Сеточные методы решения нелинейных эволюционных уравнений и неравенств с двойным вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Павлова, Мария Филипповна

• Павлова, Мария Филипповна
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Павлова, Мария Филипповна

Оглавление

Введение

1 Исследование сходимости разностных схем для нелинейного уравнения с двойным вырождением

1.1 Постановка задачи, обозначения

1.2 Вспомогательные результаты

1.3 Исследование сходимости неявной разностной схемы

1.4 Явная разностная схема

1.5 Регуляризованная разностная схема

2 Исследование вариационного неравенства с двойным вырождением

2.1 Постановка задачи

2.2 Теорема существования решения вариационного неравенства

2.3 Исследование сходимости явной разностной схемы

3 Задача о совместном движении поверхностных и подземных вод

3.1 Постановка задачи, вспомогательные результаты, обозначения

3.2 Теорема существования

3.3 Явная разностная схема

3.4 Теорема существования для вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод

4 Исследование сходимости разностных схем для нестационарных задач фильтрации с разрывным законом

4.1 Постановка задачи, исследование разрешимости

4.2 Исследование неявной разностной аппроксимации вариационного неравенства

4.3 Исследование явной разностной аппроксимации вариационного неравенства

5 Исследование корректности задачи фильтрационной

консолидации при неполном насыщении

5.1 Постановка задачи

5.2 Обобщенная формулировка и теорема существования решения задачи I

5.3 О существовании обобщенного решения задачи II

Литература

223

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сеточные методы решения нелинейных эволюционных уравнений и неравенств с двойным вырождением»

Введение

В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения задач математической физики является конечно-разностный метод или метод сеток. В частности, он широко используется при решении эволюционных уравнений и неравенств.

Теория этого метода для линейных параболических уравнений и неравенств развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [104], [107], [105], [24], [38], [39], [47], [91], [35].

Нелинейные параболические уравнения и неравенства также давно являются объектами изучения. Имеется ряд работ, в которых исследование разностных схем проводится при условии существования гладкого решения (см., например, [1]-[7], [17]-[21], [57], [73]-[76], [79], [86], [103], [110], [111])- Достаточно подробно изучены разностные схемы для параболических уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами: [35], [92], [84], [64], [96], [27].

Особое место среди нестационарных задач занимают задачи, в которых нелинейность присутствует не только в пространственном операторе, но и в "параболической" части. Наличие двойной нелинейности существенно усложняет исследование. Изучению устойчивости и сходимости разностных схем для таких задач при условии, что "временная" нелинейность не имеет особенности, и в предположении

гладкости решения посвящены, например, работы [14], [15], [109]. Проблема становится еще более сложной, когда рассматриваемая задача допускает вырождение и в пространственном операторе, и в нелинейности, присутствующей в "параболической" части. Такие задачи получили название задач с двойным вырождением. Они часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии,-таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации (см., напр., [55], [23], [93], [13], [67]). В то же время, методы решения таких задач изучены слабо.

Следует отметить, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов естественно проводить при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросом о разрешимости рассматриваемой задачи, и часто второе является следствием первого.

Кратко охарактеризуем рассматриваемые в диссертации задачи и укажем близкие по тематики работы.

В первых двух главах исследуются сеточные методы для решения уравнений и неравенств с двойным вырождением с непотенциальным пространственным оператором. По-видимому, первой работой, в которой был исследован вопрос существования обобщенного решения для подобного уравнения, является статья Ю.А. Дубинского [45]. Доказательство существования решения в этой работе проводится с помощью эллиптической регуляризации. Позднее Равьяр [121], используя доказанную в работе [45] теорему компактности, установил существо-

вания обобщенного решения для уравнения вида

<9(|w|a-V) » д

ди

р-2 ди

Эх;

дхi

«Г =/■ W

dt i=1 dxi

При этом существенно использовалась монотонность пространственного оператора и возникало ограничение на связь параметров а, р и п. Там же была доказана сходимость неявной разностной схемы в одномерном случае. В работах [118], [97] аналогичная методика применяется для исследования существование решения уравнений более общего вида. Изучению некоторых свойств решения уравнения (1) посвящена работа [115].

