Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Бирюков, Дмитрий Сергеевич

• Бирюков, Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Бирюков, Дмитрий Сергеевич

Принятые сокращения и обозначения......................................... 4

Введение. Постановка задачи................................................... 5

Глава 1. Системные грамианы непрерывных и дискретных объектов управления и динамических систем........................................ 11

1.1. Матрица Грама. Проблема ее использования в геометрическом пространстве................................. 11

1.2. Матрица Грама. Проблема ее использования в функциональном пространстве..............................................................13

1.3. Модели рассматриваемых объектов управления....................16

1.4. Основные грамианы непрерывных объектов управления 19

1.5. Основные грамианы дискретных объектов управления ... 20

1.6. Системные грамианы......................................................................................23

1.7. Сингулярное разложение матриц и его использование для анализа структурных свойств........................................................27

1.8. Грамианная технология исследования структурных свойств объекта управления........................................................................29

1.9. Матрицы дисперсий динамических систем как системные грамианы......................................................................................33

Выводы по главе 1 ............................................................ 35

Глава 2. Системные грамианы в проблеме конструирования объектов управления...................................................................... 36

2.1 Проблема сбалансированного представления и задача корректного редуцирования модели.............................. 37

2.2 Проблема размещения измерительных устройств: использование грамиана наблюдаемости........................ 40

2.3 Проблема размещения регулирующих органов: использование грамиана управляемости............................... 45

2.4. Фактор ранга матрицы управления объекта в задаче

синтеза системы на заданные показатели качества........... 47

Выводы по главе 2................................................................. 56

Глава 3. Системные грамианы в задачах модального управления динамическими объектами................................................... 57

3.1. Оценка затрат на управление динамическим объектом при полиномиальном экзогенном воздействии..................... 58

3.2. Оценка затрат на управление динамическим объектом при гармоническом экзогенном воздействии...................... 68

3.3. Оценка затрат на управление динамическим объектом при стационарном в широком смысле стохастическом экзогенном воздействии........................................... 71

Выводы по главе 3................................................................. 78

Глава 4. Системные грамианы в задаче обобщенного изодромного управления...................................................................... 79

4.1. Базовая концепция обобщенного изодромного управления 79

4.2. Решение проблемы согласования внутренней модели и объекта управления с использованием возможностей кросс-грамиана....................................................... 84

4.3. Алгоритм синтеза «грамианно оптимального» обобщенного изодромного управления.............................................................. 86

Выводы по главе 4................................................................. 92

Глава 5. Робастность системных грамианов и прикладные задачи..............................................................93

5.1 Обеспечение модальной робастности необходимой структуры мод минимальными управлениями.................. 94

5.2 Оценка потенциальной робастности с помощью функций чувствительности сингулярных чисел грамианов управляемости, наблюдаемости и кросс-грамиана............ 99

5.3 Грамианные технологии в задаче синтеза системы цифрового дистанционного управления с учетом фактора канальной среды...................................................... 101

Выводы по главе 5................................................................. 118

Заключение.......................................................................... 119

Литература........................................................................... 123

Приложения......................................................................... 130

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами»

Тема диссертации «Грамианный подход в задаче оценки затрат на управление непрерывными и дискретными техническими объектами» была сформирована исходя из потребности заполнить пробел в современной отечественной теории автоматического управления, которая, на взгляд автора, уделяет недостаточно внимания такому мощному инструменту анализа и синтеза систем как грамианные матричные структуры. Следует отметить, что в российской литературе нет должного количества материалов по данной проблематике: поиск в базе РИНЦ дает всего семь статей [1517,24,30,31,35]. В отечественной теории управления одно из первых упоминаний грамианов встречается в работе JI.A. Мироновского [28]. По такой подборке материалов составить суждение о круге решаемых задач неспециалисту практически невозможно. Напротив, в зарубежной литературе проблеме уделено значительное внимание, в базе IEEE Xplore содержится около ста печатных работ. Круг решаемых задач сводится к проблемам оптимального размещения управляющих органов и датчиков [50,63], оценки межканальных связей [54,55,58], редуцирования моделей динамических объектов [57,59.60,64], синтеза управляющих воздействий [32,61]. Стремление глубоко рассмотреть данные проблемы, развить имеющиеся методы и обозначить шаги к дальнейшему совершенствованию грамианных технологий стало основным мотивом написания диссертационной работы. Выдвинутая в работе [64] идея использования кросс-грамиана для редуцирования моделей стала основой для процедуры балансировки кросс-грамиана с помощью преобразования подобия. Рассмотренные в работе [63] принципы оптимального размещения управляющих органов и датчиков были развиты с формированием агрегированных функционалов оптимальности и использованием фактора ранга матрицы управления, а идея о минимизации энергетических затрат на размещение мод была реализована с помощью

