Численное решение параболических задач оптимального управления с ограничениями на функцию состояния системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Романенко, Артур Данилевич

• Романенко, Артур Данилевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Романенко, Артур Данилевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Формулировка задач оптимального управления. Существование и единственность решений

§1. Постановка задач оптимального управления

§2. Существование и единственность решения задач оптимального

управления

Глава 2. Аппроксимация задач оптимального управления

§1. Полудискретная конечно-элементная аппроксимация

§2. Аппроксимация по времени

§3. Конечно-элементная и конечно-разностная аппроксимации задачи с управлением в области

§4. Конечно-элементная аппроксимация задачи с граничным управлением

Глава 3. Итерационные методы решения седловых задач

§1. Седловые задачи и итерационные методы их решения

§2. Многосеточный метод

§3. БОЯ-метод

Глава 4. Результаты численных экспериментов

§1. Задача с наблюдением в части области

§2. Задача с переменными шагами по времени

§3. Задача с граничным управлением

§4. Задача с финальным наблюдением

§5. Трехсеточный метод и метод верхней релаксации

§6. Метод Рагагеа1

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение параболических задач оптимального управления с ограничениями на функцию состояния системы»

Введение

История вопроса и актуальность проблемы. Задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных, входят в область численного анализа и являются достаточно сложным объектом для исследования. Как правило, в таких задачах присутствуют ограничения на функцию состояния и (или) управления. Первые работы, посвященные данной проблематике, стали появляться с начала 1960-х годов. Одним из первых исследователей задач оптимального управления с распределенными параметрами был Бутковский А. Г. [3], [4]. В этих работах были получены результаты для задач с ограничениями на управляющие воздействия, которые могут входить как в уравнение состояния, так и в граничные условия. При этом система переводится из одного начального состояния в другое определенно заданное состояние за конечное время. В работах Егорова А. И. [7], [8], [9] рассмотрена задача оптимального управления, которая описывается системами дифференциальных уравнений параболического типа. Были исследованы задачи с фиксированным временем и произвольным конечным состоянием, и задачи с конечным состоянием, которое удовлетворяет определенному функциональному соотношению.

Плотников В. И. в дальнейшем исследовал параболические системы в общем виде [29], [30]. В данных работах было обосновано существование оптимального управляющего воздействия и подробно проведено исследование для задачи оптимального быстродействия.

Труды казанского исследователя Сиразетдинова Т. К. [33], [34], [35] посвящены решению задач с распределенным управлением при неполной информации о состоянии процесса.

Зарубежные авторы также активно занимались этой тематикой. Например, можно указать на одну из работ Ж. Л. Лионса [26], в которой рассматриваются эллиптические, параболические и гиперболические уравнения в качестве задач состояния. Оптимальное управление нестационарными процессами играет важную роль на практике в различных приложениях. Например, в работах Gunzburger M. et al. [60], Hinze M., Ziegenbalg S. [66] описывается задача Стефана, моделирующая процесс образования твердого тела из жидкого раствора. Температурные ограничения не позволяют перейти веществу в иное агрегат-

ное состояние, а ограничения на управление соответствуют ограничениям на мощность нагревательных источников.

Несмотря на большое количество работ по задачам оптимального управления процессами с эллиптическим уравнением в качестве задачи состояния (см., например, Casas E. [49], Deckelnick K., Gunther A., Hinze M.[51], [53], [82], Meyer C. [86], Yuan L. and Yang D. [99]) и аналогичным им вариационным неравенствам (Игнатьева М. А., Лапин А. В. [11], [12], [67]), в настоящее время задачи с параболическим уравнением состояния находятся в поле зрения исследователей.

Исследование сеточных схем для параболического уравнения с поточечными ограничениями приведено в работах Deckelnick K., Hinze M. [52], Meidner D. et al. [85], Leykekhman D., Vexler B. [79]. Решение полудискретной задачи с аппроксимацией по пространству представлено в работе Droniou J., Raymond J. P. [54], где также рассмотрен нелинейный добавок к эллиптическому оператору. Вдобавок, имеются к настоящему времени результаты о сходимости и оценках точности в работах E. Casas и K. Kunish [5G], Hinze M. [63], Hinze M. и Meyer C. [64], Gong W., Hinze M. [58] и Kunisch K., Pieper K., Vexler B. [68].

На основе результатов этих работ можно доказать сходимость сеточного решения к решению дифференциальной задачи для всех типов задач оптимального управления, представленных в диссертации. Однако нашей целью будет построение и исследование сходимости итерационных методов решения приближенных задач с управлением, распределенным в области и на границе.

Помимо этого, в диссертации рассматриваются ограничения на производную по времени функции состояния. Данный подход является новым и описан в работах E. Laitinen, A. Lapin, S. Lapin [71], [72]. Также в них доказано существование и единственность решения задачи оптимального управления и получены оценки для значения итерационного параметра.

Имеются два способа решения задач с ограничениями на функции состояния и управления. Первый из них - это метод, который можно условно охарактеризовать «от оптимизации к аппроксимации», когда мы для дифференциальной задачи в соответствующем функциональном пространстве строим итерационные методы с дальнейшей конечномерной аппроксимацией. Для решения таких задач можно эффективно применять градиентный метод с проекцией. Но в этом случае при наличии ограничений на состояние множители Лагранжа, которые

дают условия оптимальности первого порядка, не достаточно гладкие. Именно поэтому используются методы регуляризации - Моро-Иосиды и Лаврентьева. Первый из них рассмотрен в работе Hintermuller M., Kunisch K. [62] и регу-ляризует индикаторную функцию множества ограничений. Регуляризация по Лаврентьеву описана в статье Hinze M., Meyer C. [65] и применяется к эллиптической задаче оптимального управления.

