Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна

• Кузнецова, Екатерина Львовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна

ВВЕДЕНИЕ

1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ 1. Идентификация закона разложения связующих композиционных материалов

1.2. Идентификация нелинейного закона фильтрации продуктов разложения связующих через пористый остаток

1.3. Физико-математическая модель теплового состояния композиционных материалов при высокоинтенсивном тепловом нагреве

1.4. Методология численного решения

1.4.1. Базовая конечно-разностная схема для незатронутой области

1.4.2. Момент появления подвиэтой границы хн (/) npuTwX >ТН и (или) границы x*{t) при Tw] > Т*к* (Т** > Т**)

1.4.3. Определение скоростей движения границx**(t) ux**(t)

1.4.4. Решение задачи в области разложения связующего

1.4.5. Определение температурного поля в области фильтрации пиролизных газов

1.5. Алгоритм и программный комплекс

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

2.1. Математическая модель двумерного нестационарного тетомассопереноса в анизотропных композиционных материалах

2.2. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения многомерных задач анизотропного тетомассопереноса

2.2.1. Базовая конечно-разностная схема метода МПНЭ с учетом фильтрации

2.2.2. Модификация метода МПНЭ с использованием интегроинтерполяционного метода Самарского А. А. в многомерных задачах анизотропного тетомассопереноса

2.3. Методология численного решения многомерных задач тетомассопереноса в анизотропных композиционных материалах

2.4. Программный комтекс и тестовые результаты

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

3.1. Аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами

3.2. Численный анализ тепломассопереноса в композиционных материалах

3.2.1. Выбор шага численного интегрирования по времени

3.2.2. Результаты численных экспериментов'

3.3. Анализ результатов численных экспериментов по определению теплового состояния анизотропных материалов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве»

Композиционные материалы широко применяются в авиации и космонавтике в качестве конструкционных и теплозащитных материалов (ТЗМ) благодаря своим уникальным свойствам, вытекающим из технологии их изготовления. Матрица из тонковолокнистого наполнителя (стекло-, асбо-, угле- и т.д. волокна) пропитывается связующими (легко разлагающимися при умеренных температурах смолами). В результате получаются различные пластики: стеклопластики, углепластики, асбопластики и т.п. При использовании таких материалов в качестве теплозащитных при гиперзвуковых скоростях полета (числа Маха М>5-6) летательных аппаратов (JIA) тепловые потоки от высокотемпературных пограничных слоев поглощаются за счет следующих факторов: при температурах до ~ 600К теплозащитный материал работает за счет своих теплофизических характеристик, а именно, объемной теплоемкости (произведение плотности на теплоемкость) и отвода тепла вглубь материала за счет теплопроводности; при достижении температуры ~ 600К начинается разложение (пиролиз) связующего под действием эндотермических химических реакций с образованием газообразных продуктов разложения и пористого остатка, состоящего из волокон наполнителя и коксового остатка от разложения связующего; процесс разложения связующего заканчивается при температурах ~ 900 - 1100К, в результате чего область разложения, ограниченная координатами начала и окончания разложения, является очень тонкой и разделяет незатронутый разложением материал и пористый остаток, в котором разложение связующего отсутствует; через пористый остаток под действием градиента давления между областью разложения, где давление из-за низкой скорости фильтрации пиролизных газов считается давлением торможения, и наружной границей, где давление равно давлению окружающей среды, пиролизные газы фильтруются, поглощая тепло за счет конвекции; при этом для реализации процесса фильтрации давление торможения должно превышать давление окружающей среды на величину гидравлического сопротивления пористого остатка; пиролизные газы вдуваются в высокотемпературный пограничный слой, оттесняя его от наружной границы и уменьшая его температуру, что влечет за собой уменьшение конвективных тепловых потоков к наружной границе; при достижении пористым остатком температуры уноса массы, на наружной границе уносится масса за счет физико-химических превращений (оплавления, испарения, возгонки , гомо- и гетерогенных химических реакций), поглощающих значительное количество тепловой энергии с суммарным тепловым эффектом, называемым теплотой уноса массы.

Как видно из этого перечня композиционные материлы, используемые в качестве теплозащитных для гиперзвуковых J1A, поглощают значительное количество тепловой энергии при аэродинамическом нагреве за счет различных физико-химических превращений, происходящих в композиционных материалах.

