Разработка неклассических математических моделей теплопроводности и их анализ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Савельева, Инга Юрьевна

• Савельева, Инга Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савельева, Инга Юрьевна

Введение.

Глава 1*. Неклассические математические модели теплопроводности для сплошной среды с внутренними параметрами состояния, учитывающие нелокальность процесса во времени.

1.1. Основные понятия термодинамики необратимых процессов.

1.2. Определяющие термодинамические соотношения.

1.3. Линеаризованные уравнения.

1.4. Выбор кинетических уравнений для внутренних параметров состояния.

1.5. Неклассическая математическая модель процесса теплопроводности.

1.6. Условия на поверхности разрыва.

Основные результаты главы Л.

Глава 2. Анализ влияния параметров нагрева и свойств материала на температурные поля на примере одномерной задачи высокоинтенсивного нагрева-.

2:1. Анализ влияния внутренних параметров состояния на температуру.

2.2. Анализ влияния матричных коэффициентов на распределение температуры.

2.3. Оценка теплофизических свойств материала с микро- и наноструктурой.

2.3.1. Оценка теплоемкости.

2.3.2. Оценка теплопроводности.

2.4. Сравнение абсолютной и термодинамической температур.

Основные результаты главы 2.

Глава 3. Численное моделирование процесса теплопроводности в задаче высокоинтенсивного поверхностного нагрева.

3.1. Основные соотношения МКЭ.

3.2. Расчетные соотношения для предложенных моделей теплопроводности.

Основные результаты главы 3.

Глава 4. Неклассическая математическая модель теплопроводности для сплошной среды с внутренними параметрами состояния, учитывающая нелокальность по пространству.

4.1. Основные соотношения.

4.2. Оценка зависимости распространения теплоты в твердом теле от функций влияния на примере одномерной задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева.

Основные результаты главы 4.

Общие результаты и выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка неклассических математических моделей теплопроводности и их анализ»

Развитие техники постоянно предъявляет новые, более высокие требования к существующим, конструкционным и функциональным материалам; чем стимулирует создание новых материалов.

Сегодня улучшение свойств таких материалов' связано с синтезированием материалов из структур, имеющих предельные значения свойств (например, предельно прочных, тугоплавких, термостабильных и т.п.) Такие материалы и составляют новый класс конструкционных и функциональных материалов.

Эти материалы получают, в основном, методами порошковой металлургии, кристаллизацией из аморфного состояния и' интенсивной, пластической деформацией. Особенности структуры таких материалов (размер зерна, значительная доля границ раздела, пористость и другие дефекты структуры) определяются методами их получения и оказывают существенное влияние на их физико-механические и теплофизические свойства, которые значительно отличаются от свойств» аналогов с крупнозернистой или аморфной структурой [1-8].

К. настоящему времени- нано- и субмикрокристаллическая« структура в ходе интенсивного пластического деформирования' получена» в алюминии, железе, магнии, вольфраме, никеле, титане и их сплавах [4-8].

Таким образом, конструкционные и функциональные материалы' с микро- и наноструктурой обладают высокими эксплутационными характеристиками: прочностью при достаточно высоком уровне пластичности; твердостью; высокой теплоемкостью; низкой теплопроводностью и др. Такие особенности позволяют создавать принципиально новые конструкции, устройства и приборы- с параметрами, недостижимыми при использовании традиционных материалов.

Разработка методов получения объемных (массивных) заготовок с равномерной структурой по сечению заготовки, без пор, микротрещин и других дефектов структуры - актуальная задача, решение которой позволит расширить применение микро- и наноструктурных материалов конструкционного назначения [4-6].

Однако обозначился существенный разрыв между технологиями получения новых материалов и возможностями теоретического прогнозирования их физико-механических свойств. Особенно это касается влияния локальной структуры среды на ее макросвойства.

К материалам с микро- и наноструктурой в чистом виде не применима методология континуума. Тем не менее, допустимо распространение методов механики сплошной среды, занимающейся изучением механического поведения материалов на макроуровне, на микроуровень. Они оказались весьма эффективными [9]. Такой прием распространения методов механики сплошной среды называют методом непрерывной аппроксимации, а область науки, в которой поведение материалов с микро- и наноструктурой изучается при использовании методов непрерывной аппроксимации, называют обобщенной механикой сплошной среды [9]. Ключевым моментом в этом методе является установление связи между характеристиками микро- (нано-) уровня и макроуровня. Математические модели поведения подобных материалов должны учитывать две существующие противоположные концепции описания структуры любого твердого тела — концепции непрерывности и дискретности. Построение таких математических моделей далеко от завершения. Это утверждение относится и к математическим моделям теплопроводности.

