Многокомпонентные векторные схемы расщепления в методах математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна

• Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ

1.1. Общий принцип многокомпонентного векторного расщепления

1.2. Основные понятия.

1.3. Общие свойства компонент вектор-решения.

1.4. Модифицированные варианты многокомпонентного расщепления

1.5. Многокомпонентные разностные схемы па разнесенных пространственно — временных сетках.

I.G. Выводы по главе 1.

МЕТОДЫ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Векторно-аддитивные схемы с операторами, зависящими от времени.

2.2. Многокомпонентные методы для уравнения движения

2.3. Многокомпонентные методы для нелинейных нестационарных задач.

2.4. Некоторые обобщения.

2.5. Выводы по главе 2.

ЭКОНОМИЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

3.1. Постановка задач.

3.2. Параллельный вариант.

3.3. Последовательный вариант.

3.4. Итерационные схемы реализации метода конечных элементов

3.5. Примеры

3.6. Влияние вычислительной погрешности

3.7. Выводы по главе 3.

МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ В МЕТОДАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ

4.1. Методы декомпозиции области решения нестационарных задач

4.2. Методы декомпозиции области для стационарных задач

4.3. Выводы по главе 4.

5 МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ПОСТРОЕНИИ АЛГОРИТМОВ

РАСЩЕПЛЕНИЯ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ

5.1. Линеаризованная система уравнений Навье —Стокса

5.2. Методы для системы нелинейных уравнений Навье — Стокса

5.3. Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многокомпонентные векторные схемы расщепления в методах математической физики»

Для эффективного анализа сложных математических моделей особую актуальность приобретает развитие простых и концептуально прозрачных подходов, позволяющих в кратчайший срок реализовать полный цикл технологии численного моделирования от построения и верификации математической модели, до масштабных численных экспериментов по детальному изучению исследуемых объектов и сравнений теоретических результатов с экспериментальными данными. Один из таких подходов связан с экономичными методами. Под экономичными схемами, обычно, понимают безусловно устойчивые приближенные методы, которые при нахождении решения на очередном временном слое требуют количества арифметических действий пропорционального числу узлов пространственной сетки. Экономичность разностных схем есть не только средство экономии машинного времени, но в некоторых случаях и практически обязательное условие реализации схемы в виде программы. Появление экономичных методов было связано с одной из наиболее острых проблем при численном решении многомерных задач математической физики. Проблема обусловлена тем, что использование стандартных безусловно устойчивых неявных схем приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей достаточно сложной структуры. Реализация таких алгоритмов связана с существенными вычислительными затратами, возрастающими с ростом числа узлов сетки. На пути их улучшения возникли новые, так называемые, экономичные схемы.

Первые экономичные алгоритмы для нестационарных многомерных задач были предложены Дугласом, Писменом, Рэкфордом [125, 124] и получили название метода переменных направлений. Первоначально метод переменных направлений был применен для решения многомерных уравнений параболического типа и далее получил распространение во многих задачах математической физики. Альтернативным подходом к построению экономичных методов решения многомерных задач явился метод расщепления (метод дробных шагов) [117]. В данном случае, когда проводится редукция сложного оператора к простейшим, интегрирование исходной задачи сводится к последовательному интегрированию уравнений более простой структуры. В этой связи появилось несколько актуальных научных направлений, наиболее значимый вклад в которые внесли Г.И.Марчук, А.А.Самарский, Н.Н.Яненко. Предлагались различные модели факторизованных схсм. Явный метод расщепления был предложен С.К. Годуновым и К.А. Багриновским [20]; неявный — H.H. Яненко [78], Е.Г. Дьяконовым [38], A.A. Самарским [88]. Среди этих методов особо отметим метод расщепляющегося оператора (Е.Г. Дьяконов, 1962), метод приближенной факторизации (H.H. Яненко и Г.И. Марчук, 1966), метод факторизации, на основе метода регуляризации (A.A. Самарский, 1963).

Однако следует отметить и ряд недостатков, присущих методам расщепления. В частности, эффективность методов типа переменных направлений существенно зависит от размерности задачи и свойств перестановочности компонент расщепления. При решении же практических задач интерес представляют в большей степени такие методы расщепления, которые не ограничены требованием коммутируемости операторов расщепления и обладают хорошими стабилизирующими свойствами. Естественно, поиск методов, основанных на идее расщепления, в которых бы были сняты указанные недостатки, привел к разработке методов суммарной аппроксимации. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной (слабой [115, 116, 119, 121]) аппроксимации в методах расщепления позволил дать единую трактовку экономичных методов как аддитивных схем и существенно расширил класс задач, решаемых с их помощью. Такие вычислительные алгоритмы, вообще говоря, ориентированы на простую (расщепленную) модель, при этом погрешность аппроксимации всей совокупности простейших разностных подзадач (общего алгоритма) определяется как сумма невязок каждой разностной подзадачи, т.е имеет место суммарная аппроксимация. Введение обобщающего понятия суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных послужило теоретическим обоснованием метода расщепления и позволило производить мрасщенлепиеппе только по независимым переменным, но и по различным физическим процессам, отдельным членам дифференциальных и разностных уравнений с целью облегчения решения исходной задачи.

В данном направлении построен ряд эффективных алгоритмов для задач математической физики ( H.H. Яненко [115, 116, 119, 118, 122], A.A. Самарский [87, 89, 90], Е.Г. Дьяконов [41, 42, 43, 44, 39], H.H. Яненко и Г.В. Демидов [121], В.И. Лебедев и Е.Г. Дьяконов [40], А.Н. Коновалов [49, 50], Д.Г. Гордезиани, Г.В. Меладзе [35], Ляшко А.Д., Карчевский М.М. [65, 66]),. Применительно к задачам гидродинамики, океанологии, метеорологии алгоритмы предложены Г.И. Марчуком [71, 77, 78, 72, 73, 75, 76], для задач физики полупроводников - Н.Н.Яненко

27] и др. [91, 137, 133, 135, 92, 106, 140, 107, 109, 93, 23, 24, 28, 61, 64, 48, 47, 101, 132, 102, 111, 112, 113, 51, 53, 55]. Для решения систем гиперболических уравнений был разработан метод "частиц в ячейках"[110], который есть некая модификация метода расщепления. Таким образом, метод суммарной аппроксимации является весьма общим и конструктивным методом построения экономичных схем для решения задач математической физики.