Отсюда видно, что математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в композиционных материалах представляет собой сложную комплексную проблему, которая в полной мере не решена до сих пор и которой уделяется значительное внимание не только теплофизиками, аэродинамиками, материаловедами, но и математиками.

При математическом моделировании . тепломассопереноса в композиционных материалах необходимо в комплексе моделировать следующие процессы: разложение связующих с образованием пиролизных газов и пористого остатка; фильтрацию пиролизных газов через пористый остаток и учет этой фильтрации в теплопереносе; тепломассоперенос в области разложения связующего; унос массы и его влияние на нестационарное температурное поле; вдув пиролизных газов в газодинамический пограничный слой. При этом необходимо учитывать различные явления, приводящие к существенной нелинейности и нестационарности математических моделей при высоких температурах. К этим явлениям можно отнести учет излучения, зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от температуры, разрывы ТФХ, анизотропию и многомерность распространения тепла и др.

Таким образом, математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве является актуальной проблемой.

В диссертационной работе исследуются вопросы численного моделирования процессов совместной нелинейной теплопроводности, нелинейной фильтрации, разложения связующего в нестационарно подвижной области, в том числе в условиях уноса массы, а также с учетом анизотропии свойств переноса тепла и массы в композиционных материалах при сложном теплообмене (конвективно-кондуктивном и лучистом видах теплообмена).

В виду комплексности проблемы тепломассопереноса в композиционных материалах при обзоре литературы следует проанализировать публикации по композиционным материалам, по совместной теплопроводности и фильтрации, по кинетике разложения связующих и законах ее описывающих, по уносу массы, по задачам типа Стефана (задач теплопереноса при фазовых превращениях) в том числе при наличии многих (а не одной) подвижных границ фазовых превращений.

Насчитываются ~ десятки работ по совместной теплопроводности и фильтрации. Например, работы отечественных ученых таких как Лыков А.В. со своей школой [3], [65-68], Полежаев Ю.В. [5,79-81,27], Боровой В.Я. [16], Зарубин B.C. [38, 39], Формалев В.Ф. [96-98, 100, 104, 105], Баренблатт Г.И. [10] и др., в которых фильтрация моделировалась на основе линейного закона Дарси.

По теории фильтрации через пористые среды можно назвать работы Бана А. и др. [9] для сжимаемых пористых сред , Бернадинера М.Г. [14] в задачах нелинейной фильтрации, Глущенко А.А. для многомерных задач фильтрации [29], монографии Коллинза Р. [50] и Шейдеггера А.Э. [112]. В этих работах исследовалась изотропная фильтрация. Публикации по анизотропной фильтрации с учетом неизотермичности автору не известны.

Значительный вклад в развитие теории теплопроводности внесли советские и российские теплофизики Лыков А.В. [67, 68], Леонтьев А.И. [64], Зарубин B.C. [38, 39], Дульнев Г.Н. [35], Карташов Э.М. [43,44], Формалев В.Ф. [97, 100, 101] и многие другие, а также зарубежные теплофизики Карслоу Г. и Егер Д. [41], Берман Р. [12], Гребер Г, Эрк С., Григулль У. [28], Шнейдер П. [114].

Различные методы решения задач, моделирующих теорию теплопроводности в условиях уноса массы, когда возникают подвижные границы, разрабатывались в работах Самарского А.А. [90, 91], Будака Б.М. и Гольдмана Н.Л. [15], Карслоу Г. и Егера Д. [41],Лыкова А.В. [65], Адамса М.К. [2], Полежаева Ю.В. [79], Скала С.М. и Гильберта Л.М. [93], Розенсвейга Р.Е. и Бичера Н. [85], Формалева В.Ф. [97, 100, 104], а также в работах [20, 73, 110, 121, 128-130]. В этих работах рассматривались в основном одномерные по пространственным переменным задачи.

Большой вклад в разработку методологии моделирования теплового состояния композиционных материалов при высоких температурах с учетом их механического состояния внес Димитриенко Ю.И. [30-34], а также Головин Н.Н. и Кувыркин Г.Н. [25, 26]. Исследованию тепломассопереноса в композиционных материалах при высоких температурах и давлениях посвящены работы Кузнецова Г.В. [62] и Кузнецова Г.В. и Рудзинского В.П. [63]. Развернутый обзор по - материалам и теплозащитным покрытиям в экстремальных условиях сделан в работе Резника С.В. [73].

