Разработка и анализ математических моделей термомеханики структурно-чувствительных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Савельева Инга Юрьевна

• Савельева Инга Юрьевна
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Савельева Инга Юрьевна

Введение

Глава 1. Математические модели нелокальной термомеханики

1.1. Молекулярная динамика и нелокальная механика частиц

1.2. Определяющие уравнения нелокальной среды с внутренними параметрами термодинамического состояния

1.3. Уравнение теплопроводности для нелокальной среды

1.4. Функции нелокального влияния

1.5. Оценка влияния эффекта пространственной нелокалыюсти на примерах одномерных задач

1.5.1. Температурное состояние пластины

1.5.2. Оценка термического сопротивления пластины

1.5.3. Распределение температуры при а =

1.5.4. Идеальный контакт двух пластин

1.5.5. Деформированное состояние цилиндрического стержня

1.5.6. Деформированное состояние вертикальной колонны

1.6. Основные результаты и выводы по главе

Глава 2. Численное моделирование задач нелокальной термомеханики

2.1. Метод конечных элементов с учетом нелокальных эффектов

2.1.1. Основные соотношения для двумерного стационарного уравнения теплопроводности

2.1.2. Основные соотношения для задачи нелокальной теории упругости

2.1.3. Аппроксимация зоны нелокального влияния

2.2. Одномерные задачи нелокальной термомеханики

2.2.1. Термосопротивление пластины

2.2.2. Динамические температурные напряжения

2.2.3. Учет конечной скорости распространения теплоты

2.2.4. Динамическая задача термовязкоупругости

2.3. Двумерные задачи нелокальной термомеханики

2.3.1. Распределение температуры в прямоугольной области

2.3.2. Задача Неймана для прямоугольной области

2.3.3. Растяжение Т-образной области

2.4. Основные результаты и выводы по главе

Глава 3. Математические модели оценки эффективных тепловых свойств дисперсных структур

3.1. Двойственная вариационная формулировка задачи определения эффективных свойств дисперсных структур

3.1.1. Задача стационарной теплопроводности

3.1.2. Задача электростатики в неоднородном анизотропном диэлектрике

3.2. Оценки термического сопротивления

3.2.1. Определяющие соотношения

3.2.2. Частные случаи построения оценок

3.2.3. Оценки для клиновидного анизотропного тела

3.3. Оценки эффективной теплопроводности дисперсных структур

3.3.1. Композит с шаровыми включениями

3.3.2. Моделирование теплового контакта между шаровым включением и матрицей

3.3.3. Влияние радиационно-кондуктивного теплопереноса в полости на эффективную теплопроводность

3.3.4. Композит с волокнистыми включениями

3.3.5. Композит с короткими волокнами

3.3.6. Композит с пластинчатыми включениями

3.4. Основные результаты и выводы по главе

Глава 4. Математические модели оценки эффективных термоупругих свойств дисперсных структур

4.1. Математическая модель

4.2. Вариационный подход

4.3. Метод самосогласования

4.4. Оценки термоупругих характеристик

4.5. Построение двусторонних оценок температурного коэффициента линейного расширения

4.6. Основные результаты и выводы по главе

Глава 5. Оценка критических ситуаций в твердом теле вариационными методами

5.1. Математическое моделирование температурного состояния полимерных диэлектриков

5.1.1. Плоский слой полимерного диэлектрика

5.1.2. Цилиндрический слой полимерного диэлектрика

5.2. Вариационный метод оценки параметров теплового взрыва в твердом теле

5.2.1. Трехосный эллипсоид

5.2.2. Шаровая частица при конвективно-радиационном теплообмене

5.3. Вариационная модель теплового пробоя слоя диэлектрика

5.3.1. Двойственная вариационная модель теплового пробоя при переменном напряжении

5.3.2. Анализ стационарных точек функционалов для плоского слоя диэлектрика

5.3.3. Анализ стационарных точек функционалов для цилиндрического слоя диэлектрика

5.4. Основные результаты и выводы по главе

Глава 6. Двойственная вариационная формулировка математических моделей термоупругости с учетом пространственной нелокальности

6.1. Построение основного функционала для математической модели стационарной теплопроводности

6.2. Анализ выпуклости функционала

6.3. Построение альтернативного функционала для математической модели стационарной теплопроводности

6.4. Преобразование двойственной вариационной формы математической модели стационарной теплопроводности

6.5. Примеры использования вариационных формулировок матема-

тической модели стационарной теплопроводности

6.5.1. Применения вариационной формулировки к линейной задаче

6.5.2. Применения двойственной вариационной модели

6.6. Двойственная вариационная форма математической модели упругости

6.7. Пример использования двойственной формулировки модели линейной упругости

6.8. Основные результаты и выводы по главе

Общие выводы по работе и заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и анализ математических моделей термомеханики структурно-чувствительных материалов»

Введение

Сегодня развитие науки о конструкционных и функциональных материалах тесно связано с познанием современных композитов. Они являются структурно-чувствительными материалами, которые, как правило, нужно рассматривать как результат проектирования и оптимизации многомасштабных, многоуровневых структур. Управление внутренней структурой разрабатываемого материала — важнейшая задача современного материаловедения. Создание материалов с наперед заданными свойствами — также по-прежнему актуальная задача.

Материал с размером зерна менее 100 нм относят к наноматериалам, тогда как ультрамелкозернистые материалы характеризуются размером зерен менее 500 нм. Термин «нанокомпозит» подразумевает, что по крайней мере одна составляющая фаза имеет размер частиц менее 100 нм [5,36,159,343]. Фактически, типы наноармирования можно сгруппировать в три широкие категории: ЗБ-нанонаполнители (такие как наночастицы), которые имеют близкую к шаровой форме с диаметром менее 100 нм; волокна или трубки диаметром менее 100 нм и отношением характерной длины к диаметру более 100 (углеродные нанотрубки, нитевидные кристаллы); пластинчатые нанонапол-нители, которые могут представлять собой слоистые материалы толщиной порядка 1 нм.

Изменение характерного размера включения от микрометра до нанометра в структурно-чувствительных материалах изменяет отношение площади поверхности включения к объему на один или два порядка [343]. Это означает, что доля атомов, расположенных на поверхностях разделов, увеличивается. При резком увеличении межфазной поверхности в свойствах такого материала все больше начинают преобладать свойства поверхности раздела или межфазной границы, что, в свою очередь, означает проявление свойств, не присущим классическим материалам.

Математическое моделирование в механике деформируемого твердого тела — наиболее практичный подход к описанию поведения материалов при

различных внешних воздействиях. В классическом подходе механики сплошной среды материал состоит из множества идеализированно бесконечно малых материальных частиц, каждая из которых является обладает массой и взаимодействует с соседними частицами. Поле напряжений в этом случае определяют на основе локальных аксиом Нолла для простых материалов [182] и полагают, что напряжение в окрестности точки зависит от движения ближайших точек континуума (или поля деформации, возникающего за счет этого движения). Учет только ближайшего взаимодействия точек среды и определяет локальные свойства материала сплошной среды. Тем не менее, в различных теоретических и экспериментальных исследованиях описано существование дальних взаимодействий между несоседними структурными элементами. О влиянии этих взаимодействий на распространение упругих волн и механические свойства материалов указано, например, в работах [214,309,371]. Кроме того, как природные, так и искусственные материалы имеют сложную внутреннюю структуру, в которой проявляются эффекты микро- и наномасштаба. Классическая механика деформируемого твердого тела не может описать физические явления, в которых дальнодействующие взаимодействия играют существенную роль. Другими словами, свойства и поведение материалов, описываемые классической механикой сплошной среды, инвариантны относительно масштабов времени и длины, и влияние внутренней структуры (характерных размеров внутренней структуры) не могут быть учтено. Также на основе только классической механики деформируемого твердого тела не могут быть описаны такие микроскопические явления, как микровращение, микродеформация, микродислокация или микродвойни-кование [238,293,300,336].

Обобщенная механика деформируемого твердого тела позволяет избежать вышеупомянутых ограничений классического подхода. Различные обобщенные модели — микроморфные, микрополярные, нелокальные и др. дают возможность учесть эффекты дальнодействующих взаимодействий в твердом теле, микро-/наномасштабные явления, дисперсионные свойства материала [135,250,267,334].

Лабораторные исследования последних лет [204,352] показали, что размерные эффекты, возникающие в мелкомасштабных структурах, могут оказывать существенное влияние на теплофизические характеристики. В работе [204] показано, что поведение элементов микро- и наномеханических систем (М \K.\IS) при механических нагрузках во многих случаях отличается от классических предсказаний, основанных на теории Эйлера — Бернулли и законе Гука. Такие же выводы получены в результате использования методов молекулярной динамики [299] при исследовании углеродных нанотрубок и графеновых нанолент. Размерные эффекты в сверхтонких структурах наблюдались экспериментально и при испытании на изгиб стержней из алюминия, эпоксидных и полипропиленовых консольных балок [259,278,289].

