Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Слита, Ольга Валерьевна

• Слита, Ольга Валерьевна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Слита, Ольга Валерьевна

Список сокращений и обозначений.

Введение.

Глава 1. Абсолютная параметрическая инвариантность выхода системы относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта управления.

1.1. Условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода непрерывной системы относительно неопределенности матрицы состояния исходного объекта.

1.2. Синтез системы, обладающей абсолютной параметрической инвариантностью (АПИ), методами обобщенного модального управления.

1.2.1. Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, равного размерности вектора состояния

1.2.2. Синтез системы, обладающей АПИ, для случая матрицы управления В ранга, меньшего размерности вектора состояния.

1.2.3. Оценка выполнимости условия (AI - A)Dj е IтВ.

1.3. Решение проблемы абсолютной параметрической инвариантности (АПИ) выхода системы относительно неопределенности задания матричных компонентов модельного представления общего вида.

1.4. Проблема абсолютной параметрической инвариантности выхода дискретной системы относительно неопределенности задания матриц модельного представления объекта.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Параметрическая ^-инвариантность выхода относительно неопределенности матриц представления объекта.

2.1. Проблема базиса представления объекта.

2.2. Фактор передаточных нулей отношения «вход-выход» в задаче достижения условия rank[(A,jI - A)Dj :В] = гапкВ.

2.3. Анализ каузальных факторов появления параметрической е -инвариантности.

2.4. Оценка величины s в задаче синтеза параметрически инвариантных до s систем.

2.5. £-инвариантность, обусловленная процессом наблюдения за состоянием объекта с параметрической неопределенностью матричных компонентов модельного представления.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Ранжирование параметрических неопределенностей модельных представлений по степени влияния на выход (ошибку) системы.

3.1. Экспресс-ранжирование параметрических неопределенностей по факту строчной локализации.

3.1.1. Ранжирование параметрических неопределенностей на основе матрицы управляемости «параметрический вход-выход» произвольных объектов.

3.1.2. Ранжирование параметрических неопределенностей на основе грамианов управляемости пары матриц (A,Dj) устойчивых объектов.^ *

3.2. Ранжирование параметрических неопределенностей с использованием аппарата чувствительности сингулярных чисел.

3.2.1. Чувствительность сингулярных чисел матрицы управляемости по выходу.

3.2.2. Чувствительность сингулярных чисел грамианов управляемости по выходу.

3.3. Ранжирование параметрических неопределенностей с использованием аппарата траекторией чувствительности.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Параметрическая инвариантность для особых случаев модельных представлений задачи управления.

4.1. Параметрическая инвариантность при конечномерном экзогенном воздействии.

4.2. Параметрическая инвариантность при интервальном модельном представлении объекта управления.

4.3. Сведение задачи синтеза системы со стабильными показателями качества процессов по выходу для нелинейных объектов к проблеме параметрической инвариантности.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Прикладные задачи синтеза параметрически инвариантных систем управления.

5.1. Достижение параметрической инвариантности выхода при произвольном задающем воздействии методами обобщенного динамического модального управления в задаче Т. Миты.

5.2. Достижение параметрической инвариантности ошибки слежения при конечномерном задающем воздействии методами обобщенного изодромного управления в задаче Т. Миты.

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления»

Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Разработка алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления» возникла в результате работы диссертанта в составе научной группы кафедры Систем Управления и Информатики Санкт-Петербургского Государственного Университета Информационных Технологий, Механики и Оптики, созданной профессорами кафедры, докторами технических наук В.О. Никифоровым и А.В. Ушаковым. Проблемы, над которыми работает указанная научная группа, связаны с задачами управления в условиях неопределенности сигнальной, параметрической и структурной природы. Частично результаты работы этой группы представлены в монографии [30] названых выше ученых. В рамках проблемной области группы на диссертанта были возложены задачи анализа возможностей неадаптивных методов управления, опирающихся на концепцию параметрической инвариантности, доставляющих системе, встроенной в техническую среду обслуживаемого технологического процесса, гарантированную стабильность показателей качества в условиях параметрической неопределенности. Данное направление научных исследований поддержано грантом правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов вузов и академических институтов Санкт-Петербурга (Шифр гранта М05-3.11К-21).