Следует отметить, что практически все композиционные материалы в той или иной степени являются анизотропными. При моделировании теплового состояния таких материалов возникают значительные трудности, связанные, прежде всего, с тем, что теплопроводность и проницаемость в них. являются не скалярными, а тензорными характеристиками, следствием чего является многомерность задач и усложнение краевых условий при сложном теплообмене. Этими сложностями обусловлено незначительное число работ по анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации. Здесь, прежде всего, следует отметить работы Пэдовена Д. [82], Пуня К.С., Цзоу Р.С. и Чжана Ю.П. [83, 107, 108], Формалева В.Ф. [100], в которых получены аналитические решения некоторых простейших задач анизотропной многомерной теплопроводности операционными методами.

В работе Кима Л.В. и Микова В.Л. [49] рассмотрен полуаналитический метод решения линейных задач анизотропной теплопроводности в полупространстве, основанный на численном обращении преобразования

Лапласа, а в работе Чепрасова А.И. [106] численно моделируется трехмерная анизотропная теплопроводность в аномальной подобласти, принадлежащей бесконечной расчетной области с использованием метода дробных шагов Яненко Н.Н. [117]. Таким образом, работ по анизотропной теплопроводности очень мало, а работ по совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации в многомерных телах автору не известны.

Из проведенного обзора по тепломассопереносу в композиционных материалах ясно что физико-математическая модель разрабатывалась для каждого композита с учетом химического состава его связующего и наполнителя, химических реакций и физико-химических явлений, специфических для каждого материала. Ясно, что для математического моделирования тепломассопереноса в композитах такой подход не приемлем. Поэтому в диссертации предложен подход, являющийся универсальным для любого композиционного материала и позволяющий обойти химическую кинетику разложения связующего. Существо подхода заключается в том, что для большинства композиционных материалов экспериментально определены температуры и плотности начала и окончания разложения связующих, что позволяет на основе этих данных идентифицировать закон разложения связующих и включить его в общую физико-математическую модель тепломассопереноса.

На основе изложенного формулируются следующие цели диссертационной работы:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузнецова, Екатерина Львовна

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. На основе известных экспериментальных данных" по температурам и плотностям начала и окончания разложения связующих композиционных материалов идентифицирован экспоненциальный закон разложения связующих, позволяющий обойти химическую кинетику и тем самым применимым к любым композиционным материалам.

2. Идентифицирован нелинейный закон фильтрации пиролизных газов , отличный от линейного закона Дарси путем учета инерционных членов при течении газов в капиллярах, основанный на анализе системы уравнений пограничного слоя , введении фильтрационного числа Рейнольдса и нелинейной функции этого числа. Проведено сравнение закона Дарси и идентифицированного закона, найдены границы градиента давления пиролизных газов , начиная с которых необходимо учитывать нелинейность.

3. На основе этих законов построена математическая модель, которая сводит всю проблему к задаче типа Стефана с тремя подвижными границами с учетом фильтрации. Кроме этого , на основе тех же законов построена математическая модель многомерного тепломассопереноса в анизотропных композиционных материалах с учетом анизотропной фильтрации.

4. Получено аналитическое решение задачи типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами. С помощью этого решения протестирован численный метод решения, показано удовлетворительное совпадение численного и аналитического решений.

5. Разработаны два программных комплекса по расчету температурных полей с тремя нестационарно подвижными границами с учетом нелинейной фильтрации и по расчету многомерных нестационарных температурных полей в анизотропных композиционных материалах с учетом многомерной анизотропной фильтрации.

6. Анализ результатов численного решения показал, что, во-первых, координаты границ области пиролиза изменяются линейно по времени за исключением окрестности начала появления подвижных границ и окончания движения границ; во-вторых, температурные поля и многомерные подвижные границы сдвигаются в направлении большего компонента тензора теплопроводности, причем диагональные компоненты тензора теплопроводности изменяют температурное поле в направлении координатных осей, а внедиагональные - искривляют температурное поле.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Екатерина Львовна, 2006 год

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992, 624 с.

2. Адаме М.К. Последние достижения в теории абляции// Вопросы ракетной техники, 1960. № 4. с. 16-36

3. Алексашенко А.А., Алексашенко В.А., Селезнев Н.В. Решение уравнений тепломассопереноса для тел классической формы с учетом конечной скорости капиллярного движения// В кн.: Строительная теплофизика М. -Л.: Энергия. 1966.270 с.