Используемые обычно в прикладных исследованиях классические модели нестационарной теплопроводности, как правило, не учитывают скоростных эффектов и эффектов запаздывания. Известные эмпирические приемы учета таких эффектов не решают проблемы создания адекватных математических моделей теплопроводности при высокоинтенсивных тепловых воздействиях.

Множество исследований было направлено на изучение и решение задач теории теплопроводности. Из работ зарубежных ученых широко' известны труды Г. Кирхгофа, С. Пуассона, У. Томсона, М. Планка, Г. Ляме,

A. Пуанкаре, X. Карслоу, Д. Егера и др.

Большой вклад в развитие учения о теплоте сделан* советскими теплофизиками и представителями близких направлений. М.В. Кирпичевым, М.А. Михеевым, A.A. Гухманом создана теория подобия теплофизических процессов. A.C. Предводителевым и его учениками выполнены глубокие исследования по теории переноса вещества и теплоты в процессах горения; Н.В. Павлюкевичем — в физической кинетике и процессах переноса при фазовых превращениях; О.Г. Мартыненко - в теории свободноконвективного теплообмена;. А.Г. Шашковым выполнены обширные исследования в области изучения термодиффузии в газах и газовых смесях.

Крупный вклад в теорию конвективного теплообмена и общие вопросы теплоты внесли работы С.С. Кутателадзе, В.М. Иевлева, A.B. Лыкова, Б.С. Петухова, А.И. Леонтьева, A.A. Жукаускаса и др. В трудах В.А. Стеклова, И.Г. Петровского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, В.А. Ильина,

B.C. Владимирова, Н.С. Кошлякова, Г.А. Гринберга, Э.М. Карташова, В.Ф. Формалева и других выполнены фундаментальные работы по развитию аналитических методов решения дифференциальных уравнений математической физики, представлен широкий спектр краевых задач для уравнения теплопроводности как параболического, так и гиперболического типа, подробно изложены аналитические, асимптотические и численные методы их решения [10-40].

В работах B.C. Зарубина, Г.Н. Кувыркина [41-55] изучены вопросы математического моделирования термомеханических процессов с использованием различных моделей сплошной среды, в том числе и с внутренними параметрами состояния; показаны особенности нестационарного поведения сплошной среды в рамках различных моделей.

Целью данной работы является построение неклассических математических моделей теплопроводности для твердого тела с микро- и наноструктурой, в которых учитывается нелокальность по. времени и по пространству, на основе модели среды с внутренними параметрами состояния, а также аналитическое и численное исследование распределения температуры в теле на основе предложенных моделей в зависимости от параметров нагрева. Под нелокальностью по времени в работе подразумевается эффект запаздывания при аккумуляции теплоты и учет конечной скорости распространения теплоты. Нелокальность по пространству подразумевает учет того, что физические характеристики микроскопических элементов подвержены влиянию прочих окружающих, его элементов.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Построение математических моделей теплопроводности среды с внутренними параметрами состояния, учитывающих нелокальность по времени и по пространству.

2. Выбор кинетических уравнений для внутренних параметров состояния.

3. Получение аналитических и численных решений для задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева при различных кинетических уравнениях для внутренних параметров состояния.

4. Разработка и реализация программного комплекса для ЭВМ, предназначенного для получения численных решений и графического представления температурных полей в твердом теле при высокоинтенсивном нагреве.

Научная новизна работы заключается в том, что на основе математической модели среды с внутренними параметрами состояния предложена неклассическая модель теплопроводности: твердого тела, учитывающая- релаксационные: эффекты, а также математическая , модель теплопроводности, учитывающая две существующие; противоположные концепции описания! структуры любого твердого тела — концепции непрерывности и дискретности.

На основе рассматриваемых, математических моделей получены аналитические и численные- решения для; задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева; Выполнен анализ зависимости: температурных полей? от вида новых кинетических уравнений для внутренних, параметров состояния. .

Практическая и теоретическая ценность разработанных, в; диссертации неклассических математических моделей? теплопроводности твердого, тела, учитывающих временную и пространственную нелокальности, состоит в-возможности прогнозирования свойств новых перспективных материалов. Рассмотренные модели создают основу для построения термодинамических моделей' поведения? новых конструкционных и функциональных. материалов: Зарегистрирован программный, комплекс: «ТСМ-эЬ - Расчет температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве»; Свидетельство о государственной регистрации № 2011611619 от 17.02.2011.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели теплопроводности твердого тела с. внутренними параметрами состояния; учитывающие нелокальность по времени и по пространству.

