - 96 с.

73. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968, с.228.

74. КазимироЕа В.М. Некоторые методы доказательства теорем в школе. В кн.: Некоторые современные вопросы общей педагогики математики. - Горький: Волго-Вятское кн. изд-во, 1970.с.83-105.

75. Калошина И.П. Проблемы формирования технического мышления. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. 184 с.

76. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика. М.: Наука, 1964. - 151.с. . . .

77. Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Учебные математические задачи. Киров, 1980. - 94.с. . .

78. Карнацевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6 классе. Из опыта работы / Под ред. И.Ф.Тесленко. М.: Просвещение, 1983. - 129 с.

79. Качество знаний у учащихся и пути его совершенствования / Под ред. М.Н.Скаткина, В.В.Краевского. -М.: Педагогика, 1978. 208 с.

80. Киселев А.П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1980. - 286с.

81. Климченко Д.В. К вопросу о психологии мышления учащихся при решении задач.- Математика в школе, 1977, Л 3, с.26-29.

82. Колмогоров А.Н. Об учебниках на 1966/67 учебный год. -Математика в школе, 1966, ДО 3, с.26-30. .

83. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия. Учебное пособие.для 6-8 классов средней школы / Под ред. А.Н.Колмогорова. -М.: Просвещение, 1981. 383 с.

84. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть I. Математические.задачи как средство развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. - 112 с.

85. Колягин Ю.М. Задачи е обучении математике. Часть II. Обучение математике через задачи. М.: Просвещение, 1977. -144 с.

86. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать.задачи. Пособие для учащихся УП-УШ классов. М.: Просвещение, 1980. - 96с.

87. Комлева Н.К., Лященко Е.И. Об одном общем приеме поиска решения задач на доказательство. В кн.: Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы / Межвузовский сборник научных трудов. - Л., 1981, с.69-79.

88. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. Изд.2-е испр. и доп. - М.: Наука, 1975. - 720 с.

89. Корельская Т.Д., Падучева Е.В. Обратная теорема (алгоритмические и эвристические процессы мышления). М.: Знание, 1978. -63 с.

90. Коробкова М;В. Некоторые выводы из решения геометрических задач на доказательство учащимися 6 классов.- В кн.: Актуальные вопросы методики преподавания математики. М., 1975, с.73-81.

91. Краевский В.В. Проблемы научного обоснования обучения.-М.: Педагогика, 1977. 264 с.

92. Крелыптейн Б.И. Необходимые и.достаточные условия. Для учащихся УШ-IX классов. М.: Учпедгиз, 1961. - 64 с.

93. Крупин П.А. О поисках решения геометрических задач. -В кн.: Математические.упражнения. Учебное пособие. Вып.2. -Киров, 1975,с.150-163.

94. Крутецкий В.А. Психология математических способностей.

95. М.: Просвещение, 1968. 431 с.

96. Кулюткин Ю,Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: Просвещение, 1970. - с.231.

97. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание, Личность. М.: Политиздат, 1977. -.304 с.

98. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. 4-е изд. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 584 с.

99. Леонтьева М.Р. Об итогах преподавания геометрии е шестых классах, е 1982/83 учебном: году. Математика в школе, 1983, Л 6, с.7-12.

100. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. -М.: Педагогика, 1980. 185 с.

101. Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. -М.: Знание, 1980. 96 с.

102. ЛихтарникоЕ Л.М. Логические задачи. Элементы математической логики. Л., 1976. - 74 с.

103. Лысова Н.М. Доказательство геометрических теорем методом от противного.-.Математика в школе, 1972, Л 2, с.30-34.

104. Маркова А.К. Психология обучения подростка. М.: Знание, 1975. - 63 с. .

105. Маркова А.К. Психология усвоения языка как общения. -М.: Педагогика, 1974. 239 с.

106. Маркова А.К. Формирование учебной деятельности и развитие личности школьника. В кн.: Формирование. учебной деятельности школьников / Под ред. В.В.Давыдова, И.Ломпшера, А.К. МаркоЕой. -М.: Педагогика, 1982, с.21-28.

107. Мельникова Н.Б., Николская И.Л., Чернышева Л.Ю. Геометрия в 6 классе: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1982. - 159 с.

108. Менчинская Н.А. Мышление в процессе обучения. В кн.: Исследование мышления в советской психологии. - М.: Наука, 1966, с.349-387.

109. Методика преподавания математики в восьмилетней школе/ Под общей редакцией Е.С.Ляпина. М.: Просвещение, 1975. - 743с.

110. ПО. Методика преподавания математики.в средней школе: Общая методика. Изд.2-е, перераб. и доп. М.: Просвещение, 1980.367 с.

111. Михайлова К.К. Система указаний при решении задач на доказательство. В кн.: Из опыта преподавания элементарной и Еысшей математики. - Красноярск, 1961, с.103-120.

112. Мостовой А.И. Различные способы доказательств, в курсе геометрии восьмилетней школы. М.: Просвещение, 1965. - 103 с.

