Разностные методы решения нелинейных нестационарных задач с двойным вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Майорова, Мария Евгеньевна

• Майорова, Мария Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Майорова, Мария Евгеньевна

Введение.

1 Исследование первой краевой задачи для уравнения с двойным вырождением.

§1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 Единственность решения.

§ 1.3 Обозначения. Вспомогательные результаты.

§ 1.4 Явная разностная схема.

§ 1.5 Регуляризованная разностная схема.

§ 1.6 Численное исследование разностных схем.

2 Вариационные неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Теорема существования.

§ 2.3 Единственность гладкого решения вариационной задачи.

§ 2.4 Явная разностная схема.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные методы решения нелинейных нестационарных задач с двойным вырождением»

Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и т.д.

Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения таких уравнений является конечно-разностный метод или метод сеток. Теория этого метода для линейных задач математической физики развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [21], [22], [66], [24], [18], [77], [78], [79], [80].

Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач. С наибольшей полнотой разработаны и исследованы численные методы решения нелинейных задач в предположении существования гладкого решения ( см., например, [1]-[7], [11]-[15], [32], [43]—[46], [50], [55], [81], [84], [85] ). Достаточно подробно изучены разностные схемы для уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами [20], [21], [36], [53], [67], [69]. Класс же нелинейных задач, имеющих прикладной интерес, значительно шире. Он постоянно пополняется, поскольку для более точного математического описания различных процессов и явлений приходится вводить новые нелинейные модели, часть которых не укладывается в ранее разработанные теории и не только с точки зрения численного решения, но и с точки зрения разрешимости самих задач. Примером могут служить нестационарные задачи, получившие в научной литературе название задач " с двойным вырождением". Термин "двойное вырождение" подразумевает, что рассматриваемое уравнение ( или вариационное неравенство ) содержит нелинейность и вырождение и в пространственном операторе, и во "временных слагаемых". Такие задачи часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии, таянии ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации (см. [9], [16], [31], [37], [68]).

По-видимому, первой работой, в которой был исследован вопрос существования обобщенного решения для подобного уравнения, является статья Ю. А. Дубинского [25]. Доказательство существования решения в этой работе проводится с помощью эллиптической регуляризации. Позднее Равьяр [96], используя доказанную в работе [25] теорему компактности, установил существования обобщённого решения для уравнения вида д(\и\а~2и) " д ди р-2 ди dxi

1) dt i=1 dxi

При этом существенно использовалась монотонность пространственного оператора и возникало ограничение на связь параметров а,р и п. Там же была доказана сходимость неявной разностной схемы в одномерном случае. В работах [91], [ТО] аналогичная методика применялась для исследования существование решения уравнений более общего вида. Изучению некоторых свойств решения уравнения (1) посвящена работа [89].

Существенный шаг вперед в изучении уравнений с двойным вырож-нием был сделан с появлением работы [86]. Здесь была доказана новая теорема о компактности, позволяющая исследовать задачи с непотенциальными операторами, без ограничений на параметры а,р и п и при более слабых предположениях на гладкость исходных данных. В работе [86] исследовалась система уравнений с двойным вырождением с пространственным оператором, зависящим и от градиента решения, и непосредственно от самого решения. Обозначим его L(u,Vu). В [86] предполагается, что

L{u, Vv) — L(u:Vw),v — w) > co\\v — w\\p Vu,v,w, (2) где со = const >0.

Операторы, удовлетворяющие (2)^при cq > 0 естественно называть сильно монотонными по градиенту, при cq = 0 - монотонными по градиенту.

В [86] доказана теорема существования решения для уравнений с двойным вырождением, получены некоторые результаты о гладкости решения, доказана теорема о разрешимости вариационного неравенства с двойным вырождением при достаточно сильном ограничении на пространственный оператор, близком к условию потенциальности. В [100] проведено обобщение результата [86] для уравнений на случай монотонного по градиенту непотенциального оператора.

Проблеме существования обобщенного решения для параболических уравнений с двойным вырождением посвящены также работы [8], [88], [90], [42]—[47], [92], [97], [98], [101]. В работах [26]—[30] был получен ряд результатов о регулярности обобщенного решения уравнения с двойным вырождением, получены гельдеровские оценки.

