Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Лукьянова, Елена Викторовна

• Лукьянова, Елена Викторовна
• кандидат педагогических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Лукьянова, Елена Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения доказательству в основной школе.

§1. Обучение доказательству как предмет исследования.

§2. Психолого-педагогические основы обучения доказательству.

§3. Логико-математические средства обучения доказательству.

§4. Некоторые логические проблемы обучения доказательству в школе и возможный путь их решения.

§5. Принципы обучения доказательству в курсе математики основной школы

ГЛАВА 2. Методика обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода.

§ 1. Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем.

§2. Методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся 7-8-х классов.

§3. Использование дедуктивных задач при обучении доказательству учащихся основной школы.

§4. Использование компьютера в обучении доказательству.

§5. Организация и результаты педагогического эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы»

Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной школы является интеллектуальное развитие учащихся. Уровень развития мыслительных способностей учащихся неразрывно связан с умением правильно рассуждать, то есть рассуждать в соответствии с логическими правилами. Это дает основание полагать, что одной из основных задач обучения, в первую очередь обучения математике, является логическая подготовка учащихся, развитие их дедуктивного мышления.

Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги, такие как В.Г. Болтянский, A.B. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, JI.A. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, Г. Фройденталь, А .Я. Хинчин и др.

Некоторые логические аспекты математической подготовки учащихся затронуты в докторских диссертациях А.Л. Жохова, В.А. Тестова, А.Х. Назиева и др.

Специалисты в области методики преподавания математики сходятся во мнении, что изучение математики имеет исключительное значение в развитии дедуктивного мышления учащихся в силу той особой роли, которую играют доказательства в математике и в обучении математике. Однако обучение доказательству без объяснения того, как мы доказываем, не позволяет в полной мере использовать возможности этого обучения. Для повышения эффективности обучения доказательству должна быть организована специальная работа по разъяснению того, что такое доказательство и как оно устроено.

Проблемы обучения доказательству в школьном курсе математики исследовали Э.И. Айвазян, В.М. Брадис, Н.И. Бурда, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Ю.А. Глазков, Ф.Н. Гоноболин, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Я.С. Дубнов, Л.А. Калужнин, Ю.М. Колягин, И. Лакатос, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Д. Пойа, Л.Г. Петерсон, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, И.М. Смирнова, A.A. Столяр, Е. Тоцки, И.Л. Тимофеева,

В.М. Туркина и др. Эти проблемы затронуты в диссертационных работах, посвященных логической подготовке школьников (В.М. Аганисьян, Т.П. Варламова, М.Е. Драбкина, В.Г. Ежкова, H.A. Курдюмова, Т.С. Маликов, И.Л. Никольская, A.A. Столяр, В.М. Туркина, И.Б. Юдина и др.), в том числе младших школьников (О.В. Алексеева, А.Н. Капиносов, Т.А. Кондрашенкова, Е.П. Маланюк, В.Н. Медведская, Г.Л. Муравьева и др.).

В диссертационных работах К.О. Ананченко, О.П. Диденко, В.А. Иля-кова, JI.A. Латотина, О.И. Мартыщук, Б.Д. Пайсона, Г.Н. Солтан и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках алгебры. В диссертационных работах Э.И. Айвазяна, Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Бурлева, О.Н. Журавлевой, Н.Б. Мурадовой, Е. Тоцки, К.Я. Хабибуллина и др. предложены различные методики обучения доказательству учащихся средней школы на уроках геометрии.

Несмотря на большое количество работ, посвященных обучению доказательству, возможности использования логических средств в этом обучении недостаточно исследованы. Среди немногих работ, в которых при обучении доказательству предлагается использовать средства математической логики, можно назвать работы A.A. Столяра и И.Л. Тимофеевой.

В исследованиях A.A. Столяра определен комплекс проблем, названных им "логическими проблемами преподавания". Особое внимание в работах A.A. Столяра уделяется обучению дедуктивным выводам, умению осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений и т.п. A.A. Столяр предложил методику формирования понятия доказательства, однако, как отмечают многие специалисты в области методики преподавания математики, например Г.И. Саранцев и Л.А. Калужнин, указанная методика не привела к успеху. Одной из причин неудач при обучении доказательству по методике A.A. Столяра, по мнению Л.А. Ка-лужнина, И.Л. Тимофеевой и др., было использование понятия линейного доказательства. В линейном доказательстве предложения — члены доказательства - упорядочены в виде последовательности. Такое упорядочивание членов доказательства не отражает логических взаимосвязей между ними. Л.А. Калужнин высказал предположение: возможно, что для обучения доказательству в школе следовало бы адаптировать нечто близкое естественному выводу, разработанному Г. Генценом.

В настоящее время в математической логике разработаны два основных типа математических моделей доказательств, соответствующих двум типам логических исчислений. Модели первого типа - линейные выводы (выводы в виде последовательности) в аксиоматических исчислениях гильбертовского типа. Модели второго типа - деревья вывода (выводы в виде дерева) в исчислениях генценовского типа (в первую очередь, в системах естественного вывода). В соответствии с этими моделями разработаны дидактические модели понятия доказательства — понятие линейного доказательства (A.A. Столяр) и понятие доказательства в виде дерева (И.Л. Тимофеева).

И.Л. Тимофеевой разработаны приложения теории естественного вывода к обучению доказательству: предложена дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; проведен анализ методов доказательства и логической структуры доказательства средствами естественного вывода; разработаны логические эвристики построения доказательств. Однако исследования И.Л. Тимофеевой в направлении обучения доказательству учащихся средней школы имеют в основном теоретический характер и их полная проверка в средней школе не проводилась.