нового объекта - грамиана затрат на управление, дающего прозрачную оценку затрат на сфере начальных условий.

Диссертационные исследования велись под научным руководством профессора Ушакова A.B. в научной группе кафедры Систем Управления и Информатики СПбНИУИТМО.

При написании диссертации автор структурировал её с помощью концепций, определений, утверждений, доказательств и примечаний. Диссертация структурно состоит из перечня основных обозначений и сокращений, введения, пяти глав, заключения, списка литературы и пяти приложений.

В первой главе осуществляется введение в проблематику построения грамианов непрерывных и дискретных объектов управления и динамических систем. Рассматривается классическая матрица Грама, играющая роль матрицы коэффициентов преобразования геометрических и функциональных базисов. Формируется общий принцип построения матриц такого типа (грамианов) в интегральном виде. Также для удобства практического программного вычисления грамианов предлагается использовать уравнение Ляпунова. • В качестве наиболее распространенных рассматриваются грамианы управляемости, наблюдаемости и системный кросс-грамиан, анализируются возможные области их применения. Поскольку в сложившейся практике термином грамиан принято называть как объект, являющийся функцией от времени, так и его предел при f -»оо, будем использовать его для обоих случаев в зависимости от контекста рассматриваемой задачи.

Наиболее удобным инструментом грамианной оценки свойств объектов является анализ их сингулярного разложения (svd-разложения), которому посвящен раздел 1.3. Использование сингулярного разложения позволяет строить оценки различных величин (затрат на управление, энергии входного и выходного сигнала) в виде миноранты и мажоранты.

Во второй главе рассматривается проблема формирования объекта управления. В настоящее время наблюдается рассинхронизация процессов формирования объекта и синтеза системы автоматического управления данным объектом, особенно в ходе модернизации существующих промышленных объектов: состав и расположение управляющих органов и первичных измерительных устройств определяется технологами на производстве (либо задан заранее в случае модернизации старого объекта), а систему автоматического управления строит на готовом объекте профильный специалист. Предлагается организовать синхронизацию работы указанных специалистов с тем, чтобы структура объекта по возможности оптимально соответствовала как производственным задачам, так и критериям оптимальности для управления. Ставится задача формирования таких критериев оптимальности с использованием грамианов управляемости и наблюдаемости.

Поскольку полная математическая модель объекта управления может иметь большую размерность, что вносит существенные вычислительные сложности в процессы его анализа и синтеза управляющих воздействий, ставится задача редуцирования размерности модельного представления, решаемая с помощью системного кросс-грамиана.

В разделе 2.4 рассматриваются возможности средств управления в случае максимального значения ранга матрицы управления объекта. В связи с чем, ставится задача увеличения ранга матрицы управления объекта путем увеличения числа размещаемых на нем органов управления при формировании объекта. Увеличивая число регулирующих органов и измерительных устройств (датчиков), оказывается возможным увеличивать ранги матриц управления и выхода формируемого объекта управления. Конечно, размещение дополнительных регулирующих органов на объекте управления и датчиков это дополнительные затраты и повышение себестоимости продукции, формируемой с помощью автоматизируемого технологического процесса. В этой связи встает задача оценки

целесообразности их введения на предмет возможности улучшения качества и производительности производства продукции за счет их введения. Сформулированная задача решается применительно к определению числа регулирующих органов, а, следовательно, ранга матрицы управления формируемого объекта управления.