Вопрос единственности решения для уравнений с двойным вырождением долгое время оставался открытым ( см. [28] ). В литературе имелись лишь результаты частного характера о единственности гладкого решения [89] или о единственности решения, являющегося пределом гладких решений, [86], [87], [99]. Наиболее общий результат был получен в 1996 г. Ф. Отто [94]. В этой работе Ф.Отто для задачи, рассмотренной в [86] доказал единственность решения, используя оригинальную методику, основой которой послужили идеи работы С.Н. Кружкова [93].

Что касается исследования сходимости разностных схем, для уравнений с двойным вырождением, то здесь следует отметить, в первую очередь работу [96], где исследовалась в одномерном случае сходимость неявной разностной схемы, а также работы [10], [83], [84], где "временная нелинейность" не имеет особенности, и предполагается гладкость решения.

Предмет исследования данной работы - уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением с монотонным по градиенту пространственным оператором.

Основное внимание в работе уделяется построению и исследованию сходимости сеточных методов решения указанных задач. При этом учитывается, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов проводится при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросами о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи, поскольку из сходимости сеточного метода часто следует существование решения дифференциальной задачи, а единственность решения позволяет усилить результат о сходимости. Поэтому в диссертацию включены результаты о единственности и существовании обобщенного решения в тех случаях, когда они являются новыми.

Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Галеркина и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматор-ных тождеств [33]—[35]. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа. Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской [38]—[41].

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена исследованию следующей краевой задачи djf^-%Ua'{u)kAWu)) = f' (3) и(х, 0) = щ(х), и\т(х) = 0. (4)

Предполагается, что ip(£) - абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом ( 6 Д1 следующим условиям bo I £ Г -bi < ф(0 = / <p'(t)tdt <ъ21 е Г +Ьз, о межмегч&б, о, где а > 1, Ь0 > 0, bi > 0, b2 > 0, 63 > 0, 64 > 0, 65 > 0, Ь6 > 0. о 1

Функции а^, кг таковы, что оператор действующий из ]УР (П) в ЦГр1^) (1 /р+ 1 /р' = 1), определенный равенством является непрерывным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по \7г>. В первом параграфе первой главы дана постановка задачи. Второй параграф посвящен доказательству единственности обобщенного решения задачи (3)-(4).

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 1. Пусть функции сц, удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

I - |< I а - 6 I 6 е Д\ Уж е О, > о. (5)

Тогда при любых задача (3)-(4) имеет единственное обобщенное решение.

При доказательстве единственности решения используется методика, разработанная в [94].

В третьем параграфе первой главы сформированы и доказаны вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В четвертом параграфе первой главы для решения задачи (3)-(4) рассматривается явная разностная схема следующего вида щ(у) + Ау = Лт, (6)

2/(®,0) = Уо(х), у\г = 0. (7)

Здесь А - сеточная аппроксимация оператора Ь, построенная методом сумматорных тождеств ( см. [33]—[35]), а функции Дт, уо являются разностными аналогами функций / и ^о соответственно.

Для решения разностной схемы (6)-(7) получены априорные оценки восполнений сеточных решений, на основе которых с помощью теорем из [54], [56], [86] доказывается сходимость кусочно-постоянных восполнений решения (6)-(7) к обобщенному решению исходной задачи.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 2. Пусть функции </?, ау, кз удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,

8) (9)

10) (Н)

12) существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (6)-(7), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если / £ 1а(0, Т; Ь\(П)), а функции аг удовлетворяют условию (5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)~(4)

В пятом параграфе первой главы предлагается схема, названная регуляризованной: срь(у) + оу1 + Ау - Дт, (13)

У{х,0)=у0{х), у\г = 0, (14) где А, fhT, ср, уо - те же, что и в схеме (6)-(7), а а - некоторая положительная постоянная ( параметр регуляризации ). Отметим, что схема (13)—(14) по реализации близка к явной, однако^при доказательстве сходимости не требуется выполнения условий (8), (9). Здесь доказана

0 > *>61 £ Ia"2 пРи > 2, р-Щ' >Ч£ |(2-Q)/(a-1} при а < 2, / е Zy(0,T; П La(0,T; W^T1^)), щеЬа(П) n tí^(íí). Тогда при т, h, удовлетворяющих соотношениям г < cA"s, г А* —0 тград г, /г 0, г(?е s = тах{р, a}/min{a — 1,1}, s = тах{р, а, о;'},

2фг frl+nfr-aVap' еСЛИ Р ^ »>

Аа = —-—, еслгх 1 < р < а, п.