Второй способ решения, основанный на обратном принципе «от аппроксимации к оптимизации», состоит в замене дифференциальной задачи на приближенную методом конечных разностей или конечных элементов, а затем получившуюся дискретную задачу решают численно. Ввиду большой размерности задачи и плохой обусловленности, остается актуальной проблема поиска эффективного итерационного метода (см., например, [45]).

Альтернативой этим методам решения задач оптимального управления является метод, основанный на применении множителей Лагранжа. Такой подход приводит сеточную задачу к так называемой седловой задаче с ограничениями. В работе Bergounioux M., Kunisch K. [40] успешно применен данный метод для решения задачи с управлением в краевом условии.

Еще одна группа методов - методы внутренней точки или штрафные методы. Основная идея состоит в замене задачи минимизации целевого функционала с ограничениями на соответствующую задачу без них. При этом в функционал добавляются штрафные слагаемые такие, что значение функционала стремится к бесконечности, если итерационный процесс выходит за пределы допустимого множества. В статьях Weiser M., Schiela A. et al. [96], [97], [98] и Ulbrich M., Ulbrich S. [94] рассмотрены данные методы и их модификации в функциональных пространствах с ограничениями на управления. Однако большую сложность представляет решение системы уравнений с разреженной матрицей большой размерности. Применение метода внутренней точки к решению задачи оптимального управления с ограничением на функцию состояния описано у Schiela A. [92].

Основной метод решения, используемый в данной работе, носит название предобусловленного метода Удзавы. Он позволяет определить множества активных ограничений на состояние и управление с высокой степенью точности. Однако, при этом в седловых задач присутствует нелинейный многозначный оператор. Численная реализация алгоритма будет заключаться в его обраще-

нии при сохранении простоты реализации. В пределе при выполнении условий сходимости метода выполняется уравнение состояния. Классической работой, посвященной данному методу в задаче линейного программирования, является работа Эрроу К., Гурвица Л., Удзавы Х. [39]. Кроме этого, данный метод может быть применен не только для задач оптимального управления, но и для решения вариационных неравенств, в частности, для задач теории фильтрации (Badriev I. B., Karchevskii M. M. [41]).

Дополнительно в данной работе рассматривается многосеточный метод, идею которого предложил Р. П. Федоренко. В дальнейшем он в [37] доказал сходимость для уравнения Пуассона в квадрате. Академик Н.С. Бахвалов рассмотрел в [2] произвольное эллиптическое уравнение в квадрате и доказал оптимальность метода по количеству операций. При аппроксимации уравнения по методу конечных элементов возможность применения метода была обоснована Г. П. Астраханцевым [1]. Исследования Brandt A. [48] и Hackbusch W. [61] положили начало разработкам многосеточного метода за рубежом, и в 1980-х годах была разработана современная теория этого метода (см., например, Bastian P. et al. [43], Bramble J. H. [46], [47], Oswald P. [89], Verurth R. [95]).

Кроме этого, в диссертации приводится решение задачи с применением метода параллельных вычислений - т.н. parareal-алгоритм, впервые предложенный J. L. Lions, Y. Maday, Turinici G. в 2001 году и приведенные в статье [81], для численного решения эволюционных задач. Такое название метода было выбрано, чтобы подчеркнуть его эффективность при параллелизации в реальном времени на нескольких процессорах, когда невозможно найти решение при последовательной алгоритмизации с задействованием одного процессора. Этот метод стал одним из применяемых в течение последних лет, особенно в связке с методами декомпозиции области. Применение данного метода для решения задач гидродинамики приводится в [55], для уравнений Навье-Стокса в [56], и в задачах, связанных с моделированием формы резервуаров [57]. Детальное исследование алгоритма описывается в работах [83], [84], а его сходимость рассматривается в [42], [93].

Цель настоящей работы - построение эффективно реализуемых итерационных методов для решения седловых задач оптимального управления. В работе рассматриваются вопросы существования и единственности решения задач оптимального управления для дифференциального и дискретного случаев и ите-

рационный метод Удзавы с легко обратимым предобусловливателем. Значение итерационного параметра для данного метода не зависит от шагов сетки.

Объектом исследования являются параболические задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями на функции состояния и управления и их дискретные аналоги. В область данного исследования также входят итерационные методы их численного решения.

Научная новизна. В соответствии с поставленной целью нами были поставлены и решены следующие задачи:

• Сформулированы и доказаны теоремы о существовании и единственности решения задач оптимального управления с активными поточечными ограничениями на функции состояния и управления.

• Построены сеточные и конечно-элементные аппроксимации указанных задач с обоснованием их разрешимости.

• Доказана сходимость итерационного метода Удзавы решения седловых задач с нелинейными многозначными операторами.

• На примерах конкретных задач оптимального управления показана эффективность данного метода и проведен сравнительный анализ с другими известными итерационными методами.

Методы исследования. Проводимое исследование опиралось на подходы и методы из теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных решений уравнений в частных производных. Использовались результаты из функционального анализа, численных методов решения уравнений и вариационных неравенств с ограничениями.

Практическая значимость. Рассмотренные в работе итерационные методы могут быть использованы для решения параболических задач оптимального управления с управлением в правой части и граничным управлением при наличии поточечных ограничений на функции состояния и управления, а также при поточечных ограничениях на производную по времени функции состояния. Кроме этого, можно привести работы ЬаШпеп Е., Ке^ааптаИ Р. [74], [75], [87], посвященные задаче выплавке стали и управлению параметрами печи с целью снижения энергозатрат. Эти процессы описываются системами уравнений в частных производных, где температура определяется как функция состояния системы.

