Разработка алгоритмов расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов на основе МКЭ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Сорокина, Елена Ивановна

• Сорокина, Елена Ивановна
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сорокина, Елена Ивановна

Введение

Глава 1. Краткий обзор использование метода конечных элементов в расчетах прочности оболочек

Глава 2. Соотношение теории упругости

2.1. Основные соотношения напряженно-деформированного состояния тел вращения при осессиметричном нагружении

2.1.1. Выражения составляющих деформаций через перемещении

2.1.2. Выражения составляющих напряжений через деформации

2.1.3. Матричная форма представления основных соотношений теории упругости осесимметрично нагруженных несжимаемых тел вращения

Глава 3. Расчет осесимметрично нагруженных тел вращения с использованием четырехугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации

3.1. Основные операции метода конечных элементов

3.2. Системы координат четырехугольного конечного элемента

3.3. Четырехугольный конечный элемент с перемещениями в качестве узловых неизвестных

3.3.1. Аппроксимация перемещений

3.3.2. Матрица жесткости конечного элемента

3.3.3. Вектор узловых усилий при действии распределенных поверхностных нагрузок

3.4. Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных

3.4.1. Узловые неизвестные и аппроксимация перемещений

3.4.2. Матрица жесткости конечного элемента и вектор узловых усилий

3.4.3. Вектор узловых усилий от распределенных нагрузок на контуре элемента

Глава 4. Треугольный конечный элемент осесимметрично нагруженной оболочки вращения

4.1. Геометрия элемента

4.2. Треугольный конечный элемент с перемещениями в качестве узловых неизвестных

4.2.1. Аппроксимация перемещений

4.2.2. Матрица жесткости конечного элемента

4.3. Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных

4.3.1. Функции формы для перемещений

4.3.2. Матрица жесткости конечного элемента с производными перемещений в узловых точках

4.3.3. Вектор узловых усилий в треугольном элементе от распределенных по поверхности нагрузок

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов на основе МКЭ»

Актуальность темы

Известно, что многие упругие материалы деформируются практически без изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Несжимаемыми упругими материалами являются натуральные и синтетические резины, полимеры и эластомеры.

Из таких материалов изготовляют эластичные манжеты для уплотнения вращающихся валов в механических передачах (редукторах, коробках перемены передач) и двигателях внутреннего сгорания.

Уплотнительные соединения из несжимаемых материалов являются очень ответственными узлами в современных станках, грузоподъемном оборудовании, в автомобилях и тракторах.

Кроме того, что деформирование несжимаемых материалов проходит без изменения объема, их характерной особенностью является то, что напряжения не полностью определяются деформацией. К напряжениям в деформированном состоянии несжимаемого материала можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т.е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное добавление напряжения гидростатического давления к несжимаемому материалу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации, или на величину энергии деформации.

Хотя в некоторых точных решениях задач теории упругости предположение о несжимаемости материала приводит к ряду упрощений, при использовании метода конечных элементов этого не происходит. Действительно функция энергии деформации определяет напряжения в несжимаемых телах с точностью до скалярнозначной функции а0, называемой гидростатическим давлением, которое не совершает работы в процессе деформирования тела. В конечно-элементных приложениях гидростатическое давление является дополнительной неизвестной величиной.

Поскольку широко распространенные в инженерной практике материалы (натуральные и синтетические резины, полимеры, эластомеры) являются несжимаемыми, исследование напряженно-деформированного состояния несжимаемых тел на основе метода конечных элементов является актуальной задачей.

Цель работы

Целью работ является разработка для осесимметрично нагруженной оболочки вращения объемных конечных элементов четырехугольной и треугольной формы поперечного сечения с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при учете несжимаемости материалов. Цель работы определила и основные задачи:

1. Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента при линейном распределении перемещений и постоянном значении гидростатического давления в элементе.

2. Разработка алгоритма формирования матрицы жесткости конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных при линейном законе изменения гидростатического давления, по площади элемента.

