Линейное и нелинейное деформирование упругих тел на основе трехмерных КЭ при вариативной интерполяции перемещений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор технических наук Киселёв, Анатолий Петрович

• Киселёв, Анатолий Петрович
• доктор технических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор технических наук Киселёв, Анатолий Петрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Основные соотношения теории тонких непологих оболочек произвольного очертания

2.1.1. Геометрия произвольной оболочки в исходном состоянии

2.1.2. Геометрия оболочки в деформированном состоянии

2.1.3. Физические соотношения упругих произвольных непологих оболочек

2.2. Последовательность выполнения основных операций метода конечных элементов

2.3. Треугольный криволинейный конечный элемент

2.3.1. Геометрия элемента

2.3.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций

2.3.3. Матрица жесткости

2.4. Четырехугольный криволинейный конечный элемент

2.4.1. Геометрия элемента

2.4.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций

2.5. Матрица жесткости конечно-элементной модели

2.6. Примеры расчета

2.7. Деформация объемного тела вращения при осесимметричном нагружении

2.7.1. Основные соотношения

2.7.2. Матрица жесткости конечного элемента

2.7.3. Пример расчета

Выводы по главе

3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

3.1. Основные соотношения теории упругости сплошной среды

3.1.1. Исходное состояние

3.1.2. Зависимости между компонентами тензора деформаций и составляющими компонентами вектора перемещения

3.1.3. Соотношения между напряжениями и деформациями для сплошной изотропной среды

3.2. Объемный конечный элемент в виде тетраэдра с четырьмя узловыми точками

3.2.1. Геометрия элемента

3.2.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций

3.2.3. Матрица жесткости конечного элемента

3.3. Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми производными узловых перемещений

3.3.1. Геометрия элемента

3.3.2. Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций

3.3.3. Матрица жесткости

3.4. Объемный восьмиузловой конечный элемент

3.4.1. Геометрия элемента

3.4.2. Выбор узловых неизвестных

3.4.3. Матрица жесткости

3.5. Примеры расчета

3.6. Примеры расчета тонкостенных конструкций

Выводы по главе

4. РАСЧЕТ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ

ОБЪЕМНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1. Основные соотношения двух пересекающихся цилиндрических оболочек

4.1.1. Геометрия оболочек в исходном состоянии на границе пересечения

4.1.2. Матрица преобразования компонент вектора перемещения одной оболочки через компоненты вектора перемещения другой оболочки

4.2. Пример расчета

Выводы по главе

5. ВЕКТОРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОБЪЕМНОГО ВОСЬМИУЗЛОВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

5.1. Матрица жесткости восьмиузлового конечного элемента с векторной аппроксимацией полей перемещений

5.2. Примеры расчета

Выводы по главе

6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА В ИССЛЕДОВАНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

6.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости

6.1.1. Геометрия тела

6.1.2. Суммарные деформации и напряжения после завершения /-шагов нагружения

6.1.3. Деформации и напряжения на шаге нагружения

6.2. Формирование матрицы жесткости конечного элемента на шаге нагружения

6.3. Примеры расчета

6.4. Нелинейное деформирование при наличии особой точки

6.4.1. Алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки

6.4.2. Реализация метода дискретного продолжения по параметру в нелинейной конечно-элементной процедуре

6.5. Пример расчета

Выводы по главе

7. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ СЛОИСТЫХ КОНСТРУКЦИЙ И КОНСТРУКЦИЙ ИЗ РАЗНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МКЭ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ 230 7.1. Матрица жесткости конечного элемента и условия преобразования

векторов узловых неизвестных на границе контакта слоев

7.2. Примеры расчета

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейное и нелинейное деформирование упругих тел на основе трехмерных КЭ при вариативной интерполяции перемещений»

ВВЕДЕНИЕ

Надежность эксплуатации инженерных сооружений во многом зависит от точности расчетов на прочность, выполняемых на стадии проектирования. В связи с этим возникает необходимость разработки и усовершенствования новых эффективных методов расчета различных конструкций на прочность и жесткость и устойчивость.

Развитие вычислительной техники и увеличение мощности электронно-вычислительных машин обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Среди других численных методов решения линейных и нелинейных задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела наибольшее распространение в последнее время получил метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ стал практически одним из основных численных методов для решения широкого круга краевых задач механики сплошной среды. Суть метода заключается в том, сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется совокупностью отдельных конечных элементов, связанных между собой в узловых точках и имеющих конечное число степеней свободы. При заданных физико-механических свойствах материала определяется взаимосвязь между неизвестными узловыми перемещениями или усилиями и внешними воздействиями. В результате расчет сводится к решению системы с конечным числом линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

МКЭ во всех его различных формулировках предусматривает следующие основные этапы расчета: замена исходной конструкции дискретной моделью; выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций; формирование матрицы жесткости или податливости и вектора нагрузок; определение компонентов напряженно-деформированного состояния (НДС) исследуемой конструкции путем решения полученной СЛАУ.

Для МКЭ характерны - широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим

характеристикам материалов, простота учета взаимодействия конструкций с внешней средой (механические и температурные нагрузки), высокая степень приспособленности к автоматизации всех этапов расчета. Непосредственный переход к расчетной схеме дает возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки дискретных элементов, сгущая ее в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей состоящих из фрагментов различной физической природы.

Понятие конечных элементов (КЭ) было впервые введено М. Тернером, Р. Клафом, X. Мартином, JI. Топпом. Дальнейшее развитие метода отражено в работах зарубежных и отечественных исследователей Дж. Аргириса, E.JI. Вильсона, М.Р. Айронса, Р.У. Клафа, У.М. Дженкинса, O.K. Зенкевича, A.B. Александрова, A.M. Масленникова, J1.A. Розина, H.H. Шапошникова, В.А. Постнова, И.Я. Хархурима, Д. В. Вайнберга, A.C. Сахарова и др.

Литература, посвященная теории и реализации МКЭ, довольно обширна (в последние годы изданы книги [15, 31, 204, 206]). Особо следует отметить книги O.K. Зенкевича [54] и В.А. Постнова, И.Я. Хархурима [179], в которых исчерпывающе изложена теория метода и дано ясное представление его реализации на ЭВМ. Однако анализ современных научных публикаций [15, 204], посвященных вопросам исследования процессов деформирования различных конструкций на основе МКЭ, позволяет заключить, что остается ряд весьма важных проблем, которые требуют иного подхода или принципиально нового решения. Наиболее сложными проблемами в МКЭ являются учет смещения конструкции как жесткого целого и использование объемных высокоточных конечных элементов в расчетах геометрически линейных и нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела. Поэтому задача дальнейшего развития теории линейного и нелинейного деформирования инженерных конструкций на основе МКЭ является, достаточно актуальной и представляет собой как теоретический, так и практический интерес.

В подавляющем большинстве работ по МКЭ метод, как правило, используется в форме метода перемещений. Так как, МКЭ в форме метода перемещений для решения произвольных сложных конструкций дает численные процедуры значительно более простые и стандартные, а с этим связаны простота алгоритмизации и программирования и соответственно универсальность МКЭ в варианте метода перемещений. Поэтому в настоящей работе выбран подход, основанный на МКЭ в форме метода перемещений.

Целью исследования является разработка трехмерных КЭ различных конфигураций с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных при вариативной интерполяции перемещений для расчета однородных и разнородных конструкций с учетом смещения их как жесткого целого в геометрически линейной и нелинейной постановках.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

• Разработать общую концепцию и принцип решения проблемы учета смещений инженерных конструкций как жесткого целого в МКЭ на основе векторной аппроксимации полей перемещений.

• Разработать КЭ четырех-, пяти- и шестигранной формы, за узловые неизвестные которых выбираются компоненты вектора перемещений и их первые производные (при размерах матриц жесткости 48x48, 72x72, 96x96 соответственно), с векторной аппроксимацией полей перемещений.

• Разработать аппроксимирующие функции для КЭ в виде тетраэдра с использованием полных трехмерных полиномов и функции формы треугольной призмы на основе использования полиномов Эрмита в комбинации с полными двумерными полиномами.

• Разработать трехмерные КЭ для исследования НДС оболочек произвольной толщины с учетом поперечных и сдвиговых деформаций без привлечения упрощающих гипотез.

• Разработать условия сочленения КЭ с узловыми неизвестными в виде компонент вектора перемещений и их первых производных для двух пересекающихся оболочек вращения.

• Разработать восьмиузловой КЭ шестигранной формы для расчета на прочность оболочечных конструкций в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении.

• Для уточненного анализа НДС слоистых конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках разработать условия сопряжения КЭ, примыкающих к границе слоев с различными физико-механическими свойствами.

• Разработать программные модули по формированию матриц жесткости КЭ четырех-, пяти- и шестигранной формы для определения НДС инженерных конструкций.

• Выполнить верификацию программных модулей путем решения тестовых и практических задач по расчету на прочность однородных упругих и слоистых конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках при статической нагрузке.

• Разработать пакеты прикладных программ применительно к персональному компьютеру с использованием разработанных алгоритмов и внедрить в практику инженерных расчетов.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются линейные упругие системы в трехмерной постановке из однородных и разнородных материалов под воздействием статических нагрузок. Предмет исследования - алгоритмы МКЭ, аппроксимирующие функции, матрицы жесткости КЭ, определяющие точность и сходимость вычислительного процесса.

Методы проведения исследований. Методы линейной и нелинейной теории упругости, вариационные методы механики сплошной среды, методы теории аппроксимации полей перемещений КЭ, численные методы

интегрирования по объему КЭ, реализованные в алгоритмах формирования матриц жесткости КЭ с использованием функционала Лагранжа.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

•новый вариант получения функций формы, основанный на векторном способе аппроксимации полей перемещений трехмерных конечных элементов, для учета смещения конструкции как жесткого целого;

•вариант получения функций формы и матриц жесткости четырех- и пятигранных КЭ, за узловые неизвестные которых приняты компоненты вектора перемещений и их первые производные;

• алгоритмы формирования матриц жесткости четырех-, пяти- и шестигранных объемных КЭ на основе разработанного векторного способа аппроксимации полей перемещений и их первых производных;

• алгоритмы деформирования оболочки как трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке при шаговом способе нагружения;

• методика определения НДС пересекающихся оболочек и оболочек слоистой структуры с использованием трехмерных конечных элементов;

• алгоритм дискретного продолжения по параметру нагружения в окрестности предельной точки деформирования оболочек с использованием шестигранного конечного элемента в геометрически нелинейной постановке.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем

1. Разработан векторный способ аппроксимации полей перемещений КЭ, позволяющий решить проблему учета смещения элемента как жесткого целого.

2. Разработаны на основе векторного способа аппроксимации полей перемещений алгоритмы формирования матриц жесткости КЭ четырех-, пяти-и шестигранной формы с узловыми неизвестными в виде компонент вектора перемещений и их первых производных для определения НДС однородных и разнородных конструкций, в том числе и в зонах их сочленения.

3. Разработаны на шаге нагружения матрицы жесткости трехмерных КЭ различных конфигураций с узловыми неизвестными в виде перемещений и их

первых производных для определения НДС конструкций с учетом геометрической нелинейности.

4. Разработан и реализован алгоритм дискретного продолжения решения по параметру нагружения на основе КЭ шестигранной формы в окрестности предельной точки деформирования оболочки в геометрически нелинейной постановке.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что с использованием разработанных объемных КЭ четырех-, пяти- и шестигранной форм можно выполнить корректную дискретизацию любой конструкции и определить НДС в геометрически линейной и нелинейной постановках с учетом смещения конструкции как жесткого целого.

Программные модули разработанных КЭ использовались в расчетах на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования в ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ», ОАО

«ВОЛГОГРАДНЕФТЕМАШ», ОАО «РЕМГАЗКОМПЛЕКТПОСТАВКА», ОАО «ЛУКОЙЛ- Волгограднефтепереработка».

Достоверность научных положений обеспечивается: корректной математической постановкой задач при использовании соотношений теории упругости, методов вычислительной математики и векторного анализа; вариационных методов механики деформирования твердого тела; сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различных количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Достоверность окончательных результатов проверялась независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на ежегодных научно-практических конференциях Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии 1999-2012 г.;

- на международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (г. Казань, 2000 г.);

- на международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы (РУДН, г. Москва, 2001 г.);

- на международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (г. Пенза, 2004 г.);

в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете на расширенном заседании кафедры «Строительная механика» (г. Волгоград, 2005 г.);

- на международной конференции «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (г. Казань, 2008 г.);

- на международной научно-практической конференции «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях» (г. Волгоград, 2009 г.);

- на ежегодных международных научно-технических конференциях «Инженерные системы - 2008-2012» (РУДН, г. Москва, 2008-12 г.).

Реализация. Материалы выполненного исследования, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программы для РС по расчету на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования в ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ», ОАО «ВОЛГОГРАД-НЕФТЕМАШ», ОАО «РЕМГАЗКОМПЛЕКТПОСТАВКА», ОАО «ЛУКОИЛ-Волгограднефтепереработка». С использованием разработанных программ выполнялся уточненный расчет на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что повышало качество и степень достоверности результатов обследования инженерных конструкций, предназначенных для обоснования инженерных

решений при проектировании и реконструкции сооружений в целях модернизации производства.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 34 научных статьях, из которых 20 в журналах из перечня периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций. Из совместных публикаций в диссертацию включены разработки, принадлежащие лично автору. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит титульный лист, оглавление, введение, семь глав основного текста, заключение, список литературы, приложения, изложена на 290 страницах машинописного текста, содержит 22 таблиц и 79 иллюстраций, библиографический список содержит 367 наименования литературных источников.

Во введении обосновывается актуальность использования численного метода конечных элементов в исследованиях НДС инженерных конструкций, формулируется цель выполненного исследования, ее научная новизна, практическая ценность и общая характеристика диссертационной работы.

В первой главе изложен краткий исторический обзор развития численного метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций по опубликованным материалам отечественных и зарубежных авторов.

Во второй главе представлен вывод основных соотношений произвольных непологих оболочек с использованием гипотезы прямых нормалей в линейной постановке. Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости двумерных четырехугольных и треугольных конечных элементов, соответственно с размерами матриц жесткости 72x72 и 54x54. Приводится пример расчета напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженного объемного тела вращения с использованием кольцевых конечных элементов четырехугольного сечения.

В третьей главе с использованием уравнений механики сплошной среды представлен вывод основных соотношений трехмерных тел в линейной постановке. Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости объемных конечных элементов в виде тетраэдра, призмы с треугольным основанием и шестигранного восьмиузлового конечного элемента, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещения и их первые производные, соответственно с размерами матриц жесткости 48x48 и 72x72 и 96x96. Предложены новые варианты формирования функций формы для четырехгранного и конечного элемента в виде призмы с треугольным основанием. Приводятся примеры расчета напряженно-деформированного состояния объемных трехмерных тел и примеры расчета тонкостенных оболочек с использованием трехмерной теории упругости.

В четвертой главе изложен вывод основных соотношений для пересекающихся оболочек. Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки. Приводятся примеры расчета пересекающихся цилиндрических оболочек.

В пятой главе для решения проблемы учета смещения конструкции как жесткого целого предложен алгоритм формирования матрицы жесткости шестигранного КЭ, за узловые неизвестные которого выбирались векторы перемещений узловых точек и их первые производные. Разработан векторный способ аппроксимации перемещений внутри конечного элемента и на его границах, который заключается в аппроксимации непосредственно самого вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через векторы перемещений узловых точек. Приводятся примеры расчета.