Личный вклад. Автор принимал участие в доказательстве основных утверждений, представленных в работе, построении аппроксимаций дифференциальных задач, разработке с обоснованием сходимости итерационных методов Удзавы, представленных в главе 3. Все вычислительные эксперименты были проведены непосредственно автором с использованием пакета прикладных программ Matlab.

Результаты исследования кратко можно охарактеризовать следующим образом:

1. Доказано существование единственного решения для задач с параболическим уравнением состояния, содержащим распределенное в области управление и управление на границе, с использованием теории выпуклого анализа.

2. Получены решения соответствующих дискретных задач оптимального управления и обоснована их единственность.

3. Установлена однозначная разрешимость седловых задач с распределенным и граничным управлением.

4. Построен итерационный метод Удзавы с факторизованным, легко обратимым предобусловливателем и приведены условия его сходимости.

5. Проведены численные эксперименты в среде Matlab для конкретного вида задач и сравнительный анализ их результатов.

Апробация. Основные результаты работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях: X, XI Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, КФУ, 2014, 2016 гг.), Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти профессора Н. В. Аз-белева и профессора Е. Л. Тонкова (Ижевск, УдГУ, 09.06.2015 - 11.06.2015), XII Международная Казанская летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, КФУ, 27.06.2015 - 04.07.2015), Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения -2015» (Казань, КФУ, 22.10.2015 - 27.10.2015), Международный научный семинар «Simposium in Coordinated Innovation Center for Computable Modeling in

Management Science» (КНР, Тяньцзинь, Тяньцзиньский университет финансов и экономики, 12.01.2017 - 18.01.2017), Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2017» (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 10.04.2017- 14.04.2017), Международная молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, ИММ им. Н. Н. Красовского УРО РАН, 2017, 2018 гг.), на семинаре кафедры информатики МФТИ (руководитель - член-корреспондент РАН, профессор И. Б. Петров, 2018 г.), а также на итоговых научных конференциях в

Структура работы. Диссертационное сочинение состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы.

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, приводится обзор имеющихся работ, определяется объект исследования, его цель и задачи, методы исследования, отмечается практическая значимость работы и дается краткая характеристика ее результатов.

Первая глава посвящена формулировке задач оптимального управления с линейным параболическим уравнением состояния, и приведены теоремы о существовании и единственности решения для задач с распределенным и граничным управлением. В зависимости от выбора целевого функционала имеют место различные наблюдения заданной функции.

В первом параграфе рассматривается задача в цилиндре Qт = О х (0, Т) произвольно фиксированной высоты Т и открытой областью О С с управлением, распределенным в Qт:

КФУ.

dy

t - Ay = u + f, (x,t) G Qt, y = 0, (x,t) G дÜ x (0,T), y = yo(x), x G Ü, t = 0,

дt

и функционалом

т

J(y,u) = - (y - Zd)2 dxdt

+

а

2

//

0 n

Qt

где zd Е L2(0,T; L2(ü\)) - заданная функция, ü\ С ü - подобласть, имеющая кусочно-гладкую границу, а = const > 0 - параметр.

Задаются выпуклые и замкнутые множества поточечных ограничений на состояние и управление Yad и Uad соответственно. Тогда задача оптимального управления - найти

min J(y,u),

(y,u)EK

K = {(y,u) Е Yad x Uad и выполнено уравнение состояния}.

При замене первого слагаемого в функционале на наблюдение в финальный момент времени при t = T получим задачу с финальным наблюдением

J(y, u) = i J(y(x,T) — yd(x))2 dx + а jj u2 dxdt, П Qt

где yd Е L2(ü) - заданная функция.

Приводится также задача состояния с управлением на части границы :

dy — Ay = u в Qt , dt

n v dy v

y = 0 на , — = q на ,

dn

y = 0 при t = 0, x Е ü. Поточечные ограничения задаются в виде:

Uad = {u Е L2(Qt) : lu(x,t)l < um&x п.в. (x,t) Е Qt},

Qad = {q Е W : |q| < q п.в. },

dy dy

Yad = {y Е V : — Е L2(Qt), dymin < — ^ dymax п.в. Qt}.

Здесь u > 0, q > 0 и —то ^ dymin < 0 < dymax ^ то. Целевой функционал полагается

J(y, u,q) = 2 J(y — yd)2dxdt + 2 f (dt — z^) dxdt+

Qt Qt

+2 u2dxdt + - q2drdt,

Qt e

n

где yd, zd G L2(QT) - заданные функции наблюдения.

Тогда задача оптимального управления заключается в поиске

min J (y^q),

{y,u,q)eK

K = {(y,u,q) G Yad x Uad x Qa,d : и выполнено уравнение состояния}.

Во втором параграфе записывается в общем виде задача Коши

y + Ay = Bu + f, t G (0,T),

y (0) = yo,

соответствующая уравнениям состояния, и приводятся дополнительные условия на операторы A, B и целевой функционал вида J(y, u) = 0(y) + ^>(u), которые позволяют сформулировать теоремы 1, 2 существования и единственности задач оптимального управления в общем виде, а также применение данных теорем к задачам с распределенным и граничным управлениям. Так, в теореме 1 утверждается, что решение задачи существует, если множество ограничений Uad на управление ограничено, либо целевой функционал является равномерно коэрцитивным по u относительно y. Согласно теореме 2, единственность решения обеспечивается, если выполнено одно из двух условий: либо функция 0(y) выпуклая и ^>(u) строго выпуклая, либо при Ker{B} = 0 функция 0(y) строго выпуклая и ^>(u) выпуклая.

Применение результатов этих теорем к задачам с распределенным и граничным управлением содержится в теоремах 3, 4 с конкретными операторами A, B, функционалом J(y,u).