Аддитивные методы широко используются также для решения стационарных задач математической физики. В этой связи применяется способ приближенного решения стационарных задач, основанный на нахождении решений нестационарных задач, асимптотически эквивалентных данным задачам для достаточно больших значений некоторой скалярной переменной. Такой способ называют счетом на установление. Он позволяет осуществить приближенное решение эллиптических задач хорошо разработанными методами решения параболических уравнений, например, методами расщепления. Наиболее известными в данном классе являются неявные методы неременных направлений (ADI-Alternating Direction Implicite [32]) и попеременно-треугольный метод [84]. Эти методы позволяют получить быстро сходящиеся итерационные алгоритмы с довольно простой и экономичной реализацией. Оптимизация вычислений заключается в выборе оператора сжатия, состоящего из произведения более простых операторов, имеющих ряд свободных параметров релаксации. Последовательное обращение простых операторов при этом осуществляется методами линейной факторизации. Итерационные схемы такого типа весьма экономичны и эффективны в реализации при незначительном, по сравнению с явным методом Ричардсона, увеличении объема вычислительной работы [71]. Теоретическим исследованиям этого метода посвящены работы: Дугласа [126, 127], Биркгофа, Варги [136, 30], Янга, Вакспресса, Ганна [128], А.А. Самарского, Е.С. Николаева [100], А.А. Самарского [84], Г.И. Марчу-ка [68], Е.Г. Дьяконова [42, 43, 39, 40, 44], В Л. Лебедева, С. А. Филиппова [63], Г.И. Марчука, Ю.А. Кузнецова [74], В.П. Ильина [46], В.Б. Андреева [17], А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича [95], В.Н. Абрашипа, Н.Г. Жа-даевой [145, 147, 3, 7, 8, 11, 150, 154] и других [13, 9, 4]. В указанных статьях и монографиях приведен достаточно полный обзор исследования итерационного метода переменных направлений и его аналогов.

К методам расщепления, которые можно эффективно использовать в качестве итерационных для решения стационарных задач, следует отнести методы факторизации и стабилизирующей поправки, однако прн многокомпонентном расщеплении эти методы требуют попарной коммутативности пространственных операторов расщепления. В работе А. Бенсусана, Ж.-Л. Лиоиса, Р. Темама изучалась возможность применения методов расщепления (дробных шагов — H.H. Яненко, Г.И. Марчук) в качестве итерационных процессов решения стационарных задач в случае некоммутативности компонент оператора исходной задачи. Ими было высказано предположение, что если при помощи какого - либо метода (возможно экспериментально) можно убедиться в том, что обеспечивается стремление компонент решения друг к другу па каждом шаге итераций, то для такого итерационного метода имеет место сходимость без измельчения итерационного параметра. Поэтому не случайно появление модифицированных многокомпонентных итерационных методов, предложенных в работах В.Н.Абрашина, Н.Г.Жадаевой [145, 147, 150, 154] и работах В.Н.Абрашина и его учеников [4, 57, 16].

В настоящее время, как дальнейшее развитие методов расщепления, большую актуальность приобрели методы декомпозиции расчетной области, допускающие сведение исходной задачи к решению отдельных, вообще говоря, слабо связанных между собой задач в подобластях более простой формы [14, 15, 55]. Расщепление задачи позволяет существенно упростить распараллеливание алгоритма при реализации на высокопроизводительных компьютерах кластерного типа [19, 31]. Идея расщепления сложных задач на совокупность подзадач более простой структуры стимулировала появление численных методов решения двумерных задач для уравнений в частных производных дробных порядков с переменными коэффициентами [167], [190] - [191]. Можно сказать, что "старая"идея получила новую жизнь.

В диссертационной работе для построения экономичных методов предлагается векторный аналог аддитивных схем. Суть метода сводится к переходу от исходной скалярной задачи для одной неизвестной функции к системе однотипных задач, в которой каждая конкретная компонента вектора решения системы аппроксимирует решение исходной задачи. Как показано в работе, в рамках данного подхода удается преодолеть характерные недостатки, присущие известным аддитивным методам. Предлагаемые векторио-аддитивиые методы и построенные на их основе многокомпонентные векторные схемы расщепления но пространственным переменным близки по своей структуре к схемам переменных направлений. В сравнении с другими известными модификациями метода переменных направлений предлагаемые методы безусловно устойчивы для многомерных задач любой размерности и не требуют попарной перестановочности операторов расщепления, кроме того, они допускают возможность строить алгоритмы с параллелыюй(аспнхронной) обработкой информации. Векторно-аддитивные методы сохраняют диссипативные свойства метода установления, что позволяет использовать их как экономичные итерационные методы решения стационарных уравнений.

Предложенный вариант метода переменных направлений можно трактовать не только как схему расщепления полной аппроксимации, но и более широко, в частности, как метод декомпозиции по подобластям и по физическим процессам. Многокомпонентные методы расщепления по физическим процессам сводят исходную задачу к серии последовательных задач, каждая из которых учитывает только одну составляющую реального физического процесса.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна

5.3. Выводы по главе 5

• Векторно-аддитивные методы полной аппроксимации применены к расщеплению дифференциальных уравнений по физическим процессам. Эти методы позволили, сохранив основные свойства исходной задачи, построить довольно простые алгоритмы как по пространству, так и по физическим процессам. Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Построенные алгоритмы (это гарантирует полная аппроксимация), наиболее эффективны, когда в качестве базовых взяты энергетически нейтральные разностные схемы, которые были ранее предложены для уравнений На-вье — Стокса в работе [108]. Энергетически нейтральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые бы сохраняли свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем.