Теорема 3. Пусть функции р, а^ kj удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того, Е Ьр,(0,Т;\¥р-1(П))ПЬ2(0,Г; ^(П)), и шаги сетки т, И выбраны так, что параметр р, определенный соотношениями о 4п2/р р = гЛ2 = т при 1 < р < 2, р = гЛ^ЛГ2 =

2рп

Ьр+п(р—2)(р-а)/ар При Р ^ 2, О; > 2, г-^- при а < 2 < р, удовлетворяет соотношениям р < 1, р —> 0 при т, Н О, а параметр регуляризации сг выбран так, что

1-7

СГ = (Т0р Г, где 0 < 7 < 1 - произвольная постоянная, - константа, определяемая исходными данными задачи, тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (13)-(Ц), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если / Е 1а(О, Т; а функции щ удовлетворяют условию

5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)-(4)

В последнем параграфе первой главы приведены результаты численного исследования разностных схем для задачи (3)-(4) на примере задачи о свободном растекании неньютоновской жидкости или куполовидного ледника с нулевым балансом массы.

Численные исследования проводились в одномерном случае. Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать вывод, что явная схема дает хорошие результаты. Неявная разностная схема, реализованная методом Ньютона, не на много улучшает результаты явной разностной схемы и сохраняет зависимость между шагами т, /г, поскольку для сходимости метода Ньютона требуется высокая точность начального приближения. Регуляризованная разностная схема дает решения близкие к решениям явной разностной схемы, если итерационный параметр а выбран оптимально.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюционного вариационного неравенства с двойным вырождением вида: f,v-u)dt Vv£K, (15) где о (i)

К = {v, veLpiO^Wp (íí))nLoo(0,T;Le(n)), v > g почти всюду в О x (0,Т]}, (w,v) значение функционала w из 1у(0,Т; И^71(0)) на элементе v из о (i)

Lp(0,T]Wp При определении решения вариационного неравенства полагается, что функция и такова, что 6 M0,T;V(n)). и(х, 0) = щ(х) почти всюду В Qt. (16)

В первом параграфе дана постановка задачи, определено обобщенное решение.

Во втором параграфе доказана теорема существования обобщенного решения вариационной задачи (15)—(16). Доказательство проводится с помощью метода полудискретизации со штрафом. Под решением о 1 полудискретной задачи понимается функция y(t) е Wp (ÍÍ) П La(ü) Vi G ujt такая, что г/(0) — tío(ж) почти всюду в о 1 и для любой функции w £WP (fi) П La{Cl) Vi € lot справедливо равенство ^Pt((y(t) -g(t))+ + g{t))wdx + (Lg(y(t), Vy(í)),«;>+ ü

-/ (3(у(1)-д{1))и](1х = (/г(*),ю>.

Здесь е - параметр штрафа, /т и д полудискретные аналоги функций / и д :

1 1 т т ■»

7" т

4 4 операторы ¡3 определены следующими равенствами

Угх) = ¿((V - <?)+ + д, Vг/) У-и, и € £а(П)П ^ (О), /Зги = - | иГ |р~2 иГ V™ е Л1.

Доказана

Теорема 4. Пусть д € Ьоо(0,Т; 1/а(П)) П ¿р(0, Т; И^(П)), р|г < О, дЬ

О (1) о гр ПЬа(0), г4о(ж) > д(х, 0) почти всюду в О, (17)

Тогда существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к решению задачи (15)-(16).