В третьей главе рассматриваются возможности применения системных грамианов в задачах модального управления. Ставится задача оценки энергетических затрат на управления непрерывными и дискретными объектами при различных экзогенных воздействиях (полиномиальных, гармонических, стохастических). Задача решается с помощью грамиана затрат на управление, сингулярное разложение которого позволяет построить мажорантные и минорантные оценки затрат на управление в виде евклидовой нормы вектора управления. Для случая стохастического воздействия, стационарного. в широком смысле, вводится понятие обобщенного стохастического грамиана затрат, тождественного в данном случае дисперсии сигнала управления. На основе оценки затрат на управление формируется алгоритм оптимального размещения мод синтезируемых систем управления.

В четвертой главе рассматривается концепция обобщенного изодромного управления (пропорционально-интегрального управления), предполагающего использование внутренней модели источника экзогенного воздействия для решения задачи слежения за данным экзогенным воздействием. Ряд проблем, возникающих при использовании данной концепции, решается с привлечением грамианных технологий. Так, проблема согласования внутренней модели и объекта управления решается с использованием возможностей кросс-грамиана, а назначение структуры мод происходит при контроле управляемости собственных значений. Рассматриваются особенности назначения и реализации структуры мод в обеспечении нулевой установившейся ошибки при полиномиальном и гармоническом экзогенных воздействиях.

В пятой главе рассматривается влияние фактора интервальности матричных компонентов модельного представления объекта при решении различных задач анализа и синтеза динамических систем, рассмотренных ранее в главах 1-4. Поскольку на практике зачастую не выполняется одна из важнейших предпосылок о полном знании параметров объектов и их неизменяемости в процессе функционирования, на которой строятся основные законы управления, требуется учитывать фактор параметрической неопределенности. Рассматривается совместное использование алгоритмов, построенных на грамианных структурах, и метода медианного модального управления, а также задача обеспечения параметрической инвариантности выходного сигнала методами обобщенного модального управления.

В заключении приведены основные научные результаты проведённых диссертационных исследований, при этом отмечено, что выполнены все выносимые на защиту положения, а также отмечены перспективные направления дальнейших научных изысканий.

В приложениях приведены тексты программных функций для использования в программной среде Ма1:ЬаЬ, необходимые для модельной проверки (верификации) полученных грамианных алгоритмов управления.

На защиту выносится комплексное решение задачи разработки грамианных алгоритмов оценки затрат на управление непрерывными и дискретными объектами, состоящей в:

- анализе сингулярного разложения грамианов и формировании мажорантных и минорантных грамианных оценок затрат на управление, энергии входных и выходных сигналов;

- формировании требований к управляющему сигналу в смысле оптимальности затрат на управление при модальном управлении, а также к объекту управления в смысле оптимального размещения регулирующих органов и измерительных устройств, увеличения ранга матрицы управления;

- формировании алгоритмов редуцирования модельного представления объекта управления с использованием системного кросс-грамиана;

- решении задачи оценки затрат на управление в рамках концепции модального управления на основе грамиана затрат на управление, модификации полученных алгоритмов оценки затрат с учетом природы входного сигнала, воспроизводимого источником конечномерного экзогенного воздействия (полиномиального, гармонического);

модификации вышеупомянутого алгоритма для источника стохастического воздействия, стационарного в широком смысле, типа «белый» и «окрашенный» шум с введением понятия обобщенного стохастического грамиана в виде матрицы дисперсий;

- решении задачи обобщенного изодромного (пропорционально-интегрального) управления на базе концепции внутренней модели источника экзогенного воздействия с использованием кросс-грамиана для согласования внутренней модели и объекта управления и контролем управляемости собственных значений объекта управления;

проведении исследования влияния фактора интервальное™ параметров объекта управления на полученные законы и алгоритмы с их модификацией в рамках метода медианного модального управления;

- решении задачи обеспечения параметрической инвариантности выходного сигнала методами обобщенного модального управления.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Бирюков, Дмитрий Сергеевич

1. С использованием результатов по оценке затрат на управление, полученных в главе 3, удалось сформировать объединенный алгоритм обеспечения модальной робастности желаемой структуры мод минимальными по затратам управлениями.