• Обосновано применение предложенных многокомпонентных векторных схем расщепления для алгоритмического разделения сложной задачи решения (и,у,р) — системы вязкой несжимаемой жидкости. Построены аддитивные методы расщепления по физическим процессам и по размерности, а также методы декомпозиции области, которые не нарушают естественных свойств исходной задачи. Изучены вопросы устойчивости, предложенных методов, и сходимости итерационных процессов. Для нелинейных уравнений Навье — Стокса предложены и изучены аддитивные разностные схемы, которые не требуют итерационных методов для своей реализации, что дает возможность построить цепочку упрощенных алгоритмов реализации по физическим процессам и по времени. Доказывается устойчивость алгоритма при естественных требованиях на операторы расщепления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Предложены многокомпонентные векторные схемы расщепления для многомерных задач математической физики.

В этой связи в диссертации:

1. Для построения экономичных методов предлагается векторный аналог аддитивных схем. Суть такого подхода сводится к корректному переходу от исходной скалярной задачи для одной неизвестной функции к системе однотипных задач, в которой каждая конкретная компонента вектора является решением скалярной задачи. Предложены векторно-адцитивные алгоритмы иолпой аппроксимации для нестационарных задач математической физики. Векторио-аддитивные методы или, так называемые, многокомпонентные векторные схемы расщепления по пространственным переменным близки по своей структуре к схемам переменных направлений. Показано, что в рамках данного подхода удалось преодолеть характерные недостатки известных аддитивных методов. В сравнении с другими известными модификациями метода неременных направлений предлагаемые методы безусловно устойчивы для нестационарных многомерных задач любой размерности, для устойчивости не требуется перестановочность операторов расщепления. Кроме того, данный подход обладает неограниченным потенциалом в рассмотрении вычислительного процесса при расщеплении по пространственным переменным и эффективен для задач в областях сложной геометрии [169, 170, 142, 144, 146, 143, 172, 171, 185, 178, 179].

2. Исследованы векторио-аддитивные методы полной аппроксимации для нестационарных задач математической физики. Схемы относятся к классу экономичных методов, примыкающих к классическому методу неременных направлений. Получены результаты о безусловной устойчивости таких методов по начальным условиям и правой части, без требования ограничения на число операторов аддитивного разбиения (на пространственные операторы расщепления накладываются минимальные условия). Эти операторы могут быть как непрерывными, так и дискретными. Изучены асимптотические свойства предложенных методов. Эти результаты используются в последующих главах диссертации, где стабилизирующие свойства алгоритмов необходимы для построения на их базе итерационных методов решения стационарных задач математической физики [169, 170, 142, 144, 146, 143, 172, 171, 185, 178, 179].

3. В качестве приложения полученных результатов рассмотрены краевые задачи для многомерных параболических уравнений, в том числе для уравнений в частных производных со смешанными производными, а также изучены экономичные методы для решения многомерных параболических задач в криволинейной области на разнесенных сетках [169, 170, 142].

4. Изучена модификация распараллеленного алгоритма для многомерных нестационарных начально-краевых задач с переменными коэффициентами, а также нелинейных задач. Модельная абстрактная задача Ко-ши соответствует исходной, когда оператор имеет одно из следующих представлений: Аа = Aa(t), Аа = Aa(t,u). Для линейных эволюционных уравнений, когда оператор исходной задачи имеет временную зависимость, построены и изучены двухслойные аддитивные методы с параллельной реализацией вычислений, когда отдельная компонента вектора -решения находится на каждом временном слое независимо друг от друга, что, несомненно, удобно для современных вычислительных систем. Доказана безусловная устойчивость алгоритмов при многокомпонентном расщеплении без требования перестановочности пространственных операторов [146, 171, 159, 160].

5. Для нелинейных эволюционных уравнений, когда оператор А исходной задачи зависит от решения, аддитивен и обладает достаточной гладкостью, построены и изучены векторпо-аддитивные методы, как итерационные, так и безытерационные. В качестве примеров рассмотрены многомерные параболические и гиперболические уравнения, системы уравнений, в том числе уравнения со смешанными производными. Схемы пригодны для решения краевых задач для гиперболических систем первого порядка. Эти схемы, как и схемы первой главы, пригодны для решения краевых задач для гиперболических систем первого порядка [159, 160, 184, 177].

6. Построены двухслойные экономичные онераторно - итерационные методы, которые можно применять к решению разностных, проекционно -разностных схем, а также непосредственно к решению исходной дифференциальной задачи. Итерационные многокомпонентные методы строятся на основе предложенных в первых двух главах векторно-аддитивных раз-постных схем полной аппроксимации с улучшенными асимптотическими свойствами. Алгоритмы из первых двух глав безусловно устойчивы при разбиении исходного оператора на произвольное число попарно не перестановочных операторов при сохранении свойства полной аппроксимации. Это выгодно отличает их от метода факторизации, а также от методов типа переменных направлений. Отсутствие таких ограничений характерно и для предлагаемых итерационных методов. Изучены итерационные процессы как для последовательной реализации вычислительного процесса, так и для использования на параллельных вычислительных системах при условиях коммутативности и некоммутатнвности операторов расщепления. За счет организации вычислительного процесса обеспечивается стремление компонент решения друг к другу на каждом шаге итераций без измельчения параметра г, исчезает эффект суммарной аппроксимации при увеличении количества итераций, становится возможным определить близкое к оптимальному значение итерационного параметра, такое, что достигается требуемая близость компонент приближенного решения к точному в норме 1/2 при фиксированном s. Это дает основание считать, что высказанная Ж.-Л. Лионсом ([25], с. 203) предположение о методе расщепления, для которого имели бы место перечисленные характеристики, оказалась верной [145,147,173,148,172,150,174,153,154,165,157,158,161,166,175].

7. Доказано, что в случае коммутативности операторов расщепления Аа при а > 2 скорость сходимости итерационных методов зависит только от нижней границы спектра операторов А,Ла; а = 1,р. Это является принципиально новым для всех аддитивных методов. В методах переменных направлений и факторизации скорость сходимости существенно зависит от верхней границы спектра этих операторов, при этом естественно предположение: А, Аа — дискретные аналоги пространственных операторов. Поэтому скорость сходимости этих методов существенно зависит от величины шага пространственной сетки при разностной аппроксимации пространственного оператора. В предложенных векторно-аддитивных методах, основанных на алгоритмах (7), (9) такая зависимость отсутствует [173, 148, 172, 150, 174, 153, 154, 165, 157, 158, 161, 166, 175].