Существенный шаг вперед в изучении уравнений с двойным вырождением был сделан с появлением работы [112]. Здесь была доказана новая теорема о компактности, позволяющая исследовать задачи с непотенциальными операторами, без ограничений на параметры а,р и п и при более слабых предположениях на гладкость исходных данных. В работе [112] исследовалась система уравнений с двойным вырождением с пространственным оператором, зависящим и от градиента решения, и непосредственно от самого решения. Обозначим его L(u,Vu). В [112] предполагается, что

{L(u,Vv) — L(u,Vw),v — w) > coj|v —Vu,v,w , (2)

где Co = const > 0.

Операторы, удовлетворяющие (2) при cq > 0 естественно называть сильно монотонными по градиенту, при cq = 0 - монотонными по градиенту.

В [112] доказана теорема существования решения для уравнений с двойным вырождением, получены некоторые результаты о гладкости решения, доказана теорема о разрешимости вариационного неравенства с двойным вырождением при достаточно сильном ограничении

на пространственный оператор, близком к условию потенциальности. В [124] проведено обобщение результата [112] для уравнений на случай монотонного по градиенту непотенциального оператора.

Проблеме существования обобщенного решения для параболических уравнений с двойным вырождением посвящены также работы [8], [114], [117], [119], [122], [123], [125]. В работах [50]-[54] был получен ряд результатов о регулярности обобщенного решения уравнения с двойным вырождением, получены гельдеровские оценки.

В диссертации исследуется сходимость неявной, явной и регуляри-зованной разностных схем для уравнения с двойным вырождением с монотонным по градиенту непотенциальным пространственным оператором. При этом используется методика работы [112]. С помощью методов полудискретизации и штрафа доказывается существование неотрицательного решения вариационного неравенства с двойным вырождением при более слабых по сравнению с [112] ограничениях на пространственный оператор. Исследуется сходимость решений сеточных аппроксимаций вариационного неравенства к обобщенному решению дифференциальной задачи.

В главе третьей рассматривается система вырождающихся параболических уравнений. Аналогичная система возникает при математическом описании совместного движения поверхностных и подземных вод (см., напр., [12], [13]). Согласно предлагаемой в этих работах модели, процесс неустановившегося совместного движения описывается нелинейным параболическим уравнением в пористой среде (уравнением Буссинеска) и уравнением диффузионных волн в канале (реке). Последнее получается из уравнений Сен-Венана, если пренебречь в них инерционными членами. Оно представляет собой нелинейное параболическое уравнение с двойным вырождением относительно уровня воды в реке. Вопросы существования и единственности решения

для аналогичных систем без вырождения в параболической части рассмотрены в работах [11]—[13]. При этих же предположениях в работах [27]-[29] исследованы разностные методы решения задачи совместного движения поверхностных и подземных вод.

В диссертации рассмотрен более общий случай, а именно, здесь предполагается, что уравнения и в пористой среде, и вдоль русла реки являются уравнениями с двойным вырождением. Устанавливается существование обобщенного решения, исследуется сходимость явной разностной схемы. Рассматривается также соответствующее вариационное неравенство. Возникающая при этом модель учитывает тот факт, что относительный уровень жидкости (функция и) по физическому смыслу задачи не может принимать отрицательные значения. Доказывается существование решения этого вариационного неравенства.

Четвертая глава посвящена исследованию разностных методов решения задачи нестационарной фильтрации с предельным градиентом в случае, когда зависимость скорости фильтрации от градиента давления задается с помощью разрывной функции. Здесь в отличие от других глав рассматриваемая задача содержит нелинейность и вырождение лишь в пространственном операторе, однако этот оператор является разрывным. Постановки задач фильтрации с предельным градиентом содержатся в [9], [10], [23]. В этих работах задача об определении давления ставится в области, часть границы которой (границы застойной зоны) неизвестна. Формулировка этой задачи для непрерывного закона фильтрации в виде уравнения с монотонным вырождающимся оператором в области с фиксированной границей впервые была дана в работе А.Д. Ляшко, М.М. Карчевского [61]. Там же было доказано существование обобщенного решения, изучены его свойства. Разностные методы решения задачи фильтрации с

предельным градиентом для непрерывного закона исследовались в работах [36], [37], [58], [63], [64], [81], [84], [96]. Задача фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе рассматривалась в стационарном случае в работах [56], [71], [80], в нестационарном - в [72]. В [72] с помощью регуляризации задачи и перехода к близкому непрерывному закону без предельного градиента доказаны существование и гладкость по времени обобщенного решения.

В четвертой главе диссертации проводится исследование сходимости неявной и явной разностных схем для эволюционного вариационного неравенства, возникающего при математическом описании нестационарной задачи фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе фильтрации.