2. Критерием оптимальности в данном случае служит обобщенный функционал, включающий в себя минимальное сингулярное число грамиана затрат на управление и число обусловленности матрицы М приведения матрицы F системы к диагональному виду.

3. Принимая во внимание возможную в любом реальном техническом объекте вариацию параметров, предложено ввести в процедуру анализа свойств синтезируемой системы обязательное вычисление функций чувствительности сингулярных чисел грамианов. Оценка чувствительности дает ответ на вопрос, насколько сингулярные числа зависят от вариации переменных параметров.

4. Принимая во внимание чувствительность грамиана затрат на управление к вариации интервала дискретности при синтезе цифрового дистанционного управления непрерывным объектом, предложено дополнить процедуру синтеза подпроцедурой оценки чувствительности сингулярных чисел грамиана затрат на управление.

5. Разработанная грамианная технология успешно использована при синтезе цифрового дистанционного online управления, гарантирующего как в априорной, так и в апостериорной постановках минимальные затраты на его осуществление.

Задачи диссертационных исследований, сформированные в начале диссертационных исследований, полностью решены, при этом получены следующие результаты.

1.Для всех грамианов показана возможность получить путем однотипных преобразований удобную для практического вычисления с помощью математических программных пакетов форму - уравнение Ляпунова.

2. Несмотря на то, что для дискретных объектов управления вычисление грамианов связано с рекурсивной процедурой, в общем случае бесконечной по времени, показана возможность получения уравнений Ляпунова путем предельных преобразований.

3. Показано, что матрица дисперсий стохастических объектов и систем также может быть рассмотрена как системный грамиан, что находит свое применение в технологии оценки затрат на управления при стохастических внешних воздействиях.

4. Показано, что грамианы управляемости и наблюдаемости объектов управления можно использовать для оценки структурных свойства объекта. Такая постановка задачи может быть расширена для формирования оптимальной структуры размещения управляющих и измерительных устройств.

5. Поскольку важнейшим инструментом для грамианного анализа свойств динамических объектов и систем является сингулярное разложение (зуё-разложение), сформирована основная ниша для применения грамианных технологий: область экспресс-оценки различных параметров с помощью вычислительно простых алгоритмов, дающих область расположения рассматриваемого параметра в виде мажорантных и минорантных границ.

6. Показано, что системный кросс-грамиан является важнейшим инструментом балансировки и редуцирования математических моделей объектов высокой размерности. Решение задачи балансировки сводится к диагонализации кросс-грамиана с помощью матрицы М неособого преобразования подобия.

7. Построен алгоритм быстрой оценки мажорантной границы нормы с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости при формировании оптимальной структуры размещения управляющих и измерительных устройств, для чего требуется максимизировать норму вектора состояния или выхода, соответственно.

8. Показано, что увеличение числа регулирующих органов и измерительных устройств (датчиков) дает возможность увеличивать ранги матриц управления и выхода формируемого объекта управления, обеспечивая инвариантность выхода системы относительно внешних сигнальных возмущений и параметрических возмущений.

9. На основе полученного в разделе 3.1. грамиана затрат на управление сформирован алгоритм оценки затрат на управление установившимся движением системы, порождаемого конечномерными экзогенными воздействиями (полиномиальным и гармоническим). Решение задачи построено на использовании экстремальных элементов алгебраического спектра сингулярных чисел грамиана затрат на управление.

10. Доказано, что матрица дисперсии имеет грамианную природу и на ее основе можно оценивать затраты на управления и в случае бесконечномерных экзогенных воздействия типа "белый шум" и "окрашенный шум".

11. При решении задачи слежения за конечномерным задающим воздействием с нулевой ошибкой в установившемся режиме успешно решена проблема согласования исходного объекта управления и модели источника задающего воздействия, в общем случае имеющих разные размерности. Задача решается с помощью матрицы особого в общем случае

преобразования подобия, являющейся решением уравнения типа Сильвестра. Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда спектр собственных значений матрицы состояния исходного объекта управления содержит спектр собственных значений матрицы состояния источника задающего воздействия.