Несмотря на большое внимание специалистов в области методики преподавания математики к проблеме обучения школьников доказательству, владение учащимися соответствующими умениями и навыками находится, в целом, на недостаточно высоком уровне, что отмечается в многочисленных публикациях. Многие выпускники средней школы:

- не понимают, что такое доказательство, нередко сводят изучение предложенного доказательства к заучиванию его наизусть (В.А. Далингер, Л.Д. Кудрявцев, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр и др.);

- не осознают, какие методы используются при построении доказательств, и не могут объяснить их сути (Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, И.Л. Тимофеева и др.);

- не умеют строить доказательство: не знают, с чего начать, или, начав построение доказательства, не доводят его до конца (М.Б. Волович, В.А. Далингер, Д. Пойа, И.Л. Тимофеева и др.).

Проведенный анализ литературы по тематике нашего исследования показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с обучением доказательству учащихся средней, в частности основной, школы. Выделим, прежде всего, следующие противоречия:

- между потребностями современного общества в интеллектуально развитых, способных логично мыслить и доказательно рассуждать выпускниках средней школы и недостаточно высоким реальным уровнем развития у них указанных качеств;

- между исключительным значением доказательств в обучении математике и недостаточной сформированностью у учащихся соответствующих знаний и умений;

- между большим значением логической составляющей обучения доказательству и недостаточным вниманием к ней при традиционном обучении;

- между существованием естественных логических средств обучения доказательству и отсутствием методики использования этих средств в обучении математике в средней школе.

Поскольку наше внимание направлено на основную школу, указанные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть методика обучения доказательству учащихся основной школы, использующая средства естественного вывода.

Изучение геометрии вносит основной вклад в формирование понятия доказательства и овладение дедуктивными средствами построения доказательств. Обучение доказательству на уроках геометрии позволяет сочетать формирование у школьников теоретических знаний о математических доказательствах с практикой дедуктивных рассуждений. В первые годы обучения геометрии (7-8-е классы) учащиеся имеют дело с доказательствами достаточно простой логической структуры, что дает возможность учителю на конкретных примерах формировать у учащихся понятие доказательства и способность к анализу дедуктивных средств, используемых при построении доказательств.

Использование средств естественного вывода при обучении доказательству открывает широкие возможности в привлечении инновационных технических (компьютерных) средств к этому обучению. Применение компьютера при обучении доказательству позволяет в большей степени опираться на наглядные образы. Более того, появляется возможность моделировать процесс построения доказательства.

Все изложенное подтверждает актуальность научно-методического исследования, посвященного проблеме обучения доказательству с помощью средств естественного вывода в курсе математики основной школы.

Объектом исследования является процесс обучения доказательству при изучении курса математики основной школы.

Предметом исследования является процесс обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы.

Основная цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы.

В ходе работы принята следующая гипотеза исследования: использование средств естественного вывода при обучении доказательству учащихся основной школы будет способствовать повышению эффективности этого обучения, а также положительно повлияет на качество обучения математике в целом.

Цель исследования и его гипотеза определили задачи исследования:

- выявить возможности использования средств естественного вывода в процессе обучения доказательству в школьном курсе математики;

- адаптировать понятие доказательства в виде дерева к школьному курсу математики;

- разработать методику формирования понятия доказательства в виде дерева у учащихся основной школы;

- разработать методику обучения учащихся основной школы анализу логической структуры доказательства;

- выявить возможности использования компьютера при обучении доказательству;

- экспериментально проверить сформулированную гипотезу исследования.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных работ, связанных с тематикой данного исследования;

- анализ школьных учебников, учебных пособий, действующих государственных стандартов основного общего образования и полного общего образования, примерных программ по математике для общеобразовательных школ, составленных на основе федерального компонента государственных стандартов;

- посещение и анализ уроков математики в школе, наблюдение за учебным процессом и учебной деятельностью учащихся;

- изучение и анализ письменных работ учащихся по математике, беседы и анкетирование школьников и учителей;

- обобщение и систематизация опыта работы учителей математики СВАО г. Москвы и собственного опыта преподавания математики в средней школе;

- педагогический эксперимент по проверке эффективности основных положений исследования и эффективности разработанной методики, статистическая обработка результатов эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

- создана концепция обучения доказательству с использованием средств естественного вывода, которая позволяет по-новому оценить возможности использования логических средств при обучении доказательству в курсе математики средней школы;

- предложено представление доказательств в виде дедуктивных схем, являющихся адаптированными к школьному курсу математики моделями доказательств в виде дерева;

- разработана методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся основной школы, а именно: при анализе логической структуры доказательств, построении доказательств, формировании понятия доказательства;

- разработан комплекс дедуктивных задач (логико-ориентированных задач, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся) и методические рекомендации по их использованию;

- разработаны методические рекомендации по использованию компьютера при обучении школьников доказательству с помощью средств естественного вывода.

Теоретическая значимость исследования. Разработана концепция обучения учащихся средней школы доказательству с использованием средств естественного вывода, основанная на интегрированном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностного, компетентностного, мо-дельно-наглядного. Разработана адаптированная к школьному курсу математики модель понятия доказательства - понятие дедуктивной схемы доказательства.

Практическая значимость исследования. Разработанные методические материалы и рекомендации могут быть использованы учителями и методистами при обучении доказательству в основной школе в курсе математики, а также при подготовке (разработке) факультативов и элективных курсов для учащихся старших классов профильной школы.