В пятой главе рассматривается задача фильтрационной консолидации. Фильтрационной консолидацией называется процесс движения жидкости в пористой среде с учетом деформации среды. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры деформируемой среды полностью заняты жидкостью, и о ненасыщенной - в противном случае. По поводу постановок задач фильтрационной консолидации см., напр., [116], [94], [49]. Корректность модели насыщенной консолидации, а также методы ее численной реализации изучены достаточно подробно (см., напр., [40]—[44]). В случае ненасыщенной фильтрационной консолидации известны лишь работы, в которых исследуется разрешимость уравнения относительно давления в порах скелета без учета его деформации (см., напр., [112], [ИЗ]).

В работе [67] предложена модель, пригодная для описания как насыщенной, так и ненасыщенной фильтрационной консолидации. В дальнейшем эту модель будем называть фильтрационной консолидацией при неполном насыщении. В этой модели уравнение относительно давления в порах скелета является уравнением с двойным

вырождением.

В пятой главе данной работы исследуется корректность модели фильтрационной консолидации, предложенной в [67], формулируются условия существования обобщенного решения. Доказывается сходимость приближенных решений, полученных с помощью методов полудискретизации и Галеркина, к обобщенному решению исследуемой задачи.

Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теорем существования используется метод полудискретизации и метод Галеркина, а в случае вариационных неравенств также и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматорных тождеств [59], [60], [62]. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа.

Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской [68], [69].

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Работа состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена построению и исследованию разностных методов решения для нелинейного уравнения с двойным вырождением

= (3)

Для этого уравнения в ограниченной области Q С Rn рассматрива-

ется первая краевая задача

и |г= 0, и(х, 0) = щ(х). (4)

Предполагается, что ср(£) - абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом ( Е Д1, следующим условиям

£

Ы £ Г ^ / < ^ К Г +Ьз, а > 1, (5)

о

I 1< ь, и г-1 (6)

И00' > (7)

Ъо > О, &1 > О, Ъ2 > О, 63 > О, 64 > о, &5 > 0.

Неравенства (5)-(7) выполнены, в частности, для <£>(£) =| £ |а~2 то есть функции и могУт иметь особенность в нуле.

Предполагается, что коэффициенты а,-, таковы, что оператор

п д

Ъи = - X] Ум)),

° 1

действующий из в И7"^ (П) (1/р+1/р' = 1), является непрерыв-

ным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по Уи.

В первом параграфе дается постановка задачи, вводятся основные обозначения.

Во втором параграфе формулируется и доказывается ряд утверждений, носящих вспомогательный характер. Среди них

Лемма 1 Пусть - абсолютно непрерывная, монотонно возра-

стающая функция, удовлетворяющая условиям (5)-(7). Тогда для любой функции v такой, что

v е ьр(О, Г; т п £оо(0, Т; Ьа(П)), (8)

«КО) е№р (П)Г)Ь«(П),

(10)

справедливо равенство

здесь Ф(£) = У

о

Равенство (11) в дальнейшем используется при исследовании начально-краевых задач. Следует отметить, что условие (10) исключает из рассмотрения задачи с разрывными начальными условиями. Для весьма широкого класса задач это ограничение можно заменить более слабым условием:

Определение 1 Будем говорить, что функция ги(х), определенная на О, обладает Ра ^-свойством, если при любом Я > 0 можно построить функцию гид (ж, £) такую, что

р-свойством могут обладать как непрерывные, так и разрывные функции. Например, этим свойством обладают функции, удовлетворяющие условию (10), а также функции из /^(П), если а = 2, р> 2п/(п + 2).

Лемма 2 Пусть у>(£) удовлетворяет перечисленным в лемме 1 условиям и, кроме того, при любом В, > 0 имеет место неравенство

гЬЕ е С(0,Г;£оо(П))П^(0,Т;^ (П))

и при / —> 0

НО - <РШ < к (Я) |£ - Т]\ У|£|, И < п. (12)

Тогда для любой функции v, удовлетворяющей условиям (8)-(9), такой, что v(x,0) 6 La(Q) и обладает Рар-свойством, справедливо равенство (11).