Подобные экспериментальные данные привели исследователей к необходимости создания адекватных теорий для анализа размерных эффектов, способных прогнозировать поведение материалов под воздействием физических полей различной природы.

Материалы, для которых необходимо использовать многомасштабный подход при моделировании одного или нескольких физических явлений, которые происходят в разных временных масштабах и для разных характерных размерах длины, называют полномасштабными [230,301,333].

Основные подходы многомасштабного моделирования — это иерархическое многомасштабное моделирование [215,301] и гибридное многомасштабное моделирование [292,307]. При первом подходе материал условно разбивают на несколько масштабов длин, и модели для разных масштабов запускают независимо. Для связи независимо работающих моделей в рассмотрение вводят параметры соединения. В случае второго подхода многомасштабная модель работает как единый пакет, в котором модели разных масштабов используют для расчета одновременно.

Модели, используемые для многомасштабного моделирования, варьируются от моделей квантовой механики до моделей механики сплошной среды. Для описания наномасштабных явлений используют модели атомистической и молекулярной динамики. Точность таких моделей зависит от эмпири-

ческих потенциалов межатомного взаимодействия. В микромасштабе (0,1-10 мкм) модели молекулярной динамики требуют больших вычислительных ресурсов, и, следовательно, можно использовать мезомасштабное моделирование: лишние степени свободы устраняются группировкой элементов наноструктуры материала в микроструктуру [230], а также используют понятие представительного элементарного объема.

В макромасштабе обычно используют модели механики сплошной среды, определяющие соотношения которых позволяют учесть те или иные особенности структуры среды и отличаются от соотношений классической механики деформируемого твердого тела. Эти модели позволяют учесть различные эффекты нелокальности. Например, в случае поликристаллического материала необходимо учесть микродеформации, которые возникают из-за неоднородного характера микроструктуры. Такие макроскопические эффекты как усталость и повреждение поликристаллического материала зависят от локальных и нелокальных взаимодействий между неоднородностями. В работах [243, 280] описаны модели пластичности и усталости с учетом нелокальных эффектов. При моделировании полимерных материалов было выявлено, что модуль упругости полимеров следует определять с учетом нелокальных молекулярных взаимодействий и моделирование молекулярной динамики должно быть скорректировано в соответствии с нелокальной шкалой длины [282]. В монокристаллических структурах также проявляются различные нелокальные эффекты. Экспериментальные исследования монокристаллов показали, что процессы диссипации энергии и потенциалы межатомного взаимодействия должны учитывать нелокальные дальнодействующие вклады [297].

Таким образом, математические модели, позволяющие учесть проявление нелокальных эффектов в различных физических полях, крайне актуальны для многомасштабного моделирования.

Теории механики деформируемого твердого тела, в которых материал моделируют как набор независимых движущихся и деформирующихся частиц, изложены еще в работах W. Voigt [349]. Сегодня это теории микрокон-

тинуума [237,238]. W. Voigt впервые изучил упругость и пьезоэлектричество криталлов, принимая во внимание вращение молекул, которые считались твердыми объектами в кристаллической структуре. Впоследствии в 1909 году была разработана моментная теория Коссера (Е. Cosserat и F. Cosserat [223]), в которой деформацию среды описывают вектором перемещения и вектором поворота. В связи с этим напряжения, возникающие в среде, представимы в виде несимметричного тензора, содержащего моментную составляющую.

Дальнейшее развитие эта теория получила только в 1952 году. С использованием соотношений статистической механики Н. Grad в работе [248] вывел некоторые законы сохранения. В работе [249] W. Gunther описал связь теории упругости Коссера с дислокационной теорией; в 1964 году А.С. Eringen получил соотношения закона сохранения микроинерции [235,236] без которого все полученные ранее уравнения, описывающие движение среды, были неполными и не позволяли однозначно характеризовать положение тела в пространстве. С этого времени теория упругости Коссера активно развивалась в научных исследованиях. Основные положения псевдоупругой среды Коссера (среда со стесненным вращением) описаны в работах Э.Л. Аэро и Е.В. Кув-шинского [10,11], Н.Ф. Морозова [145], Ю.Н. Немиша [148], W.T. Koiter [262], R.D. Mindlin и H.F. Tierstin [294,296], а также в [205,213,254] и др. В этой теории вектор малого поворота связан соотношением с вектором перемещения, а несимметричный тензор напряжений содержит моментную составляющую. При этом напрямую из физических уравнений не могут быть определены антисимметричная часть тензора напряжения и симметричная часть момент-ных напряжений [201].

Теория микрополярной среды Коссера (Cosserat micropolar elasticity) описана в работах В.И. Ерофеева [43], П.А. Жилина [45], Л.М. Зубова [100, 372], В. Новацкого [149,305], В.А. Пальмова [153], а также в [229,295,329,331] и др. В этой теории введено кинематически независимое от поля перемещений поле векторов малых поворотов частиц, напряжения и моментные напряжения по прежнему несимметричные тензоры. В работах [329] и [154] отмечено, что псевдоупругая среда Коссера есть следствие микрополярной среды

и

Коссера. Модели на основе микрополярной среды Коссера были использованы при построении неклассических моделей тонкостенных конструкций в работах С.А. Амбарцумяна [1], А.А. Атояна и С.О. Саркисяна [6], В.А. Дуд-никова и С.А. Назарова [38], В.В. Елисеева [41], П.А. Жилина [46], А.А. Илюхина [101], В.А. Еремеева и W. Pietraszkiewicz [232], а также в работах [231,233,314] и др. Более общие модели сред с внутернними степенями свободы изучены в работах И.А. Кунина [135,267], М.А. Гузева и В.П. Мяс-никова [146], А.С. Eringen [237]. Различные аспекты моделей с учетом мо-ментного тензора напряжений для описания разнообразных сред со сложной структурой описаны в работах С.А. Лурье [138,138,139,284], Г.Л. Бровко и О.А. Ивановой [15-19] и др.

Теория микроморфной среды (microstructure micromorphic elasticity) развита в работах R.D. Mindlin [294] и А.С. Eringen [201]. В этой теории для описания деформированного состояния использованы тензоры микросмещений, макродеформаций и относительной дисторсии, а ткже градиент микродисторсии.

Отметим, что выше перечислены далеко не все моментные теории, однако все они позволяют учесть эффект нелокальности по пространству. «Источниками» нелокальности в них выступают тензор микросмещений, гридиет микродеформаций и дисторсии и т.п. Основная сложность использования всех этих теорий заключается в том, что определяющие соотношения содержат большое количество материальных коэффициентов и параметров, определение которых весьма затруднительно и требует развития подходов и моделей для установления этих коэффициентов и параметров. Так, например, некоторые задачи по определению эффективных характеристик в моментой теории упругости рассмотрены в работах [42,140].

Другой класс моделей обобщенной механики для моделирования даль-нодействующих эффектов в среде, т.е. пространственной нелокальности, предполагает использование интегральных выражений типа свертки. В этом случае модели обычно называют нелокальными моделями [265,266,319,335,344]. Впервые нелокальная модель для упругой среды была предложена в рабо-

те Е. Kröner [263], в которой описан учет дальнодействующего эффекта сил сцепления. Затем A.C. Eringen с соавторами разработали современную версию нелокальной теории упругости [234,240]. В этой теории использованы функции влияния, которые описывают затухание дальнодействующего взаимодействия между двумя частицами с увеличением расстояния между ними. Единый подход к построению нелокальных теорий для упругих тел, вязких жидкостей, электромагнитных твердых тел и жидкостей, упругих сред с памятью и сред с микроструктурой представлен в книге [238]. С. Polizzotto в работах [317,320] переформулировал теорию нелокальной упругости, предложенную ранее A.C. Eringen, предположив, что поле деформации в точке можно представить в виде суммы локальной и нелокальной составляющих.

Обзор основных характеристик нелокальной теории упругости вместе с некоторыми приложениями представлен в работе [326]; там описаны определяющие соотношения модели нелокальной упругости для балки, пластины и оболочки.

Осознание в необходимости применения нелокальной термодинамики в физических науках и технике восходит к середине прошлого века и связана с попытками описать экспериментальные эффекты, не предсказанные гипотезой Био — Фурье. Действительно, экспериментальные наблюдения за температурным полем на границах раздела металлов, а также за изменением параметров проводимости в окрестности термостатированных областей показывает локализацию температурных градиентов вблизи границы [256].

В работах [279,285] описана серия экспериментов с тонкими пластинами из кремния и германия, которые подвергались воздействию импульсного лазерного нагрева. Экспериментально были обнаружены большие температурные градиенты и тепловые потоки в поверхностных слоях. Было высказано предположение, что коэффициент теплопроводности кремния должен быть уменьшен как минимум на треть, чтобы объяснить данные эксперимента. Однако вскоре было показано, что данные могут быть объяснены с использованием скорректированной модели, в которой учтен нелокальный характер переноса теплоты. В статье [325] представлено описание эксперимента по ла-

зерному нагреву многослойных металлических тонких золотых и хромированных пленок; показано, что классическая модель теплопереноса не может описать полученные результаты.

