Численное моделирование тепломассопереноса в анизотропных телах в условиях аэрогазодинамического нагрева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чипашвили, Андрей Александрович

• Чипашвили, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чипашвили, Андрей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛАХ В УСЛОВИЯХ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА И УНОСА

МАССЫ.

1.1. Физико-математическая постановка.

1.2 Аппроксимация задачи (l.l)-(l.ll) для затупленных анизотропных тел, ограниченных произвольной границей. Метод погружения.

1.2.1. Аппроксимация в регулярных узлах.

1.2.2. Аппроксимация на границах I-II и границах разрыва ТФХ.

1.2.3. Аппроксимация краевых условий (1.5) -(1.8) на свободных границах wl, w2 и в узлах, непосредственно примыкающих к граничным. Метод погружения.

1.3. Метод прогонки с неявной аппроксимацией существенно нелинейных лучистых тепловых потоков.

1.4. Нестационарное движение наружной границы в процессе уноса массы.

1.5. Общий алгоритм численного решения задачи (1.1) — (1.11) с использованием метода переменных направлений с экстраполяцией.

1.6. Исследование теплового состояния анизотропных затупленных тел при сложном теплообмене.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ПЛЁНОЧНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ ПРИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОМ НАГРЕВЕ.

2.1. Двумерная нелинейная задача анизотропной фильтрации капельной жидкости с сильной зависимостью вязкости от температуры.

2.2. Моделирование возникновения плёнки из отфильтровавшейся жидкости, её течения и теплообмена в ней.

2.3. Определение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки в первом приближении.

2.3.1. Первоначальное определение массы жидкости, поступающей в плёнку и испаряющейся с её поверхности.

2.3.2. Определение толщины плёнки жидкости в первом приближении.

2.3.3. Вычисление относительной функции тока и относительной скорости жидкой плёнки в первом приближении.

2.3.4. Распределение температуры в жидкой плёнке на первой итерации.

2.4. Уточнение динамических и тепловых характеристик жидкой плёнки.

2.4.1. Уточнение динамических характеристик жидкой плёнки.

2.4.2. Уточнение тепловых характеристик жидкой плёнки.

2.5. Численные результаты совместного решения задач фильтрации, течения и теплообмена в жидкой плёнке.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ

ПЛЁНОЧНОМ ОХЛАЖДЕНИИ ТЕЛ.

3.1 Физико-математическая модель.

3.2. Метод аналитического решения комплекса задач (3.1) -(3.17).

3.2.1.Определение массовой скорости испарения защитной пленки и температуры ее наружной границы.

3.2.2. Определение линейной скорости фильтрации.

3.2.3. Распределение температуры с учетом неизотермической фильтрации.

3.3.Анализ результатов моделирования.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ.

4.1. Исследование двумерных нестационарных температурных полей в условиях уноса массы.

4.2. Численное исследование задач совместной анизотропной теплопроводности и анизотропной фильтрации при пленочном охлаждении носовых частей ЛА.

Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование тепломассопереноса в анизотропных телах в условиях аэрогазодинамического нагрева»

При гиперзвуковых скоростях полёта (числа Маха М > 5 - 6) носовые части фюзеляжей, несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов (JIA) изготовляют притуплёнными. Это позволяет за счёт образования высокоэнтропийного слоя существенно снизить тепловые потоки к боковой поверхности ДА по сравнению с острыми носовыми частями [1, 16-18, 71, 72, 166, 167]. В этих условиях необходимо с высокой точностью определять тепловое состояние носовых частей JIA, как наиболее теплонагруженных их частей.

Для тепловой защиты носовых частей JIA от аэродинамического нагрева используются пассивные и активные способы. К пассивным относятся различные теплозащитные материалы (ТЗМ), поглощающие тепловую энергию, возникающую при адиабатическом сжатии в ударной волне и от трения в пограничном слое, за счёт теплоёмкости материала ТЗМ, за счёт различных физико-химических процессов, сопровождающих тепловое разрушение ТЗМ в условиях уноса массы и за счёт вдува в высокотемпературный пограничный слой газообразных продуктов разложения.

При активных способах тепловой защиты разрабатываются специальные системы подачи в высокотемпературный пограничный слой газообразных или жидких охладителей. При этом, для уменьшения расхода охладителя могут применяться активные схемы охлаждения как с регулировкой (или даже автоматической регулировкой), так и без регулировки подачи охладителя.

