Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна

• Кузнецова, Екатерина Львовна
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна

ВВЕДЕНИЕ

1. НОВЫЙ КЛАСС ЭКОНОМИЧНЫХ АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ МЕТОДОВ РАСЩЕПЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

1.1. Экономичная полностью неявная конечно-разностная схема глубокого расщепления для уравнений, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с использованием апостериорной информации.

1.1.1. Аппроксимация схемы метода глубокого расщепления.

1.1.2. Устойчивость схемы метода глубокого расщепления и обоснование введения параметра а.

1.1.3. Устойчивость схемы глубокого расщепления по правой части.

1.1.4. Обобщение на случай Яр.

1.2. Двусторонние схемы глубокого расщепления в задачах для параболических уравнений, содержащих смешанные производные и переменные коэффициенты.

1.3. Ассиметричная схема переменных направлений для параболических уравнений со смешанными производными.

1.4. Схема метода глубокого расщепления в задачах для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и краевыми условиями, содержащими производные.

1.4.1. Аппроксимация в узле (г',,0).

1.4.2. Аппроксимация в узле (0,/2).

1.4.3. Аппроксимация в угловых узлах.

1.5. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами.

1.5.1. Схема метода переменных направлений с экстраполяцией.

1.5.2. Аппроксимация.

1.5.3. Устойчивость.

1.5.4. Схема метода МПНЭ в трехмерном случае

2. МЕТОДЫ ГЛУБОКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ И

ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ

СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

2.1. Схема метода глубокого расщепления в нелинейных задачах для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами.

2.2. Схема метода переменных направлений с экстраполяцией в нелинейных задачах для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы.

2.2.1. Аппроксимация.

2.2.2. Устойчивость.

2.3. Сравнительный анализ предложенных методов расщепления, учитывающих апостериорную информацию для численного решения нелинейных задач, содержащих смешанные производные.

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАБОЛИ-ЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ,

С РАЗЛИЧНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ.

3.1. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи для уравнения параболического типа со смешанными производными в анизотропной полосе.

3.2. Первая начально-краевая задача в анизотропной полосе.

3.3. Первая начально-краевая задача для уравнения параболического типа со смешанными производными в трехмерной анизотропной пластине.

3.4. Аналитическое решение третьей начально-краевой задачи для уравнения параболического типа со смешанными производными в анизотропном полупространстве.

4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, СОДЕРЖАЩИХ СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

4.1. Методология численного решения обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе аналитического решения прямой задачи в анизотропном полупространстве.

4.2. Граничные и коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе аналитического решения прямой задачи в анизотропных областях.

4.3. Коэффициентная обратная задача для параболических уравнений со смешанными производными по идентификации нелинейных компонентов тензора переноса потенциала.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Метод численного решения прямой задачи.

4.3.3. Решение задачи, сопряженной с прямой задачей.

4.3.4. Минимизация функционала невязки в методе градиентного спуска.

4.3.5. Итерационный алгоритм численного решения обратной коэффициентной задачи по определению нелинейных компонентов тензора переноса.

5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО-МАССОПЕРЕНОСА В ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО НАГРУЖЕНИЯ.

5.1.Физические основы функционирования теплозащитных композиционных материалов в условиях высокотемпературного нагружения.

5.2. Физико-математическая модель тепломассопереноса в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении.

5.3. Идентификация закона разложения связующих композиционных материалов.

5.4. Идентификация нелинейного закона фильтрации газообразных продуктов разложения связующих через пористый остаток.

5.5. Методология численного решения комплексной проблемы (5.2.1Н5.2.26).

5.5.1. Базовые конечно-разностные схемы методов переменных направлений с экстраполяцией и глубокого расщепления.

5.5.2. Аппроксимация краевых условий IV-ro рода на подвижных границах фазовых превращений.

5.5.3. Модификация метода МПНЭ для повышения порядка аппроксимации граничных условий, содержащих производные в задачах анизотропного тепломассопереноса.

5.5.4. Алгоритм численного решения многомерных задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении.

5.5.5. Результаты численного моделирования тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ И КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ.

6.1. Граничная обратная задача для уравнения теплопроводности по определению тепловых потоков к анизотропному полупространству.

6.2. Коэффициентная обратная задача для уравнения теплопроводности по восстановлению компонентов тензора теплопроводности в анизотропном полупространстве и анизотропной пластине.

6.3. Коэффициентная обратная задача для уравнения теплопроводности по восстановлению нелинейных компонентов тензора теплопроводности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса»

Многие физические процессы, такие как теплопроводность, фильтрация, диффузия, вязкие пристенные течения газа, электропроводность и т.п., характеризующиеся полями температур, давлений, массы, плотности электрического заряда соответственно, описываются градиентными законами переноса потенциала - Фурье, Дарси, Фика, Ньютона - и, следовательно^ являются потенциальными векторными полями. Уравнения математической физики, выведенные на основе этих законов переноса потенциала, имеют параболический тип, и если среда, в которой рассматривается перенос потенциала, является изотропной, то соответствующие уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов по пространственным переменным. Такие уравнения хорошо изучены, например, по теории теплопроводности и фильтрации в изотропных средах, по ним имеются сотни публикаций.

Для анизотропных сред перенос потенциала носит тензорный характер, вследствие чего дифференциальные уравнения содержат смешанные производные по пространственным переменным, что приводит к существенным трудностям при решении начально-краевых задач для таких уравнений. Например, известный метод разделения переменных, на основе которого построены практически все остальные аналитические методы (потенциала, функции источника, 8 -функции) решения уравнений в частных производных, не применим к уравнениям, содержащим смешанные дифференциальные операторы, поскольку в этом случае пространственные переменные не разделяются.

В соответствии с этим для аналитических решений остаются интегральные методы такие, как методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа в неограниченных или полуограниченных пространственно-временных областях.