Использование в обучении доказательству разработанных нами дедуктивных схем доказательства и комплекса дедуктивных задач позволяет повысить эффективность формирования дедуктивной деятельности учащихся.

Достоверность результатов исследования обеспечивается согласованностью разработанной методики с достижениями психолого-педагогической науки и исследованиями в области методики преподавания математики; использованием современных методов исследования; адекватностью системы методов цели, задачам и предмету исследования; результатами педагогического эксперимента; положительной оценкой разработанных методических материалов учителями, участвующими в эксперименте.

На защиту выносятся следующие положения:

- повышение роли логической составляющей обучения доказательству с помощью средств естественного вывода (прежде всего, особое внимание к формированию понятия доказательства, выявлению и анализу логической структуры простейших шагов доказательства и всего доказательства в целом) способствует повышению эффективности этого обучения;

- применение дедуктивных схем в обучении доказательству способствует более глубокому пониманию учащимися сути методов доказательства и логических взаимосвязей между членами доказательства, а также позволяет опираться на наглядные образы при формировании у учащихся понятия доказательства и при выявлении структуры доказательства;

- использование комплекса дедуктивных задач в процессе обучения доказательству учащихся основной школы способствует более глубокому осознанию учащимися логической структуры изучаемых доказательств, усвоению понятия доказательства, а также позволяет формировать логико-дедуктивные компетенции и развивать дедуктивную рефлексию учащихся;

- использование компьютера при анализе и построении доказательств с помощью средств естественного вывода способствует повышению эффективности обучения доказательству.

Дальнейшим продолжением работы может служить разработка методики обучения школьников дедуктивным средствам, используемым в математических доказательствах в рамках школьного курса математики (10-11-е классы); разработка содержания элективных курсов и их методического обеспечения; разработка методической системы повышения квалификации учителей математики средних школ, направленной на подготовку учителей к обучению учащихся доказательству с использованием средств естественного вывода.

Апробация и внедрение результатов работы. Содержание, положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях: научная сессия МПГУ по итогам НИР (секция методики преподавания математики) в 2004, 2007, 2008 гг.; XVII Международная конференция "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2006 г.); XVI Международная электронная научная конференция "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2006 г.); XVIII Международная конференция "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, 2007 г.).

В 2007/08 уч. г. для учителей математики на базе ОУМЦ СВАО г. Москвы был прочитан краткий курс повышения квалификации: "Использование средств естественного вывода в обучении доказательству учащихся средней школы".

Разработанная нами методика использовалась на уроках математики в 7-9-х классах (2005/06 - 2007/08 уч. г.) и на факультативном курсе для 8-го класса (2004/05 уч. г.) в ГОУ СОШ № 1414.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 13 приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Лукьянова, Елена Викторовна

Основные выводы и результаты теоретической и экспериментальной частей диссертационного исследования заключаются в следующем.

1. Разработана концепция обучения школьников доказательству с использованием средств естественного вывода. Ведущая идея разработанной концепции состоит в следующем: при обучении доказательству в школьном курсе математики принципиально важно особое внимание уделять логическим средствам построения доказательств, сущности математических доказательств и их логической структуре, что наиболее эффективно осуществляется при использовании в обучении средств естественного вывода. Разработана методика обучения доказательству учащихся основной школы, реализующая эту концепцию.

2. Адаптировано к школьному курсу математики понятие доказательства в виде дерева - разработано понятие дедуктивной схемы доказательства. Дедуктивные схемы позволяют отражать древовидную структуру доказательства, что способствует реализации принципа наглядности при обучении учащихся доказательству. Разработана методика использования этих схем при обучении доказательству в курсе математики в основной школе, а именно при обучении анализу логической структуры доказательств и построению доказательств, а также при формировании понятия доказательства у учащихся основной школы.

3. Разработан комплекс специальных логико-ориентированных (дедуктивных) задач и вопросов, направленных на формирование дедуктивной деятельности учащихся. Этот комплекс содержит задачи, способствующие формированию понятия доказательства; выявлению логической структуры доказательств, в частности логических взаимосвязей между членами, статуса исходных предложений; выявлению связи понятия доказательства с такими понятиями, как аксиома, теорема; формированию наглядного образа логической структуры изучаемого доказательства в виде дедуктивной схемы. Приведена классификация дедуктивных задач и вопросов.

4. Разработаны методические рекомендации по моделированию процесса дедуктивного рассуждения с помощью компьютера. Дискретность процесса рассуждения позволяет зафиксировать на слайдах элементарные шаги рассуждения. Анимация предложений (движение и выделение предложений цветом или "миганием"), используемых на обсуждаемом шаге доказательства, визуализирует этот шаг и процесс построения доказательства в целом. Разработаны методические материалы в электронном виде для использования компьютера при обучении доказательству.

5. Педагогический эксперимент подтвердил возможность и доступность обучения доказательству учащихся основной школы с помощью средств естественного вывода; показал повышение эффективности обучения доказательству благодаря использованию дедуктивных задач и дедуктивных схем, и, как следствие, повышение эффективности обучения математике в целом.

Полученные результаты открывают перспективу дальнейшего исследования возможностей применения средств естественного вывода в обучении доказательству учащихся 10-11-х классов, при разработке и проведении факультативных и элективных курсов. Перспективна также разработка методики повышения квалификации учителей математики в области обучения доказательству учащихся средней школы с использованием средств естественного вывода.

