Моделирование сопряженного теплопереноса между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Александрович

• Колесник, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРИСТЕННЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

1.1. Моделирование пристенного высокотемпературного градиентного газодинамического течения на неизотермической стенке.

1.1.1. Физико-математическая модель

1.1.2. Определение газодинамических характеристик на внешней границе.

1.1.3. Определение газодинамических характеристик вдоль линии полного торможения.

1.2. Численное решение задачи о пристенном течении на неизотермической стенке

1.3. Результаты решения задачи о пристенном течении.

Выводы к главе 1.

2. ТЕПЛОПЕРЕНОС В АНИЗОТРОПНЫХ ОБЛАСТЯХ С РАЗРЫВНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ.

2.1. Моделирование теплопереноса в анизотропных областях с разрывными характеристиками.

2.2. Метод численного решения.

2.3. Анализ численных результатов.

2.4. Апробация аналитического решения второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности и метода переменных направлений с экстраполяцией.

Выводы к главе 2.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА МЕЖДУ ПРИСТЕННЫМ ТЕЧЕНИЕМ И АНИЗОТРОПНЫМИ СОСТАВНЫМИ ТЕЛАМИ.

3.1. Математическая постановка.

3.2. Метод численного решения.

3.3. Анализ полученных результатов.

Выводы к главе 3.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ГРАНИЦАХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ.

4.1. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи в анизотропном полупространстве.

4.1.1. Математическая постановка.

4.1.2. Метод решения задачи.

4.1.3. Анализ результатов.

4.2. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи в анизотропной пластине.

4.2.1. Математическая постановка задачи.

4.2.2. Метод решения.

4.2.3. Анализ результатов.

4.3. Аналитическое исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропными телами.

4.3.1. Постановка задачи сопряженного теплообмена между пограничным слоем и анизотропной пластиной.

4.3.2. Упрощение системы уравнений пограничного слоя и получение аналитического решения задачи пограничного слоя

4.3.3. Свойства аналитических решений второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности.

4.3.4. Анализ полученных результатов.

Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование сопряженного теплопереноса между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами»

При определении теплового состояния тел в условиях конвективно-кондуктивного теплообмена, и в частности, при сверх- и гиперзвуковом обтекании летательных аппаратов (ЛА) сформировалось два подхода.

Первый подход называют традиционным. При его использовании задачи теплообмена в пристенных вязких газодинамических течениях и теплопереноса в теле ставятся и решаются отдельно, а именно, найденные тепловые потоки из решения систем уравнений высокотемпературных пристенных течений, используются затем в качестве краевых условий в задачах теплопереноса в обтекаемых телах. Достоинством такого подхода является сравнительная простота решения задач о тепловом состоянии тел. Однако он обладает рядом существенных недостатков, главным из которых являются следующие: во-первых при постановке и решении задач тепло-массопереноса в пристенных течениях не учитывается тепловое состояние тела и краевое условие для уравнения энергии задается не из теплового состояния тела, а приближенно из некоторых соображений, не имеющих никакого отношения к тепловому состоянию тела, т.е. тепловое состояние тела не влияет на динамическое и тепловое состояние пристенного течения; во-вторых, тепловой поток, входящий в тело и определенный вне связи с тепловым состоянием тела, не учитывает влияния пристенного течения на тепловое состояние тела.

Второй подход - моделирование сопряженных задач теплообмена в пристенных течениях и теплопроводности в обтекаемых телах, стыкуемых на границах "газ - твердое тело", называемых границами сопряжения. Решение подобных задач устраняет недостатки, присущие традиционному подходу, однако сложность постановки и решения подобных задач неизмеримо возрастает по сравнению с традиционными, поскольку приходится моделировать и стыковать тепломассоперенос в различных средах, на которых кроме непрерывности тепловых потоков и температур (краевых условий четвертого рода) необходимо формировать краевые условия для каждого уравнения математических моделей, описывающих тот или иной физический процесс в газе и в теле.