4. Андриевский Р.А. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия. 1964. 292 с.

5. Анфимов Н.А., Полежаев Ю.В. Нестационарное разрушение материалов в высокотемпературном потоке газа// Тепло- и массообмен. Минск. Наука итехника. 1966. 2. с. 11-16.

6. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. Киев. Изд-во института математики АН УССР. 1979.234 с.

7. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии// Изв. АН Энергетика. 2003. № 5. с. 75-88.

8. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процесса теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой// Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. № I.e. 37-45

9. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах// ПМТФ. 1961. № 3. с. 52-58.

10. Беренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде// ПММ. 1952. Т. 16. вып. 1

11. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во МГТУ. 1998. 344 с.

12. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. М.: Мир. 1979. 362 с.

13. Берцуй В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью// Томск: Пеленг. 1998. С. 12-19.

14. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. -М.: Наука, 1974. 234 с.

15. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае// В кн. Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ. 1967. Т. 8. С. 57-65.

16. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью// Тр. ЦАГИ. 1969. вып. 1108. 32 с.

17. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах// ТВТ. 1994. т. 32. №3. С. 441-445.

18. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности// Томск: Пеленг, 2001. С. 275-278.

19. Бураков В.А., Санду С.Ф. Численное моделирование нестационарного нагрева и термохимического разрушения углеграфитовых теплозащитных материалов в высокотемпературном двухфазном потоке// ТВТ. 1996. Т. 34. № 6. С. 909-913.

20. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах// ТВТ. 1975. Т. 13. № 5. С. 10451051.

21. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы. Справочник. М.: Металлургия, 1994.128 с.

22. Варгофтин Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.452 с.

23. Варгофтин Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.: Госэнергоиздат, 1956. 468 с.

24. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. -М.: Изд-во МГТУ. 2001. 700 с.

25. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема// Проблемы прочности. 1988. № 12. С. 105-108.

26. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. Численное моделирование нестационарных температурных полей в конструкциях из композиционных материалов при высокотемпеаутрном нагружении// В тр. 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 1998. Т. 7. С. 57-59.

27. Горский В.В., Полежаев Ю.В. Тепло- и массообмен на поверхности стеклопластика в высокотемпературном потоке воздуха//ИФЖ. 1973. Т. 24. №3. С. 407-413.

28. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ. 1958.468 с.

29. Глущенко А.А. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. -Киев: Изд-во Киевского ун-та. 1970. 192 с.

30. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. Машиностроение. 1997. 368 с.

31. Димитриенко Ю.И. Разрушение композиционных материалов при высоких температурах и конечных деформациях// Механика композиционных материалов. 1992. № 6. С. 1030-1042.

32. Димитриенко Ю.И. Осреднение процессов в периодических средах с фазовыми превращениями// Вопросы механики сплошных сред. Изд-во МГУ 1991. С. 72-84.

33. Димитриенко Ю.И., Епифановский И.С. Прогнозирование работоспособности теплостойких полимерных композиционных материалов на совмещенных связующих// Теплостойкие полимерные материалы и особенности производства изделий на их основе. М.: 1991. С. 85-90.

34. Димитриенко Ю.И., Епифановский И.С. Термомеханическое разрушение консующихся полимерных материалов// Композиционные материалы в изделиях машиностроения. Материалы Всесоюзной конференции. М.: 1989. ч. 1 С. 105-108.

35. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. JL: Энергия, 1974. 368 с.

36. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами// ЖВМ и МФ. 1964. т. 4. № 2. С. 17-26.

37. Епифановский И.С. Композиционные углерод-углеродные материалы в конструкциях летательных аппаратов. -М.: Изд-во МГТУ. 1993. 51 с.

38. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчета). М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

39. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

40. Зинченко В.И., Якименко А.С. Режимы термохимического разрушения углефенольного композиционного материала под действием теплового потока// Физика горения и взрыва. 1988. т. 24. № 2. С. 141-149.

41. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

42. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с движущимися границами// Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. № 6. С. 83-111.

43. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. -М.: Высшая школа. 2001. 552 с.

44. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор)// ИФЖ. 2000. Т. 74. № 2. С. 1-24.

45. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева, Ю.М.Тарнопольского.- М.: Машиностроение. 1989. 510 с.

