Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Вуйтович, Марек

• Вуйтович, Марек
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вуйтович, Марек

Введение

Глава 1 Требования к математическим моделям оптимизации электро- и теплопереноса

1.1 Особенности аналитических и численных моделей в аспекте их применения к оптимизации сложных электротепловых систем с распределенными параметрами

1.2 Математическое описание электротепловых СРП в виде сопряженных краевых задач для систем уравнений в частных производных

1.3. Математическое описание в виде интегральных и интегро - дифференциальных уравнений

1.3.1. Интегральные уравнения для теплового поля

1.3.2. Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитного поля.

1.4. Особенности использования моделей с неполным знанием входных данных

1.5 Необходимость сглаживания локальных возмущений коэффициентов уравнений и функций неоднородности в задачах параметрической оптимизации

1.6 Принцип вложенных математических моделей (неоднородность расчетной модели)

Глава 2 Приближенные интегро-аппроксимативные методы построения решений нелинейных многомерных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений

2.1. Общая концепция сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач для параболических и эллиптических уравнений

2.2. Приближенный итеро-аппроксимативный метод, основанный на аппроксимации нелинейного решения собственными функциями специально построенных линейных операторов щ

2.2.1. Построение итерационных процедур щ

2.2.2. Алгоритм ИАМ в содержательных обозначениях \{\

2.3 Модификация I интеро-аппроксимативного метода {¿у

2.4 Теорема об обобщенном решении задачи теплопроводности

2.5. Теоремы о существовании и единственности решения и оценке скорости сходимости базового итеро-аппроксимативного метода

2.6 Теоремы о сходимости и устойчивости итерационного процесса для модификации 1 итеро-аппроксимативного метода

2.7 Теоремы об устойчивости решения нелинейного параболического уравнения теплопроводности, получаемого по ИАМ, при возмущении начального состояния 15&

Глава 3 Цифровые эксперименты по анализу сглаживающих свойств операторов обращения дая параболических и эллиптических уравнений по алгоритму иам и оценке скорости его сходимости <|6&

3.1 Количественные меры для оценки сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач теплопроводности и электромагнитного поля 16$

3.2 Оценка сглаживающих свойств оператора обращения Ь" 1 и скорости сходимости для параболических уравнений теплопроводности /¡

3.3 Оценка сглаживающих свойств операторов обращения уравнений Гельмгольца для электромагнитного поля и скорости сходимости ИАМ

Глава 4 Решение краевых задач электромагнитного поля ^

4.1 Решение начально- краевой задачи для параболического уравнения, описывающего нестационарное электромагнитное поле в системе "возбуждающий токовый слой ферромагнитный цилиндр конечных размеров"

4.2 Решение краевой задачи для эллиптического уравнения, описывающего квазистационарное электромагнитное поле в сечении ферромагнитной прямоугольной призмы

Глава 5 Алгоритм оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей на базе решений краевых задач итеро-аппроксимативным методом

5.1 Декомпозиция задачи оптимального подвижного управления ¿¿^

5.2 Алгоритм решения подзадачи г, оптимизации функции пространственной формы подвижных источников тепла 2.2.%

5.3 Пример исследования закономерностей проявления электротепловых краевых эффектов и решения задачи оптимизации на основе итеро-аппроксимативного метода

5.4 Апробация декомпозиционного итерационного алгоритма в условиях нелинейной краевой задачи для уравнений максвелла

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и оптимизация взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных»

Предметом исследования в диссертации являются вопросы математического моделирования и оптимизации тепло- и электрофизических процессов, описываемых сопряженной (взаимосвязанной) системой уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривается класс многомерных (двух- и трехмерных) начально-краевых задач с учетом нелинейности заданных функций — коэффициентов уравнений, граничных условий и свободных членов (правых частей уравнений) — при неполном знании входных данных. Модели проблемно ориентированы на решение задач оптимизации электротепловых полей при подвижных пространственно-временных источниках воздействия (джо-улевых источниках тепла).

Указанный класс задач является моделью многих современных технологий, где осуществляется распределенное или сосредоточенное воздействие электромагнитного поля на токопроводящие твердые поверхности (металлические, порошковые, композиционные, полупроводниковые), а также расплавы жидкого металла. Примерами могут служить процессы индукционного нагрева на средних и высоких частотах и сквозного электрического нагрева токопрово-дящих тел, сварки, термообработки, магнитогидродинамического воздействия на жидкие металлы, нагрев подложек в электронной полупроводниковой технологии, плазменное напыление, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др. [1,2;8].

Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть «электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)».

Выделенный для исследования класс электротепловых моделей характеризуется одновременным учетом нескольких факторов сложности и, соответственно, общности: взаимосвязанных электротепловых краевых эффектов в теле, на которое воздействует поток электромагнитной энергии; многомерности задачи (2 пространственных измерения для осесиммет-ричных СРП и 3 для прямоугольной геометрии); проблемной ориентации на решение многокритериальных (векторных) начально-краевых задач оптимального управления с нелинейными фазовыми ограничениями; такая ориентация порождает спецефические вычислительные проблемы, связанные с большой размерностью расчетной системы уравнении; изменения источников воздействия (джоулевых источников тепла) как во времени, так и в пространстве при непрерывном или дискретном перемещении источников относительно тела; всех видов нелинейностей в исходном математическом описании электротеплового процесса; неполноты знаний входных данных, т.е. фактора неопределенности.