3. Разработка конечных элементов треугольной формы при различных вариантах узловых перемещений и линейном распределении гидростатического давления по площади элемента.

Разработка названных конечных элементов позволит использовать их в программах определения напряжено - деформированного состояния осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

Работа выполнена на кафедре «Мелиоративное и водохозяйственное строительство» Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии.

Основное содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Сорокина, Елена Ивановна

Выводы по 4 главе.

1. Разработаны для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в двух вариантах:

1.1. Неизвестными в узле являются перемещения, а гидростатическое давление является постоянным в площади четырехугольника, состоящего из двух треугольных элементов.

1.2. Неизвестными в узле являются перемещения, их первые производные и гидростатическое давление при его линейном распределении по площади элемента.

2. Сравнение результатов решения конкретных задач показало удовлетворительное совпадение в результатах, полученных с использованием разработанных элементов для осесимметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала разработан объемный конечный элемент с поперечным сечением в виде четырехугольника. Принимались следующие варианты узловых неизвестных:

1.1. Перемещения и гидростатическое давление, построенное по поперечному сечению.

1.2. Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление, постоянное по поперечному сечению.

1.3. Перемещения, их первые производные и гидростатическое давление в каждом узле.

2. Сравнительными расчетами показано, что наилучшие результаты получаются при использовании конечного элемента в варианте 1.3 с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и гидростатического давления.

3. Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов разработаны объемные конечные элементы треугольного поперечного сечения с узловыми неизвестными в следующих вариантах:

3.1. Неизвестными в узле являются перемещения, а гидростатическое давление является постоянной величиной по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников.

3.2. Узловыми неизвестными являются перемещения, их первые производные и гидростатическое давление (при линейном законе изменения гидростатического давления по площади каждого треугольника).

4. Показано, что результаты расчета полученные при использовании разработанных конечных элементов находятся в хорошем соответствии.

5. Из разработанных конечных элементов лучшие результаты получаются при использовании объемных элементов с узловыми неизвестными по вариантам (1.3) и (3.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сорокина, Елена Ивановна, 2008 год

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. М.: Наука, 1978.-287 с.

2. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформации поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Дж. Аргирис, Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. 1. -Л., 1974.-С. 179-210.

3. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Известия. Вузов. Серия. Машиностроение. 1981. - № 5. - С. 26 - 31.

4. Бандурин, Н. Г., Применение четырехугольного элемента с матрицей жесткости 36*36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Проблемы прочности. -1980.-№ 5.-С. 104- 108.

5. Бандурин, Н. Г., Применение произвольного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикладная механика. 1980. - Т. 16. - № 3. - С. 50 - 55.

6. Бате, К., Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Э. Вилсон: перевод с английского. — М.: Стройиздат, 1982. — 448 с.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. М.: Наука, 1975. — 631 с.

8. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов /Н. М. Беляев. М.: Наука, 1976. -607 с.

9. Березин, И. С. Методы вычислений Т.1 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. -М.: Наука, 1966.-632с.

10. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций / В. Л. Бидерман. — М.: Машиностроение, 1977. — 488 с.

11. Богнер, Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, Р. Фокс, JI. Шмит // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 4. - С. 170 - 175.

12. Бронштейн, И. Н., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1980. - 973 с.

13. Вайнберг, Д. В., Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг, А. С. Городецкий, В. В. Киричевский // Прикладная механика. 1972. - Т.8. - №8. - С. 3 - 28.

14. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н.В. Валишвили. -М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

15. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир , 1987. - 542 с.

16. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы. Перевод с английского / Р. Галлагер. М.: Мир, 1984. - 428 с.

17. Голованов, А. И. Расчет тонкостных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности / А. И. Голованов, О. Н. Тюленева, С. А. Якушин // Проблемы. Прочности и пластичности. -2002. -№ 64. С. 36 - 40.

18. Голованов, А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами / А. И. Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. 1992. - №2. - С. 51 - 55.

19. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек / А. И Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 21 - 23.

20. Голованов, А. И. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / А. И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: ДАС, 2001.-300 с.