113. Нагибин Ф.Ф., Черкасов Р.С. Геометрические задачи в шестом классе. В кн.: О совершенствовании методов обучения математике. Пособие для учителй. - М.: Просвещение, 1978, с.108-122.

114. Необходимые и достаточные условия. Методические рекомендации для учителей математики средней школы / Составитель

115. И.Планатина. Л., 1978. - 41.с.

116. Никола Г., Талызина Н.Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач. В кн.: Управление, познавательной деятельностью учащихся. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972,с.209-261.

117. Новичкова Н.С. Формирование приемов учебной работы при изучении стереометрии в 9 классе средней.школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1981. - 16 с.

118. Общая психология: Учебное пособие для пед. ин-тов / Под ред. В.Б.Богословского и др. 2-е изд. доп. и перераб. -М.: Просвещение, 1973. 351 с.

119. О вступительных экзаменах в.вузы в 1979-1982 годах.-Математика в школе, 1980, Jf 3, с.37-46; 1981, Л 2, с.42-50; 1982, Л I, с.49-54; 1983, Jf 3, с.36-43.

120. Осинская В.Н. Формирование у старшеклассников приемов умственной.деятельности.в процессе обучения математике: Автореф. дис. . канд. пед.наук. Киев, 1978. - 24 с.

121. Особенности.обучения геометрии в 6-10 классах.по учебнику "Геометрия" А.В.Погорелова. Методическое письмо. Киев: Радяньска школа, 1982. - 70 с.

122. Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления учащихся с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы). Автореф. дис. . канд. пед.наук. -М., 1979. - 19 с.

123. Педагогика / Под ред. Ю.К.Бабанского. М.: Просвещение, 1983. - 608 с.

124. Плакатина О.И. Приемы управления умственной деятельностью учащихся по актуализации знаний при.решении задач на доказательство по геометрии: Автореф. дис. . канд. пед.наук. -Л., 1978. 16с.

125. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы.- М.: Просвещение, 1982. 287 сг

126. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. - 208 с.

127. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей / Под ред. Ю.М. Гайдук а. 2-е изд. - ГЛ.: Учпедгиз, 1961. - 208 с.

128. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач / Под ред. И.М.Яглома. -М.:.Наука, 1976. 448 с.

129. Потоцкий М.В. Как помочь школьнику решать задачи? -Математика в школе,.1974, Л I, с.29-32.

130. Притуло Ф.Ф. Методика изложения.геометрических доказательств в средней школе. М.: Учпедгиз, 1958. - 108 с.

131. Программа восьмилетней и средней школы (1983/84 учебный год): Математика: М.: Просвещение, 1983. 48 с.

132. Протасов И.Ф. Обучение обобщению решения задачи. В кн.: Некоторые Еопросы высшей и элементарной математики. Ученые записки ЛГПИ, т.357.- Новгород, 1970, с.105-120.

133. Протасов И.Ф. Обучение школьников приемам работы с. учебным материалом по.геометрии: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Калинин, 1971. - 19 с.

134. Психолого-педагогические аспекты учебного процесса е школе.- Киев: Радяньска школа, 1983. 176 с.

135. Раев А.И. Управление умственной деятельностью младшего школьника: Учебное пособие. Л., 1976. - 136 с.

136. Распопов И.П. Строение простого предложения в современном русском языке. М.: Просвещение, 1970. - 191 с.

137. Распопов И.П. Что такое структурная схема предложения? Вопросы языкознания, 1976, Л 2, с.65-70.

138. Ревуцкас Й.С. Система упражнений как средство обуче-. ния.доказательству теорем е курсе геометрии У1 класса: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1978. - 21 с.

139. Репьев В.В. Общая методика математики: Пособие для пед. ин-тов. М.: Учпедгиз, 1958. - 224 с.

140. Репьев В.В. Очерки по методике преподавания геометрии. Горький, 1959. -276 с.

141. Решетников В.И. К диагностике сдвигов в умственной деятельности школьников. В кн.: Структуры познавательной деятельности. - Владимир, 1975, с.43-65.

142. Риекус Н.В. Об изучении процесса.решения геометрических задач на доказательство с помощью ЭВМ. Математика в школе, 1975, П 4, с.62-65.

143. Рубинштейн С.Л. 0 мышлении и путях его исследования. -М.: Изд-во АН СССР, 1958. 147 с.

144. Рубинштейн СЛ. Проблемы общей психологии. М.: Педагогика, 1973. - 423 с.

145. Салмина Н.П., Сохина В.П. Обучение общему подходу к решению, задач. Вопросы психологии, 1981, II 4, с.151-156.

146. Саранцев Г.И. О методике обучения школьников.поиску решения математических задач. В кн.: Преподавание алгебры и геометрии в школе / Из опыта работы. Пособие для учителя. Составители О.А.Боковнев. - М.: Просвещение,.1982, с.123-131.

147. Славская К.А. Мысль в, действии: Психология мышления. -М.: Политиздат, 1968. 208 с.