Подобные явления наблюдались при моделировании теплопередачи в на-нопроволоках методами молекулярной динамики, показывающем, что наличие термостатированных областей связано с фонон-фононным рассеянием, которое изменяет свойство проводимости материалов [216]. Фононы имеют широкий разброс по частоте и средней длине свободного пробега. При этом известно, что основная часть теплоты часто переносится фононами с большими значениями длины волны, средняя длина свободного пробега которых при комнатной температуре может составлять до 100 нм [258]. Таким образом, во многих системах, представляющих сегодня интерес, размеры микроструктуры сравнимы с длиной волны фонона. Быстрый прогресс в синтезе и обработке материалов со структурой нанометровой длины создают потребность в более глубоком научном понимании теплового переноса в наномасштабных устройствах, отдельных наноструктурах и наноструктурированных материалах. Обзор [258] содержит описание некоторых экспериментов и теории теплопереноса масштаба.

Для объяснения подобных экспериментальных данных были предложены различные модификации гипотезы Био — Фурье. Первыми работами, в которых отмечена необходимость учета конечной скорости распространения теплоты, можно считать работы A.B. Лыкова [141] об исследовании в капиллярно-пористых телах тепло- и влагопереноса, П. Вернотта [347] и К. Капицей [218] в теории теплопроводности, Дж. Максвелла [288] в газовой динамике. Эта гипотеза носит название гипотезы Максвелла — Каттанео — Лыкова — Вернотта (иногда Каттанео — Вернотта) и содержит характеристику времени, названиемую временем релаксации теплового потока. Гипотеза была проверена экспериментально и для ряда материалов получены числовые значения времени релаксации теплового потока [12,13,114,115,150,252,260,327].

Исследования гиперболического уравнения теплопроводности, полученного на основе этой модификации гипотезы Био — Фурье, описаны в боль-

шом количестве работ. Среди них стоит выделить работы Г.Н. Кувыркп-на [124,126,127,129], в которых использована модель среды с внутренними параметрами состояния для получения гиперболического уравнения теплопроводности, изучены вопросы построения аналитических и численных решений для полупространства; Э.М. Карташова [104-106], в которых рассмотрены вопросы корректности постановки математических моделей нестационарной теплопроводности гиперболического типа, получены аналитические решения для серии модельных задач для тел канонической формы; работы В.Ф. Формалева [190,192,193], в которых получены аналитические решения в ортотропном и анизотропном полупространстве; работы В. А. Кули нови и И.В. Кули нови [131,132], в которых при выводе дифференциальных уравнений переноса учтены градиенты величин удельных потоков (теплоты, массы, импульса).

В связи с тем, что интенсивность тепловых воздействий на элементы конструкций (например при использовании лазерной техники) все время растет, крайне актуальными становятся вопросы исследования задач динамической термоупругости. В рамках классической термоупругости таким задачам посвящено большое количество работ. Среди них выделим работы Э.М. Карташова [107-109], в которых можно найти многочисленные литературные ссылки на публикации на тему взаимодействия интенсивных тепловых потоков с твердыми телами, работы B.C. Зарубина и Г.Н. Кувыркина [58-60], в которых использована модель среды с внутренними параметрами состояния для исследования термонапряженного состояния при импульсном нагреве.

Модификация гипотезы Био — Фурье с использованием двух временных параметров (времен релаксации теплового потока и температуры) предложена в работе D.Y. Tzou [345]. Эта модель представляет собой частный случай более общей интегральной модели, рассмотренной в работе Г.Н. Кувыркина [128] и полученной из модели с использованием внутренних параметров состояния.

Отметим, что описанные выше модели позволяют учитывать только временные эффекты (конечную скорость распространения теплоты, запазды-

вание при аккумуляции теплоты), но не учитывают пространственные нелокальные эффекты.

Интегральные соотношения неравновесной термодинамики, учитывающие нелокальность по пространству, представлены в работах A.C. Eringen [201,238]. Нелокальность в этих соотношениях учтена посредством модификации теплофизических характеристик. В работах С.Л. Соболева [172,338340] проанализированы основные свойства локально-неравновесных моделей в форме уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов, порядок которых возрастает с увеличением степени отклонения системы от локального равновесия. В работах G. Chen [219,220] исследовано баллистико-диффузионное уравнение теплопроводности, полученное на основе уравнения Больцмана для времен релаксации. Другая модель нелокальной теплопроводности, удерживающая при разложении в ряд большее количество слагаемых, предложена в работе D.Y. Tzou [346]. В работах [353,354] с использованием похожих моделей исследована эффективная теплопроводность кремниевой нанопроволоки и углеродной нанотрубки с использованием одномерной модели теплопроводности с учетом временной нелокальности.

Отметим, что такие модели являются частными случаями более общей интегральной постановки. В работе [357] рассмотрена одномерная задача о температурных напряжениях двухслойной стенки на основе модели упругости с учетом пространственной нелокальности дробного порядка и модели теплопроводности с учетом временной нелокальности. Для построения решения использованы приближенные аналитические методы.

В большом количестве работ использовано дробное исчисление [217] для построения моделей с учетом эффекта памяти материала [337,356], а также нелокальных эффектов [322-324,370]. Дифференциальные операторы дробного порядка широко используют при моделировании механического поведения полимеров, гелей, пен и стеклообразных материалов [244,290,291,310, 312],

а также реологии мягких материалов и биологических тканей [224,228,311]. Моделирование процессов теплопроводности с учетом пространственной пело-

кальности рассмотрено в работах [212,308,351].

Таким образом, из вышесказанного следует, что на сегодняшний день нет теоретически обоснованных и практически апробированных математических моделей термомеханики, которые бы с единых позиций позволяли учитывать процессы, протекающие на микро- и наноуровне, а также временные и пространственные эффекты, которые возникают вследствие особенностей внутренней структуры.

Объектом исследования в диссертации являются математические модели нелокальной термомеханики в структурно-чувствительных средах.

Предметом исследования являются математические модели, содержащие интегро-дифференциальные уравнения, которые описывают процесс теплопроводности и напряженно-деформируемое состояние в структурно-чувствительном твердом теле и позволяют оценивать эффективные термомеханические характеристики.

Цель исследования. Целью исследования является разработка и исследование иерархии математических моделей термомеханических процессов в структурно-чувствительных материалах, позволяющих учесть временные и пространственные нелокальные эффекты, сложную внутреннюю структуру материала, форму и концентрацию упрочняющего элемента.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Разработка определяющих соотношений математических моделей термомеханических процессов в нелокальной среде с внутернними параметрами состояния в интегро-дифференциальной и вариационной форме.

2. Разработка и программная реализация численных алгоритмов решения задач нелокальной термомеханики в одномерных и двумерных постановках.

3. Разработка соотношений для оценки эффективных свойств дисперсных структур в зависимости от различных форм включений.

4. Разработка определяющих соотношений для оценки критических ситуа-

ций в элементах конструкций с использованием двойственных вариационных форм математических моделей теплопроводности.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений и численного решения интегро-дифференциальных уравнений, метод конечных элементов для задач термомеханики, вариационные методы, методы вычислительной математики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантирует строгость использования математического аппарата, сравнением расчетов с известными теоретическими результатами и аналитическими решениями, а также результатами, полученными ранее другими авторами.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Разработаны определяющие соотношения новых математических моделей, описывающих термомеханические процессы с учетом пространственной и временной нелокальностей в структурно-чувствительных материалах, в том числе соотношения двойственных вариационных форм математических моделей процессов стационарной теплопроводности и термоупругости в области произвольной формы с учетом пространственных нелокальных эффектов.

2. Исследованы аналитические решения одномерных задач стационарной теплопроводности для неограниченной в своей плоскости пластины и деформировании цилиндрического стержня с учетом пространственной нелокальности.

3. Получены оценки, в том числе двусторонние, эффективных коэффициентов теплопроводности, упругих модулей и температурного коэффициента линейного расширения композитов, позволившие учесть тип и объемную концентрацию армирующих включений, особенности теплового контакта

и теплопереноса между включениями и матрицей, наличие промежуточного слоя, взаимное расположение, возможную анизотропию включений.

4. Разработанные интегральная и вариационная форма математической модели установившейся теплопроводности позволили оценить целесообразность использования конкретных материалов в элементах конструкций, надежное функционирование которых связано с температурным состоянием материала.

5. Для исследования полей температуры, деформации и напряжений в структурно-чувствительном материале разработаны одномерные и двумерные численные алгоритмы нелокального метода конечных элементов.

6. Разработаны программные комплексы UnlockTermElast Ш и МопЬосРЕМ, в которых численные алгоритмы нелокального метода конечных элементов использованы для моделирования термомеханического поведения материала под различным внешним воздействием.

Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в возможности учета на уровне математической модели сложной внутренней структуры материала и анализа ее влияния на температурное и напряженно-деформированное состояние твердого тела, а также на эффективные термомеханические характеристики. Разработанный собственный программный комплекс позволяет решать широкий класс задач нелокальной термоупругости в твердых телах произвольной формы. Программный комплекс с открытым исходным кодом дает возможность как модифицировать существующие, так и добавлять в дальнейшем новые программные модули.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Савельева Инга Юрьевна, 2023 год

— - -

- - _ в

V-

— -- - - ---- —

... „ л-

0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 Ь

Рис. 4.4. Зависимости значений элементов матрицы, соответствующей тензору Эшелби, от относительной толщины включений при V = 0,156

0,5528, а Ы44 — к 0,5. На Рис. 4.4 при тех же обозначениях кривых характер зависимостей остался прежним, но при Ь ^ 1 значения элементов N11 и Ж33 стремятся к 0,4919, Ж44 и — к 0,2543, Ы12) ^13 и ^31 — к —0,01739. При Ь ^ 0 значение N31 стремится к 0,1848, а остальные элементы сохраняют свои прежние предельные значения.

Отметим, что в статье [78] получены соотношения для упругих характеристик композита с изотропными пластинчатыми велючениями. В работах [82,83] аналогичные подходы использованы для построения оценок модулей упругости композита с анизотропными и изотропными шаровыми включениями. Приведены примеры сравнения двусторонних оценок с результатами, полученными методом самосогласования, объемного модуля упругости и модуля сдвига композита, матрицей которого является кобальт Со, упрочненный дисперсными частицами карбида вольфрама \¥С. В работе [358] рассмотрен композит с хаотически ориентированными волокнами, имеющими различные удлинения и обладающие различной анизотропией упругих характеристик. Построена математическая модель взаимодействия таких волокон и частиц матрицы с изотропной упругой средой, модули упругости которой подлежат определению как искомые характеристики композита. Методом са-

мосогласования получены соотношения зависимости модулей композита от объемной концентрации, удлинения и упругих свойств каждого типа волокон, а также от упругих характеристик изотропной матрицы. Приведен пример расчета оценок для композита с алюминиевой матрицей и трансверсально изотропными волокнами карбида кремния (а-БЮ).

4.4. Оценки термоупругих характеристик

Используем описанные выше подходы для построения оценок термоупругих характеристик композита с анизотропными пластинчатыми включениями. Пусть композит состоит из изотропной линейно упругой матрицы, термоупругие свойства которой характеризуют объемный модуль^модуль сдвига С° и температурный коэффициент а° линейного расширения, и линейно упругих анизотропных пластинчатых включений с термоупругими характеристиками, определяемыми тензором С четвертого ранга коэффициентов упругости и тензором а • второго ранга коэффициентов температурной деформации. Объемную концентрацию включений в композите обозначим Су-Форму пластинчатого включения примем в виде тонкого круглого диска, поверхность которого соответствует сильно сплющенному сфероиду (эллипсоиду вращения с соотношением полуосей Ь\ = Ь2 ^ Ь3).

Представительный объем структуры композита включает множество сфероидальных включений, оси вращения которых равновероятно распределены по всем возможным направлениям. Это означает, что композит не обладает текстурой и его допустимо считать изотропным [198]. Искомые термоупругие характеристики композита представим объемным модулем^, модулем сдвига С и температурным коэффициентом а линейного расширения.

Принятая сфероидальная форма включений позволяет использовать для описания их термомеханического взаимодействия с окружающей его средой с искомыми термоупругими характеристиками композита решение задачи о напряженно-деформированном состоянии эллипсоидального включения, помещенного в однородную изотропную линейно упругую среду [202].

Из этого решения следует, что в эллипсоидальном включении как в элементе структурной неоднородности композита возникает возмущение напряженно-деформированного состояния по отношению к заданному на большом расстоянии от включения напряженно-деформированному состоянию в окружающей среде. В частицах матрицы, которые примем шаровыми с переменным радиусом от некоторого конечного до бесконечно малого, что позволяет заполнить все пустоты между эллипсоидальными включениями, также возникнет возмущение напряженно-деформированного состояния.

Особенность любого эллипсоидального включения (в том числе и сфе-родальной формы) состоит в том, что возникающее в нем возмущение напряженно-деформированного состояния однородно по объему включения [202], т. е. не зависит от координат. Это возмущение можно определить следующим путем.

Пусть линейно упругая изотропная среда с искомыми термоупругими характеристиками рассматриваемого композита занимает неограниченную область. В этой среде при исходной однородной температуре То первоначально отсутствуют напряжения и связанные с ними деформации. Выделим в этой области сфероидальное включение из того же линейно упругого изотропного материала с модулями упругости К и С и температурным коэффициентом а линейного расширения. Если мысленно извлечь включение из окружающей среды и создать в нем однородную деформацию, определяемую тензором е , то после возвращения включения на прежнее место деформированное состояние этого включения также будет однородным, определяемым тензором е . Этот тензор связан с тензором £ соотношением

е" = • •£ , (4.17)

-—-•

где Л¥ — тензор четвертого ранга, обратный тензору Эшелби [196] с компонентами, зависящими от формы включения и определяющими его взаимодействие с окружающей средой. Примем, что компоненты всех тензоров определены в прямоугольной декартовой системе координат Ох1х2х3 с началом в центре сфероидального включения, причем ось Ох3 совпадает с осью

вращения сфероида.

Тензору Эшелби можно поставить в соответствие квадратную матрицу шестого порядка. В случае эллипсоида вращения матрица № имеет 7 независимых элементов, которые при совпадении оси вращения с координатной осью 0^з примут вид [196,198]

= N22 = ЯОп + ЯИ!, N¡2 = ^ = ЯИп/З - ЯИ!, N33 = +ЯПз,

Щз = Щз = ЯЯ31 - = Щ2 = - ЯИз, Щ6 = /3 + ад,

N¡4 = N¿5 = Я(1 + Ь2)В1Ъ/2 + Д(1 - А)/2,

где Q = (3/2)/(1 - V), Я = (1/2 - ^)/(1 - ^), ^ = (3К/2 - С)/(3К + С) коэффициент Пуассона композита,

А = 2(1 Д2)3/2 ( агсс08 Ь - К1 - , Яз = 1 - 2А,

Ь = &з/Ьъ 3 Аз = (А$ - А)/(1 - Ь2), Изз! = ад2, 4^11 = 1 - 3Аз, Аз = 1/3 - 2 И1з. Остальные элементы этой матрицы равны нулю.

2

нию с единицей, после упрощения формулы для И1 получаем И1 = (arctg Ь-- Ь) Ь/2.

Обращение тензора Эшелби можно заменить обращением соответствующей матрицы Ж", представив ее как блочную, включающую четыре блока в виде матриц третьего порядка. Из этих матриц две будут нулевыми, одна диагональной с элементами = и и одна в виде

/ N•1 Щ2 ^•з Л

щ = N•2 N••1 ^з

\ щ1 Щ1 Щз у

Матрица W*, обратная матрице также будет блочной, структура которой аналогична структуре матрицы №. При этом элементы диагонального блока будут равны W•4 = W•5 = 1/ЩА и W•6 = 1/Щ6, а обращение

блока с матрицей N0 дает матрицу W• третьего порядка с элементами ^ = Ж?2 = № ^3 — , ^2 = ^21 = — ^^/Д ,

^ = ж?3 = № — ^ №/Д0, = ^32 = № — ^№/Д0, ^ = № + — ^2)/А0,

где до = ае^о) = (^ — — + - определитель

матрицы

После возвращения рассматриваемого включения на прежнее место проведем две независимые операции: повысим температуру среды во всей области па величину ДТ, что приведет к возникновения однородной в этой области температурной деформации, определяемой тензором ву с компонентами аДТбц, г, ] = 1, 2, 3, и подвергнем эту среду однородному деформированию, что вызовет появление во всей области дополнительной деформации, характеризуемой тензором Дв с компонентами Де^ = сопб^ определенными в системе координат Ох1х2х3. При этом изменение температуры не повляет на напряженное состояние включения, а однородное деформирование среды вызовет во включении приращение напряжений, определяемое тензором ДЭ = С • •Де, где тензор С определен соотношением (4.2).

После проведенных указанных операций напряженное состояние включения будет с учетом формулы (4.17) определять тензор

а = С • •(£ — е//) + С • Д = С • •е/ — С • ^ • •£ + С • •Де, (4.18) а полную однородную деформацию включения — тензор

в* = £ + Дв + . (4.19)

Далее при однородном распределении температуры То + ДТ в рассматриваемой области и условии сохранения полной деформации £* проведем замену исходного включения изотропным сфероидальным включением, имеющим температурный коэффициент линейного расширения а* и упругие характеристики, определяемые тензором С = 3К^V + 2С*П коэффициентов

упругости. Теперь однородное напряженно-деформированное состояние нового включения будут определять, согласно формуле (4.19), тензоры

а * = С • •(^ + Де), ^ = £* — Дв — = в' + Ит — , (4.20)

Эквивалентность замены включений требует не только совпадения их полной деформации, но и совпадения напряженных состояний, т.е. равенства ¿г = = ¿г*. Исключая с учетом этого равенства из соотношений (4.18) и (4.20) тензор в', получаем тензор

в* = (с" — С + С1 ••((С — с")••Де + (С — С••#")••(еу — £т)), (4.21)

характеризующий возмущение деформированного состояния включения.