Для ограниченных анизотропных областей, нелинейных сред, при наличии в задачах граничных условий второго, третьего и четвертого (по Лыкову A.B. [124-127] родов к настоящему времени использовать можно только численные методы, среди которых наиболее эффективными являются методы расщепления [48-50, 60, 130, 163, 164, 188-191, 199-204, 217-220, 233-236, 238].

Вместе с тем, публикации по методам решения задач переноса потенциала в анизотропных средах практически отсутствуют, хотя большинство естественных и искусственных материалов являются в той или иной степени анизотропными с тензорным характером переноса потенциала. Например, чистые металлы имеют степень анизотропии - отношение главных коэффициентов тензора переноса потенциала - равной примерно единице, т.е. являются изотропными; с другой стороны, существуют некоторые сорта пиролитического графита [251] со степенью анизотропии, равной 200.

Поэтому неучет тензорного характера переноса потенциала в анизотропных средах приводит не только к количественному, но и к качественному искажению результатов решения соответствующих задач.

В настоящее время активно разрабатываются композиционные материалы (КМ), особенно на основе графитов и графитосодержащих компонентов, которые все являются анизотропными. Такие материалы уже примерно в течение последних сорока лет с успехом используются в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА), однако эффективные методы решения совместных задач анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации в КМ, характеризующие их тепловое состояние, до сих пор не разработаны.

Кроме этого, если в отношении прямых задач переноса потенциала в анизотропных средах существует, хотя и ограниченное число публикаций по численным методам решения соответствующих задач [23, 29, 65, 67, 75, 7897, 145-147, 151, 174-184, 188-190, 192, 193], то относительно обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, по восстановлению компонентов тензора переноса и потоков на границах, публикации вовсе отсутствуют. Вместе с тем постановка и решение обратных задач переноса потенциала чрезвычайно востребованы в проблемах диагностики и неразрушающего контроля, а также в проблемах, где физические характеристики переноса невозможно измерить. Из изложенного следует, что тема диссертационной работы «Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса» является весьма актуальной.

Наиболее эффективными численными методами решения многомерных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, являются методы расщепления, основным достоинством которых является экономичность — пропорциональность числа операций типа умножения числу узлов конечно-разностной сетки, а также простота алгоритмизации и программирования. Эти методы разработаны как отечественными математиками, такими как Н.Н.Яненко [200-204], А.А.Самарским [151-161], Г.И.Марчуком [129-131], Е.Г.Дьяконовым [49, 50], И.В.Фрязиновым [188-190] и др., так и зарубежными Д.Писменом и Х.Рэчфордом [238, 241], Дж.Дугласом и Дж.Е.Ганом [217-220] и др. Некоторые из этих методов обладают частичной аппроксимацией на каждом дробном шаге, а полная аппроксимация достигается лишь в суммарном смысле, в результате чего интегрирование исходного уравнения сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры.

Наличие смешанных производных в исходной дифференциальной задаче создает, наряду с многомерностью, дополнительные трудности при построении эффективных разностных схем [82, 188-190, 153, 164, 203, 217220, 238], связанные, прежде всего, с устойчивостью, аппроксимацией краевых условий, содержащих производные, с учетом направления потоков векторного поля и др.

Однако большинство существующих в настоящее время схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными производными представляют собой лишь формальное обобщение классических схем на случай уравнений со смешанными дифференциальными операторами. При этом смешанные операторы полностью, либо частично аппроксимируются с помощью значений сеточных функций на уже известных временных слоях по времени (явно). Это приводит к тому, что схемы расщепления становятся либо неустойчивыми, либо условно устойчивыми, особенно при решении нелинейных задач. Поэтому разработка полностью неявных, а потому абсолютно устойчивых, и экономичных методов численного решения задач. со смешанными производными, использующих только скалярные прогонки по координатным направлениям, является традиционно актуальной задачей.

В данной диссертационной работе на основе использования апостериорной информации о численном решении, уже полученном на верхних временных слоях, и более глубокого, чем в классических методах, расщепления разработан ряд новых экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с обоснованием аппроксимации, устойчивости и сходимости. Схемы сохраняют свои свойства при решении задач произвольной размерности по пространственным переменным, а также при решении существенно нелинейных задач. Они конечно применимы и к задачам, не содержащим смешанных дифференциальных операторов.

Аналогичные попытки разработки экономичных абсолютно устойчивых конечно-разностных схем предпринимались и раньше. Так в работах Н.Н.Яненко [200-204] предложена и всесторонне изучена схема метода дробных шагов (МДШ) для уравнений, содержащих смешанные производные, имеющая первый порядок по времени, и из-за явной аппроксимации смешанных производных устойчива в случае положительной и определенности матрицы (тензора) переноса потенциала, в которой диагональные элементы поделены на два.

Одной из первых схем расщепления численного решения параболических задач была схема метода переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [238], однако из-за явной аппроксимации большинства дифференциальных операторов по пространственным переменным схема условно устойчива в трехмерном случае даже при отсутствии смешанных производных, а при наличии смешанных производных она условно устойчива уже в двумерном случае.

Эти две конечно-разностные схемы сыграли важную роль в развитии методов расщепления численного решения многомерных задач не только для уравнений параболического типа.

Так в работе [163] для уравнений со смешанными производными предложена неявная экономичная схема расщепления с введением в нее дополнительных диагональных направлений прогонок. Предложенная для уравнений с постоянными коэффициентами схема не допускает обобщения на случаи уравнений более общего вида.

В работе [162] исследуется предложенный В.К.Саульевым явный метод переменных направлений с усреднением. Разностные схемы на основе этого метода оказываются очень экономичными - для их реализации используются формулы явного (бегущего) счета. Однако аппроксимация имеет место только при определенных ограничениях на шаги пространственно-временной сетки, т.е. является условной.