Последний фактор сложности — неполнота входных данных — является центральным при разработке математических моделей электротепловых процессов и, главное, при создании конструктивных приближенных методов решения нелинейных многомерных начально-краевых задач, обладающих требуемой вычислительной эффективностью.

Математические модели для взаимосвязанных электротепловых нелинейных процессов с учетом указанных выше факторов общности практически не изучены. Отсутствуют также конструктивные, эффективные в вычислительном отношении методы решения начально-краевых задач для этих моделей.

Рассмотрим эту проблему подробнее. Исследуемую научную задачу можно условно разделить на три части:

Разработка эффективных в вычислительном отношении для целей оптимизации и управления методов решения нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности;

Создание эффективных в вычислительном отношении в аспекте учета реального распределения джоулевых источников тепла в зоне краевых эффектов математических моделей электромагнитного поля в ферромагнитных и парамагнитных телах;

Разработка алгоритмов оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей и решение краевых задач оптимизации.

В силу сложившихся традиций исследования в области каждой из перечисленных задач проводились учеными различного профиля, т.е. в различных областях знаний. Рассматриваемая проблема математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей требует, по существу, междисциплинарных исследований. Поэтому решение всех трех перечисленных задач в их взаимосвязи встречается в литературе лишь фрагментарно.

Прямые начально-краевые задачи для параболических уравнений теплопроводности в твердых телах относятся к наиболее изученной области математической физики. Здесь значительный вклад внесли отечественные и зарубежные ученые теплофизики и математики: Абрашин В.В., Бахвалов Н.С., Белоцер-ковский О.М., Беляев Н.М., Вабищевич П.Н., Галицын A.A., Годунов С.К., Го-лант Е.И., Гулин A.B., Долинский A.A., Дьяконов А.Г., Еремин А.Ю., Жидких В.М., Жуковский А.Н., Зарубин B.C., Ильин В.П., Исаев С.А., Карташов Э.М., Кузнецов Ю.И., Курант Р., Коздоба JI.C., Коляно Ю.М., Лебедев В.И., Лыков A.B., Марчук Г.И., Мартыненко О.Г., Мацевитый Ю.М., Морс Ф.М., Митро-польсктй Ю.А., Михайлов Ю.А., Михеев М.А., Николаев Е.С., Ноготков Е.Ф., Пасконов В.М., Подстригач Я.С., Полежаев В.И., Полежаев Ю.В., Пехович A.A., Рыкалин H.H., Рябенький B.C., Рядно A.A., Седов Л.И., Самарский A.A., 7

Тайц Н.Ю., Тихонов А.Н., Фешбах Г., Шиков В.К., Четвертушкин Б.Н., Чудов JI.A., Anderson D., Axelsson О., Barker V.A., Chan T.F., Mathew T.R., Morton K.W., Fletcher A.I., Hicsch C., Hitzchke P.-P., Petche-r R., Tannenhill U.I., Schulze D.

Здесь исследования шли по двум направлениями: для простейших одномерных моделей разрабатывались различные приближенные аналитические подходы [24-26, 32, 47, 51, 83, 88], а для многомерных нелинейных задач развивались, в основном, численные методы [4, 46, 47, 51, 63, 65, 66, 77, 78, 79, 86, 87, 93, 99, 98, 102]. Заметим, что теория вычислительных методов для нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности далека от завершения.

Аспекты функционального анализа по рассматриваемой проблеме теплопроводности для итерационных аналитических и численных методов содержатся в трудах Ахиезера H.H., Вайникко Г.М., Акилова В.П., Вабшцевича П.Н., Васина В.В., Вулиха Б.З., Гохбера И.Ц., Гребенникова А.И., Иванова В.К., Иосиды К., Канторовича Л.В., Колмогорова А.Н., Кошелева А.И., Крейна М.Г., Красносельского М.А., Ладыженской O.A., Люстерника Л.А., Морозова В.А., Наймар-ка М.А., Ортеги Дж., Рейнболдта В., Рисса Ф., Солонникова В.А., Тананы ВН., Треногина В.А., Уральцевой H.H., Фомина С.В., Хайгемана Л., Шварца Дж.Т., Халмыша П., Эдвардса Р., Янгом Д., Chandra I., Dressel F., Norman Р.Л, Pach-patte B.G. и др.

Вторая часть исследуемой проблемы — краевые задачи электромагнитного поля — исследована значительно меньше, особенно для нелинейных многомерных постановок. Объясняется это большими вычислительными трудностями, для электродинамических задач по сравнению с тепловыми (см. главу 1).