Отсюда видно, что математическое моделирование теплового состояния носовых частей JIA является комплексной проблемой, включающей в себя следующие математические модели:

• потенциального течения между ударной волной и телом;

• вязкого течения с теплообменом в пристенном пограничном слое;

• теплопроводности, в том числе с учётом уноса массы и возможной неизотермической фильтрации через организованные поры;

• течения жидких или газообразных охладителей около затупленного тела;

• теплообмена на внутренней границе с жидкими или газообразными охладителями.

При этом необходимо учитывать различные физические (и химические) явления, приводящие к существенной нелинейности математических моделей. К таким явлениям можно отнести излучение, зависимость теплофизических характеристик (ТФХ) материалов от определяющих параметров (например, температуры), унос массы, а также анизотропию распространения тепла и массы, разрывы ТФХ, кривизну конструкции, многомерность, нестационарность и др.

Большинство теплозащитных материалов, в той или иной степени, являются анизотропными. К ним относятся графиты и графитосодержащие материалы, различные стекло-, угле- и асбопластики, композиционные материалы, некоторые тугоплавкие металлы. При этом композиционные теплозащитные материалы при разложении связующих образуют пористые остатки, сквозь которые фильтруются газообразные продукты разложения и вдуваются в пограничный слой. Пористые системы охлаждения можно получить, организуя поры в тепловой защите под различными углами к нормали поверхности так, что искусственный пористый материал становится анизотропным как для теплопроводности, так и для фильтрации.

Функционирование носовых частей ДА в условиях уноса массы увеличивает радиус их затупления, что при гиперзвуковом полёте приводит к резкому повышению волнового сопротивления и, как следствие, к значительным дополнительным расходам топлива.

С другой стороны, поскольку на носовые части J1A приходятся максимальные механические нагрузки, то на несущие (металлические) части конструкции накладываются существенные ограничения по максимальному уровню температур.

Таким образом, математическое моделирование совместной многомерной теплопроводности и фильтрации в анизотропных затупленных носовых частях J1A при их аэродинамическом нагреве является актуальной проблемой.

В диссертационной работе исследуются вопросы численного моделирования процессов совместной нелинейной теплопроводности и фильтрации в анизотропных носовых частях ЛА, в том числе в условиях уноса массы и плёночного охлаждения при сложенном теплообмене (конвективно-кондуктивном и лучистом видах теплообмена). Кроме этого, в диссертации моделируется перспективный способ тепловой защиты носовых частей J1A с автоматическим регулированием подачи охладителя через организованные поры [133, 135, 139, 141], когда охладитель выбирается с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры (на 3-5 порядков при нагреве на 150-200 градусов). При этом на наружной границе образуется защитная плёнка охладителя, испаряющаяся под действием аэродинамического теплового потока. При увеличении, например, теплового потока в какой-либо точке носовой части увеличивается температура каркаса и охладителя, резко уменьшается его динамическая вязкость и при одном и том же перепаде давления увеличивается расход охладителя, компенсируя увеличение теплового потока. Таким образом, применение такого охладителя позволяет разработать систему автоматического регулирования подачи охладителя через организованные поры, автоматически препятствующего изменению теплового потока.

Можно насчитать десятки работ по совместной теплопроводности и фильтрации. Например, работы отечественных учёных, таких как Лыков А.В. со своей школой [74-82], Полежаев Ю.В. [104, 105], Боровой В.Я. [16-18], Зарубин B.C. [42, 43], Никитенко Н.И. [95, 96], Формалёв В.Ф. [133, 135, 137, 141].

Проблемы теплопроводности в пористых и дисперсных средах при наличии фильтрации газов и жидкостей рассматривались в работах Аравина В.И. и Нумерова В.И. [5], Баренблатта Г.И. [14, 15], Васильева Л.А. [30], Бровкина Л.А. [25], Коллинза Р. [56], Лыкова А.В. [74-76, 82, 127], Борового В .Я. [16-18].

Значительный вклад в развитие теории теплопроводности внесли советские и российские теплофизики Лыков А.В. [77, 82], Зарубин B.C. [42, 43], Коздоба Л.А. [53, 54], Дульнев Г.Н. [38-40], Перельман Т.Л. [100], Карташов Э.М. [47-49], Формалёв В.Ф. [132, 134, 136, 137] и многие другие, а также зарубежные теплофизики Карслоу Г. И Егер Д. [46], Берман Р. [10], Гребер Г., Эрк С. И Григулль У. [33], Шнейдер П. [152], Камья Ф.М. [45].