Возмущение однородного деформированного состояния шаровых частиц матрицы композита определяет формула, аналогичная равенству (4.21),

= (С° — С + С -^Т)-1 ••( (С — С°) • •Де + (С — С • •#) ••(^ — £Т )), (4.22)

где С = ЗК°V + 2С°П — тензор четвертого ранга коэффициентов упругого ,, 1

сти материала матрицы, ет — тензор температурной деформации матрицы с компонентами а°ДТ5ц,

# = 3(1 — V) V/(1 + V) + (15/2)(1 — V) В/(4 — Ъи).

В формулу (4.22) входит внутреннее произведение изотропных тензоров С и Л¥. С учетом представления коэффициента Пуассона через модули ^ и С получим

^ ^ 5 ЗК + 4С ^

С - ^ = (ЗА- + 4С)V + 3 3^+245ГБ. (4.23)

Из соотношений (4.21) и (4.22) следует, что влияние одного из тензоров Д£ и на возмущения деформированного состояния сфероидальных включений и шаровых частиц матрицы не зависит от другого тензора, но зависит от искомых упругих характеристик композита. При этом тензор Дв может быть задан произвольно, а тензор £т содержит искомый температурный коэффициент а линейного расширения композита, зависящий в том числе от

этих характеристик. Поэтому построенную математическую модель, описывающую термомеханическое взаимодействие включений и частиц матрицы с окружающей средой, необходимо использовать сначала для нахождения модулей упругости композита, а затем применить для определения коэффициента а.

Осреднение по представительному объему композита возмущений деформации по всем включениям и частицам матрицы должно, согласно методу самосогласования, привести к нулевому результату. Такое осреднение, обозначенное угловыми скобками, при условии отсутствия приращения температуры (ДТ = 0) позволяет записать

(1 - Су )(Г) + Су (Г) = О2. (4.24)

где О2 — тензор второго ранга с нулевыми компонентами. Оба тензора второго ранга, входящие в левую часть равенства (4.24) и определенные формулами (4.21) и (4.22), при условии ДТ = 0 имеют один и тот же множитель Де, характеризующий макроскопически однородное деформированное состояние композита. Поэтому при осреднении этот множитель можно опустить и перейти к осреднению тензоров четвертого ранга

и°=( С °-С + С )-1--( С - С °), и*=( С" - С + С-^У1^ С - С"). Тогда равенство (4.24) будет эквивалентно равенству

N

(1 - Су)(и°) + ^С,(и') = О4, (4.25)

?=1

где О4 — тензор четвертого ранга с нулевыми компонентами.

Тензор и° является изотропным, а компоненты тензора и* определены в хаотически ориентированных локальных системах прямоугольных декартовых координат. Осреднение каждого из таких тензоров равносильно вычислению двух линейных инвариантов [59]:

и°1 = — V, и2 = и°--Б, и* 1 = и* •••• V, и* 2 = и* •••• Б.

Таким образом, из равенства (4.25) следует система двух уравнений

(1 - CvК + Cvu\ = 0, (1 - Cv)u° + Cvu° = 0, (4.26)

позволяющая вычислить модули упругости К и G композита.

После вычисления модулей упругости композита, положив в формулах (4.21) и (4.22) Дв = О° и AT = const, можно представить результат осреднения по представительному объему композита возмущений деформированного состояния включений и частиц матрицы в виде равенства

(1 - Cy)(v°) + Cy(Г) = О°, (4.27)

включающего тензоры второго ранга

v° = (С° - С + С-W)-1-(С - С-W)••(«° - а)

Г = (С* - С + С-wV1^С - С-W•)••(«* - а).

Осреднение этих тензоров равносильно вычислению их первых инвариантов путем свертки с единичным тензором 1° второго ранга. В итоге равенство (4.27) переходит в уравнение

(1 - Cv)v°-i° + CV••1° = 0 (4.28)

относительно искомого температурного коэффициента а линейного расширения композита.

4.5. Построение двусторонних оценок температурного коэффициента линейного расширения

Для построения двусторонних оценок температурного коэффициента

а

двойственную вариационную формулировку линейной задачи термоупругости для неоднородного твердого тела [59]. Эта формулировка включает два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), которые на истинных распределениях перемещений и напряжений достигают равных по значению экстремумов.

Если представительный объем V композита поместить в абсолютно жесткую оболочку, обеспечивающую при однородном приращении AT температуры композита отсутствие перемещений на ограничивающей этот объем на поверхности S, то на допустимом для минимизируемого функционала однородном распределении и(М) = 0 (М £ V) перемещений он примет вид

J* = iAp^ J а*(М)•• С\М)-а*(М) dV = ^(AT)2 (4.29)

у

где а * — зависящий от положен ия точки М £ V тензор коэффициентов температурной деформации, а

Ва = 9К°(а°)2(1 - у) + а'•• С*-а*CV.

Для максимизируемого функционала одним из допустимых распределений напряжений является однородное по объему V, определяемое шаровым тензором (г = al2, а = const. На таком распределении этот функционал с учетом первой формулы (4.13) имеет вид [90]

2т/ Г

3* = -- аДТ а*(М)¿V(М).

у

Значение а можно найти из необходимого условия существования экстремума этого функционала

= - ДТ / а*(МН2 dV(М) = 0. da К_ ]

V

Отсюда следует а = -3К-а*ДТ, где

а* = (1 - Су К + а а^2Су/3, (4.30)

причем эта формула совпадает с оценкой температурного коэффициента линейного расширения, которая следует из теории смесей [34]. После подстановки а в максимизируемый функционал он примет вид

3?1 = 9УК-(а*ДТ)2/2. (4.31)

Для однородной среды, имеющей объемный модуль упругости К и иско-

а

го композита, минимизируемый функционал при условии и(М) = 0 (М Е V) равен = 9VК(аДТ)2/2, что совпадает со значением 3* максимизируемого функционала на допустимом однородном распределении напряжения, равного а* = -3КаДТ. Для альтернативных функционалов справедливо неравенство [59] 3* ^ ^ 3*. Отсюда с учетом формул (4.29) и (4.31) следуют двусторонние оценки

а+ = 9К > К-а* = а-. (^2)

К

оценки, что приводит к гарантированным двусторонним оценкам

а+ = 9К: > ^ = а-. (4.33)

Использование в соотношении (4.32) значения объемного модуля упругости К, получаемого методом самосогласования, при выполнении условия К_ < К < К+ должно привести к сближению двусторонних оценок по сравнению с неравенствами (4.33).

Пример расчета. Количественный анализ зависимости термоупругих

миниевой матрицей, армированной пластинчатыми включениями из оксида алюминия (А1203), для которого известны значения (в ГПа) элементов мат-

С1 1 = С2 2 =

496,8 С*2 = 163,6 С*з = С*з = 110,9 С*з = 498,1 С** = С5*5 = 147,4; С*6 = 166,6 и С*4 = -С*4 = С*6 = -23, 5. Главные значения тензора коэффициентов температурной деформации для оксида алюминия при этой температуре равны [186] а\ = а2 = 6, 7 • 10-6 1/К и а3 = 5,0 • 10-6 1/К. Для изотропной алюминиевой матрицы принято К° = 81,3 ГПа, С° = 25,9 ГПа [195] и а° = 23,3 • 10-6 1/К [186].

К

и модуля сдвига С композита от объемной концентрации Су пластинчатых

включений. Штрихпунктирные и штриховые кривые построены по формулам (4.11) и (4.13) соответственно для верхней и нижней оценок этих модулей. Из сопоставления результатов решения системы уравнений (4.26) при значениях b = 0,01 (сплошные кривые) и b =1 (сплошные кривые со светлыми кружками для включений шаровой формы) следует, что изменение параметра & во всем интервале существенного изменения коэффициентов D (см. Рис. 4.1) сравнительно мало влияет на значения модулей упругости. По мере приближения значения Су к единице использованная модель утрачивает адекватность описания реального взаимодействия волокон и окружающей изотропной среды. Это приводит к тому, что при Су ^ 1 сплошные кривые, соответствующие значению b = 0,01, выходят за пределы границ, определяемых двусторонними оценками.

К, G, ГПа

250 200 150 100 50

0 0,2 0,4 0,6 0,8 Cv

Рис. 4.5. Зависимости модулей упругости композита от объемной концентрации включений

Зависимости от Су температурного коэффициента линейного расширения а рассматриваемого композита приведены на Рис. 4.6. Сплошные кривые без символов и со светлыми кружками построены по результатам решения уравнения (4.28) при значениях b = 0, 01 и b =1 соответственно. Пунктирная кривая отвечает линейной зависимости от Су7 определяемой формулой (4.30), а штрихпуктирная и штриховые кривые соответствуют гарантирован-

ыым верхней и нижней оценкам, представленными соотношением (4.33).