В третьем параграфе первой главы для задачи (3)-(4) рассматривается неявная разностная схема

ipt(y) + Ay = fhT, . (13)

у(х,0) = у0(х), у |г= О,

где А - разностная аппроксимация оператора L, построенная по методу сумматорных тождеств, у о, fhr ~ сеточные аналоги щ(х) и /. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1 Пусть функции ср, щ, к{ удовлетворяют перечисленным

о 1

выше условиям; щ 6 La(Q) П Wp (П), если условие (12) не выполнено, и щ 6 La(Q) и обладает Ра^-свойством в противном случае, / Е Lp>(0, Т; W^71(fi)). Тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (13), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)~(4), а именно, при r:h 0 имеют место следующие соотношения

Щу*-и в £«,((), Г; Ltt(ii)), (14)

<9 и

Щдиу - Л*у * - и в LP(QT), (15)

¥>(«) 6 МО (16)

П.*у —» и почти всюду в Qt1 (17)

где Щ - кусочно-постоянное восполнение.

В четвертом параграфе рассматривается явная разностная схема

<Pt(y) + Ay = fhT. (18)

Сходимость явной разностной схемы удается установить лишь в случае, когда а > 2, а для функции (р имеет место неравенство

ЛО > h к Г-2, h > 0. (19)

При выполнении этих предположений справедлива

Теорема 2 Пусть

h<x fov+n(p-a)/a

т < с-г, если 1 < р < а, т < с-, если р> а,

~ 2 ап<*/р ~ 2 Рп

кроме того, при r,h 0

т т

— —> 0, если 1 < р < а, -——7-гт- 0, если р> а.

foa ' Г 1 fap-\-n(p—a) / а 7 1 —

Тогда при любых f 6 Lq(0,T) W^"1^)), q = тах{а',У}, и щ, удовлетворяющих условиям теоремы 1, подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (18) сходится к обобщенному решению задачи (3)-(4) в указанном в соотношениях (14)~(17) смысле.

В пятом параграфе предлагается схема, названная регуляризован-ной:

(ip(y) + ay)t + Ay = fhT, о = const > 0,

По реализации эта схема близка к явной, ее использование целесообразно, когда а < 2 или не выполнено условие (19), поскольку сходимость регуляризованной схемы при специальном выборе параметра регуляризации удается установить и в этих условиях, а именно, справедлива

Теорема 3 Пусть г, h выбраны так, что параметр р, определенный

соотношениями

4 п2/р

1<р<2,

2 рп

р > тах{2, су},

Р =

т

2РП

2<р < а,

удовлетворяет неравенству р < 1 и р 0 при И, г —О, а параметр регуляризации а выбран так, что а —» 0 приЬ, г —■»■ 0, и справедливо неравенство

где О < 7 < 1 - произвольная постоянная, о"о - константа, определяемая исходными данными задачи. Кроме того пусть

Тогда подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения регуляризованной разностной схемы сходится к обобщенному решению задачи (3)-(4) б указанном в соотношениях (14)~(17) смысле.

Во второй главе проводятся исследования вариационного неравенства с двойным вырождением следующего вида

о- > а0р

1-7

т

(20)

о

где

К = { и , г; в Ьр{0, Г; ^ (П)) П ¿оо(0, Т; 1а(П)\ V > 0 п.в. в <3Т }

v

Vи) - оператор, определяемый формулой

Е —

¿=1 дХг

п д

Ум) = - Е — (а,-(гс, г>)А;г-(Ум)),

г?) - значение функционала д из И^Т^П) на элементе г? из И7^ (О). При определении решения вариационного неравенства (20) полагается, что функция м такова, что

^ г /п гг. тхг-1

т

е Ьр,(0,Т;И^О)), 0) = щ(х) п. в. в П.

В первом параграфе дается постановка задачи. Предполагается, что для (р имеют место (5)-(7), кроме того, <р(0) = 0, для функций а,-, и кг наряду с перечисленными выше условиями выполнено неравенство

£ ф, о >о Ух € п, ей1, У^е яг (21)

¿=1

Во втором параграфе с помощью метода полудискретизации со штрафом доказывается теорема существования решения вариационного неравенства (20).

При этом строится вспомогательная полудискретная задача, реше-

О 1

нием которой является функция £\¥р (О) V £ Е о;г, та-

о 1

кая, что Уе(0) = щ(х) и для произвольной функции IV £\¥р (&) П Ьа(0,) выполнено равенство

/ ММ'«»«»»*, + (ЬШИ «,)+

о г

где сит = {г, 2т,..., Г} , ¡Зги = — \ и) 2 гу , гп = (| ш | —гу)/2,

1 t + т

(ЛИ, «;) = -/ (/(0, "К, Ш = Уг{1 - г).