2. Предложенные новые кинетические уравнения: для внутренних параметров состояния;

3. Результаты расчетов температурных полей в твердом теле при высокоинтенсивном нагреве в зависимости от предложенных кинетических уравнений внутренних параметров состояния.

4. Метод исследования зависимости температурного поля твердого тела от характерного размера структурного элемента.

Апробация« работы. Основные результаты диссертационной' работы докладывались на XVI Школе-семинаре «Проблемы газодинамики* и тепломассообмена в, энергетических установках» под рук. акад. РАН/ А.И: Леонтьева (Санкт-Петербург, 2007), XVII Школе-семинаре «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях»1 под рук. Акад. РАН А.И. Леонтьева (Жуковский, 2009), Международной? школе-конференции молодых ученых «Механика 2009» (Ереван, 2009), ХШ международной конференции «Современные проблемы механики сплошной» среды» (Ростов-на-Дону, 2009), IV международной школе «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2010), V Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2010), XXIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертационной' работы опубликованы в 3 научных статьях [2, 8, 10] журналов из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК и 7 тезисах докладов [1, 3-7, 9]:

1. Свидетельство о государственной регистрации программы №2011611619. ТСМ-бЬ - Расчет температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве / Савельева И.Ю. Зарегистрировано в. Реестре программ для ЭВМ 18.02.11.

2.Кувыркин Г.Ш, Савельева И.Ю. Моделирование температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве // Тепловые процессы в технике. М;, 2009. Т.1. № 9. С. 375-378.

3. Савельева И.Ю. Моделирование нестационарной теплопроводности с учетом особенностей строения материала//Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях: Труды XVII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН' А.И. Леонтьева. М., 2009. Т.1. С. 241-244.

4". Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Релаксационные модели деформируемого твердого тела // Механика: Сборник трудов международной школы-конференции молодых ученых. Ереван, 2009. С. 66-75.

5. Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Некоторые релаксационные модели наноструктурных материалов // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIII международной конференции. Ростов-на-Дону, 2009. С. 116-120.

6. Савельева И.Ю. О теплопроводности наноструктурных материалов //Математика и математическое моделирование: Сборник материалов IV международной школы. Саров, 2010. С. 96-98.

7. Зарубин В. С., Кувыркин F.H., Савельева И.Ю. Математическое моделирование термомеханических процессов в наноструктурных материалах // Труды V Российской национальной конференции по теплообмену. М., 2010. Т. 1. С. 207-210.

8. Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Математическая^ модель теплопроводности? новых, конструкционных материалов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки: М., 2010. №3: С. 72-85.

9. Кувыркин г.н., Савельева И.Ю. Одна математическая модель теплопроводности наноструктурных материалов // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов XXIII международной научной конференции. Саратов, 2010. Т.З. С. 13-14.

Ю.Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Нелокальная, математическая модель теплопроводности в твердых телах//Вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. М., 2011. №3. С. 20-30.

11. Чалая И.Ю. {Савельева И.Ю.) Моделирование температурных полей в твердом теле при импульсном нагреве // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под рук. академика РАН А.И. Леонтьева. М., 2007. Т.2. С. 193-196.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Савельева, Инга Юрьевна

Основные результаты главы 4

1. На основе термодинамики необратимых процессов предложена математическая модель процесса теплопроводности в материалах с микро- и наноструктурой, построенная с использованием модели среды с внутренними параметрами состояния. Модель интегрально учитывает взаимное влияние процессов, протекающих на макро- и микроуровнях.

2. Предложен метод исследования зависимости температурного поля твердого тела от характерного размера структурного элемента.

3. Выполнена оценка зависимости распространения теплоты в твердом теле от функций влияния на примере одномерной задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева. см. рис 4.1); 3 - второй вариант (см. рис. 4.2)

Общие результаты и выводы

1. Разработаны неклассические математические модели теплопроводности среды с внутренними параметрами состояния, в которых учтена нелокальность по времени и по пространству. Ценность моделей состоит в возможности прогнозирования свойств новых перспективных материалов. Они создают основу для построения термодинамических моделей поведения новых конструкционных и функциональных материалов.

2. На основе представления о движении фононов в г кристаллических решетках предложены новые кинетические уравнения для внутренних параметров состояния, которые позволяют учитывать эффекты запаздывания при аккумуляции и распространении теплоты, а также тот факт, что время релаксации внутреннего параметра, характеризующего процесс распространения теплоты, может зависеть от направления, и доля свободной поверхности (а следовательно размер структурных зерен) влияет на распределение температуры.

