Теплопроводность в дробном исчислении: приложения к нестационарным методам определения теплофизических характеристик веществ и к задаче Стефана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат технических наук Шабанова, Муминат Руслановна

• Шабанова, Муминат Руслановна
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шабанова, Муминат Руслановна

Введение.

ГЛАВА I. Современное состояние математической теории теплопроводности и нестационарных методов определения теплофизических характеристик веществ.

§1.1 Уравнение теплопроводности на основе принципа локального равновесия.

§ 1.2 Уравнение теплопроводности на основе принципа локального неравновия.

§ 1.3 Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка.

§1.4 Нестационарные методы определения температуропроводности.

ГЛАВА II. Нелокальное уравнение теплопроводности-в дробном исчислении.

§2.1 Математическая модель нелокального переноса тепла для неограниченной прямой.

§2.2 Математическая модель нелокального переноса тепла на полуограниченной прямой.

§2.3 Определение температуропроводности и параметров нелокальности по экспериментальным данным нестационарных методов измерения температуры.

ГЛАВА III. Нелокальное уравнение теплопроводности для задачи без начальных условий.

§3.1 Классическая задача без начальных условий.

§3.2 Математическая модель нелокального переноса тепла для задачи без начальных условий.

§3.3 Определение температуропроводности по экспериментальным данным распределения температуры в поверхностных слоях земли.

ГЛАВА IV. Математическая модель задачи Стефана в дробном исчислении.

§4.1 Классическая задача Стефана.

§4.2 Математическая модель нелокальной задачи Стефана.

§4.3 Аномальные решения задачи Стефана в дробном исчислении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теплопроводность в дробном исчислении: приложения к нестационарным методам определения теплофизических характеристик веществ и к задаче Стефана»

Актуальность темы. Современные технологии создали вещества с нано - и фрактальной структурой с принципиально новыми свойствами, нашедшие широкое применение в энергетических системах, строительстве, медицине и, в целом, народном хозяйстве. Теплофизические характеристики таких веществ имеют определяющее значение при их использовании на практике. Все более востребованными становятся нестационарные методы измерения и контроля теплофизических характеристик веществ. Обработка результатов нестационарных методов измерения теплофизических параметров требует развития фундаментальных аспектов теории теплопроводности с учетом сложной природы явлений тепломассопереноса в гетерофазных системах. Одним из фундаментальных аспектов исследования явлений тепломассопереноса в сложных системах является учет нелокальных эффектов таких,, как нелокальность по времени (эффект памяти) и нелокальность по координате (эффект пространственных корреляций).

Фундаментальной ф* зической причиной необходимости учета нелокальных эффектов в гетерофазных системах является сложная природа спектра характерных времен релаксаций неравновесного состояния к равновесному состоянию, приводящая к медленной релаксации корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения од-ночастичных функций распределения. В результате нарушаются условия выполнения принципа локального равновесия, традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся непригодными, поэтому необходимо исходить из принципа локального неравновесия. Исследование неравновесных процессов в условиях принципа локального неравновесия приводит к необходимости учета эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (нелокальность по координате) и развития принципиально новых методов анализа, основанных на применении математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка - дробного исчисления.

Учет нелокальных эффектов в традиционном подходе осуществляется обобщением закона Фурье, содержащим интегральный оператор. В результате получается традиционное нелокальное уравнение теплопроводности. Для решения такого уравнения необходимо использовать определенные приближения для ядра интегрального оператора. Для решения таких уравнений интегральные операторы представляются в виде ряда дифференциальных операторов с возрастающим показателем порядка дифференцирования и, при наличии малого параметра, ограничиваются несколькими членами ряда. В отсутствие малого параметра такой подход оказывается непродуктивным, кроме того, полученные уравнения не всегда удается решать.

Операция дифференцирования дробного порядка, представляя определенное сочетание операций дифференцирования и интегрирования, открывает новый подход к теории нелокальных дифференциальных уравнений, позволяет по-новому понять динамику соотношения обратимых и необратимых процессов, когда существенен учет нелокальных свойств системы. Дробное исчисление, внося в< теорию дополнительные параметры в виде показателей производных дробного порядка, дает возможность использования широкого класса многопараметрических функций и открывает, тем самым, принципиально новые возможности интерпретации экспериментальных данных и создания адекватных количественных моделей процессов нелокального переноса. В этой связи развитие математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка как фундаментальной основы исследования процессов нелокального переноса и его приложений для определения теплофизических параметров по результатам нестационарных методов измерения пространственно — временного распределения температуры стало актуальным направлением современного естествознания.

Математический аппарат интегродифференцирования дробного порядка имеет давнюю историю, однако его интенсивное развитие началось с развития концепции фрактала, которая потребовала разработки математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка как фундаментальной математической основы физики фракталов. Существенный вклад в развитие дробного исчисления и его прикладных аспектов внесли работы Нахушева A.M. [55,56], Нахушевой В.А. [57], Псху A.B. [64], Чукбара К.В. [87], Сербиной Л.И. [70,71], Потапова A.A. [61], Учайкина В.В. [77], Самко С.Г., Килбаса A.A., Маричева О.И. [69], Мейланова Р.П. [34-37], Mainardi F., Gorenflo R. [109], Mainardi F., Luchko Y., Pagnini G. [110], Kilbas A.A., Srivastava H.M., Tmjillo JJ. [103], Podlubny I. [120]. В настоящее время для решения дифференциальных уравнений дробного порядка используются как аналитические, так и численные методы [6,8,26].