В шестой главе изложен вывод основных соотношений теории деформирования оболочек как трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении. Разработан алгоритм дискретного

продолжения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочки на основе метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке. Приведен пример расчета тонкостенной оболочки со значительными перемещениями, загруженной линейной нагрузкой.

В седьмой главе разработан алгоритм расчета на прочность конструкций из слоистых и разнородных материалов на основе восьмиузлового КЭ в геометрически линейной и нелинейной постановках. Разработан алгоритм формирования матриц жесткости и преобразования векторов узловых нагрузок восьмиузловых КЭ, расположенных на границе раздела слоев с различными физико-механическими свойствами. При формировании матрицы жесткости конечно-элементной модели рассчитываемой слоистой конструкции выполнялись преобразования узловых величин КЭ расположенных на границе раздела слоев с различными физико-механическими свойствами.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии, в частности, с темой 4.5 «Напряженно-деформированное состояние конструкций и оболочек при больших перемещениях с учетом упруго-пластического состояния материала».

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ

Инженерные задачи расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость, как правило, решаются методами строительной механики, которые позволяют получить численные результаты, необходимые проектировщикам. Среди других численных методов решения линейных и нелинейных задач наибольшее распространение получил метод конечных элементов. За последнее время благодаря использованию численных методов и в частности метода конечных элементов с применением ЭВМ получены решения многих трудных практических задач. ,

Впервые понятие конечных элементов было введено Тернером [359]. На первом этапе исследований различных конструкций использовались наиболее простые типы конечных элементов, как правило, одной мерности. Развитие вычислительной техники и увеличение мощности ЭВМ обусловили широкое внедрение в расчетную практику двумерных и трехмерных конечных элементов. Двумерные конечные элементы впервые были использованы для решения плоских задач теории упругости. В работах [3, 235, 265, 269, 367] для рассмотрения этого вопроса использовались плоские треугольные и прямоугольные конечные элементы. При расчете тонких пластинок на изгиб в работах [4, 131, 224, 314, 319] в качестве элементов дискретизации также были использованы плоские элементы треугольной и четырехугольной форм.

Плоские и криволинейные конечные элементы используются для анализа напряженно-деформированного состояния тонких оболочек [170, 235, 275, 281, 292, 353]. Теория оболочек представляет собой раздел прикладной механики деформируемого твердого тела, имеющей обширную область практического приложения метода конечных элементов [31, 35, 48, 59, 60, 70, 102, 117, 137, 183, 185,205].

В ряде исследований для анализа напряженно-деформированного состояния оболочек использовались плоские конечные элементы.

Для реализации конечно-элементной модели тонких оболочек вращения в [42] используется вариационный принцип Рейсснера с применением в качестве конечного элемента плоской треугольной пластинки. Основными узловыми неизвестными являются перемещения в вершинах треугольника и нормальные моменты в серединах каждой из сторон треугольного элемента.

В работе [361] при исследовании напряженно-деформированного состояния пластинок и цилиндрических оболочек с учетом физической нелинейности в качестве элемента дискретизации применяется четырехугольный неплоский элемент, являющийся комбинацией четырех плоских треугольных элементов.

Элементом дискретизации при расчете произвольных и цилиндрических оболочек в [51] являются соответственно плоские треугольник и прямоугольник. Основными узловыми неизвестными выбираются перемещения и первые производные нормального перемещения.

Анализ нескольких моделей плоского дискретного элемента применительно к расчету оболочек приводится в [57]. Наиболее эффективными предлагаются считать элементы в смешанной формулировке, основными узловыми неизвестными которых является перемещения и продольный изгибающий момент. Для расчета составных оболочек применяются элементы с использованием в качестве узловых варьируемых параметров перемещений и углов поворота нормали.

В [208] для исследования напряженно-деформированного состояния в физически и геометрически нелинейной постановке тонких неосесимметричных оболочек применяется плоский треугольный элемент. Использовалась шаговая схема нагружения. Перемещения внутри конечного элемента изменялись по линейному закону.

Трех узловой плоский треугольный элемент, сформированный на основе модифицированной формулировки Лагранжа используется в [316] для нелинейного анализа тонких слоистых пластин и оболочек. Предложенный

элемент является комбинацией изгибного элемента, построенного по теории изгиба пластин Кирхгофа и мембранного элемента по типу элемента Олмена.

Треугольные плоские конечные элементы используются в [357] для анализа НДС нелинейных слоистых композитных пластин и оболочек. Узловыми варьируемыми параметрами в углах треугольного КЭ принимаются компоненты вектора перемещения и три угла поворота. Характеристические матрицы формируются на основе модифицированного смешанного инкрементального вариационного принципа Хеллингера-Рейснера. Утверждается, что разработанные элементы обладают такими преимуществами как отсутствие сдвигового запирания, возможность учета смещения элемента как жесткого тела, способность адекватно описывать большие деформации.

Плоские трапециевидные дискретные элементы с пятью степенями свободы в узле использованы в [189] для исследования динамических состояний оболочек вращения. Функции формы представлены линейными полиномами (для мембранных степеней свободы) и неполными полиномами четвертой степени (для изгибных степеней свободы).

Плоские четырехугольные и треугольные конечные элементы используются в [69] для расчета цилиндрического резервуара с жидкостью на сейсмические воздействия.

Несмотря на огромное количество работ, в которых используются плоские элементы идея представления срединной поверхности оболочки в виде совокупности плоских треугольных и четырехугольных элементов имеет существенные недостатки, главным из которых является медленная сходимость вычислительного процесса в зонах концентрации напряжений. Следствием этого факта явилось появление широкого ряда исследований напряженно-деформированного состояния оболочек с использованием в качестве конечного элемента криволинейного фрагмента срединной поверхности оболочечной конструкции.

В работах [52, 216, 234, 254, 258, 273, 290, 326, 347, 356] для расчета тонких оболочек вращения в качестве конечного элемента использовался фрагмент срединной поверхности оболочки, выделенный плоскостями, параллельными оси вращения. Основными узловыми неизвестными являлись перемещения и угол поворота при осесимметричной нагрузке и три перемещения при произвольном нагружении. Для аппроксимации тангенциального перемещения по окружной координате при неосесимметричной нагрузке привлекались тригонометрические ряды, чаще ряды Фурье.

В [361] при исследовании процесса деформирования геометрически нелинейной, осесимметричной оболочки вращения используется конечный элемент в форме кольца с четырехугольным поперечным сечением. Неизвестными в узле являются перемещения. В качестве метода решения системы нелинейных уравнений применяется способ Ньютона-Рафсона.

Кольцевые конечные элементы в [244] использованы для анализа напряженно-деформированного состояния оболочки вращения при различных вариантах внешней нагрузки, за узловые неизвестные в окружностях выбирались перемещения и моменты.

Кольцевой конечный элемент применен в [191] к расчету осесимметричных оболочек с нелинейными свойствами материала. Основными узловыми неизвестными являются перемещения и угол поворота. Для нелинейного анализа деформирования привлекается теория пластичности без поверхности текучести, используется шаговый способ нагружения.

В [272] рассматривается расчет цилиндрической оболочки, опертой на диафрагмы. В качестве конечного элемента используется криволинейная полоска с 16-ю степенями свободы.

В работе [50] исследуется процесс деформирования цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями. Конечным элементом является прямоугольный элемент, границы которого совпадают с линиями главных

кривизн. Узловыми неизвестными выбирались три линейных перемещения, два угла поворота нормального смещения и кручение. Аппроксимирующие полиномы применяются в двух вариантах, причем одному из них соответствует учет смещений элемента как жесткого тела.

Ряд работ [251, 295, 303, 306, 318, 322] посвящен исследованию процессов деформирования произвольных оболочек при различных способах нагружения, в которых конечными элементами являются криволинейные фрагменты оболочек треугольной формы с различным числом степеней свободы в узле.

Семейство треугольных и четырехугольных изопараметрических конечных элементов с использованием гипотезы Рейсснера используются в [217] для анализа напряженно деформированного состояния оболочечных конструкций. В качестве основных узловых неизвестных применяются перемещения и два угла поворота.

Для анализа напряженно деформированного состояния пластинчатых конструкций в работе [129] применяется гибридный треугольный элемент, построенный на основе объединения плосконапряженного и изгибного дискретных элементов.

В [283] анализируется напряженно деформированное состояние оболочек вращения с локальными изменениями геометрии. В зависимости от формы геометрических несовершенств применяются два вида конечных элементов: фрагмент круговой оболочки вращения при осесимметричных изменениях геометрии и общий элемент в случаях произвольных локальных отклонений формы.

Вопросы расчета цилиндрической оболочки при неосесимметричном нагружении рассматривались в работах [21, 63]. В качестве конечного элемента использовался четырехугольный фрагмент цилиндра с различным числом степеней свободы в узле.

В [203] для исследования напряженно деформированного состояния соединений трубопроводов использован четырехугольный элемент произвольной оболочки вращения, основные характеристики которого получены на основе смешанного вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера.

В работе [227] на конкретных численных примерах показывается, что аппроксимация оболочечной конструкции ансамблем высокоточных элементов, использующих полиномы высокого порядка, приводит к получению более точных результатов при меньших размерах матрицы жесткости всей конструкции, по сравнению с применением большого числа сравнительно простых конечных элементов.

В работах [65, 66, 132] рассматриваются вопросы учета смещений элемента как жесткого целого применительно к четырехугольным криволинейным конечным элементам. Основными узловыми неизвестными в используемом элементе являются перемещения, а также первые и смешанная вторая производные нормального смещения. Учет шести смещений дискретного элемента как жесткого тела выполняется за счет расширения матрицы жесткости путем конгруэнтного преобразования или за счет строгого соблюдения условий совместности между элементами.

Четырехугольный криволинейный конечный элемент используется в [70, 190, 344] для построения конечно-элементных моделей оболочек вращения. Порядок матрицы жесткости в [70] - 36x36, основными узловыми варьируемыми параметрами здесь являются перемещения и их первые производные. При выводе матрицы жесткости учитываются смещения элемента как жесткого тела.

Расчеты оболочек в геометрически нелинейной постановке приведены в работах [180, 207, 217, 315, 226]. Срединная поверхность оболочки представляется либо совокупностью конических оболочек, либо последовательностью элементов с криволинейным меридианом. При этом, в

случае произвольного нагружения основные узловые неизвестные, которыми являются перемещения и углы поворота, а также внешние нагрузки разлагаются в ряд Фурье.

Для анализа напряженно-деформированного состояния оболочек с учетом геометрической нелинейности в [225] используется четырехугольный дискретный элемент. В качестве основных узловых неизвестных выбираются перемещения, их первые и смешанные производные. Порядок матрицы жесткости 48x48. Перемещения внутри элемента аппроксимируются произведением полиномов Эрмита.

Четырехугольный дискретный элемент с матрицей жесткости 20x20 применяется в [341] для анализа процесса деформирования цилиндрической оболочки с учетом геометрической нелинейности. Причем последняя учитывалась путем привлечения квадратичных членов углов поворота нормали.

Конечные элементы треугольной формы используются в [247, 307, 325] для исследования геометрически нелинейных оболочек при шаговом способе нагружения.

Напряженно-деформированное состояние геометрически нелинейных оболочек изучается в [136] с помощью двух типов конечного элемента: прямоугольника, преобразованного координатными линиями и треугольника, вершины которого лежат на гранях прямоугольника. Решение системы нелинейных уравнений осуществляется на основе линеаризации этих уравнений методом Ньютона - Рафсона.

В работе [289] исследуются большие прогибы и закритические деформации балок, пластин и оболочек МКЭ. Решение нелинейной задачи осуществляется также методом Ньютона - Рафсона.

В [336] для конечно - элементного анализа тонкостенных обол очечных конструкций с учетом геометрической нелинейности используется треугольный девятиузловой дискретный элемент.

Четырехугольный изопараметрический конечный элемент использован в [6] для расчета геометрически нелинейных оболочек. Для аппроксимации координат и перемещений внутри дискретного элемента применяются два типа интерполяционных полиномов: бикубический и усеченный бикубический полиномы.

В [351] предлагаются несложные низко порядковые конечные элементы для анализа значительных деформаций в виде плоского четырехугольника и объемного шестигранного элемента. Приводятся примеры расчета пластин и трехмерных тел. Учитывается геометрическая и физическая нелинейности с использованием пошаговой процедуры нагружения.

Вопросы устойчивости оболочек вращения рассматриваются в [9, 32, 40, 62, 123, 135, 212, 260, 294, 334]. Узловыми неизвестными конечных элементов выбирались перемещения и углы поворота. Поле перемещений аппроксимировалось рядами Фурье через неизвестные в узловых окружностях. В работе [334] количество степеней свободы элемента было увеличено за счет включения первых производных мембранных перемещений. Формирование матрицы жесткости выполнялось с учетом геометрической нелинейности оболочки.

Применение четырехугольных конечных элементов к расчету неосесимметрично нагруженных оболочек вращения рассматриваются в [323, 335]. Границы используемых дискретных элементов совпадают с линиями главных кривизн.

В [194] рассматриваются вопросы сходимости конечно-элементных моделей, разработанных на основе моментной схемы с учетом жестких смещений применительно к задачам статического расчета пластин и оболочек в линейной постановке. В качестве дискретного элемента используются криволинейные параллелепипеды. Расчет геометрически и физически нелинейных оболочек вращения сложной формы с применением МКЭ изложен в [47].

Вопросы деформирования и устойчивости конических оболочек с отверстиями рассматриваются в [114] в геометрически нелинейной постановке. В качестве элемента дискретизации выбирается четырехугольный фрагмент срединной поверхности оболочки.

В [365] для исследования деформирования осесимметричных оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей применяется трехузловой вырожденный изопараметрический конечный элемент.

В работах [201, 202, 203] к анализу напряженно-деформированного состояния сочлененных цилиндрических оболочек привлекается четырехугольный криволинейный дискретный элемент с пятью степенями свободы в узле. В качестве основных узловых неизвестных используются перемещения и два угла поворота. Учет смещений элемента как жесткого тела реализуется путем введения в интерполяционные выражения перемещений дополнительных функций.

Результаты экспериментальных значений напряжений сочлененных цилиндрических оболочек находящихся под внутренним давлением приводятся в [282], которые сравниваются с результатами полученными аналитически.

В [257] приводится аналитическое решение двух пересекающихся тонкостенных оболочек загруженных внутренним давлением. Записано уравнение кривой пересечения срединных поверхностей оболочек. Приводятся численные результаты расчета коэффициентов концентрации напряжений в кольцевом и меридиональном направлениях для углов пересечения оболочек 90, 75, 60, 45 и 30 градусов, соответственно. Для варианта пересечения под углом 90 градусов результаты сравнивались с аналогичным решением в [365].

Напряженно деформированное состояние области пересечения цилиндрической и эллиптической оболочек с радиальным цилиндрическим патрубком и при наличии тороидального перехода исследуется в [350] на основе использования четырех узлового криволинейного четырехугольного дискретного элемента.

Вопросы оптимизации полусферической оболочки с не радиально присоединенным патрубком, находящейся под действием внутреннего давления рассмотрены [338]. Конечно элементная дискретизация конструкции выполняется на базе восьми узловых изопараметрических оболочечных элементов двоякой кривизны.

Для определения критических нагрузок при разрыве пластин в [241] использовался треугольный конечный элемент. Приводятся примеры расчета.

Метод упругой компенсации предложен в [253] для определения негибкой границы предельных нагрузок тонких осесимметричных оболочек. Суть метода состоит в том, что на каждом шаге нагружения начальный модуль упругости в каждом элемент снижается пропорционально уровню накопленных напряжений. В качестве элемента дискретизации используется двух узловой осесимметричный оболочечный элемент SHELL 51, включенный в конечно элементный пакет ANS YS.