Большинство материалов, из которых изготовлены обтекаемые тела, являются анизотропными материалами со степенью анизотропии, изменяющейся в пределах от 1,1 до 200. В сопряженных задачах теплообмена между газодинамическими течениями и анизотропными телами необходимо учитывать существенные перетоки тепла в продольном направлении, как в теле, так и в газе, в результате чего газодинамические течения на таких телах описываются уравнениями эллиптического типа, т.е. моделирование течения и теплообмена в приближении пограничного слоя не приемлемо и приходится рассматривать пристенные течения, учитывающие в уравнениях сохранения импульса и энергии вторые производные от искомых, газодинамических функций по продольной пространственной переменной.

В этой связи тема диссертационной работы по моделированию и исследованию сопряженного теплообмена между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами является актуальной.

Математическое моделирование теплового состояния обтекаемого тела, таким образом, является комплексной проблемой, включающей в себя следующие составные части, каждая из которых имеет самостоятельное значение: пристенное невязкое течение, содержащее производные по продольной переменной, причем характеристики этого течения на стенке затем используются в краевых условиях для пристенных вязких течений; пристенное вязкое течение, также содержащее вторые производные газодинамических характеристик по продольной переменной; многомерный теплообмен внутри анизотропных тел, когда характеристики переноса являются не скалярными, а тензорными характеристиками, в том числе при наличии разрывов этих характеристик; сопряженный теплообмен между пристенным газодинамическим течением и анизотропным телом.

В диссертационной работе численно и аналитически моделируется весь комплекс перечисленных проблем. Особое внимание уделено разработке программных комплексов по расчету теплогазодинамических характеристик вязкого и невязкого пристенных течений, многомерных нестационарных температурных полей в составных анизотропных телах, в том числе с разрывными теплофизическими характеристиками (ТФХ), сопряженного теплообмена между пристенными течениями и анизотропными телами. Эти программные комплексы используются в качестве инструмента по исследованию взаимного влияния многочисленных теплогазодинамических и теплофизических характеристик.

Основная трудность в проблемах сопряженного теплообмена заключается в том, что для решения полных уравнений пристенного течения необходимо в качестве краевого условия для уравнения энергии задать температуру границы сопряжения, для определения которой необходимо полностью решить задачу теплопроводности в теле. Для решения задачи теплопроводности в теле должны быть заданы на границе сопряжения тепловые потоки от пристенного течения, которые определяются из решения полной системы уравнений пристенного течения. Чаще всего выход из этого круга находился в виде итерационных процедур. А именно, если задача теплопроводности ставится в нестационарной постановке, а задача пристенного течения - в квазистационарной (характерное время в виде отношения размера тела к скорости невязкого потока много меньше характерного времени нагрева тела), то в качестве начального приближения температуры границы сопряжения в задаче пограничного слоя принимается распределение температуры из предыдущего временного слоя. Далее итерационный процесс очевиден. Этот метод не годится в сопряженных стационарных задачах пограничного слоя и теплопроводности.

По исследованию сопряженного теплообмена на границах изотропных тел известны классические работы Лыкова A.B. и его школы [59-65] , в которых рассматривались простейшие сопряженные задачи в локально-одномерных постановках. В тех же работах высказаны основные идеи и методы решения сопряженных задач теплообмена, основными из которых являются следующие:

-итерационные методы, которые сложно применить к стационарным сопряженным задачам;

-метод объединения расчетных областей в одну расчетную область, этот метод обладает существенным недостатком при реализации вычислений, поскольку шаги сетки в теле и в пристенном течении отличаются ~ в 10 раз и более, что существенно снижает точность вычислений, особенно в окрестности границы сопряжения;

-метод введения параметра, в качестве которого можно использовать распределение температуры на границе сопряжения; этот метод в многомерных задачах не был реализован из-за его сложности, поскольку значение температуры в каждом узле пограничного слоя и тела зависит от температуры границы сопряжения; в работе Формалева В.Ф., Голованова В.А. [117] описан безытерационный метод введения параметра для эффективного решения сопряженных задач пограничного слоя и анизотропной теплопроводности.

Основные теоретические и практические аспекты проблемы математического моделирования процессов теплообмена при обтекании тел газодинамическими потоками отражены в ряде известных монографий [77,78,103,83]. Существенный вклад в исследование сопряженного теплообмена внесен работами Ревизникова Д.Л. [91-96].

Сопряженный теплообмен полого эллиптического цилиндра в ламинарном потоке рассматривался в работе [27]. В работах [34-36] численно решались неавтомодельные задачи пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена, когда невозможно применить переменные Дородницына-Лиза из-за наличия производных второго порядка от газодинамических функций по продольной переменной.