8. Доказано, что в случае некоммутативности операторов расщепления скорость сходимости итерационных методов зависит не только от нижней границы спектра операторов А, Аа, а = 1,р, но и от верхней его границы. Эти требования не превышают, а скорее согласуются с методами факторизации в случае перестановочности операторов расщепления [145, 147, 173, 148, 172, 150, 174, 153, 154, 165, 157, 158, 161, 166, 175].

9. Построены и изучены экономичные итерационные методы в сочетании с методом конечных элементов для решения стационарных уравнений конвекции - диффузии при естественных ограничениях па выбор конечных элементов [155].

10. Проведен вычислительный эксперимент, который подтвердил результаты теоретических исследований, отмеченные в пунктах 5)-7). Проанализировано влияние вычислительной погрешности на динамику сходимости векторно-аддитивных итерационных методов. Выявлено, что для нейтрализации вычислительной погрешности при значительных отличиях минимальных и максимальных собственных значений операторов разбиения целесообразно выполнять расчеты с удвоенной точностью, а в качестве решения брать компоненту уа , соответствующую оператору Аа с максимальным спектральным радиусом и максимальной нижней границей спектра. При таком выборе решения, согласно результатам численных экспериментов, вычислительная погрешность векторно-аддитивного итерационного метода в двухкомпопептном случае не хуже чем у классического метода Писмаиа - Рэкфорда [187].

11. Построены алгоритмы декомпозиции области на основе многокомпонентных схем расщепления. Минимальные требования на операторы расщепления, отсутствие требования на количество операторов разбиения, простота многокомпонентных схем расщепления, предложенных и обоснованных в первых трех главах, позволили разработать на их основе достаточно эффективные методы разбиения области (в том числе сложной конфигурации) па подобласти, форма которых достаточно простая. К особенностям этих алгоритмов следует отнести то, что на каждом временном шаге вычисляется не одно, а несколько приближенных решений, причем каждой из приближенных компонент решения могут ставится в соответствие,вообще говоря, своя точка дискретной области. Данное обстоятельство позволило трактовать многокомпонентные схемы расщепления не только как схемы по переменным направлениям, но и как метод декомпозиции по подобластям. Выбор параметров алгоритма определяется в каждой подобласти с учетом корректности разностной схемы и этих условий в граничных узлах между подобластями. При этом допустима как последовательная, так и параллельная реализация задач в подобластях, т.е. выбрать конкретный метод в подобласти можно используя знания об архитектуре используемых ЭВМ. Последнее позволяет эффективно использовать современные параллельные ЭВМ [144, 172, 149, 150, 156].

12. Доказано, что разностные схемы, возникающие при расщеплении по подобластям имеют более высокую точность в сравнении с методами переменных направлений и покомпонентного расщепления. Методы проиллюстрированы на примерах двумерного параболического уравнения без и со смешанными производными, а также па модельной задаче конвекциидиффузии. Если в дополнение к сказанному принять во внимание и структурно явный тип реализации многокомпонентного метода декомпозиции области, предложенного в данной работе, его безусловную устойчивость, полную распараллеленость алгоритма, то можно сделать вывод о перспективности изложенного подхода в решении задач математической физики [151, 152, 183, 163, 162].

13. Векторпо-аддитивные методы полной аппроксимации применены к расщеплению дифференциальных уравнений по физическим процессам. Эти методы позволили, сохранив основные свойства исходной задачи, построить довольно простые алгоритмы как по пространству, так и по физическим процессам. Предложены разностные схемы и итерационные методы для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Полная аппроксимация гарантирует, что построенные алгоритмы наиболее эффективны, когда в качестве базовых взяты энергетически нейтральные разностные схемы, которые были ранее предложены для уравнений На-вье — Стокса в работе [108]. Энергетически нейтральные разностные схемы являются неявными алгоритмами с довольно сложной конструкцией, поэтому для их реализации требуется построение экономичных методов, которые бы сохраняли свойства консервативности и полной аппроксимации исходных схем [151, 152, 183, 163, 162].

14. Обосновано применение предложенных многокомпонентных векторных схем расщепления для алгоритмического разделения сложной задачи решения (и,у,р) — системы вязкой несжимаемой жидкости. Построены аддитивные методы расщепления по физическим процессам и по размерности, а также методы декомпозиции области, которые пе нарушают естественных свойств исходной задачи. Изучена устойчивость, предложенных методов и сходимость итерационных процессов. Для нелинейных уравнений Навье-Стокса предложены и изучены аддитивные разностные схемы, которые не требуют итерационных методов для своей реализации, что дает возможность построить цепочку упрощенных алгоритмов реализации по физическим процессам и по времени. Доказывается устойчивость алгоритма при естественных требованиях па операторы расщепления [151, 152, 183, 163, 162].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Абрашина-Жадаева, Наталья Григорьевна, 2007 год

1. Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // Дифферент уравнения. — 1990. — Т. 26, № 2. — С. 314 — 323.

2. Абрашин В. Н., Муха В. А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 10. — С. 1786 - 1799.

3. Абрашин В. Н. Об одном итерационном методе решения разностных задач для эллиптических уравнений. // Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 31, № 7. - С. 911 - 920.

4. Абрашин В. Н., Дзюба И. А. Об экономичных итерационных методах решения задач математической физики.II. // Дифференц. уравнения. 1994. — Т. 30, № 2. - С. 281 - 291

5. Абрашин В. Н. Многокомпонентные итерационные методы переменных направлений. // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 3. С. 45 - 56.

6. Абрашин В. Н. Об одном методе разделения на подобласти при решении задач математической физики //Дифференц. уравнения. — 1995. Т. 31, № 9. - С. 1525 - 1535

7. Абрашин В. Н. Од одном итерационном методе решения разностных задач для эллиптических уравнений. //Дифференц. уравнения. — 1998. Т. 31, № 7. - С. 911 - 920.

8. Абрашин В. Н., Вабищевич П. Н. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики. // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34, № 7. — С. 1666 — 1674

9. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье — Стокса.1 // Дифференц. уравнения. — 1992. Т. 28, № 7. - С. 1154 - 1167.