а-ю6, к-1

22 18 14 10 6

0 0,2 0,4 0,6 0,8 Су

Рис. 4.6. Зависимости температурного коэффициента линейного расширения композита от объемной концентрации включений

4.6. Основные результаты и выводы по главе 4

1. Полученные двусторонние оценки упругих характеристик композита с хаотически ориентированными анизотропными пластинчатыми включениями дали возможность установить границы ожидаемых значений его модулей упругости. Применение метода самосогласования позволило учесть влияние формы включений на эти модули.

2. Применение математической модели взаимодействия сфероидальных включений и частиц матрицы со изотропной средой, искомые свойства которой соответствуют рассматриваемому композиту, позволило оценить влияние на его термоупругие характеристики соотношения полуосей сфероида, моделирующего форму пластинчатых включений. Установлено, что при малой объемной концентрации включений это влияние несущественно, но

и с увеличением концентрации относительное изменение модулей упругости и температурного коэффициента линейного расширения композита

при изменении формы пластинчатых включений не превосходит нескольких процентов.

3. Представленные расчетные зависимости дают возможность прогнозировать термоупругие характеристики композита по заданным свойствам матрицы и и включений, их концентрации и форме.

Глава 5. Оценка критических ситуаций в твердом теле вариационными методами

Двойственная вариационная форма математической модели установившегося процесса теплопроводности в твердом теле, представленная в главе 3, может быть использована не только для построения оценок эффективных теплофизических свойств современных структурно-чувствительных материалов, но и для определения параметров, соответствующих возникновению критических ситуаций таких как тепловой взрыв, тепловой пробой.

В этой главе представлен анализ нелинейных математических моделей установившейся теплопроводности в плоском и цилиндрическом слоях диэлектрика при постоянной разности электрических потенциалов на поверхностях этих слоев. На основе двойственной вариационной формы такой модели получены оценки параметров теплового взрыва в твердом теле и теплового пробоя слоя диэлектрика.

5.1. Математическое моделирование температурного состояния полимерных диэлектриков

Существующие полимерные материалы, применяемые в различных электротехнических и радиотехнических устройствах в качестве диэлектриков, обладают достаточно высоким электросопротивлением, характеризуемым при температуре около 300 К значениями 1014...1018 Ом-м [199,200,211,332]. Но при значительной разности потенциалов электрического поля на поверхностях слоя диэлектрика даже при таких значениях электросопротивления проходящий через слой электрический ток вызывает выделение джоулевой теплоты, приводящее к повышению температуры диэлектрика и как следствие, к уменьшению электросопротивления, что, в свою очередь приводит к дальнейшему росту силы тока и объемного энерговыделения. Сравнительно низкий коэффициент теплопроводности полимерных материалов [151,286,332] и недостаточная интенсивность теплоотвода выделившейся энергии во внеш-

нюю среду создают предпосылки к возникновению положительной обратной связи, в силу которой происходит быстрый рост температуры, завершающийся тепловым разрушением материала диэлектрика (расплавлением, науглероживанием). Такой процесс получил название теплового пробоя диэлектрика в отличие от пробоя электрического [25,158,208].

Надежному функционированию полимерного диэлектрика при высокой разности электрических потенциалов способствуют интенсификация отвода выделившейся в нем джоулевой теплоты и выбор материала с возможно более высоким значением коэффициента теплопроводности, причем желательно возрастающим с ростом температуры, что характерно для некоторых полимерных материалов. Одна из областей применения полимерных диэлектриков связана с созданием высоковольтных кабелей, в которых такой диэлектрик является электроизоляцией токоведущих жил [37,137]. Существующие полимерные материалы позволяют повысить рабочее напряжение кабелей, в том числе используемых в линиях постоянного тока, обладающих рядом преимуществ по сравнению с кабельными линиями переменного напряжения [173].

Необходимый для оценки работоспособности диэлектрика количественный анализ его температурного состояния требует привлечения современных методов математического моделирования [51] и связан с решением достаточно сложной нелинейной задачи, учитывающей взаимную связь зависимостей от температуры электросопротивления диэлектрика и его коэффициента теплопроводности.

5.1.1. Плоский слой полимерного диэлектрика

Для плоского слоя полимерного диэлектрика с заданной температурой охлаждаемой поверхности и идеально теплоизолированной противоположной поверхностью сформулируем задачу установившейся теплопроводности при постоянной разности электрических потенциалов на этих поверхностях и преобразуем к интегральным соотношениям, с помощью которых выполним

сравнение распределений температуры и абсолютного значения напряженности электрического поля в рассматриваемом слое, выполненном из различных полимерных материалов.

Пусть плоский слой полимерного диэлектрика имеет постоянную толщину h. Тогда в случае однородных условий теплообмена на каждой из двух ограничивающих этот слой плоских поверхностях установившееся распределение температуры Т(z) будет одномерным, зависящим лишь от одной координаты z7 отсчитываемой в направлении нормали к поверхностям слоя. Мощность объемного энерговыделения, обусловленная переходом части электрической энергии в джоулеву теплоту, при постоянном напряжении равна [59]

qv(Т, С) = (Е(с))2МТ), (5.1)

где Е ^ 0 — модуль вектора напряженности электрического поля, р — зависящее от температуры электросопротивление диэлектрика при постоянном напряжении. При постоянном напряжении абсолютное значение плотности электрического тока, проходящего через фрагмент рассматриваемого слоя диэлектрика, равно

3 = Е (С )/р(Т) = const. (5.2)

С учетом соотношений (5.1) и (5.2) распределение температуры будет удовлетворять нелинейному дифференциальному уравнению [49]

i (а(т ) ^) + №)2Р(Т ) = ° (5.3)

где ( = z/h А - зависящий от температуры коэффициент теплопроводности диэлектрика.

Коэффициент теплопроводности полимерных диэлектриков, как правило, возрастает с увеличение температуры и существенно зависит от их микроструктуры, которая, в свою очередь, может изменяться с изменением температуры. В случае аморфной структуры, соответствующей хаотическому расположению макромолекул полимера, коэффициент теплопроводности обычно имеет наименьшее значение и растет по мере упорядочивания рас-

положения макромолекул, связанного с некоторым повышением плотности полимера и характеризуемого степенью его кристалличности [151,332].

На Рис. 5.1 для некоторых полимерных материалов, которые применяют в качестве диэлектриков, представлены зависящие от температуры границы изменения коэффициента теплопроводности при переходе от аморфной структуры (нижняя граница) к структуре с наибольшей плотностью (верхняя граница) [151,332]. Для полипиромеллитимида (позиция!) приведенные кривые не связаны с особенностями структуры полимера и относятся к различным модификациям производимого компанией Du Pont (США) материала с промышленной маркой каптон (нижняя кривая — Kapton H, а верхняя — Kapton HN [328]). Остальные материалы также наряду с названиями, определяемыми химическим составом, имеют и различные промышленные марки: например, 2 — дакрон, лавсан, майлар, 3 — фторопласт-3, 4 ~ макролон, мерлон, 5 фтороплист-4. тефлон.

На Рис. 5.2 приведены экспериментально полученные зависимости от температуры коэффициента теплопроводности политетрафторэтилена различной плотности 7 [332] (от значения 7* = 2000 кг/3, соответствующего аморфной структуре, до наибольшего значения7* = 2300 кг/м3). Для промежуточных значений плотности 7 полимерного диэлектрика его коэффициент теплопроводности при фиксированной температуре рекомендовано оценивать по формуле [151] Л = Л* + (Л* — Л*)(7 — 7*)/(7* — 7о), где А* и А* — нижнее и верхнее значения этого коэффициента при плотности полимера 7* и 7* соответственно. Представленные на Рис. 5.2 для сравнения результаты расчетов по этой формуле достаточно хорошо согласуются с экспериментальными

3

степени достигнуто совпадение для плотности 7* = 2100 кг/м3, а в остальных случаях при некоторых значениях температуры отклонения от экспериментальных данных оказались более существенными.

На Рис. 5.3 для всех пяти выше упомянутых полимерных материалов с использованием данных из работы [332] представлены зависимости от температуры десятичного логарифма отношения р/р*, где р*, Ом-м — значение

Рис. 5.1. Верхняя и нижняя границы изменения с температурой коэффициента теплопроводности некоторых полимерных материалов: 1 полипиромеллитимид; 2 полиэтилентерефталат; 3 полихлорт-рифторэтилен; 4 поликарбонат; 5 политетрафторэтилен

1

2

3

4

2000 2050 2100 2140

5

6 7 5

2180 2200 2250 2300

Рис. 5.2. Зависимость от температуры коэффициента теплопроводности политетрафторэтилена при различных значениях плотности (в кг/м3)

электросопротивления при температуре Т = 300 К для каждого из материалов: 1016 — полипиромеллитимид, 1,58 • 1015 — полиэтилентерефталат, 6,31 • 1016 — полихлортрифторэтилен, 3,16 • 1014 — поликарбонат, 1017 — политетрафторэтилен.