Абсолютно устойчивая экономичная разностная схема для двумерного линейного уравнения параболического типа со смешанными производными предложена и исследована в работах И.В.Фрязинова [188-190]. Схема, обладая свойством суммарной аппроксимации, принадлежит классу составных аддитивных схем и при ее построении используются две пространственные сетки. Она не допускает распространения на случай трех и более пространственных переменных и на нелинейные уравнения.

Различным вариантам классических разностных схем численного интегрирования параболических уравнений со смешанными производными посвящена работа [232], в которых предлагается метод, основанный на комбинации метода конечных элементов и метода расщепления. Разностные схемы обладают теми же недостатками, что и рассмотренные выше, и не могут использоваться для решения нелинейных задач.

Для получения достоверной информации при решении задач для уравнений параболического типа со смешанными производными и для тестирования существующих и разрабатываемых численных методов крайне необходимы аналитические решения соответствующих задач.

Первые аналитические решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными в полубесконечных областях, бесконечных пластинах и бесконечных цилиндрах были получены в работах Пэдовена Д. [145, 146], Пуня К.С., Цзоу P.C., Чжана Ю.П. [147], Чжана Ю.П. и Цзоу Р.Ц. [192], Чжана Ю.П. и Пуня К.Ц. [193] на основе использования интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

Поскольку таких решений получено всего не более десятка, а в них ощущается острая необходимость, нахождение аналитических решений задач для уравнений переноса потенциала в анизотропных средах является актуальной проблемой.

В данной работе впервые получен и исследован ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в том числе с граничными условиями второго и третьего родов. Решение получены интегральными методами в виде интегралов по времени от трансцендентных функций, так что проверку достоверности этих решений вначале приходилось проверять численными методами, а после получения адекватных результатов уже численные методы тестировались точными аналитическими решениями.

На основе использования аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными можно построить эффективные методы решения обратных граничных и коэффициентных задач по восстановлению потоков векторных полей на границах тел и компонентов тензора переноса потенциала.

Решения обратных задач вообще и обратных задач для уравнений со смешанным и производными, в частности, являются чрезвычайно сложными, поскольку они могут не иметь решений, а если имеют, то быть неединственными и неустойчивыми, т.е. не иметь непрерывной зависимости решения от входных данных. Это связано с тем, что искомые параметры, которые должны быть определены при решении обратных задач, не подчиняются законам сохранения, как это имеет место для потенциальных функций в прямых задачах. Кроме этого, все обратные задачи являются нелинейными, даже для линейных прямых задач, вследствие чего для их решения применяются только численные методы.

Решение обратных задач позволяет получить неизвестные характеристики различных процессов, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, или характеристики, которые невозможно измерить, например, в телеметрии, диагностике и неразрушающем контроле.

В этой связи разработка устойчивых методов численного решения обратных задач вообще и задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в частности, является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени накопилось достаточно работ по обратным задачам для уравнений математической физики, среди которых следует отметить работы А.Н.Тихонова [171, 172], М.М.Лаврентьева [122], О.М.Алифанова [11, 207], О.М.Алифанова, Е.А.Артюхина, С.В.Румянцева [10], Дж.В.Бэка [210], М.Н.Оцизика и Ц.Х.Хуанга [224], М.Н.Оцизика и др. [227], И.К.Хонга, С.В.Баека [225], А.А.Самарского и П.Н.Вабищевича [161] и многих других. Однако работы по идентификации компонентов тензоров переноса потенциала полностью отсутствуют.

В перечисленных работах минимизация функционала невязки в основном построена на методе сопряженных градиентов. Для обратных задач на основе уравнений со смешанными производными этот метод становится чрезвычайно громоздким и по сравнению с методом, например, градиентного спуска просто увеличивает трудоемкость при оптимизации параметра спуска.

В диссертационной работе предложен и обоснован неявный градиентный метод восстановления граничных условий и компонентов тензора переноса как на основе полученных аналитических решений линейных задач, так и на основе новых численных методов решения нелинейных задач переноса потенциала.

Новые численные и аналитические решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, в работе используются для математического моделирования процессов тепломассопереноса в анизотропных материалах, используемых в качестве тепловой защиты при аэрогазодинамическом нагреве ДА.

По численному моделированию процессов теплопереноса в изотропных средах имеются сотни публикаций, среди которых прекрасные монографии, учебники и статьи: Карслоу Г. и Егера Д. [56], А.В.Лыкова [124-127], Э.М.Карташова [57-59], Бермана Р. [22], М.Г.Бернадинера [24], В.С.Зарубина [52, 53], Ю.В.Полежаева, Ф.Б.Юревича, А.А.Шишкова [142— 144], Б.М.Галицейского, ВД.Совершенного, В.Ф.Формалева [34], Эккерта Э.Р. и Дрейка P.M. [197], В.Ф.Формалева и Е.Л.Кузнецовой [174-184], Г.И.Баренблатта [19]. За исключением работ [174-184] в перечисленных работах рассматривался тепломассоперенос в изотропных средах.

Среди работ по тепломассопереносу в композиционных материалах (КМ) в условиях фазовых превращений неизотермической фильтрации и т.п. следует отметить работы В.Ф.Формалева и его школы [77, 175, 176, 178, 181, 182, 185, 186], Ю.И.Димитриенко [43-46], монографию автора [92], монографию в соавторстве с В.Ф.Формалевым [181], работы Г.В.Кузнецова [120], Г.В.Кузнецова и В.П.Рудзинского [121], Н.Н.Головина и Г.Н.Кувыркина [38] и др.