Концепция параметрической инвариантности как сепаратной ветви общей теории инвариантности [22, 17, 18, 31, 51] в задачах управления в предпринятых диссертантом исследованиях разработана на основе возможностей векторно-матричного формализма метода пространства состояний (МПС). Следует заметить, что основные результаты в общей теории инвариантности получены с использованием сигнального подхода в скалярной форме. Такой подход приводит к управлению, использующему принцип двухканальности Б.Н. Петрова, позволяющий скомпенсировать нежелательное воздействие на регулируемую переменную (выход или ошибку) специально формируемым сигналом компенсации. Ситуация качественно меняется, если сигнальная среда становится векторной. В этом случае в своей полноте раскрываются возможности метода пространства состояния современной теории управления [5, 16, 20, 21, 33, 36, 47, 50, 52]. Геометрическая прозрачность метода позволила существенно расширить банк базовых алгоритмов управления. Так, в дополнение к алгоритмам, построенным на концепции сигнальной компенсации, добавился класс алгоритмов геометрического парирования возмущений путем погружения регулируемой переменной (выхода или ошибки) в нуль-пространство оператора, отображающего пространство, которому принадлежит возмущение в пространство, которому принадлежит регулируемая переменная. Такой подход, предложенный в работах Уонема, получает хорошую алгоритмическую поддержку в среде методов модального управления, если его сформулировать в обобщенной форме. Метод модального управления (МУ) исторически [76] в теории управления возник как метод, гарантирующий проектируемой системе желаемую структуру собственных значений (мод) матрицы состояния проектируемой системы. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке в основном строилось путем представления матрицы состояния объекта в канонической управляемой форме. Со временем метод был переформулирован как метод, гарантирующий векторно-матричное подобие процессов в проектируемой системе процессам в некоторой эталонной модели той же размерности, именуемой чаше модальной моделью. Алгоритмическое обеспечение модального управления в такой постановке строится на использовании матричного уравнения Сильвестра (УС), которое решается относительно матрицы преобразования подобия, связывающей матрицу состояния модальной модели и проектируемой системы. Обнаружилось, что указанная постановка задачи модального управления допускает ее расширение, позволяющее достигать как желаемой структуры мод, так и желаемой структуры собственных векторов. Если учесть, что матрица преобразования подобия, приводящая произвольную матрицу к диагональному виду, строится на собственных векторах преобразуемой матрицы, то обобщенная версия модального управления также может быть алгоритмически обеспечена решением уравнения Сильвестра. В этом случае достаточно матрицу состояния модальной модели задать в диагональном базисе, тогда решение уравнения Сильвестра в форме матрицы преобразования подобия будет состоять из собственных векторов матрицы состояния проектируемой системы. Нетрудно видеть, что если задать желаемую структуру собственных векторов, т.е., по существу, сформировать матрицу подобия, то уравнение Сильвестра должно решаться относительно структуры мод проектируемой системы. Не всегда полученная структура удовлетворяет разработчика по ее динамическим свойствам. В этой связи появляется необходимость поиска паритетного решения, когда структурой доминирующих мод обеспечиваются требуемые показатели качества в переходном и установившемся режиме, а структурой доминирующих собственных векторов достигаются дополнительные геометрические свойства системы, к которым следует отнести и обеспечение параметрической инвариантности регулируемой переменной к неопределенности матричных компонентов модельного представления исходного объекта. Использование возможностей обобщенного модального управления обеспечивать желаемые структуры собственных значений и собственных векторов положено в основу построения инструментария разработки алгоритмов синтеза параметрически инвариантных многомерных систем управления. Причем задача решается как в постановке достижения абсолютной параметрической инвариантности выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов модельного представления объекта, так и в постановке ^-инвариантности, дополненной контролем достигаемой е. Таким образом, в отличие от существующих методов обеспечения робастно-сти поведения систем в условиях параметрической неопределенности, рассматриваемых в работах [14, 27, 29, 58-61, 65, 66, 68, 69, 74], автор сосредоточил свое внимание на геометрических возможностях метода обобщенного модального управления для решения задачи обеспечения стабильности процессов по выходу с использованием неадаптивных методов управления.

Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составляют метод пространства состояний, линейная алгебра в части, касающейся конструирования структуры пространства линейных операторов, обобщенное модальное управление, интервальные модельные представления неопределенностей матричных компонентов, метод B.JI. Харитонова анализа робастной устойчивости, интервальная линеаризация нелинейных компонентов модельного представления объектов и систем, принцип внутренней модели применительно к объектам с интервальными матричными компонентами при решении задачи синтеза параметрически инвариантных систем с нулевой ошибкой слежения за конечномерным экзогенным воздействием.

Математический аппарат, использованный при проведении диссертационных исследований, поддерживается программной модельной оболочкой Matlab. При построении текста диссертации соискатель структурировал его с помощью рубрик: определение, утверждение, доказательство, примечание, вывод, пример.

Структурно диссертация состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Слита, Ольга Валерьевна

Выводы по главе 5

1. На примере задачи Т. Миты, для которой возможно достижение выполнения условий абсолютной параметрической инвариантности в виде системы соотношений в виде (5.1) - (5.3) сконструирован закон обобщенного модального управления, доставляющий замкнутой системе АПИ выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов, порождаемых вариациями параметра q, что подтверждено экспериментально для случаев полиномиального, гармонического и стохастического задающих воздействий для значений параметра q из интервала -1 < q < 1.

2. Для усиления аргументации достигнутых результатов сконструирована модель траекторной чувствительности, для которой аналитически доказано равенство нулю передаточной функции отношения «функция траекторной чувствительности по выходу — задающее воздействие» и подтверждено экспериментально равенство нулю функции траекторной чувствительности по выходу для всех перечисленных в пункте (1) видов задающих воздействий.

3. Дополнительно произведено сравнение системы, обладающей абсолютной параметрической инвариантностью выхода и системы, синтезированной на алгебраический спектр собственных значений, в котором есть незначительное несовпадение только в одном элементе. Результаты сравнения представлены вычислением установившихся значений функций чувствительности по выходу и результатами моделирования.

4. Экспериментально подтверждено, что в случае введения наблюдателя состояния объекта с неопределенными параметрами матричных компонентов модельного представления, задача достижения абсолютной параметрической инвариантности требует выполнения дополнительных алгебраических условий, которые не всегда выполняются, а потому задача параметрической инвариантности в основном получает решение в классе е— инвариантных систем. Для демонстрации достижимости абсолютной инвариантности методами обобщенного изодромного управления при конечномерном входном воздействии для задачи Миты синтезирован закон обобщенного изодромного управления, обеспечивающий слежение выхода системы с параметрическими неопределенностями матричных компонентов с нулевой установившейся ошибкой за конечномерным задающим воздействием, представленным аддитивной композицией полиномиального и гармонического компонентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставленные задачи сформулированных диссертационных исследований в своей основе диссертантом решены, при этом:

1. Сформулированы алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности выхода проектируемой системы относительно параметрической неопределенности матрицы состояния исходного объекта путем сведения проблемы параметрической инвариантности к проблеме сигнальной инвариантности, для чего сигнальная среда задачи дополнена внешним параметрическим воздействием.

2. Показано, что алгоритмическое обеспечение процедуры синтеза систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью выхода, может быть сконструировано в алгоритмической среде обобщенного модального управления.

3. Для случая матрицы управления ранга, равного порядку системы, обнаружена множественность (неединственность) возможных решений задачи достижения ортогональной системы собственных векторов. Для разрешения проблемы неединственности введен дополнительный критерий в виде оценки функционала затрат на управление и степени их распределения по множеству начальных состояний.

4. Сформулированы дополнительные алгебраические условия решения уравнения Сильвестра (1.27), используемого при синтезе систем, обладающих абсолютной параметрической инвариантностью.

5. В целях использования алгоритма А1.1 для систем с параметрическими неопределенностями как в матрице состояния, так и в матрице управления предложено включение на входе исходного объекта буферной системы, за счет чего параметрическая неопределенность оказывается локализованной только в матрице состояния расширенной системы.