Во второй главе рассматриваются аппроксимации в конечномерном пространстве векторов с использованием сеточных методов и методов конечных элементов. Так, в первом параграфе строится полудискретная задача с аппроксимацией по пространству для каждого t G (0,T) по методу Фаэдо-Галеркина на примере задачи с распределенным управлением в области.

d

-(y(t),n) + a(y,n) = (u(t) + f(t),n) Vn G V = H0(^), t G (0,T),

y(0) = y0.

Здесь a(-, •) : V х V ^ R - непрерывная, коэрцитивная билинейная форма, определяемая равенством:

a(y,n) = J Vy • Vn dx.

Q

Квадратичный функционал цели имеет вид:

T

J (y, u) = - J J (y — zd)2 dxdt + a J J u2 dxdt.

0 Qi Qt

Множества ограничений на состояние и управление:

Yd = {y G L2(0,T; Я0(^)) : |y(x,t)| ^ y для п.вс. (x,t) G Qt}, Uad = {u G L2(Qt) : |u(x,t)| ^ u для п.вс. (x,t) G Qt},

где y, u = const.

Тогда будем искать решение задачи оптимального управления

найти min J(y,u),

(y,u)GK

K = {(y,u) G Yad х Uad, выполнено уравнение состояния} = 0.

Вводится пространство сеточных функций Vh = {z G Я0(^)П C(П) : z G P1 Vx G e} с ортонормированным базисом {^}m=1. Обозначим через M = )}$= - матрицу масс, K = {a(^,^k)}$= - матрицу жестко-

сти.

Полудискретная задача оптимального управления будет заключаться в поиске

T T

min {- (M(y — zd),y — zd) dt + a (Mu,u) dt}, (y,u)GK l J 2 J

0 0

K = {(y,u) G Yad х Uid : выполнено My' + Ky = M(u + f)}

в пространстве QN = RNl х (0,T), N = dim Vh на множестве ограничений

Ya'd = {y e RNl х (0,T) : \y(xi,t)\ ^ y для (x>,t) e QN1}, Ulad = {u e RNl х (0,T) : \u(xi,t)\ < u для (xt,t) e QN1}.

Во втором параграфе описано построение сеточной задачи с постоянными и переменными шагами по времени. Особенностью аппроксимации с использованием явной схемы с постоянным временным шагом является его малая размерность по сравнению с шагом по пространственной переменной при простой процедуре реализации алгоритма. Данное условие обеспечивает устойчивость схемы, но при этом задействуется большой объем памяти. Во избежание этого, в работе использованы переменные шаги, и, как следствие, получено меньшее количество временных слоев при численных расчетах, что позволяет хранить меньше данных. Устойчивость алгоритма обеспечена упорядочиванием переменных шагов.

Дополнительно в этом параграфе представлен рагагеа1-алгоритм для параболического уравнения. Главная идея метода: на грубой сетке ищутся значения сеточной функции с помощью любого легко реализуемого метода. Затем на согласованной с ней мелкой сетке ищутся решения на каждом подынтервале параллельно и независимо друг от друга, причем в качестве начальных условий берутся вычисленные значения с грубой сетки. После этого с помощью вектора поправки переопределяются новые начальные условия на грубой сетке. Данный алгоритм дает количественный выигрыш по временным затратам на вычислительную процедуру.

Третий параграф посвящен аппроксимации уравнения состояния для задачи с распределенным управлением в области. Применяется метод конечных элементов с квадратурами по пространству и переменными шагами по времени, в результате чего уравнение состояние заменяется на равенство

Ly = M (u + f),

где L - матрица диффузионного оператора, M - матрица масс. Целевая функция заменяется на сеточную

1 а

Jh(yh, uh) = 2(M(y - Zd),y - Zd) + 2(Mu, u)

и множества ограничений

Yad = {У : \yjI ^ У Для всех компонент вектора y}, Uhd = {u : \uj\ ^ u для всех компонент вектора u}.

Полученная дискретная задача оптимального управления формулируется:

min Jh(y,u),

(y,u)eKh

Kh = {(y,u) : y E Yhd,u E Uhd и выполнено уравнение состояния}.

В работе доказана теорема 6 о существовании единственного решения данной задачи.

Здесь же приведена конечно-разностная аппроксимация по явной схеме с

постоянным шагом по времени и пространству, в результате чего уравнение со-

стяния кратко записывается в виде Ly = u + F, и для оператора L доказана

1

теорема 7 о его положительной определенности с постоянной, равной -ßmin(Ax), где Ax - матрица сеточного оператора Лапласа с однородными краевыми условиями Дирихле.

Четвертый параграф посвящен конечно-элементной аппроксимации задачи с управлением на части границы с использованием прямоугольных конечных элементов по пространству и неявной схемы с постоянным шагом по времени. Тогда уравнение состояния в алгебраической форме принимает вид:

Ly = Mu + Sq q.

Функционал

J(y,p,u,q) = 1(M(y - yd),y - yd)+

+1 (M(p - Zd),p - Zd) + 1 (Mu, u) + 1 (Mqq, q),

где вектор

P = (Ry) = yj - yj 1, p 1 = Tdymin, P2 = Tdymax.

Задаются множества ограничений:

Uhd = W : Vh х и ^ R : KI ^ U Vx G fi, j = 1, 2,...,Nt}, Qhd = {qh : Qh х и ^ R : |qh I ^ q Vx G rN, j = 1, 2,...,Nt}, Phd = {Ph : Vh х ut ^ R : pi ^ ph ^ p2 Vx g fi, j = 1, 2,...,Nt}.

В результате сформулирована и доказана теорема 9 о существовании единственного решения полученной сеточной задачи оптимального управления вида

найти min Jh(yh,Ph ,Uh,qh),

(yh ,Ph,uh,qh)GKh

Kh = {(yh,Ph,Uh,qh) : Ph G phd,uh G qh G Qhd, выполнено Lyh = Muh + Sqqh }.