В соответствии с изложенным формулируется следующая цель диссертационной работы:

Разработка математического аппарата на основе численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и применение его к математическому моделированию анизотропного тепломассопереноса.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений с описанием программных комплексов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузнецова, Екатерина Львовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе изложенного можно сформулировать следующие основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, на основе апостериорной информации на верхних временных слоях и на более глубоком, чем в классических методах, расщеплении смешанных дифференциальных операторов.

2. Предложенные методы распространены на нелинейные уравнения, содержащие смешанные производные, в соответствии с чем проведен сравнительный анализ разработанных и классических методов расщепления на точном решении задачи для существенно нелинейного уравнения параболического типа со смешанными производными, показавший не только абсолютную устойчивость, но и более высокую точность предложенных методов по сравнению с классическими методами.

3. Впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа со смешанными производными с граничными условиями 2-го и 3-го родов.

4. Разработана методология численного решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными на основе неявного метода градиентного спуска и новых аналитических и численных методов.

5. Разработанный математический аппарат применен к методологии математического моделирования задач тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА). Математическая модель учитывает фазовые превращения внутри КМ с образованием новых фаз, неизотермическую анизотропную фильтрацию пиролизных газов, их вдув в пограничный слой, унос массы пористого остатка и многие виды нелинейностей.

6. Получен новый закон разложения связующих КМ, позволивший обойти химическую кинетику и тем самым применить его к большинству КМ, используемых в качестве теплозащитных, а также нелинейный закон фильтрации пиролизных газов. Эти законы замыкают комплексную математическую модель.

7. Разработаны комплексы программ многомерного нестационарного тепломассопереноса в анизотропных КМ и решения обратных граничных и коэффициентных задач в многомерных анизотропных средах. На основе этих программных комплексов впервые получены многомерные температурные поля и поля давления многомерной анизотропной фильтрации, а также восстановлены краевые условия и нелинейные компоненты тензора теплопроводности в анизотропных телах.

307

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна, 2011 год

1. Абрашин В Н. Устойчивые разностные схемы для квазилинейных уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 11. С. 1967-1971.

2. Абрашин ВН., Асмолик В.А. О равномерной сходимости разностных схем с опережением для многомерных квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 12. С. 2217-2227.

3. Абрашин ВН., Асмолик В А О равномерной сходимости разностных схем с опережением для многомерных квазилинейных параболических уравнений. (Экономичные разностные схемы) // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 4. С. 684-696.

4. Абрашин В.Н, Иванова ЛИ. Разностные схемы для многомерных квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 2. № 5. С. 889-899.

5. Абрашин В.Н, Лис В.И О разностных схемах для квазилинейных нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 7. С. 1303-1311.

6. Абрашин В.Н, Лис В.И О разностных схемах для квазилинейных нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 8. С. 1473-1486.

7. Абрашин В.Н, Матусевич А.В., Цурко В А. Разностные схемы сквозного счета для задач лучистой теплопроводности: Препринт N9/110. Минск: Институт математики АН БССР, 1981.

8. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992, 624 с.

9. Адаме М.К. Последние достижения в теории абляции// Вопросы ракетной техники, 1960. № 4. С. 16-36.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 288с.

11. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). -М.: Машиностроение. 1979. 216с.

12. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер П Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990.

13. Андреев ВБ. О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 2. С. 312— 321.

14. Андриевский P.A. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия. 1964. 292 с.

15. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. -Киев. Изд-во института математики АН УССР. 1979. 234 с.

16. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии// Изв. АН Энергетика. 2003. № 5. С. 75-88.

17. Аттетков A.B., Волков И.К. Математическое моделирование процесса теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. № 1. С. 37-45.

18. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах// ПМТФ. 1961. № 3. С. 52-58.

19. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// ПММ. 1952. Т. 16. вып. 1.

20. Бахвалов НС., Жидков НИ, Кобельков ГМ Численные методы. М: Наука,1987.

21. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1998. 344с.

22. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. М.: Мир. 1979. 362с.

23. Берцун В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Томск: Пеленг. 1998. С. 12-19.

24. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. -М.: Наука, 1974. 234с.

25. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае// В кн. Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ. 1967. Т. 8. С. 57-65.

26. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью// Тр. ЦАГИ. 1969. вып. 1108. 32с.

27. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах// ТВТ. 1994. Т. 32. № 3. С. 441-445.

28. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах// ТВТ. 1975. Т. 13. № 5. С. 1045-1051.

29. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности// Томск: Пеленг, 2001. С. 275—278.

30. Бураков В.А., Санду С.Ф. Численное моделирование нестационарного нагрева и термохимического разрушения углеграфитовых теплозащитных материалов в высокотемпературном двухфазном потоке// ТВТ. 1996. Т. 34. № 6. С. 909-913.

31. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы. Справочник. -М.: Металлургия, 1994. 128с.

32. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М: ИЛ, 1963.

33. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. -М.: Изд-во МГТУ. 2001. 700с.

34. Галиценский Б.М., Совершенный В.Д., Формалев В.Ф. Тепловая защита лопаток турбин// М.: Изд-во МАИ, 1996 г. 356с.

35. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1984. 112с.

36. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы: введение в теорию. М: Наука,1977.

37. Головин H.H., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесиметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема// Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 105-108.

38. Головин H.H., Кувыркин Г.Н. Численное моделирование нестационарных температурных полей в конструкциях из композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// В тр. 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 1998. Т. 7. С. 57-59.

39. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на поверхности стеклопластика в высокотемпературном потоке воздуха// ИФЖ. 1973. Т. 24. № 3. С. 407^413.

40. Глущенко A.A. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. Киев: Изд-во Киевского ун-та. 1970. 192с.

41. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ. 1958.468с.

42. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. -М.: Наука. 288с.

43. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение. 1997. 368 с.