6. Установлено, что для случая дискретного описания исходного непрерывного объекта с неопределенностями матричных компонентов модельного управления это дискретное описание всегда содержит неопределенности как в матрице состояния, так и в матрице управления, что влечет за собой отмеченные выше алгоритмические проблемы решения задачи параметрической инвариантности выхода дискретной системы.

7. Показана важность выбора базиса модельного представления объекта управления на примере сопровождающей фробениусовой формы его матрицы состояния в задаче достижения параметрической инвариантности системы.

8. Систематизированы алгебраические каузальные факторы, приводящие к появлению проблемы параметрической е— инвариантности как физически реализуемой альтернативы абсолютной параметрической инвариантности. Показано, что введение наблюдающего устройства в систему с параметрическими неопределенностями может стать дополнительным источником параметрической е-инвариантности.

9. Решена проблема ранжирования неопределенностей с использованием системных грамианов ОУ, системы и агрегированной системы с моделью траекторной чувствительностью в ее составе.

Ю.Показано, что средствами обобщенного изодромного управления, которое приводит к необходимости введения в структуру объекта управления буферной системы с фиксированными параметрами возможно достигнуть два системных результата, одним из которых является обеспечение условий параметрической инвариантности выхода и ошибки системы, а вторым - в случае конечномерной реализации внешнего воздействия — обеспечение средствами обобщенного изодромного управления установившейся ошибки слежения, максимально приближенной к нулевой.

11. Показано, что алгебраические условия абсолютной параметрической инвариантности сохраняются для случая объекта управления, неопределенность матричных компонентов модельного представления которого задана в интервальной форме. Сформулирован алгоритм управления интервальным ОУ, доставляющий объекту параметрическую инвариантность. При этом показано, что контроль устойчивости системы с матрицей состояния, содержащей неопределенности в случае, если они формализованы в интервальном виде, может быть произведен с помощью теоремы B.JI. Харитонова, сводящей задачу контроля устойчивости к устойчивости четырех угловых характеристических полиномов.

12. Показано, что стабильные показатели качества процессов по выходу и ошибке системы, в состав которой входит нелинейный объект, могут быть достигнуты средствами аппарата параметрической инвариантности, если исходный объект методами интервальной линеаризации приведен к линейному объекту, векторно-матричные компоненты которого характеризуются интервальной неопределенностью.

13. На примере задачи Т. Миты, для которой возможно достижение выполнения условий абсолютной параметрической инвариантности в виде системы соотношений в виде (5.1) — (5.3) сконструирован закон обобщенного модального управления, доставляющий замкнутой системе АПИ выхода относительно параметрической неопределенности матричных компонентов, порождаемых вариациями параметра q, что подтверждено экспериментально для случаев полиномиального, гармонического и стохастического задающих воздействий для значений параметра q из интервала -1 < q < 1.

14.Для усиления аргументации достигнутых результатов сконструирована модель траекторной чувствительности, для которой аналитически доказано равенство нулю передаточной функции отношения «функция траекторной чувствительности по выходу — задающее воздействие» и подтверждено экспериментально равенство нулю функции траекторной чувствительности по выходу для всех перечисленных в пункте (14) видов задающих воздействий. 15. Для демонстрации достижимости абсолютной инвариантности методами обобщенного изодромного управления при конечномерном входном воздействии для задачи Миты синтезирован закон обобщенного изодромного управления, обеспечивающий слежение выхода системы с параметрическими неопределенностями матричных компонентов с нулевой установившейся ошибкой за конечномерным задающим воздействием, представленным аддитивной композицией полиномиального и гармонического компонентов.

Завершая подведение итогов проведенных диссертантом исследований, хотелось бы дать рекомендацию разработчикам систем со стабильными показателями качества, которые решают эту задачу в классе параметрически инвариантных реализаций, при формировании объекта управления максимизировать ранг его матрицы управления.

Для упрощения доступа возможных пользователей к разработанным в диссертации теоретическим положениям конструктивная их часть изложена в виде системы алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Слита, Ольга Валерьевна, 2006 год

1.Акунов Т. А., Джаманбаев А. А., Ушаков А.В. Сбалансированное представление многомерных объектов управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т.41. № 7. с. 23-30.

2. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Анализ чувствительности эллипсоидных оценок многомерных процессов управления. // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1991.Т.34. № 8. С.21-27.

3. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Оценка функций траекторной чувствительности систем управления при внешнем конечномерном воздействии. // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1992, № 1. С. 87-92.

4. Акунов Т.А., Ушаков А.В. Синтез систем гарантированной модальной стабильности// Известия РАН. Теория и системы управления. 2003, № 4. С. 9-17.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб: Наука, 1999.

7. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB и Scilab. СПб: Наука, 2001.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц: Пер.с англ. М.: Наука, 1969.

10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления.-М.: Наука, 1972.

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

13. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления./ Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

14. Горовец A.M. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. Радио, 1970.

15. Дьяконов В. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения Полное руководство пользователя. Солон-Пресс. 2002.

16. Заде Л. А., Дезоер Ч. А. Теория линейных систем (метод пространства состояний). Пер.с англ. М.: Наука, 1970.

17. Ивахненко А.Г. Кибернетические системы с комбинированным управлением. Киев, «Техника», 1966.

18. Ивахненко А.Г. Техническая кибернетика. Системы автоматического управления с приспособлением характеристик. 2-е изд. Киев, Гостехиздат УССР, 1962.

19. Изерман Р., Цифровые системы управления: пер. с англ.-М.: Мир, 1984.

20. Калман Р.Е., Фалб П.Л., Арбиб М. А. Очерки по математической теории систем: Пер.с англ. М.: Мир, 1971.

21. Квакернаак X., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ, М.: Мир, 1977.

22. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев, Гостехиздат УССР, 1963.

23. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1982.

24. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами \ Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов P.O., Ушаков А.В. Бишкек: Илим, 1991.

25. Матричные уравнения в исследовании дискретных процессов над бесконечными и конечными полями \ Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов P.O., Ушаков А.В. Бишкек: Илим, 1993.

26. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М СПб: Издательство МГУ-ГРИФ, 1998.

27. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

28. Невский А.Е., Сиек Ю.Л. Синтез робастных законов управления многомерными линейными динамическими объектами с интервальными параметрами.// Изв. Вузов. Приборостроение. 1998. Т.41, № 6. С.26-30.

29. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб.: Наука, 2003.

30. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПБ ГИТМО (ТУ), 2002.

31. Петров Б.Н. О применении условий инвариантности// Труды 2-го Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М.: Изд-во АН СССР, 1955. Т. 2. С. 241-246.

32. Подчукаев В.А., Светлов И.М. Аналитический метод построения гурвицевых интервальных полиномов// Автоматика и Телемеханика. 1996. №2. С.89-100.

33. Портер У. А. Современные основания общей теории систем: Пер. с англ. -М.: Наука, 1971.

34. Потемкин В.Г. Система Matlab 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.

35. Розенвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981.

36. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ\ В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков.—Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.

37. Слепокуров Ю.С. MATHLAB 5. Анализ технических систем. Воронеж: ВГТУ, 2001. 167 с.

38. Слита О.В. Групповое ранжирование неопределенных параметров матриц модельного представления объектов управления// Вестник II межвузовской конференции молодых ученых/ под ред. В.Л. Ткалич. Том 2. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. С.67-71.

39. Слита О.В. Фактор ранга матрицы управления динамического объекта в задаче достижения параметрической инвариантности. // Современные технологии: Сборник статей / под ред. Козлова С. А. СПб.: СПбГУИТМО, 2003. С.253-259.

40. Слита О.В., Ушаков А.В. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности.// Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 1.С. 14-20.

41. Слита О.В., Ушаков А.В. Обобщенное изодромное управление объектом с параметрическими неопределенностями. Мехатроника, автоматизация, управление, № 4,2006, С. 7-12.

42. Слита О.В., Ушаков А.В. Покомпонентное ранжирование параметров в задаче параметрической инвариантности. Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. Сб. Вып. 34. — СПб.: СЗТУ, 2005. С.96-105.