Результаты и экспериментальная часть проведенного исследования позволяют сделать вывод о том, что все поставленные задачи решены, выдвинутая гипотеза подтверждена, положения, выносимые на защиту, обоснованы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Лукьянова, Елена Викторовна, 2008 год

1. Аганисъян, В.М. Эвристические методы обучения и развития познавательных интересов учащихся вечерних школ (на материале решения задач на доказательство): дис— канд. пед. наук / В.М. Аганисьян. Алма-Ата, 1975. -197 с.

2. Айвазян, Э.И. Планирование обязательного уровня усвоения методов геометрических доказательств: автореф. дис. канд. пед. наук. — М, 1986. — 15с.

3. Александров, А.Д. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Д. Александров, A.JI. Вернер, В.И. Рыжик. 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2003. - 272 с.

4. Алексеева, О.В. Логическая подготовка младших школьников при обучении математике: дис. канд. пед. наук / О.В. Алексеева. — М.: 2000. 243 с.

5. Арутюнян, Е.Б. Обеспечение пропедевтики аксиоматического метода (на примере преподавания темы векторы): автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.Б. Арутюнян. М., 1981. - 17 с.

6. Асмус, В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении / В.Ф. Асмус. -М.: Госполитиздат, 1954.-89 с.

7. Атанасян, JJ.C. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. М.: Просвещение, АО "Московские учебники", 1998. - 335 с.

8. Балк, ГД. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики / Г.Д. Балк // Математика в школе. 1969. - №5. - С. 21-28.

9. Башмаков, М.И. Алгебра: Учеб. для 7 кл. (8 кл., 9 кл.) общеобразоват. учреждений / М.И. Башмаков. М.: Просвещение. - 2003. - 320 с. (2004. -287 е.; 2005.-304 с.)

10. Башмаков, М.И. Изучение алгебры в 7-9 кл.: кн. для учителя / М.И. Башмаков. М.: Просвещение, 2007. - 207 с.

11. Башмаков, М.И. Развитие визуального мышления на уроках математики / М.И. Башмаков, H.A. Резник // Математика в школе. 1991. - №1. - С. 4-8.

12. Безумова, О.Л. Построение логической составляющей пропедевтического курса геометрии: автореф. дис. . канд. пед наук / О.Л. Безумова. СПб.,2004.-18с.

13. Бескин, Н.М. Аксиоматический метод / Н.М. Бескин // Математика в школе. — 1993. -№ 3 (№ 4) С. 25-30 (С. 48-54).

14. Бескин, Н.М. Методика геометрии с приложением главы «Методика преподавания наглядной геометрии A.M. Астряба» / Н.М. Бескин. М.: Учпедгиз, 1947.-274с.

15. Беспалъко, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П. Беспалько. -М.: Педагогика, 1989. 192 с.

16. Богоявленский, Д.Н Психология усвоения знаний в школе. / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. -132 с.

17. Болтянский, В.Г. Формула наглядности: изоморфизм + простота / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. 1970. - №5. - С.46-60.

18. Болтянский, В.Г. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты / В.Г. Болтянский, А.П. Савин. М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

19. Болтянский, В.Г. Как учить поиску решения задач / В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов // Математика в школе 1988. - №1. - С. 8-14.

20. Большой психологический словарь / под. ред. Б.Г. Мещерякова. М.: Прайм-Еврознак, 2003. - 672 с.

21. Брадис, В.М. Ошибки в математических рассуждениях / В.М. Брадис, B.JI. Минковский, А.К. Харчева. -М.: Учпедгиз, 1959. с. 179.

22. Бурлев, Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии восьмилетней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / Ю.А. Бурлев. -М., 1984. 17 с.

23. Буткин, Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства / Г.А. Буткин // Формирование приемов математического мышления; под ред. Н.Ф. Талызиной.-М., 1995.-С. 120-155.

24. Варламова, Т.П. Формирование логической компетентности у учащихся 56 классов в процессе обучения математике: дис. . канд. пед. наук / Т.П. Варламова. Красноярск.: 2006. - 195 с.

25. Вейль, Г. Математическое мышление / Г. Вейль; под ред. Б.В. Бирюкова, А.Н. Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

26. Вернер, A.JI. Геометрия: Учебн. пособие для 9 кл. общеобразоват. учреждений / A.JI. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. -М.: Просвещение, 2001. 207 с.

27. Ветошкина, Е.С. Обучение учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе: автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.С. Ветошкина. М.: 2006. - с. 16

28. Виленкин, Н.Я. Элементы математической логики / Н.Я. Виленкин, H.J1. Никольская // Факультативный курс по математике: учебное пособие для 7-9 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1991. С. 172-205.

29. Воинова, И.В. Обучение логическим приемам мышления учащихся основной школы в процессе изучения курса алгебры: дис. . канд. пед. наук / И.В. Воинова. Саранск, 2006. - 173 с.

30. Волович, М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики / М.Б. Волович. М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.

31. Выготский, JI.C. Мышление и речь / JI.C. Выготский. // Собр. соч. в 6-ти томах. Т.2. - М.: Из-во АПН РСФСР, 1982. - С. 5-361.

32. Вышенский, В.А. О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе / В.А. Вышенский, JI.A. Калужнин // Математика в школе. 1970. - №1. - С. 35-40.

33. Гальперин, П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. Исследование мышления в советской психологии / П.Я. Гальперин. -М.: Учпедгиз, 1958. 131с.