44. Димитриенко Ю.И. Разрушение композиционных материалов при высоких температурах и конечных деформациях// Механика композиционных материалов. 1992. № 6. С. 1030-1042.

45. Димитриенко Ю.И. Осреднение процессов в периодических средах с фазовыми превращениями// Вопросы механики сплошных сред. Изд-во МГУ 1991. С. 72-84.

46. Димитриенко Ю.И., Епифановский И. С. Прогнозирование работоспособности теплостойких полимерных композиционных материалов на совмещенных связующих// Теплостойкие полимерные материалы и особенности производства изделий на их основе. М.: 1991. С. 85-90.

47. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 368с.

48. Дьяконов ЕГ. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 2. С. 17-26.

49. Дьяконов Е.Г. О применении разностных схем с расщепляющимся оператором для некоторых систем уравнений параболического и гиперболического типа// Сибирск. магем. журнал. 1965. Т. 6. № 3. С. 509-515.

50. Дьяконов ЕГ. Разностные методы решения краевых задач. Вып.2 (Нестационарные задачи). М: Изд-во МГУ, 1972.

51. Епифановский И. С. Композиционные углерод-углеродные материалы в конструкциях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1993. 51с.

52. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчета). — М.: Машиностроение, 1978. 184с.

53. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983. 328с.

54. Зенкевич 0. Метод конечных элементов. М: Мир, 1977.

55. Зинченко В.И., Якименко A.C. Режимы термохимического разрушения углефенольного композиционного материала под действием теплового потока// Физика горения и взрыва. 1988. Т. 24. № 2. С. 141-149.

56. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487с.

57. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с движущимися границами// Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. № 6. С. 83-111.

58. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. -М.: Высшая школа. 2001. 552с.

59. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор)// ИФЖ. 2000. Т. 74. № 2. С. 1-24.

60. Киреев В.И, Павлов Ю.А Ингегродифференциальные параболические сплайны в прикладных задачах формообразования поверхностей сложных промышленных изделий. // Вестник МАИ.2009. Т. 16. №З.С.252-261.

61. Ковеня ВМ, Тарнавский ГА, Черный СГ. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990.

62. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева. В.Д.Протасов, В.В.Болотин и др. -М.: Машиностроение 1990. 512с.

63. Коршак В.В. Химическое строение и температурные характеристики полимеров. -М.: Наука, 1970. 401с.

64. Коршня Т.К., Тишкин В.Ф., Фаворский АЛ, Шашков М.Ю. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений теплопроводности на криволинейных селах: Препринт N1. М.: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1979.

65. Крицкий О. Л. Применение а ¡5 алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности// В сб. статей Томск. Гос. ун-та «Исследования по баллистике и смежным вопросам механики» 1999. Вып. 3. С. 51-58.

66. Кряквина С.А. О точности схем переменных направлений для уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 3. С. 582-589.

67. Ким Л.В., Миков В.Л. Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах// Деп. ВИНИТИ, № 642-В86. 1986. 19с.

68. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964. 302с.

69. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972. С. 42-49.

70. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1985. Т. 280. № 3. С. 533-536.

71. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 160с.

72. Кузнецова E.JI. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с двумя нестационарно подвижными границами// Вестник Саратовского государственного технического университета, №2(45), 2010. С. 24-31.

73. Кузнецова E.JI. Моделирование теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия «Физ-мат науки». 2010. №5(21). С.170-178.

74. Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в композиционных материалах на основе нелинейного закона фильтрации// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 1. С.40-46.

75. Кузнецова E.J1., Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплообмена на границе анизотропных тел с использованием аналитических решений// Вестник Московского Авиационного Института. 2010. Т. 17. № 2. С. 121-126.

76. Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Вестник Московского авиационного института. 2010. Т. 17. № 3. С. 30-36.

77. Кузнецова E.JI. Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Вестник МГТУ им.Баумана. Серия «Естественные науки». 2010. 2(37). С. 49-57.

78. Кузнецова E.JI. ,Колесник С.А., Формалев В.Ф. Сопряженный теплообмен на границах композиционных анизотропных материалов//

79. Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 232-240.

80. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. О тепловых волнах в нелинейном анизотропном пространстве// Инженерная физика. Серия «Теплофизика и тепломеханика». 2010. № 5. С. 43-47.

81. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Волновой теплоперенос в нелинейном анизотропном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 4. С. 208-212.

82. Кузнецова Е.Л. Численное моделирование тепломассопереноса в нелинейном двухфазном пространстве// Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 8. С. 497-508.

83. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Экономичный полностью неявный метод численного решения параболических уравнений содержащих смешанные производные// Вычислительные технологии. 2010. Т. 15. № 5. С. 72-80.

84. Кузнецова Е.Л. Аналитическое исследование нелинейного тепломассопереноса при пленочном охлаждении тел.// Нелинейный мир. 2010. № 10. С. 621-628.

85. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А., Формалев В.Ф. Методология численного решения обратных граничных задач теплопереноса в анизотропных материалах на основе аналитического решения// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. №2. С. 71-77.

86. Кузнецова Е.Л. Моделирование теплопереноса в нелинейном анизотропном пространстве на основе аналитического решения// Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 12. С. 21-30.

87. Кузнецова Е.Л. Восстановление характеристик тензора теплопроводности на основе аналитического решения задачи теплопереноса в анизотропном полупространстве// Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. № 6. С. 1-8.

88. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Восстановление тепловых потоков путем решения обратной граничной задачи теплопереноса в анизотропной полосе// Известия РАН. Серии «Энергетика». 2011. № 6. С. 196-203.

89. Кузнецова Е.Л., Колесник С.А. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропном полупространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2011. № 4. С. 117-123.

90. Дзюба И. А. Разностные схемы метода переменных направлений для многомерных параболических задач математической физики. Препринт № 8 (408). Минск: Институт математики АН БССР. 1990.

91. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968. 427с.

92. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф. Анализ погрешностей линеаризации лучистых тепловых потоков при высоких температурах// Нелинейный мир. 2011. Т. 9. № 10. С. 274-281.

93. Кузнецова Е.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагреве в элементах ракетно-космической техники. -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. 2010. 158с.

94. Кузнецова Е.Л. Уравнения параболического типа, содержащие смешанные производные и их приложение к теории тепломассопереноса в анизотропных средах. Учебное пособие для прикладных математиков и механиков. Издательство МАИ. 2011.103с.

95. Кузнецова E.JI. Новый подход к математическому моделированию тепломассопереноса в композиционных материалах при высокотемпературном нагружении// Инженерная физика. 2010. №11. С. 3-10.

96. Кузнецова E.JI. Новый подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов на основе универсального закона разложения связующих// В тр. РНКТ-5, 2010. Т. 3. С. 255-259.

97. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли A.A. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

98. Кузнецова Е.Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном тепловом нагружении// Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

99. Кузнецова Е.Л., Федотенков Г.В., Формалев В.Ф. Численное моделирование плоской нестационарной задачи тепломассопереноса с подвижной границей разложения связующего в анизотропных телах//

100. Материалы докладов (VI школа-семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова). «Проблемы тепломасообмена и гидродинамики в энерго-машиностроении. Казань, 16-18 сентября 2008 г., С. 279-282.

101. Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем. «АКТ-2009» Воронеж 11-13 ноября 2009 г.

102. Кузнецова E.JI. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в анизотропных телах на основе аналитического решения// Тезисы доклада XXXI Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ г. Миасс. 14-16 июня 2011 г.

103. Кузнецов Г.В. Механизм высокотемпературного разрушения стеклопластика в газовых потоках в условиях высоких давлений// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1.С. 74-78.

104. Кузнецов Г.В., Рудзинский В.П. Высокотемпературный тепломассоперенос в слое кокса теплозащитных материалов// ТВТ. 2000. Т. 38. №4. С. 654-660.

105. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 288с.

106. Леонтьев А.И. Теория тепло- массопереноса. М.: Физматлит. 1998. 426с.

107. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1969. 362с.

108. Лыков A.B. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. -Л.: Гостехиздат, 1954. 264с.

109. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.600с.

110. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978.480с.

111. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ. 1983. Т. 45. № 3. С. 670-676.

112. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1983. 426с.

113. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 364с.

114. МарчукГ.И. Метода вычислительной математики. М: Наука, 1980.

115. Мадорский С., Самуэль JI. Термическое разложение органических полимеров. -М.: Мир, 1967. 328с.

116. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее в 3-х томах. Под ред. Резника C.B. М.: Изд-во МГТУ. 2002. Т. 2. 296с.

117. Музылев Н.В. О единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости// ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. № 1.С. 102-108.

118. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 576с.

119. Омельченко К.Г., Гавелов Н.В., Тимошенко B.JI. К исследованию тепломассопереноса в разлагающихся пористых материалах// ТВТ. 1974. Т. 12. № 4. С. 761-768.

120. Охлопков НМ Метод целых шагов решения многомерных нестационарных задач математической физики. Иркутск: Иркутский университет, 1983.

121. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980, 324с.

122. Пасконов ВМ., Полежаев В.И, Чудов ДА Численное моделирование процессов тепло- и массообмена М: Наука, 1984.

123. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 150с.

124. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус, 2004. 256с.

125. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392с.

126. Полежаев Ю.В., Шишков A.A. Газодинамические испытания тепловой защиты. М.: Промедак, 1992. 248с.

127. Полежаев Ю.В., Протасов М.В., Селиверстов Е.М. Обобщенный закон гидравлического сопротивления проницаемого слоя// ТВТ. 2003. Т.41. № 6. С. 970-972.

128. Пэдовен Д Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве // Ракетная техника и космонавтика. 1973. № 4. С. 174-179.

129. Пэдовен Д Обобщенный метод Штурма-Луивилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде// Ракетная техника и космонавтика.1974. № 8. С. 190-193.

130. Пунь К.С., Цзоу P.C., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат// Теплопередача. 1979. № 2. С. 177-184.

131. Рихтмайер Р., Мортон К Разностные методы решения краевых задач. ML: Мир, 1972.

132. Романов ВГ. Обратные задачи математической физики. М: Наука. 1984.263с.

133. Розенсвейг P.E., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном// Ракетная техника и космонавтика. 1963. Т. 1. № 8. С. 53-62.

134. Самарский АА Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4.С.753-759.

135. Самарский АА Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа в произвольной области// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 638-648.

136. Самарский АА Теория разностных схем. М: Наука. 1983.

137. Самарский АА, Гулин AB. Устойчивость разностных схем. М: Наука 1973.

138. Самарский АА, Николаев ЕС. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука 1978.

139. Самарский АА., Попов ЮЛ Разностные схемы газовой динамики. М: Наука

140. Самарский А А., Фрязинов ИВ. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11. № 2. С. 385410.

141. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Физматлит. 1989. 430с.

142. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач «конвекция-диффузия». -М.: Физматлит, 1999. 452с.

143. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784с.

144. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛЕСИ. 2009. 480с.

145. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. -М.: Физматлит, 1960. 368с.

146. Сафронов ИД Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 2. С. 347-350.

147. Сафронов ИД К разностному решению уравнения теплопроводносш в криволинейных координатах// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 4. С. 786.

148. Сегерлинд Л Применение метода конечных элементов. М: Мир, 1979.

149. Сендерович РБ., Первушин Ю.С. К определению теплофизических характеристик композиционных полимерных материалов// ИФЖ. 1985. Т. 49. № 6. С. 982— 989.