В [348] представлен анализ контактной задачи двух пластмассовых тел с резиновой прокладкой на основе конечно элементного пакета ANS YS.

Модифицированный изопараметрический конечный элемент четырехугольной формы используется в [264] для анализа тонких оболочек. Суть предложенной модификации заключается в дополнении несовместных перемещений, которые затем исключаются через статическую конденсацию. В качестве тестового примера приведен расчет коноидальной оболочки, нагруженной равномерным давлением.

В работе [53] представлен вывод функций перемещений для конечных элементов оболочки вращения как твердых тел в явном виде. Для аппроксимации мембранных перемещений используются билинейные зависимости, а для изгибных - бикубическая. В качестве примера решена задача об определении НДС сферической оболочки с круглым отверстием.

Нелинейные трехмерные конечно элементные модели, построенные на основе смешанной аппроксимации перемещений, используются в [22] для

расчета колебаний оболочек. В качестве примера рассмотрены колебания пластин.

При решении нелинейных статических задач МКЭ в работе [58, 223] используется метод продолжения решения по параметру, в качестве которого рекомендуется применять параметр длины вдоль кривой, образующей множество решений в евклидовом пространстве неизвестных и параметра задачи. Для учета физической нелинейности используется теория течения.

Сопоставление результатов экспериментов по нагружению тонких тороидальных оболочек равномерным внутренним давлением с результатами расчета методом конечных элементов представлено в [291]. Отмечена достаточно хорошая согласованность численных результатов с результатами, полученными опытным путем.

Восьмиузловой изопараметрический конечный элемент, построенный с использованием неявной схемы, применяется в [355] для расчета конструкций из анизотропных материалов, допускающих большие перемещения и конечные повороты с малыми деформациями.

Статические и динамические расчеты слоистых композитных пластин и оболочек выполняются в [242] при использовании новых сдвиговых конечных элементов треугольной и четырехугольной форм. В качестве аппроксимирующих функций выбираются полиномы Эрмита высокого порядка.

В работе [330] подробно обсуждаются вопросы применения метода конечных элементов для исследования нелинейного деформирования твердых тел. Особое внимание уделено проблемам статического анализа конструкций, испытывающих упругопластические деформации, вопросам построения оптимальных сеток, схемам итерационного решения систем конечно элементных уравнений, оценкам погрешности численного решения МКЭ конструкций из упругопластического материала.

В [243] построены локальные искусственные краевые условия высокого порядка и получены оценки погрешности конечно-элементной аппроксимации конечных элементов для несжимаемых упругих материалов в неограниченной области. Описаны методы аппроксимации в ограниченной и неограниченной областях.

Вопросам оценки погрешности метода конечных элементов, проблемам построения оптимальных конечно элементных сеток посвящены работы [301, 311, 340]. Обсуждаются проблемы оценки погрешностей метода конечных элементов в [333].

Треугольные и четырехугольные конечные элементы иерархического типа используются в [200] для решения статических задач теории оболочек. В качестве неизвестных параметров выбираются узловые значения искомой функции и обобщенные координаты. Показано, что с повышением степени аппроксимирующих функций не возникает проблемы «заклинивания», характерной при использовании теории Тимошенко для расчета тонких оболочек.

В работе [304] для расчета однородных и композитных слоистых оболочек с большими перемещениями предложен девяти узловой четырехугольный криволинейный элемент с шестью варьируемыми параметрами в каждом узле. Эффект «запирания» конечно элементного расчета устраняется с помощью метода допустимых деформаций с рациональным выбором узловых точек.

В работе [56] обсуждаются аспекты определения конечных вязкопластических деформаций тонких оболочек с учетом изменения толщины стенок. Градиент деформации разделен на упругую и неупругую части. Конечно-элементное решение задачи основывается на применении четырех узлового криволинейного четырехугольного дискретного элемента. В качестве тестовых примеров рассмотрены большие вязкопластические деформации цилиндра и полусферы.

Два типа конечных элементов используется в [305] для решения плоских упругопластических задач. Доказывается, что если пространственная область дискретизируется прямоугольниками или параллелограммами, то не существует ограничений степени элементов. В случае применения треугольных элементов возможно эффективное использование только определенных комбинаций аппроксимирующих функций.

В работе [263] анализируется методики расчета тонких оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа - Лява - Койтера и модели Коссера, развитой позднее Нагда. Для успешного применения последней методики необходимо преодоление сдвигового и мембранного «запираний». С этой целью предложено использовать конечные элементы иерархического типа с непрерывностью класса С0, эффективность которых показана на примерах расчета цилиндрических оболочек.

Для геометрически нелинейного анализа оболочек в работе [262] предложен четырехузловой гибридный четырехугольный вырожденный дискретный элемент. Узловыми неизвестными выбираются компоненты вектора перемещения и два угла поворота. Для предотвращения сдвигового запирания в общую формулировку Лагранжа включены несовместные моды перемещений.

Вопросы построения адаптивных сеток при конечно элементном анализе нелинейных оболочек рассматриваются в [325]. Новация методики заключается в переразмещении узлов исходной сетки с сохранением ее первоначальных топологических свойств.

Гибридные конечные элементы с регулируемыми степенями свободы используются в [345] для нелинейного анализа оболочек. Представлены сравнительные расчеты кольцевой пластины, цилиндрической и полусферической оболочек, выполненные с помощью четырех - девяти узловых дискретных элементов.

В работе [293] представлен вариант четырех узловых оболочечных четырехугольных элементов с шестью варьируемыми параметрами, которые применяются для расчета оболочек с учетом изменения толщины в сочетании со специфическими функциями перемещений.

Вопросы динамики упругих оболочек с конечными вращениями изложены в [255]. Дискретизация оболочки выполняется четырех узловыми изопараметрическими четырехугольными элементами с пятью степенями свободы в узле.

В [296] представлена вязкоупругая модель конечных деформаций резиновых мембран. В качестве численного метода используется МКЭ с использованием общей и модифицированной формулировок Лагранжа.

В [184, 332] для расчета оболочек сложной геометрии в линейной постановке предлагается новая модель изопараметрического четырехугольного конечного элемента. В качестве функций формы используется билинейные функции и полиномы третьей степени.

Неполиномиальные функции формы используются в [39] для построения четырехугольных изопараметрических конечных элементов с произвольным числом граничных узлов. На основе проведения численных экспериментов доказана эффективность предложенного расчленения сдвиговой матрицы жесткости с последующим отдельным интегрированием при отсутствии нулевых энергетических мод.

В [210] рассматривается модификация гибридного конечного элемента для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами. Разработана матрица жесткости конечного элемента произвольной треугольной формы с пятью степенями своды в узле.

В работе [134] изложена методика расчета цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием. Для учета физической нелинейности материала используются теория течения и деформационная теория пластичности.

Произвольные формы потери устойчивости трехслойных оболочек исследуются в [19] с помощью специального конечного элемента трехслойной оболочки, являющегося комбинацией трех конечных элементов. Для дискретизации несущих слоев используются 9-узловые слоистые элементы оболочек, построенные на основе гипотезы единой прямой линии типа Тимошенко. В качестве узловых неизвестных выбираются 3 компоненты вектора перемещения и два угла поворота нормали.

В работе [198] для конечных элементов треугольной и четырехугольной форм предлагается способ построения аппроксимирующих функций класса С0. В качестве базисных функций используются степенные и тригонометрические функции, которые применялись для построения конечных элементов на основе теории оболочек с учетом сдвигов. Узловыми неизвестными рассматриваемых дискретных элементов выбирались три компоненты вектора перемещений и три угла поворота.

В [339] используется комбинация метода конечных и метода граничных элементов для решения задач термоупругости. Приводятся пример расчета. Предполагается развитие предложенного способа в трехмерной постановке.

В [275] использовался четырехугольный конечный элемент для расчета тонкостенных и средней толщины оболочек, за узловые неизвестные выбирались компоненты вектора перемещений точки срединной поверхности. Напряженно-деформированное состояние оболочек средней толщины исследуется в [229] на базе варианта МКЭ, основанного на представлении решения в виде интерполяционного кубического сплайна двух переменных.

В работах [7, 44, 195, 219] представлены характеристики программных комплексов, созданных на основе МКЭ и предназначенных для исследования статического и динамического деформирования оболочечных систем в нелинейной постановке.

В работе [33] для моделирования тонкостенных конструкций с "прощелкиванием" предлагается процедура шагового нагружения,

сочетающаяся с вариантом метода продолжения по параметру. Разрешающие уравнения на шаге нагружения получены в базисе деформированного состояния. Для дискретизации оболочки используются 9-ти узловой изопараметрический конечный элемент с аппроксимацией биквадратными полиномами.

Сплайновый вариант МКЭ в трехмерной постановке используется в [230] для исследования зон концентрации напряжений в оболочечных системах с учетом их коррозийного износа.

Метод конечных элементов также достаточно часто используется и в решении трехмерных задач строительной механики [73, 148, 299, 308, 277]. Объемные задачи охватывают почти все практические случаи расчета на прочность инженерных сооружений. Сооружение рассматривается как некоторая совокупность конструктивных объемных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. В качестве конечных элементов используются тетраэдры, элементы в форме треугольной призмы и объемные восьмиузловые конечные элементы.

Наиболее простым элементом для решения объемных задач строительной механики является тетраэдр - элемент за узловые неизвестные, которого выбирались компоненты вектора перемещения.

В [308] с использованием тетраэдального конечного элемента предложена процедура усовершенствования трехмерной дискретной модели за счет поочередного разделения отдельных элементов на тетраэдры меньшей формы, с увеличением количества конечных элементов в местах возможной концентрации напряжений.

В [252] обсуждается проблема моделирования затвердевания тел на основе метода конечных элементов в двумерной и трехмерной постановке. В решении трехмерной задачи использовался четырехгранный конечный элемент.

Трехмерные изопараметрические квадратичные элементы используются в [33] для исследования нелинейного деформирования средней и большой толщины пластин из несжимаемых материалов.

Конечно-элементная аппроксимация трехмерных полей напряжений в анизотропных клиньях и соединениях предложена в [327]. Задача представляется в двумерной геометрии, которая являлась призматической в третьем направлении. Конечные элементы представлены секторами круга с тремя узловыми точками. Приводятся примеры расчета цилиндрических трехмерных анизотропных тел.

Для исследования напряженно деформированного состояния двух пересеченных цилиндрических оболочек в [286] использовался шестигранный конечный элемент, за узловые неизвестные которого выбирались компоненты вектора перемещения, результаты решения сравниваются с результатами, полученными независимыми исследователями.

В [277] разработан шестигранный конечный элемент, основанный на теории Симо [349], за узловые неизвестные которого выбирались компоненты вектора перемещения. Обсуждались преимущества и недостатки различного учета значительных деформаций для конечного элемента в виде параллелепипеда.

Сравнение трехмерных конечных элементов и двумерных элементов для оболочек приводится в [363]. В геометрически линейных задачах по расчету тонких оболочек, показана эффективность восьмиугольного конечного элемента в сравнении с четырехугольным элементом при одинаковом количестве узловых неизвестных. По толщине оболочка представлялась одним элементом. Приводятся примеры расчета тонких оболочек.

Трехмерные задачи динамического деформирования композитных пластин и оболочек решаются в [13] при помощи восьмиузлового изопараметрического конечного элемента.

Значительное число работ [49, 145, 150, 151, 152, 159, 209] посвящено вопросам методики построения трехмерных конечных элементов, проблемам построения аппроксимирующих функций, оценкам точности расчета применительно к задачам расчета прочности оболочек.

Анализ вышеперечисленных работ показывает, что к настоящему времени для расчета инженерных конструкций на основе МКЭ используется весьма широкий набор типов конечных элементов, различающихся между собой формой, количеством узловых варьируемых параметров, видом аппроксимирующих функций. Приведенные конкретные расчеты на прочность и устойчивость конструкций, для которых имеются аналитические решения или приводятся результаты, подтвержденные экспериментальными данными, позволяют сделать вывод о достаточной точности разработанных конечных элементов, используемых в инженерной практике. В то же время остается ряд весьма важных проблем, которые требуют принципиально новых решений.

Большинство встречающихся на практике оболочек принадлежит к числу тонких оболочек, что позволяет для их прочностного расчета использовать классическую теорию тонких оболочек, основанную на ряде допущений [1, 10, 18, 31, 171, 215, 221, 271, 284, 321 и др.]. При классическом подходе к построению теории о деформировании оболочечного тела судят по деформированию срединной поверхности пластины или оболочки, что приводит к решению задачи в двумерной постановке. Чаще других используется теория пластин и оболочек, в основу которой положены соотношения упругости трехмерного тела, не допускающие поперечных деформаций [25, 27, 38, 167, 176, 211]. Эти допущения очень мало сказываются на точности расчета тонких изотропных оболочек и позволяют значительно упростить теорию оболочек.

Использование классической теории в оболочках, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, приводит к значительным погрешностям в расчетах. Значительную трудность представляет собой

использование теории тонких оболочек в исследовании напряженно-деформированного состояния композитных оболочек и оболочек ступенчатой толщины, так как в этом случае приходится учитывать деформации сдвига. Более совершенной с точки зрения физического смысла является теория, основанная на представлении оболочки как трехмерного тела, так как такое представление оболочки более полно отражает ее реальные свойства [146, 147, 178].

Одной из наиболее сложных проблем является проблема учета смещений конечного элемента как жесткого целого. На наличие проблемы учета смещения как жесткого целого указывается [65, 132, 201, 202, 204, 270, 320]. В [53, 194, 195, 201, 202, 259, 270] учет жесткого смещения дискретных элементов в явной форме предлагался путем построения соответствующих интерполяционных полиномов посредством разложения функций деформаций и перемещений в степенной ряд с последующим выделением членов ряда, определяющих жесткое смещение элемента. Все эти вышеупомянутые приемы и подобные им [50, 65, 66] имеют достаточно узкий диапазон использования и не могут претендовать на общее решение проблемы.

При построении функций формы треугольных областей конечных элементов (двумерный треугольный конечный элемент, тетраэдр, конечный элемент в виде треугольной призмы) на основе полных полиномов третьей и пятой степени возникает проблема несоответствия количества узловых варьируемых параметров треугольных дискретных элементов количеству искомых коэффициентов полных полиномов [54, 327]. Для решения данной проблемы предлагаются различные способы такие, например, как использование в качестве дополнительного неизвестного перемещения центра тяжести треугольного элемента с размером матрицы жесткости 27x27 [284]. Ограничение степени интерполяционных функций для элемента, в столбец узловых варьируемых параметров которого включены компоненты вектора перемещения, а также их первые и вторые производные [271]. В подавляющем

числе работ отечественных и зарубежных авторов используются дискретные элементы, узловыми неизвестными которых выбираются компоненты вектора перемещения для объемных конечных элементов и компоненты вектора перемещения с первыми производными для решения задач в двумерной постановке, в то же время ряд исследований указывает на эффективность использования в расчетах более сложных элементов [227].

Геометрические характеристики во внутренних точках элемента аппроксимируются через узловые значения с помощью интерполяционных полиномов, а не вычисляются по точным формулам. В последнее время появились работы по оболочкам, в которых для дискретизации используются конечные элементы со вторыми производными нормальной компоненты вектора перемещения, а геометрические параметры внутренней области элемента вычисляются по точным формулам [10-15, 74-101, 142, 143].

Имеется незначительное число опубликованных работ по исследованию напряженно деформированного состояния достаточно тонких оболочек в трехмерной постановке, оболочек со ступенчатым изменением толщины стенок, с учетом накладок, с несовершенством геометрии формы. Мало работ по расчету на прочность оболочек с большими градиентами кривизны срединной поверхности и отрицательной гауссовой кривизны.