34. Гладкий, A.B. Математика в гуманитарной школе / A.B. Гладкий, Г.Е. Крейдлин // Математика в школе. 1991. - № 6. - С. 6-9.

35. Гладкий, A.B. Об уровне математической культуры выпускников средней школы / A.B. Гладкий // Математика в школе. 1990. - №4 - С. 7-9.

36. Гнеденко, Б.В. О математике / Б.В. Гнеденко. М.: Эдиториал УРСС., 2002.- 208 с.

37. Гнеденко, Б. В. Об образовании преподавателя математики средней школы / Б.В. Гнеденко // Математика в школе. 1989. — №3. - С. 19-22.

38. Гоноболин, Ф.Н. К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися / Ф.Н. Гоноболин // Известия АПН РСФСР. 1954. - Вып. 54.

39. Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я.И. Груденов. М.: Педагогика, 1987. - 224 с.

40. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. М.: Вербум-М, Академия, 2003. - 432 с.

41. Гусев, В.А. Методика обучения геометрии: Учебн. пособие для студ. высш. пед. учеб. Заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. М.: Издательский центр "Академия". - 368 с.

42. Гусев, В.А. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии / В.А. Гусев // Математика: Еженедельное прил. к газете "Первое сентября" -2003. -№ 21.-С.11-15.

43. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения / В.В. Давыдов. М.: ИНТОР, 1996.-544 с.

44. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В.А. Далингер. М.: Просвещение, 2006.-256 с.

45. Денищева, Л.О. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике / Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков, К.А. Красноярская // Математика в школе. — 2008 №6. — с. 19-30.

46. Диденко, О.П. Задачи как средство уровневой дифференциации процесса обучения доказательству в школьном курсе алгебры: дис. . канд. пед. наук / О.П. Диденко. Омск.: 2003. - 182 с.

47. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс. Часть 1 (Часть 2). / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. -М.: Ювента, 2005. 176 с. (240 е.).

48. Дорофеев, Г.В. Математика. 6 класс. Часть 1 (Часть 2; Часть 3). / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. -М.: "Баласс", "С-инфо", 1999-112 с. (128 е.; 176 е.).

49. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 2—5.

50. Драбкина, М.Е. О системе целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педагогическом вузе: автореф. дис. . канд. пед. наук / М.Е. Драбкина. Минск, 1971. - 22 с.

51. Дубнов, Я.С. Беседы о преподавании математики / Я.С. Дубнов. — М.: Просвещение, 1965.-236с.

52. Дубнов, Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах / Я.С. Дубнов. -М.: Наука, 1969.-165 с.

53. Ежкова, В.Г. Методические аспекты освоения логических конструкций языка школьной математики: дис. . канд. пед. наук / В.Г. Ежкова. М., 1999.-166 с.

54. Елифантъева, С.С. Технология изучения элементов математической логики в основной школе: автореф. дис. . канд. пед. наук / С.С. Елифантьева. -Ярославль, 2006 24 с.

55. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя / О.Б. Епишева. М.: Просвещение, 2003. - 223 с.

56. Ермолаев, О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник / О.Ю. Ермолаев. — М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004. 336 с.

57. Жохов, А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе: автореф. дис. докт. пед. наук / А.Л. Жохов. М., 1999. - 40 с.

58. Жохов, В.И. Математические диктанты 6 кл. / В.И. Жохов. М.: Росмэн, 2005. - 96 с.

59. Жохов, В.И. Примерное планирование учебного материала и контрольные работыпо математике, 5-11 классы. 2-е стер. изд. — М.: Вербум-М, 2004. — 208 с.

60. Журавлева, О.Н. Теория и методика обучения доказательству в курсе планиметрии средней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / О.Н. Журавлева. Саранск, 1996. - 16 с.

61. Зеер, Э.Ф. Психолого-дидактические конструкты качества профессионального образования / Э.Ф. Зеер //Образование и наука. М., 2002. - № 2(14) — С. 31-50.

62. Зимняя, И.А. Ключевые компетенции новая парадигма результата образования/И. А. Зимняя // Высшее образование сегодня, 2003. -№ 5.

63. Зимняя, И.А. Педагогическая психология / И.А. Зимняя. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.-480 с.

64. Ивин, A.A. Искусство правильно мыслить / A.A. Ивин. М.: Просвещение, 1990.-178 с.

65. Ивин, A.A. Словарь по логике / A.A. Ивин, A.JI. Никифоров. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

66. Игошин, В.И. Математическая логика в системе подготовки учителей математики / В.И. Игошин. Саратов: Слово, 2002. - 239 с.

67. Кабанова-Меллер, E.H. Учебная деятельность и развивающее обучение / E.H. Кабанова-Меллер. -М.: Знание, 1981. 96 с.

68. Кабанова-Меллер, E.H. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся / E.H. Кабанова-Меллер. М.: Просвещение, 1968.-288 с.

69. Калужнин, Л.А. Элементы математической логики в школьном преподавании / Л.А. Калужнин // Новое в школьной математике. -М.: Знание, 1972. С. 147-164.

70. Калужнин, JI.A. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики: Пособие для учителей / Л.А. Калужнин. М.: Просвещение, 1978. - 88 с.

71. Камышов, A.B. Кванторы в обучении математике в школе (5-11 классы): автореф. дис. . канд. пед. наук / A.B. Камышов. М.: 2007. - 18 с.