Повышенный интерес к развитию нестационарных методов определения теплофизических характеристик веществ вызван рядом обстоятельств. Прежде всего, тем, что оптимальное использование веществ в современных энергетических системах привело к дальнейшему усовершенствованию методов неразру-шающего контроля теплофизических характеристик веществ в режиме их эксплуатации. Кроме того, обработка результатов измерения теплофизических характеристик веществ на основе нестационарных методов измерения распределения температуры требует развития фундаментальных основ теории теплопроводности с учетом нелокальных эффектов по времени и пространству.

В развитие нестационарных методов измерения теплофизических параметров и его приложений к разработке неразрушающего контроля теплофизических характеристик веществ существенный вклад внесли работы Тихонова А.Н., Самарского A.A. [76], Лыкова А.В.[30,31], Карслоу Г.С., [22,23], Карта-шова Е.М. [24], Вавилова В.П.[9,10], Власова В.В.[11-13], Филиппова Л.П., [81],

Филиппова П.И., Тимофеева A.M. [82]; Фокина В.М., Чернышова В.Н. [83], Фролова Н.М.[85] и др.

Таким образом, развитие математических основ нелокальной теории теплопроводности на основе дробного исчисления и его приложений к нестационарным методам определения теплофизических характеристик веществ является актуальной задачей.

Основные задачи, решаемые в работе:

- получить фундаментальные решения нелокальных уравнений теплопроводности на основе математичеЬкого аппарата дробного исчисления;

- исследовать влияние нелокальности по времени и координате на распределение температуры при рассмотрении диффузионного и конвективного'механизмов переноса тепла;

- разработать метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по времени и координате на основе решения нелокального уравнения теплопроводности и экспериментальных данных нестационарных методов определения распределения температуры; •

- разработать математическую модель нелокального переноса тепла на основе дробного исчисления для задачи без начальных условий и его приложения к определению температурных волн в полуограниченных средах;

- на основе математического аппарата дробного исчисления разработать математическую модель задачи Стефана и приложить ее к системе вода — лед.

Научная новизна работы: 1. Разработаны математические модели диффузионного и конвективного переноса тепла на основе нелокального уравнения .теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате и изучены особенности переноса тепла для случаев неограниченной и полуограниченной прямых.

2. Получены фундаментальные закономерности распределения температуры в зависимости от показателей производных дробного порядка по времени и координате.

3. Разработан метод определения температуропроводности и параметров нелокальности по времени т координате на основе решений нелокального уравнения теплопроводности и экспериментальных данных нестационарного метода-определения теплофизических-характеристик веществ.

4. На- основе уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени разработана математическая модель нелокального переноса тепла для задачи без начальных условий;

5. Установлена, зависимость характерных значений глубины проникновения и времени запаздывания; температурных волн в поверхностных слоях земли от параметра нелокальности по времени.

6: Предложена обобщенная модель задачи; Стефана, на основе нелокального уравнения теплопроводности в производных дробного порядка и на ее основе получена новая зависимость координаты межфазной границы от времени и параметров нелокальности повремени и координате;

7., Обнаружена область аномальной зависимости координаты. межфазноЙЕ границы от параметров нелокальности по времени и координате.

Апробация работы; Основные положения и выводы. диссертации были обсуждены на научных семинарах УРАН «ИПГ ДНЦ» и были предметом обсуждения на следующих научных мероприятиях:

1. XIV международная конференция по химической термодинамике. С.Петербург, 2002. , ' ;

2. Международная конференция «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». Махачкала, 2005.

3. Школа молодых ученых «Актуальные проблемы, освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала, 2006.

4. Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2007.

5. Российская заочная конференция «Современные наукоемкие технологии». Москва, 2007:

6. Школа; молодых ученых «Актуальные проблемы освоениям возобновляемых энергоресурсов».Махачкала, 2008.

7. Международный Российско-Абхазский симпозиум. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа: и информатики»; Нальчик-Эльбрус, 2009. . .

8. Всероссийская научная; конференция с международным: участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2010.

9. Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 2010.

10. II Международная: конференция «Возобновляемая энергетика: Проблемы и перспективы»: Махачкала; 2010:

1 Г. I Всероссийская конференция молодых, ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов; родственные проблемыанализа^и информатики». Кабардино-Балкарская республика, пос: Терскол, 2010: ;'.'.■. 12. II Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения' смешанного типа и родственные проблемы; анализа и информатики». Кабардино-Балкарская республика, Нальчик, 2011. ,

Основное.содержание диссертации опубликовано в работах [2,7,8,38-53,88-90].

Первая глава посвящена изложению современного состояния математической теории теплопроводности. В основе анализа лежит классификация уравнений теплопроводности с позиций принципов неравновесною термодинамики - принципов локального равновесия и локального неравновесия. Кратко изложены существующие подходы в теории теплопроводности. Отмечается, что традиционный подход учета нелокальных свойств с помощью интегрального оператора имеет принципиальные трудности при практическом применении. Новым этапом развития математических основ теории теплопроводности стала теория нелокальных уравнений теплопроводности на основе математического аппарата интегродифферегцирования дробного порядка — дробного исчисления. Изложены необходимые сведения теории дробного исчисления. Приведеются при решении нелокальных уравнений теплопроводности в производных дробного порядка. Излагается современное состояние уравнений теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате и отмечены нерешенные задачи. Дается анализ современного состояния нестационарных методов определения теплофизических характеристик веществ. Исследование явлений тепломассопереноса в новых веществах, имеющих нано - и фрактальную структуру, требует привлечения нелокальных уравнений, учитывающих эффекты памяти и пространственные корреляции. Обработка данных нестационарных методов определения теплофизических характеристик, а также развитие неразрушающих методов контроля теплофизических характеристик требуют проведения исследований фундаментальных аспектов математической, теории нелокальной теплопроводности.