Указанные обстоятельства требуют дальнейшего развития теории метода конечных элементов в исследованиях линейного и нелинейного деформирования инженерных конструкций, тонкостенных оболочек, создания алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных трехмерных конечных элементов с использованием функций формы, позволяющих учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого и внедрения разработанных алгоритмов в практику инженерных расчетов.

В настоящей работе разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости высокоточных конечных элементов в виде тетраэдра, треугольной призмы и объемного восьмиузлового шестигранника. За узловые неизвестные

трехмерных КЭ выбирались компоненты вектора перемещения и их первые производные. Эффективность использования такого типа элементов показана на ряде тестовых и практических задач по расчету на прочность трехмерных упругих тел и тонкостенных конструкций.

Предложен принципиально новый способ векторной аппроксимации полей перемещений КЭ. Обычно в теории и практике конечно-элементных алгоритмов каждая отдельная компонента вектора перемещений аппроксимируется через узловые значения этой же компоненты. В предложенном способе аппроксимации на этапе записи интерполяционного выражения аппроксимируется непосредственно вектор перемещения внутренней точки конечного элемента через векторы перемещений узловых точек. На основе предложенного способа аппроксимации векторов перемещений разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиузлового объемного конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались векторы перемещений и их первые производные в глобальной системе координат, который позволяет учитывать смещения как жесткого целого самой конструкции или отдельного элемента. На конкретных примерах расчета показана эффективность определения НДС конструкций, при их значительных смещениях как жесткого целого, в то время как результаты расчетов, полученные при использовании МКЭ на основе традиционного способа аппроксимации оказываются неприемлемыми.

Предложены новые варианты формирования функций формы для конечных элементов в виде тетраэдра и призмы с треугольным основанием, основанные на включении в вектор-столбец узловых варьируемых параметров дополнительных смешанных производных перемещений высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей. Приводятся примеры расчета напряженно-деформированного состояния объемных трехмерных тел и примеры расчета достаточно тонких оболочек с использованием трехмерной теории упругости.

Для восьмиузлового конечного элемента на границе сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки. На примере расчета показана возможность определения НДС в зоне сочленения пересекающихся оболочек.

На основе соотношений теории деформирования трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке разработан алгоритм формирования матрицы жесткости восьмиузлового конечного элемента при шаговом нагружении, за узловые неизвестные КЭ выбирались приращения компонентов вектора перемещения и их первые производные. Разработан алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки деформированной оболочки на основе метода конечных элементов в геометрически нелинейной постановке. Приведен пример расчета тонкостенной оболочки как трехмерного тела, загруженной линейной нагрузкой в геометрически нелинейной постановке.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Основные соотношения теории тонких непологих оболочек произвольного очертания

2.1.1. Геометрия произвольной оболочки в исходном состоянии.

Срединная поверхность произвольной непологой оболочки в исходном состоянии, может быть задана в декартовой системе координат х1, х2, х3 векторным уравнением (рис. 2.1)

где

Я" - радиус-вектор описывающий срединную поверхность оболочки; хк, ¡к - соответственно координаты и орты декартовой системы координат;

в" - криволинейные координаты, определяющие положение точек срединной поверхности; к=1,2,3; а=1,2.

Здесь и далее по тексту латинские индексы будут принимать значения 1, 2, 3, а греческие индексы -1,2.

Поочередным дифференцированием (2.1.1) по криволинейным

координатам 0а можно получить ковариантные векторы локального базиса

В 2.1.2 и далее по тексту нижние символы после запятой обозначают дифференцирование по соответствующей координате, а индексы 1,2

(2.1.1)

дхк т

(2.1.2)

два

соответствуют направлениям $ и в2.

Рис. 2.1. Срединная поверхность непологой оболочки в декартовой системе координат х1, х2, х3

Рис. 2.2. Перемещение точки срединной поверхности оболочки в результате деформации

Орт нормали к срединной поверхности произвольной оболочки

определится векторным произведением о _ <3,° х а2 _ а° х а2

а =

а° х а\

(2.1.3)

где а0 = ахха22 - ах2а°2] - детерминант метрического тензора, отнесенного к срединной поверхности произвольной оболочки.

Ковариантные компоненты метрического тензора определяются скалярными произведениями базисных векторов

aaß=aßa=aa-aß. (2.1.4)

Контравариантные компоненты метрического тензора и контравариантные векторы взаимного базиса определяются из уравнений

о о

011 _ а22 . 022 _ а\\ .

я0'

до,2 = ат = zA-

а (2.1.5)

-:0а О aß ->0

а =а -aß.

Ковариантные и смешанные компоненты тензора кривизны определяются выражениями

Ь?=а>*Ь%. (2.1.6)

Дифференцированием (2.1.2) и (2.1.3) по криволинейным координатам ва можно получить производные векторов локального базиса

— 0 т-'Оу —0 , I 0 —0

а\ = Г „а +Ь м ;

a,ß aß у aß '

¿ХЧ' (2-1.7)

Входящие в (2.1.7) символы Кристоффеля второго рода определяются через символы Кристоффеля первого рода

(2.1.8)

где Г^ - символы Кристоффеля первого рода, определяемые из выражения

= \ (aaß,P + üaP,ß ~ aßP,a } (2-1 -9)

Положение точки М0<, расположенной на расстоянии С, от срединной поверхности оболочки, определяется радиус-вектором

R0(=R°+@°, (2.1.10)

где С, - является переменной величиной, определяющей положение точки в пределах толщины оболочки.

В результате дифференцирования (2.1.10) можно получить ковариантные векторы базиса

gl = (2.1.11)

Ко- и контравариантные компоненты метрического тензора в исходном состоянии равны

о _ -о -о,

о aß Оа Ö/J'

а0аа — а° /а0'

S ~ Sßß' S >

g*aß = goßa=-g:ßlg° (при a*ß\ (2.1.12)

0 0 0 0 0 где g =gug22~gug2r

2.1.2. Геометрия оболочки в деформированном состоянии. В

результате деформации оболочка переместится, точки и соответствующая ей точка срединной поверхности Ь/Р займут новые положения, соответственно М^ и М. Радиус-вектор (рис. 2.2), определяющий положение точки срединной поверхности после деформации будет представлен суммой векторов

Я = + (2.1.13)

где V - вектор, характеризующий перемещение точки срединной поверхности, определяемый в исходном базисе векторов

V = и'а* +и2а1+иъа\ (2.1.14)

Величины и1,и2,и3 (2.1.14) являются компонентами вектора перемещений вдоль координатных линий ё, ёи вдоль нормали, соответственно.

В результате дифференцирования (2.1.14) принимая во внимание (2.1.7)

можно получить первые и вторые производные вектора перемещений V по криволинейным координатам ё, $

т} Л-гО . Л . . 0.

V, = г,а, + 1ха2 + t^a ;

т/ ,1—0 . .2-х о . , — 0.

V 2 =t2a^ + а2 ;

(2.1.15)

V — ^ Л0 л-t1л(>-^-t • 22 22 1 22 2 22^*^ )

У12 =^2а1° +^2а°2 +гпа°, где ^ ^а^ар^а/з " многочлены, содержащие компоненты вектора

перемещений их первые и вторые производные.

Ковариантные вектора локального базиса в деформированном состоянии определяются из выражения

Зв=Л>в=5«+Кв. (2.1.16)

Орт нормали к срединной поверхности произвольной оболочки в деформированном состоянии будет равен

а = (2.1.17)

л/а

где а = аиа22 - апа2х - детерминант метрического тензора, отнесенного к срединной поверхности в деформированном состоянии.

Положение точки, расположенной на расстоянии £ от срединной поверхности деформированной оболочки, с учетом гипотезы Кирхгофа о прямолинейности нормалей в исходном и деформированном состояниях, определяется радиус-вектором

+ (2.1.18) который с учетом (2.1.13) может быть представлен в виде

& +У + &. (2.1.19)

Дифференцированием (2.1.19) по криволинейным координатам в" можно получить выражения для базисных векторов §а в деформированном состоянии

(2.1.20)

Производную орта нормали в (2.1.20) можно получить дифференцированием (2.1.17)

ах х а2 + ах х а2 ( а,а = - '

Ковариантные компоненты тензора деформаций для точки срединной поверхности определяются с использованием соотношений механики сплошной среды [173]

--( - 0 ^ 8 ар ~ 2 Уа<*Р ааРГ

(2.1.22)

(2.1.23)

С учетом (2.1.22) детерминант метрического тензора деформированной срединной поверхности в (2.1.17) можно представить соотношением

а = аиа22 - апа2Х = (2еи + а°п\2б22 + а°22 )--{2£Х2+а0и\2б2Х+ай2Х\

которое без учета нелинейных членов примет вид

а = а + 2(£иа°22 + е22а°хх - £пап) = а0(1 + 2еаа).

Используя приближенные равенства

у!\ + с «1 + -; 1

(2.1.24)

1-е,

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Киселёв, Анатолий Петрович

Выводы по главе

1. Полученные зависимости между перемещениями и их первыми производными на границе слоев материалов с различными физико-механическими свойствами, позволяют преобразование матриц жесткости и узловых усилий КЭ, примыкающих к границам.

2. Использование в расчетах КЭ на основе разработанных алгоритмов позволяет более корректно определять НДС инженерных конструкций слоистой структуры в трехмерной постановке и может эффективно применяться в практике инженерных расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработанный способ векторной аппроксимации полей перемещений позволяет выразить каждую компоненту вектора перемещения внутренней точки КЭ через узловые неизвестные всех компонент векторов перемещений.

2. Разработанные высокоточные КЭ в форме тетраэдра, треугольной призмы и восьмиузлового шестигранника на основе векторной аппроксимации полей перемещений позволяют в полной мере учитывать смещение КЭ и всей конструкции как жесткого целого.

3. Разработанные трехмерные КЭ, узловыми неизвестными которых являются перемещения и их первые производные, пригодны для использования в расчетах на прочность тонкостенных конструкций без привлечения гипотезы о прямолинейности нормали в процессе деформирования.

4. Полученные соотношения для преобразования перемещений и их производных в различных системах координат позволяют преобразование матриц жесткости и векторов усилий КЭ для использования их при исследовании НДС в зонах сочленения пересекающихся оболочек.

5. Разработанный на шаге нагружения КЭ, за узловые неизвестные которого выбирались приращения компонент вектора перемещений и их первые производные, позволяет определение НДС конструкций, в том числе и тонкостенных оболочек в геометрически нелинейной постановке.

6. Полученные зависимости между перемещениями и их производными на границе слоев материалов с различными физико-механическими свойствами, позволяют преобразование матриц жесткости и узловых усилий КЭ, примыкающих к границам, что приводит к корректному определению НДС слоистых структур.

7. Разработанные программные модули по формированию матриц жесткости трехмерных КЭ различных конфигураций пригодны для использования в практических расчетах на прочность однородных упругих и слоистых конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках при статической нагрузке.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Киселёв, Анатолий Петрович, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Дерюга. - Москва : Наука, 1978.-288 с.

2. Александров, А. В. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек / А. В. Александров // Труды моек, ин-та инж. транспорта. -1971.-№364.-с. 3-10.

3. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин / А. В. Александров, Н. Н. Шапошников // Труды моек, ин-та инж. транспорта. - 1966. -№ 194.-е. 50-67.

4. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Дж. Аргирис, Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - Л., 1974. - 4.1. -с. 179-210.

5. Астрахарчик, С. В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны / С. В. Астрахарчик, Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН. МТТ. - 1994. - № 2. - С. 102-108.

6. Баженов, В. Г. Метод конечных элементов во нестационарных задачах устойчивости и разрушения конструкций / В. Г. Баженов, А. И. Кибец, Ю. И. Кибец // 18-я Международная конференция «Мат. моделирование в механике деформированных тел. Методы граничных и конечных элементов», 23-26 июня 1998.-Ч. 2.-е. 39-40.

7. Баженов, В. Г. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций / В. Г. Баженов, Д. Т. Чекмарев // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. / Казань, 2000. - с. 50-64.

8. Баженов, В. А. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости упругих оболочек на основе оболочечной и пространственной конечно-элементных моделей / В. А. Баженов, Н. А. Соловей и др. // Труды V

междунар. научно-практ. конференции «Инженерные системы - 2012». - г. Москва, РУДН. - 2012. - с. 162-168.

9. Бандурин, Н. Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение. -1980.-№21.-с. 225-236.

10. Бандурин, Н. Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Пробл. Прочности. - 1980. - №5. -с. 104-108.

11. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. - 1981. - № 5. - с. 26-31.

12. Бандурин, Н. Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, И. К. Торунов // Прикл. механика. - 1980. - т. 16. - № З.-с. 50-55.

13. Бандурин, Н.Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. - 1985. - № 3.- с. 24-27.

14. Бандурин, Н. Г. К применению МКЭ для исследования процесса деформирования твердого тела шаговым методом на основе уравнения механики сплошной среды. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Ю. В. Клочков // Материалы XI. «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности». - Новосибирск, 1990.- с. 22-26.

15. Бате К. - Ю. Методы конечных элементов / К. - Ю. Бате. - М. Физматлит, 2010. - 1022 с. (пер. с англ.).

16. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975. -631 с.

17. Беляев, Н. М. Сопротивление материалов/ Н. М. Беляев. - М.: Наука, 1976.-607с.

18. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций / В. JL Бидерман. -М.: Машиностроение. - 1977. - 488 с.

19. Бобров, С. Н. Произвольные формы потери устойчивости трехслойных оболочек и их конечно-элементный анализ / С. Н. Бобров [и др.] // В сб.: Труды XVII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ, -1997. -с. 54.-59.

20. Богартычук, А. С. Применение метода конечных элементов к расчету трансверсально - изотропной цилиндрической оболочки с отверстием / А. С. Богартычук, К. Н. Шнеренко // Прикл. Мех. - 1987. - Т.23. - № 12. - с. 125-128.

21. Богнер, Ф. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов / Ф. Богнер, (Bogner F. К.), Р. Фокс (Fox R. L.), JL Шмит (Schmit L. А.) // Ракетная техника и космонавтика. - 1967. - № 4. - с. 170-175.

22. Борискин, О. Ф. Барышникова О.О. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений / О. Ф. Борискин, О. О. Барышникова // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. -2000. - № 4 - с. 23-31.

23. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М.: Наука, 1980. - 973 с.

24. Вайнберг, Д. В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д. В. Вайнберг [и др.] // Прикл. механика. - 1972. - т.8. -№8. -с. 3-28.

25. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения различных

вариантов теории оболочек / И. Н. Векуа. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

/

26. Веселов, Ю. А. Формирование гибридной матрицы жесткости трехслойного ортотропного многоугольного конечного элемента / Ю. А. Веселов // Изв. вузов. Сер.: Строительство. - 1993. - № 11-12. - с. 119-125.

27. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. -М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

28. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. - М.: Гостехиздат, 1956. -420 с.

29. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К. 3. Галимов. - Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. - 326 с.

30. Галимов, К. 3. Некоторые вопросы нелинейной теории тонких оболочек / К. 3. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань, 1981. - № 6. - с.7-29.

31. Голованов, А. И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек / А. И. Голованов, М. С. Корнишин. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1990.-269 с.

32. Голованов, А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами / А. И. Голованов // Строит, механика и расчет сооружений. - 1992. - № 2. - с. 51-55.

33. Голованов, А. И. Исследование нелинейного деформирования пластин и оболочек из несжимаемых материалов МКЭ / А. И. Голованов, М. Г. Гуриелидзе // В сб. Современные проблемы механики и прикладной математики. - Воронеж, ВГУ, 1998. - 73 с.