В главе 3 построены седловые задачи для соответствующих дискретных задач оптимального управления, содержащие нелинейный многозначный оператор в виде субдифференциала и описаны основные итерационные методы их решения. Первый параграф посвящен исследованию седловых задач и методу Удзавы в общем виде, а также применению общей теории к аппроксимированным задачам с распределенным управлением, финальным наблюдением и граничным управлением. Именно, для функции Лагранжа

L(w, Л) = ^(Aw, w) + <^(w) - (Bw, Л) - (f, w) + (g, Л) 2

с симметричной, положительно определенной матрицей A G Rnxn, матрицей B G Rpxn полного столбцового ранга rank B = p ^ n, и ^ : Rn ^ R -собственной, выпуклой и полунепрерывной снизу функцией, седловая точка является решением седловой задачи

A -BT\ /w\ + /dp(w)\ / f -B о у l^y V 0 У V-g

Предобусловленный метод Удзавы поиска седловой точки на множестве dom ^ с симметричной и положительно определенной матрицей D G Rpxp представлен в виде:

лk+1 _ \k

DЛ-— + B(A + 6V)-1(BTЛк + f) э g.

р

Алгоритм его реализации состоит в последовательном решении следующих задач:

Awk+1 + d(p(wk+1) э BTXk + f, DXk+1 = DXk + p(g - Bwk+1). Первый шаг заключается в поиске wk+1 = arg min L(w,Xk), а второй явля-

w

ется предобусловленным вариантом метода градиентного подъема для поиска max L(wk+1,X).

p

В теореме 11 утверждается, что метод сходится при О > —БА-1 В1, где

2

А3 = 0.5(А + Ат) - симметрическая часть матрицы А.

В частности, для задачи с распределенным управлением функция Лагранжа для нее имеет вид:

1

а

£{y, ui X) = ö\\y - zd\\xt + 77\\u\\xt + °{y) + <f(u) + (Ly - u - X)xt,

2

2

где 0(у), у (и) - индикаторные функции множеств ограничений, матрица Ь

9 д ^

-матрица сеточного оператора —--А и г - вектор правой части.

дЬ

Седловая задача, соответствующая ей, записывается в виде:

iE 0 LT\ (y\ (dO(y)\ (zd\

0 aE -E

u + d(p(u)

\l -e 0 J Vv \ 0 )

0

№

В теореме 12 утверждается, что седловая задача имеет решение (у,п,Х), причем пара (у, и) единственна и совпадает с решением дискретной задачи оптимального управления.

Метод Удзавы с симметричным и факторизованным предобусловливателем О = ЬЬт для нее имеет вид

yk+1 + dQ(yk+1) э zd - LTXk, auk+1 + d^(uk+1) э Xk,

xk+1 _ \k

LLTX-— = Lyk+1 - uk+1 - F}

p

2артш(ььт)

и сходится при 0 < р < -г—, где р - минимальное собственное число

1 + ар2

матрицы Ь.

Для задачи с финальным наблюдением функция Лагранжа имеет вид:

1

1

£(у,и,Л) = - уз),У — уз^ + х\\uWlt + %) + ^(и) + (Ьу - и - р,Л)

2

2

)хЬ 1

где матрица Q - диагональная с неотрицательными элементами:

1

Qij = < т

—, при ] = Т/т, 0, иначе.

Седловая задача для нее принимает вид:

^ 0 Ьт\ /у\ /д%)\ /^уз\

0 Е -Е

и

+

0

и —Е 0 / \Л/ V 0 / V р)

В й й ^ 0

В построенной седловои задаче матрица | вырожденная, и для

у 0 аЕ

обоснованного применения теории итерационных методов необходимо, чтобы она была положительно определена. С этой целью проводится эквивалентное преобразование путем прибавления к первому включению уравнения состояния Ьу — и = Р. Тогда новая задача представима в следующей форме:

(Q + Ь — Е Ьт\ (у\ /д%)\ (Qyd + Р\

0

ЕЕ

и

+

0

V ь —Е 0 у \Л/ V 0 / V р )

Доказана теорема 14 о положительной определенности матрицы А =

^ + Ь —Е\ ^ 1

при условии т <-——.

0 аЕ / ртах(Ах)

Применяется метод Удзавы с предобусловливателем и = ЬЬ81рт, где Ь5 = 0.5(Е + Ет):

ик+1 + 6>^(ик+1) Э Ак,

(д + Е)ук+1 + д%к+1) Э + Е - ЕтАк + мк+1,

\к+1 _ Ак

ЕЕ-1ЕтА-- = Еук+1 - ик+1 - Е,

5 р

Наконец, для задачи с управлением на границе функция Лагранжа записывается в виде:

£(У, и ^ ^ = 1 (М(У - уДу - + 2 (М(Р - ^,р - + 2 (Ми и) + +1 (Мд+ 0(р) + ри(и) + ^(?) + (А, Еу - Ми - 5д) + (д, Лу - р).

Седловая точка удовлетворяет системе: /

М 0 0 0 Ет ЛЛ у 0 ^МуД

0 М 0 0 -М 0 и д^и(м) 0

0 0 0 0 Мч 0 0 М — 5т 0 0 -Е д р + (д) д#(р) Э 0 М^

Е -М - 0 0 0 А 0 0

Л 0 0 -Е 0 0 0 0

V

где и - субдифференциалы соответствующих функций.