Вторая глава посвящена разработке математической модели нелокального переноса тепла на основе уравнений теплопроводности в производных дробного порядка. Рассматривается уравнение с учетом диффузионного и конвективного переноса ны результаты исследования свойств производных Рисса, которые использу

05Т

Э"ТЫ

Здесь - производная дробного порядка по времени (производная ер ч о у

Капуто), и - производные по координате (производные Рисса).

Для задачи Коши получено решение

- СО 00 / \

00 —00 со С"х"а где еа, (~0са) = У (-1)" - - функция Миттаг-Леффлера, т(^,0) - начальное о г(ап +1) условие для температуры. Дается анализ полученного решения. Рассмотрены различные случаи начального распределения температуры. В случае дельта -источника, когда т(#,о) = из (2) получаем

3)

271 0

В частном случае, полагая в (3) а = 1, имеем т 1 о

7Г

-р СО

Г(4,т)= \dkcos\kt, - К&ут))ехр(-£>£рт). (4) тг »

Далее, полагая в (4) р = 2, у = 1 получим решение

-ехр

К 4£>т л/фкОт

Это решение при v = О совпадает с известным решением [76] . Если же в (4) положить у = 1 и Р —> 1, получим новое решение

7Г )2+(1)х)2 •

Выяснено влияние учета нелокальности по времени и координате на распределение температуры, как при отсутствии, так и при наличии конвекции. Установлено, что характер распределения температуры в начальные моменты времени при учете нелокальности по времени определяется соотношением между характерным временем т^ =4/7гО и временем т. На асимптотическое поведение распределения температуры влияет учет нелокальности по координате. Исследовано влияние нелокальных эффектов на распределение температуры для начального условия Щ,0) = Г0[1-#(£)], где #(£) - функция Хевисайда. Решение определяется выражением гп 00 со

Т&г) = + ОКл (- - № К )+ ехр(/&(% + (- +№)та)]. (5) о о

В случае отсутствия конвекции, когда v = 0 решение (5) принимает вид Т о 7С гр 00 ос т) = ^ | + (- ). о о

Отсюда при а = 1, (3 = 2 имеем 4

2л/От

Здесь = -|=г}ехр(-г2)Л - интеграл вероятностей. Для случая а = 1,р

71 о получим

-и

1 2 (О

71 У От У

Для данной задачи также существует характерное время хх~л[п/0, определяющее различное поведение распределения температуры в окрестности начала координат. При учете конвекции для случая а = 1 решение (5) принимает вид Т о

71 оо оо т) = ^ | | + - ¥тку ))ехр(- Вхкр ) (6) о о

Отсюда для Р = 2, у = 1 получаем решение, совпадающее с ранее известным решением [78]

Т(£т) =

2 2л]От

Тут-г'

Полагая в (6) а = 1, (3 —> 1, у = 1, получаем новый класс решений

Т(£г)->

Тп 2 "

1--—) л их 2

1Н—агсШ—7==) п 24Вт

Л<Ут•

Как и в предыдущих случаях, качественный характер влияния нелокальных эффектов на распределения температуры определяется соотношением между временем х и характерным временем тх, определяемое соотношением

• \1Хх 1 V

2 л/£> я £>

В параграфе 2.2 рассмотрена задача для полупространства без учета конвективного члена переноса тепла и, используя принцип Дюамеля, получено общее решение

2 л г\ ои ао

Щ, г) = -1 ¿к | У (<Г) ) зт(к?)ЕаЛ (-Пкрта ) о о

2П

ОО т п о - кх~р 71 о о К

7) где ЦСО - заданные граничное и начальное условия. Решение (7) в частных случаях совпадает с известными традиционными решениями. Для сравнения полученного решения с известными решениями рассмотрен случай, когда граничное условие постоянное: /л(т)=Т0. Полагая а = 1,р = 2, получено решение, совпадающее с ранее известными решениями [76,78]:

1 со г ехр

4 Dt

2 Л ехр v

Gf + <T)

4Z)r

2 V

7;

1-ег/ Г V у V i4D )

1 х

Здесь erf (х) = —¡= [ехр{-z2)dz - интеграл вероятностей. Для случая а = 1, р -> 1 поv Я" о лучен новый класс решении

Вт Ит 1 Г0

2 Г £ VI arctgl

1--arctg

V л- ^Гуу

Асимптотическое поведен! е полученных решений меняется от экспоненциального до степенного характера. Далее рассмотрен практически важный случай, когда 1|/(£') = Т0, //(г) =Т0 и получено решение

Т& т) = Г0 + — (Т0 (8) п I к '

При а = 1, р = 2 решение (8) дает т) = Г0 + (Г0 - Т0 )ег/(—5 что совпадает с традиционным решением [31]. При а = 1,(3 = 1 имеем новое решение

ПЪ 1) = Г0+ (Т0 - Т0 .