46. Композиционные материалы. Справочник под ред. В.В.Васильева. В.Д.Протасов, В.В.Болотин и др. -М.: Машиностроение 1990. 512 с.

47. Коршак В.В. Химическое строение и температурные характеристики полимеров. -М.: Наука, 1970. 401 с.

48. Крицкий O.J1. Применение а /? алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности// В сб. статей Томск. Гос. ун-та «Исследования по баллистике и смежным вопросам механики» 1999. Вып.З. С. 51-58.

49. Ким J1.B., Миков B.JL Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах// Деп. ВИНИТИ, № 642-В86. 1986.19 с.

50. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964.302 с.

51. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972. С. 42-49.

52. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом// ДАН. 2004. Т.394. № 6. С. 746-748.

53. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой// ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1540-1553.

54. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф., Чипашвилли А.А. Численное моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах в условиях аэрогазодинамического нагрева// Тез. докл. на 3-й Межд. конф. «Авиация и космонавтика». Москва, 1-4 ноября 2004 г.

55. Кузнецова Ек. Л., Формалев В.Ф.Численное моделирование тепломассопереноса в композиционном материале при высокоинтенсивном тепловом нагружении. // Тез. докл. на конф. «Авиация и космонавтика 2006 г.» Москва, октябрь 2006 г.

56. Кузнецов Г.В. Механизм высокотемпературного разрушения стеклопластика в газовых потоках в условиях высоких давлений// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1.С. 74-78.

57. Кузнецов Г.В., Рудзинский В.П. Высокотемпературный тепломассоперенос в слое кокса теплозащитных материалов// ТВТ. 2000. Т. 38. №4. С. 654-660.

58. Леонтьев А.И. Теория тепло- массопереноса. М.: Физматлит. 1998. 426 с.

59. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1969. 362 с.

60. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. - Л.: Гостехиздат, 1954. 264 с.

61. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

62. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

63. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых" превращениях под действием интенсивных потоков энергии// ИФЖ. 1983. Т. 45. №3. С. 670-676.

64. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1983.426 с.

65. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 364 с.

66. Мадорский С., Самуэль Л. Термическое разложение органических полимеров. М.: Мир, 1967. 328 с.

67. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее в 3-х томах. Под ред. Резника С.В. М.: Изд-во МГТУ, 2002. Т. 2. 296 с.

68. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 576 с.

69. Омельченко К.Г., Гавелов Н.В., Тимошенко В.Л. К исследованию тепломассопереноса в разлагающихся пористых материалах// ТВТ. 1974. Т. 12. №4. С. 761-768.

70. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

71. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980, 324 с.

72. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус, 2004.256 с.

73. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.

74. Полежаев Ю.В., Шишков А.А. Газодинамические испытания тепловой защиты. М.: Промедак, 1992. 248 с.

75. Полежаев Ю.В., Протасов М.В., Селиверстов Е.М. Обобщенный закон гидравлического сопротивления проницаемого слоя// ТВТ. 2003. Т.41. № 6. С. 970-972.

76. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве//Ракетная техника и космонавтика. 1983. № 4. С. 174179.

77. Пунь К.С., Цзоу Р.С., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат// Теплопередача. 1979. № 2. С. 177-184.

78. Ревизников Д.Л., Формалев В.Ф. Моделирование граничных условий в задачах сопряженного теплообмена// в кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации. 1988 г. М.: Наука, 1989.

79. Розенсвейг Р.Е., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном// Ракетная техника и космонавтика. 1963. . Т. 1. № 8. С. 53-62.

80. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983, 616 с.

81. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.352 с.

82. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 368 с.

83. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Физматлит, 1989. 430 с.

84. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения задач «конвекция-диффузия». -М.: Физматлит, 1999.452 с.

85. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

86. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. -М.: Физматлит, 1960.368 с.

87. Скала С.М., Гильберт JI.M. Тепловое разрушение обугливающегося пластика при гиперзвуковых полетах// Ракетная техника. 1962. № 6. С. 7283.

88. Соболев Н.В., Кавун Т.Н., Киселев Б.А. и др. Изменение свойств стекло- и карбонаполненных полимеров в процессе пиролиза// Композиционные материалы. -М: Наука, 1981. С. 244-247.

89. Тимошенко В.П. Проектирование и экспериментальная отработка теплозащиты «Бурана»// Передовые термические технологии и материалы. 4.2. М.: Изд-во МГТУ, 2004. 286 с.