3. Получены аналитические и численные решения для задачи высокоинтенсивного поверхностного нагрева в одномерном случае при различных кинетических уравнениях для внутренних параметров состояния. Проведен анализ влияния параметров нагрева и свойств материала на температурные поля. Предложен метод исследования зависимости температурного поля твердого тела от характерного размера структурного элемента.

4. Разработан и зарегистрирован программный комплекс «ТСМ-бЬ - Расчет температурных полей в твердом теле при поверхностном нагреве», с помощью которого получены численные решения в предложенных моделях и все графические представления распределения температуры в материале, а также выполнен сравнительный анализ различных моделей. Свидетельство о государственной регистрации №2011611619 от 17 февраля 2011 г.

Госэнергоатомиздат, 1963. 535 с.

12. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа; 1967. 600 с.

13.Лыков А.В. Тепломассоперенос: Справочник. М.: Энергия, 19781 480 с.

14. Карел оу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводность, твердых тел:: Пер:. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

15. Карташов Э.М. Аналитические методы; в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. школа, 2001. 550 с.

16.Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач; нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // Изв. АН РФ; Энергетика; 1999, № 5, С. 3 - 32.

17. Карташов Э;М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности; в областях с движущимися; границами (обзор) // Инженерно-физический; журнал, 2000. Т. 74, № 2, С. 1 - 24.

18. Карташов Э.М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с движущейся границей // Инженерно-физический журнал, 1990. Т. 52, № 3, С. 495

- 505. ' , ' ,

19.Карташов Э.М!, Любов Б.Я. Метод решения^ обобщенных тепловых задач в области с границей, движущейся по? параболическому закону // Журн. тех. физики, 1971 . Т. 61, 1, С. 3 - 6.

20.Карташов Э.М., Стомахин И.В. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в ; области с движущейся границей // Изв. АН РФ, Энергетика, 1992, № 5, С. 138 -147.

21.Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М. : Наука; 1976. 528 с.

22.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики; М.: Наука, 1977. 736 с.

23.Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М: Наука, 1971. 553 с.

24. Самарский A.A. Введение в численные методы. М: Наука, 1987. 288 с.

25.Самарский A.A. Теория разностных схем. М: Наука, 1983. 616 с.

26. Самарский A.A., Вабищевич П'.Н. Численные методы решения задач конвекции - диффузии. Шд1. 4. М.: Едиториал УРСС, 2001. 248'с.

27. Самарский A.A., ВабищевиЧчП.Н. Вычислительная теплопередача. М.: ЛКИ, 2007. 480 с.

28.Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Режимы' с обострением* в задачах для1 квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 481 с.

29.Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М: Наука, 1989. 432 с.

30.Шашков А.Г. Системно-структурный анализ процессов теплообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 280 с.

31.Шашков А.Г., Бубнов В.Я., Яновский С.Ю. Волновые явления^ теплопроводности. Системно-структурный подход. Изд. 2-е. М.: Едиториал УРСС, 2004. 296 с.

321Шашков А.Г., Яновский С.Ю. // Тепло- и массоперенос: Физические основы и методы: Сб. науч. тр. Мн., 1979. С. 9 - 12.

33.Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

34.Формалев В.Ф. Ревизников Д.Л. Численные методы. Изд. 2-е, испр., доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 400 с.

35.Формалев В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах // ТВТ. 2001. Т. 39. №5. С. 810- 832.

36.Формалев В.Ф., Селин И.А., Кузнецова E.JL Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве // Вестн. Сам. гос. техн.' ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Самара, 2010. № 1 (20). С. 239 - 243.

37.Формалев В.Ф., Тюкин O.A. Экономичный абсолютно устойчивый метод расщепления с экстраполяцией численного решения задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы. .//Вычислительные технологии. 1995. Т. 4. № 10. С. 290 - 299.

38;Формалев В^Ф;:, Тюкин О.А. Неявны» экономичный метод численного решения параболических задач содержащих смешанные производные. //Математическое моделирование. 1996; Т. 8. № 6: С. 27 - 32:

39.Формалев В.Ф. Метод конечных элементов в задачах теплообмена: Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ. 1991. 63 с.

40.Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: Пер. с англ. М.: Мир. 1988. 544 с. '

41. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных? аппаратов. М.: Машиностроение,. 1978. 184 с.

42.3арубин B.C. Инженерные методы; решения1 задач теплопроводности: М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

43.Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н., Цйцин A.F. Особенности применения МКР и МКЭ для решения задач нестационарной теплопроводности в составных телах с подвижными границами // Теоретические основы и конструирование; численных алгоритмов решения . задач математической? физики: Тезисы докл, VII Всесоюзн. семинара. Кемерово, 1988. С. 48- 49.