Вт

В остальных случаях (0 < а < 1,1 < р < 2) имеем новый класс решений.

В §2.3 предлагается метод расчета температуропроводности на основе экспериментальные данных по определению распределения температуры для полимерного материала - полиметилметакрилат (ПММК, орг. стекло) полученных в работах [11 - 13]. Метод расчета заключается в определении значений безразмерной температуропроводности, параметров нелокальности а и (3. Для» расчета использовалась формула? = т0 +—(т0-т0)\с1к-—,(-£>&рта).

-' V ' ' ; • ; ■■ о- к '

Подставляя заданные значений ,, и экспериментально найденного значения температуры 7X4,,т,)в эту формулу, определяем значения параметров Л. а, р. В отличие от известных методов определения температуропроводности, где используются данные нестационарных методов -определения распределения температуры, в предлагаемом методе определяется не только значения температу-. ропроводности, но и его распределение по координате. Так, значение темпера-; туропроводности у торца образца; оказывается больше, чем в объеме, которое равно а = 1.12 -10(м1 / с). При этом параметры нелокальности ? а и (5 также меняются; Предлагаемый метод анализа позволяет получить более подробную информацию о температуропроводности, определяя и неоднородность его распределения вдоль образца.

Третья; глава посвящена задаче без начальных условий, которая имеет важные прикладные аспекты и встречается при изучении процессов теплопроводности в моменты времени, удаленные от начала процесса, когда; начальное условие не влияет на распределение температуры. В §3.1 кратко изложена классическая задача без начальных условий. На основе полученного во второй главе общего решения нелокального уравнения; теплопроводности для полупрямой получено решение рассматриваемой задачи, совпадающее с известным решением [76]:

Здесь граничное условие задается в.виде Г^т)^ ц(т),41(т) - некоторая заданная функция; Рассматривая; случай1 ц(т) = т0 соз(£2т), показано, что решение имеет вид/ ■

Щ, х) = Т() ехр(-^/Ш21)) сс^Пт - . (9)

В § 3.2 рассмотрена нелокальная по времени задача без начальных условий, когда нелокальное уравнение имеет вид дта дС где нелокальная производная по времени задается в виде 1 а ¡ЖеЪь дта Т(1-а)дт1(т-гУ ■

Получено общее решение в виде

Щ, т) = — }Л ■ квт(ф ехр(-ш>г) . и ^ ¿271 О-к + (ко) со

Здесь Ф/7 (со) = / ¿/х ехр(-/ют)ф(т) . оо

В случае, когда ^(г) = 7^ соз(0 г) 5 решение принимает вид т) = Г0 ехр(- /I) • соБ^та/4))-соз(от - IО • втСяа/4)) , (10) где О - частота изменения температуры

Если а = 1, то это решение переходит в известное решение (9). Дается анализ полученного решения.

Показано, что учет эффектов памяти приводит к перенормировке характерного масштаба затухания и времени запаздывания температурных волн. Для характерного масштаба затухания температурных волн имеем I = х0 л/2 • соБ^а/Ч), где = а / со - характерный масштаб затухания при отсутствии учета эффектов памяти (а=1). Для характерного времени запаздывания температурных волн имеем: /3 = ¿0 - л/2 зт(?га/4), где 70 = л/1/(ю • а2) - характерное время запаздывания температурных волн без учета эффектов памяти. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности и параметра нелокальности = Т0 ехр(-£л/Ш2£>) • соз(ла/ 4). При а<1 характерная длина затухания увеличивается, а время запаздывания уменьшается.

В § 3.3 рассмотрены приложения задачи без начальных условий к задачам геотермии. На основе предложенного во второй главе метода определены температуропроводность поверхности земли в области до нейтрального слоя, где сказывается влияние колебаний температуры на поверхности Земли. Полученные данные удовлетворительно согласуются с ранее известными данными. В отличие от ранее известных методов, когда определяется среднее значение температуропроводности, в предлагаемом нами методе определяется зависимость температуропроводности от глубины. Пределы изменения и характер изменения температуропроводности с глубиной совпадает с результатами других авторов.

Четвертая глава посвящена обобщению известной задачи Стефана на основе нелокальных уравнений теплопроводности в производных дробного порядка. Постоянный и повышенный интерес к задаче Стефана связан с тем, что она, удачно сочетав математические и физические проблемы, охватывает широкий круг фундаментальных проблем как математики, так и физики. С точки зрения математики она представляет продуктивную модель класса нелинейных задач. С точки зрения физики задача Стефана в ее классической постановке позволяет обобщить себя, охватывая особенности подвижной области фазовых переходов. Межфазная область - это особое состояние вещества, занимающее промежуточное положение между сосуществующими фазами, физическая природа которого до сих пор до конца не понята, особенно в условиях фазового перехода. В настоящее время как математические, так и физические аспекты задачи Стефана интенсивно развиваются. В §4.1 кратко изложена классическая задача Стефана в постановке работы [76] применительно к системе вода-лед. Зависимость координаты межфазной границы от времени имеет вид:

Цт) = ат2, где константу а необходимо определить из уравнения, которое выводится из условия Стефана. Новый этап развития задачи Стефана, которому посвящен § 4.2 , связан с ее распространением на системы со сложной структурой, включая и фрактальные структуры, где возникает необходимость учета нелокальных эффектов по времени и координате. Процессы нелокального переноса тепла при этом описываются на основе дифференциальных уравнений в производных дробного порядка. Постановка задачи Стефана в производных дробного порядка задается уравнениями нелокального переноса тепла, предложенными, во второй главе и имеют вид: дт° д^ Г(1 —а)т" ~ 0<£<$(т)

11)

5%(1,х) Г, (5.0) --—' *«<#<»

Краевые условия для системы уравнений (11) определяются соотношениями

Т2(£,т) = г2 при £ = т) ла^(т)

--— = = = (12)

Здесь <9(т) - координата подвижной границы раздела фаз. Решения задачи Стефана в производных дробного порядка имеют вид:

Ф Ф л ® а г< =+ ^), о < е < .