43. Слита О.В., Ушаков А.В. Проблема параметрической е-инвариантности выхода непрерывной системы: алгебраический подход. Мехатроника, автоматизация, управление, № 2, 2006, С. 2-7.168

44. Современная теория систем управления. Под ред. К. Т. Леондеса, Пер. с англ., М.: Наука, 1970.

45. Сударчиков С.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Управление нелинейным объектом в классе параметрически инвариантных реализаций. Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. Сб. Вып. 35. СПб.: СЗТУ, 2006. С.76-85.

46. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности систем управления. Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1972.

47. Ту Ю. Т. Современная теория управления: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1971.

48. Уланов Г.М. Инвариантность до s в комбинированных системах автоматического регулирования. — Сборник «Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах». Труды совещания, состоявшегося в Киеве 16-го октября 1958 г. М., 1959.

49. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход. Пер. с англ.-М.: Наука, 1980.

50. Ушаков А.В. Обобщенное модальное управление.// Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 43. № 3. С. 8-15.

51. Ушаков А.В. Условия нулевой параметрической чувствительности в задаче слежения. // Автоматика и телемеханика. 1981. № 9. С. 30-37.

52. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Диф. уравн. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

53. Харитонов В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов. // Автоматика и телемеханика. 1995. №5.

54. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

55. Шароватов В.Т. Обеспечение стабильности показателей качества автоматических систем. Л.: Энергоатомиздат, 1987.

56. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems// IEEE Trans. Automatic Control. 1980. Vol.AC-25, N 6. P.1058-1072.

57. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London, Springer-Verlag, 1993.

58. Ackermann J., Utkin V. Sliding mode control design based on Ackermann's formula// IEEE Trans. Automatic Control. 1998. Vol.43, N 2. P.234-237.

59. Barmish B. A generalization of Kharitonov's four-polynomial concept for robust stability problems with linearly dependent coefficient perturbations. IEEE Trans. On Automatic Control, 1989. Vol. 34, P. 157-165.

60. Barmish B, Kang H. A survey of extreme point results of robust control systems. Automatica, vol.29, P. 13-35, 1993.

61. Barmish В., Shi Z. Robust stability of a class of polynomials with coefficients depending multilinearly on perturbations// IEEE Trans. Automatic Control. 1990. Vol. 35, N 9, P.1040 -1043.

62. Cheng В., Zhang J. Robust controllability for a class of uncertain Linear Time-invariant MIMO systems// IEEE Trans. Automatic Control. 2004. Vol.49 N 11. P.2022-2027.

63. Chilali M., Gabinet P, Apkarian P. Robust pole placement in LMI regions// IEEE Trans. Automatic Control. 1999. Vol.44 N 12. P.2257-2270.

64. Cruz I.B. Feedback systems. New York: McGraw-Hill Book Company, 1972.

65. Davison E.J. The robust decentralized control of a general servomechanism problem// IEEE Trans. Automatic Control. 1976. Vol. AC-21, N 1. P.14-24.

66. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems// IEEE Trans. Automatic Control. 1976. Vol. AC-21, Nl.P.25-34.

67. Eslami M. Theory of Sensitivity in Dynamic Systems. An Introduction. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

68. Francis D.A., Wonham W. M. The internal model principle for linear multivariable regulators// Appl. Math. Opt. 1975. Vol.2. P. 170-194.

69. Francis D.A., Wonham W. M. The internal model principle of control theory// Automatica, V. 12, P.457-465, 1976.

70. Kwakernaak H. A condition for robust stability. Systems and Control Letters, vol. 37, P. 251-284, 1983.

71. MacFarlane A., Grubel G., Ackermann J. Future design environments for control engineering. Automatica, vol. 25, No. 2, P. 165-176,1989.

72. Mita T. Design of zero-sensitivity system. Int. J. Control, 1976, v. 24, N 1, P.75-81.

73. Porter В., Crossley T.P. Modal Control. London: Taylor and Frances, 1972.

74. Slita O.V. Some algebraic problems of parametric invariance// Preprints of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). SPbSUITMO, 2004, P. 37-41.