Различные методы решения задач, моделирующих теорию теплопроводности в условиях уноса массы, когда возникают подвижные границы, разрабатывались в работах Самарского А.А. [118, 122, 123], Будака Б.М. и Гольдмана [19], Гринберга Г.А. [34], Карслоу Г. И Егера Д. [46], Лыкова А.В. [74-78], Любова Б.Я. и Соболя Э.Н. [83], Никитенко Н.И. [9596], Полежаева Ю.В. [104, 105], Розенсвейга Р.Е. и Бичера Н. [113], а также в работах [127-129]. В этих работах рассматривались в основном одномерные по пространственным переменным задачи.

Течение жидких плёнок с испарением и вдувом рассматривалось в работах Полежаева Ю.В. [104], Мугалёва В.П. [93], Борового В.Я. [16-18], Лыкова А.В. [80-82], Формалёва В.Ф. [133, 135, 139, 141].

Вопросы теплообмена при естественной конвекции газообразных и жидких охладителей подробно рассмотрены в работах Кутателадзе С.С. [67] и Михеева М.А. [92]. Правда, в них рассмотрены методы определения коэффициента теплоотдачи от жидких или газообразных сред, но не изложены методы определения температуры этих сред.

Значительные сложности возникают при моделировании теплового состояния анизотропных материалов, используемых в качестве теплозащитных при аэродинамическом нагреве ЛА, чем обусловлено незначительное число работ по этой проблематике. Прежде всего, это работы Пэдовена Д. [106-108], Пуня К.С., Цзоу Р.Ц. и Чжана Ю.П. [109, 149, 150], Формалёва В.Ф., Москаленко А.А., Тюкина О.А,, Колесника С.А. [137], Коляно Ю.М. [55], в которых получены аналитические решения некоторых простейших задач анизотропной многомерной теплопроводности операционными методами.

В работе Кима J1.B. и Микова B.JI. [52] рассмотрен полуаналитический метод решения линейных задач анизотропной теплопроводности в полупространстве, основанный на численном обращении преобразования Лапласа.

В работе Чепрасова А.И. [148] численно моделируется трёхмерная анизотропная теплопроводность в аномальной подобласти, принадлежащей бесконечной расчётной области с использованием метода дробных шагов Яненко [156].

Как видно, работ по анизотропной теплопроводности очень мало, а работы по анизотропной теплопроводности многомерных тел с криволинейными границами в условиях сложного теплообмена, фильтрации и уноса массы и вовсе отсутствуют.

На основе изложенного, формулируются следующие цели диссертации:

1. Модификация существующей и разработка новой математической модели плёночного охлаждения анизотропных пористых тел в условиях аэродинамического нагрева на основе моделирования неизотермической фильтрации охладителя с сильной зависимостью его динамической вязкости от температуры.

2. Разработка инженерной методики определения массовых скоростей расхода и испарения жидкой плёнки, а также температурных полей с учётом фильтрации охладителя со «сверхтекучими» свойствами при умеренном изменении температуры, на основе аналитического решения нелинейной задачи тепломассопереноса при плёночном охлаждении.

3. Модификация существующей математической модели и методов решения многомерной анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации и уноса массы в затупленных носовых частях ЛА в криволинейных системах координат при их аэродинамическом нагреве.

4. Исследование многомерных температурных полей в зависимости от величин главных коэффициентов теплопроводности и ориентации главных осей тензора теплопроводности. Исследование полей давления и компонентов скорости анизотропной фильтрации, а также динамических и тепловых характеристик защитной жидкой плёнки. Для численной реализации комплексов задач, перечисленных в этих целях, необходимо выбрать численный метод, удовлетворяющий следующим требованиям: экономичности, абсолютной устойчивости, простоте алгоритмизации. К настоящему времени существует огромное число работ, посвященных численному решению параболических задач. Среди экономичных численных схем необходимо отметить следующие: метод дробных шагов (МДТТ1) Яненко Н.Н. [156, 157], метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда [162], центрально-симметричный метод Самарского А. А. [117], метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) Формалёва В.Ф. [136, 137], метод полного расщепления (МГТР) Формалёва-Тюкина [137]. Метод стабилизирующей поправки, являясь разновидностью методов расщепления, был предложен Дугласом Д. и Ганном Д. [159]. Метод предиктор-корректор для уравнений параболического типа был развит в работе Дугласа Д. и Джонса В. [160].