148. Сохор A.M. Логическая.структура учебного материала: Вопросы.дидактического.анализа. М.: Педагогика, 1974. -192 с.

149. Статкевич В.В. 0 начальном обучении решению задач. -Минск: Нар. асвета, 1970. 205 с.

150. Столл.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. -М.: Просвещение, 1968. 231 с.

151. Столяр А.А. Как мы рассуждаем? Шнек: Нар. асвета, 1968. - 109 с.

152. Столяр А.А. Логическое введение в математику. Минск: Вышэйшая школа, 1971. - 222 с.

153. Столяр А.А. Педагогика математики: Курс лекций. 2-е изд. перераб. и доп. Шнек: Вышэйшая школа, 1974. - 384 с.

154. Талызина Н.Ф. Управление процеасом усвоения знаний. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. 343 с.

155. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983. - 96 с.

156. ТесленкоИ.Ф., Фярсов В.В. Послесловие о методических особенностях учебного пособия А.В.Погорелова. В кн.: Погоре-лов А.В. Геометрия. - М.: Просвещение, 1981, с.259-269.

157. Туркина В.М. Формирование умения доказывать методом от противного в 6 классе. Методические рекомендации по алгоритмизации, обучения математике в восьмилетней школе. -,Л.: ЛГПИ, 1984, с.55-62.

158. Туркина В.М. Общий прием поиска доказательства теорем "развертывание условия". Активизация учебной деятельности . учащихся .при обучении математике / Методические рекомендации.-Л.: ЛГПИ, 1984, с.20-26.

159. Усова.А.В. Формирование обобщенных приемов. Народное образование, 1974, П 3, с.117-123.

160. Усова А.В. Формирование учебных умений учащихся. -Сов.педагогика, 1982, Л I, с.45-48.

161. Усова А.В. Формирование у школьников обобщенных умерши и навыков при осуществлении межпредметных связей. В кн.:

162. Межпредметные связи естественно-математических дисциплин. Пособие для учителей. Сборник статей / Под ред. В.Н.Федоровой. -М.: Просвещение, 1980. с.40-53.

163. Фетисов А.И. 0 доказательстве в геометрии. М.: Гос-техиздат, 1954. - 60 с.

164. Фридман.Л.М. и др. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1979. - 160с.

165. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208 с.

166. Фридман Л.М. Некоторые принципы использования количественных методов в педагогике. В кн.: Семинар о методологии педагогики и методике педагогических исследований, 2-я сессия.-М., 1973, с.40-44. .

167. Фридман Л.М. Психолого-педагогические.основы обучения математики в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

168. Формирование приемов мышления школьников / Составитель В.И.Решетников. Владимир,. 1973. - 184 с.

169. Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии. -М.: Просвещение, 1969. 158 с.

170. ЦацкоЕская М. Формирование общих приемов мышления учащихся при решении задач. В кн.: Управляемое формирование психических процессов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977,. с.80-100.

171. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. -М.: Учпедгиз, 1959. 392 с.

172. Шабаев И.Г. Сочетание алгоритмической и эвристической познавательной деятельности в процессе обучения: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1977. - 16 с.

173. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982. - 208 с.

174. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 302 с.

175. Шевчук Л.И. Диагностика уровней усвоения: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1973. - 26 с.- 177. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. М.: Мир, 1974.400 с.

176. Эсаулов А.Ф. Проблемы решения задач в науке и технике. Л., 1979,- 198с. .

177. Якиманская И.С. Восприятие и понимание учащимися чертежа и условия задачи в процессе ее решения. -.В кн.: Применение знаний в учебной практике школьников./ Под ред. Н.А.Менчинской.-М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961, с.54-137.

178. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 143 с.fY. Ъ. j^jui'YrLztгу ^ длжсй.al

179. MmAAa^J. nv^ttotti, Ma -xt3f.1. КАРЕЛШСИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

180. ОРДЕНА "ЗНАК ПОЧЕТА" ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

181. Методические рекомендации по формированию общих приемов поиска доказательства математических утверждений в начале изучения систематического курса геометрии1. ПЕТРОЗАВОДСК 1964

182. Подготовительная работа^ нео^одщмая^лязательства математических ^тве^ждений^ А/Работашдстр^ктурой математического предложения.

183. Тогда схематически такого рода математические предложения можно записать:объект -=> свойство объектаобъекты/ /взаимосвязь между объектами/

184. Часто это записывают так: А =£В.

185. Например, теорему о смежных углах можно записать так:смежные углы сумма углов равна 160

186. Такая схематическая запись математического предложения помогает ученику в построении фразы, дает возможность прочитать одну и ту же мысль по разному, развивает математик ческую речь.

187. Работа над структурой математического предложения состоит из нескольких этапов:1.знакомство со структурой математического предложения.1. выделение структуры математического предложения под руководством учителя

188. I самостоятельное выделение структуры математическогопредложения.

189. Полезно также в классе повесить таблицу, помогающую ученику научиться читать такие схемы, примерно такого содержания: