Идентификация процессов переноса в неоднородных пористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Данилаев, Пётр Григорьевич

• Данилаев, Пётр Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Данилаев, Пётр Григорьевич

Введение.

§ 1. Общая характеристика проблемы.

§ 2. Краткий обзор исследований по проблеме.

0.2.1 Инженерные методы решения проблемы

0.2.2 Математическое моделирование фильтрационных параметров .15 0.2.3 Математические исследования по теории коэффициентных обратных задач.

§ 3. Цель, задачи, методика исследования. Результаты, выносимые на защиту.

§ 4. Научная новизна и практическая ценность результатов, связь с научными программами.

§ 5. Апробация работы и публикации.

§ 6. Структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. Задача о продолжении решения уравнение параболического типа.

§ 1. Постановка задачи и её численное решение.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Численное решение.

1.1.3 Задача о продолжении решения без начального условия.

1.1.4 Результаты вычислительных экспериментов.

1.1.5 Связь между решениями двух уравнений типа теплопроводности.

§ 2. Решение прикладных задач.

1.2.1 Расчет пластового давления в круговом пласте с одной центральной скважиной.

1.2.2 Расчет одномерного нестационарного температурного поля.

Глава 2. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа с одной пространственной переменной.

§ 1. О некорректности коэффициентных обратных задач и общем подходе к их исследованию.

§ 2. Нахождение коэффициента при младшем члене уравнения.

2.2.1 Постановка задачи. Определение коэффициента.

2.2.2 Разностная задача квазиобращения.

2.2.3 Тестовый пример.

§ 3. Определение коэффициента при старших членах уравнения.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Задача квазиобращения и оценка устойчивости её решения.

2.3.3 Упрощения уравнения квазиобращения.

2.3.4 Упрощения задачи квазиобращения.

2.3.5 Определение коэффициента.

2.3.6 Разностная задача квазиобращения.

2.3.7 Численное решение задачи квазиобращения.

2.3.8 Результаты решения тестового примера.

§ 4. Модификация метода определения коэффициента при старших членах уравнения.

2.4.1 Способ модификации.

2.4.2 Нахождение коэффициента.

2.4.3 О выводе основного интегро-дифференциального уравнения.

§ 5. Обобщения разработанного алгоритма решения КОЗ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация процессов переноса в неоднородных пористых средах»

§1. Общая характеристика проблемы

Представим общую характеристику исследуемой проблемы. Рассмотрим её физические и математические предпосылки. Многие практические задачи приходится исследовать в условиях неполной информации. Например, когда уравнение в частных производных параболического типа, описывающее нестационарный физический процесс тепломассопереноса, содержит неизвестный коэффициент теплопроводности, или, когда нет возможности в полном объёме задать начально-краевые условия, необходимые для корректной по Ж.Адамару постановки задачи. Приведём примеры возникновения таких ситуаций на практике при исследовании задач подземной гидрогазодинамики водонефтяного пласта.

Планировать воздействия на эксплуатируемый водонефтяной пласт (месторождение) с целью увеличения нефтеотдачи можно, сделав прогноз распределения давления в нём. Распределение давления находится как решение уравнения, описывающего фильтрацию жидкости (ньютоновской или аномальной) в пористой среде, совместно с набором начально-краевых условий, обеспечивающим корректную по Ж.Адамару постановку задачи. Определённые предположения [24] позволяют свести исследование трёхмерной фильтрации к двумерной по простиранию фильтрации в пористой среде.

Нестационарная двумерная фильтрация однофазной сжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде, следующая закону Дарси, описывается линейным уравнением параболического типа [23] д дх др (7дх. д п ду др\ * др ду д( где р{х,у,1) - функция пластового давления, сг(х,у) = кН/¡л - коэффициент гидропроводности, к{х,у) - коэффициент проницаемости пористой среды, ¡л - коэффициент динамической вязкости, И(х,у)~ толщина (мощность) нефтяного пласта, ¡3 - коэффициент упругоёмкости пористой среды, /(х,у,() -функция распределённого отбора, определяемая заданием дебитов скважин. Нестационарная двумерная фильтрация однофазной аномальной сжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде описывается нелинейным уравнением параболического типа. Его конкретный вид определяется заданием закона фильтрации [15, 120].

Область фильтрации (решения уравнения) моделируется либо как одно-связная, но при этом используются специальные приёмы, позволяющие устранить особенности типа источник-сток в точках-скважинах [156], либо как многосвязная, когда скважины моделируются как окружности некоторого конечного радиуса [9], образующие внутренние границы области.

Техническая документация, ведущаяся на нефтяных месторождениях, позволяет задать на внутренних границах два краевых условия: физически -пластовое давление и дебит, математически - функцию, для которой составлено уравнение, описывающее фильтрацию, и её нормальную производную. Внешняя граница области решения выбирается на значительном удалении от зоны активной разработки нефтяного пласта, чтобы принять величину пластового давления на ней постоянной и неизменной, равной начальному невозмущённому значению [156]. Можно положить, что на этой границе нормальная производная функции пластового давления равна нулю. Если же граница выбрана в области разработки пласта, то пластовое давление и его нормальная производная снимаются с ежеквартальных карт изобар. Во втором случае нельзя произвести прогноз распределения пластового давления, но можно решать коэффициентные обратные задачи в постановках, рассматриваемых в диссертации.

Из других данных технической документации назовём геологические карты проницаемости пористой среды и толщины (мощности) водонефтяных пластов. Коэффициенты упругоемкости пористой среды и динамической вязкости фильтрующейся жидкости задаются как постоянные величины [23; 39].

Особенность технической документации такова: карты изобар имеют удовлетворительную точность, а при составлении геологических карт проницаемости допускается погрешность, приводящая к большим ошибкам вычисления коэффициента гидропроводности. Из анализа технической документации следует также, что изменение коэффициента проницаемости во времени в зоне однофазной фильтрации происходит так медленно, что на довольно значительном промежутке времени этим изменением можно пренебречь.

Одна из важных проблем подземной гидрогазодинамики заключается в построении методов определения полей фильтрационных параметров неоднородных эксплуатируемых водонефтяных пластов. Задание поля гидропроводности необходимо, чтобы прогнозировать распределение давления в пласте. Математическая модель этого поля должна обеспечивать хорошее соответствие вычисленного поля пластового давления его истинному распределению. Этой проблеме посвящено немало работ. Их обзор приведён далее.

Существуют различные подходы к математическому моделированию поля гидропроводности. В диссертации его математические модели строятся как решения коэффициентных обратных задач. Неизвестной является вектор-функция [106], её составляющие - функция, относительно которой составлено уравнение, и неизвестные функции - коэффициенты эллиптического дифференциального оператора. Физически составляющими искомой вектор-функции являются функция пластового давления и коэффициент гидропроводности {p{x,y,t\ <7(х,у)}. Далее предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят от пространственных переменных и не зависят от времени. Постановки задач, исследуемых в диссертации, используют результаты, полученных М.В.Клибановым [98-101] при доказательстве теорем единственности решения коэффициентных обратных задач. Физически условия получения единственного решения коэффициентной обратной задачи требуют задания на границе области решения функции пластового давления и её нормальной производной. Техническая документация позволяет сделать это.

Известно [106], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости решения к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода и, в этом смысле, является условно-корректной. В диссертации для решения коэффициентных обратных задач используется метод квазиобращения [111], предложенный М.М. Лаврентьевым и Ж.-Л.Лионсом как разновидность метода регуляризации. Построен алгоритм, позволяющий редуцировать решение коэффициентной обратной задачи к задаче о продолжении решения параболического уравнения, рассмотренной в [111].

В заключение параграфа отметим, что физические приложения коэффициентных обратных задач обширны и не ограничиваются проблемами подземной гидрогазодинамики. Например, они находят приложения при разработке новых образцов измерительной техники [90]. Прикладному использованию методов исследования условно-корректных задач математической физики посвятили монографии О.М.Алифанов, Е.А.Артюхин, С.В.Румянцев [68], Дж.Бек, Б.Блакуэлл, Ч.Сент-Клэр [19], Л.А.Коздоба, П.Г.Круковский [102, 103], K.Kurpisz, A.J.Novak [180]. Широкий спектр практических приложений условно-корректных задач можно найти в трудах Всесоюзных семинаров по обратным задачам, проходивших под председательством академика А.Н.Тихонова и академика В.П.Мишина, в трудах международных конференций «Идентификация динамических систем и обратные задачи», регулярно проходящих под руководством академика В.П.Мишина и члена-корреспондента РАН, профессора О.М.Алифанова на базе аэрокосмического факультета Московского государственного авиационного института и Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Данилаев, Пётр Григорьевич

Заключение и выводы

В диссертации решена научно-техническая проблема математического моделирования неоднородных пористых сред, сведенная к исследованию коэффициентных обратных задач для параболических уравнений, разработано ее алгоритмическое и программное обеспечение. Задачи определения фильтрационных свойств неоднородных пористых сред имеют важное народно-хозяйственное значение в комплексе проблем, связанных с разработкой эксплуатируемых нефтяных пластов и планированием их рабочих режимов. В целом работу можно определить как разработку теоретических положений, позволяющих говорить о развитии перспективного направления определения фильтрационных параметров в подземной гидрогазодинамике.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Для случая, когда коэффициенты эллиптического оператора, входящего в уравнение параболического типа с одной пространственной переменной, зависят от пространственной переменной и не зависят от времени, разработаны методы исследования ряда коэффициентных обратных задач, постановки которых основаны на результатах, полученных М.В.Клибановым при доказательствах теорем единственности решения. Разработан общий алгоритм их решения, сводящий проблему к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. Построены численные решения тестовых примеров, проведены вычислительные эксперименты по изучению их поведения. Доказаны теоремы о свойствах решений.

Метод квазиобращения применен для разработки методов математического моделирования и исследования коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа. В результате проведенных исследований:

• решена задача нахождения коэффициента при младшем члене уравнения параболического типа и исследовано поведение ее численного решения;

• решена задача нахождения коэффициента при старших членах уравнения параболического типа, проведено упрощение алгоритма ее решения с целью адаптации к известным численным методам решения, доказан ряд теорем о свойствах полученного решения, проведен вычислительный эксперимент по изучению свойств численного решения;

• разработанный алгоритм обобщен на уравнение параболического типа более общего вида, содержащее несколько неизвестных коэффициентов.

2. Изучены приложения рассмотренных коэффициентных обратных задач в подземной гидрогазодинамике для определения полей фильтрационных параметров неоднородных пористых сред как при линейной фильтрации однофазной сжимаемой жидкости, так и при фильтрации аномальных жидкостей. В результате:

• исследована задача определения фильтрационных параметров неоднородных эксплуатируемых нефтяных пластов при фильтрации, следующей закону Дарси, и при фильтрации аномальных жидкостей, описываемой различными законами;

• предложено преобразование, позволяющее свести решение коэффициентной обратной задачи для нелинейного уравнения параболического типа к соответствующей задаче для линейного уравнения.

3. Исследованы коэффициентные обратные задачи для параболических уравнений с двумя пространственными переменными, когда неизвестен старший коэффициент, зависящий только от пространственных переменных. В процессе исследования:

• построено автомодельное решение задачи определения коэффициента гидропроводности неоднородного нефтяного пласта;

• для частного и общего случаев функциональной зависимости старшего коэффициента уравнения разработаны алгоритмы решения соответствующих коэффициентных обратных задач методом сведения их к задаче о продолжении решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения, которая исследуется методом квазиобращения.

4. В заключительной части [111] авторы отмечают: «В классе "обратных задач" имеются такие, в которых неизвестны коэффициенты дифференциальных операторов, а общий вид этих операторов известен. Эти неизвестные коэффициенты могут быть: 1) коэффициентами операторов "внутри области"; 2) коэффициентами граничных операторов. В случае 1) может быть предложено несколько методов: метод дифференциальной аппроксимации ., сопровождающийся различными итерационными методами ., метод "линейных форм" ., сведение к интегральному уравнению. Мы хотим . отметить ., что метод квазиобращения . применим для решения обратной задачи в случае 2)».

Проведенные исследования показали возможность применения метода квазиобращения и для решения "внутренних коэффициентных обратных задач" путем сведения их к задаче о продолжении решения параболического уравнения.

5. Алгоритм решения задачи о продолжении решения параболического уравнения методом квазиобращения применен к решению практических задач. В результате исследованы:

• задача о расчете пластового давления в неоднородном круговом пласте с центральной скважиной в условиях неполной информации (неклассическое задание набора дополнительных условий);

• задача расчета поля температур в стенке элемента энергетической установки с неклассическим набором дополнительных условий, обусловленным возможностями проведения замеров;

258

• особенности поведения численного решения задачи о продолжении решения уравнения параболического типа.

Полученные результаты обосновывают возможность использования метода квазиобращения для решения практических задач при неклассическом задании дополнительной информации, когда результаты дискретных по времени замеров имеются в избытке на части границы области решения, но отсутствуют на другой ее части. При изучении возможностей метода квазиобращения рассматривались не только модельные примеры. В работах [65], [69] этот метод была применен для исследования практической задачи о продолжении решения параболического уравнения (расчет элемента энергетической установки). Проведенное компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты полностью подтверждают теоретические результаты и выводы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Данилаев, Пётр Григорьевич, 2000 год

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Ибрагимов Т.М. Об одном решении коэффициентной обратной задачи при нестационарной фильтрации нефти и газа в пласте//Докл. АН СССР. 1991. -Т.318, № 3. - С.566-569.

2. Алексеев Ю.К. Краткосрочный прогноз нефтепромысловых параметров. // Применение математических методов для решения задач разработки нефтяных месторождений. М., 1968. - С. 36-45.

3. Алексеев Ю.К. Метод уточнения параметров математической модели нефтепродуктивного пласта. // НТС по добыче нефти. Вып.40. - М.: Недра, 1971.-С. 60-66.

4. Алексеев Ю.К. Исследование оптимального управления системами, описываемыми эллиптическими уравнениями с зависящими от управления коэффициентами: Автореферат дисс. .канд. физ.-мат. наук. -М.,1974.-14 с.