Основным стимулом для развития этого класса задач явилось развитие радиотехники, радиоэлектроники и, в частности, объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ, а также электрофизических процессов. Из этого крута задач назовем работы Бабича В.М., Березовского B.C., Булдырева B.C., Вайнштейна Л.А., Вольдека А.И., Гринберга Г.А., Данилевича Я.Б., Демиръяна К.С., Домбровско-го В.В., Зоммерфельда А., Иванова-Смоленского A.B., Кацнеленбаума Б.З., Когана М.Г., Кравченко А.Н., Косачевского В.И., Леонтовича H.A., Майергойза Н.Д., Маркувица Н., Миллера М.А., Неганова В.А., Неймана Л.Р., Нефедова

Е.И., Никольского Т.И., Петрушенко Е.И., Сухорукова В.В., Свешникова А.Е., Тозони О.В., Фиалковского A.F., Чечурина B.JL, Цейтлина Л.А., Яшина A.A., Neumann E.G., Hondo К., Yarrington R.F. и др.

Следует отметить, что расчет трехмерных магнитостатических полей уже не представляет серьезных вычислительных проблем при линейной постановке задач. Нелинейные многомерные проблемы, особенно при расчете электромагнитного поля в массивных телах, чрезвычайно сложны и малоисследованы.

Перейдем теперь к анализу третьей части рассматриваемой проблемы — оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей или, что то же самое, оптимального управления этими полями. Данный круг задач примыкает также к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций теории управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП) заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Васильева Ф.П., Еласко В.Б., Дейярева Е.Л., Дикусара В.В., Дими-ченского В.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Красовского H.H., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Милютина A.A., Морозова В.А., Маркуса Л., Моисеева H.H., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванного A.A., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т., Тихомирова В.И., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П. Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и ДР

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метод моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач [14, 17-19, 21, 23, 55, 56, 67, 70, 71, 89, 97, 100]. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной [89]. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Когана М.Г. [30], Демидовича В.Б. и Немкова [102], Коломейцевой М.Б., Рапопорта Э.Я. [22], Морозкина Н.Д. [80], Голичева И.И. [67]. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т.е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Исключение составляют работы М. Гживачевски и С.А. Горбаткова [8, 37, 57, 60, 61, 62, 82, 91, 99] и их учеников. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С.А. Горбаткова.

Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Учитывая изложенное, цель диссертационной работы формируется так: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные методы математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением ряда задач:

1. Выявить специфику исследуемой проблемы СРП и на ее основе определить требования к математическим моделям, разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении приближенных методов.

2. Разработать и усовершенствовать итеро-аппроксимативный метод (ИАМ) решения внутренних многомерных нелинейных краевых задач для параболических и эллиптических уравнений применительно к простой геометрической форме нагреваемости тела.

3. Провести цифровые эксперименты по аппробации ИАМ и его математическое обоснование на основе теории возмущения операторов.

4. Решить краевые задачи электромагнитного поля в нелинейных ферромагнитных средах на основе численного метода переменных направлений.

5. Разработать декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию применительно к нагреву пара- и ферромагнитных тел.

Научная новизна работы в целом

Предложены принципы построения приближенных математических моделей сложных взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах, в которых на всех этапах моделирования (выбора класса модели, постановки краевых задач, выбора формы представления решения и, соответственно, метода решения, исследования устойчивости решения, постановки и решения задачи оптимизации) учитывается фактор неполноты знаний о входных данных.

На основе разработанных принципов проведено обобщение известного ранее ИАМ в рамках теории возмущения операторов, предложена новая модификация ИАМ. Идея предложенного ИАМ состоит в аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения Ли = Р собственными функциями специально построенного линейного (невозмущенного) оператора В с учетом сглаживающих свойств оператора В'1 обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым возмущениям Ки, где А - В + К. Проведено математическое обоснование базового ИАМ и его модификации I. Показано, как на основе ИАМ и соответствующего ему интегрального представления решения можно проводить исследование устойчивости решения при возмущении входных данных с помощью интегральных квадратичных форм (по методу Ляпунова).

Предложен и апробирован на содержательных примерах двухмерного электротеплового поля в парамагнитных и ферромагнитных средах алгоритм оптимизации: двухэтапный процесс поиска оптимальных управляющих параметров с использованием пробных точек равномерно распределенных ЛПГ — последовательностей И.М. Соболя, Р.Б. Статникова.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту

1. Концепция о целесообразности сглаживания локальных возмущений поля для класса задач нагрева токопроводящих твердых тел в электромагнитном поле, где несущественна информация о фазовых превращениях в зонах возмущений и где имеет место неполная информация о входных данных: тепло- и электрофизических коэффициентах, граничных и начальных условиях, источниках тепла.

Обоснование новизны положения состоит в том, что фактор неопределенности учитывается не путем построения стохастической модели, как это обычно принято (для рассматриваемых сложных объектов моделирования и при отсутствии априорных сведений о законах распределения автор считает этот подход малоэффективным), а закладывается в качестве методологическая основа построения эффективных приближенных математических моделей с интегральной формой представления решения.

Достоверность положения обоснована апробацией путем цифровых экспериментов вычислительной эффективности построения моделей (главы 2 . 5).

Теоретическая ценность вывода состоит в том, что указан путь (принципы) построения моделей исследуемого класса для СРП с неполным знанием входных данных. Причем способ сглаживания локальных возмущений поля может быть различным в зависимости от конкретного метода решения краевых задач.