Все эти методы являются экономичными, поскольку сводятся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и абсолютно устойчивыми, если дифференциальные уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. При наличии смешанных производных все перечисленные методы, за исключением методов [136, 137], являются условно устойчивыми, даже такой метод, как метод дробных шагов Яненко Н.Н. Поэтому для программной реализации использован экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ), разработанный научным руководителем. По точности и порядку аппроксимации он уступает таким методам, как МПН, метод стабилизирующей поправки, но по запасу устойчивости он не имеет себе аналогов. Кроме этого, МПНЭ обладает полной аппроксимацией на каждом дробном временном подслое.

Ниже изложено краткое содержание диссертации. Она состоит из введения, четырёх глав с выводами, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чипашвили, Андрей Александрович

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Развиты математическая модель, методы и алгоритмы комплексной проблемы о численном решении тепломассопереноса при плёночном охлаждении затупленных носовых частей летательных аппаратов (ЛА), изготовленных из анизотропных материалов, в условиях их аэродинамического нагрева. Комплексная математическая модель включает в себя следующие частные модели: теплообмена на внутренней границе при естественной конвекции охладителя; двумерной нестационарной анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации; двумерной квазистационарной неизотермической анизотропной фильтрации охладителя; образования защитной жидкой плёнки охладителя путём вдува в пограничный слой отфильтровавшейся жидкости; течения с теплообменом и испарением упомянутой жидкой плёнки.

2. В рамках этой модели разработаны методы определения полей давления анизотропной неизотермической фильтрации через организованные поры и полей радиального и продольного компонентов вектора скорости фильтрации; внеитерационного и итерационного определения кинематических и тепловых характеристик жидкой плёнки, включая распределение толщин плёнки по затуплению; определение массовых и линейных скоростей вдува и испарения охладителя; доказана теорема о достаточных условиях сходимости метода глобальных итераций.

3. Разработана упрощённая (инженерная) математическая модель и аналитический метод её решения плёночного охлаждения тел охладителем, чья динамическая вязкость изменяется на несколько порядков при изменении температуры (на 3-5 порядков при изменении температуры на 150-200 градусов). На основе этой модели строится система тепловой защиты ЛА с автоматической подачей охладителя. При этом тело не меняет своей геометрии (отсутствует унос массы), а температура всей системы находится в окрестности температуры испарения охладителя.

4. Развиты математическая модель, методы и алгоритмы численного решения нестационарных задач анизотропной теплопроводности с учётом фильтрации и уноса массы для затупленных носовых частей ДА при их аэродинамическом нагреве. Разработаны методы: определения начала и окончания уноса массы; неявной аппроксимации лучистых тепловых потоков на высокотемпературной границе, как в радиальной, так и в продольной скалярных прогонках, позволившей ликвидировать неустойчивость из-за явной аппроксимации лучистых тепловых потоков; уточнения скорости движения наружной границы, путём учёта функции, учитывающей поведение наружной границы при уносе массы. Доказаны теоремы о предельной погрешности в определении температуры наружной границы при явной аппроксимации лучистых тепловых потоков и о существовании как минимум единственного положительного корня уравнения четвёртой степени относительно температуры наружной границы в широком диапазоне теплофизических характеристик.

5. Проведены численные эксперименты по определению полей давления, полей продольного и поперечного компонентов вектора скорости анизотропной неизотермической фильтрации охладителей, в том числе охладителей со «сверхтекучими» свойствами, а также кинематических и тепловых характеристик жидкой плёнки. Исследования показали: градиент давления анизотропной фильтрации максимален на внутренней границе тела, причём на изобаре продольный компонент вектора скорости фильтрации не равен нулю; радиальный компонент вектора скорости фильтрации монотонно убывает в направлении от внутренней к наружной границе, а продольный -немонотонно возрастает, принимая различные по знаку значения; отрицательный баланс массовых скоростей вдува и испарения охладителя не означает, что толщина плёнки охладителя в этом месте равна нулю; температура всей системы не превышает температуры кипения охладителя. Эти исследования позволили сделать следующие рекомендации: предложенный способ тепловой защиты с использованием анизотропной фильтрации «сверхтекучих» жидкостей возможен, поскольку расход охладителя составляет примерно 4 - 8 г/л*2-с; предлагаемый способ эффективен для защиты только затуплений, а не боковых поверхностей, где расход охладителя резко увеличивается.