21. Григоренко, Д. М. К расчету оболочных конструкций методом конечного элемента / Д. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикладная механика. -1979.-Т. 15.-№7.-С. 3-10.

22. Григоренко, Я. М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я. М. Григоренко, П. П. Мукоед. Киев: Высшая школа, 1979. - 280 с.

23. Дарков, А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников М.: Высш. шк., 1986, - 607 с.

24. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. М.: Мир, 1976.-96 с.

25. Демидович Б. П. Основы вычислительной механики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. М.: Гос. издательство физ. - мат. лит., 1960. — 659 с.

26. Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Наука, 1967. - 368с.

27. Длугач, М. И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями / М. И. Длугач // Прикладная механика. 1973. - Т. 11. - № 11. - С. 35 - 41.

28. Зенкевич, О. Применение метода конечных элементов в технике: пер. с англ. / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 541 с.

29. Игнатьев, В. А., Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры / В.А. Игнатьев, О.Л. Соколов, И. Альтенбах, В. Киссинг. -М.: Стройиздат, 1966. — 560 с.

30. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В. В. Кабанов // Вопросы, прочности и долговечности элементов авиационной конструкции. 1979. - № 25. - С. 35 - 43.

31. Кано, С. Н. Строительная механика оболочек / С. Н. Кано. М.: Машиностроение, 1966. — 508 с.

32. Кей, С. В. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // Расчет упругих конструкций сиспользованием ЭВМ: сборник / пер. с англ. Д., 1974. -Т.1.-С. 151 -178.

33. Киселев, В. А. Строительная механика. Общий курс / В.А. Киселев. М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.

34. Клочков, Ю. В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72 * 72 для расчета обол очечных конструкций / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Строительство. 1998. - № 4 — 5.-С. 36-41.

35. Клочков, Ю. В. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Известия вузов. Серия. Машиностроение. 1998. - №1 - 3. - С. 3-8.

36. Козлова, Е. И. Расчет осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемого материала с использованием треугольного конечного элемента / Е. И. Козлова, А. П. Николаев // Научные сообщения КДН/ ВКДН. Волгоград, 2005. - С. 17-20.

37. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. - 720 с.

38. Киселев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения / А. П. Киселев, А. П. Николаев, В. Н. Юшкин // Сб. трудов междунар. научно-техн. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000. -С. 27-30.

39. Кханна .Сравнение и оценка матриц жесткосткости / Кханна (J. Khanna), Гули // Ракетная техника и космонавтика. 1966. - № 2. - С. 31 - 39.

40. Макеев, Е. Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек / Е.Г. Макеев // Автоматизация проектирования авиационных конструкций. Куйбышев, 1982. - С. 45 - 54.

41. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. — М.: Наука, 1977.-454 с.

42. Мебейн. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / Мебейн, Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1971. - №2. - С. 206 - 208.

43. Метод конечных элементов в механике твердых тел. / под общ. ред. А.С. Сахарова, И.И. Альтенбаха. Киев: Высшая школа, 1982. - 480 с.

44. Николаев, А. П., Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48*48 для расчета оболочек вращения / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строительство и архитектура. 1980. - № 5.-С. 44-48.

45. Николаев, А. П., К расчету оболочек методом конечных элементов / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. - № 5. - С. 21 - 25.

46. Николаев, А. П., Особенности формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента размером 54*54 / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Строительство. 1988. - №2. - С. 32 - 37.

47. Николаев А. П. Осесимметричное деформирование тел вращения из несжимаемых материалов на основе метода конечных элементов / А.П.

48. Николаев, Е. И. Козлова // Современные оросительные мелиорации -состояние и перспективы: материалы международной научно — практической конференции / ВГСХА - Волгоград, 2004. -С. 222-224.

49. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. Л.: Судиромгиз, 1962. - 432 с.

50. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: пер. с англ. / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

51. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения / В. В. Пикуль. М.: Наука, 1982.-158 с.

52. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций/ В. А. Постнов. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

53. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. -344 с.