34. Голованов, А. И. Исследование критических деформаций оболочек / А. И. Голованов, О. Н. Гурьянова // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. - Казань, 2000. - с. 178-183.

35. Голованов, А. И. Исследование геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек малой и средней толщины МКЭ / А. И. Голованов, О. Н. Гурьянова // Изв. вузов. Сер.: Авиац. техн. 2000. - № 2. - с. 7-10.

36. ГОСТ 14249-89. Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность.

37. Гнитько, В. И. Термоупругопластическое деформирование разветвленных оболочек вращения при несимметричном нагружении / В. И. Гнитько, Е. В. Еселева // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. науч. тр. - Казань, 2000. - с. 173-177.

38. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек / А. А. Гольденвейзер. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

39. Горшков, А. П. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов / А. П. Горшков, И. Ю. Колесников // Изв. АН. МТТ. - 1998. -№ 1. - с. 116-128.

40. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. - М.: Наука, 1978. - 360 с.

41. Григолюк, Э. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э. И. Григолюк, В. И. Мамай. - М. Наука: Физматлит., 1997. -272 с.

42. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента / Я. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикл. мех. - 1979. -т.15. - № 7. - с. 3-10.

43. Григоренко, Я. М. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек / Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко. - М.: Наука 1992. - 336 с.

44. Губелидзе, 3. Б. Система автоматизации прочностных расчетов неосимметричных многослойных оболочек. (САПР - IBM). / 3. Б. Губелидзе // Мат. моделирование в механике деформированных тел. Методы граничных и конечных элементов. Сб. тр. Междунар. конфер. - 23-26 июня 1998. - Т.1 - с. 5152.

45. Гузь, А. Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, К. И. Шнеренко. - Киев: Наукова думка, 1970. - 324 с.

46. Гузь, А. Н. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А. Н. Гузь [и др.]. - Киев: Наукова думка, 1980. - 635 с.

47. Гуляр, А. М. Влияние учета физической и геометрической нелинейностей на оценку критической нагрузки оболочек вращения сложной формы / А. М. Гуляр, А. С. Сахаров. // Сопротивл. материалов и теория сооруж. -Киев, 1980.-№37.-с. 8-11.

48. Даутов, Р. 3. Локальное сгущение конечных элементов при расчете оболочек / Р. 3. Даутов, Н. М. Якупов // Прикл. пробл. проч. и пластич. - 1998. -№55.-с. 88-91.

49. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. - М.: Мир, 1976. -

96 с.

50. Длугач, М. И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями / М. И. Длугач // Прикл. механика. - 1973. — т. 11. -№ 11.-е. 35-41.

51. Евзеров, И. Д. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки / И. Д. Евзеров, В. С. 3Доренко // Строит, механика и расчет сооружений. - 1984. - № 1.-е. 35-40.

52. Железнов, Л. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричным нагружении методом конечных элементов / Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. -1981. -№ 3.-е. 49-54.

53. Железнов, Л. П. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твердых тел / Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. Ан СССР. МТТ. 1990. -№ 1.-е. 131-136.

54. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 542с. (пер. с англ.).

55. Зубчанинов, В. Г. К вопросу устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек при сложном докритическом нагружении / В. Г. Зубчанинов, Н. Л. Охлопков, В. В. Гараников // Изв. вузов. Стр-во. - 1996. - № 11-12.-с. 26-31.

56. Зубчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности / В. Г. Зубчанинов. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

57. Зуев, Б. И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций / Б. И. Зуев [и др.] // В сб.: Метод конеч. элем, в строит, мех. - Горький, 1975. - с. 149-163.

58. Зуев, Н. Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н. Н. Зуев [и др.] // Изв. АН. МТТ. 1997. - № 6. - с. 137-147.

59. Игнатьев, В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек В. А. Игнатьев. - Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. - 180 с.

60. Игнатьев, В. А., Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластисто-стержневой структуры / В. А. Игнатьев [и др.]. - М.: Стройиздат, 1996. - 559 с.

61. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

62. Кабанов, В. В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов / В. В. Кабанов, JL П. Железное // Прикл. механика. - 1978. - Т. 14. - № 3. - с. 45-52.

63. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В. В. Кабанов // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. -Куйбышев, 1979. - № 25. - с. 35-43.

64. Канн, С. Н. Строительная механика оболочек / С. Н. Канн. - М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

65. Кантин, Г. ( G. Cantin ) Смещение криволинейных элементов как жесткого целого / Г. Кантин, ( G. Cantin ) // Ракетная техника и космонавтика. -1970.-№ 7.-с. 84-88.

66. Кантин, Г. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки / Г. Кантин ( G. Cantin ), Р. Клауф ( R. W. Clough ) // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. - № 6. - с. 82-87.

67. Капустин, С. А. Численный анализ несущей способности оболочечных конструкций при квазистатических нагружениях / С. А. Капустин, Ю. А. Чурилов // Актуальные проблемы механики оболочек: Сб. науч. тр. междунар. конф. - Казань, 2000. - с. 226-231.

68. Кармишин, А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Кармишин [и др.]. - М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

69. Карпенко, H. Н. Расчет цилиндрической оболочки на сейсмические воздействия / H. Н. Карпенко, С. Ф. Клованич // Изв. Вузов. Строит-во. - 1998. -№ 3. - с. 103-107.

70. Кей, С. В. Бейсенджер З.Е. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // В сб.: Расчет упругих

конструкций с использованием ЭВМ. - Д., 1974. - т. 1.-е. 151-178. (пер. с англ.).

71. Киричевский, В. В. Исследование сходимости при решении трехмерных задач методом конечного элемента / В. В. Киричевский, А. С. Сахаров // Сопр. матер, и теор. сооружений. - Киев, 1975. - вып. 25.-е. 91-97.

72. Кибец, А. И. Анализ точности моментной схемы МКЭ решения трехмерных нестационарных задач упругопластического деформирования тонкостенных конструкций : Сб. тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин / А. И. Кибец. - Нижний Новгород, 1993. - т. 1.-е. 108-113.

73. Кибец, А. И. Численное решение трехмерных задач динамики конструктивных элементов из ортотропных материалов / А. И. Кибец // Прикл. пробл. проч. и пластич. - 1999. - с. 118-121.

74. Киселев, А. П. Сравнительный анализ результатов прочностного расчета тонкостенных оболочек с использованием двумерных и трехмерных конечных элементов / А. П. Киселёв // Матер, междунар. научно-практ. конф. «Проблемы АПК», сер. Инж. Науки. - Волгоград, ВГСХА. - 2003. - с. 175-176.

75. Киселев, А. П. Формирование матрицы жесткости конечного элемента в геометрически нелинейной постановке / А. П. Киселёв // Сборник статей III междунар. конф. «Эффективные строительные конструкции: теория и практика», Пенза. - 2004. - с. 367-370.

76. Киселев, А. П. Применение криволинейного треугольного конечного элемента с матрицей жесткости 54x54 для расчета тонкостенных элементов конструкций мелиоративных систем / А. П. Киселев, Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Вестник АПК, ВГСХА, г. Волгоград, 1997. - № 9. - с. 9.

77. Киселев, А. П. Объемный конечный элемент в форме треугольной призмы / А. П. Киселев, А. П. Николаев // Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии: Межвузов, сб. науч. тр. - Волгоград, 2001.

78. Киселев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета на прочность участков соединения труб водохозяйственного назначения / А. П. Киселёв, В. Н. Юшкин // Матер. V регион, конф. молодых исследователей, Волгоград, 2001.

79. Киселёв, А. П. Решение задачи нелинейного деформирования оболочки на основе МКЭ при наличии особой точки / А. П. Николаев, А. П. Киселёв // Деп. в ВИНИТИ 26.12.2002, - № 2262- В2002.

80. Киселёв, А. П. Сравнительный анализ результатов прочностного расчета тонкостенных оболочек с использованием двумерных и трехмерных конечных элементов / А. П. Киселёв // Матер, междунар. научно-практ. конф. «Проблемы АПК», сер. Инж. науки. - ВГСХА, 2003. - С. 175-176.

81. Киселёв, А. П. Формирование матрицы жесткости конечного элемента в геометрически нелинейной постановке / А. П. Киселёв // Матер. III междунар. научно-техн. конф. «Эффективные строительные конструкции: теория и практика». - Пенза, 2004. - С. 367-370.

82. Киселёв, А. П. Деформационная теория пластичности при использовании трехмерных конечных элементов / А. П. Киселёв // Матер, междунар. научн.-практ. конф. «Современные оросительные мелиорации -состояние и перспективы». - Волгоград, 2004. - С. 129-132.

83. Киселёв, А. П. Определение напряжений в стенках изотермического резервуара для транспортировки сжиженного газа в местах действия опор / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, А. П. Киселёв, А. А. Сизых // Изв. Вузов. Сев.-Кавказский регион. Техн. науки. - 2005. - №2. - С. 54-57.

84. Киселёв, А. П. Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетом геометрической нелинейности на основе МКЭ / А. П. Николаев, А. П. Киселёв // Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2005. - № 1, РУДН. - С. 119-122.

85. Киселёв, А. П. Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми производными узловых перемещений / А. П. Киселёв, А. П. Николаев // Изв. Вузов, сер. «Строительство». -2006.- № 1. - С. 13-18.

86. Киселёв, А. П. Векторная аппроксимация полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента / А. П. Киселёв // Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» -2007. - № 1, РУДН. - С. 21-24.

87. Киселёв, А. П. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности с учетом геометрической нелинейности / А. П. Киселёв // Изв. Вузов, сер. «Строительство». -2007.- №11.

88. Киселёв, А. П. Метод конечных элементов в решении трехмерных задач теории упругости /А. П. Киселёв// Научно-техн. журнал «Строительная

механика инженерных конструкций и сооружений» - 2007. - № 4, РУДН. - С. 11-17.

89. Киселёв, А. П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез /А. П. Киселёв// Изв. Вузов, сер. «Строительство». -2008.-№ 1.

90. Киселёв, А. П. К расчету двух пересекающихся оболочек на основе объемных КЭ /А. П. Киселёв// Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2008. - № 1, РУДН.

91. Киселёв, А. П. Расчет трехслойных оболочек вращения методом конечных элементов в трехмерной постановке / А. П. Николаев, А. П. Киселёв, Р. 3. Киселёва/ Матер, междунар. семинара «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек». - г. Казань. - 2008.

92. Киселёв, А. П. Расчет слоистых плит в трехмерной постановке / А. П. Николаев, А. П. Киселёв, Р. 3. Киселёва/ Труды междунар. научно-практ. конф. «Инженерные системы-2009» - г. Москва, РУДН. - 2009. - с. 33.

93. Киселёв, А. П. Использование современных программных комплексов, основанных на МКЭ в расчетах на прочность инженерных конструкций /А. П. Киселёв / Матер, междунар. научно-практ. конф. «Новые направления в решении проблем АПК», ВГСХА, 2010.

94. Киселёв, А. П. Расчет конструкций из разнородных материалов на основе МКЭ / А. П. Киселёв, А. П. Николаев/ Сб. трудов междунар. научно-практ. конференции «Инженерные системы - 2011». - г. Москва, РУДН.

95. Киселёв, А. П. Расчет плосконагруженной оболочки на основе объемного конечного элемента при наличии предельной точки / А. П. Николаев, А. П. Киселёв, С. С. Марченко/ Сб. трудов междунар. научно-практ. конференции «Инженерные системы - 2011». - т. 2. - г. Москва, РУДН.

96. Киселёв, А. П. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей / Н. А. Гуреева, Р. 3. Киселёва/ Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2009. - № 4, РУДН. - с. 37-40.

97. Киселёв, А. П. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов /Р. 3. Киселёва, Н. А. Гуреева / Изв. Вузов, сер. «Строительство». - 2010.- № 1.-е. 106-112.

98. Киселёв, А. П. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента /Р. 3. Киселёва, Н. А. Гуреева / Изв. ВолГТУ. -Волгоград. - 2010.- № 4. - с. 125-128.

99. Kiselyev, A. The finite elements of a quadrilateral shape for analysis of shells taking into consideration a displacement of a body with rigid body modes / Yu. Klochkov, A. Nikolaev, A. Kiselyev/ Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2011. - № 3, РУДН. - с. 49-59.

100. Киселёв, А. П. Определение напряжений в зоне пересечения пластин при плоском нагружении на основе МКЭ / Н. А. Гуреева, Р. 3. Киселёва, В. В. Леонтьева / Научно-техн. журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений» - 2012. - № 2, РУДН. - с. 55-62.

101. Киселёв, А. П. К расчету тонкостенных конструкций производственного назначения на основе МКЭ/ Р. 3. Киселёва, В. В. Леонтьева/ Труды V между нар. научно-практ. конференции «Инженерные системы -2012». - г. Москва, РУДН. - с. 152-158.

102. Кислоокий, В. Н. Моментная схема метода конечных элементов в геометрически нелинейных задачах прочности и устойчивости оболочек / В. Н. Кислоокий, А. С. Сахаров, Н. А. Соловей // Пробл. прочности. - 1977. - № 7. -с. 25-32.

103. Клочков, Ю. В. Использование МКЭ в расчете геометрически нелинейной оболочки с учетом изменения ее толщины при шаговом нагружении / Ю. В. Клочков // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. докладов междунар. научн. конф. - Казань, 2000. - с. 199-200.

104. Клочков, Ю. В., Киселев А.П. Расчет тонкостенных конструкций мелиоративных систем и водохозяйственных объектов с помощью треугольных конечных элементов / Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Научный вестник. Сер. Инж. науки. - Волгоград, 1997. - с. 248-255.

105. Клочков, Ю. В. О модификации принципа возможных перемещений в итерационном методе расчета конструкций на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Строительство. - 1995. - № 3. - с. 33-36.

106. Клочков, Ю. В. Учет изменения длины нормали в шаговом методе расчета нелинейных тонких оболочек на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П.

Николаев // По материалам Всероссийских научн. - техн. конференций с междунар. участием. «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности». - Таганрог. - 1996-1997г. -Ч. 2. - с. 42-44.

107. Клочков, Ю. В. Преобразование узловых неизвестных граничных элементов пересекающихся оболочек вращения / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев. - Волгоград, 1997. - 23с. - Деп. в ВИНИТИ. 27.03.97, № 986-В97.

108. Клочков, Ю. В. Учет изменения длины нормали осесимметрично нагруженной оболочки вращения в нелинейной постановке на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев. - Волгоград, 1998. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.98, № 3885 -В98.

109. Клочков, Ю. В. Учет изменения толщины нелинейно деформируемой непологой оболочки на основе МКЭ при шаговом нагружении / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Матер, междунар. научно - практич. конф. «Прогресс транспортных средств и систем». - Волгоград, 1999. - Т. 2. - с. 129-131.

110. Клочков, Ю. В. Сравнительный анализ способов аппроксимации МКЭ при расчете оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. - 2000. - № 5-6. - с. 27-32.

111. Клочков, Ю. В. Конечно-элементная формулировка уравнений произвольных непологих оболочек с учетом смещений как жесткого целого / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. / Саратов, 1997. -т. 3. - с. 95-100.

112. Клочков, Ю. В. Использование векторного и традиционного способов аппроксимации перемещений на примере треугольного элемента оболочки вращения / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // ВГСХА, Волгоград, 1997.- Деп. В ВИНИТИ 11.02.97, №419 - В97.

ИЗ. Клочков, Ю. В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета обол очечных конструкций / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Строительство. -1998. -№ 4-5. - с. 3641.

114. Ковальчук, Н. В. Исследование напряженно - деформированного состояния и устойчивости конических оболочек с отверстиями / Н. В. Ковальчук // Пробл. прочности. - 1989. - № 2. - с. 82-86.