1е(р/р*)

о

-2 -4 -6

-8

-10

V ч \ ■

) 4 4

\ Ч- 4 \ Ч к ""\ ч

\ ч \ ч V

\ \ ^ ч

\ \ ч 'ч

з- ^ . ч \ ч

ч 14

ч

300 400 500 Г, К

Рис. 5.3. Зависимость от температуры электросопротивления некоторых полимерных материалов (обозначения кривых идентичны с Рис. 5.1)

Поверхность слоя диэлектрика с координатой ( = 0 примем идеально теплоизолированной, а на охлаждаемой противоположной поверхности слоя при ( = 1 зададим температуру Т!} т. е.

с1Т (()

Х(Т)

<К

= 0, Т (1) = Ть (5.4)

С=0

Потенциал электрического поля при ( = 0 положим равным нулю, а абсолютное значение потенциала на противоположной поверхности обозначим через и\. Ясно, что сформулированные условия применимы и к слою диэлектрика удвоенной толщины с абсолютным значением 2А разности потенциалов и заданными значениями Т\ температуры на обеих поверхностях такого слоя.

В силу нелинейности уравнения (5.3) его решение с граничными условиями (5.4) не удается представить в аналитической форме разрешенным относительно функции Т((). Однако при известных зависимостях Х(Т) и р(Т) можно построить интегральные соотношения, связывающие эти зависимости с искомым распределением температуры в слое диэлектрика.

Подстановка Х(Т) ¿Т(()/((( = р позволяет для уравнения (5.3) записать первый интеграл

2 т х(т) ¿Т^) = С - 20Н)2 ! Х(Т')р(Т') (Т'.

Тх

Обозначив через Т0 неизвестное значение температуры на идеально теплоизолированной поверхности слоя диэлектрика и использовав граничное условие па этой поверхности в виде первого равенства (5.4) найдем константу Сх, и после подстановки ее в первый интеграл получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

/Тс \ 1/2

■(Т) ^ = 21 А(Т')р(Т') (Т^ . (5.5)

Исходя из физического смысла задачи левая часть уравнения (5.5) неположительна [49]. Поэтому в правой части этого уравнения следует выбрать

С2

получаем соотношение

Т , Тс ч -1/2

1 - С = 1! и ! Х(Т'')р(Т'') (Т'' | Х(Т') (Т'. (5.6)

тх ^ Т' '

В формулу (5.6) входят неизвестные значения у и Т0. В рассматриваемом слое диэлектрика потери в единицу времени электрической энергии в виде джоулевой теплоты, приходящиеся на единицу площади поверхности слоя, равны ]их. Поэтому с учетом формулы (5.5) можно записать

/ тс \ 1/2

Л/ЛТ1Ч(Т (0 "

-Х(Т) ^

(С

^ ^2 У*Х(Т)р(Т)(Т^ = зЪих.

Т\

Отсюда следует интегральное соотношение

Тс

2

и22 = 2 ^ Х(Т)р(Т) (Т, (5.7)

Тх

устанавливающее связь функций Х(Т) и р(Т) и искомой температуры То со значением и1.

После вычисления из соотношения (5.7) значения То, положив в формуле (5.6) ( = 0 и Т = То, можно найти значение произведения^:

Т0 , То ч -1/2

Зк = I [21 А(Т' )р(Т') йГ | Х(Т) (1Т = / (То) (5.8)

т1 ^ т '

и затем получить интегральное соотношение

Т (С) , То . -1/2

1 - С = I ¡21 Х(Т")р(Т") ЗтЛ Х(Т') <!Т', (5.9)

т1 ^ Т' '

определяющее распределение Т(() температуры по толщине слоя диэлектрика.

При выбранном значении Т1 = 300 К на Рис. 5.4 в полулогарифмических координатах приведены рассчитанные с использованием интегрального соотношения (5.7) графики, иллюстрирующие связь значения и1 с температурой То на идеально теплоизолированной поверхности слоя диэлектрика из различных полимерных материалов (для полипиромеллитимида, полиэти-лентерефталата и полихлортрифторэтилена при проведении расчетов зависимости Х(Т) коэффициента теплопроводности от температуры (см. Рис. 5.1) экстраполированы до значения Т = 400 К). Для каждого из пяти рассмотренных материалов при Т > 400 К соответствующее значение и1 можно принять постоянным. В случае политетрафторэтилена (позиция 5) это допущение справедливо уже при Т > 350 К. Следует отметить, что с уменьшением температуры Т1 охлаждаемой поверхности слоя диэлектика для всех рассмотренных полимерных материалов значения и1 возрастают (Рис. 5.5).

Выбрав для всех рассматриваемых полимерных материалов одинаковые значения Т1 = 300 К и То = 400 К, проведем сравнение распределений температуры в слое диэлектрика. На Рис. 5.6 приведены графики зависимости Т((), рассчитанные с использованием интегрального соотношения (5.9). При этом для каждого из материалов учтен указанный выше диапазон изменения с температурой коэффициента теплопроводности. Но для всех рас-

300 340 380 420

Рис. 5.4. Взаимосвязь температуры Т0 идеально теплоизолированной поверхности слоя диэлектрика из различных полимерных матери-

и1

Т2 = 300 К температуры охлаждаемой поверхности слоя (обозначения кривых идентичны с Рис. 5.1)

иъ мв

2000 1000: 500^

200| 100s 50i

20 Ш

—©— ■ь- \ 5 -©-

—fr ____ J -

/ I ~

Ii /

l/y

i " f 2 4

: f ■ i -i

i // 1 и

1

300 340 380 420 Т0,К

Рис. 5.5. Взаимосвязь температуры Т0 идеально теплоизолированной поверхности слоя диэлектрика из различных полимерных материалов и электрического потенциала U1 при заданном значении Ti = 280 К температуры охлаждаемой поверхности слоя (обозначения кривых идентичны с Рис. 5.1)

смотренных материалов различие в распределениях температуры, соответствующих двум предельным зависимостям Х(Т) (см. Рис.5.1), не превышает значения 0,005(То — Т1) при ( < 0,999. Поэтому эти распределения, относящиеся к фиксированному материалу, представлены на Рис. 5.6 одним общим графиком.

Наиболее неравномерным является распределение температуры по толщине слоя политетрафторэтилена, что связано с наибольшим изменением в принятом интервале температур электросопротивления (согласно Рис. 5.3, почти на четыре порядка). Для поликарбоната электросопротивление изменяется всего в 10 раз, что приводит к более пологому изменению температуры по толщине слоя из этого материала.

Рассчитанные зависимости Т(() позволяют найти распределение по толщине слоя диэлектрика абсолютного значения напряженности электрического поля. Использовав формулы (5.2) и (5.8), запишем

)=Иг гтр(т (С>)=Ш) ><т >).

На Рис. 5.7 [273] в полулогарифмических координатах представлены графики зависимости Е*(() для всех рассматриваемых полимерных материалов при выбранных значениях Т1 = 300 К и То = 400 К. Наиболее неравномерное распределение напряженности возникает в слое политетрафторэтилена: нижней границе коэффициента теплопроводности отвечают значенияЕ*(0) ~ 0,0050 и Е*(1) ~ 250,4 (кривая 5 с темными кружками), а его верхней границе — Е*(0) ~ 0,0052 и Е*(1) ~ 262, 2 (кривая 5 со светлыми кружками). Основной причиной такой неравномерности является отмеченное выше для этого материала существенное изменение электросопротивления в указанном интервале температур.

Влияние на распределение напряженности изменения зависимости коэффициента теплопроводности от температуры наиболее существенно для слоя из полихлортрифторэтилена: для нижней границы Е*(0) ~ 0,0709 и Е*(1) ~ 17,80, а для верхней границы — Е*(0) ~ 0, 0786 и Е*(1) ~ 19, 7. В случае остальных трех полимерных материалов это влияние несуществен-

но и для каждого из них зависимости Е*(() изображены на Рис. 5.7 [273] одним общим графиком. Наименьшим изменение напряженности электрического поля является в слое из поликарбоната: Е*(0) « 0, 326 и Е*(1) « 3.27, что также связано со сравнительно малым изменением электросопротивления в рассматриваемом интервале температур.