90. Формалев В.Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и пленочного охлаждения затупленных анизотропных тел// ТВТ. 1992. Т. 30. № 2. С. 334-344.

91. Формалев В.Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учетом подвижных границ и большой степени анизотропии// ТВТ. 1990. Т.28. № 4. С. 715-721.

92. Формалев В.Ф. Моделирование нелинейной неизотермической фильтрации в условиях пленочного охлаждения анизотропных тел// ТВТ. 1997. Т. 35. №2. С. 1-7.

93. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004.400 с:

94. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении// Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.

95. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Теплоперенос в условиях фазовых переходов в телах с анизотропией свойств// ТВТ. 2006. Т. 44. № 5. С. 756-763.

96. Чепрасов А.И. Математическое моделирование теплового состояния анизотропного материала в области дефекта структуры// Деп. ВИНИТИ, № 7002-В, 1985. 16 с.

97. Чжан Ю.П., Цзоу Р.Ц. Теплопроводность в анизотропной среде,- однородной в цилиндрических областях//Теплопередача. 1977. № 1. С. 42-. 51.

98. Чжан Ю.П., Пунь К.Ц. Трехмерная установившаяся теплопроводность в цилиндрах из материала с анизотропией свойств общего вида// Теплопередача. 1979. № 3. С. 203-210.

99. Шаповалов В.М. Введение в механику течения волокнонаполненных полимеров. -М.: Физматлит, 2006. 252 с.

100. Шленский О.Ф., Афанасьев Н.В., Шашков А.Г. Терморазрушение материалов. М.: Энергоатомиздат, 1996. 288 с.

101. Шленский О.Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. Mi: Химия, 1973. 224 с.

102. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Гостехиздат, 1960. 252 с.

103. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.

104. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: ИЛ, 1960. 342 с.

105. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1961. 356 с.

106. Якихмов А.С. Расчет характеристик теплообмена в композиционном материале// ТВТ. 1998. Т. 36. № 1. С. 59-61.

107. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.

108. Яненко Н.Н. Разностные методы решения задач математической физики. -М.: Наука, 1973. 352 с.

109. Beliaev A. Nonlinear Darcy law in a random porous medium// Berdichevcky V. et al. eds. Homogenisation. Singapore, 1999. P. 107-132.

110. Beliaev A., Kozlov S. Darcy equation for random porous media// Comm. Pure Appl. Math. 1996. № 49. P. 1-34.

111. Chen Y.K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis//AIAA Paper. 1980. № 1488. 8p.

112. Crank J, Nicolson P. A. Practical method for numerical Evaluation of Solution of Partial Differential Equations of the Heat Conductions Type. Proc. Gamb., Phil. Soc., vol. 43 p.p. 50-67,1947.

113. Douglas J., Gunn J. Alternating direction methods for parabolic systems in m -space variables// J. Assoc. Compet. Machinery. '1962. vol. 9. № 4.

114. Douglas J., Jones B. One predictor corrector method for nonlinear parabolic differential equations//J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963. vol. 11. № 1.

115. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. Mc Graw Hill, New York, 1972.

116. Peaceman D., Rachford H. The Numerical solution of parabolic and elliptic differential equations// SIAM. 1955. vol. 3. № 1.

117. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations// Appl. Mathematics. 1968. vol. 3. № 2.

118. Sallivan J.M., Kobayashi W.S. Spalation modeling in the cherring matherial thermal response and ablation computer rpogram//AIAA Pap. 1987. № 1516. p. 1-6.

119. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight// ARSJ. 1962. № 6.

120. Satage R.T., Love W., Blotscher F. High Temperature Perfomance of Flexible Thermal Protection Matherials// AIAA Paper. 1984. № 1770. 9 p.

121. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle// AIAA Paper. 1988. № 2839. 9 p.

122. Young R.W. Sensitivity of thermomechanical response to thermal boundary conditions and matherial constans// Int. J. Sol. Str. 1979. vol. 15. № 7. p. 513517.

123. Ziering M.B. Thermochemical ablation of ceramic heat shields// AIAA Jorn. 1975. № 13. p. 610-616.

124. Greenwood T.F., Lee Y.C., Bender R.L., Carter R.E. Space shattle base heating// J. Spacecraft and Rockets. 1984. vol. 21. № 4. p. 339-345.

125. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Matherials. Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129-133.