По исследованию сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел публикации практически отсутствуют. В сопряженных задачах пристенного течения и анизотропной теплопроводности трудности постановки и решения существенно возрастают в силу того, что, во-первых, приходится ставить и решать многомерные по пространству сопряженные задачи, во-вторых, все направления в точках, принадлежащих границе сопряжения, равнозначны в том смысле что нельзя пренебречь продольными перетоками тепла, в-третьих, решение подобных задач зачастую сводится не к трансцендентному уравнению, как в изотропном случае, а к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно температуры границы сопряжения в двумерном случае и для уравнения первого порядка в частных производных - в трехмерном случае.

Вопросы пристенных градиентных газодинамических течений в приближении пограничного слоя исследовались во многих работах, например, в [19, 28, 29, 34-36, 54, 55, 63-65, 79, 86, 93, 107, 114, 141, 146]. Имеются прекрасные монографии Шлихтинга Г. [141], Лапина Ю.В. [57], Пасконова В.М. и Полежаева В.И. [80]. Численное исследование пристенных течений описываемых уравнениями эллиптического типа, на неизотермических стенках рассматривалось в работах [29, 34-36, 79, 146]. При этом работы по численному моделированию пристенных течений на неизотермических стенках, температура которых определяется по тепловым потокам от пристенных течений, автору неизвестны.

По теории теплопроводности опубликовано значительное число работ, среди которых необходимо отметить замечательные монографии и учебники [19, 25, 31, 32, 38, 40, 47, 60, 73, 81, 85, 109, 140]. Однако этого нельзя сказать о работах по теплопроводности анизотропных тел. Некоторое систематизированное изложение представлено единственной главой в единственной монографии [40]. Публикации в статьях [50, 48, 87-90, 139, 140] касаются аналитических решений задач анизотропной теплопроводности в простейших областях с граничными условиями первого рода. В работах [46, 47, 135] численно решались задачи теплопроводности в телах различной формы в различных постановках.

Дальнейшее развитие теории теплопроводности анизотропных тел получило в работах [112-121] научного руководителя соискателя, в которых получены новые аналитические решения и численные методы решения задач анизотропной теплопроводности.

В совместных работах научного руководителя и соискателя [122-134] получены новые аналитические решения задач анизотропной теплопроводности с граничными условиями второго рода, в том числе и сопряженных задач. Получен ряд численных результатов, позволяющих сделать вывод о возможности управления тепловыми потоками и температурами путем изменения характеристик тензора теплопроводности.

Таким образом, работы по анизотропной теории теплопроводности практически отсутствуют, не говоря о сопряженном теплообмене на границах анизотропных тел.

На основе изложенного, формулируются следующие цели и задачи диссертации:

1. Разработка математических моделей, методов и программных комплексов по расчету:

- характеристик пристенных градиентных газодинамических течений, учитывающих вторые производные по продольной пространственной переменной;

- многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных составных телах;

- параметров сопряженного теплообмена между пристенными течениями и анизотропными телами.

2. Модификация существующих методов численного решения задач теплопроводности и пристенных течений.

3. Нахождение аналитических решений второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности в полупространстве и пластине.

4. Разработка численно-аналитического метода решения сопряженной задачи пограничного слоя и анизотропной теплопроводности на основе аналитических решений.

5. Исследование многомерных температурных полей в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности.

6. Исследование температуры и величины теплового потока на границе сопряжения в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности в теплозащитном слое.

Для численной реализации комплексов задач, перечисленных в этих целях, необходимо выбрать численный метод, удовлетворяющий следующим требованиям: экономичности, абсолютной устойчивости, простоте алгоритмизации. К настоящему времени существует огромное число работ, посвященных численному решению параболических задач. Среди экономичных численных схем необходимо отметить следующие: метод дробных шагов (МДШ) Яненко H.H. [143, 143], метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [155], центрально-симметричный интегро-интерполяционный метод Самарского A.A. [99-101], метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) Формалёва В.Ф. [116].

Все эти методы являются экономичными, поскольку сводятся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и абсолютно устойчивыми, если дифференциальные уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. При наличии смешанных производных все перечисленные методы, за исключением метода [119], являются условно устойчивыми, даже такой метод, как метод дробных шагов Яненко H.H.