ДО, к

400 380 360 340 320 300

О? 2 3 /

N >>-N Ч 5

\ 4 N \ Ч \ \ \

\ 1 V %

1 »\ % Л) ► 1 1

\\ * 1 \ \ ■ \ >

А V' • 11 * »1

V. V-' ;

V 1

X

0 0,2 0,4 0,6 0,8 С,

Рис. 5.6. Распределение температуры по толщине слоя диэлектрика из различных полимерных материалов (обозначения кривых идентичны с Рис. 5.1)

Учет конвективного теплообмена. Проанализируем температурное состояние диэлектрика в случае учета конвективного теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру Т*, интенсивность которого определяет коэффициент теплообмена«, на одной из поверхностей плоского слоя. Вместо соотношений (5.4) запишем граничные условия в виде

(1Т (о

Т (0) = То, Л (Т)

= « (Т*-Тх) к, (5.10)

е=1

где Т1 = Т(1). Тогда вместо соотношения (5.5) будем иметь

Т-1 ч 1/2

I , ч 2

- = + I г\(Т* —Тл ) 1 + 21

( 2 ТХ \ Л(Т) ^ = ±к (а(Т* - Т1)) 2 + 2/ У Т(Т') <!Т'

(5.11)

Рис. 5.7. Распределение абсолютного значения напряженности электрического поля по толщине слоя диэлектрика из различных полимерных материалов (обозначения кривых идентичны с Рис. 5.1)

Соотношение (5.11) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, но выбор знака в его правой части не является однозначным и зависит от условий теплообмена на поверхности слоя при^ = 1. Более того, производная с1Т/г1^ при некоторых условиях может изменять знак в пределах интервала (0; 1). Из уравнения (5.2) следует, что левая часть равенства (5.11) монотонно убывает в этом интервале, но при этом функция Т(£) может не только монотонно убывать или возрастать, но и достигать в пределах этого интервала максимума в точке £ = при смене в окрестности этой точки положительного значения производной с1Т/г1^ на отрицательное.

Внести определенность в дальнейший ход решения задачи можно путем сведения задачи к предыдущей, т.е. условной замены второго граничного условия (5.10) условием идеальной теплоизоляции поверхности слоя при £ = 1. Тогда связь постоянной разности электрических потенциалов и* > 0 на поверхностях слоя с температурой Т1 на идеально теплоизолированной

поверхности по аналогии с (5.6) будет определять соотношения

( 7 \1/2

и, = (Т )<1Т\ , (5.12)

То

> 0 ЧТО ПРИ условии и* = СОПв1

е=1

Если Т* > Т°0, то в слой диэлектрика будет поступать тепловой поток от окружающей среды, т. е. Т* > Т1 и ¿Т/¿^

приведет к некоторому возрастанию положительной производной (ТТ/З^

е=о

Наоборот, в случае Т* < Т-0 окружающая среда будет охлаждать слой диэлектрика, т.е. Т* <Т1ж (ТТ/сЩ < 0. Таким образом, условное значение Т* = ТО температуры окружающей среды определяет уровень, превышение которого при Т* > Т* гарантирует положительность левой части уравнения

Значение Т* температуры окружающей среды, которое при выполнении условия Т* < Т* гарантирует монотонное убывание функции Т(£) в интервале (0; 1), можно определить, положив в уравнении (5.11) Т* = Т*, Т = То и (1Т/(1£ = 0. Выполнение последнего равенства при монотонном

е=о

убывании в этом интервале производной ЗТ/г!^ обеспечивает ее отрицательное значение в пределах всего интервала. Тогда из уравнения (5.11) получим

То \ 1/2

аЮ-Т* ) = ^2 (Т )ёт\

\ Т1* /

Т*

где Т* — температура поверхности слоя при £ = 1 и температуре Т* окружающей среды.

Поскольку поверхность слоя с заданной температурой Т0 является одновременно и идеально теплоизолированной, справедливо равенство

( Т0 \1/2

и* =12/^ (Т) <1Т\ , (5.13)

\ т * ^

аналогичное равенству (5.12) и однозначно определяющее температуру Т*. Из двух последних формул находим ] = а(Т* — Т*)/и*. Для вычисления

значения Т* необходимо еще одно условие, следующее из решения уравнения (5.11), применительно к рассматриваемой ситуации принимающего вид

т ч 1/2

а(Т) "Т = -«(Т* - Т;1 - 4 i р(Т')

т*

I1 - А/р(ТО'т')

\ гр* /

После интегрирования и определения константы из условия Т(0) = Т0 получим

То , т V -1/2

«(Т* - т;)п 1п ^ = I М - Ц2 / Р(Т') 'ТЧ Л(Т) 'Т. (5.14)

Т(г) ^ * Т* '

Отсюда, положив £ = 1 и Т (1) = Т* при известном значении Т* находим температуру Т**.

При Т* ^ Т; левая часть уравнении (5.11) будет отрицательной во всем интервале (0; 1) а при Т* < Т* < Т* происходит смена знака производной т.е. 'Т/'£ = 0 в некоторой точке £ (0; 1), в которой функция Т(£) принимает максимальное значениеТ (£*)• Это обстоятельство в значительной степени усложняет последующее решение задачи.

Последующая процедура решения задачи зависит от результата сравне-

Т*

но вычисленными значениями Т* = и Т*. Если Т* ^ Т^, то в правой части соотношения (5.11) следует выбрать знак "плюс" и после интегрирования и определения константы из условия Т(0) = Т0 записать

77 2 т \-1/2

К =У ((«(Т *-Т)) + 2^,2 у Р (Т') 'ТМ Л(Т) 'Т, (5.15)

Т" \ Т1 /

То 4 т

причем в частном случае Т* = Т* в этой формуле нужно положить Т1 = Т*

и

ЛТ1* ЛТ1*

ТР / ТР \ -1/2

р / р \ Д2/Р (Т ')'Т')

7~> \ гр /

; = 1/^/Р СИТ') Л(Т )'Т. (5.16)

то т

При строгом неравенстве Т* > Т* приравняв произведение ^'Ц* разности тепловых потоков, отводимого через поверхность при£ = 0 и подводимого

через поверхность при £ = 1, получим

Т \ 1/2

3 и* = | [а(Т *—Т1))2 + ° * Г

I 2 Т V

(а(Т* — 7\)) + 2]2 Т(Т) ¿Т\ — а(Т* — 7\).

То

Отсюда следует

( т \ —1

^ХШТ'^^^Т— ^ , (5.17)

То

а(Т * —Т^ =

т(О , Т —2 Т . —1/2

J М+8 ^2JF(Т)ЗТ — и^ JF(Т')йТ'\ Х(Т)ЗТ. (5.18)

То То Т

Это соотношение дает возможность сначала вычислить значение Т1? положив = 1 и Т(£) = Т1? а затем рассчитать распределение Т(£) температуры по толщине слоя диэлектрика.

Если Т* ^ Т*, то функцня Т(£) монотонно убывает в интервале (0; 1). В частном случае Т* = Т* эту функцию после вычисления значения Т1 из равенства (5.13) однозначно определяет соотношение (5.14). При строгом неравенстве Т* > Т* после выбора в уравнении знака "минус", интегрирования и определения константы из условия Т(0) = Т0 вместо формулы (5.14) получим

То ( 2 Т \

К = I ((«№ — Т*))2 — (Т')ЯГ'\

То , Т ч —1/2

\ 2 Г \

о,2 I 77х(Т)ёТ. (5.19)

по 4 Т

Применение соотношения (5.19) для нахождения распределения Т(£) температуры в слое диэлектрика также требует предварительного вычисления значений Т1 и ] из двух независимых равенств. Первое такое равенство следует из этого соотношения при Т(£) = Т1 и £ = 1, а второе — из равенства произведения ¿и* разности тепловых потоков, отводимого через поверхность

при £ = 1 и подводимого через поверхность при £ = 0:

Тс ч 1/2

^(«(Т - Т*})2 - 2/ у* Р(Т) ^

= а(Т1 -Т*) - | ЫТ1 ^

П

Отсюда находим

/ Тс \ -1

, = 2,.«(Т1 + 2/™т , (5,0)

\ /

а(Т1 -Т =

Тс / Тс _2 Т ч -1/2

= У м - 8 г7*2(7*2 + (Т) ^ У Р (Т')йТЧ А(Т )ЙТ. (5.21)

Т1

Т( ) = Т1 = 1 Т( )

щине слоя диэлектрика.

При выполнении неравенства Т* < Т* < Тр* расчет немонотонного рас-Т( )

ным. Сначала в силу условия = 0 при ^ € (0; £*) интегрированием

уравнения

/ т* \ 1/2 А(Т) ^ = ^(Т')^Т^ , (5.22)

определив константу из условия Т(0) = То, получим

/ т* \ -1/2 ^ ^ / (2^/Р (Т') ^ТЧ А(Т)^Т, ^ [0;&]. (5.23)

тс ^ т '

При £ > в уравнении (5.11) следует выбрать знак "минус" и после инте-

грирования и нахождения константы из условия Т (1) = Т1 записать

М1 — 0 =

Щ) , т ч —1/2

I ( («№ — Т*))2 — 2?! Т(Т') (А Л(Т) (Т, £ е К*; 1]. (5.24)

тг \ тг /

ТТ

Положив в формулах (5.23) и (5.24) Т(£) = Т* и ^ = после почленного сложения этих формул получим

т* / т* \ —1/2 К = ^2j2 Т(Т') (Т' Х(Т) (Т+

Т"! \ Т1 /

То Т

Т* , Т V —1/2

+ У | (а(Т1 — Т*))2 — 2/У Т(Т')1Т'| Л(Т)(1Т. (5.25)

тг \ тг /

ТТ