2. Предложен принцип вложенных математической модели (ВММ), т.е. чередуемых итерационно «точных» (базовых моделей) и «грубых» (субмоделей) как удобный инструментарий повышения вычислительной эффективности сложных моделей. Принцип ВММ реализован в диссертации: 1) в ИАМ (декомпозиция нелинейной задачи на последовательность линейных подзадач); 2) в алгоритме расщепления взаимосвязанной электротепловой задачи на конечных временных интервалах Л/у; 3) в алгоритме численного МПН в главе 4 декомпозиция электромагнитной задачи на внешнюю и внутреннюю); 4) в алгоритме оптимизации электротепловых полей при подвижном пространственно временном управлении (декомпозиция на подзадачи Са(г) и ^); 5) в поисковом алгоритме подзадачи при оптимизации функции пространственной формы источников (//[х,/] (декомпозиция процесса поиска на «ближний» и «дальний» (см. раздел 5.1).

Обоснование новизны этого положения состоит в том, что в данной реализации принцип ВММ для рассматриваемого класса задач предложен впервые.

Теоретическая ценность положения состоит в том, что создана методологическая основа различных приближенных аналитических и численных алгоритмов.

3. На основе теории возмущения операторов предложена новая модификация итеро-аппроксимативного метода (ИАМ) решения нелинейных многомерных параболических и эллиптических уравнений для тел простой формы (шестигранников Ламе) и построены соответствующие модели. Метод дает интегральную форму представления решения, позволяющую проводить аналитические исследования устойчивости решения в условиях неполноты знаний, управляемости теплового процесса, чувствительности по различным мерам и др. Идея метода основана на использовании сглаживающих свойств оператора обращения В'1 линеаризованных краевых задач, а также аппроксимации нелинейного решения собственными функциями линейного оператора В.

Обоснование новизны состоит в том, что с позиций теории возмущения операторов сделано обобщение и математическое обоснование ранее известного ИАМ (С.А. Горбатков, М. Гживачевски [62]), а также предложена новая модификация ИАМ.

Достоверность положения основана на доказательстве теоремы 1 . 5 из главы 2, а также цифровыми экспериментами и сравнением расчета с физическим экспериментом и тестовыми решениями (главы 2 . 5). Цифровые эксперименты проводились совместно с М. Гживачевски и С.А. Горбатковым. Теоретическая ценность положения состоит в том, что указан путь построения конструктивных приближенных методов для нелинейных многомерных электротепловых моделей.

4. Решена задача анализа устойчивости решения нелинейной трехмерной задачи теплопроводности, получаемого по ИАМ, при возмущении начальных данных. Показана возможность использования для этой задачи математического аппарата функций Ляпунова в комбинации с ИАМ.

Обоснование достоверности положения основано на теоремах 6 и 7 и цифровых экспериментах из раздела 2.7.

Теоретическая ценность положения состоит в том, что подтверждена возможность комбинации ИАМ с методом Ляпунова для анализа устойчивости.

5. Решены двухмерные задачи расчета нестационарного электромагнитного поля в осесимметричной системе «ферромагнитный цилиндр - возбуждающий токовый слой» конечных размеров, а также квазистатическая задача расчета поля в поперечном сечении длинной ферромагнитной прямоугольной призмы. Использованы с некоторой модификацией известные численные схемы метода переменных направлений (МЛН).

Новизна положения состоит в том, что нестационарная двумерная задача в ферромагнетике решена впервые. Ранее были известны решения одномерной задачи [30].

Достоверность подтверждена цифровыми экспериментами и сравнением с известными тестовыми задачами. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым и A.B. Никитиным.

Теоретическая ценность положения заключается в том, что полученное нестационарное нелинейное решение двухмерной цилиндрической задачи электромагнитного поля может быть использовано как «эталон» для оценки более грубых моделей, например, квазистатических.

6. На основе ИАМ и принципа ВММ оптимизации функции пространственной формы источников тепла и на его основе построена эффективная в вычислительном аспекте модель оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей для ферро- и парамагнитных тел.

Новизна положения состоит в том, что модель оптимизации при учете всех факторов сложности (общности: взаимосвязи полей различной природы, неполноты знания входных данных, учета управляемых краевых эффектов, нелинейности нагреваемых сред, подвижного характера воздействий) получена впервые.

Достоверность положения обоснована цифровыми экспериментами в главе 5. Цифровые эксперименты проводились совместно с С.А. Горбатковым и Л.А. Лушниковым.

Теоретическая ценность положения заключается в апробации принципа ВММ и нетрадиционного способа учета неполноты знаний входных данных в достаточно сложных условиях математического моделирования. Структура и содержание работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит <2$4страниц сквозной нумерации, из которыхсУЛстраниц основного текста, ббстраниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Вуйтович, Марек

Выводы:

1. Разработан подход к анализу устойчивости теплофизического процесса по возмущению начального состояния для модели, описываемой нелинейным трехмерным параболическим уравнением.