115. Коломоец, А. А. Изгиб цилиндрической оболочки неравномерным внешним давлением / А. А. Коломоец, Н. А. Болдырева // Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. - г. Саратов, 1997. - т. 1.-е. 96-102.

116. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. - М.: Наука, 1964. - 192 с.

117. Корнишин, М. С., Якупов Н.М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ / М. С. Корнишин, Н. М. Якупов // Прикл. механика. -1989. - № 8. -т.25. -с. 53-60.

118. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970. - 720 с.

119. Крук, Б. 3. Смягченно-смешанная схема МКЭ для расчета трехмерного упругопластического состояния элементов конструкций / Б. 3. Крук [и др.] // Пробл. прочности. - 1993. - № 9. - с. 65-77.

120. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1976. - 213 с.

121. Кузнецов, В. В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек / В. В. Кузнецов, В. В. Петров // Изв. АН СССР. МТТ -1985.- №2. -с. 176-178.

122. Куранов, Б. А. Температурные напряжения в резервуаре для хранения сжиженного газа / Б. А. Куранов, Н. И. Кончаков // Расчеты на прочность. - 1980. - № 3. - с. 38-41.

123. Куранов, Б. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов / Б. А. Куранов, А. Т. Турбаивский // Строит, механика и расчет сооружений. - 1980. - № 3. - с. 38-41.

124. Кхана, Дж. (J. Khanna), Гули (R.F. Hooley) Сравнение и оценка матриц жесткости / Дж. Кхана (J. Khanna), Р. Ф. Гули (R.F. Hooley) // Ракетная техника и космонавтика. - 1966. - № 2. - с. 31-39.

125. Лущик, О. Н. Сингулярные конечные элементы: обзор и классификация / О. Н. Лущик // Изв. АН. МТТ., 2000. - № 2 - с. 103-114.

126. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. - М., ОНТИ, 1935.-220с.

127. Макеев, Е. Г. Эффективный конечный элемент для тонких пластин и оболочек / Е. Г. Макеев // Автомат, проект, авиац. конструкций. - Куйбышев, 1982.-с. 45-54.

128. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

129. Манухин, В. А. Построение гибридных конечных элементов для расчета пластинчатых конструкций / В. А. Манухин, В. А. Постнов // Изв. АН. МТТ. 1992. - №3 - с. 79-86.

130. Маркол, Р. В (R.V. Marcol) Определение больших прогибов упругопластических оболочек вращения / Р. В. Маркол (R.V. Marcol) // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - № 9. - с. 113-121.

131. Масленников, А. М. Расчет тонких плит МКЭ / А. М. Масленников // Сборник трудов ЛИСИ. - 1968. - Т. 57. - с. 186-193.

132. Мебейн, П. М. (P.M. Mebane) Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / П. М. Мебейн (P.M. Mebane), Дж. А. Стирклин (J.A. Stricklin) // Ракетная техника и космонавтика. -1971.-№2.-с. 206-208.

133. Мерзляков, В. А. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние оболочек вращения переменной в двух направлениях толщины / В. А. Мерзляков // Прикл. мех. - Киев, 1992. - № 11.-е. 44-51.

134. Муляр, В. П. Упругопластическое состояние тонкостенных цилиндрических оболочек с эллиптическим отверстием на боковой поверхности / В. П. Муляр, Е. А. Сторожук, И. С. Чернышенко // Прикл. мех. -Киев, 1997. - 33. - № 6. - с. 62-64.

135. Мяченков, В. И. Григорьев И.В. Расчет составных обол очечных конструкций на ЭВМ / В. И. Мяченков, И. В. Григорьев. - М.: Машиностроение, 1981.-111 с.

136. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости обол очечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке / В. И. Мяченков, 3. Б. Губелидзе, Т. Г. Гардаихадзе // Строит. Механика и расчет сооружений. - 1989. - № 5. - с. 61-65.

137. Наваратана, Д. В. Расчет устойчивости оболочек вращения методом дискретных элементов / Д. В. Наваратана (D. В. Navaratana), Т. X. Пиан (Т. Н. Pian), Е. А. Уитмер (Е. A. Witmer) // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. -№5.-с. 196-203.

138. Неверов, В. В. Метод вариационных суперпозиций в теории оболочек / В. В. Неверов. - Саратов: Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1984. - 128 с.

139. Неверов, В. В. Фундаментальная периодическая система вычислительных методов анализа в теории оболочек / В. В. Неверов // Пробл. теории пластин, оболочек и стержневых систем. - Саратовск. политехи, ин-т. -Саратов, 1992.-е. 4-29.

140. Немировский, Ю. В. Рациональные и оптимальные проекты гибридных композитных оболочек и пластин / Ю. В. Немировский // Тр. 18-й Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. - Саратов, 1997. - Т.З - с. 142152.

141. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек / Ю. В. Немировский // Актуальные проблемы механики оболочек: сб. тр. междунар. конф. - Казань, 2000. - с. 42-49.

142. Николаев, А. П. К расчету оболочек методом конечных элементов / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строит, механика и расчет сооружений. -1980.-№ 5.-с. 21-25.

143. Николаев, А. П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, И. К. Торунов // Строит, и архитектура - 1980. - № 5. - с. 44-48.

144. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечно-элементом анализе оболочек / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, Ю. В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. - 1991. - № 1. -с. 62-66.

145. Николаев, А. П. Аппроксимация в методе конечных элементов в приложениях к векторным полям / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Матер, междунар. конф. «Естествознание на рубеже столетий». - т. 1, техн. науки, Москва. -2001.

146; Николаев, А. П. Использование теории упругости трехмерного тела в расчетах оболочек / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Сб. трудов междунар. научн. конф. - Москва. 2001.

147. Николаев, А. П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Вестник Российского универсисте дружбы народов, сер. Инж. исследования. - Москва, 2002. - с. 107-112.

148. Николаев, А. П. Расчет оболочек с использованием трехмерных конечных элементов в виде треугольной призмы и восьмиугольника / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Сб. тр. междунар. научн. конф. -Москва, 2001. - с. 319-323.

149. Николаев, А. П. Решение задачи нелинейного деформирования оболочки на основе МКЭ при наличии особой точки / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Деп. в ВИНИТИ 26.12.2002, - № 2262 - в2002.

150. Николаев, А. П. Уравнения функции формы треугольного и тетраэдального конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Научн. Вестник, сер. Инж. Науки. Вып. № 3. - Волгоград, ВГСХА. - 2002.

151. Николаев, А. П. Функции формы объемных конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Сб. междунар. научно-техн. конф. «Информационные технологии в образовании, технике и медицине» ч. 2, Волгоград, 2000.

152. Николаев, А. П. Вариант получения функций формы тетраэдального конечного элемента с первыми производными узловых перемещений / А. П. Николаев, А. П. Киселев, С. Н. Дейнего // Сб. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». - Казань, 2000.

153. Николаев, А. П. Восьмиугольный конечный элемент для расчета толстостенных оболочек вращения / А. П. Николаев, А. П. Киселев, В. Н. Юшкин // Сб. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек», Казань. - 2000.

154. Николаев, А. П. Использование деформационной теории пластичности в восьмиугольном конечном элементе трехмерного континуума /

A. П. Николаев, А. П. Киселев, В. Н. Юшкин // Межвузов, сб. научных трудов «Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии. -Волгоград. - 2001.

155. Николаев, А. П. Напряженно-деформированное состояние в зоне сочленения двух цилиндрических оболочек / А. П. Николаев, А. П. Киселев, В. Н. Юшкин // Научн. Вестник, сер. Инж. Науки. Вып. № 3. - ВГСХА. - 2002.

156. Николаев, А. П. Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений / А. П. Николаев, Ю.

B. Клочков. - Волгоград, 1993. - 15с. - Деп. в ВИНИТИ 28.04.93, № 1137 - В 93.

157. Николаев, А. П. Расчет произвольно нагруженной оболочки вращения в актуальном базисе при учете изменения ее толщины / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков // Сборник науч. тр. ВГТУ «Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии». Волгоград, 1999. - с. 113-117.

158. Николаев, А. П. О принципе возможных перемещений в нелинейных задачах расчета конструкций / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, Н. Г. Бандурин // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. - 1991. - № 4. - с. 20-22.

159. Николаев, А. П. Особенности формирования матрицы жесткости

треугольного конечного элемента размером 54x54 / А. П. Николаев, Ю. В.

\

Клочков, А. П. Киселев // Изв. ВУЗов, сер.: Строительство. - 1998. - №2. - с.32-37.

160. Николаев, А. П. Расчет оболочек вращения на основе метода конечных элементов с учетом смещения как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Сб. науч. тр. ВГТУ «Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии. - Волгоград, 1999. - с. 107-112.

161. Николаев, А. П. Конечно-элементное представление тензорных полей в криволинейных системах координат / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Успехи современного естествознания, № 1. - Москва. - 2003.

162. Николаев, А. П. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов. Сер. Машиностроение. - 1998. - № 1-3.

163. Николаев, А. П. Уравнения непологих произвольных оболочек с учетом смещения как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Матер, научно-практ. конф., посвящ. 55-ти летию победы в Сталинградской битве, г. Волгоград, 1998.

164. Николаев, А. П. Об интерполяции векторных полей конечного элемента оболочки для учета смещений как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Сб. XVI междунар. конф. «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов». - Санкт-Петербург, 1998.

165. Николаев, А. П. О функциях формы в алгоритмах формирования матрицы жесткости в треугольном конечном элементе / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов, сер. Строительство. - № 10. - 1999.- с. 107112.

166. Николаев, А. П. Треугольный конечный элемент произвольной непологой оболочки с матрицей 54x54 при учете смещений как жесткого целого / А. П. Николаев, Ю. В. Клочков, А. П. Киселев // Изв. Вузов, Северо-Кавказ. регион. Техн. вест. - № 2. - 1999.

167. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. - Л.: Судпромгиз, 1962. -432 с.

168. Овчинников, И. Г. Расчет напряженного состояния и долговечности цилиндрической оболочки при наличии коррозийного износа / И. Г. Овчинников, X. А. Сабитов // Статика и динамика сложных строительных конструкций. - 1984. - с. 89-95.

169. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. - М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

170. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Оден Дж. - М.: 1976. - 464 с. (перев. с англ.).

171. Паймушин, В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета / В. Н. Паймушин // ПММ. - 1978. - т. 42. - №4. - с. 753-758.

172. Паймушин, В. Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром / В. Н. Паймушин // Прикл. механика. - 1980. - т. 16. - №4. -с. 63-70.

173. Павлов, С. П. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций / С. П. Павлов, А. Б. Перегудов // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, СГТУ. -1997. - т.2. -с.76-81.

174. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В. В. Петров. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975.- 120 с.

175. Петров, В. В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала / В. В. Петров, И. Г. Овчинников, В. К. Иноземцев. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1989. - 158 с.

176. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения / В. В. Пикуль. -М.: Наука, 1982.- 158 с.

177. Пикуль, В. В. Теория и расчет сложных конструкций / В. В. Пикуль. -М.: Наука, 1985.- 183 с.

178. Пикуль, В. В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития / В. В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000. - № 2. - с. 153168.

178а. Пискунов, В.Г Обобщенная неклассическая модель напряженно-деформированного состояния в задачах статики, динамики и контакта слоистых плит и оболочек / В.Г. Пискунов, В.К. Присяжнюк, A.B. Сипетов // Мех. композит, материалов.- Рига. - 2003. - Т. 39. - № 2. - С. 205-222.

179. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. - Д.: Судостроение, 1974. - 344 с.

180. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек / В. А. Постнов, В. С. Корнеев // Прикл. механика. - 1976. - т. 12. - № 5. - с. 44-49.

181. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций / В. А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

182. Постнов, В. А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций / В. А. Постнов, С. А. Дмитриев. - Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

183. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения / В. А. Постнов, М. Г. Слезина // Изв. АН СССР, МТТ. - 1979. - № 6. - с. 78-85.

184. Постнов, В. А. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек / В. А. Постнов, М. И. Трубачев // Изв. АН. МТТ. - 1995. - № 1. - с. 141-146.

185. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р. Б. Рикардс. - Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

186. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко / Р. Б. Рикардс, А. К. Чате // Мех. композит, материалов. -1981. - №3. - с. 453-460.

187. Рикардс, Р. Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко 2 / Р. Б. Рикардс, А. К. Чате. - Численные примеры // Мех. композит, материалов. - 1981. - № 5. - с. 815-820.

188. Розин, Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов / Л. А. Розин. - М.: Энергия, 1971. - 214 с.

189. Рукин, Ю. Б. Исследование динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапециевидных конечных элементов / Ю. Б. Рукин, Н. Г. Радченко, Е. Ю. Чернышева // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. - 2000. - №4. - с. 3-11.

190. Савельев, Л. М. Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки / Л. М. Савельев // Вопр. прочности и долговеч. элементов авиац. конструкций. - Куйбышев, 1979. - №5. - с.58-63.

191. Сарбаев, Б. С. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности / Б. С. Сарбаев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1984. - № 6.

- с.20-24.

192. Сахаров, А. С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений / А. С. Сахаров // Сопротивления материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научно-техн. сборник. - Киев: Будивельник, 1974. - Вып. 24. - с. 147-156.

193. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров [и др.]. - Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982.

- 479 с.

194. Сахаров, А. С. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек / А. С. Сахаров, И. А. Соловей // В сб.: Пространств, конструкции зданий и сооруж. - М., 1977. - Вып. 3. - с. 10-15.

195. Сахаров, А. С. Программный комплекс для автоматизации прочностных расчетов оболочечных и комбинированных систем «АПРОКС» / А. С. Сахаров, А. В. Гондлях // 18-я Международная конференция «Мат. моделирование в механике деформированных тел. Методы граничных и конечных элементов», 23-26 июня 1998. - Т.2. - с.36.

196. Сегерленд, Л. Применение метода конечных элементов в технике / Л. Сегерленд. - М.: Мир, 1975. - 541 с. (перев. с англ.)

197. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. - М.: Наука, 1976. - т.1. -536 е.; 1976. - т.2. - 574 с.

198. Серазутдинов, М. Н. Построение конечно-элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчета

оболочек / Н. М. Серазутдинов, Р. Р. Губаев // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Саратов, 1997г., Т. 2, с.112-116.

199. Серазутдинов, М. Н. Построение равновесных конечных элементов с использованием непрямого метода конечных элементов / М. Н. Серазутдинов, О. М. Сахбиев // Труды междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек» - Казань, 2000. - с. 374-379.

200. Серазутдинов, М. Н. Сравнительный анализ конечных элементов оболочек высокой степени аппроксимации / М. Н. Серазутдинов, Ф. С. Хайруллин // Тезисы докладов междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». - Казань, 2000. - с. 231.

201. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов / В. Н. Скопинский // Изв. вузов. Сер. машиностроение. - 1983. - № 5. - с. 16-21.

202. Скопинский, В. Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек / В. Н. Скопинский // Строит, механика и расчет сооружений. - 1986. - № 2. - с. 19-22.

203. Скопинский, В. Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов / В. Н. Скопинский, Г. М. Меллерович // Пробл. прочности. - 1988. - № 12.-е. 73-76.

204. Скопинский, В. Н. Напряжения в пересекающихся оболочках / В. Н. Скопинский. - М.: Физматлит, 2008. - 400 с.

205. Сторожук, Е. А. О применении метода конечных элементов к решению двухмерных упругопластических задач для оболочек с отверстиями / Е. А. Сторожук // Докл. АН Украины. - 1993. - № 10. - с. 79-83.

206. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -М.: Мир, 1997.-350 с.

207. Стриклин, Дж. А. (X А. БМскИп) Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке / Стриклин (I. А. ЗШскНп) [и др.] // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. - №12. - с.82-85.

208. Сухомлинов, Л. Г. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных

нагрузок / Л. Г. Сухомлинов, Е. В. Генин // Изв. вузов. Сер. машиностроение. -1990.-№1.-с. 16-21.

209. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Д. Съярле. -М.: Мир, 1980. - 512 с.

210. Теличко, В. Г. Гибридный конечный элемент для моделирования пространственных машиностроительных конструкций с усложненными свойствами / В. Г. Теличко, А. А. Трещев // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Строит, матер., конструкц. и сооруж. - 2003. - № 5. - с. 116-125.

211. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М.: Физматгиз, 1963. -635 с.

212. Товстик, П. Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии / П. Е. Товстик // Вестник С.-Петербург. Ун-та, 1995. -№ 1. — с. 95-102.

213. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек / П. Е. Товстик. - М.: Наука, Физматлит, 1995. - с.320.

214. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. - Л.: Стройиздат, 1975. - 256 с.

215. Хайруллин, Ф. С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций / Ф. С. Хайрулинн // Изв. вузов. Машиностроение. - 1992. - №1-3. -с. 20-23.

216. Хейслер, В. Е. Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений / В. Е. Хейслер (На1в1ег W.E.), Дж. А. Стриклин (БЫскНп 1.А.) // Ракетная техника и космонавтика. - 1967. - № 8. - с. 207-209.

217. Хейслер, В. Е. Нелинейное исследование методом конечных элементов учитывающее члены высших порядков в выражении для энергии деформаций / В. Е. Хейслер (На1з1ег \¥.Е.), Дж. А. Стриклин (ЗМскНп 1.А.) // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - № 6. - с. 214-216..

218. Хечумов, Р. А. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р. А. Хечумов, X. Кепплер, В. Н. Прокофьев. - М.: Изд-во АСВ. -1994.-351с.

219. Чеканин, А. В. Система автоматизации прочностных расчетов тонкостенных конструкций вращения (КИПР - IBM) / А. В. Чеканин // 18-я Международная конференция «Мат. моделирование в механике деформированных тел. Методы граничных и конечных элементов», 23-26 июня 1998. -Т.2. -с.37-38.

220. Чернина, В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения / В. С. Чернина. - М.: Наука, 1968. - 455 с.

221. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Т.1.-374 с.;- 1964.-т.2.-395 с.

222. Черных, К. Ф. Нелинейная теория изотропно - упругих тонких оболочек / К. Ф. Черных // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - №2. - с. 148-159.

223. Шалашилин, В. И. Расчет нелинейного деформирования методом конечных элементов с использованием метода продолжения по наилучшему параметру / В. И. Шалашилин, Э. Н. Князев, Н. Н. Зуев // Изв. Вузов. Сер., Машиностроение. 1997г., №3-1, с.23-29.

224. Шапошников, Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента / Н. Н. Шапошников // Труды Моск. Института инженеров транспорта. - 1968. - Вып. 260. - с. 134-144.

225. Шмит, Л. А. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек / Л. А. Шмит (Schmit L.A.), Ф. К. Богнер (Bogner F.K.), Р. Л. Фокс (Fox R.L.) // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. - № 5. - с. 17-28.

226. Шихранов, А. И. Большие неосесимметричные прогибы пологих оболочек вращения / А. И. Шихранов // В сб.: Труды XVI междунар. Конф. по теории оболочек и пластин. Н.Новгород; НГУ, 1994. - т.З. - с.252-257.

227. Эдельман, В. М. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов / В. М. Эдельман (Adelman В.М.), Д. С. Казеринес (Catherines D.S.), В. К. Уолтон (Walton W.C.) // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - №3. - с. 102-103.

228. Якупов, H. M. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / H. М. Якупов, M. Н. Серазутдинов. - Казань: ИМН РАН. - 1993. -206 с.

229. Якупов, H. М. Расчет оболочек средней толщины с учетом обжатия по толщине / H. М. Якупов, Р. 3. Хисамов // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Саратов, 1997г., Т. 2, с. 131136.

230. Якупов, H. М. Моделирование зон концентрации напряжений сложных оболочечных систем / H. М. Якупов, Р. 3. Хисамов // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» -Казань, 2000. - с. 478-483.

231. Aditya, A. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A. Aditya, J. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. - 1989. - 32. - N2. - p. 423-432.

232. Ahmand S. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / S. Ahmand, Irons Bruce M., О. C. Zienkivicz // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. - 2. - N3. - p.419-451.

233. Alayliogly, H., Ali R. A hybrid stress doubly curved shell finite element / H. Alayliogly, R. Ali // Comput. and Struct. - 1977. - 7. - N 3. - p.477-480.

234. Altman, W. A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation / W. Altman, F. Fquti // Comput. and Struct. - 1976. - 6. - N2. - p. 149155.

235. Anderheggen E. A conforming triangular finite element plate bending solution / E. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1970. - 2. - p.259-264.

236. Argyris, J. H. Energy theorems and structural analysis / J. H. Argyris. -London. Batterworth. 1960.

237. Argyris, J. H. Finite elements in linear statics and dynamiks - the natural approach / J. H. Argyris, H. P. Mleignek, J. Buhlmeier, M. M. Mai // Isd - Ber. -1974.-N174.-p. 1-52.

238. Argyris, J. H. Post-buckling finite elements analysis of circular cylinders under end load / J. H. Argyris, P. C. Dunne // Acta techn. Acad. Sci. hung. - 1978. -87.-Nl-2.-p.5-16.

239. Argyris, J. H. Haase M., Kleiber M., Maleiannakis G.A., Mleignek H.P., Muller M., Scharpf D.W. Finite element method - the natural approach / J. H. Argyris, M. Haase, M. Kleiber, G. A. Maleiannakis, H. P. Mleignek, M. Muller, D. W. Scharpf// Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1979. -17-18. - N1. - p.1-106.

220. Argyris, J. H. Some consideration on the natural approach / J. H. Argyris, M. Haase, H. P. Mleignek // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. -1982. - 30. - N3. -p.335-346.

241. Armero, F. An analysis of strong discontinuities in multiplicative finite strain plasticity and their relation with the numerical simulation of strain localization in solids / F. Armero, K. Garikipati // Int. J. Solids Structures. - 1996. - 33. - N20-22.-pp. 2863-2885.

242. Attia, O. A hihg - order shear, element for nonlinear vibration analysis of composite layered plates and shells / O. Attia, A. Eb-Zafrany // Int. J. Mech. Sci. -1999.-41, №4-5. - p. 461-486.

243. Bao, W. Error bounds for the finite element approximation of an incompressible metrial in an unbounded demain / W. Bao, H. Han // Numer. Math. -2003.-№3.-p. 415-444.

244. Barony, S. Y. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation / S. Y. Barony, H. Tottenham // Int. J. Numer Meth. Eng. - 1976. - 10. - N4. - p.861-872.

245. Barthold, F. - J. Error indicators and mesh refinemets for finite - element -computations. / F.-J. Barthold, M. Schmidt, E. Stein // Comput. Mech. - 1998. - 22, №3. -p.225-238.

246. Basar Yavuz, Its Rov Mikhail Finite element formulation of the Ogden material model wiht application to rubber - like shells / Basar Yavuz, Its Rov Mikhail //Numer. Meth. Eng. - 1998.-42, №7. - p. 1273-1305.

247. Bathe, K. - J. A geometric and material non - linear plate and shell element / K.-J. Bathe, S. Bolourchi // Comput. and Struct. - 1980. - 11. - №1-2. -p.23-48.

248. Batoz, J. L. Buckling behaviour of shells using axigymmetrical element and triangular element / J. L. Batoz, G. Dhatt, J. P. Prost // 3-rd Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. - London, 1975. - Vol.5. - Port. M. Amsterdam ea. 1975. M-4. -3/7. -m.4. - 3/13.

249. Baumann, M. An efficient mixed hybrid 4-node shell element with assumed stresses for membrane, bending and shear parts / M. Baumann, K. Schweizerhof, S. Andrussow // Eng. Comput. - 1994. -11. - N1. - p.69-80.

250. Berdichevsky, V. Effect of accuracy loss in classical shell theory / V. Berdichevsky, V. Mlsyuria // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1992. - 59. - N2. -p.217-223.

251. Boisse, P. A C three-node shell element for non-linear structural analysis / P. Boisse, J. L. Daniel, J. C. Getin // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. - 37. - N14. -p.2339-2364.

252. Bounds, S. A modified affective capacitance method for solidification modelling using linear tetrahedral finite elements / S. Bounds, K. Davey, S. Hinduja // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1996. - 39. - pp. 3195-3215.

253. Boyle, J. T. A simple method of calculating lower - boind limit loads for aximmetric thin shells. / J. T. Boyle, R. Hamilton, J. Shi, D. Mackenzie // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1997. - 119, №2 - p.236-242.

254. Bond, T. J. A comparison of some curved two dimensional finite elements / T. J. Bond, J. H. Swannel, K. D. Heshell, G. B. Warburton // J. Strain Anal. - 1973. -8.-N3.-p. 182-190.

255. Brank, B., On non linear dinamics of shells: implementation of energymomentum canserving algorithm for a finite rotation shell model / B. Brank, L. Briceghella, N. Tonello, F. B. Damijanic // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. -42, №3.-p. 409-442.

256. Brebbia, C. A. Analysis of plates and shells using finite elements / C. A. Brebbia, H. A. Hadid // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. - 18. - N15. -p.939-962.

257. Cai, H. Analytical solutions of openings formed by intersection of a cylindrical shell and an oblique nozzle under internal pressure / H. Cai, B. Sun, B. Koplik, J. Tavantzis // Trans, of the ASME. - 1999. - 121. - pp. 170-175.

258. Cantin, G. A curved cylindrical shell finite element / G. Cantin, R. W. Clough // AIAA. - 1968. -N6. -p.1057-1062.

259. Cantin, G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. - 1970. - N8. - p. 1252.

260. Carnoy, E. G. Asymptotic study of the post-buckling behavior of thin-type structures by the finite element method / E. G. Carnoy // AIAA / ASME / ASCE / AMS 22-nd Struct. Dyn. and Mater. Conf. - Atlanta,Gd. 1981. - Collect. Techn. Pap. Part 1. -New-York, N.Y., 1981. -p.302-312.

261. Chaudhuri, R. A. Effect of thickness on large - defection behavior of shells / R. A. Chaudhuri, L. R. Hsia // AIAA Joirnal. - 1999. - 37., №3. - p.463-465.

262. Chen, W. Refined hibrid degenerated shell element for geometrically nonlinear analysis / W. Chen, S. Zeng // Jut. J. Nunear. Meth. Eng. - 1998 - 41, №7. -p.1195-1213.

263. Chinosi, C. Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model / C. Chinosi, C. L. Delia, T. Scapolla // Jat. J. Solids and Struct. - 1998. - 35, №16 -p.1863-1880

264. Choi Chang - Koen. A conoidal shell analysis by modified isoparametric element / Choi Chang - Koen. // Computers and Structures/ - 1984 year., Vol/ 18, №5, p.921-924.

265. Clough, R.W. The finite element method in plane stress analysis / R. W. Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. - p.345-378.

266. Cochelin, B. Asymptutic-numerical methods and Pade approximants for non-linear elastic structures / B. Cochelin, N. Damil, M. Potier-Ferry // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. -37. -N7. - p. 1187-1213.

267. Cook, W. A. A finite element model vor nonlinear shells of revolution / W. A. Cook // Trans. Shh. Int. Conf. Struct. Mech. Reacht. Technol. - Berlin, 1979. -Vol. M. - Amsterdam e-a. 1979. - m.4.5/1 - m 4.5/10.

268. Cornoy, E. Postbucling analysis of elastic structures by the finite element method / E. Cornoy // Comput. Meth. Appl. Mech. ang. - 1980. - 23. - №2. - p. 143174.

269. Cowper, G. R. A shallow shell finite of triangular shape / G. R. Cowper, G. M. Lindberg, M. D. Olson // Int. J. Solids Struct. - 1970. - N6. - p. 113.

270. Dawe, D. J. Rigid-body motions and strain-displacement equations of curved shell finite elements / D. J. Dawe // Int. J. Mech. Sci. -1972. - 14. - p.569.

271. Dawe, D. J. High-order triangular finite element for shell analysis / D. J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. - 1975. - 11. - N10. - p. 1097-1110.

272. Dawe, D. J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D. J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1977. -11.-p.1347-1364.

273. Delpak, R. A finite element assement of natural frenquencies of undampend elastic ( rotational shells ) / R. Delpak // Appl. Math. Modell. - 1980. - 4. - №2. -p.367-368.

274. Delpak, R. A linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method / R. Delpak // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20. -N12. -p.2235-2252.

275. Dvorkin, E. N. A continuum mechanics basid four-node shell element for general non-linear analysis / E. N. Dvorkin, K.-J. Bathe // Int. J. Comp. Eng. and Software-1984.-Vol. 1,№ l.-p. 77-88.

276. El - Abbasi, N. Large deformation analysis of contact in denegerate shell elements./ N. El - Abbasi, S. A. Meguid // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №6. - p. 1149-1179.

277. Freischlager, C. On a sustematic development of trilinear three-dimensional solid elements based on Simo's enhanced strain formulation / C. Freischlager, K. Schweizerhof// Int. J. Solids Structures. - 1996. - 33. - N20-22. -pp. 2993-3017.

278. Ganer, H. G. A new treatment to the finite element method and a method of large fragments / G. H. Ganer. - Teop. h npmcji. Mex. - 1975. - 6. - N4. - p.29-38.

279. Gass, N. Large deformation analysis of plates cylindrical shells bya mixed finite element method / N. Gass, B. Tabarrok // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1976. -10. -№4.-p.731-746.

280. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis of shell structures / M. Gellert, M. E. Laursen // Int. J. Solids and Struct. - 1977. - 13. - N7. -p.683-697.

281. Gran, C. S. Doubly curved membrane shell finite element / C. S. Gran, T. J. Yang // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1979. - 105. - N4. -p.567-584.

282. Gwalthey, R. C. Experimental stress analysis of cylinder-to-cylinder shell models and comparisons with theoretical predictions / R. C. Gwalthey, J. M. Coram, S. E. Bolt h ap. // Trans. ASME. - 1976. - vol. 98. - №4. - pp. 283-290.

283. Han, K. J. Shells of revolution with local deviations / Han Kye J., Gould Phillip L. // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20. - N2. - p.305-313.

284. Haugeneder, E. A new penalty function element for thin shell analysis E. Haugeneder // Numerical Meth. in Eng. - 1982. - 18. - N6. - p.845-861.

285. Herpai, B. Analysis of axisymmetrically deformed shells by the finite element displacement method / B. Herpai, I. Paczelf // Acta techn. Acad. Sci. hung. -1977.-85.-N1-2.-p. 93-122.

286. Hellen, T. K. The application of three- dimensional finite elements to a cylinder untersection / T. K. Hellen, H. A. Money // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. -2. -N3. -p.415-418.

287. Hindenlang, U. The TRUMP family of shell elements / U. Hindenlang //ISD. -Rept. - 1978. -N239. - p. 11-17.

288. Hoist, J. M. Inversion problems in elastic thin shells / J. M. Hoist, C. R. Calladine // Eng. J. Mech. A. - 1994. - 13. - N4. -p.3-18.

289. Hsiao, Kuo-Mo Large defection analysis of shell structure by using corotational toallagrangian formulation / Hsiao Kuo-Mo, Hung Hung Chan // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1989. - 73, №2. - p.209-225.