10. Абрашин В. Н., Лапко С. Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье — Стокса.П // Дифференц. уравнения. — 1993. Т. 29, № 4. - С. 673 - 688.

11. Абрашии В.Н., Лэхтикоо С.Н. О сочетании методов переменных направлений и конечных элементов при решении задач математической физики. I.// Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. — С. 1161 1169.

12. Абрашин В.Н., Лэхтиков С.Н. О сочетании методов переменных направлений и конечных элементов при решении задач математической физики. II.// Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 7. — С. 1161 1169.

13. Абрашин В. Н., Якубенл А. Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами. // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 6. — С. 1055 - 1066.

14. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики. // Вычислительные процессы и системы.-Вып. 8. — М.: Наука, 1991.- С. 4 51.

15. Агошков В. И. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. — М.: Наука, 1989.— 410с.

16. Алейникова Т.Г., Дзюба И.А. Экономичные схемы для многомерных задач математической физики. // Дифференц. уравнения. — 1993. Т. 29, № 7. - С. 1155 - 1166.

17. Андреев В. Б. Итерационные методы переменных направлений для численного решения третьей краевой задачи в р мерном параллелепипеде. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1965. — Т. 5, № 4. - С. 626 - 637.

18. Андреев В. Б. О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными производными // Журн вычисл. матем. и матем. физ. - 1967. - Т. 7, № 2. - С. 1021 - 1034.

19. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.С., Малинецкий Г.Г. Парадоксы мира нестационарных структур.

20. Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988.— С. 149— 168.

21. Вагриновский К. А., Годунов С. К. Разностные методы для многомерных задач. // ДАН СССР. 1957. Т. 115, №3. - С. 125-130.

22. Бахвалов Н. С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные численные методы решения уравнений Навье — Стокса. // Числен, мо-делир. в аэродинамике. — М., 1986. — С. 37 — 45.

23. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1994. — 520с.

24. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щеников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, №1. С. 197 - 207.

25. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод "крупных частиц"для газодинамических расчетов // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т. 11, №1. — С. 186 — 199.

26. Бенсусан А.,Лионе Ж.-Д., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения. // Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1975.— С. 144 — 274.

27. Березин Ю. А. Численное моделирование нелинейных волн в разреженной плазме. — Новосибирск, 1971.— 200с.

28. Березин Ю. А.,Яненко H.H. Методы расщепления для задач физики полупроводников. // Доклады Академии наук СССР.— 1984.— Т. 274, №6.- С. 1338-1340.

29. Булеев Н. В. Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии. // Матем. сб. — I960 — Т. 52, №2. — С. 317 — 325

30. Вабищевич П. Н., Макаров М. М. Итерационное решение задач конвекция диффузия.— М., 1993.—31с. ( Препринт 19 РАН Институт прикладной математики)

31. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974. — 126 с.

32. Воеводин В. В. Математические модели и методы в параллельных процессах. — 1986. М.: Наука, —300с.

33. Воеводин В. В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — 1984. М.: Наука, —203с.

34. Волков В. М., Лэхтиков С. Н. Многокомпонентные итерационные методы декомпозиционного типа для двумерных стационарных задач диссипативного переноса // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, № 7. С. 927 - 933.

35. Гордезиани Д. Г. О некоторых векторных моделях разностных схемах для решения краевых задач // Современные проблемы мат.физики и вычисл.математики.— 1982.— С. 128 — 137.

36. Гордезиани Д.Г., Меладзе Г.В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Журн вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1974. - Т. 14, №1. - С. 246 - 250.

37. Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., 1973.— С. 265.

38. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.- С. 472.

39. Дьяконов Е.Г. О некоторых разностных схемах для решения краевых задач. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, №1. С. 172 - 191.

40. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных стационарных задач. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, №4. - С. 549 - 568.

41. Дьяконов Е.Г., Лебедев В.И Метод расщепления для третьей краевой задачи. //Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд во МГУ, 1967. —Вып.4. - С. 210 - 243.

42. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. //Нестационарные задачи. — М.: Изд — во МГУ, 1972. — Вып.2 — С. 121 — 138.

43. Дьяконов Е.Г. О некоторых итерационных методах решения систем разностных уравнений, возникающих при решении методом сеток уравнений в частных производных эллиптического типа. // Вычисл. методы и программирование. — М. 1965. — Выи. 3. — С. 163 — 194.

44. Дьяконов Е.Г. Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа. — Киев, Ин т кибернетики. УССР, 1970. - 144с.

45. Дьяконов Е.Г. On the solution of some elliptic difference equationsn J. Inst. Math. Applies. 1971. - V. 7 - - S. 144-156.

46. Зайцева С.Б., А.А.Злотник Точные оценки погрешности векторных методов расщепления для уравнения теплопроводности. // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, №3. — С. 472 — 491.

47. Ильин В. П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов. // Сиб. матем. журн. — 1965.— №6.— С. 1425- 1428.

48. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

49. Кобельков Г.М. Об одной разностной схеме расчета нестационарных уравнений Навье — Стокса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.- 1984. Т. 24, №2. - С. 294 - 304.

50. Коновалов А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 147, №1. С. 25 - 27.

51. Коновалов А.Н. Применение метода расщепления к численному решению динамических задач теории упругости // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т.4, №5. — С. 760 — 764.

52. Кузин В. И. Численная модель глобальной циркуляции океана, основанная на методе конечных элементов с расщеплением. // Численное моделирование динамики океана и внутренних водоемов. — Новосибирск. 1984 С. 118 - 140.

53. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.:Наука, 1966. —499 с.

54. Лаевский Ю. М. Методы декомпозиции области при решении двумерных параболических уравнений. // Вариационно разностные методы в задачах численного анализа. — Новосибирск, 1987. — С. 112- 128.

55. Ладыоюенская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. — 288с.

56. Лаевский Ю. М. Об одном алгоритме декомпозиции области без налегания подобластей при решении параболических уравнений. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. — Т. 32, № 11. — С. 1744- 1755.

57. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. — 230с.

58. Лапко С. Л. Разностные методы для многомерных уравнений математической физики. // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 7.- С. 1175 1177.