Поэтому для программной реализации использован экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией, разработанный научным руководителем. По точности и порядку аппроксимации он уступает таким методам, как МПН, метод стабилизирующей поправки, но по запасу устойчивости он не имеет себе аналогов. Кроме этого, МПНЭ обладает полной аппроксимацией на каждом временном полуслое.

Ниже изложено краткое содержание диссертации. Она состоит из введения, четырёх глав с выводами, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колесник, Сергей Александрович

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Разработаны математические модели, методы и программные комплексы по расчету:

- характеристик пристенных градиентных газодинамических течений, учитывающих вторые производные по продольной пространственной переменной;

- многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных составных телах;

- параметров сопряженного теплообмена между пристенными течениями и анизотропными телами.

2. Предложена модификация экономичного абсолютно устойчивого метода переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) применительно к задачам эллиптического типа. В задаче теплопроводности для анизотропных составных тел метод МПНЭ модифицирован с использованием интегро-интерполяционного метода Самарского A.A. для нерегулярных узлов, позволяющего повысить порядок аппроксимации в узлах принадлежащих различным границам. Разработан и применен метод определения температуры границы сопряжения со вторым порядком аппроксимации.

3. Получены результаты численного решения по определению: газодинамических характеристик в вязком пристенном течении с градиентом давления на неизотермических стенках; нестационарных температурных полей в составных анизотропных телах, имеющих различные характеристики тензоров теплопроводности; параметров теплообмена на границе сопряжения "газ-твердое тело". Показано, что изменением величины главных компонент и ориентации главных осей тензора теплопроводности наружного материала, можно управлять величиной теплового потока от пристенного течения.

4. Впервые получены аналитические решения второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропном полупространстве и анизотропной полосе. Найден способ ликвидации расходимости функциональных рядов в окрестности начального момента времени. Полученные решения используются для тестирования численных методов.

5. На основе аналитических решений п.4 численно-аналитически решена сопряженная задача пограничного слоя в простейшей постановке и анизотропной теплопроводности в пластине. Разработан метод на основе принципа суперпозиции, использования аналитического решения с кусочно-постоянным теловым потоком на границе сопряжения для теплового потока от пограничного слоя в виде нелинейной функции с неизвестной температурой.

6. Необходимы дальнейшие исследования влияния характеристик тензора теплопроводности на пристенные течения и, в частности, на уменьшение тепловых потоков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесник, Сергей Александрович, 2005 год

1. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике/Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. М.: Машиностроение, 1992.

2. Алексашенко A.A., Алексашенко В.А., Селезнёв Н.В. Решение уравнений тепломассопереноса для тел классической формы с учётом конечной скорости капиллярного движения// В кн.: Строительная теплофизика. M.-JL: Энергия. - 1966 - С. 270-300.

3. Алексашенко A.A. Аналитическое исследование тепло и массопереноса с учётом конечной скорости переноса. Канд. Дисс. ИТМО. -Минск, 1968.

4. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // Инженерно-физический журнал. -2001. -Т.74, №6 С. 82-87.

5. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии // Изв. АН. Энергетика. 2003.-№5. - С. 75-88.

6. Аттетков А. В., Волков И. К., Тверская Е. С. Термоактивная прокладка как средство управляемого воздействия на температурное поле конструкции// Изв. РАН. Энергетика-2002.-№4.-С. 131-141.

7. Аттетков A.B., Волков И.К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. - №1. - С. 37-45.

8. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимахтеплообмена с внешней средой// Инженерно-физический журнал. 2001. -Т. 74, №3.- С. 81-86.

9. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитические методы исследования теплового состояния области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой// Инженерно-физический журнал.-2000. Т.73, №1. - С. 125-130.

10. Берман Р. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Мир, 1979.

11. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности, часть 2. -М.: Высшая школа, 1982.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

13. Берцун В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Томск: Пеленг. 1998. - С. 12-19.

14. Бородин А. И. Регулируемый теплообмен в ламинарном пограничном слое вдоль проницаемой поверхности затупленного тела// Теплофизика высоких температур. 2003. - Т.41, №3. - С. 427-431.

15. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.J1. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности // Томск: Пеленг. 2001.- С. 275-278.

16. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Издательство Иностранная Литература, 1963.

17. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. -М.: Наука, 1972.

18. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.: Госэнергоиздат, 1956.

19. Тепловая защита лопаток турбин/ Галицейский Б.М., Совершенный В.Д., Формалев В.Ф., Черный М.С. -М.: МАИ, 1996, 356 с.

20. Гайнутдинов Р. Ш. Сопряженная задача теплового взрыва// Инженерно-физический журнал. 1999. - Т.72, №2. - С.206-209.

21. Гдалевич Л.Б., Хусид Б.М. Сопряженный нестационарный теплообмен тонкой пластины в потоке несжимаемой жидкости. // Инженерно-физический журнал.-1971.- Т.20,№6. С.1045-1052.

22. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // Введение в теорию разностных схем. — М.: Физматгиз, 1962.

23. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию) -М.: Наука, 1977.

24. Головин Н. Н., Кувыркин Г. Н. Численное моделирование нестационарных температурных полей в конструкциях из композитных материалов при высокоинтенсивном нагружении// Труды 2-й Российской национальной конференции по теплообмену. М., 1998. - С.57-60.

25. Гребер Г., Эрк. С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: Издательство Иностранная Литература, 1958.

26. Давыденко Б.В. Сопряженный теплообмен эллиптического цилиндра при произвольном законе внутреннего тепловыделения. В сб. Конвективный теплообмен и гидродинамика. - Киев, 1985.

27. Давыденко Б.В. Сопряженный теплообмен полого эллиптического цилиндра в ламинарном потоке. В сб. Процессы переноса в однородных и неоднородных средах. - Киев, 1989. - С.84-89.

28. Дородницын A.A. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэродинамики // Труды III Всесоюзного математического съезда, 1956.-М., 1958.-Т.З.- С. 447.

29. Дорфман А.Ш. Теплообмен при обтекании неизотермических тел.- М.: Машиностроение, 1982. 192 с.

30. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами //ЖВМ и МФ. 1964. - Т.4, №2 - С.132-143.

31. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчёта). М.: Машиностроение, 1978.

32. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983.

33. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели теплопроводности// Труды 2-й Российской национальной конференции по теплообмену. М., 1998. - С. 96-98.

34. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. Решение неавтомодельных задач теории пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена //Известия АН СССР, МЖГ. 1977. - №4. - С. 59-64.

35. Зинченко В.И., Путятина E.H. Решение задач сопряженного теплообмена при обтекании тел различной формы //Журнал прикладной механики и технической физики. 1986. - №2.- С. 85-93.

36. Зинченко В.И., Федорова О.П. Исследование пространственного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена //Журнал прикладной механики и технической физики. 1989.- №3. - С.118-124.

37. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирский математический журнал. 1965. - Т. 6, №1.- С.118-124.

38. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.

39. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности в области с движущимися границами// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. - №6. - С. 83111.

40. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. — М.: Высшая школа, 2001.

41. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т.74. №2. - С. 1-24.

42. Карташов Э.М. Современные аналитические методы при решении краевых задач уравнения теплопроводности в области с движущимися границами//Повышение эффективности теплообменных процессов и систем.-2000. С.7-9.

43. Карчевский М.М., Лапин A.B., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. Вузов. Математика. 1972. - Т.118, №3.

44. Крицкий О.Л. Применение а — ß алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. 1999. - Вып.З. - С. 35-41.

45. Ким. Л.В., Миков В.Л. Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах // Деп. в ВИНИТИ, №642 В86. - 1986.

46. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.

47. Коздоба Л.А., Чумаков В.Л. Решение нелинейных задач нестационарной теплопроводности методом возмущений // Теплофизика высоких температур. 1970. - Т.8, №5. - С. 835-845.

48. Коляно Ю.М. Определение температурных полей в тонких анизотропных пластинах //ДАН БССР. 1970. - Т. 14, №1. - С. 125-142.

49. Корнеев С.А. Гиперболическое уравнение теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. 2001. - № 4. - С. 117-125.

50. Краевые задачи теории теплопроводности // Сб. статей института математики УССР. Киев. - 1975.

51. Кудинов В.А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций // Известия РАН. Энергетика. 1999. - №5. С.85-106.

52. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.

53. Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностной схемы для квазилинейного параболического уравнения любого порядка // Функциональный анализ и теория функций: Сб. статей Казань. - 1971.

54. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. - 312с.

55. Леонтьев А.И. Теория тепло- массопереноса. -М.: Физматлит, 1997.

56. Лунёв В.В. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учётом равновесных физико-химических превращений. — М.: Издательство ВЦ АН СССР, 1968.

57. Лунёв В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975.

58. Любимов Л.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука, 1970.- Т. 2. - 380с.

59. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. — М.: Госэнергоиздат, 1963.

60. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

61. Лыков A.B., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.

62. Лыков A.B. Об эффектах анизотропии переноса тепла в потоках жидкостей и газов // Инженерно-физический журнал. 1973. - Т.25, №4. -с.72.

63. Лыков A.B., Перельман Т.Л. О нестационарном теплообмене между телом и обтекающим его потоком жидкости // Тепло и массообмен с окружающей газовой средой. - Минск: Наука и техника, 1965.

64. Лыков A.B., Алексашенко A.A., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск: Изд-во БГУ, 1971.

65. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. — М.: Энергия, 1978.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

67. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1983.

68. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

69. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: в 3-х т. Т.1. Прогнозирование и анализ экстремальных воздействий/ Под ред. С.В. Резника. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.

70. Минайлос А.Н., Толстых А.Н. Неявные конечно разностные схемы повышенной точности для сквозного счёта разрывных решений // ЖВМ и МФ. - 1975. - Т.15. №3. - С. 527.

71. Мельников Ю.А., Рыдванский Т.В. Решение двумерных краевых задач нестационарной теплопроводности для областей сложной формы // Рукопись деп. в ВИНИТИ 16.05.84, №3163 84 Деп.

72. Митропольский Ю.А. и др. Нелинейные задачи теплопроводности с производной по времени в граничном условии. Киев: Институт математики, 1974.

73. Михеев М.А., Михеева Й.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1973.

74. Никитенко Н.И. Теория тепло- и массопереноса. Киев: Наукова думка, 1983.

75. Никитенко Н.И. Сопряжённые и обратные задачи тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1988.

76. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.

77. Пасконов В.М., Полежаев В.И. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. - М.: Наука, 1984.

78. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984.

79. Перельман T.JI. О сопряженных задачах теплообмена // Тепло и массоперенос. - Минск: Наука и техника, - 1963. - Т.5 - С.231-245.

80. Петрикевич Б.Б. Математическая формулировка сопряженных задач сложного теплообмена резкоускоренного потока со стенкой. //ММФ-1988.-С.98-100.

81. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твёрдых тел. -Л.: Энергия, 1976.

82. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус. 2004.

83. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. -М.:Высшая школа, 1987. 232с.

84. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976.

85. Полежаев Ю.В., Панкратов Б.М. Взаимодействие материалов с газовым потоком.-М.: Машиностроение, 1976.

86. Поляков А.Ф., Ревизников Д.Л. Численное моделирование сопряженного тепломассообмена при проникающем пористом охлаждении цилиндрической передней кромки. //Теплофизика высоких температур. -1998.- Т.36, №4. С.617-623.

87. Пэдовен Д. Распределение температуры в трёхмерных оболочках вращения // Ракетная техника и космонавтика. 1972. — №1. - С. 71-85.

88. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве // Ракетная техника и космонавтика. -1973.- №4.- С. 174-185.

89. Пэдовен Д. Обобщённый метод Штурма Лиувилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде // Ракетная техника и космонавтика. - 1974. - №8. - С. 190-198.

90. Пунь К.С., Цзоу Р.С., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат // Теплопередача. -1979.- №2.-С. 177-186.

91. Ревизников Д.Л., Сафонов В.Е., Формалёв В.Ф. Численное моделирование сопряженного теплообмена при сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации: Сб. трудов. -М.: Наука, 1987.

92. Ревизников Д.Л., Формалёв В.Ф. Моделирование граничных условий в задачах сопряженного теплообмена // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации: Сб. трудов. — М.: Наука, 1989.

93. Ревизников Д.Л, Коэффициенты неизотермичности в задаче нестационарного сопряженного теплообмена на поверхности затупленного тела // Теплофизика высоких температур. 1995. - Т.ЗЗ, №2. - С. 261 - 267.

94. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

95. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1968.

96. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

97. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

98. Самарский A.A. Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа со смешанными производными // ЖВМ и МФ. -1964.- Т.4. №4.

99. Самарский A.A., Галактионов В.А. и др. Режим с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

100. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

101. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

102. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975.

103. Самарский A.A., Вабишевич П.М. Численные методы решения задач конвекция диффузия. - М.: Физматлит, 1999.

104. Сапелкин В.В. Сопряженная задача нестационарного теплообмена ламинарного пограничного слоя с секционированной плоской пластиной // Журнал прикладной механики и технической физики. 1985. - №3. - С. 9095.

105. Саульев B.K. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

106. Сафронов И.Д. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1965. -Т.5,№5.

107. Совершенный В.Д. Модель полной вязкости в пристеночной области пограничного слоя. // Инженерно-физический журнал. 1974. - Т.27, №5, С.920-921.

108. Соколов А. К., Попов Г. В. Решение задач теплопроводности численно-аналитическим методом сложения температурных полей // Известия РАН. Энергетика. 2002. - №4. - С. 118-130.

109. Теплопроводность твёрдых тел. Справочник под ред. A.C. Охотина. -М.: Энергоатомиздат, 1984.

110. Тюков В. А. Решение двухмерного уравнения теплопроводности для цилиндрической области с ортотропной средой// Сборник научных трудов НГТУ. 2000. - №2. - С. 117-125.

111. Ш.Тимошенко В. П. Проектирование и экспериментальная отработка теплозащиты «Бурана» // Передовые термические технологии и материалы. 4.2 М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана.

112. Формалев В. Ф. О краевых условиях в сопряженных задачах пограничного слоя и теплопроводности в анизотропных телах // Математические методы механики жидкости и газа: Сб. трудов. -Днепропетровск.- 1985.- С.80-84.

113. ПЗ.Формалёв В. Ф. Численное исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах // Теплофизика высоких температур. 1988.- Т.26, №6.- С. 1122.

114. Формалёв В. Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и плёночного охлаждения затупленныханизотропных тел // Теплофизика высоких температур. 1992. - Т.ЗО, №2. -С. 334-344.

115. Формалёв В. Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учётом подвижных границ и большой степени анизотропии // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т. 28, №4. — с. 715-721.

116. Формалёв В. Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными // Вычислительные технологии. 1996. - Т.1, №2. - С. 99 - 103.

117. Формалев В. Ф., Голованов В.А. Исследование сопряженного теплообмена между пограничным слоем и телами с анизотропией свойств // Теплофизика высоких температур. 1999. - Т.37, №5. - С. 772-778.

118. Формалев В. Ф., Тюкин О. А. Исследование трехмерной нестационарной теплопроводности в анизотропных телах на основе аналитического решения// Теплофизика высоких температур. 1998. - Т.36, №2.- С. 239-245.

119. Формалев В. Ф. Теплопроводность анизотропных тел (краткий обзор)// 2-й Российской национальной конференции по теплообмену: Сборник трудов М., 1998. - т. 7. - С. 240-243.

120. Формалёв В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // Теплофизика высоких температур. 2001. - Т. 39, №5. - С. 810 - 832.

121. Формалёв В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит. 2004.

122. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности// Математическое моделирование. 2001. - Т.13, №7. - С. 21-25.

123. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Сопряженный теплообмен на границе между пограничным слоем и анизотропными телами //IV международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ 2002): Тезисы докладов. -М.,2002. - С. 419-420.

124. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Аналитическое исследование сопряженного теплообмена на границах анизотропных тел // Теплофизика высоких температур. 2002. Т. 40, №6. - С. 993-999.

125. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Миканев C.B. Моделирование теплового состояния композиционных материалов // Теплофизика высоких температур. 2003. - Т. 41, №6.- С. 935-941.

126. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили A.A. О законе нелинейной неизотермической фильтрации в анизотропных пористых телах // 9-я Международная конференция Математические модели физических процессов: Сб. трудов Таганрог, 2003,- Часть 1. - С. 46 - 51.

127. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Миканев C.B. General method for modelling of heat condition of composit material// 4-я международная конференция: Обратные задачи: Сб. трудов. М., 2003.

128. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Аналитическое исследование теплового состояния анизотропной пластины при наличии теплообмена на свободных границах // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15, №6.- С. 107-110.

129. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили A.A. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16, №5. -С. 94- 102.

130. Формалёв В.Ф., Колесник С.А, Чипашвили A.A. Аналитическое исследование теплопереноса при плёночном охлаждении тел // Теплофизика высоких температур. -В 2004 г. статья принята к опубликованию в 5-м номере 2005 г.

131. Чепрасов А.И. Математическое моделирование теплового состояния анизотропного материала в области дефекта структуры // Деп. ВИНИТИ. №7002-В, 1985.

132. Чжан Ю.П., Цзоу Р.Ц. Теплопроводность в анизотропной среде, однородной в цилиндрических областях // Теплопередача. 1977. - №1. -С. 42.

133. Чжан Ю.П., Пунь К.Ц. Трёхмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида // Теплопередача. 1979. - №3. - С. 203.

134. Чиркин B.C. Теплопроводность промышленных материалов. Справочное пособие. М.: Машгиз. 1962.

135. Чушкин П.И., Шулишнина Н.П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. М.: Издательство ВЦ АН СССР, 1964. - 91с.

136. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: Издательство Иностранная литература, 1960.

137. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

138. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массопереноса. М.:1. Госэнергоиздат, 1961.

139. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

140. Яненко Н.Н. Разностные методы решения задач математической физики.-М.: Наука, 1973.

141. Abou Khachfe R., J.L. Bailleul, Y. Jarny The simultaneous determination of thermal conductivity and heat capacity within an orthotropic medium by using conjugate gradient algoritm// 16th IMACS World Congress, 2000.

142. Chida K. Surface temperature of a flat plate of finite thickness under conjugate laminar forced convection heat transfer condition. // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2000. - V.43. - P.639-642.

143. Crank J., Nicolson P.A. Practical method for numerical Evaluation of Solution of Partial Differential Equations of the Heat Conductions Type. Proc. Camb., Phil. Soc. 1947. - V. 43. - P. 50 - 67.

144. Chengzong Z., Anwen W. Анализ стационарной теплопроводности в анизотропных прямоугольных областях при конвективном теплообмене на четырех сторонах в присутствии внутреннего источника тепла // Reneng dongli gongcheng. 1998.- №6.- Р.438-440, 469, 470.

145. Douglas J., Gunn J. Alternating direction methods for parabolic systems in m-space variables // J. Assoc. Compet. Machinery. 1962. - V. 9, №4.

146. Douglas J., Jones B. One predictor — corrector method for nonlinear parabolic differential equations // J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963. -V. 11, №1.

147. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. McGraw Hill, New York, 1972.

148. Karvinen R. Note on conjugate heat transfer in a flat plate// Letters in Heat and Mass Transfer. 1978.- №5.- P. 197-202.

149. Murthy J. Y., Mathur S. R. Computation of anisotropic conduction using unstructured meshes. Trans. ASME. J. Heat Transfer. 1998. - №3, V.120. - P. 583-591.

150. Peaceman D., Rachford H. The Numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM. 1955. - V. 3, №1.

151. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations // Appl. Mathematics. 1968. - V. 13, №2.

152. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight // ARSJ. 1962. - №6.

153. Satage R.T., Love W., Bloetscher F. High Temperature Performance of Flexible Thermal Protection Materials // AIAA Paper. 1984. - №1770. - 9p.

154. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle // AIAA Paper. 1988. -№2839.- 9p.

155. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Materials, Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. - P. 129 - 133.

156. Yoshihiro О. Исследование стационарной теплопроводности для ортотропного тела улучшенным методом кратно взаимных граничных элементов. Nihon kikai gakkai ronbunshu. 1998.- т.64. - С. 492-497.

157. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М.: Высшая школа, 1980.

158. Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1983.

159. Струминский В.В., Довгаль А.В., Лебедев Ю.В. и др. Теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости пограничного слоя при неравновесном нагреве поверхности. Препринт №3-87. Новосибирск: ИПТМ АНСССР. - 1987. - С. 22.

160. Казаков A.B., Коган М.И., Купарев В.А. Затягивание ламинарно-турбулентного перехода с помощью интенсивного локального нагрева поверхности вблизи передней кромки пластины// Теплофизика высоких температур. 1996. - Т.34, №1. - С. 40.