54. Рикирдс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикирдс. Рига: Зинанте, 1988. - 284 с.

55. Розин, Л. А. Численные методы гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов / Л. А. Розин. М.: Энергия, 1971. - 214 с.

56. Савельев, Л. М Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки / Л. М. Савельев // Вопросы, прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. 1979. - №5. — С. 58 -63.

57. Самарский, А. А., Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. -М.: наука, 1989.-432 с.

58. Самуль, В. И. Основы теории упругости / В. И. Самуль. М.: Высшая шк., 1982.-264 с.

59. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский. Киев: Высшая школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. -479с.

60. Секулович, М. Метод конечных элементов / М. Секулович, пер. с серб. Ю. Н. Зуева; под ред. В. Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

61. Сегерленд, Л. Применение конечных элементов в технике: пер. с англ. / Л. Сегерленд. М.: Мир, 1975. - 514 с.

62. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четехугольных криволинейных элементов / В. Н. Скопинский // Известия вузов. Серия. Машиностроение. 1983. - №5. — С. 16-21.

63. Стренг, Г. Теория методов конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -М.: Мир, 1977. 350с.

64. Филин, А. П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1974. -411с.

65. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. Л.: Стройиздат, 1975.-256с.

66. Хейслер, Стриклин. Перемещение деформированных криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений / Хейслер, Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1967, №8. — С. 207-209.

67. Хечумов, Р. А., Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р. А. Хечумов, X. Кепплер, В. Н. Прокофьев. М.: Изд-во АСВ.- 1994.-351 с.

68. Чернина, В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения / В. С. Чернина. -М.: Наука, 1966.-455 с.

69. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Т. 1.-374 с.

70. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-Т. 2.-395 с.

71. Черных, К. Ф. Нелинейная теория в машиностроительных расчетах / К. Ф. Черных. Л.: Машиностроение, 1986.- 336 с.

72. Шмит. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек / Шмит, Богнер, Фокс // Ракетная техника и космонавтика. -1968.-N5.-С. 17-28.

73. Aditya А. К., Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A.K. Aditya. // Comput. And Stuct. 1989. - Vol. 32. - N 2 - P. 423 - 432.

74. Ahmand Sohrabuddin. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / Ahmand Sohrabuddin, Irons Bruce M., Zienkivicz О. C. // Int. J. Numer. Meth. End. 1970. - Vol. 2. - N 3. - P. 419 - 451.

75. Anderheggen, E. A conforming triangular finite element plate bending Solution / E.A. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. End. 1970. - Vol. 2. - P. 259 - 264.

76. Basar Yavuz. Finite element formulation of the Ogden material model with application to rubber-like shells / Basar Yavuz // Numer. Meth. End. 1998. -Vol. 42, N7.-P. 1273 -1305.

77. Batoz, J. L., Buckling behavior of shells using axissymmetrical element and triangular element / J. L. Batoz, G. Dhatt, J. P. Prost // 3-rd Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. London, 1975. - Vol. 5. - Port. V. Amsterdam ea. 1975.

78. Bond, T. J. A comparison of some curved two dimensional finite elements / T. J. Bond, Swannel, K.D. Heshell, G. B. Warburton // J. Strain Anal. 1973. -Vol. 8. - №3 - P. 182-190.

79. Brebbia, C. A. Analysis of plates and shells using finite elements / C. A. Brebbia, H. A. Hadid // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. Vol. 18. -N15. -P.939-962.

80. Cantin, G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. — 1970. -N8. -P.1252.

81. Cantin G. A curved cylindrical shell finite element / G. Cantin, R. W. Clough // AIAA. 1968. -N6. - P. 1057-1062.

82. Choi, Chang-Koon. Nonconforming finite element analysis of shells / Chang-Koon Choi, William C. Schnobrich // Eng. 1975. Vol. 101.- N4. - P.447-464.

83. Clough, R. W. The finite element method in plane stress analysis / R. W. Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. P.345-378.

84. Cowper, G. R. A shallow shell finite of triangular shape / G. R. Cowper, G. M. Lindberg, M. D. Olson // Int. J. Solids Struct. 1970. -N6. - P.l 13.

85. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis / D. J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11. - N10. - P. 1097-1110.

86. Dawe, D. J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D. J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. - Vol. 11. -P.1347-1364.

87. Delpak, R. A. Linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method / R. A. Delpak // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -Vol. 20. - N12. - P.2235-2252.

88. Faria, A. R. Finite element analysis of the dynamic response of cylindrical panels under travesing loads / A. R. Faria // Eur. J. Mech. A. 2004. - Vol. 23, N4.-P. 677-687.

89. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis of shell structures / M. A. Gellert, M. E. Laursen // Int. J. Solids and Struct. 1977. -Vol. 13. — N7. - P.683-697.

90. Hauptmann, R. Solid shell elements with linear and quadratic shape functions at large deformations with nearly incompressible materials / R. Hauptmann, Dolls, M. Harman, K. Schweizerhof// Comput. and Struct. - 2001. - Vol. 79. -N 18.-P. 1671-1685.

91. Herpai, B. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method / B. Herpai, I. Paczelf // Acta techn. Acad. Sci. hung. -1977. Vol. 85. - N1-2. - P.93-122.

92. Jones Rembert, F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures / „

93. F. Jr. Jones Rembert // Nucl. Eng. And Des. 1978. - Vol. 48. - N2-3. - P.415-425.

94. Kanok-Nukulchai, Worsak. A simple and efficient finite element for general shell analysis / Kanok-Nukulchai Worsak // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1979. — Vol. 14. - N2. - P. 179-200.

95. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. and Struct. 1975. - Vol. 5. - N1. - P. 18.

96. Kikuchi F. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems / F. Kikuchi, Y. Ando // Nucl. Eng. Design. -1972. -N25. P.95-113.

97. Lannoy, F. G. Triangular finite elements and numerical integration / F. G. Lannoy // Comput. And Struct. 1977. -N 7. - P. 613-625.

98. Lindberg, G. M. A high-precision triangular cylindrical shell finite element /

99. G. M. Lindberg, M. D. Olson // AIAA. J. 1971. - N 9. - P. 530 -542.

100. May, B. Gekrummte Dreieckelement fur kreiszylinder schalen / B. May // Finite elem. Static. Berlin, 1973. - P. 230-241.

101. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - N 11. - N6. - P. 565571.

102. Mohr, G. A. On triangular displacement elements for the bending of thin plates / G. A. Mohr // Proc. Int. Conf. Finite Element Methods. Sydney, 1979. -461.

103. Morley, L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L.S.D. Morley // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. - Vol. 20. -N8. - P.1373-1378.у/л

104. Nelson, R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1982.-Vol. 18.-N3.-P. 421 -434.

105. Peano, A. Efficient high order finite elements for shells / A. Peano // Mechanica. 1976. - Vol. 11. - N11. - P. 42 - 47.

106. Rao, K. Singa. A note on the cylindrical shell finite element / K. Singa Rao, G. Venkateswara Rao, J. S. Raju // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - Vol. 9. -Nl.-P. 245-250.

107. Samuel, W. Key The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element / W. Key Samuel // Computers Struct. 1972. -Vol. 2,-N4.-P. 637-673.

108. Sander G. Family of conforming finite elements for deep shell analysis / G. Sander, S.A. Idelsohn // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - Vol. 18. - N3. - P. 263-380.

109. Soh, Ai Kah. A new twelwe DOF quadrilateral element for analysis of thick and thin plates / Soh Ai - Kah, CenSong // Eur. J. Mech. A. - 2001. -Vol. 20.-N2,-P. 299-326.

110. Stolarski, H. A simple triangular curved shell element / H. Stolarski, T. Belytschko, N. Carpenter // Eng. Comput. 1985. - Vol. 1. - N3. - P. 210 -218.

111. Yang, T. Y. High order reotaangular shallow shell finite element / T. Y. Yang, A. M. Asce // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. -Vol. 99.-Nl.-P. 157-181.