59. Лапко С. Л., Рашид А. Н. Разностные методы для многомерных уравнений конвективной диффузии. // Дифференц. уравнения. — 1994. Т. 30, № 1. — С. 175 - 177.

60. Лапко С. Л. Векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации для многомерных задач математичекой физики. // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. С. 1240 - 1248.

61. Лебедев В. И. Метод композиции. М.: ОВМ АН СССР, 1986. -198с.

62. Лебедев В. И., Агошков В. И. Обобщенный алгоритм Шварца с переменными параметрами. — М., 1981. — 29с. (Препринт ОВМ АН СССР)

63. Лебедев В. И., Бахвалов Н. С., Агошков В. И. Параллельные алгоритмы решения некоторых стационарных задач математической физики. — М.: Отд. вычисл. матем. АН СССР, 1984. — 142 с.

64. Лебедев В. И., Филиппов В. И. Обобщенный алгоритм Шварца с переменными параметрами. — М., 1981. — 32с. ( Препринт ОВМ АН СССР)

65. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 420с.

66. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач о малых прогибах кольцевидных пластин. — "Численные методы механики сплошных сред". Новосибиоск, 1973, №4, 2. - С. 116 - 131.

67. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I, II. // Изв. вузов. Математика. 1972, №11. - С. 23 - 31,- 1973, №3. - С. 44 - 52.

68. Макаров В. Л., Хлобыстов В.В. Сплайн аппроксимация функций.

69. М.: Высшая школа, 1983.— 270с.

70. Марчук Г. И. Методы расщепления. — М., Наука, 1988. — 264 с.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.:, Наука, 1989. 608 с.

72. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — Новосибирск: Наука, 1973 — 410с.

73. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1961,- 256с.

74. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. — JL: Гидроме-тиздат, 1967. — 247с.

75. Марчук Г. И. Методы и проблемы вычислительной математики. // Международный конгрес математиков в Ницце. Доклады советских математиков. — М.:, Наука, 1972. — С. 171 — 189.

76. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Некоторые вопросы теории многошаговых итерационных процессов. // Вычислительные методы линейной алгебры. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969 — С. 16 — 30.

77. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейронов. — М.: Атомиздат, 1971.— 496с.

78. Марчук Г. И., Султангазин У. М. О сходимости метода расщепления уравнений переноса излучений. // ДАН СССР. — 1965. — Т. 161, №1.- С. 66 70.

79. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления. // ДАН СССР. — 1964 — Т. 157, №6. — С. 196 201.

80. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Применение метода расщепления (дробных шагов)для решения задач математической физики. // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики . — Новосибирск: Наука, 1966. — С. 196 — 201.

81. Петрусев A.C. Вариант метода многокомпонентного расщепления для эволюционных уравнений первого порядка // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 2004. — Т. 44, №5. — С. 872 — 882

82. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. — М.: Наука, 1956 — 249с.

83. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука, 1994 — 450с.

84. Рихтмайер Р., Мортои К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Наука, 1972—418с.

85. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М., 1980.— 510с.

86. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. 552 с.

87. Самарский А. А. Избранные труды A.A.Самарского. — М.: МГУ, 2003. 525 с.

88. Самарский А. А. О работах по теории разностных схем //Международный конгресс математиков в Ницце. 1970 г. Доклады советских математиков. — М.: Наука, 1972, с.276 — 289.

89. Самарский А. А. О сходимости метода дробных шагов для уравнения теплопроводности. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. Т. 2, №6. - С. 906 - 917.

90. Самарский А. А. Локально одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — Т. 3, №3. С. 431 - 466.

91. Самарский А. А. Об одном экономичном разностном методе многомерного параболического уравнения в произвольной области. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1962. — Т. 2, №1. — С. 25 — 56.

92. Самарский А. А. Об одном экономичном алгоритме численного решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений // Журн вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, №3. — С. 496 — 503.

93. Самарский А. А. Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, №1. - С. 996 - 1005.

94. Самарский A.A. О принципе аддитивности для построения экономичных разностных схем. // Докл. АН СССР — 1965. — Т. 165, №6. С. 1253 - 1256.

95. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. —М.: Наука, 1976. — 350с.

96. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные схемы декомпозиции области для параболических задач. // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № 9. - С. 1563 - 1569.

97. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. — М.: Наука, 1999. — 195 с.

98. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Гулин А. В. Устойчивость опе-раторно разностных схем. // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т.35, № 2. С. 152 - 187.

99. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. 432 с.

100. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 545 с.

101. Самарский А. А., Фрязипов И. В. О разностных схемах аппроксимации задач математической физики. // Успехи матем. наук. — 1976.- Т. 31, Вып. 6(192). С. 167 - 197.

102. Самарский А. А., Николаев Е. В. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. —410с.

103. Темам Г. Уравнения Навье — Стокса. — М.: Мир, 1981. —600с.

104. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985. -530с.

105. Туретаео Н.Д. // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т.36, №7. С. 89 - 108.

106. Треногип В.А. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1980. —517с.

107. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журн вычисл. матем. и матем. физ.- 1964. Т. 4, №6. - С. 231 - 240.

108. Фрязинов И.В. Экономичные симметризовапные схемы решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа // Журн вычисл. матем. и матем. физ. —■ 1968. — Т. 8, №2. — С. 436 -443.

109. Фрязинов И.В. Об одном классе схем для уравнения параболического типа // Жури вычисл. матем. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, №1. -С. 114-125.

110. Фрязинов И. В. Консервативные разностные схемы для двумерных уравнений несжимаемой вязкой жидкости в переменных скорость -давление. — М., 1981. — 28с. (Препринт №11 Ин т прикл. матем. АН СССР)

111. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980.— 596с.

112. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. // Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967. С. 201-220.

113. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы.— М.: Мир, 1986.—600с.

114. Шокин В. К. Метод дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1981. —300с.

115. Энштейн Б. С. Об одной схеме типа переменных направлений для задачи Навье — Стокса. // Вестн. Леиингр. ун та. — 1974. — № 7. - С. 166 - 168.