44. Зарубин B.C., Кувыркин F.H. Математические модели- термомеханики: М.: Физматлит, 2002. 168 с.

45. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // ТВТ. 2003. Т. 41. № 2. С. 300 - 309.

46.3арубин B.C., Кувыркин Г.Н. Термомеханическая модель релак-сирующего твердого тела при. нестационарном, нагружении // Докл: РАН. 1995. Т. 354. № 2 С. 193.

47. Зарубин B.C., Прикладные задачи термопрочности элементов конструкции. М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

48.Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Использование структурных параметров для исследования термонапряженного состояния деформируемого тела при импульсном нагреве // Инж.-физич. журнал. 1988. Т. 54, № 3. С. 468 -476.

49.Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Особенности расчета термонапряженного состояния деформируемого тела при импульсном нагреве // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 1. С. 127 - 132.

50. Зарубин B.C. Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.512 с.

51.Кувыркин* Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого* тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 141 с.

52.Кувыркин Г.Н., Панин С.Д., Цицин А.Г. Особенности численного решения задач нестационарной теплопроводности при высокоинтенсивном нагреве // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1988. №5. С. 162- 165.

53.Кувыркин Г.Н., Шаров С.Н. Решение двумерных задач теплопроводности с подвижной внешней границей методом конечных элементов // Изв. Вузов. Машиностроение. 1985. № 7. С. 52 - 56.

54.Кувыркин Г.Н. Температурное состояние поглощающего излучение твердого тела при импульсном нагреве // Инж.-физич. журнал. 1987. Т. 52, № 2. С. 332.

55.Кувыркин Г.Н. Термодинамический вывод гиперболического уравнения теплопроводности // Теплофизика высоких температур. 1987. Т. 25, №1.С. 78-82. amorphous and coarse-grained poly crystalline in Se // Physical Review B. 1996. V. 54. P. 6058-6061.

70. Сотский E.H. О некоторых разностных схемах для уравнения теплопереноса гиперболического типа // Ин-т прикл. матем. АН СССР: Препринт № 102. М., 1985. 22 с.

71.Бочков М.В., Шильников Е.В. Об одном-вычислительном алгоритме для гиперболического уравнения теплопроводности» // Ин-т прикл. матем. АН СССР: Препринт № 112. М., 1986. 15 с.

72.Леванов А.Е., Сотский E.H. Теплоперенос с учетом релаксации теплового потока // Математическое моделирование: Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики: Сб. Статей. М.: Наука, 1987. С. 155 - 190.

73.0сокин А.Е., Суворова Ю.В. Некоторые задачи теплопроводности для наследственно-упругих материалов // Машиноведение. 1983. № 1. С. 87 - 92.

74.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 543 с.

75.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.

76.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.416 с.

77.Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 543 с.

78.Байдаков E.H., Кувыркин Г.Н. Вариант численного решения интегродифференциального уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 29, № 1,С. 156-161.

79.Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. М: Мир. 1981. 304 с.

80.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

81. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 352 с.

82.Сереглинд JI. Дж. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 392 с.

83.Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 592 с.

84.Введение в микромеханику / Онами М. и др.: Пер. с япон. М.: Металлургия, 1987. 280 с.

85. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 304 с.

86.Eringen, А.С. Theory of nonlocal elasticity and some applications // Res Mechanica21,1987. P. 313 - 342.

87.Eringen, A.C., Edelen. D.G.B. «On Nonlocal Elasticity» // Int. J. Engng. Sci. 10, 1972. P. 233 - 248.

88.Eringen, A.C. Microcontinuum field theories: foundations and solids. New York: Springer-Verlag, 1999. 325 p.

89.Eringen, A.C. Nonlocal continuum field theories. New York: SpringerVerlag, 2002. 376 p.

90.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем. М.: Наука, 1971. 576 с.

91.Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 513 с.

92.Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 416 с.

93.Теория тепломассопереноса / Под ред. А.И. Леонтьева М.: Изд-во. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 496 с.

94. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

95.Мартыненко О.Г., Березовский А.А., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979. 167 с.

96.Морохов И. Д., Трусов JI. И., Лаповок В. Н. Физические явления в ультрадисперсных средах. М.: Энергоатомиздат, 1984. 224 с.

97.Теплопроводность твердых тел: Справочник / Охотин A.C. [и др.]. М.: Энергоатомиздат, 1984. 320 с.

98.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов: М.: Изд-во. МГУ, 1984. 336 с.

99.Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1999. 328 с.

100. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука. 1977. 831 с.

101. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004. 704 с.

102. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 348 с.