72. Капиносов, А.Н. Методика формирования умений проводить доказательные рассуждения при обучении математике в 4-5 (5-6) кл.: автореф. дис. .канд. пед. наук / А.Н. Капиносов. М., 1988. - 16 с.

73. Киселев, А.П. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл. Учебник и задачник / А.П. Киселев, H.A. Рыбкин. М.: Дрофа, 1995.-352 с.

74. Клайн, М. Логика против педагогики / М. Клайн // Математика (Сб. научно-методических статей), вып. 3. М.: Высшая школа, 1973. — С. 46-61.

75. Клини, С. Математическая логика / С. Клини. — М.: Мир, 1973. 480 с.

76. Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия / А.Н. Колмогоров. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-288 с.

77. Колмогоров, А.Н. Современные взгляды на природу математики /

78. A.Н. Колмогоров // Математика в школе. 1969, № 3. - С. 12-17.

79. Колмогоров, А.Н. Элементы логики в современной школе / А.Н. Колмогоров // Математика в школе. 1971, № 3. - С.7-14.

80. Колягин, Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся: В 2 ч. Ч. 1 / Ю.М. Колягин. М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

81. Колягин, Ю.М. Основные аспекты методики обучения учащихся решению математических задач. Роль и место задач в обучении математике / Ю.М. Колягин // Сборник научных трудов. Выпуск 4. М., 1977. - С. 4-24.

82. Кондрашенкова, Т.А. О межпредметном значении логической составляющей., курса математики / Т.А. Кондрашенкова, И.Л. Никольская // Математика в школе. 1980. - №3 - С.62-68.

83. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Официальные документы в образовании. 2002. - № 4. - С. 3-31.

84. Костромитина, Е.В. Теория и практика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений: дис. . канд. пед. наук / Е.В. Костромитина. Пенза, 2006 - 166 с.

85. Крупич, В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК /

86. B.И. Крупич. -М.: Изд-во МГПИ, 1985. 118 с.

87. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. М.: Просвещение, 1968. - 198 с.

88. Купиллари, А. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой / А. Купиллари. М.: Техносфера, 2002. - 304 с.

89. Курдюмова, H.A. Методические функции примеров и контрпримеров в обучении математике (на материале математики 8-9 кл.): автореф. дис. . канд. пед. наук / H.A. Курдюмова. -М, 1990. 16 с.

90. Лакатос, И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / И. Лакатос. -М.: Наука, 1967. 152 с.

91. Латотин, Л.А. Развитие логического мышления учащихся 4-7 кл. на алгебраическом материале: автореф. дис. . канд. пед. наук / Л.А. Латотин. — М., 1982.-16 с.

92. Леонтьев, А.Н. Деятельность. Сознание. Личность / А.Н. Леонтьев. М.: Политиздат, 1975. - 304 с.

93. Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И .Я. Лернер. — М.: Педагогика, 1980. 176 с.

94. Лоцманова, Т. В. Нелепость путь к решению задачи / Т.В. Лоцманова // Математика в школе. - 2008. - №6. - С. 49-54.

95. Лукьянова, Е.В. Использование компьютера при изучении математических доказательств в средней школе / Е.В. Лукьянова // Сб. материалов XVIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" Троицк, 2007. - С. 181 -183.

96. Лукьянова, Е.В. Концепция обучения доказательству учащихся средней школы с использованием средств естественного вывода / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Педагогическое образование и наука. М., 2008 - № 9.

97. Лукьянова, Е.В. Логические ошибки в доказательствах геометрических предложений, связанные с чертежом / Е.В. Лукьянова // Научно-технический журнал "Новые технологии в образовании". — Воронеж, 2006. — №3. — С. 33-35.

98. Лукьянова, Е.В. Моделирование элементарных рассуждений с помощью программы Power Point / Е.В. Лукьянова, И.Л. Тимофеева // Сб. материалов XVII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании" Троицк, 2006. - С. 236-238.

99. Лукьянова, Е.В. Несколько замечаний к формулировке и доказательству леммы о коллинеарных векторах / Е.В. Лукьянова // Математика в школе. — М., 2007. №8. - С.16-21.

100. Лукьянова, Е.В. О логической структуре одного из утверждений курса геометрии / Е.В. Лукьянова // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. -М.: Прометей, 2007. С. 262-266.

101. Лукьянова, Е.В. О методике обучения правилам построения доказательств учащихся 5-6 классов / Лукьянова Е.В., Лоцманова Т.В. // Вестник развития науки и образования. М., 2008 г. -№ 5. - С. 124-128.

102. Лукьянова, Е.В. О наглядном представлении методов доказательства при обучении математике в средней школе / Лукьянова Е.В., Лоцманова Т.В. // Научная жизнь. 2008 г. - № 5. - С. 122-126.

103. Маланюк, Е.П. Формирование логической грамотности учащихся 1-5 классов в процессе обучения математике: автореф. дис. . канд. пед. наук / Е.П. Маланюк. Киев, 1979.-24 с.

104. Маликов, Т.С. Индуктивные и дедуктивные рассуждения как средство развития активности и критичности мышления учащихся при изучении математики: автореф. дис. канд. пед. наук / Т.С. Маликов. -М., 1990. 18 с.

105. Маркова, А.К Формирование мотивации учения в школьном возрасте / А.К. Маркова. -М.: Просвещение, 1990. 192 с.

106. Мартыщук, О.И. Доказательства и обобщения в школьном курсе алгебры иэлементарных функций: автореф. дис.канд. пед. наук / О.И. Мартыщук.-Киев, 1969.-28 с.