5. Алифанов О.М., Клибанов М.В. Об условиях единственности и методе решения коэффициентной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ. -1985. Т.48, № 6. - С.998-1003.

6. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. - 288 с.

8. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

9. Андреев В.В., Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа // ЖВМ и МФ. 1972. - № 2. - С. 364-372.

10. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений.-Новосибирск: Наука, 1978.-118 с.

11. Ахметзянова Д.М. Планирование эксперимента для получения промыслового материала при решении обратных нефтяных задач // Уч. зап. Азерб. Ин-та нефти и химии. Серия IX, №5. - Баку, 1974. - С.131-136.

12. Ахметзянова Д.М. Уточнение коллекторских свойств пласта с помощью аналого-цифрового вычислительного комплекса на примере Березовской площади Ромашкинского месторождения // Известия вузов. Нефть и газ, 1975. -№Ю. С. 91-95.

13. Ахметзянова Д.М. Исследование способов уточнения параметров нефтяных пластов по эксплуатационным данным: Автореферат дисс. . канд. техн. наук. М., 1975. - 15 с.

14. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

15. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. - 288 с.

16. Басович И.Б. Об определении параметров пласта с применением модулирующих функций// Известия АН СССР, МЖГ.-1973, №5.-С. 154-158.

17. Басович И.Б. Определение переменной проницаемости пласта в случае радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины // ПММ. 1974. - Т.38, вып.З. - С. 514-522.

18. Басович И.Б. Определение неизвестных параметров нефтеносного пласта при наличии перетоков через слабопроницаемый пласт и инфильтрации // ПМТФ. 1974, №5,- С.80-85.

19. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. - 312 с.

20. Бойко В.П., Данилаев П.Г. О выборе функции плотности отбора при определении гидропроводности. / Казан, ун-т. Казань, 1976,- 12 с. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР 10.08. 76, №3097.

21. Болгарский A.B., Мухачев Г.А., Щукин В.К. Термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. - 495 с.

22. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. М. : Недра, 1984. - 269 с.

23. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1974.-232 с.

24. Булыгин В.Я. Правдоподобное моделирование. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 170 с.

25. Булыгин В.Я. Гидромеханический анализ работы эксплуатируемого нефтяного месторождения по данным технической документации // Труды по теории фильтрации / Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 118, кн. 2. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1958. - С. 4-67.

26. Булыгин В.Я. Простые конечно-разностные аналоги для решения задач подземной гидравлики // Вопросы подземной гидромеханики / Уч. зап. Казан. ун-та. Т. 124, кн. 9. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965,- С.3-11.

27. Булыгин В.Я., Данилаев П.Г. К вопросу об определении гидропровод-ности путем решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений // Численные методы в технико-экономических расчетах. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. С. 15-18.

28. Бутковский А.Г. Методы управление системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

29. Бухгейм A.JL, Клибанов М.В. Единственность в целом одного класса многомерных обратных задач // Докл. АН СССР. 1981. - Т.260, № 2. - С. 269-272.

30. Бухгейм А.Л. Разностные методы решения некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - 148 с.

31. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988,- 183 с.

32. Вабищевич П.Н., Денисенко А.Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ, 1990. - С. 35-45.

33. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для приближенного решения обратных задач теплообмена. М., 1991. - (Препринт / ИБРАЭ АН СССР, №11).

34. Вабищевич П.Н. Метод квазиобращения для эволюционных уравнений второго порядка. М., 1991. - (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 26).

35. Вабищевич П.Н. Разностные схемы метода квазиобращения для эволюционных уравнения второго порядка. М., 1991. - (Препринт / ВЦММ АН СССР, № 25).

36. Вайнберг Я.М., Вирновский Г.А., Швидлер М.И. О некоторых обратных задачах теории двухфазной фильтрации // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1975. - С. 73-83.

37. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. Под ред. Дмитриева В.И. М.: Недра, 1982. - 222 с.

38. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Киев: Наукова Думка, 1971. - 328 с.

39. Гиматутдинов Ш.К. Физика нефтяного пласта. М.: Гостоптехиздат, 1963.-274 с.

40. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984,- 112 с.

41. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - 195 с.

42. Голубев Г.В., Данилаев П.Г., Тумашев Г.Г. Определение гидропровод-ности неоднородных нефтяных пластов нелокальными методами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. - 167 с.

43. Голубев Г.В. Аналитические и численные методы определения фильтрационных параметров и давления при движении жидкостей и газов в неоднородной пористой среде: Автореферат дисс. . доктора физ.-мат. наук. -Казань, Казан, ун-т, 1992. 32 с.

44. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Применение численных методов решения квазилинейных уравнений к задачам движения жидкостей и газов в неоднородной пористой среде // Моделирование в механике. Новосибирск, 1992. - Т.6 (23), № 4. - С. 13-20.

45. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. О некоторых обратных задачах фильтрации с начальным градиентом давления // Фильтрация многофазных систем: Материалы Всесоюз. семинара. Новосибирск, 1991. - С. 71-76.

46. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Определение фильтрационных параметров при движении одно- и двухфазных жидкостей в пористой среде // Механика жидкости и многофазных сред. Ташкент: Фан, 1991. - С. 17-23.

47. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. К определению полей фильтрационных параметров разрабатываемых пластов по результатам измерений // Разработка газоконденсатных месторождений: Тр./ Междунар. конф., секц. 3,- Краснодар, 1990. С. 169-174.

48. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Численные методы определения фильтрационных параметров и решение обратных задач // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости: Тр./ ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. - С. 104-108.

49. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. К задаче об определении фильтрационных параметров // Динамика многофазных сред: Тр. / У Всесоюз. семинар «Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости». Новосибирск, 1981. - С. 133-139.

50. Данилаев П.Г. Коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа и их приложения. Казань: Изд-во Казан, математического общества, Изд-во УНИПРЕСС, 1998. 8 п.л.

51. Данилаев П.Г. Решение обратных задач подземной гидрогазодинамики методом квазиобращения // Идентификация динамических систем и обратные задачи: Докл. / Третья междунар. конф,- Москва С.-Петербург, 30 мая - 5 июня 1998 г. С. 211-218.

52. Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентных обратных задач // Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.

53. Данилаев П.Г. Численное решение коэффициентной обратной задачи для одного вида уравнения параболического типа // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева, 1997,- №2. -С. 26-28.

54. Данилаев П.Г. Математическое моделирование разработки нефтяных пластов методами регуляризации // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тез. докл. / УП Четаевская конф. Казань, 1997. -С. 138.

55. Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения и их приложениях // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тез. докл. Новосибирск, 1996. - С. 299.

56. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. Численное моделирование процессов разработка! нефтяных месторождений // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике: Тез. докл. Новосибирск, 1996. -С.271.

57. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. Решение коэффициентных обратных задач теплопроводности и их приложение // Теплопроводность, теплоизоляция: Тр. / Первая Российская нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1994,- Т.10, ч.1. - С. 69-74.

58. Данилаев П.Г., Голубев Г.В. О решении коэффициентных обратных задач и их приложениях // Идентификация динамических систем и обратные задачи : Тр. / Вторая междунар. конф. С.-Петербург, 1994. - В7. - С. 1-12.

59. Данилаев П.Г. Численное решение внутренней обратной задачи для уравнения параболического типа и её приложения // Моделирование в механике. Новосибирск, 1993. - Т.7 (24), № 3. - С. 45-50.

60. Данилаев П.Г. Об определении поля пластового давления в неклассической постановке // Второй респ. НТС «Машинные методы решения задач теории фильтрации»: Тез. докл. Казань, 1992. - С. 12-13.

61. Данилаев П.Г. Численное решение одномерного уравнения параболического типа с нестандартными начально-краевыми условиями // Моделирование в механике. Новосибирск, 1989. - Т.З (20), № 1. - С. 61-68.

62. Данилаев П.Г. Численное решение задачи определения пластового давления в неклассической постановке // Математическое моделирование процессов фильтрации и оптимизации нефтедобычи / Тр. КФ АН СССР. -Казань, 1989.-С. 29-33.

63. Данилаев П.Г. Решение обратных задач теплопроводности методом квазиобращения // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тр. / У1 Всесоюзн. семинар. М., 1988. - С. 32-33.

64. Данилаев П.Г. О некоторых неклассических задачах нестационарной фильтрации // Краевые задачи фильтрации грунтовых вод: Тез. докл. рес-публикан. НТС. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1988. - С. 25.

65. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения с использованием неявных разностных схем // Моделирование в механике. Новосибирск, 1987,- Т.1 (18), № 1. - С. 42-48.

66. Данилаев П.Г. Автомодельное решение задачи определения гидропро-водности неоднородного нефтяного пласта // Оптимизация нефтедобычи и вопросы подземной гидромеханики: Тр. / КФ АН СССР. Казань, 1987. -С. 39-43.

67. Данилаев П.Г. К устойчивости численного решения обратных задач механики // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: / У Всесоюз. Четаевская конф.: Тез. докл. Казан, авиац. ин-т; Казань, 1987. - С. 35.

68. Данилаев П.Г., Жаринов В.Г. Численное решение некоторых нестационарных задач математической физики // Современные проблемы физики и ее приложений. 4.2 / ВИНИТИ АН СССР: Тез. докл. / Всесоюз. конф. -М., 1987. -С. 42-43.

69. Данилаев П.Г. Опыт численного решения одномерной эволюционной обратной задачи методом квазиобращения // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1986. - Т. 17, № 5. - С. 69-76.