6. Исследования двумерных нестационарных температурных полей в анизотропных затупленных носовых частях JIA показали, что уровень температур и величину уноса массы можно регулировать с помощью характеристик тензора теплопроводности, в частности, выбором теплозащитных материалов с главными компонентами и главными осями тензора теплопроводности, позволяющими отводить тепловую энергию в хвостовую часть носового затупления, в результате чего температура наружной границы не достигает температуры уноса массы и конструкция работает в условиях отсутствия уноса массы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чипашвили, Андрей Александрович, 2005 год

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992.

2. Алексашенко А.А., Алексашенко В.А., Селезнёв Н.В. Решение уравнений тепломассопереноса для тел классической формы с учётом конечной скорости капиллярного движения // В кн.: Строительная теплофизика. М.-Л.: Энергия. 1966. с. 270.

3. Алексашенко А.А. Аналитическое исследование тепло и массопереноса с учётом конечной скорости переноса. Канд. Дисс. ИТМО. -Минск, 1968.

4. Андриевский Р.А. Пористые металлокерамические материалы. М.: Металлургия, 1964.

5. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. -М.: Гостехиздат, 1953.

6. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности. -Киев. Изд-во Института математики АН УССР. 1979.

7. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // ИФЖ. 2001. т. 74, №6, с. 82-87.

8. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии // Изв. АН. Энергетика. 2003. №5. с. 75-88.

9. Аттетков А.В., Волков И.К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. 1999. №1. с. 37-45.

10. Берман Р. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Мир, 1979.

11. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности, часть 2. -М.: ВШ., 1982.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

13. Бан А., Басиев К.С., Николаевский В.Н. Об основных уравнениях фильтрации в сжимаемых пористых средах // ПМТФ. 1961. №3. с. 52.

14. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. т. 16. вып.1.

15. Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. // ПММ. 1956. т.20, вып.З.

16. Боровой В.Я. Приближенный расчёт плёночного охлаждения // Труды ЦАГИ. 1963. вып.504.

17. Боровой В.Я. и др. Исследование теплозащитных материалов на струйных плазменных установках. Тех. Отчёт ЦАГИ, 1965.

18. Боровой В.Я. Исследование нагревания проницаемой поверхности в гиперзвуковом потоке газа при подаче жидкости с переменной вязкостью // Труды ЦАГИ. 1969. вып.1108.

19. Будак Б.М., Гольдман H.JI. и др. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае // В кн.: Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ. т.8, 1967.

20. Берцун В.Н., Крицкий O.JI. К вопросу о математическом моделировании тепловых полей в средах с анизотропной теплопроводностью//Томск: Пеленг, 1998. с. 12-19.

21. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности // Томск: Пеленг. 2001. с. 275-278.

22. Бернадинер М.Г. Численное решение стационарных задач нелинейной фильтрации. М.: Наука, 1974.

23. Бобров И.Н., Курячий А.П. Численное и экспериментальное моделирование систем радиационной и комбинированной теплозащиты // ТВТ. 1996. т.34. №1. с. 75-82.

24. Бобров И.Н., Курячий А.П. Об уравнении энергии процессов тепломассопереноса и фазовых превращений в пористых телах // ТВТ. 1994. т.32. №3. с. 441-445.

25. Бровкин Л.А., Крыжова Л.С. К решению задач теплопроводности в пористом теле // Изв. Высших учебных заведений «Энергетика». 1987. №2.

26. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.

27. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.

28. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ. М.: Госэнергоиздат, 1956.

29. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

30. Васильев Л.А. Теплопроводность сухих пористых систем // В кн. Исследования по теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1967. с.262.

31. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // В кн. Годунова С.К., Рябенького B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию) -М.: Наука, 1977.

33. Гребер Г., Эрк. С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ, 1958.

34. Гринберг Г.А., Чекмарёва О.М. О движении поверхности раздела фаз в задаче стефановского типа // ЖТФ. 1970.

35. Гидродинамика и фильтрация однородных и многофазных потоков. Сб. статей Моск. ин-та нефтехимии и газовой промышленности им. Губкина. М.: Недра, 1972.

36. Глущенко А.А. Некоторые пространственные задачи теории фильтрации. Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1970.

37. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэродинамики // В сб. Труды III Всесоюзного математического съезда, 1956. М.: АН СССР, 1958. т.З. с. 447.

38. Дульнев Г.Н., Сигалова З.В. Теплопроводность зернистых систем // В кн. «Тепло и массоперенос», т.7. - М.: Энергия, 1966.

39. Дульнев Г.Н., Сигалова З.В. Эффективная теплопроводность зернистых материалов // ИФЖ. 1967. т.13, №5.

40. Дульнев Г.Н., Заришняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. JL: Энергия, 1974.