В развернутой форме метод Удзавы для данной задачи с предобусловлива-

^ .ЕМ-1Ет 0 телем и = , I имеет вид:

0 М-1 '

Мук+1 = Муз - Ет Ак - Лтрк, Мик+1 + д^(ик+1) Э МАк, Мчдк+1 + о^ (дк+1) Э Ак, Мрк+1 + д%к+1) Э М^ + рк,

\к+1 _ \к

ЬМ~1Ьт Х-- = Ьук+1 - Мик+1 - &дк+1,

Р

Мк+1 - ^ = МЯук+1 - Мрк+1. Р

В этой системе мы решаем последовательно включения с диагональным оператором путем покоординатного проектирования на соответствующие множества ограничений. Решение системы линейных уравнений с матрицей ЬМ-1Ьт сводится к последовательному обращению Ь и Ьт для линейных конечно-разностных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романенко, Артур Данилевич, 2018 год

Список литературы

1. Астраханцев Г.П. Об одном итерационном методе решения сеточных эллиптических задач. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т.11. — №2. — С. 439-448.

2. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода для эллиптического оператора с естественными ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1966. — Т.6. — №5. — С. 861-883.

3. Бутковский А.Г., Лернер А.Я. Об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. — 1960. — Т.134. — №4. — C. 778-781.

4. Бутковский А.Г. Задачи финитного управления линейными системами с сосредоточенными параметрами // Докл. АН СССР. — 1968. — Т.180. — №5. — C. 1056-1059.

5. Быченков Ю.В., Чижонков Е.В. Итерационные методы решения седловых задач // М.: Бином, 2010.

6. Васильев Ф.П. Численное решение экстремальных задач // М.: Наука, 1981.

7. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами // Матем. сб. — 1966. — Т.69(111). — №3. — С. 371421.

8. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессом теплопередачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т.12. — №3. — С. 791-799.

9. Егоров А.И., Рафатов Р. О приближенном решении одной задачи оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т.12. — №4. — С. 943-959.

10. Игнатьева М.А. Методы и алгоритмы решения эллиптических вариационных неравенств // Казань, Издат-во Казан. ун-та, 2011, 51 с.

11. Игнатьева М.А., Лапин А.В. Применение метода декомпозиции области и несогласованных сеток при решении некоторых вариационных неравенств // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2015. — Т.157, Кн.2. — С. 68-78.

12. Игнатьева М.А., Лапин А.В., Лапин Н.В. Методы декомпозиции области для смешанной гибридной формулировки задачи Синьорини // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2006. — Т.148, Кн.3. — С. 80-93.

13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики // М.: Наука, 1973.

14. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости // М.: Наука, 1970.

15. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа // М.: Наука, 1967.

16. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств // Казань, Издат-во Казан. ун-та, 2008, 132 с.

17. Лапин А.В., Платонов А.А. Численное решение параболической задачи оптимального управления с поточечными ограничениями на функцию состояния // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2016. — Т.158, кн.1. — С. 81-90.

18. Лапин А.В., Платонов А.А., Романенко А.Д. Решение параболической задачи оптимального управления с ограничениями на состояние с использованием явной аппроксимации уравнения состояния// Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Десятой Международной конференции.-Казань: Казанский университет. — 2014. — С. 444-447.

19. Лапин А.В., Романенко А.Д. Численное решение одной параболической задачи оптимального управления методом декомпозиции по време-ни//Теория управления и математическое моделирование: Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В.Азбелева и профессора Е.Л.Тонкова (Ижевск, Россия, 9-11 июня 2015 г.). — Ижевск: Изд-во "Удмуртский университет". — 2015. — С. 75-77.

20. Лапин А.В., Романенко А.Д. Применение итерационного метода с чебы-шевскими параметрами к решению параболической задачи оптимального управления// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.52/ Казанское математическое общество. «Лобачевские чтения - 2015»// Материалы Четырнадцатой Всероссийской молодежной научной школы-конференции / под общ. ред. проф. С.Р. Насырова. - Казань: Издательство

Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2015. — Т.52. — C. 95-96.

21. Лапин А.В., Романенко А.Д. Итерационные методы решения некоторых параболических задач оптимального управления// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского/ Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы// Материалы Двенадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции. -Казань: изд-во Казанского математического общества, изд-во Академии наук РТ, 2015. -- Т.51. — C. 277-279.

22. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика // М.: Физматлит, 2005.

23. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевских циклических итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1971. — Т.11. — №2. — С. 425-438.

24. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1973. — Т.13. — №1. — С. 18-33.

25. Лионс Ж.-Л. Методы решения нелинейных краевых задач // М.: Мир, 1972.

26. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными // М.: Мир, 1972.

27. Самарский А.А. Теория разностных схем // М.: Наука, 1977.

28. Николаев Е.С., Самарский А.А. Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т.12. — №4. — С. 960-973.

29. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1972. — Т.36. — №3. — С. 99-104.

30. Плотников В.И. Об одной задаче оптимального управления стационарными системами с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. — 1970. — №2. — С. 115-117.

31. Романенко А.Д. О явной схеме с переменными шагами по времени для решения параболической задачи оптимального управления // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2016. — Т.158, кн.3. — С. 376-387.

32. Романенко А.Д. Решение параболической задачи оптимального управления с использованием чебышевского набора шагов по времени // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2017» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс.—2017.

33. Сиразетдинов Т.К. К аналитическому конструированию регуляторов в процессах с распределенными параметрами // Автомат. и телемех. — 1965. — Вып.9. — C. 1481-1489.

34. Сиразетдинов Т.К. Синтез систем с распределенными параметрами при неполном измерении // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1971. — Вып.3. — С. 37-43.

35. Сиразетдинов Т.К. Оптимальное управление процессами с распределенными параметрами при неполном измерении // Автомат. и телемех. — 1977. — Вып.5. — C. 5-10.

36. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1977.

37. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — T.4. — №3. — C. 227-235.

38. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы // М.: Мир, 1979.