В третьем параграфе второй главы исследуется единственность решения вариационной задачи (15)—(16). Установлено, что при выполнении условия а{(х,£)-(ц(х,г))\<с\€-г1\ г] <Е Д1, г = 1,.,п (18) решение задачи (15)—(16) единственно в классе функций, удовлетворяющих включению д<р(и) дг еХ2(0,Г;Ь2(П)). (19)

Кроме того, здесь показано, что если а > 2, А - монотонный оператор, / 6 £1(0, Т; Ь\(П)^справедливо соотношение (18), то задача (15)—(16) ^ будет иметь решение, удовлетворяющее (19).

В четвертом параграфе для решения вариационного неравенства

15)—(16) при д = const предлагается следующая разностная схема

Ш +Ау+ -д)= fhT, (20) у(х,0)=у0(х), У|г — 0. (21)

Здесь А, filT - разностные аппроксимации оператора L и функции /, определенные так же, как и в первой главе.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 5.Пусть функции (р, aj, kj удовлетворяют условиям теоремы 2, кроме того, о v-еея1 и выполнены соотношение (17).

Тогда при любых т, hue, удовлетворяющих (9), (10) и таких, что < с где s = тах{а, а',р}, \а определена (12), существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (20)-(21), сходящаяся к обобщенному решению задачи (15)

16).

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Доказана единственность решения нелинейных эволюционных уравнений с двойным вырождением.

2. Для решения уравнения с двойным вырождением предложены две разностные схемы, исследована их сходимость.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

4. Доказана теорема о единственности гладкого решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

5. Предложен сеточный метод решения вариационного эволюционного неравенства, доказана его сходимость.

- 13

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54], [56]-[65], [73], [95] и докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Optimization Of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, 1995), на Всероссийском семинаре " Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г., 1998 г.), на 8-ой Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 1999 г.), в Казанском университе (семинар А.Д. Ляшко), а также на итоговых конференциях КГУ 1994-2000 г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Майорова, Мария Евгеньевна, 2000 год

1. Абрашин В.Н. Сходимость метода сеток для многомерных квазилинейных задач теплопроводности // Докл. АН БССР. -1972. - Т.16. - N 10. - С. 877-880.

2. Абрашин В.Н. О равномерной сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений параболического типа // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук. 1973. - N 2. - С. 23-31.

3. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейного параболического уравнения, не разрешенного относительно старших производных // Дифференц. уравнения. 1975. - Т.11 - N 4. -С. 694-707.

4. Абрашин В.Н. О разностных схемах для нестационарных задач с неограниченной нелинейностью // Докл. АН БССР. 1976. -Т.20.- N 8. С. 680-683.

5. Абрашин В.Н. О некоторых разностных схемах для задач лучистой теплопроводности // Докл. АН СССР. 1976. -Т.230- N 4. С. 753-756.

6. Абрашин В.Н. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. I // Дифференц. уравнения. 1976.- Т.12. N 8. - С. 1470-1484.

7. Абрашин В.Н., Цурко В.А. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. II // Дифференц. уравнения. 1978. - Т.14. - N 7. - С. 1215-1223.

8. Агаев Г.Н. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных операторных уравнений // Некоторые вопросы теории нелинейного анализа / Ин-т мат. и мех. АН Аз.ССР. -1990. вып.2. - С. 3-18.

9. Антонцев С.Н., Мейрманов A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. -Новосибирск: изд.-во НГУ, 1979. 80 С.

10. Арделян H.B. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 7.- С.1116-1127.

11. Баклановская В.Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т.1. - N 3. - С. 461-469.

12. Баклановская В.Ф. Численное решение второй краевой задачи для одномерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т.1. - N 6. - С. 1129-1134.

13. Баклановская В.Ф. О некоторых нелинейных задачах нестационарной фильтрации // Прикл. матем. и мех. 1962. - Т.26. -N 1. - С. 196-200.

14. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и кубатурные формулы. М.: Наука, 1964. - С.228-243.

15. Баклановская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной двумерной задаче нестационарной фильтрации // Численные методы решения задач математической физики. М.: Наука, 1966. - С.237-239.

16. Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 С.

17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М:Наука, 1972. - 416 С.

18. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. - Т.35.- N 7. С. 1011-1021.

19. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.:Мир, 1978. 336 С.

20. Глазырина JI.JI., Павлова М.Ф. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Изв.вузов. Математика. 1984. - N 9. - С. 72-75.

21. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численные исследования вариационных неравенств. М.:Мир, 1979. - 574 С.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука, 1973. - 400 С.

23. Григорян С.С., Красс М.С., Шумский П.А. Математическое моделирование основных типов ледников // В сб.: Механика ледников, М., 1977, с. 3-37.

24. Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сборник. 1976. - Т.99. - С. 299-360.

25. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сборник. 1965. - Т.67. - N 4. - С. 609-642.

26. Иванов A.B. Приграничные гельдеровские оценки для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -1991. N 188. - С. 45-69.

27. Иванов A.B. Классы Bmj и гельдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1992. - N 197. -С. 42-70.

28. Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. 1992. - Т.4. -Вып.6. - С. 114-130.

29. Иванов A.B., Мкртчан П.З. Весовая оценка градиента для неотрицательных обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. - N 191. - С. 3-23.

30. Иванов A.B., Мкртчан П.З. О существовании непрерывных по Гельдеру неотрицательных обобщенных решений начально-краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений с двойным вырождением // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. -N 182. - С. 5-28.

31. Калашников A.C. Вопросы теории вырождающихся параболических уравнений // Успехи мат. наук. 1987. - Вып. 2. - С. 135-176.

32. Карчевский М.М., Лапин A.B., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 3. - С. 23-31.

33. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий ч 1 // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

34. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений ч 2 // Изв. вузов.• Математика. 1973. - N 3. - С. 44-52.

35. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. Казань:Изд-во КГУ, 1976.- 158 с.

36. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1980. Т.Н. - N 4. - С. 104-112.

37. Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенноые состояния деформируемых пористых сред // ДАН России. 1998.- Т.356. N 3. - С.343-345.

38. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 408 С.

39. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. -280 с.

40. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными / / УМН. 1957. - Т.12. -N 5. - С. 123-149.

41. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения. М.: Наука, 1973. - 576 С.

42. Лапин A.B. Исследования одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Диф.ур. 1980. - Т.14. - N 7. -С. 1245-1254.

43. Лапин A.B. О двухслойных сеточных схемах для нестационарных нелинейных вариационных неравенств / / Вычисления с разреженными матрицами. Новосибирск. - 1981. -С. 88-97.

44. Лапин A.B. Исследования двухслойных сеточных схем для параболических вариационных неравенств // Изв.вузов. Математика.- 1983. N 10. - С. 37-45.

45. Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1973. - N 1. - С. 71-73.

46. Лапин A.B., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении // Изв. вузов. Математика. 1975. - N 12. - С. 30-42.

47. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств.- Казань: изд.-во КГУ, 1984. 96 С.

48. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972. - 588 С.

49. Лионе Ж.- Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 С.

50. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных разностных операторно-разностных схем // Докл. АН СССР. -1974. Т.215. - N 2. - С. 263-265.

51. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. - N 6. - С. 73-81.

52. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: изд.-во КГУ, 1985. - С. 119.

53. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации // Диф.ур. 1980. - Т.16. - N 7. - С. 1255-1264.

54. Ляшко А.Д., Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Диф. ур. 1996. - Т.32. - N 7. - С. 896-901.

55. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. О корректности двухслойных операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17. N 7. - С. 1304-1316.

56. Майорова М.Е. Сходимость явной разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с двойным вырождением / Казань: КГУ, 1996. Деп. в ВИНИТИ 31.01.96. - N 344-В96.-20 С.

57. Майорова М.Е. Исследование разрешимости одного вариационного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.- 1998.- С. 53-55.

58. Майорова М.Е. О разрешимости одного эволюционного вариационного неравенства с неоднородным ограничением / "Исследование по прикладной математике". Казань: Изд.-во Казанского математического общества. - Вып. 23. - 1999. - С. 204-211.

59. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика. 1994. - N 1. - С. 43-53.

60. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / Казань: КГУ, 1995. Деп. в ВИНИТИ 28.03.95. - N 836-В95. -30 С.

61. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / "Исследования по прикладной математике". Казань: Изд-во Казанского математического общества. - Вып. 22. - 1997. - С.106-130

62. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. Сходимость явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика, 1997. N 7. - С. 53-65.

63. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О единственности решения в задачах с двойным вырождением / Труды Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо.- 1999.- С. 154 161.

64. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.:Наука, 1977. 456 С.

65. Масловская Л.В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа // Журнал выч. матем. и матем. физ. 1972. - Т. 12. - N 6. - С. 1444-1455.

66. Мухитдинов Н. Газодинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. Ташкент:"Фан" Узб.ССР. - 1977. - 152 С.

67. Павлова М.Ф. Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: КГУ, 1981. - Вып. 3. - С. 67-78.

68. Павлова М.Ф. Исследования уравнений нестационарной нелинейной фильтрации // Диф. ур. 1987. - Т.23. - N 8. - С. 1436-1446.

69. Павлова М.Ф. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-метематических наук. Казань, 1981. - 132 С.

70. Павлова М.Ф. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-метематических наук. Казань, 1998. - 238 С.

71. Павлова М.Ф., Майорова М.Е. Сходимость явных разностных схем для параболического нелинейного нестационарного неравенства / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань.-1996.-С.87-89.

72. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. О разрешимости одного нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Математическое моделирование. 1992. - Т.4. - N 4. - С. 74-88.

73. Саламатин А.Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников // В сб.: Исследование по прикладной математике, Казань: КГУ, 1979, вып. 7, с. 131-139.

74. Саламатин А.Н., Чугунов В.А., Мазо А.Б. Численное исследование и инвариантные решения задачи о динамике субизотермического ледника в одномерном приближении / / Задачи механики природных процессов. М.: МГУ. - 1983. - С. 82-95.

75. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 616 С.

76. Bamberger A. Etude dune equation doublement non lineáire // J.Func. Anal. 1977. - V.24. - P. 148-155.

77. Blanchard D, Fracfort G. Study of a doubly nonlinear heat equation with no growth assumption on the parabolic term // SIAM J.Math. Anal. 1988. - V.19. - P. 1032-1056./

78. Grange O., Mignot F. Sur la résolution d'une Equation et d'uneirïquation paraboliques non linéaires // J. Func. Anal. 1972. - V.ll.- P. 77-92.

79. Jingxue Y. On a class of quasilinear parabolic equations of second order with double-degeneracy //J. Partial Diff.Eq. 1990. - V.3. -P. 49-64.

80. Kruzkov S. N. First order quasilinear equations in several independent variables // Math USSR-Sb 10 (1970), p.217-243.

81. Otto F. L\- Contraction and Uniqueness for Quasilinear Elliptic-Parabolic Equations // J.Differential Equations. V.131. - N 1. -P. 20-38.

82. Pavlova M.F., Maiorova M.E. On the convergence of finite element schems for nonlinear parabolic with double degeneration / Abstract of Internationale conference " Optimization of Finite Element Approximation", St.-Peterburg. -1995.- P.74-75.

83. Raviart R.A. Sur la resolution de certaines e'quations paraboliques non line'aires // J.Func. Anal. 1970. - V.5. - N 2. - P. 299-328.

84. Tsumtsumi M. On solution of some double nonlinear degenerate parabolic equations with absorrption //J. Math. Anal Appl. 1988.- V.132. P. 187-212.

85. Xu X. Existence and convergence theorems for double nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type // J. Math. Anal. Appl. 1990. - V.150. - P.-205-223.

86. Yin J. On the uniqueness and stability of BV solution for nonlinear diffusion equations // Comm. Partial Differential Equations 15, N 12.-1990.- P.1671-1683.

87. Zeman J. On existence of the weak solution for nonlinear diffusion equation // Appl. of mathematics. 1991. - V.36. - N 1. - P.9-20.- 133

88. Zhuang Qiongshan. Initial-boundary value problem for double degenerate nonlinear parabolic equation //J. Partial Diff. Eq. 1989 - V.2. - N 4. - P. 47-61.