290. Jones Rembert, F. Jr. A curved finite element for general thin shell structures / F. Jr. Jones Rembert // Nucl. Eng. And Des. - 1978. - 48. - N2-3. -p.415-425.

291. Jones, D. P. Elastic - plastic dailure analysis of pressure burst tests toroidal shells / D. P. Jones, J. E. Holliday, L. D. Larson // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1999. - 121, №2. - p.149-153.

292. Kanok-Nukulchai, W. A simple and efficient finite element for general shell analysis / W. Kanok-Nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1979. -14. - N2. -p. 179-200.

293. Kemp, B. L. A foirnode solid shell element formulation with assumed strain / B. L. Kemp, Cho Chahngmin, W. Lee Sung // Jut. J. Numer. Meth. Eng. -1998.-43, № 5. - p. 909-924.

294. Kikuchi, F. Application of finite element method to axisymmetric buckling of shallow spherical shells under external pressure / F. Kikuchi, H. Ohya, O. Yoshi // J. Nucl. Sci. and Technol. - 1973. - 10. -N6. - p.339-347.

295. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. and Struct. - 1975. - 5. - N1. - p. 1-8.

296. Kim Seing Jo, Kim Kyeong Su, Cho Jin Yeon Viscol m- lastic model of finitely deforming rubber and its finite element analysis / Kim Seing Jo, Kim Kyeong Su, Cho Jin Yeon. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1997. - 64. - №24. - p. 835841.

297. Khan, A. Q. Postbuckling of thin plates and shells / A. Q. Khan, A. A. Mufti, P. J. Harris // Var. Meth. Eng. Vol. 2. Proc. Int. Conf., Univ Southampton. -1972. - Southampton. - 1973. - 7/54 - 7/65. Discuss. - 7/124.

298. Klisinski, M. On constitutive equations for arbitrary stress-strain control in multi-surfase plasticity / M. Klisinski // Int. J. Solids Structures. - 1998. - Vol. -35. -№20.-p. 2655-2678.

299. Komori, K. Rigid-plastic finite element method for analysis of three-dimensional rolling that reguires small memory capacity / K. Komori // Int. J. Mech. Sci. - 1998. - 40. - N5. - p. 479-491.

300. Kosmatka, J. В. An accurate shear-deformable six-node triangular plate element for laminated composite structures / J. B. Kosmatka // Jut. J. Numer. Meth. Eng.-1994.-37. N3.-p.431-455.

301. Ladeveze, P. Local error estimaters for finite element linear analysis. / P. Ladeveze [и др.] // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1999. - 176, №1-4 - p. 231-246.

302. Lakshmiarayanga, H.V. Finite element analysis of laminated composite shells functions / H. V. Lakshmiarayanga // Comput. and Struct. - 1976. - 8. - №1. -p. 11-15.

303. Lannoy, F. G. Triangular finite elements and numerical integration / F. G. Lannoy // Comput. Struct. - 1977. - 7. - p.613-625.

304. Lee, S. J. A nine - node assumed strain finite element for large -deformation analysis of laminated shells / S.J. Lee, W. Konok - Nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №55 - p.777-798.

305. Li, Y. A convergence analysis of an h-version finite element method with high-order elements for two-dimensional elasto-plasticity problems / Y. Li, I. Babuska // SIAM J. Numer. Anal. - 1997. - 34, №3. - p.998-1036.

306. Lindberg, G. M. A high-precision triangular cylindrical shell finite element / G. M. Lindberg, M. D. Olson // AIAA. J. - 1971. - 9. - p.530-542.

307. Liu, M. L. A further study of hybrid strain - based three - node triangular shell elements / M. L. Liu, C. W. S. To // Finite elem. Anal. And Des. -1991.-31, №2p.l35-152.

308. Lo, S. H. 3D mesh refinement in comliance with a specified node spacing function. / S. H. Lo // Сотр. Mechanics. - 1998. - 21. - p. 11-19.

309. Madenci, E. Thermal post buckling analysis of cylindrically curved composite laminates with a hole / E. Madenci, A. Barut // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1994.-77.-N12.-p. 2073-2091.

310. Maekawa, K. Finite element formulation of the Naglegaal-Rice functional using constant strain triangles / K. Maekawa, H. C. Childs Thomas // Ilaraki doigaku Kenkyuhokoku. J. Fac. Eng. Ibaraki Univ. - 1991. - 39. - p.53-66.

311. Mar, A. A benchmark computational study of finite element error estimation / A. Mar, M. A. Hicks // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1996. - 39.- p.3969-3983.

312. Mathisen Kjell, M. Error estimation and adaptivity in explikit nonlinear finite element simylation of quasi-static problems. / M. Mathisen Kjell [h flp.] // Comput. and Struct. - 1999y. - 72, № 4-5. - p. 627-694.

313. Mehorotra, B. Analysis of three dimensional thin walled structures / B. Mehorotra, A. Mufti Aftab, G. Redwood Richard // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1969. - 95. - №12. - p. 2863-2872.

314. Melosh, R. J. Basis vor derivation of matrices for the direct stiffness method / R. J. Melosh // AIAA Journal. - 1963. - 1. - № 7. - p. 1631 -1637.

315. Minnetyan, L. Finite deformations for thin shells of revolution / L. Minnetyan, F. Wilson James // Dev. Theor. And Appl. Mech. Vol. 8, s.l., s.a., p.77-86.

316. Mohan, P. Updatet Lagrangian formulation of a flat triangular element for thin laminated shells / P. Mohan, K. Kapania Rakesh // AIAA Journal. - 1998. - 36, №2. -p.273-281.

317. Moan, T. Experiences with orthogonal polynomials and "best" numerical integration formulas on a triangle: with particular reference to finite element approximations / T. Moan // Zangew Math. Und Mech. - 1974. -54. - N8.- p.501-508.

318. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. - 1980. - 11. - N6. - p.565-571.

319. Mohr, G. A. On triangular displacement elements for the bending of thin plates / G. A. Mohr // Proc. Int. Conf. Finite Element Methods. Sydney, 1979.

320. Moore, C. J. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variableorder polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes / C. J. Moore, T. Y. Yang, D. C. Anderson // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. —20. — 11. — p. 2121-2141.

321. Morley, L. S. D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L. S. D. Morley // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. -20. - N8. - p. 1373-1378.

322. Morley, L. S. D. Ixtensional bending of a shell triangular element in quadratic parametric representation / L. S. D. Morley // Int. J. Solids and Struct. -1982.-18.-Nil.-p. 919-935.

323. Nelson, R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1982. -18. -N3. - p. 421-434.

324. Nho, I. S. Finite element analysis for plastic large deformation and anisotropic damage / I. S. Nho, J. G. Shin, S. J. Yim // Proc. 3-rd Int. Offshore and Polar Eng. Confi, Singapure, June 6-11. - 1993. - Vol. 4. - p.526-532.

325. Nordlang, P. Adaptive mesh - updating methods for non-linear finite element analysis of shells / P. Nordlang, A. E. Giannakopoulos // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998.-43, №8. - p. 1523-1544.

326. Panda, S. C. Finite element analysis of laminated shells of revolution / S.

C. Panda, R. Natarajana // Comput. and Struct. - 1976.- 6. - №1. - p.61-64.

327. Pagean, S. S., Begger S. B. A finite element approach to three-dimensional singular stress states in anisotropic multi-material wedges and junctions / Pagean, S. S., Begger S. B. // Int. J. Solids Structures. - 1996. - 33. - N1, - pp.33-47.

328. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells / H. Parich // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. - 1978. - 14. -№2. -p.159-178.

329. Peano, A. Efficient high order finite elements for shells / A. Peano // Mechanica.- 1976.- 11.-Nil.-p. 42-47.

330. Peric, D. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids

D. Peric, D. R. J. Owen // Repts Pragr. Phis. - 1998. - 61, №11. - p. 1435-1574.

331. Pierce, D. N. Stress around elliptic holes in circular cylindrical shells / D. N. Pierce, S. T. Chou //. - "Exper. Mech." - 1973. - 13. - N11. - p.487-492.

332. Postnov, V. A. A new finite element with transverse shear deformations included for shell strength analysis / V. A. Postnov, M. I. Trubachev // Динам., проч. и износ стойк. Машин. - 1997. - № 3. - с. 68-74.

333. Rannachez, R. A feed back approach to error control in finite element methods: application to linear elasticity / R. Rannachez, F.-T. Suttmeler // Computational Mechanics. 1997. - № 5. - p. 434-446.

334. Rao, G. V. Buckling of shells by finite element method / G. V. Rao, J. S. Raju, S. K. Radhamahan // J. Eng. Mech. Div., Prac. Amer., Soc. Siv. Eng. - 1974. -100. - №5.-p. 1092-1096.

335. Rao, K. Venkateswara Explicit formula for the stiffness matrix of a conical shell finite element / K. Rao, Singa, G. Rao // J. Aeronaut. Soc. India. -1976. - 28. - №3. - p. 339-342.

336. Rhiu, J. J. A nine node finite element for analysis of geometrically nonlinear sells / J. J. Rhiu, S. W. Lee / Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1988. - 26. - N9. - p. 1945-1962.

337. Remseth, S. N. Tube buckling analysis by the finite element method / S. N. Remseth, K. Nolthe, P. G. Bergan, I. Holand // Finite Elem. Nonlinear Mech. -Trondheim, 1978. - Vol. 2. - p. 671-694.

338. Rusa Casndra, A. L. Sizing desing sensivity analysis and optimization of a hemispherical shell wiht a nonradial henerated nozzle / A. L. Rusa Casndra, I. K. Crindeanu, K.-H. Chang // Trans. ASME. J. Pressare Vessel Technol. - 1998 -no,№3. - p. 238-243.

339. Rodrigues, J. M. Coupled thermo-mechanical analysis of metal-forming processes through a combined finite element- boundary element approach / J. M. Rodrigues, P. A. Martins // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 2. - pp. 631-645

340. Ronnacher, R. A posterior error estimation and mesh adaption for finite element models in elasto-plasticity / R. Ronnacher, F.-T. Suttmeier // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1999y. - 176, №1-4. - p. 333-361.

341. Sabir, A. B. The application of finite element to the large defection geometrically nonlinear Bhavior of cylinder shells / A. B. Sabir, A. S. Lock // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. - 1973. - 7/66 - 7/75.

342. Sabir, A. B. Strain-based finite element for the analysis of cylinders with holes and normally intersecting cylinders / A. B. Sabir // Nuch. Eng. and Des. - 1983. -76.-N2.-p. 111-120.

343. Samanta, A. Finite element static analysis of stiffened shells / A. Samanta, M. Mikhopadhyay // Appl. Mech. and Eng. - 1998. - 3, №1. - p.55-87.

344. Samuel, W. K. The analysis of thin shells with a doubly curved arbitrary quadrilateral finite element / W. K. Samuel // Computers Struct. - 1972. - Vol. 2. -N4.-p. 637-673.

345. Sansour, C. On hybrid stress, hybrid strain and enhanced strain finite element formulations for a geometrically exact shell theory with obrilling degress of freedom / C. Sansour, J. Bocko // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 43., №1. -p.175-192.

346. Sansour, C. Large Viscoplastic deformations of shells. Theory and finite element formulation / C. Sansour, F. G. Kollmann // Comput. Mech. - 1998. - 21, № 6.-p. 512-525.

347. Sarrazin, M. Axisymmetric shells for non - axisymmetric loads an exact conical element approach / M. Sarrazin, H. Jenson // Adv. Eng. Software. - 1984. -6.-№3.-p.l48-155.

348. Sen, S. A finite element analysis of the indentation of an elastic-work handening layered half-space by an elastic sphere / S. Sen, B. Aksakal, A. Ozel // Int. J. Mech. Sci. - 1998. - 40. - N12. - p.1288-1293

349. Simo, J.C. Improved version of assumed enhanced strain tri-linear elements for three-dimensional finite deformation problems / J. C. Simo, F. Armero, R. L. Taylor // Comp. Meth. appl. Mech. Eng. - 1993. - 110. - pp.359-386.

350. Skopinsky, V.N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading / V. N. Skopinsky // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1997. - 119, №3. -p.288-292.

351. Souza Neto, E. A. Design of simple low order finite elements for large strain analysis of nearly incompressible solids / E. A. Souza Neto, P. Peric, M. Dutko, D. R. J. Owen // Int. J. Solids Structures. - 1996. - 33. - N20-22. - p. 3277-3296.

352. Stein, E. Different levels of nonlinear shell theory in finite element stability analysis / E. Stein, A. Berg, W. Wagner // Buckling shells Proc. State - of the Art Collog., Univ. Stuttgart. - 1982. - May 6-7. - Berlin e.a. - 1982. - p.91-136.

353. Stolarski, H. A simple triangular curved shell element / H. Stolarski, T. Belytschko, N. Carpenter // Eng. Comput. - 1985. - 1. - N3. - p. 210-218.

354. Sze, K. Y. Assumed strain and hybrid destabilized ten-node C° triangular shell elements / K. Y. Sze, D. Zhu // Computational Mechanics. 1998 - №2. - p. 161171.

355. Tan, H.-F. A new geometrical nonlinear laminated theory of large deformation analysis. H.-F. Tan, Z.-H. Tian, Dux.-W. // Int. J. Solids, and Struct. -2000. - 37, №18. - p.2577-2589.

356. Tessler, A. An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia / A. Tessler // Comput. and Struct. - 1982. - 15. -N5. -p.567-574.

357. To, C. W. S. Hybrid strain based geometrically nonlinear laminated composite triangular shell finite elements / C. W. S. To, B. Wang // Finite elem. Anul. and Das. - 1999. - 33, №2. - p.83-124

358. Tottenham, H. Mixed finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shells of revolution / H. Tottenham, S. Y. Barony // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1978. - 12. - №2. - p. 195-201.

359. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner [h ap.] // J. Aero. Sci. - 1958. - 23. - № 1. - p. 805-823.

360. Wendt, W. Explicit dynamic formulation of large strain shell analysis for the Morley triangular element / W. Wendt // 9 th. Nord. Senin. Comput. Mech., Lyngby, Oct. 25-26, 1996. -Lyngby, 1996. -p.153-156.

361. Wennerstrom Hans Nonlinear shell analysis performed with flat elements / Wennerstrom Hans // Finite Elem. Nonlinear Mech. - Trondheim, 1978. - Vol.1. -p.285-301.

362. Wood, R. D. Geometrically nonlinear finite element analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells / R. D. Wood, O. S. Zienkiewicz // Comput. and Struct. - 1977. - 7. - №6. -p.725-735.

363. Wriggers, P. A comparison of three-dimensional continuum and shell elements for finite plasticity / P. Wriggers, R. Eberlein, S. Reese // Int. J. Solids Structures. - 1996. - Vol. 33. -N20-22. -pp.3309-3326.

364. Xue, M. Some results on the analytical solution of cylindrical shells with large opening / M. Xue, Y. Peng, K. Hwang// ASME J. of pressure vessel technology. -1991.-vol. 113.-pp. 297-307.

365. Yuan, K. Y. Nonlinear analysis of an axisymmetric shell using tree node degenerated isoparametric shell elements / K. Y. Yuan, C. C. Liang // Comput. And Struct. - 1989. - 32. - №6. -p.1225-1239.

366. Zeng Q. A new one - point quadrature general non - line a quadrilateral shell element with phisical stabilization / Q. Zeng, A. Combessior // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №7. - p.1307-1338.

367. Zienkiewicz, O.C. Finite elements in the solution of field problems / O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung // The Engineering. - 1965. - Vol.220. - p. 507-510.