70. Данилаев П.Г., Жаринов В.Г. Численное решение уравнений параболического типа // Современные вопросы механики и технологии машиностроения,- 4.2. / ВИНИТИ АН СССР: Тез. докл. / Всесоюз. конф. М., 1986. - С. 22.

71. Данилаев П.Г. Опыт численного решения двух обратных задач теплопроводности на основе метода квазиобращения // Пятая Всесоюз. конф. по управлению в технических системах: Тез. докл.- Казань, 1985. С.110.

72. Данилаев П.Г. О численном продолжении решения уравнения теплопроводности // Машинные методы решения краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Рига, 1985. - С. 24.

73. Данилаев П.Г. Опыт численного решения обратных задач теплопереноса методом квазиобращения // Методы и средства решения краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Казань, 1984. С. 35.

74. Данилаев П.Г. Анализ численного решения эволюционной обратной задачи методом квазиобращения // Эффективность машинных решений краевых задач: Материалы научно-техн. семинара. Москва-Куйбышев, 1982. -С. 15-16.

75. Данилаев П.Г. О некоторых обратных задачах теплообмена в реактивных двигателях на твёрдом топливе // Газодинамика двигателей летательных аппаратов: Межвуз. сб. / Казан, авиац. ин-т; Казань, 1981. С. 9-14.

76. Данилаев П.Г. О постановке некоторых некорректных задач газовой динамики // Газодинамика двигателей летательных аппаратов: Межвуз. сб. / Казан, авиац. ин-т; Казань, 1980. С. 3-9.

77. Данилаев П.Г. О вычислении гидропроводности эксплуатируемого нефтяного пласта // Известия вузов. Нефть и газ. 1978. - № 2. - С. 51-54.

78. Данилаев П.Г. Определение параметра проводимости путем решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений // Гидродинамика и оптимизация разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - С. 35-41.

79. Данилаев П.Г. Об одном примере возможной некорректности задачи определения параметра проводимости // Проблемы разработки и гидродинамики нефтяных месторождений. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1975. - С. 45-47.

80. Данилаев П.Г. Об одном приближенном математическом способе построения закона фильтрации неньютоновской жидкости // Теоретические и экспериментальные проблемы рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - С. 18-20.

81. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом // ЖВМ и МФ. 1982. - Т.22, №4,- С. 858-864.

82. Дорохов О.И., Орлов B.C., Максимов М.М. и др. Промысловые исследования процесса разработки на Бавлинском месторождении / Фонды ВНИИнефть; М., 1960.

83. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные среды: Автореферат дисс. . доктора техн. наук. Казань, Казан, гос. техн. ун-т, 1995. - 35 с.

84. Зиновьев Н.П. О вычислении гидропроводности в процессе разработки нефтяного пласта // Тр. ВНИИнефть. Вып.ХЬУП. - М„ 1966. - С. 119-123.

85. Зиновьев Н.П. Определение функции давления и гидропроводности в эксплуатируемом нефтяном пласте: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1966. - 10 с.

86. Зиновьев Н.П. К вопросу вычисления давления в эксплуатируемом нефтяном пласте // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 127, кн. 5. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967. - С. 66-74.

87. Зиновьев С.М. Фильтрация двухфазной жидкости в слоистых пластах: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1978. - 16 с.

88. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

89. Иванчов Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. - Т. 39, №3. - С.539-550.

90. Искендеров А.Д. Обратные краевые задачи для определения параметров фильтрующихся сред // Известия АН АзССР,- Серия физ.-мат. и техн. наук. -1971,- №2.-С. 30-34.

91. Клибанов М.В. Единственность решения двух обратных задач для системы Максвелла // ЖВМ и МФ. 1986. - Т.26, № 7. - С. 1063-1071.

92. Клибанов М.В. Обратные задачи в «целом» и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, № 6. - С. 1035-1041.

93. Клибанов М.В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1984.-Т. 20, № 11.-С. 1947-1953.

94. Клибанов М.В., Данилаев П.Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР. 1990. - Т.310, № 3. -С. 528-532.

95. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теп-лопереноса. Киев : Наукова Думка, 1982. - 360 с.

96. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. Киев: Наукова Думка, 1992. - 224 с.

97. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.-227 с.

98. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. - 209 с.

99. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

100. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. - 88 с.

101. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. -67 с.

102. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. - 74 с.

103. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

104. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. - 336 с.

105. Лисагор М.С. Статистическая оценка параметров уравнения фильтрации по промысловым данным // Методы исследования операций и систем в добыче и транспортировке нефти и газа. Вып. 1-2. / ВНИИКАнефтегаз. -М., 1971. -С.101-114.

106. Лисагор М.С. Задачи и методы идентификации математических моделей объекта разработки по промысловой информации // Теоретические и экспериментальные проблемы разработки нефтяных месторождений. 4.II. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. - С. 182-185.

107. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. -Минск: Наука и техника, 1981. 343 с.

108. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1979. - 904 с.

109. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматгиз, 1961.618 с.

110. Макаров A.M., Романовский М.Р. Решение коэффициентных обратных задач методом регуляризации с использованием сплайн-функции // ИФЖ. -1978. Т. 34, №2. - С. 332-337.

111. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку: Азнефтеиздат, 1959. - 409 с.

112. Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Одномерная фильтрация сжимаемой вязко-пластичной жидкости. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - 63 с.

113. Молокович Ю.М. К вопросу об определении коэффициента проницаемости пласта // Уч. зап. Казан, ун-та. Т. 116, кн.1. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1956. - С. 55-58

114. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. -216 с.

115. Морозов В.А. Регулярные алгоритмы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 240 с.

116. Музылев Н.В. О методе квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, №3. - С. 556-561.

117. Мухидинов Н.М. Газогидродинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. Ташкент: Фан, 1977,- 152 с.

118. Назаретов В.М. Методы уточнения характеристик неоднородных нефтяных пластов на ЦВМ по информации, получаемой в процессе разработки: Автореферат дисс. . канд. техн. наук. М., 1972. - 14 с.

119. Назаретов В.М. О постановке задачи идентификации нефтяного пласта // Труды ВНИИнефть. Вып. 45а. - М., 1973. - С. 194-203.

120. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент,- М.: Наука, 1988. С. 16-78.

121. Рахимов Р.Ш. Определение гидропроводности неоднородного нефтяного пласта: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1984. - 15 с.

122. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. - 263 с.

123. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. - 201 с.

124. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1969. - 196 с.

125. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967). М.: Наука, 1969. - 545 с.

126. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М : Наука, 1978.- 590 с.

127. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 655 с.

128. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979. - № 5. - С. 38-49.

129. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука, 1997. - С. 5-97.

130. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для неустойчивых задач // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2, № 11. - С. 89-98.

131. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967. - 428 с.

132. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. -443 с.

133. Тамме Э.Э. Об устойчивости разностных схем при решении некорректных задач методом квазиобращения // ЖВМ и МФ. 1972. - Т. 12, № 5. -С. 1319-1325.

134. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи // Дифференциальные уравнения с частными производными:

135. Тр. / Симпозиум, посвященный 60-летию академика С.Л.Соболева. М.: Наука, 1970. - С. 224-238.

136. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724 с.

137. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // ЖВМиМФ.-1961.-Т. 1, № 1. С. 5-63.

138. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивым методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 163, № 6. - С. 591-595.

139. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ и МФ. 1965. - Т.5, №4. - С. 718-722.

140. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

141. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляри-зующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

142. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах. // Вычислительные методы и программирование,- Вып. YIII. М.: Изд-во МГУ, 1967. - С. 3-33.

143. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.-М.: Мир, 1968.-427 с.

144. Хайруллин М.Х. О решении обратных задач подземной гидромеханики с помощью регуляризующих по А.Н. Тихонову алгоритмов // ЖВМ и МФ. 1986. - Т. 26, № 5. - С. 780-783.

145. Хайруллин М.Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 299, № 5. -С. 1108-1111.

146. Хайруллин М.Х. Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики: Автореферат дисс. . доктора техн. наук. -М., 1993.-20 с.

147. Цирельман Н.М. О корректности аналитического решения обратной задачи теплопроводности // Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена: Тез. докл. / Y Всесоюз. семинар. Уфа: Изд-во Уфимского авиац. ин-та, 1984. - С. 83-84.

148. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика.- М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.

149. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. - 208 с.

150. Шамсиев М.Н. Численные методы решения обратных задач для насыщенных пористых сред: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1997. - 18 с.

151. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Наука, 1969. - 344 с.

152. Banks H.Т., Lamm P.D. Estimation of variable coefficients in parabolic distributed systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1985. - AC-30. - P. 386-398.

153. Bellman R., Gluss В., Roth R. Segmental differential approximation and the «black box» problem // J. Math. Anal, and Appl. 1965. - V. 12. - P. 91-104.

154. Bellman R., Kagiwada H., Kalaba R., Ueno S. Inverse problems in radioactive transfer: layered media. Icarus 4. - 1965. - 119 p.

155. Belov У., Lavrentjev M., jr. One inverse problem for the heat equation // J. Inverse Ill-Possed Problems. 1996. - V. 4, № 6. - P. 499-511.

156. Chavent G. Détermination expérimentale des paramètres des systèms â retard // Revue Française Fraitement Information. 1963. - № 1. - P. 15-23.

157. Chavent G. Une methode de resolution de problème inverse dans les equations aux derivees partielles // Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, Serie des Sciences Techniques. 1970. - V. XYIII, № 8. - P. 99-105.