2. Разработанный подход использует метод интегральных квадратичных форм - функций Ляпунова и существенно опирается на ИАМ и может служить эффективным инструментарием исследования возмущения процессов теплопроводности, вызываемых неполным знанием входных данных. i67

Глава 3

ЦИФРОВЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО АНАЛИЗУ СГЛАЖИВАЮЩИХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРОВ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО АЛГОРИТМУ ИАМ И ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ ЕГО СХОДИМОСТИ

ЗЛ. Количественные меры для оценки сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач теплопроводности и электромагнитного поля

Для практической оценки и использования эффекта сглаживания в приближенных алгоритмах решения параболических и эллиптических уравнений необходимо ввести какие-то количественные меры.

Определение: эффект сглаживания при прямой постановке тепловой или электромагнитной задачи имеет место в некоторой пространственно-временной области интегрирования П, если для любого числа а > 0 найдется другое число ц{ё)> 0 такое, что при изменении заданных нелинейных функций ат(и), т.е. приближаемых по алгоритму ИАМ с ошибкой , решение краевой тепловой или электромагнитной задачи в области О изменяется на величину меньшую, чем е:

8а (и(х, t)) т V V //

3.1)

Здесь и(хД) - решение краевой задачи для теплового поля (1.35), (1.39), (1.41) либо краевой задачи электромагнитного поля в формулировке (4.19), (4.20)-(4. 32) для векторного потенциала А или (4.71)-(4.75) для напряженности магнитного поля Н

В исследованных выше алгоритмах ИАМ в качестве приближаемых итерационно нелинейных заданных функций в общем случае могут выступать коэффициенты уравнения, функций, входящие в граничные условия, а также возмущения R(u) линейного оператора В согласно (2.10):

00,/))}= Ми), Ф), Рт ("X Л С"), /'О"),я(м), /4»), k (u)(ö«(x, /)/ aol |a(«)V2ttJ. (3.2)

ИАМ является открытым в том смысле, что допускает различные способы выделения линейного оператора В и возмущения R, а также различные способы решения линеаризованных возмущенных уравнений (конечные интегральные преобразования, проекционные методы и др.). Соответственно, приближаемые нелинейные функции am(a(x,t)) могут быть другие, нежели (3.2).

Замечание. Приведенная выше мера сглаживания (3.1) основана на определении Ляпунова для устойчивости динамического процесса при возмущении начальных данных, коэффициентов, правых частей, которые обобщенно Т.К. Серазетдиновым [97]. В нашем определении аналогом устойчивости динамического процесса u(x,t) в системе с распределенными параметрами выступает "сжатие" (сглаживание) ошибок задания коэффициентов уравнений, граничных условий, краевых частей и, наконец, возмущений оператора R(u), возникающий вследствие приближенного характера ИАМ. Отличие (3.1) от классического определения устойчивости состоит в том, что (х,г)еП', т.е. время задано на конечном интервале t е [о, / *].

В работе используются и другие меры сглаживания, в частности коэффициенты сглаживания вида |КЯ) (»<г' 0) - («(*, 0)|| /|| "(г, 0 - и^ (х, 0||. (3.3) где п - номер итераций по ИАМ; норма ||*|| определена формулой

IWI = maxW . (3-4) в классе функций С(П').

Аналогично вводится коэффициент сглаживания для функций джоулевых источников тепла w(xyt)

КСГЛ.„ = Ih (*, 0 - ">2 (*, 0|| /|К (*> 0 " »2 <Х 0|| (3 - 5) где wi, W2 - два элемента в пространстве кусочно-непрерывных в П1 функций; ui, 112 два различных решения уравнений теплопроводности, соответствующих w ] и w2

Заметим, что мера (3.5) связана не с ошибками алгоритма ИАМ, вытекающими из его приближенного характера, а ошибками приближенной кусочной аппроксимации джоулевых источников тепла w(x,t) после решения задачи электромагнитного поля (см., например, аппроксимацию (2.38 )-(2.39 )). Эти ошибки тоже сглаживаются оператором обращения в 1 начально-краевой задачи теплопроводности.

3.2. Оценка сглаживающих свойств оператора обращения В"1 и скорости сходимости для параболических уравнений теплопроводности

Оценки проводились во всех задачах, решаемых в диссертации, и подробно описаны в публикациях автора [59-61]. Приведем некоторые примеры для параболических двух- и трехмерных нелинейных операторов теплопроводности в случае неподвижных (v=0) источников (управлений).

Пример I. Приведены цифровые эксперименты на ЭВМ для модельной двухмерной задачи индукционного нагрева парамагнитного цилиндра (глава 5). Исследовались сглаживающие свойства операторов уравнений теплопроводности (1.35) в отношении коэффициента теплопроводности 2(г), теплового потока q{x), функции источников тепла (управления) w(x) для результирующего распределения температурного поля (t=t*). Исходные данные соответствуют расчету из раздела 5.1.