150. Скала С.М., Гильберт Л.М. Тепловое разрушение обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах// Ракетная техника. 1962. № 6. С. 72-83.

151. Соболев Н.В., Кавун Т.Н., Киселев Б.А. и др. Изменение свойств стекло- и карбонаполненных полимеров в процессе пиролиза// Композиционные материалы. -М.: Наука, 1981. С. 244-247.

152. Страхов В.Л., Леонова С.И., Геращенко А.И. Некоторые результаты определения температурных зависимостей теплофизических характеристик композиционных полимерных материалов// ИФЖ. 1977. Т. 33. №6. С. 1047-1051.

153. Тихонов АН, Самарский АА. Уравнения математической физики. М.: Наука,1972.

154. Тихонов АН, Арсенин BJL Методы решения некорректных задач. М: Наука, 1979.288с.

155. Тихонов АН., Гончарский АВ., Степанов В.В., Ягола АГ. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. -М: Наука, 1983.198с.

156. Тишкин В.Ф., Фаворский А.П, Шашков МЮ. Алгоритм численного решения второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на непрямоугольной сетке: Препринт № ИЗ. М: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1978.

157. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.

158. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

159. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах// Механика композиционных материалов и конструкций. 2007 г. Т. 13. № 4. С.129-141.

160. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние продольной неизотермичности на сопряженный теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами// Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47.№ 2 С.247—253.

161. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI. Селин И.А. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Известия РАН. Серия «Энергетика». 2010. № 3. С. 136-141.

162. Формалев В.Ф., Кузнецова E.J1. Селин И.А. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Вестник Самарского государственного технического университета. 2010. № 1(20). С. 239-243.

163. Формалев В.Ф., Кузнецова E.JI. Тепломассоперенос в анизотропных телах при аэрогазодинамическом нагреве. М.: МАИ-ПРИНТ. 2011. 300с.

164. Формалев В.Ф., Ревизников Д.А. Численные методы. М.: Физматлит. 2004. 400с.

165. Фрязинов ИВ. Об одной аппроксимации смешанных производных// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. Т. 15. № 3. С. 644-660.

166. Фрязинов ИВ. Об экономичных разностных схемах для двумерного уравнения теплопроводности со смешанными производными// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. Т. 16. № 4. С. 908-929.

167. Фрязинов ИВ. Схемы переменных направлений для параболического уравнения со смешанными производными в криволинейной области: Препринт № 92. М: Институт прикладной математики им. Келдыша АН СССР, 1978.

168. Черников АА. Применение явных разностных методов для решения нелинейных и многомерных линейных уравнений в частных производных: Авгореф. дис. на соиск уч. степ. канд. физ.-мат. наук М.: Изд-во МАИ, 1987.

169. Чжан Ю.П., Цзоу Р.Ц. Теплопроводность в анизотропной среде, однородной в цилиндрических областях// Теплопередача. 1977. № 1. С. 42— 51.

170. Чжан Ю.П., Пунь К.Ц. Трехмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида// Теплопередача. 1979. № 3. С. 203-210.

171. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостехиздат, 1960. 252с.

172. Шленский О.Ф., Афанасьев Н.В., Шашков А.Г. Терморазрушение материалов. -М.: Энергоатомиздат, 1996. 288с.

173. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. -Новосибирск: Наука, 1979.

174. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1961. 356с.

175. Якимов A.C. Расчет характеристик теплообмена в композиционном материале// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1. С. 59-61.

176. Якимов АС. Об одном методе расщепления// Численные методы механики сплошных среды. 1985. Т. 16. №2. С. 144-161.

177. Яненко НН Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. №6. С. 1034-1036.

178. Яненко НН О неявных разностных методах счета многомерного уравнения теплопроводности//Изв. высш. учебн. заведений. 1961. Т. 4. № 23. С. 148-157.

179. Яненко НН О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 5. С. 933-937.

180. Яненко НН Метод дробных шагов решения многомерных задач маг тематической физики. Новосибирск: Наука, 1967.196с.

181. Яненко НН, Сучков В.А, Погодин ЮЛ. 0 разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных координатах// Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 903-905.

182. Янкелев Л.Ф., Гусева ЛИ Метод одновременного определения коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости, зависящих от температуры// ИФЖ. 1975. Т. 28. №4. С. 652-656.

183. Abarbanel S., Gottlieb D. Optimal time splitting for two and three dimensional Navier-Stokes equations with mixed derivatives// J. Corp.Phys. 1981. V.41. №2.

184. Alifanov O.M. Inverse Heat Transfer Problems, Springer Verlag, Berlin, 1994.

185. Baker GA An implicit numerical method for solving the n-di-mensional heat equation // Quert Appl. Math. 1960. V. 17. № 4. P.440-442.

186. Baker G.A., Oliphant TA An implicit numerical method for solving the two-dimensional heat equation // Quert Appl. Maih. 1960. V. 17. №4. P. 361-375.

187. Beck J.V., Blackwell B., St Clair CJt Inverse Heat Conduction. Hl-posed Problems. -N-Y: A. Wiley-Interscience Publication. 1985.308p.

188. Beliaev A. Nonlinear Darcy law in a random porous medium// Berdichevcky V. etal. eds. Homogenisation. Singapore, 1999. P. 107-132.

189. Beliaev A., Kozlov S. Darcy equation for random porous media// Comm. Pure Appl. Math. 1996. № 49. P. 1-34.

190. Biikhof G., Vaiga R., Young D. Alternating direction implicit methods// Advances in Coip. N.Y. Academic Press. 1962. V. 3. P. 189-273.

191. Brian P.L.I. A finite difference method of high order accuracy for the solution of three-dimensional heat conduction problem // A.I.Ch.EJ. 1961. V. 7. P. 367-370.