Г,ах) - ^) + Ь-Ь 1]лЁ!®.е

Здесь

Зависимость координаты межфазной границы от времени имеет вид т) = с(а,(3)-та/р , (13) где уравнение для определения ст дается выражением (¿з-ОХ^рСД/сгР) «2-Г3)\2Ка^Р2/<уУ) = Г(1 + а/(3) 1+у К., (А / ) (1 - Fa¿ (А / ар)) Г(1- уа / р)

Здесь ек ( где им (х,у) - функция Ломмеля от двух аргументов.

Принципиальное отличие закона $(т) = а(а, Р) • та/р от ранее известных заключается в том, что &(т) зависит от двух параметров а и р. В § 4.3. приведены результаты приложения нелокальной задачи Стефана к системе вода - лед. Проведены расчеты и анализирована зависимость координаты межфазной границы при различных а и (3 .

Для определения значения функции 0(т) = а(а, Р) • та/р установим, как зависит а(а. Э) от параметров а, Р для случая системы вода-лед.

Исходя из значений параметров температура льда /, =-5°С, воды (2 = 0°С, /3=0°С, р1[Аз = 9ПЛкг/м3,Х1Ьйа -2.24Вт/м• К, дльда=330цЦж/кг, альда = 1.2-1(Г6лГ/с уравнение для определения а(а,(3) принимает вид 27.03 + ^(1,2/^) ГО - уа / (5) '

Численные значения су(сс, р) приведены в виде матрицы для нескольких значений а , р . Приведены расчетные графики зависимости координаты межфазной границы от параметров нелокальности и показано, что в области значений параметров вблизи значений а = 1 и (3 = 1 значения координаты межфазной границы аномально растут. Кроме того, из расчетов следует, что существует достаточно большая область изменения значений параметров а , р , где значения координаты межфазной границы получаются меньше, чем традиционные расчеты, что соответствует многочисленным экспериментальным и наблюдаемым значениям.

В заключение отмечаются особенности нового этапа развития теории теплопроводности на основе математического аппарата интегродифференцирова-ния дробного порядка. Главным результатом работы являются фундаментальные решения нелокального уравнения теплопроводности в дробном исчислении и приложения к расчету температуропроводности методом нестационарных измерений распределения температуры, а также обобщение задачи Стефана в дробном исчислении.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Шабанова, Муминат Руслановна

Заключение

Исследование процессов переноса тепла в веществах, создаваемых современными технологиями, обладающих фрактальной структурой или наноструктурой, где существенен учет нелокальных свойств по времени (эффект памяти) и пространству (пространственные корреляции), а также определение их теплофизических съойств требуют с одной стороны развития фундаментальных аспектов теоретической и математической физики с позиций нелокальных уравнений математической физики, с другой — совершенствования нестационарных методов измерения теплофизических параметров

Традиционное нелокальное уравнение теплопроводности содержит интегральный оператор, ядро которого несет информацию о природе нелокальности. Решение таких уравнений сведением интегрального оператора к дифференциальным операторам встречается с принципиальными трудностями.

В рамках дробного исчисления, где операция дробного дифференцирования является определенным сочетанием обычных операций интегрирования и дифференцирования, открывается новый подход к нелокальным уравнениям теплопроводности. Описание процессов переноса тепла на основе дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет естественным образом учесть пространственную и временную нелокальности Дифференциальные уравнения в производных дробного порядка имеют более широкий, зависящий от трех параметров а , р и У, класс решений. В частном случае (а = 1,/? = 2,у = 1) полученные решения совпадают с ранее известными решениями. В остальных случаях мы имеем новый класс решений, асимптотическое поведение которых качественно отличается от ранге известных решений. Важно и то, что функциональный вид полученных решений определяется значениями показателей производных дробного порядка а, р и У, которые тем самым, становятся новыми параметрами теории для интерпретации экспериментальных данных.

Наличие новых параметров нелокальности по времени и координате открывает новые возможности развития нестационарных методов определения теплофизических характеристик вещества, . в-. . частности, температуропроводности, а также других прикладных аспектов нелокальных уравнений теплопроводности.

Главным результатом работы является развитие нового подхода к нелокальным уравнениям теплопроводности и научно обоснованное решение проблемы создания ; адекватных: математических моделей; нелокального переноса, тепла: на; основе дробного • исчисления : и .их приложений к нестационарным методам определения; температуропроводности, сложных: веществ, к: задачам геотермии и задаче Стефана. Получены следующие основные результаты:

Г. Построена математическая модель нелокального переноса тепла для случаев неограниченною и. полуограниченной сред на основе: уравнения теплопроводности в производных дробного порядка по времени и координате.