116. Якубеня А. Н. Об одном классе разностных схем па адаптивных сетках для численного решения двумерных задач Стефана. // Диф-ференц. уравнения и их применение. —Вильнюс, 1988,— Выи.43 — С. 107-114.

117. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // ДАН СССР. — 1959. — Т.125, № 6. — С. 1207 1210.

118. Яненко Н. Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов) // ДАН СССР. 1960. - Т. 134, № 5. - С. 1034 - 1036.

119. Япенко Н. Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967. — 195 с.

120. Яненко Н. Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений. //Сибирский математический журнал. — 1964. — Т. 5, № 6. С. 1431 - 1434.

121. Янеико Н. Н. О неявных разностных методах счета многомерного уравнения теплопроводности. // Изв. вузов. Математика. — 1961. — Т.4, №23.—С. 101-123.

122. Яненко Н. Н. О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. // Журн вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т.2, №5. - С. 933 — 937.

123. Яненко Н. Н., Демидов Г. В. Метод слабой аппроксимации как конструктивный метод построения решения задачи Коши. // Некоторыевопросы вычислительной и прикладной математики. —Новосибирск: Наука, 1966 С. 135-160.

124. Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики. 4.1. II.—Новосибирск: Новосибир. гос.ун-т. 1968.—230 с.

125. Douglas J., Rachford Н. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables. //Trans. Amer. Math. Soc.- 1956. V. 82. - P. 421 - 439. Англ.

126. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. //J. Soc. Indust. Appl. Math. — 1955.- V. 3. P. 28 - 42. Англ.

127. Douglas J. On the numerical integration of д2и/дх2 -f д2и/ду2 = ди/partialt by implicit methods //J. Soc. Indust. Appl. Math. — 1955.- V. 3. P. 42 - 65. Англ.

128. Douglas J. Alternating direction iteration for mildly nonlinear elliptic difference equations. //Num. Math. — 1961. — V. 3. — P. 36 43 Англ.

129. Douglas J., Gunn J. A general formulation of alternating direction methods. //Num. Math. 1964. - V. 6. - P. 428 - 453. Англ.

130. Gunn J. The solution of elliptic difference equations by semiexplicit iterative techniques. // SIAM J. Numer. Anal. — 1965. — V. 2, № 1—P. 51-62. Англ.

131. Jovanovic B.S. On class of multicomponent alternating direction methods// 3rd Internat. Coll. Nuner. Analys. Plovdiv, 1994. Singapore: SCTP, 1995. P. 97-106.

132. Jovanovic B.S. On the corvergence of multicomponent alternating direction scheme // Publ.de L'Inst Math. — 1994. — V. 56 (70). P. 129 -134.

133. Zaitseva S. B. N., Zlotnik A. A. Sharp error estimates of parallel locally one dimensional and vector splitting methods for the heat equation. // Second Internat. Conference."Finite-difference methods: theory and application. "Minsk, 1998. -P. 68.

134. Ortega J. Introduction to parallel and vektor solution of linear systems. N. Y.: Plenum press, 1988,- P.62 -75.

135. Forsythe G., Wasow Ж Finite difference methods for partial differential equations. New York: Wiley, 1960. — P.76 —97. Англ.

136. Hageman L., Young D. Applied Iterative Methods. N. Y: Acad, press, 1981.-P.il 1-130. Англ.

137. Birkhoff G., Varga R. Implicite alternating direction methods. Trans // Amer. Math. Soc. 1959.- V. 92,- P. 13 - 24.

138. Birkhoff G., Varga R. Alternating direction implipit methods. Advances in Сотр. -N. Y.: Academic Press, 1962 — V. 3 — P. 189—273.

139. Lax P. On the stability of difference approximations to solutions of hyperbolic equations with variable coefficients. // Comm. Pure Appl. Math. 1961,- V. 14,- P. 497.

140. Marchuk G., Kuzin V. On the combination of finite element and splitting up methods in the solution of parabolic equations. //J. Comput. Physics. - 1983,- №2,- P. 273 - 282.

141. Widlund O. A. On the effects of scalling of the Peaceinan-Rachford method. // SIAM J. Numer. Anal.- 1978,- V. 15.— P. 801 812.

142. Temam R. Sur l'approximation de la solution des equations de Navier — Stokes par la Methode des Pas Fractionnaires. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1969. -V. 7. - P. 32 - 33.

143. Trotter H. F. On the product semigroups of operators. 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1959. -V. 10.- P. 545 - 551.

144. Жадаева H. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач. I // Дифференц. уравнения — 1992,- Т. 28, № 7 С. 1218-1230.

145. Волков В. М., Жадаева Н. Г. Экономичные методы решения гиперболических систем 1-го порядка // Дифференц. уравнения.— 1994.— Т. 30, № 7,- С. 1187-1193.

146. Жадаева Н. Г. Об одном методе разбиения области в нестационарных задачах математической физики // Дифференц. уравнения,— 1995.- Т. 31, № 7 С. 1217-1221.

147. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод переменных напрвлений решения стационарных задач математической физики. I // Дифференц. уравнения.— 1996.— Т. 32, № 9.— С. 1212-1221.

148. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный вариант метода переменных направлений для эволюционных задач. II // Дифферепц. уравнения.— 1997.- Т. 33, № 7.- С. 998-1000.

149. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метод переменных напрвлений решения стационарных задач математической физики. II // Дифференц. уравнения — 1997.— Т. 33, № 9.— С. 1211-1219.

150. Жадаева Н. Г. Многокомпонентный метода переменных направлений решения многомерных задач для эллиптических уравнений со смешанными производными // Дифференц. уравнения.— 1998.— Т. 34, № 7,- С. 948-957.

151. Жадаева Н. Г., Самарская Е. А. Метод декомпозиции области решения сеточных параболических задач // Дифференц. уравнения.— 1999 Т. 35, № 2 - С. 225-231.

152. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. об одном методе композиции построения итерационных алгоритмов решения стационарных задач математической физики // Дифференц. уравнения.— 1999.— Т. 35, № 7.— С. 948-957.

153. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье—Стокса // Дифференц. уравнения — 1999,- Т. 35, № П.- С. 1543-1552.