41. Дьяконов Е.Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами // ЖВМ и МФ. 1964. т.4. №2.

42. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов (методы расчёта). -М.: Машиностроение, 1978.

43. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983.

44. Ильин В.П. О расщеплении разностных уравнений параболического и эллиптического типов // Сибирск. матем. журнал. 1965. т.6. №1.

45. Камья Ф.М. Импульсная теория теплопроводности. М.: Энергия, 1972.

46. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.

47. Карташов Э.М., Любов Б.Я. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности в области с движущимися границами // Изв. АН СССР, серия «Энергетика и транспорт». 1974. №6. с. 83-111.

48. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высшая школа. 2001.

49. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами (обзор) // ИФЖ. 2000. т.74. №2. с. 1-24.

50. Карчевский М.М., Лапин А.В., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. Вузов. Математика. 1972. т.118. №3.

51. Крицкий О.Л. Применение а р алгоритма для решения двумерных нестационарных задач анизотропной теплопроводности // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики. Сб. статей. Томск, гос. унта. 1999. Вып.З.

52. Ким. Л.В., Миков В.Л. Решение нестационарной теплопроводности в анизотропных средах // Деп. в ВИНИТИ, №642 В86. 1986.

53. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.

54. Коздоба Л.А., Чумаков В.Л. Решение нелинейных задач нестационарной теплопроводности методом возмущений // ТВТ. 1970. т.8. №5.

55. Коляно Ю.М. Определение температурных полей в тонких анизотропных пластинах // ДАН БССР. 1970. т. 14. № 1.

56. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964.

57. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1972.

58. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972.

59. Краевые задачи теории теплопроводности // Сб. статей ин-та математики УССР. Киев, 1975.

60. Краевые задачи теории фильтрации // Сб. статей ин-та математики АН УССР.-Киев, 1973.

61. Кузьмин Р.Б., Полежаев Ю.В., Поляков А.Ф., Ревизников Д.Л. Численное моделирование сопряженного теплообмена при обтекании лопаток газовых турбин // ТВТ. 1995. т.ЗЗ. №4. с. 608-615.

62. Кузнецов Е.Н., Ривкинд Я.И. Решение одной задачи фильтрации // Численные методы механики сплошной среды. 1974. т.5. №4.

63. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом // ДАН. 2004. т.394. №6. с. 746-748.

64. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой // ЖВМ и МФ. 2004. т.44. №9. с. 1540-1553.

65. Курячий А.П. Модель радиационно-испарительной тепловой защиты с фильтрацией пара сквозь теплоизоляцию // ТВТ. 1999. т. 37. №3. с. 445451.

66. Кучеров А.Б., Николаев Е.С. Попеременно треугольный итерационный метод решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольнике//ЖВМ и МФ. 1976. т. 16. №1.с. 1164-1174.

67. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.

68. Лапин А.В., Ляшко А.Д. Исследование разностной схемы для квазилинейного параболического уравнения любого порядка // В сб. Функциональный анализ и теория функций. Казань. Изд-во Казанского ун-та, 1971.

69. Лебедев Д.П., Перельман Т.Л. Тепло и массообмен в процессах сублимации в вакууме. - М.: Энергия, 1973.

70. Леонтьев А.И. Теория тепло массопереноса. - М.: Физматлит, 1997.

71. Лунёв В.В. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учётом равновесных физико-химических превращений. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

72. Лунёв В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975.

73. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло и массообмена. - М.: Госэнергоиздат, 1963.

74. Лыков А.В. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М. - Л.: Гостехиздат, 1954.

75. Лыков А.В., Васильева Г.В. Исследование тепло и массообмена при испарении жидкости из капиллярно-пористого тела // ИФЖ. 1968. т. 14. №3. с. 395.

76. Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1969.

77. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

78. Лыков А.В., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.

79. Лыков А.В. Об эффектах анизотропии переноса тепла в потоках жидкостей и газов // ИФЖ, 1973. т. 25. №4. с. 72.

80. Лыков А.В., Перельман Т.Л. О нестационарном теплообмене между телом и обтекающим его потоком жидкости // В кн.: Тепло и массообмен с окружающей газовой средой. - Минск: Наука и техника, 1965.

81. Лыков А.В., Алексашенко А.А., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск: Изд-во БГУ, 1971.

82. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978.

83. Любов Б.Я., Соболь Э.М. Процессы теплопереноса при фазовых превращениях под действием интенсивных потоков энергии // ИФЖ. 1983. т.45. №3. с. 670.

84. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

85. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1983.

86. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

87. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: в 3-х т. т.1. Прогнозирование и анализ экстремальных воздействий. Под ред. С.В. Резника. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

88. Минайлос А.Н., Толстых А.Н. Неявные конечно разностные схемы повышенной точности для сквозного счёта разрывных решений // ЖВМ и МФ. 1975. т.15. №3. с. 527.

89. Мельников Ю.А., Рыдванский Т.В. Решение двумерных краевых задач нестационарной теплопроводности для областей сложной формы // Рукопись деп. в ВИНИТИ 16.05.84, №3163 84 Деп.

90. Мурзаджанзаде А.Х. и др. О законе фильтрации газа в пористой среде // ДАН СССР, серия «Математическая физика», 1969. т. 184. №4. с. 794.

91. Митропольский Ю.А. и др. Нелинейные задачи теплопроводности с производной по времени в граничном условии. — Киев: Институт математики, 1974.

92. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1973.

93. Мугалёв В.П. Влияние вдувания различных газов на теплообмен вблизи критической точки затупленного тела // Изв. АН СССР. «Механика». 1965. №1.

94. Несис Е.И. Кипение жидкости. М.: Наука, 1973.

95. Никитенко Н.И. Теория тепло и массопереноса. - Киев: Наукова думка, 1983.

96. Никитенко Н.И. Сопряжённые и обратные задачи тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1988.

97. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

98. Пасконов В.М., Полежаев В.И. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. - М.: Наука, 1984.

99. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984.

100. Перельман Т.JI. О сопряженных задачах теплообмена // В кн.: Тепло и массоперенос. - Минск: Наука и техника. 1963. т.5.

101. Павлюкевич Н.В., Горелик Г.Е. и др. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск, 1980.

102. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твёрдых тел. -Л.: Энергия, 1976.

103. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус. 2004.

104. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976.

105. Полежаев Ю.В., Панкратов Б.М. Взаимодействие материалов с газовым потоком. -М.: Машиностроение, 1976.

106. Юб.Пэдовен Д. Распределение температуры в трёхмерных оболочках вращения // Ракетная техника и космонавтика. 1972. №1. с. 71.

107. Пэдовен Д. Нестационарное распределение температур в анизотропном полупространстве // Ракетная техника и космонавтика. 1973. №4. с. 174.

108. Пэдовен Д. Обобщённый метод Штурма Лиувилля решения нестационарной теплопередачи в анизотропной композиционной среде // ракетная техника и космонавтика. 1974. №8. с. 190.

109. Пунь К.С., Цзоу Р.С., Чжан Ю.П. Решение анизотропных задач первого класса методом преобразования координат // Теплопередача. 1979. №2. с. 177.

110. Ревизников Д.Л., Сафонов В.Е., Формалёв В.Ф. Численное моделирование сопряженного теплообмена при сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел // В кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1986 г. М.: Наука, 1987.

111. Ревизников Д.Л., Формалёв В.Ф. Моделирование граничных условий в задачах сопряженного теплообмена // В кн.: Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации 1988г. М.: Наука, 1989.

112. Ревизников Д.Л, Коэффициенты неизотермичности в задаче нестационарного сопряженного теплообмена на поверхности затупленного тела // ТВТ. 1995. т.ЗЗ. №2. с. 261 267.

113. Розенсвейг Р.Е., Бичер Н. Теория процесса уноса массы феноловых смол, армированных стекловолокном // Ракетная техника и космонавтика. 1963. т. 1. №8. с. 53.

114. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

115. Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1968.

116. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

117. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

118. Самарский А.А. Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа со смешанными производными // ЖВМ и МФ. 1964. т.4. №4.

119. Самарский А.А., Галактионов В.А. и др. Режим с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

120. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

121. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

122. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. -М.: Наука, 1975.

123. Самарский А.А., Вабишевич П.М. Численные методы решения задач «конвекция диффузия». - М.: Физматлит, 1999.

124. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

125. Сафронов И.Д. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1965. т.5. №5.

126. Серебряный Г.Л., Зарудный Л.Б., Шорин С.Н. Исследование теплопереноса в дисперсных средах применительно к высокотемпературной теплоизоляции // В кн.: Тепло и массоперенос. Минск: Наука и техника, 1968. т.5.

127. Теплообмен при фазовых переходах // Сб. научн. тр. НТФ СО АН СССР под ред. Кутателадзе С.С., Новосибирск, 1989.