2. Получено трехпараметрическое семейство решений-нелокального уравнения теплопроводности для неограниченной прямой; с учетом диффузионного; и конвективного механизмов перенора тепла., •

3. Установлено; что; учет нелокальности по времени и по пространству по разному влияют на распределение температуры вблизи источника- тепла: На асимптотическое поведение распределения температуры влияет учет нелокальности по координате.

4. Построена модель переноса тепла: для полупространства с учетом нёлокальности по времени и координате.

5. Разработан метод определения температуропроводности и параметров, нелокальности по времени и координате на основе решений, нелокального уравнения теплопроводности.

6. Получено решение задачи о бегущих температурных волнах (задача: без начальных условий):. Исследована зависимость температуропроводности и параметра нелокальности от глубины на основе данных по измерению распределения температуры в верхних слоях земли.

7. Построена математическая модель задачи Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности. Получен новый закон зависимости координаты межфазной границы от времени и от показателей производных дробного порядка по времени и координате. Для системы вода-лед установлено существование области значений параметров нелокальности, где значения координаты межфазной границы становятся аномально большими.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шабанова, Муминат Руслановна, 2011 год

1. Александров Д.В., A.A. Иванов. Задача Стефана затвердевания трехкомпонентных систем при наличии движущихся областей фазового перехода // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 135. - № 5. - С. 942-950.

2. Алхасов А.Б., Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка / / ИФЖ. 2011. - Т.84. -№2. - С. 309-317.

3. Амирханов Х.И., Суетнов В.В., Левкович P.A., Гаирбеков Х.А. Тепловой режим осадочных пород. — Махачкала, 1972. 230 с.

4. Бабенко Ю.И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена. — СПб. НПО «Профессионал», 2009. 584 с.

5. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. Гостехиздат, 1946. 120 с.

6. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой. // Фундаментальные исследования. Москва- 2007.-№12.- С. 249-251.

7. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М-Ш.А., Шабанова М.Р. Численное решение нелокального уравнения теплопроводности // II Международная конференция «Возобновляемая энергетика: Проблемы и перспективы». Махачкала . - 2010. - С. 221—225.

8. Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Численный метод решения начально-граничной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с производными дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки. 2010. №5(21). - С. 244-251.

9. Вавилов В.П. Тепловые методы неразрушающего контроля: Справочник. М.: Машиностроение, 1991. 240 с.

10. Ю.Вавилов В.П. Инфракрасная термография и тепловой контроль. — М.: ИД Спектр, 2009. 544 с.

11. Власов А.Б. Расчет эксплуатационных показателей надежности контактных соединений с помощью тепловизионного контроля // Электротехника, №8. — 2002. С. 30-35.

12. Власов А.Б. Исследование нестационарных тепловых процессов в диэлектрике с помощью тепловизора // Вестник МГТУ. Труды Мурманского государственного технического университета, 2003. — Т.6. №1. С. 29 -34.

13. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткин И.А., Юрко Ю.И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях // Известия РАН. Энергетика. 2004. -№4. - С. 121-130.

14. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1974. 128 с.

15. Данилюк И.И. О задаче Стефана. // УМЫ.- 1985.-Т.40-№5(245).- С. 133-185.

16. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

17. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.Мир, 1974. 404 с.

18. Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. М. Л. ОГИЗ, 1947. - 288 с.

19. Карслоу Г., Егер Р. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. — 488 с

20. Карташов Е.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердЬ1х тел. Высшая школа, 2001. 550 с.

21. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. М.: Яцус^ 2002. - 284 с.

22. Кольцова Э.М., Василенко В.А., Тарасов В.В. Численные методы рещеНвд уравнений переноса во фрактальных средах // ЖФХ, 2000. Т.74. №5. q 954-956.

23. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. -М.:Наука,1981. — 352 с.

24. Курдюмов С.П., Курленка Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью // Нелинейный мир. — 2005. Т.З. - С. 5-6.

25. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 796 с.

26. Лыков A.B. Тепломассообмен (справочник). М. «Энергия». 1971. —560 с

27. Лыков A.B. Теория теплопроводности М.: ВШ, 1967. - 600с.

28. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы М.: Наука, 2002. — 654 с

29. Мейерманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука. 1986. - 240 с.

30. Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой // Письма ЖТФ. 1996. - Т.22. - № 23. - С.40-43.

31. Мейланов Р.П. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации с дифференцированием дробного порядка // ИЖФ- 2001.-Т.74.-№2.— С.34

32. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории «фрактального» осциллятора // Письма в ЖТФ 2002.-T.28.-JNbl-C.67—73

33. Мейланов Р.П., Свешникова Д.А., Шабанов О.М. Метод дифференциальных уравнений дробного порядка в описании кинетики сорбции // ЖФХ. 2000, — Т.77. №2. С. 260 - 264.

34. Мейланов Р.П., Рамазанова А.Э., Шабанова М.Р. Равновесная термодинамика систем с фрактальной структурой // XIV международная конференция по химической термодинамике. — С.-Петербург 2002 .

35. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р., Янполов М.С. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в задачах тепломассопереноса // Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы. — Махачкала — 2005 — С. 278—282.

36. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Уравнение параболического типа с дифференцированием дробного порядка // Вестник ДНЦ РАН. -2006.- С. 11-15.

37. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Особенности теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Школа молодых ученых « Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» Нальчик-Эльбрус. - 2007. - С. 104-109.

38. Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д., Шабанова М.Р. Обобщенная задача диффузии на полупрямой // Современные наукоемкие технологии. 2007. -№8.- С. 82-84.

39. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности для сред с фрактальной структурой // Современные наукоемкие технологии. 2007. -№8.- С.84-85.

40. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Уравнение теплопроводности в производных дробного порядка и приложение к задачам геотермии // Сборник научных трудов «Тепловое поле Земли и методы его изучения» -Москва РГГУ. 2008. - С. 145-150.

41. Мейланов Р.П., Магомедов P.M., Шабанова М.Р., Ахмедова Г.М. Задача без начальных условий для нелокального уравнения теплопроводности //

42. Международный Российско-Абхазский симпозиум. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус. -2009.-С. 162-165. .

43. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана в дробном исчислении. // Труды * Всероссийской научной конференции? с международным участием « Математическое моделирование и краевые задачи» — Самара. — 2010 г. —1. С. 192-197. ;

44. Мейланов Р.П., Шабанова М;Р. Задача Стефана в средах с фрактальной структурой // Международный Российско-Болгарский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» Нальчик. -201 ().- С. 163-165. .

45. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р., Ахмедова Е.М; Задача Стефана на основе нелокального уравнения теплопроводности // Материалы II';Международной конференции «Возобновляемая энергетика: Проблемы и . перспективы». — Махачкала . 2010. - С. 160-164.

46. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р. Задача Стефана в дробном исчислении // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2010. Т. 12. №1. С. 53-56.

47. Мейланов Р.П., Шабагова М.Р. Задача Стефана // Нелинейный мир. -2011. Т.9. №7. С. 477 — 481.

48. Мейланов Р.ГГ., Шабанова М.Р., Особенности решений уравнения теплопереноса в производных дробного порядка // ЖТФ. 2011.— Т.81. №7 -С. 1-6.

49. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик • издательство КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

50. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ 2003.-272 с.

51. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов // М., 2006. 174 с.

52. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физический смысл // ТМф. 1992 -Т.90.№3.- С. 354-368.

53. Новиков С .В. Тепловые свойства терригенных коллекторов и насыщающих флюидов // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва, 2009.

54. Олемской А.И., Флат А .Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // Успехи физических наук. -1993.- Т. 163 №12-С. 1-50.

55. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология: выборки. М.: Университетская книга, 2005. — 848 с.

56. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термодинамика. Киев. Наукова Думка, 1976. - 310 с.

57. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960.- 160 с.

58. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

59. Пулькина JI.C. Краевые задачи с нелокальными граничными условиями для уравнений высокого порядка // Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск, 2010. С . 220 -232.

60. Рутман С.С. К статье P.P. Нигматулина «Дробный1 интеграл и его физический смысл» // ТМФ. -1994. -Т. 100. №3. С. 476-478.

61. Рутман С.С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // ТМФ. -1995. ТЛ05. №3. - С. 393-^104.

62. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. - 480 с.

63. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и Техника, 1987.-498 с.

64. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2002. - 144 с.

65. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука. 2007. — 167 с.

66. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971 г. 339 с.

67. Соболев С JÍ. Локально неравновесные моделишроцессов переноса // УФН. -1997. -Т.167. № 10.-С. 1095-1106.

68. Станиславский А.А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного ; порядка // ТМФ. 20041- Т.138. №3. -С.491-507.

69. Суегнов В В. О некоторых закономерностях изменения температур в приповерхностных участках земной коры // Труды Института геологии Дагестанского филиала АН СССР. Вопросы гидрогеологии и геотермии Дагестана. Выпуск.5.С. 42- 46. • "

70. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики; М.: i Наука. 1972.-736 с. \

71. Учайкин В В. Метод дробных производных: Ульяновск: Издательство «Артишок», 2008; -512 с. , ' ; .

72. Фарлоу С. Уравнения в частных производных. М.: Мир, 1985. 382 с.

73. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991; 254 с.

74. Ферцигер Дж., Г. Капер. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976 . 554 с. . . : г - ;

75. Фокин В;М;, Чернышов В.И. Неразрушающий контроль теплофизических характеристик . строительных" материалов. М.: "Издательство Машиностроение-!", 2004.212 с.

76. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с.

77. Фролов НМ. Температурный режим гелиотермозоны. М., 1966. -156 с.

78. Череменский Г.А. Прикладная геотермия. Л., «Недра», 1977. — 224 с.

79. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ — 1995.- Т.108. — С.1875—1884.

80. Шабанова М.Р. Инвариантные свойства уравнения теплопроводности с производными дробного порядка // Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов» Махачкала — 2008.-С. 219-221.

81. Шабанова М.Р. Обобщенное уравнение теплопроводности в задачах теплопереноса // Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала - 2006 — С. 244—249.

82. Шабанова М.Р. Аномальные решения нелокальной задачи Стефана // Материалы II Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик. — 2011. — С. 215 — 218.

83. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло — и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1961.-680 с.

84. Cattaneo С. Sulla conduzione del calore // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. -1948.-2. P. 83-101.

85. Cattaneo C. Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée // C.R. Acad. Sci. 1958. - 247. №.4. - P. 411433.

86. Charles Tadjeran, Mark M. Meerschaert, Hana-Peter Scheffler. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation.- Journal of Computational Physics 213 ( 2006 ) -P. 205-213.