12. Показано, что в случае, когда спектр собственных значений матрицы состояния исходного объекта управления не содержит спектр собственных значений матрицы состояния источника задающего воздействия либо содержит его лишь частично, исходный объект управления следует дополнить последовательно включенной буферной системой, спектр собственных значений которой содержит недостающие моды. При этом проблема согласования трансформируется в проблему назначения матриц входа и выхода буферной системы с формированием расширенной системы с обобщенным изодромным регулятором.

13. Сформирован алгоритм синтеза обобщенного изодромного управления. Алгоритм допускает встраивание дополнительной процедуры грамианного конроля затрат на управление типа алгоритма 3.1.

14. С использованием результатов по оценке затрат на управление, полученных в главе 3, удалось сформировать объединенный алгоритм обеспечения модальной робастности желаемой структуры мод минимальными по затратам управлениями. Критерием оптимальности в данном случае служит обобщенный функционал, включающий в себя минимальное сингулярное число грамиана затрат на управление и число обусловленности матрицы М приведения матрицы F системы к диагональному виду.

15. Принимая во внимание возможную в любом реальном техническом объекте вариацию параметров, предложено ввести в процедуру анализа свойств синтезируемой системы обязательное вычисление функций чувствительности сингулярных чисел грамианов. Оценка чувствительности дает ответ на вопрос, насколько сингулярные числа зависят от вариации

переменных параметров.

16. Принимая во внимание чувствительность грамиана затрат на управление к вариации интервала дискретности при синтезе цифрового дистанционного управления непрерывным объектом, предложено дополнить процедуру синтеза подпроцедурой оценки чувствительности сингулярных чисел грамиана затрат на управление.

В качестве перспективного направления развития диссертационных исследований автору хотелось бы отметить проблему анализа структуры элементов геометрического спектра левого сингулярного базиса грамиана затрат на управления для более полного решения задачи контроля затрат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бирюков, Дмитрий Сергеевич, 2014 год

1. Акунов Т.А., Бирюков Д.С., Дударенко H.A., Полякова М.В., Ушаков A.B. Формирование спектра сингулярных чисел квадратной матрицы простой структуры.//Научно-технический вестник СПбГУИТМО, №6 (76), 2011, с. 53-58.

2. Акунов Т.А., Бирюков Д.С., Дударенко H.A., Слита О.В., Ушаков A.B. Проблема редуцирования модели, размещения регулирующих органов и измерительных устройств, а также оценки потенциальной робастности в задаче конструирования объекта управления.//Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012). - СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИИ «Электроприбор», 2012, с. 29-32.

3. Акунова А., Баячорова Б.Ж., Ушаков A.B., Хабалов В.В. Математические основы теории информационных систем в управлении. / Под ред. A.B. Ушакова. - Бишкек: Салам, 2003.

4. Асылбеков С.С., Белоконев Г.В., Ушаков A.B. Формирование оптимального состава измерений в задаче наблюдения состояния многомерных процессов.//Известия вузов. Приборостроение, том 41, №7, 1996, с. 43-48.

5. Алгебраические методы в теории устройств дискретной автоматики и телемеханики: Труды лаборатории телемеханики СПб ГИТМО (ТУ). / Под ред. A.B. Ушакова. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2001.

6. Андреев Ю.Н. Управление линейными конечномерными объектами. М.: Наука, 1976.

7. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. - СПб., Наука, 1999.

8. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и SciLab. - СПб: Наука, 2001.

9. Астровский А.И. Обобщенная матрица Грама и ее применение к проблеме наблюдаемости линейных нестационарных систем.// Математические заметки, том 69, вып. 2, 2001, с. 163-170.

10. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.:Физматлит, 2005.

11. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - СПб.: Изд-во «Профессия», 2003.