154. Абрашин В. Н.} Волков В. М., Егоров А. А., Жадаева И. Г. Об одном классе разностных методов решения уравнений Навье — Стокса // Известия вузов. Матем.— 1999 — № 1 — С. 3—11.

155. Самарский А. А., Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Аддитивные итерационные методы решения задач математической физики // Доклады РАН.- 2000.- Т. 373, № 6 С. 734-736.

156. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. О скорости сходимости экономичных итерационных методов для стационарных задач математической физики // Дифференц. уравнения.- 2000 Т. 36, №11.— С. 1220-1229.

157. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные схемы реализации метода конечных элементов для стационарных краевых задач математической физики // Известия вузов. Матем 2000 - № 11,- С. 3-11.

158. Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Схемы расщепления полной аппроксимации в методах декомпозиции области // Матем. моделирование — 2000,- Т. 12, № 2.- С. 35-45.

159. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. О скорости сходимости аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения.— 2001 Т. 37, № 7.— С. 867-879.

160. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Об одном классе аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения.— 2001.— Т. 37, № 12.- С. 1664-1673.

161. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Экономичные аддитивные разностные схемы для многомерных нелинейных нестационарных задач // Дифференц. уравнения 2002 — Т. 38, № 7 — С. 907-917.

162. Жадаева Н. Г. Об одном экономичном методе для многомерных уравнений движения и переноса // Дифференц. уравнения.— 2002.— Т. 38, № 9.- С. 1257-1262.

163. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Об аддитивных итерационных методах и оценках их скорости сходимости // Известия вузов. Матем.— 2003,- № 1,- С. 3-11.

164. Абрашин В. Н., Волков В. М., Жадаева Н. Г. Вычислительная погрешность векторно-аддитивных итерационных методов // Дифференц. уравнения — 2005 — Т. 45, № 7 — С. 1187—1193.

165. Абрашин В. Н.,Жадаева Н. Г. Об аддитивных методах для уравнений Навье — Стокса. // Известия вузов. Матем.— 2005.— № 1.— С. 3-9.

166. Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные схемы векторного расщенления для решения многомерных задач математической физики // Дифф. уравнения.— 2006.— Т.46.— № 7.— С. 883-894.

167. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные алгоритмы решения стационарных задач математической физики // Lietuvos matem. Rinkinys.- 2000.- Т.40, № 4,- С. 387-403.

168. Abrashin V. N.; Giegis R., Pakeniene VZhadaeva N. G. Stabilitu analysis of Seidel type multicomponent iterative method // Mathematical modelling and analysis.— 2002.— V. 7, JV-° 1 — C. 1-10.

169. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. A splitting type algorithm for numerical solution of PDEs of fractional order // Mathematical Modelling and analysis.— 2007 — V. 12, № 4- P. 399-408.

170. Абрашин В. Н., Жадаева Н. Г. Разностные схемы для задач математической физики в областях произвольной формы // Дифференц. уравнения и их применение — Вильнюс, 1988.— Вып. 43 — С. 22—30.

171. Абрашин В. H., Дзюба И. В., Жадаева H. R О решении задач ма-темаической физики многокомпонентным методом переменных направлений // Дифференц. уравнения и их применение — Вильнюс, 1991- Вып. 46 — С. 18-24.

172. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Multikomponent alternating direction method for solving problems of mathematical pysics // Second Intern. Conf. "Finite-difference metids: Theory and application", Minsk, 1998.— V. 1.— P. 12—20.

173. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева H. R, Самарская Е. А. Итерационный многокомпонентный метод переменных направлений решения стационарных задач математической физики. // Труды института математики НАН Беларуси,— 1999.— Т. 3.— С. 99—105.

174. Абрашин В. Н., Егоров А. А., Жадаева Н. Г. Additive iterative methods and convergence rate estimates // Труды института математики HAH Беларуси 2002.- Т. П.- С. 13-21.

175. Жадаева Н. Г. Один вариант метода переменных направлений для уравнений параболического типа // Тез. докл. Межд. мат. конф. "Теория приближения и задачи вычисл. матем.".— Днепропетровск, 26-28 мая 1993.- С. 18-19.

176. Жадаева Н. Г. О распараллеливании вычислений при решении многомерных задач // Тез. докл. Межд. мат. конф., "Проблемы математики и информатики", 1994 в II ч. / Гомельский гос. университет-Гомель, 1994 Ч. 2 - С. 48-49.

177. Егоров A. A., Жадаева H. Г. Итерационные методы разделения переменных для стационарных задач математической физики // "Еру-гинские чтения VI": Тез. докл. Межд. мат. конф., Гомель. 1999 г. / Гомельский гос. университет.— Гомель, 1999.— Ч. 2,— С. 18—19.

178. Самарский А. А., Жадаева Н. Г. Экономичные итерационные методы решения стационарных задач математической физики //8 Белорусская матем. конференция. Тез. докл.— Минск, 2000.— Ч. 3.— С. 36.

179. Жадаева Н. Г. Об одном методе решения уравнений Навье — Сток-са. // "Еругинские чтения IX": Тез. докл. Межд. мат. конф., Ви1. О/тебск, 2003 г. / Витебский гос. университет.— Витебск, 2003 — Ч. 2 — С. 18—19.

180. Abrashin V. N., Zhadaeva N. G. Additive methods for solution of nonlinear problens of mathematical physics // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 8th Intern. Conf. MMA 2003, Trakai.— P. 3.

181. Volkov V. М., Zhadaeva N. G. A computing error of parallel vektoradditive iterative methods // Mathematical Modelling Analysis Abstracts of the 10th Intern. Conference, Trakai, June 1-5, 2005.— Pt. 3,— P. 150.

182. Abrashina-Zhadaeva N. G., Romanova N. S. Decomposition methods for multi-dimensional fractional partial differential equations // Abstracts of 12-Intern. conf. "Mathematical modeling and analysis".— 2007.— P. 3.

183. Абрашина-Жадаева H. Г., Романова H. С. Гибридный метод для 2D уравнений диффузии дробного порядка //Сб. науч. тр.— ГрГУ, 2007,- С. 164-167.