На рис. 3.1 приведены данные примера расчета электромагнитного и теплового поля в алюминиевом цилиндре, нагреваемом в электромагнитном поле. Входные данные к расчету соответствуют расчетной схеме рис. 5 2л. из раздела 5.2. На рис. 3.1 этапы основного нагрева (ОН) и градиентного нагрева (ГН) соответствуют дискретному подвижному управлению вида (1.3), когда на различных этапах Д/у изменяется уровень мощности источников и их распределение в теле. При этом конец этапа ГН — это конец всего процесса (/гя ='*). Через м? обозначена удельная объемная джоулева мощность, рассчитываемая после решения задачи электромагнитного поля по формуле (1.1), а через q^— тепловой поток на боковой поверхности цилиндра, рассчитаны в процессе решения задачи теплопроводности по формуле (1.39), т.е. с учетом всех механизмов нелинейного процесса теплообмена (конвекцией, теплопроводностью и лучеиспусканием). Более подробно о постановке электротепловой задачи и об алгоритме ее решения сказано в разделе 5.2.

Оценим сглаживающие свойства оператора обращения В'1 краевой задачи теплопроводности по отношению к изменению нелинейной функции граничных условий в алгоритме НАМ (2.29) — (2.31). Используем меру сглаживания (3.2) для распределений в конце процесса (/ =//н =/*) температуры и теплового потока

Аналогично, в отношении сглаживания вариаций удельных источников тепла, используя меру (3.3), получим

Ми,г*| 0,433 е(1Д,Г*)||= 0,2487 1,741

3.4) с гл. с,, к,

К1»*.''! 0,984 |0(1,2,/*)||~ 0,2487 3,95.

3.5) ное приближение «(0), мало отличающееся от и[х] во всей четырехмерной пространственно-временной области, где определено решение. Практические расчеты показали, что скорость сходимости АМИЛ для одно-, двухмерных задач практически одинакова и составляет 2 - 4 шага.

Данный вывод важен с той точки зрения, что при разработке вычислительных технологий позволяет перенести рекомендации по технике применения НАМ, отработанные на простых одномерных задачах, на вновь решаемые сложные многомерные задачи. На одномерных моделях можно проследить в чистом виде (без затенения анализа краевыми эффектами) основные особенности ИАМ. Ценность рассмотрения таких модельных одномерных задач состоит также в том, что приближенное решение, полученное с помощью ИАМ, можно сравнить с известными точными и приближенными аналитическими решениями, которые изучены достаточно детально. Такое сравнение особенно важно потому, что физические эксперименты не позволяют получать информацию о локальных Характеристиках электромагнитного поля внутри ферромагнетика без внесения возмущения (искажения) поля, а дают достоверную информацию только об интегральных характеристиках поля (функционалах от искомого потенциала поля). Поскольку эти функционалы, например напряжение индуктора, обладают, как правило, сглаживающими свойствами, то они отражают погрешность решения краевой задачи при сравнении с экспериментом лишь косвенно.

Итак, следуя изложенным рекомендациям, проведем анализ вычислительных аспектов ИАМ на примере следующей модельной одномерной задачи, которая следует из (1.27а): дгН 1 • , л • |\ ■ г + гЯ-ЫЯ Я = 0; 0 < г < 1; йг г м 4

Н'{0) = 0; Я(1) = 1; К1 - ацйр~х г=г/Д0, Н=Н,„/\Н,„С\, (3.6) где нт — комплексная амплитуда напряженности магнитного поля; н тс — заданная амплитуда напряженности на поверхности цилиндра радиуса Яо', 7 — относительный радиус; — нелинейная функция магнитной проницаемости по основной кривой намагничивания [32].

Для этой модельной задачи известно эталонное численное решение с учетом нестационарности и нелинейности процесса, полученное М.Г. Коганом [45], линейное решение из [32] и приближенное аналитическое нелинейное решение Л.Р. Неймана [10]. Было рассчитано 4 различных варианта (табл. 3.1) для материала из конструкционной стали.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы особенности аналитических и численных моделей взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах с точки зрения их проблемной ориентации на краевые задачи оптимизации поля, т.е. управления краевыми эффектами, а также учета специфики рассматриваемого класса задач с неполным знанием входных данных.

2. Дан сравнительный анализ двух форм представления искомых решений для тепловых и электромагнитных полей: в форме решений дифференциальных уравнений, в форме решений интегральных уравнений. Сделан вывод о предпочтительности второй формы для рассматриваемого класса задач: в электромагнитных задачах это понижает размерность расчетных уравнений после дискретизации задачи, а в тепловых — позволяет применить в области изображений КИП хорошо развитый математический аппарат оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями.

3. Предложен нетрадиционный (не стохастический) способ учета фактора неполноты знаний входных данных, который реализован в совокупности оригинальных предложений при построении математических моделей взаимосвязанных электротепловых полей, который (приближенная аппроксимация нелинейных решений краевых задач собственными функциями линейных операторов; в использовании простых схем аппроксимации возмущенной части оператора; в процедуре расщипления электротепловой задачи; в принципе ВММ; в двухэтапном алгоритме поиска оптимума; в постановке задачи оптимизации).

4. Установлена необходимость сглаживания локальных возмущений поля в рассматриваемом классе задач.

5. Предложен принцип вложенных математических моделей (неоднородности расчетной модели).