87. Chen P J., Gurtin M.E. On second sound in materials with memoiy // ZA. Angew. Math. Phys. 1970. - 21, No. 2. - P. 232-241

88. Day W. The thermodynamics of simple materialist with fading memory. -Berlin: Springer. 1972. 134 p.

89. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation 11 Osaka J. Math. 1990. - 27, No.2. - P.309-321.

90. Germant A. On Fractional Differential Equation // Philosophical Magazine. — 1938.-V. 25. P. 540-549.

91. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random walk approach // Nonlinear Dynamics. — 2002. 29, No. 1-4. — P.129- 143.

92. Gorenflo R., Iskenderov A., Luchko Y. Mapping between solutions of fractional diffusion wave equations // Fractional Calculus Appl.Anal. - 2000. — 3, No. l.-P. 75-86.

93. Gurtin M.E., Pipkin A.C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. - 31, No.2. - P. 113-126.

94. Hristov J. Heat-Balance integral to Fractional (hale-time) Heat Diffusion submode 1// Journal Thermal Stresses 2005. V.14, N.2. - P. 291- 316.

95. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204. Amsterdam, etc.: Elsevier. 2006. 523 p.

96. Kulish V.V., Lage Fractional-Diffusion Solutions for Transient Local Temperature and Heat Flux // J. Heat Transfer . 2000 V.122, Issue 2, P. 372377

97. Lame G., Clapeiron B.P. Memoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solid. Ann. De Chem. Et de Phys. 1831. t. 47. - P. 250 - 256.

98. Lenzi E.K., L.R. da Silva, A.T. Silva, L.R. Evangelista, M.K. Lenzi. Some results for a fractional diffusion equation with radial symmetry in a confined region // Physical A: 2009. V387. P. 806-810.

99. Liu Junyi, Xu Mingyu. Some exact solutions to Stefan problems with fractional and Applications // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2009. V.351. -P. 536-542.

100. Liu Q., Liu F., Turner I., Anh V. Approximation of the Levy-Feller^advection-dispersion process by random walk and finite difference method // Journal of Computational Physics 222 .2007. P. 57-70.

101. Mainardi F and5 Gorenflo R. On Mittag-Leffler-type functions;" .in.' fractional evolution processes// J. Comput. Appl. Math. 118. 2000. P. 283 - 299.

102. Meerschacrt M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differentia 1 equations 1/ Applied Numerical Mathematics 56. 2006. P. 80 - 90.

103. Meilanov R.P., Sveshnikova D.A„ Shabanov O.M. Fractal Neuter of SOrption Kinetics // Journal of Physical Chemistry A. 2002. V/106. P. 11771 - 11774.

104. Moodi T.B., Tait R.J. On theraial transients with Unite wave speeds // Acta Mech. 1983. - 50, No. ./2. - P. 97-104.

105. Nigmatullin R.R. To the theoretical explanation of the «universal response» // ; Physr Stat. Sol. (b). -1984. -.123, No! 2.— P. 739-745:

106. Norwood F.R: Transient then-nal waves in the general theory of heat conduction with finite wave speeds //J. Appl. Mech. -1972. 39, No. 3. -P. 673-676. "•

107. Nunziato J.W. On heat conduction in materials with memory // Quart. Appl. Math.-1971.-29,N0.2.-P. 187-204.

108. Oldham Keith B., Spanier Jerome, fhe fractional calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order). Academic Press, New York and London, 1974. 234 p.

109. Parker W.J., Jenkins R.J., Butler C.P., Abbot G.L. Flash method of determining thermal diffusivity, heat capacity and thermal conductivity. J. Appl. Physics, Sept. 1961. Vol. 32. P. 1679 — 1684.

110. Podlubny I. Fractional Differential Equations. New-York: Academic Press, 1999. -340 p.

111. Povstenko Y.Z. Fractional heat conduction equation and associated thermal stresses // Journal Thermal Stresses 2005. V.28, N.l. - P. 83 - 102.

112. Povstenko Y.Z. Thermo elasticity that uses fractional heat conduction equation // Journal of mathematical Sciences. 2008.-V.52, N2, P. 239 - 246.

113. Povstenko Y.Z. Fractional Cattaneo-Type Equations and Generalized Thermo elasticity // Journal Thermal Stresses. 2011. V.34, N.2. P. 97- 114.

114. Saichev A.I., Zaslavsky G.M. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos. 1997. 7. No. 4 - P. 753 - 764

115. Stefan J. Uber einige Probleme der Theorie der Warmeleitung .- S.B. Wien. Akad. Mat, Natur., 1889, B. 98, S. 473-484.

116. Stefan J. Uber die Diffusion von Sauren und Basen gegen einander.- S.B. Wien. Akad. Mat, Natur., 1889, Bd. 98, S. 614 634.

117. Stefan J. Uber die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung in Polarmeere .- S.B. Wien. Akad. Mat, Natur., 1889, Bd. 98, S. 965-983.

118. Stefan J. Uber die Verdampfung und die Auflösung als Vorgange der Diffusion .- S.B. Wien. Akad. Mat, Natur., 1889, Bd. 98, 8. 1418-1442.

119. Xiaoyun Jiang, Mingyu Xu. The time fractional heat conduction equation in the general orthogonal curvilinear coordinate and the cylindrical coordinate systems.//Physica A: Statistical Mechanics and Applications. 2010. V. 389. Issue 17. -P. 3368-3374.