12. Бирюков Д.С., Дударенко H.A., Ушаков A.B. Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход.//Известия вузов. Приборостроение, том 56, №4, 2013, с. 34-37.

13. Бирюков Д.С., Дударенко H.A., Слита О.В., Ушаков A.B. Конструирование объекта управления. Часть I. Проблема редуцирования модели, размещения управляющих органов, измерительных устройств и оценки потенциальной робастности.//Мехатроника, автоматизация, управление, №6, 2013, с. 2-6.

14. Бирюков Д.С., Дударенко H.A., Слита О.В., Ушаков A.B. Конструирование объекта управления. Часть II. Ранг матрицы управления как системный ресурс.//Мехатроника, автоматизация, управление, №8, 2013, с. 7-11.

15. Бирюков Д.С., Слита О.В., Ушаков A.B. Оценка затрат на управление в задаче обеспечения желаемой структуры мод и их робастности.//Известия вузов. Приборостроение, том 52, №11, 2009, с. 38-43.

16.Бирюков Д.С., Ушаков A.B. Контроль затрат на управление при воспроизведении гармонических экзогенных воздействий: грамианный подход.//Научно-технический вестник СПбГУИТМО, №2 (72), 2011, с. 117-123.

П.Бирюков Д.С., Ушаков A.B. Грамиаииый подход к оценке энергетических затрат на управление в непрерывных системах при стационарных стохастических воздействиях.//Известия вузов. Приборостроение, том 54, №6, 2011, с. 36-44.

18. Бирюков Д.С., Ушаков A.B. Контроль энергетических затрат на управление при воспроизведении полиномиальных экзогенных воздействий: грамианный подход.//Известия вузов. Приборостроение, том 55, №9, 2012, с. 5-11.

19. Бирюков Д.С., Ушаков A.B. Контроль затрат на управление при воспроизведении полиномиальных экзогенных воздействий: грамианный подход.//Материалы конференции «Управление в технических системах» (УТС-2010). - СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИИ «Электроприбор», 2010, с. 56-59.

20. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.

21. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

23. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999.

24. Гордеев В.М., Гордеева К.В. Меры управляемости и наблюдаемости взаимодействующих систем управления//Омский научный вестник. 2011. № 103, с. 278-280.

25. Дударенко H.A., Слита О.В., Ушаков A.B. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: учебное пособие. / Под ред. Ушакова A.B. - СПб, СПбГУИТМО, 2008.

26. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. / Пер. с англ. под ред. А.Н. Ширяева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984. -208с.

27. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

28. Игнатьев М.Б., Мироновский A.A., Юдович B.C. Контроль и диагностика робототехнических систем. Л.: Изд-во ЛИАП, 1985. 160 с.

29. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. - М: Мир, 1977.

30. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры.-М.: Физматлит, 2004.

31. Краснощеченко В.И. Синтез управления в задаче быстродействия с использованием метода модельного прогнозируемого управления//Мехатроника, автоматизация, управление. 2008, №10, с. 2-8.

32. Краснощеченко В.И. Теоретико-групповой подход к синтезу регуляторов нелинейных аффинных систем на примере управления перевернутым маятником//Мехатроника, автоматизация, управление. 2008, №10, с. 2-8.

33. Ланкастер П. Теория матриц. / Пер. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

34. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. - СПб: Питер, 2005.

35. Мэн Ц., Шестаков K.M. Упрощение математических моделей объектов в тренажерных комплексах//Инженерно-физический журнал, 2009. Т. 82. № 3. С. 590-599.

36. Никифоров В.О., Ушаков A.B. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002.

37. Никифоров В.О., Слита О.В., Ушаков A.B. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности: Учебное пособие. СПб., 2011.

38. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, A.B. Ушаков - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983.-245 с.

39. Слита О.В., Ушаков A.B. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 3. С.19-27.

40. Слита О.В., Ушаков A.B. Обобщенное изодромное управление объектом с параметрическими неопределенностями. // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 4. С. 7-12.

41. Слита О.В., Ушаков A.B. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход //Известия РАН. Теория и системы управления, 2008, №4.с. 18-27.