192. Chang-YP.,TsouR.C.//ASME Journal ofHeat Transfer. 1977. V.99.№ l.P. 42-49.

193. Chen Y.K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis// AIAA Paper. 1980. № 1488. 8p.

194. Douglas J. On numerical integration of d2u/dx2+d2u/dy2=^du/dt by implicit methods// SIAMJ. 1955. №9. P. 42-65.

195. Douglas J., Rachfoid H On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. № 2. P. 421-434.

196. Douglas J., Gunn JE. Alternating direction methods for parabolic systems in m-space variables // J. Assoc. Compel Machinery. 1962. V. 9. № 4. P. 450-456.

197. Douglas J., Gunn JE. A general formulation of alternating direction methods. Parti Parabolic and hyperbolic problems// Numer. Math. 1964. V. 6. № 5. P. 428-453.

198. Du Fort E.C., Frankel SP. Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential equations// Math. Tablesand other Ads Comput 1953. V. 7. №43.P. 135-152.

199. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. Mc Graw Hill, New York, 1972.

200. Houwen P J., Sommeijer BP., Verwer J.G. Comparing time integrators for parabolic equations in two space dimensions with mixed derivatives// Journal of computational and applied mathematics. 1979. V. 5. № 2. P. 73-83.

201. Huang C.H, Ozisik N. Inverse problem of determining unknown wall heat flux in laminar flow through parallel plate duct// Numerica Heat Transfer, Vol.21,pp. 55-70,1992.

202. Hong Y.K., Baek S.W. Inverse analysis for estimating the unsteady inlet temperature distribution for two-phase laminar flow in a channel// Int J. of Heat and Mass Transfer, Vol. 49, pp. 1137-1147.2006.

203. Iyengar Sateelure R.K., Jain M.K. Comparative study of two and three level ADI methods for parabolic equations with a mixed derivative// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1976. V.10. №6.

204. Jarny V., Ozisik M.N., Bardon J.P. A general optimization method using an adjoint equation for solving multidimensional inverse heat conduction// Int. J. Heat and Mass Transfer, Vol. 34, pp. 2911-2919. 1991.

205. Kellog R An alternating1 direction method for operator equations// J. Soc. Industr. Appl. Math. 1964. V. 12. № 4. P. 848-854.

206. Lax P.D., Richtmyer RD. Survey of the stability of linear finite difference equations// Commun. Pure Appl. Math. 1956. V. 9. № 2. P. 267-293.

207. Lees M Alternating direction and semi-explicit difference methods for parabolic partial differential equations// Numer. Math. 1961. V. 3. № 5. P. 398-412.

208. Lin Pengcheng. An explicit difference scheme for solving parabolic equations with mixed derivatives// Tao^h ckqcho u3Hcy-aHL inycrco cK»6ao, Numer. Math. J. Chin. Univ. 1983. V.5. №3. P. 281-285.

209. Marchuk G., Kuzin V. On the combination of finite elements and splitting-up methods in the solution of parabolic equations // J. Corp. Phys. V. 52. № 2.

210. Mckee S., Mitchell A Alternating direction methods for parabolic equation in two space dimensions with a mixed derivative // The Computer Journal. 1970. V. 13. № 1.

211. Morris J.LI. On the numerical solution of heat equation associated with a thermal print head // Journal of computational physics. 1971. V. 7. P. 102-119.

212. Morris J.LI., NIcoll I.F. The efficient computation of Ihe heat distributions in a 5x5 matrix thermal print head // Journal of computational physics. 1974. V. 15. P. 188-199.

213. Morris ILL, Nicoll I.F. Hopscotch methods for an anisotropic thermal print head problem // Journal of computational physics. 1973. V. 13. P. 316-337.

214. Padovan J.// AIAA Journal. 1973. V.ll. № 4. P. 565-566.

215. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM 1955. V. 3. № 1. P. 23-42.

216. Park HM, Chung O.Y. An inverse natural convection problem of estimating the strength of aheat source// Int J. ofHeat and Mass Transfer, Vol. 42, pp. 4259-4273.1999.

217. Robertson S.R. A finite difference formulation of the equation of heat conduction in generalized coordinates //Numer. Heat Transfer. 1979. V. 2. P. 61-80.

218. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations// Appl. Mathematics. 1968. vol. 3. № 2.

219. Sallivan J.M., Kobayashi W.S. Spalation modeling in the cherring matherial thermal response and ablation computer program// AIAA Pap. 1987. № 1516. p. 1-6.

220. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight// ARSJ. 1962. № 6.

221. Satage R.T., Love W., Blotscher F. High Temperature Perfomance of Flexible Thermal Protection Matherials// AIAA Paper. 1984. № 1770. 9 p.

222. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle// AIAA Paper. 1988. № 2839. 9 p.

223. Young R.W. Sensitivity of thermomechanical response to thermal boundary conditions and matherial constans// Int. J. Sol. Str. 1979. vol. 15. № 7. p. 513-517.

224. Verwer J.G., De Vries HJB. Global extrapolation of a first order splitting method// SIAM J. Sci. and Statist Coip. 1985. V. 6. № 3.

225. Zeng Wenping. Two classes of explicit diffenence'schemes for solving parabolic partial differential equation in higher dimension with mixed derivatives// Tao^H acocao D3HcyaHb iny-ckd cfcoSao, Numer. Malh. J. Chin. Univ. 1985. V. 7. № 2. P. 177-182

226. Ziering M.B. Thermochemical ablation of ceramic heat shields// AIAA Jorn. 1975. № 13. p. 610-616.

227. Greenwood T.F., Lee Y.C., Bender R.L., Carter R.E. Space shattle base heating// J. Spacecraft and Rockets. 1984. vol. 21. № 4. p. 339-345.

228. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Matherials. Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129133.