6. Исследованы сглаживающие свойства операторов обращения краевых задач для нелинейных параболических и эллиптических уравнений по отношению к приближенным возмущенным частям оператора и предложено использование этих свойств как инструментария разработки приближенных конструктивных методов.

7. На основе теории возмущения операторов сделано обобщение ИАМ и предложена его новая модификация и сделана его апробация на примере сложной нелинейной трехмерной задачи теплопроводности.

8. Доказана теорема 1 о существовании допустимого обобщенного решения в пространстве К2и'(П') линеаризованных краевых задач теплопроводности, получаемых по алгоритму ИАМ.

9. Доказаны теорема 2 об отнесении итерационного процесса ИАМ к классу од-ношаговых процессов с нестационарными операторами.

10. Доказана теорема 3 о сходимости итерационного процесса к точному решению (и{п) «*) и оценке скорости сходимости для базового ИАМ.

11. Получены теоремы 4 и 5 о сходимости итераций для модификации I ИАМ и устойчивости итерационного процесса.

12. Доказана теорема 6 и 7 об устойчивости решения по Иам по возмущению начального состояния.

13. Проведены серии цифровых экспериментов по исследованию сглаживающих свойств операторов обращения тепловых и электромагнитных задач, а также оценка скорости сходимости ИАМ и его погрешностей.

14. Решены задачи электромагнитного поля в ферромагнитной нелинейной среде, которые входят в модель оптимизации.

15. Предложен декомпозиционный алгоритм расщепления общей задачи оптимального управления электротепловым полем на подзадачи оптимизации

2 75 функции интенсивности Си{[) и функции пространственной формы !} источников тепла.

14.На основе принципа ВММ предложен двухэтапный поисковый алгоритм оптимизации управляющих параметров в параметрической подзадаче С^ ().

15.Построены и апробированы двухмерные модели оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей для парамагнитных в нелинейных и неоднородных средах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вуйтович, Марек, 1999 год

1. Яшин A.A., Кандлин В.В., Плотникова Л.Н. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов / Ред. Е.И. Нефедов. — М.: НТЦ «Информтехника», 1992. — 324 с.

2. Болотов A.B., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 336 с.

3. Никольский В.В., Никольский Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.

4. Тозони О.В., Майергойз Н.Д. Расчет трехмерных электротепловых полей. — Киев: Техника, 1974. — 352 с.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

6. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.

7. Бадамшин P.A., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. Уфа: Уфимск. госуд. авиац. технич. ин-т, 1997. - 313 с.

8. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука. Физмалит, 1980. - 284 с.

9. Ю.Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.: Гостех-издат, 1949. — 190 с.

10. П.Демирчян К.С., Чечурин B.JI. Расчет вихревых магнитных полей на основе использования скалярного магнитного потенциалаУ/Электричество, 1982, №1.

11. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.

12. Свенчанский А.Д. Электрические промышленные печи. — М.: Энергия, 1976. —384 с.

13. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Иностранная литература, 1960. — 400 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

15. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

16. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1965. — 474 с.

17. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научн. трудов Казанского авиац. ин-та.

18. Казань: Изд. КАИ, 1971, вып. 130, С. 98 — 103.

19. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами.1. М. Наука, 1979. — 224 с.

20. Лыков A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

21. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

22. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1982. — 304 с.26.3арубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

23. Тир Л.Л., Столов М.Я. Электромагнитные устройства для управления циркуляцией расплава в электропечах. — М.: Энергия, 1975. — 188 с.

24. Кравченко А.Н., Березовский A.A. О нелинейных краевых задачах электромагнитного поля. — Киев: Изд. АН УССР, 1963. — 76 с.

25. Сухоруков В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в проводящих средах. — М.: Энергия, 1975. — 188 с.

26. Коган М.Г. Поверхностный эффект в неравномерно нагретом ферромагнитном цилиндре // Электричество, 1967, №8, С. 72 — 81.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.

28. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. — Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. — 288 с.

29. Демирчян К.С. Моделирование магнитных полей. — Л.: Энергия, 1974. — 288 с.

30. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М. — Л.: Изд. АН ССР, 1948. — 748 с.

31. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. — М.: Энергия, 1975, —296 с.

32. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. — Харьков: Техника, 1967. — 256 с.37.3арипов М.Ф., Горбатков С.А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. - 225 с.

33. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.2 77

34. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. - Т П. — 547 с.

35. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио, 1957. — 581с.41.3оммерфельд А. Электродинамика. -М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 504 с.

36. Марков Г.Т., Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики. — М.: Советское радио, 1970. — 120 с.

37. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распределению радиоволн. — 1948. — Сб. IL, С. 5 — 12.

38. Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных волн // Изв. вузов. Радиофизика, 1964, Т. 4, №5, С. 795 — 830.

39. Коган М.Г. Расчет индукторов для нагрева тел вращения. — М.: Всесоюзн. научно-исслед. ин-т электромеханики, 1966. — 56 с.

40. Kolbe Е., Reiß B.W. Die räumliche Stromdichterverteilung in inductiv erwartmen Körpern unter Berücksichtigung des Temperatur felds // Electrowärme. — 1967/ — B. 25, №7.