107. Матросов, B.JJ. Избранные статьи и доклады / B.JI. Матросов. Магистр, 1996.-255 с.

108. Матросов, В.Л. Интенсивные педагогические и информационные технологии. Организация управления обучением / B.JI. Матросов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев. М.: Прометей, 2000. - 354 с.

109. А. Матросов, В.Л. Некоторые возможности использования электронно-вычислительной техники в учебном процессе: Учеб. пособие / Н.Б. Баль-цюк, М.М. Буняев, B.JI. Матросов. -М.: Прометей, 1989. 135 с.

110. Матросов, В.Л. Новые информационные технологии в школе и педагогическом институте: из опыта работы / М.М. Буняев, Э.И. Кузнецов, В.Л.Матросов, В.П. Шари; под общ. ред. В.Л. Матросова. М.: Прометей, 1989. - 69 с.

111. Медведская, В.Н. Обучение младших школьников доказательству математических предложений: автореф. дис. . канд. пед. наук / В.Н. Медведская. -Минск, 1988.-16 с.

112. Метелъский, Н.В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы / Н.В. Метельский. Мн.: Изд-во БГУ, 1982. - 256 с.

113. Методика преподавания математики в средней школе / В.А.Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. М.: Просвещение, 1980. -368 с.

114. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / P.C. Черкасов и др.. М.: Просвещение, 1985.-458 с.

115. Морозова, Е.В. Формирование готовности школьников к развитию логического мышления и рефлексии: дис. . канд. пед. наук / Е.В.Морозова. — Смоленск, 2002. 181 с.

116. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 класс (8 кл.; 9кл.) В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович

117. А.Г. Мордкович; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). 11-е изд. (12-е изд., 10-е изд.), стер. -М.: Мнемозина, 2008. - 160 с. (215 е.; 224 е.).

118. Мурадоеа, Н.Б. Формирование у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике: автореф. дис. . канд. пед. наук / Н.Б. Мурадова. Махачкала: 2006. - 155 с.

119. Мышкис, А.Д. О преподавании геометрии прикладникам / А.Д. Мышкис // Математика в школе. 2003. - №1 - С. 37-52.

120. Нагибин, Ф. Ф. Математическая шкатулка / Ф.Ф. Нагибин. — М. Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1958.-166 с.

121. Назиев, АХ. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в пединститутах: дис. докт. пед. наук / А.Х. Назиев. М., 2000. - 387 с.

122. Никитин, В.В. Сборник логических упражнений. Пособие для учителей математики / В.В. Никитин. М.: Просвещение, 1970. - 96 с.

123. Никольская, ИЛ. Азбука рассуждений / И.Л. Никольская. М.: Инновационно-образовательный центр, 1996 г. - 55 с.

124. Никольская, И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике: дис. канд. пед. наук / И.Л. Никольская. М.: 1973. - 185 с.

125. Никольская, ИЛ. Учимся рассуждать и доказывать: Кн. для учащихся 6-10 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская, Е.Е. Семенов. М.: Просвещение, 1989. -192 с.

126. Никольский, С.М. Алгебра: Учеб. для 7 кл. (8 кл.; 9 кл.) общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников, A.B. Шевкин. 5-е изд. -М.: Просвещение, 2007. - 285 с. (2007. - 287 е.; 2008. - 255 е.).

127. Пайсон, БД. О логической составляющей образовательной области "математика" / Б.Д. Пайсон // Математика в школе. 2003, № 2. - С. 10-14.

128. Пайсон, Б.Д. Развитие логического мышления с помощью средств дедуктивного вывода (на алгебраическом материале восьмилетней школы): автореф.дис. . канд. пед. наук / Б.Д. Пайсон. М.,. 1973. — 26 с.

129. Пиаже, Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления / Ж. Пиаже // Преподавание математики. Пособие для учителей. — М., 1960. С.10-30.

130. Погорелое, A.B. Аналитическая геометрия / A.B. Погорелов. М.: Наука, 1978.-208 с.

131. Погорелов, A.B. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / A.B. Погорелов. -М.: Просвещение, 1992. 383 с.

132. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / под. ред. В.Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. - 383 с.

133. Пойа, Д. Как решать задачу. Пособие для учителей / Д. Пойа. М.: Педагогика, 1976.-206 с.

134. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. М.: Наука, 1975.-464с.

135. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. М.: Наука, 1970. - 452 с.140'.Проблемы Гильберта// Сборник под общей редакцией П.С. Александрова.-М.: Наука, 1969.-240 с.

136. Прудников, В.Е. Чебышев ученый и педагог / В.Е. Прудников. - М.: Учпедгиз, 1964. - 46 с.

137. Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре. М.: Наука, 1983. - 560 с.

138. Равен, Дж. Компетентность в современном обществе: Выявление, развитие и реализация: пер. с англ. / Дж. Равен. М.: Когито-Центр, 2002. - 394 с.

139. Резник, H.A. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления: дис. . докт. пед. наук / H.A. Резник. СПб., 1997. - 350 с.

140. Розов, Н.Х. Ценности гуманитарного образования /Н.Х. Розов // Высшее образование России. 1996. - № 1. - С. 85-89.

141. Саранцев, Г.И. Методика обучения математики в средней школе: учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

142. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике /

143. Г.И. Саранцев. — Саранск: Красный октябрь, 2001. 144 с.

144. Саранцев, Г.И. Обучение доказательству / Г.И. Саранцев // Математика в школе, 1996-№ 6.-С. 16-20.

145. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя / Г.И. Саранцев. — М.: Просвещение, 2000. 173 с.

146. Саранцев, Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях / Г.И. Саранцев // Математика в школе. 1999. - №6. - С. 36-41.

147. Скрыпник, Д.А. Математические ошибки в рассуждениях, их предупреждение и методика исправления: автореф. дис. . канд. пед. наук / Д.А. Скрыпник. Киев, 1971. - 24 с.

148. Слепканъ, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике / З.И. Слепкань. Киев: Рад. школа, 1983. - 192 с.

149. Смирнова, И.М. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов-М.: Просвещение, 2001.-271 с.

150. Смирнов, В.А. Активизация деятельности учащихся при изучении теории / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова // Математика в школе. 1992. - №1. - С. 17-18.

151. Смирнов, В.А. Что такое абсолютная геометрия / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова // Математика в школе. 2002. - №8. - С. 63-68.

152. Смирнова, И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучения / И.М. Смирнова. — М.: Прометей, 1994.-152 с.

153. Солтан, Г.Н. Методика обучения доказательству неравенств в курсе математики средней школы: автореф. дис. . канд. пед. наук / Г.Н. Солтан. -Минск, 1983.- 16 с.

154. Столяр, A.A. Зачем и как мы доказываем в математике: Беседы со старшеклассником / A.A. Столяр. Минск.: Нар. асвета, 1987. - 143 с.

155. Столяр, A.A. Логические проблемы преподавания математики: автореф. дис. . докт. пед. наук / A.A. Столяр. М., 1967. - 37 с.

156. Столяр, A.A. Педагогика математики: учеб. пособие / A.A. Столяр. -Минск: Выш. шк., 1986. 414 с.

157. Стратегия модернизации содержания общего образования. Материалы для разработки документов по обновлению общего образования. -М., 2001.

158. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. пособие для студ. сред, пед. учеб. заведений / Н.Ф. Талызина. М.: Издательский центр "Академия", 1998. - 288 с.

159. Тимофеева, И.Л. Как устроено доказательство? / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - №8. - С. 73-80.

160. Тимофеева, И.Л. Логическая подготовка будущих учителей математики: Монография / И.Л. Тимофеева. М.: Прометей, МПГУ, 2005. - 224 с.

161. Тимофеева, И.Л. Математическая логика. Курс лекций: учебное пособие / . И.Л. Тимофеева. 2-е изд., перераб. - М.: КДУ, 2007. - 304 с.

162. Тимофеева, И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательств / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2004. - №10. - С. 42-50.

163. Тимофеева, И.Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах / И.Л. Тимофеева // Математика в школе. 2005. - №5. - С. 64-68.

164. Тимофеева, И.Л. Методическая система обучения студентов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода: дисс. . докт. пед. наук / И.Л. Тимофеева. М.: МПГУ, 2005.- 400 с.

165. Тимофеева, И.Л. Развитие логической интуиции у будущих учителей математики / И.Л. Тимофеева // Наука и школа. 2005. - №6. - С. 15-19.

166. Тоцки, Е. Локальная аксиоматизация и дедукция в обучении геометрии в средних школах Польши / Е. Тоцки // Математика в школе. -1993. №2 - С. 72-75.

167. Туркина, В.М. Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений: дис. канд. пед. наук / В.М. Туркина. Ленинград, 1984.-202 с.

168. Уемов, А.И. Логические ошибки: как они мешают правильно мыслить /

169. A.И. Уемов. -М.: Госполитиздат, 1958. 119 с.

170. Успенский, В.А. Семь размышлений на темы философии математики /

171. B.А. Успенский // Закономерности развития современной математики. —1. M.: Наука, 1982.-112 с.

172. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть I. Начальное общее образование. Основное общее образование / Министерство образования Российской Федерации. — М. 2004. — 221 с.

173. Фрейденталъ, Г. Математика как педагогическая задача. 4.1 (4.2) / Г. Фрейденталь. — М.: Просвещение, 1982. 191 с.

174. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л.М. Фридман. -М.: Педагогика, 1977. 208 с.

175. Хабибуллин, К.Я. Граф-схемы в геометрических задачах / К.Я. Хабибуллин // Математика в школе. 1999. - №4. - с.23-24.

176. Хабибуллин, К.Я. Применение граф-схем при решении геометрических задач как средство развития творческой деятельности учащихся: дис. . канд. пед. наук / К.Я. Хабибуллин. Стерлитамак, 2001. - 152 с.

177. Хуторской, A.B. Ключевые компетенции. Технология конструирования / A.B. Хуторской // Народное образование. 2003. - №5. - С.55-61

178. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2004. - 368 с.

179. Элъконин, Д.Б. Избранные психологические труды / Д.Б. Эльконин. -М.: Педагогика, 1989. 554 с.

180. Эрдниев, U.M. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики / П.М. Эрдниев // Математика в школе. -1977 № 6. - С. 68-70.

181. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений) / П.М. Эрдниев. -М.: Просвещение, 1978. 304 с.

182. Якиманская, КС. Развивающее обучение / И.С. Якиманская. М.: Педагогика, 1979.-144 с.

183. Якушева, Г.М. Большая энциклопедия для школьника. Математика / Г.М. Якушева и др.. М.: СЛОВО, Эксмо, 2006. - 640 с.

184. Условные обозначения, используемые в дедуктивных схемах Таблица 1. Используемые в дедуктивных схемах обозначения1