39. Эрроу К., Гурвиц Л., Удзава Х. Исследования по линейному и нелинейному программированию // М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

40. Bergouniuox M, Kunisch K. Augmented Lagrangian techiques for elliptic state constrained optimal control problems // Siam J. Conrol optim. — 1997. — V.35. — №5. — P. 1524-1543.

41. Badriev I.B., Karchevskii M.M. Convergence of the iterative Uzava method for the solution of the stationary problem of the seepage theory with a limit gradient // J. Sov. Math. — 1989. -- V.45. — №4. — P. 1302-1309.

42. G. Bal On the convergence and the stability of the parareal algorithm to solve partial differential equations // Proceedings of the 15th International Domain

Decomposition Conference, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., R. Kornhuber, R. H. W. Hoppe, J. Peeriaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, and J. Xu, eds. — 2003. — V.40. — P. 426-432.

43. Bastian P., Hackbusch W, Wittum G. Additive and multiplicative multigrid -a comparison // Computing. — 1998. — V.62. — P. 345-364.

44. Bergouniuox M, Ito K., Kunisch K. Primal-dual strategy for constrained optimal control problem // SIAM J. Control Optim.V. — 1999. — V.37. — №4. — P. 1176-1194.

45. Biegler L.T., Ghattas O., Heinkenschloss M. and van Bloemen Waanders B. (eds.) Large-scale PDE-constrained optimization // Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 30. — Berlin: Springer, 2003.

46. Bramble J.H., Pasciak J.E. A preconditioning technique for indefinite systems resulting from mixed approximations of elliptic problems // Math. Comp. — 1988. — V.50. — P. 1-17.

47. Bramble J.H., Pasciak J.E., Xu J. Parallel multilevel preconditioners // Math. Comp. — 1990. — V.55. — P. 1-22.

48. Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems // Math. Comput. — 1977. — V.31. — P. 333-390.

49. Casas E. Error Estimates for the Numerical Approximation of Semilinear Elliptic Control Problems with Finitely Many State Constraints // ESAIM, Contr. Opt. Ca. — 2002. — V.8. — P. 345-374.

50. Casas E., Kunish K. Parabolic control problems in space-time measure spaces // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2016. — V.22. — №2. — P. 355-370.

51. Deckelnick K., Hinze M. Convergence of a finite element approximation to a state constrained elliptic control problem // SIAM J. Numer. Anal. — 2007. — V.45. — P. 1937-1953.

52. Deckelnick K., Hinze M. Variational discretization of parabolic control problems in the pres- ence of pointwise state constraints //J. Comput. Math. — 2011. — V.29. — №1. — P. 1-15.

53. Deckelnick K., Gunther A., Hinze M. Finite element approximation of elliptic control problems with constraints on the gradient // Numer. Math. — 2009. — V.111. — P. 335-350.

54. Droniou J., Raymond J.P. Optimal Pointwise Control of Semilinear Parabolic Equations // Nonlinear Anal. - 2000. - V.39. - P. 135-156.

55. Farhat C., Chandesris M. Time-decomposed parallel time-integrators: Theory and feasibility studies for fluid, structure, and fluid-structure applications // Internat. J. Numer. Methods Engrg. - 2003. - V.58. - P. 1397-1434.

56. Fischer P., Hecht F., Maday Y. A parareal in time semi-implicit approximation of the Navier-Stokes equations // Proceedings of the 15th International Domain Decomposition Conference, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., R. Kornhuber, R. H. W. Hoppe, J. Peeriaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, and J. Xu, eds. -2003. - V.40. - P. 433-440.

57. Garrido I., Espedal M., Fladmark G. A convergence algorithm for time parallelization applied to reservoir simulation // Proceedings of the 15th International Domain Decomposition Conference, Lect. Notes Comput. Sci. Eng. 40, R. Kornhuber, R. H. W. Hoppe, J. Peeriaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, and J. Xu, eds. - 2003. - V.40. - P. 469-476.

58. Gong W., Hinze M. Error estimates for parabolic optimal control problems with control and state constraints // Computational Optimization and Applications. - 2013. - V.56. - №1. - P. 131-151.

59. Gracer C, Kornhuber R. Nonsmooth Newton methods for set-valued saddle point problems // SIAM J. numer.anal. - 2009. - V.47. - №2. - P. 12511273.

60. Gunzburger M, Ozugurlu E, Turner J., Zhang H. Controlling transport phenomena in the Czochralski crystal growth process//Journal of Crystal Growth. - 2002. - V.234. - №1. - P. 47-62.

61. Hackbusch W. Multi-grid Methods and Applications // Berlin: Springer, 1985.

62. Hintermuller M, Kunisch K. Feasible and noniterior path-following in constrained minimization with low multiplier regularity // SIAM J. Control Optim. - 2006. - V.45. - №4. - P. 1198-1221.

63. Hinze M. A variational discretization concept in control constrained optimization: the linearquadratic case //J. Comput. Optim. Appl. - 2005. -V.30. - P. 45-63.

64. Hinze M, Meyer C. Stability of infinite dimensional control problems with pointwise state constraints // tech. report, WIAS. -2007.

65. Hinze M., Meyer C. Variational discretization of Lavrentiev-regularized state constrained elliptic optimal control problems // Comput. Optim. Appl. — 2010. — V.46. — №3. — P. 487-510.

66. Hinze M., Ziegenbalg S. Optimal control of the free boundary in a two-phase Stefan problem //J. Comput. Phys. — 2007. — V.233. — P. 657-684.

67. Ignatieva M.A., Lapin A.V. Iterative solution of mixed hybrid finite element scheme for the Signorini problem // Comp. Methods in Appl. Math. — 2004. — V.4. — №2. — P. 180-191.

68. Kunisch K., Pieper K., Vexler B. Measure valued directional sparsity for parabolic optimal control problems // SIAM J. Control Optim. — 2014. — V.52. — №5. — P. 3078-3108.

69. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution sethods for the large-scale constrained saddle point problems// Numerical methods for differential equations, optimization, and technological problems, Comp. Meth. Appl. Sc. — 2013. — V.27. — P. 19-39.

70. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Iterative solution methods for variational inequalities with nonlinear main operator and constraints to gradient of solution // Lobachevskii J. Math. — 2012. — V.33. — №4. — P. 364-371.

71. Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Explicit algorithms to solve a class of state constrained parabolic optimal control problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modell. — 2015. — V.30. — №6. — P. 351-362.

72. Laitinen E., Lapin A. Iterative solution methods for parabolic optimal control problem with constraints on time derivative of state function // WSEAS Recent Adv. Math.: Math. Comput. Sci. Eng. Ser. — 2015. — V.48. — P. 72-74.

73. Laitinen E., Lapin A. Preconditioned Uzawa-type method for a state constrained parabolic optimal control problem with boundary control // Lobachevskii J. Math. — 2016. — V.37. — №5. — P. 561-569.

74. Laitinen E., Neittaanmaki P. On numerical simulation of continuous casting process //J. Eng. Math. — 1988. — V.22. — P. 335-345.

75. Laitinen E., Neittaanmaki P. On numerical solution of the control problems connected with the control of the secondary cooling in the continuous casting process // Control: Theory and Advanced Technology. — 1988. — V.4. — P. 285-305.

76. Lapin A.V. Preconditioned Uzawa type methods for finite-dimensional constrained saddle point problems // Lobachevskii J. Math. — 2010. — V.31. — №4. — P. 309-322.

77. Lapin A., Romanenko A. Udzawa-type iterative method with parareal preconditioner for a parabolic optimal control problem // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2016. — V.158. — №1, 012059.

78. Lax P.D., Milgram A.N. Parabolic equations, in Contributions to the theory of partial differential equations // Princeton, 1964.

79. Leykekhman D., Vexler B. Optimal A Priori Error Estimates of Parabolic Optimal Control Problems With Pointwise Control // SIAM J. Numer. Anal. — 2013. — V.51. — P. 2797-2821.

80. Lions J. L., Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications // Springer, 1972.

81. Lions J. L., Maday Y, Turinici G. Resolution d'edp par un schema en temps parareel // C.R.Acad Sci. Paris Ser. I Math. — 2001. — V.332. — P. 661-668.

82. Liu W, Gong W, Yan N. A new finite element approximation of a state constrained optimal control problem //J. Comput. Math. — 2009. — V.27. — P. 97-114.

83. Maday Y, Turinici G. A parareal in time procedure for the control of partial differential equations // C.R.Acad Sci. Paris Ser. I Math. — 2002. — V.335. — P. 387-392.

84. Maday Y, Turinici G. The parareal in time iterative solver: A further direction to parallel implementation // Proceedings of the 15th International Domain Decomposition Conference, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., R. Kornhuber, R. H. W. Hoppe, J. Peeriaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, and J. Xu, eds. — 2003. — V.40. — P. 441-448.

85. Meidner D, Rannacher R., Vexler B. A Priori Error Estimates for Finite Element Discretizations of Parabolic Optimization Problems with Pointwise State Constraints in Time // SIAM J. Control Optim. — 2011. — V.49. — №5. — P. 1961-1997.

86. Meyer C. Error estimates for the finite element approximation of an elliptic control problem with pointwise constraints on the state and the control // Control Cybern. — 2008. — V.37. — P. 51-85.

87. Neittaanmaki P., Laitinen E. Temperature distribution in continuous casting and its control // Z. Angew. Math. Mech. - 1986. - V.66. - P. 388-390.

88. Neittaanmaki P., Tiba D. Optimal control of nonlinear parabolic systems: theory, algorithms and applications // N.Y.: Marcel Dekker, 1994.

89. Oswald P. Multilevel Finite Element Approximation // Stuttgart: Teubner, 1994.

90. Quarteroni A., Valli A. Numerical approximation of partial differential equations // Berlin, Heidelberg: Springer, 1997.

91. Romanenko A.D. On the explicit scheme with variable time steps for solving the parabolic optimal control problem // Lobachevskii J. Math. — 2017. — V.38. — №6. — P. 1156-1164.

92. Schiela A. Barrier Methods for Optimal Control Problems With State Constraints // SIAM J. Optim. — 2009. — V.20. — №2. — P. 1002-1031.

93. G.A. Staff, E.M. Ronquist Stability of the parareal algorithm// Proceedings of the 15th International Domain Decomposition Conference, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., R. Kornhuber, R. H. W. Hoppe, J. Peeriaux, O. Pironneau, O. B. Widlund, and J. Xu, eds. — 2003. — V.40. — P. 449-456.

94. Ulbrich M, Ulbrich S. Primal-dual interior point methods for PDE-constrained optimization // Math. Program. — 2009. — V.117. — P. 435-485.

95. Verurth R. A multilevel algorithm for mixed problems // SIAM J. Numer. Anal. — 1984. — V.21. — P. 264-271.

96. Weiser M. Interior point methods in function space // SIAM J. Control Optim. — 2005. — V.44. — P. 1766-1786.

97. Weiser M., Ganzler T, Schiela A. A control reduced primal interior point method for PDE constrained optimization // Comput. Optim. Appl. — 2008. — V.41. — P. 127-145.

98. Weiser M., Schiela A. Function space interior point methods for PDE constrained optimization // Proc. Appl. Math. Mech. — 2004. — V.4. — P. 4346.

99. Yuan L., Yang D. A Posteriori Error Estimate of Optimal Control Problem of PDEs with Integral Constraint for State //J. Comput. Math. — 2009. — V.27. — P. 525-542.