42. Слита О.В., Ушаков A.B. Проблема параметрической £-инвариантности выхода непрерывной системы: алгебраический подход. Мехатроника, автоматизация, управление. № 2, 2006, С. 2-7.

43. Ту Ю. Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1971 -471 с.

44. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управлении: геометрический подход/ Пер. с англ. М.: Наука, 1980.

45. Ушаков A.B. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах при внешних конечномерных воздействиях. // Автоматика и телемеханика. 1992. №10. С. 72-82.

46. Ушаков A.B. Модальные оценки качества процессов управления многомерными системами при гармоническом внешнем воздействии. // Автоматика и телемеханика. 1989. №11.

47. Ушаков A.B. Обобщенное модальное управление. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т.43, №3. С. 8-16.

48. Ушаков A.B., Быстров П.С., Нуйя О.С. Сетевые технологии в процессах управления. - СПб: СПб НИУИТМО, 2012.

49. Ушаков A.B., Хабалов В.В., Дударенко H.A. Математические основы теории систем: элементы теории и практикум. / Под ред. Ушакова A.B. -СПб: СПб ГУИТМО, 2007.

50. S. Abou-Kandil, Н. Bonnassieix, "Piezoelectric actuators and sensors location for active control of flexible structures", proceedings of 17th IEEE

Instrumentation and Measurement Technology Conference, vol. 2, p. 818-823, 2000.

51.Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. London, Springer-Verlag, 1993.

52. E.-J. Ang, V. Sreeram, W.Q. Liu. Identification/Reduction to a balanced realization via the extended impulse response gramian.//34th Conference on Decision & Control, 1995, p. 3080-3085.

53. Dmitry S. Biryukov, Anatoly V. Ushakov. Gramian Approach for Control Costs Estimation.//International Conference on Electrical, Control and Computer Engineering (INECCE), 2011, p. 94-96.

54. Bristol E.H. On a new measure of interaction for multivariable process control // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. N. 11. P. 133-134.

55. A. Conley, M.E. Salgado, "Gramian based interaction measure", proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, vol. 5, p.5020-5022, 2000

56. P. Feldman, R. Freund. Efficient linear circuit analysis by Pade approximation via a Lanczos method. // IEEE transactions on computer-aided design, 14, 1995, 639 - 649

57. F. Freitas, J. Rommes, N. Martins, "Gramian-based reduction method applied to large sparce power system descriptor models", proceedings of IEEE Power and Energy Society General Meeting, p.l, 2009

58. B. Halvarsson, "Comparison of some gramian based interaction measures", proceedings of IEEE International Conference on Computer-Aided Control Systems, p. 138-143, 2008

59. Jinbao Fu, Chongliang Zhong, Yalin Ding, Jiufei Zhou, "An information theortic approach to model reduction based on frequency-domain cross-gramian information", proceedings of 8th World Congress on Intelligent Control and Automation, p. 3679-3683, 2010

60. Jinbao Fu, Hui Zhang, Youxian Sun, Chongliang Zhong, "Minimum information loss method on cross-gramian matrix for model reduction",

proceedings of 7th World Congress on Intelligent Control and Automation, p. 7339-7343,2008

61. P. Montagnier, R.J. Spiteri. A Gramian-based Controller for Linear Periodic Systems// IEEE transactions on automatic control, vol. 49, no. 8, 2004, 1380 -1385

62. B.C. Moore. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controllability, Observability and Model Reduction//IEEE transactions on automatic control, vol. ac-26, no. 1, 1981

63. Schneiders M. Using Gramian Theory for Actuator and Sensor Placement. Technische Universitet Eindhoven, 2004.

64. Sorensen D., Antoulas A. The Sylvester equation and approximate balanced reduction.//Linear Algebra and its Applications, vol.351/352, 2002. -pp.671700

65. Zhicheng Qiu, Hongxin Wu, "Study on optimal placement for piezoelectric smart flexible cantilever plate", proceedings of 6th World Congress on Intelligent Control and Automation, vol. 1, p. 1496-1500, 2006.