41. Установки индукционного нагрева: Учебное пособие для вузов / А.Е. Слу-хоцкий, B.C. Немков, H.A. Павлов, A.B. Бамунэр. — Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. — 328 с.

42. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Госуд. изд. физико-матем. лит., 1959, — 232 с.

43. Цейтлин Л.А. Справочник по расчету индуктивностей. — М.: Энергия, 1974.

44. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

45. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задаче со многими критериями .

46. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

47. Handbook of Intelligent Control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (Ed/A David A — Write. Donald a Sofge): van Nostrand Reinbrold, №4, 1992. - 558 p.

48. Алифанов O.M. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. — M.: Машиностроение, 1979. — 216 с.

49. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебн. пособия для вузов. — М.: Наука. Физматлит, 1979. — 285 с.

50. Гживачевски М., Вуйтович М.Е. Итеро-аппроксимативный метод решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Инженерно-физический журнал, 1999, Т., №, с.

51. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука. Физматлит, 1967. — 736 с.

52. Вуйтович М.Е. Математическое обоснование итеро-аппроксимативного метода решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, №1.

53. Гживачевски М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевых нелинейных многомерных задач оптимального управления электротепловым полем// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, №4, с.

54. Гживачевски М., Вуйтович М. Исследования закономерностей краевых эффектов электротеплового поля на основе математического моделирования //2,79

55. Труды Радомского политехнического института. Серия «Математика», 1999, № .

56. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, №2, С. 101 — 111.

57. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — 1978. — 591 с.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980. — 525 с.

59. Хейгеман J1., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир, 1986.442 с.

60. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.

61. М.: Атомиздат, 1971. — 496 с.

62. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

63. Тихонов А Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 312 с.

64. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. — М.: Издательство Мос-ковск. госуд. ун-та, 1994. — 208 с.

65. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. — М.: Наука. Физматлит, 1977. — 742 с.

66. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948, Т. 3., №6. С. 89 — 185.г go

67. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН СССР. 1959. Т. 126, №4. С. 740 —743.

68. Кошелев А.И. О сходимости метода последовательных приближений для квазилинейных эллиптических уравнений.

69. Чегис Р., Шейбак Т. О применении итерационных методов для решения задач с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения и их приложения (Вильнюс). 1985. №37. С. 68 — 81.

70. Sattinger D.H. A monotonne method for noulinear elliptic and parabolic problems // Indiana Univ. Math. 1.1972. V. 21. P. 979—1000.

71. Chandra I., Dressel F., Norman P. A monotonne method for a system of noulinear parabolic differetial eguations //Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1981. A. 87. N 3 — 4. P. 209 —217.

72. Pachpatte B.G. Monotonne method for noulinear system of equation arising in reactor dynamics //Math. Semin. Notes. Kobe Univ. 1982. 10, N 2/2. P. 721 — 732.

73. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114 с.

74. Павлов H.A. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. — JI.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1978. — 120 с.

75. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. — Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1971. — 294 с.

76. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. I. — М.: Иностранная литература, 1958. — 560 е., Т. II, 1960. — 320 с.

77. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции — диффузии. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 248 с.

78. Беллман Р., Кабала Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968. — 164 с.

79. Рыкалин Н.Н., Зуев И.В., Углов А.А. Основы электронно-лучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.

80. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

81. Колесников П.М., Руденок И.П. Математическое моделирование теплооб-менных процессов в открытых волноведущих структурах // Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, Выпуск 2 (23), С. 44 — 46.

82. Вольдек А.И., Данилевич Я.Б., Косачевский В.И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. — Л.: Энергоатомиздат, Ленигр. отделение, 1983. — 216 с.

83. Reichert К.A. Numerical Methods to Calculate Induction Heating Installations // Electrowarme Int. — 1968. — V. 26. — P. 113 — 123.

84. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. — 276 с.

85. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука. Физмат-лит, 1971, —420 с.

86. Breinmaker Professional. Neural Network Simulation software. User Guide Reference Manual. —Nevada City: California scientific Software, 1995.

87. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

88. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука. Физматлит, 1970. — 512 с.

89. Горбатков С.А., Кувалдин А.Б., Минеев В.Е. и др. Химические аппараты с индуктивным обогревом, — М.: Химия, 1974. — 175 с.

90. ЮО.Василъев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 552 с.

91. Ю2.Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и рассчет устройств индукционного нагрева. — JL: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.

92. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1994.

93. Вабшцевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии // Дифференциальные уравнения, 1994, №30, С. 503 — 513.

94. Самарский А.А. и др. Разностные схемы на неравномерных сетках. — Минкс: Критерий, 1996.

95. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Akademic Press, 1981.

96. Morton K.W. Numerical Solution of Convection — Diffusion Problems. — London: Chapman & Hall, 1996.

97. Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделировании //Математическое моделирование, 1991, Т. 3, №4, С. 93 — 122.

98. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. V. — М.: Физматгиз, 1959.

99. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Изд-во ЛГУ, 1950.

100. ПЗ.Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. — Киев: Наукова думка, 1979. — 360 с.

101. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1977, С. 287 — 298.