158. Chavent G. Analyse fonctionelle et identification de coefficients répartis dans les èqu- ations aux dérivées partielles // These d'État, Faculté des Sciences de Paris, 1971.

159. Chavent G., Dupuy M., Lemonnier P. History matching by use of optimal control theory // Soc. Pet. Eng. 1975. - V. 15. - P. 74-86.

160. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasserman M.L. A new algorithm for automatic history matching. // Society of Petroleum Engineers Journal. -1974.-V. 14.-P. 593-608.

161. Chen J.M., Liu J.Q. // Journal of Computational Physics, 1981.- V.43, №2,-P.315-326.

162. Coats K.H., Dempsey J.R., Henderson J.H. A new technique for determining reservoir descriptions from field performance data // Society of Petroleum Engineers Journal. 1970. - V.10.- P.66-74.

163. Danilaev P. On the filtration non-homogeneous porous stratum parameters identification problem // The International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics (ISIP'98). March 24-27, 1998, Nagano City, Japan.

164. Distefano N., Rath A. An identification approach to subsurface hydrological systems // Water Resources Research. 1975. - V.ll.- P. 1005-1012.

165. Douglas J., jr, Jones S. The determination of a coefficient in a parabolic differential equation // J. Math. And Mech. 1962. - V II. - P. 919-926.

166. Gavalas G.R., Shan P.C., Seinfeld J.H. Reservoir history matching by Baye-sian estimation // Society of Petroleum Engineers Journal. 1976. - V.16.- P.337-350.

167. Golubev G.V., Danilaev P.G. Inverse problems in nonlinear filtration // Flow through porous media: fundamentals and reservoir engineering applications // Moscow: Inst. For Problems in Mech. of Russian Ac. Scien. 1992. - P. 9-12.

168. Kagivada H.- These U.C.L.A.- 1964.

169. Kitamura S., Nakagiri S. Identifiability of spatially-varying and constant parameters in distributed systems of parabolic type // SIAM Journal on Control and Optimization, 1977. -V.15, №5,- P.785-802.

170. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Distributed parameter identification in geophysics-petroleum reservoirs and aquifers // In «Disributed Parameter Control Systems», (S. Tzafestas, Ed.). New York: Pergamon, 1982. - P. 367-390.

171. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of parameters in distributed parameter systems by regularization // SIAM J. Control and Optimization. 1985. - V.23,№2. - P. 217-241.

172. Kravaris Costas, Seinfeld John H. Identification of spatially varying parameters in distributed parameters systems by discrete regularization // J. of Math. Analysis and Applications. 1986. - V. 119. - P. 128-152.

173. Kurpisz K., Novak A.J. Inverse thermal problems.- Southampton, UK and Boston, USA: Computational Mechanics Publication. 1995. - 258 p.

174. Lions J.-L. Some aspects of modeling problems in distributed parameter systems // In Proc. IFIP Working Conference, Rome, 1976, A.Roberti ed./ Lectures notes in control and information sciences. -V.I.- Berlin: Springer-Verlag, 1978,-P.ll-41.

175. Neuman S.P., Yakowitz S. A statistical approach to the inverse problem of aquifer hydrology. 1. Theory. // Water Resources Research. 1979. - V.15.- P. 845-860.

176. Savateev E.G. On problems of determining the source function in a parabolic equation // J. Inverse Ill-Possed Problems. 1995. - V. 3, №1. - P. 83-102.

177. Shan P.C., Gavalas G.R., Seinfeld J.H. Error analysis in history matching: The optimum level of parameterization // Society of Petroleum Engineers Journal.- 1978. V.18.- P.219-228.

178. Yakowitz S., Duckstein L. Instability in aquifer identification: Theory and case studies // Water Resources Research. 1980. - V.16.- P. 1054-1064.

179. Imanuvilov O.Ju., Yamamoto M. Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the Carleman estimate // Inverse Problems. 1998. - V. 14 - P. 12291245.

180. Klibanov M.V. Inverse problems and Carleman estimates.- Inverse Problems.- 1992. -V. 8. P. 575-596.

181. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Ju. Controllability of evolution equations // Lectures Notes. 1996. - V.34. - Seoul, Korea: Seoul National University.

182. Klibanov M.V., Lucas T.R. Elliptic systems method in diffusion tomography using back-reflected data // Inverse Problems. 2000. - V.16. - P. 1-23.

183. Klibanov M.V., Santosa F. A computational quasi-reversibility method for Cauchy problems for Laplace's equation // SIAM J. Appl. Math. 1991. - V.51. -No 6. - P.1653-1675.

184. Isakov V. Inverse Source Problems. Providence, RI: American Mathematical Society. - 1990.

185. Dorroh J.R., Ru X. The application of the method of quasi-reversibility to the sideways heat equation // J. of Math. Analysis and Applications. 1999. - V. 236. -P. 509-519.