128. Теплопроводность твёрдых тел. Справочник под ред. А.С. Охотина. -М.: Энергоатомиздат, 1984.

129. Тимошенко В.П. Проектирование и экспериментальная отработка теплозащиты «Бурана» // Передовые термические технологии и материалы. 4.2 М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

130. Толубинский В.И. Теплообмен при кипении. Киев: Наукова думка, 1980.

131. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях. Минск: Наука и техника, 1980.

132. Формалёв В.Ф. Численное исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах // ТВТ. 1988. т.26. №6. с. 1122.

133. Формалёв В.Ф. Численное исследование сопряженного теплообмена в условиях фильтрации и плёночного охлаждения затупленных анизотропных тел // ТВТ. 1992. т.30. №2. с. 334 344.

134. Формалёв В.Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учётом подвижных границ и большой степени анизотропии // ТВТ. 1990. т.28. №4. с. 715 721.

135. Формалёв В.Ф. Моделирование нелинейной неизотермической фильтрации в условиях плёночного охлаждения анизотропных тел // ТВТ. 1997. т. 35. №2. с. 1 7.

136. Формалёв В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными // Вычислительные технологии. 1996. т.1. №2. с. 99 103.

137. Формалёв В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // ТВТ. 2001. т. 39. №5. с. 810-832.

138. Формалёв В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит. 2004.

139. Формалёв В.Ф., Чипашвили А.А., Миканёв С.В. Моделирование нового способа тепловой защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве // Известия РАН. «Энергетика». 2004. №5. с. 147- 156.

140. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Математическое моделирование. 2004. т. 16. №5. с.94-102.

141. Формалёв В.Ф., Колесник С.А, Чипашвили А.А. Аналитическое исследование теплопереноса при плёночном охлаждении тел // ТВТ. В 2004 г. статья принята к опубликованию в 4-м номере 2005 г.

142. Формалёв В.Ф., Кузнецова Е.Л., Чипашвили А.А. Моделирование нестационарной задачи Стефана в двумерных областях в условиях уноса массы анизотропных композиционных материалов // Тез. Докл. на 10-м

143. Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». 9-13 февраля 2004 г. Ярополец Моск. обл. Изд-во МАИ. с. 33 34.

144. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966.

145. Чепрасов А.И. Математическое моделирование теплового состояния анизотропного материала в области дефекта структуры // Деп. ВИНИТИ. №7002-В, 1985.

146. Чиркин B.C. Теплопроводность промышленных материалов. Справочное пособие. М.: Машгиз. 1962.

147. Шнейдер п. Инженерные проблемы теплопроводности. — М.: ИЛ. 1960.

148. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

149. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостопиздат, 1960.

150. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло и массопереноса. - М.: Госэнергоиздат, 1961.

151. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

152. Яненко Н.Н. Разностные методы решения задач математической физики. М.: Наука, 1973.

153. Crank J., Nicolson P.A. Practical method for numerical Evaluation of Solution of Partial Differential Equations of the Heat Conductions Type. Proc. Camb., Phil. Soc., vol. 43, pp. 50 67, 1947.

154. Douglas J., Gunn J. Alternating direction methods for parabolic systems in m-space variables // J. Assoc. Compet. Machinery. 1962. vol. 9. №4.

155. Douglas J., Jones B. One predictor corrector method for nonlinear parabolic differential equations // J. Soc. Industr. Appl. Math. 1963.vol. 11. №1.

156. Eckert E.P., Drake R.M. Heat and Mass Transfer. McGraw Hill, New York, 1972.

157. Peaceman D., Rachford H. The Numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // SIAM. 1955, vol. 3, №1.

158. Rachford H. Rounding errors on alternating direction methods for parabolic equations // Appl. Mathematics. 1968. vol. 13, №2.

159. Scala S.M., Gilbert L.M. Thermal degradation of a char forming plastics during supersonic flight // ARSJ. 1962, №6.

160. Satage R.T., Love W., Bloetscher F. High Temperature Performance of Flexible Thermal Protection Materials // AIAA Paper. 1984. №1770. 9p.

161. Shin P.K., Zwan A.D., Kelley H.N. Thermal Protection System Optimization for a Hypersonic Aerospace Vehicle // AIAA Paper. 1988. №2839. 9p.

162. Ho C.Y., Powell R.W., Liley P.E. Thermal Conductivity of Selected Materials, Part 2. Washington: US Government Printing Office. 1968. pp. 129 -133.