ТI

Для полудискретной задачи доказано существование решения. Получены априорные оценки. При этом особую роль играет лемма 2.4, благодаря которой существование решения вариационного неравенства устанавливается при более слабых по сравнению с [112] ограничениях на оператор Ь. А именно, доказана

Теорема 4 Пусть f £ Ь^^т), р\ < р; щ удовлетворяет условиям теоремы 1, щ{х) > 0 почти всюду в П. Тогда решение вариационного неравенства (20) существует. Кроме того, если р\ < д < р, то существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к этому решению, при этом

1Ру - и в (22)

ТРу ив Хоо(0,Т;Хв(ОД, (23)

П+уе -»■ и п.в. в (24)

при Т, £ —> 0.

В третьем параграфе для решения вариационного неравенства (20) предлагается следующая разностная схема

1

&(уе) + АУе + ~(3уе = /Лг , (26)

Уе(ж,0) = Уо(х), Уе |г= 0,

где оператор А, функции уо, //>г определены так же, как в первой главе.

Отметим, что по простоте реализации разностная схема (26) сравнима с явной разностной схемой для уравнения с двойным вырождением.

В этом параграфе при исследовании сходимости разностной схемы (26) предполагается, что а > 2, имеют место (19) и следующие неравенства

О6 > о. Ухеп, У£е.Йп, у»е{1,...,п}. (27)

При выполнении этих условий справедлива

Теорема 5 Пусть / Е £д(0,Т; 1у(0)), ^ = тах!«',^'}, щ удовлетворяет условиям теоремы 1, кроме того щ > 0 почти всюду в П. Тогда при т, Ь, и £ таких, что

г Л" _ . гА£

г(а_1)/(р_1)

" _ , < 1, если 1 < р < а; —- < с < 1, если р > а;

lim (г А") = 0, если 1 < р < а] lim (тА£) = 0, если р > а,

r,k—>0 r,h-+ О

cj/n ctfn \а = —-—, если 1 < р < а, Аа = ,. , ,-гт—, если р> а,

Jl h +n(p—a)/api r — '

существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (26), для которой при т, е, h 0 выполнены соотношения, аналогичные (22)-(25).

Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи, которая возникает, например, при математическом описании процесса совместного движения поверхностных и подземных вод.

В этой главе О С R2 - область, внутри которой проведен разрез П, делящий ее на две связные области, Г - граница Q. Рассматривается следующая задача

dt i=i dxi v /

+

öt as\ ~ ' ^os' j

Г 2

£ üi(x, u) ki(x, Vu) cos(n, я,-) = /2, [гх]п = 0, iGÜ, (29) .•1 n

и(ж,0) = и0(х), и\т=д(х^). (30)

]п - скачок функции при переходе через разрез П, п - нормаль к П, —--производная по направлению П.

¿75

В первом параграфе третьей главы дается постановка задачи. На протяжении всей главы предполагается, что функции <£>«(£) удовлетворяют тем же условиям, что и функция </?(£) в главе 1, при этом а = а{. Операторы

Ьи = - X) и) к{(х, V«)) , Ьии = -~(ап(х, и)кп ,

о 1 . о 1 .

действующие из IV п (П) в (О) и из из ШР2 (П) в И^Т (П) соответственно предполагаются непрерывными, коэрцитивными, ограниченными, монотонными по градиенту. Допускается вырождение операто-

т ди

ра Ь и ¿д по "и и — соответственно.

дв

Решение задачи (28)-(30) понимается в следующем смысле: Определение 2 Функцию и(х, ¿) Е И^(0, Т) такую, что

и(х, г) - и°(х, г) (0, Т), и(х, 0) = щ(х) п. е. в VI и в П,

Т

/</(«),-М* 6 (Т?(0,Т)Г,

о

назовем обобщенным решением задачи (28)-(30), если для любой

о

функции V ЕЖ (0,Т) справедливо следующее интегральное тождество

Т Т 2 ¿)у

о о п

г=1

т ди ди т т

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Павлова, Мария Филипповна, 1998 год

Литература

[1] Абрашин В.Н. Сходимость метода сеток для многомерных квазилинейных задач теплопроводности // Докл. АН БССР. - 1972.

- Т.16. - №10. - С. 877-880.

[2] Абрашин В.Н. О равномерной сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений параболического типа // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук. - 1973. - №2. - С. 23-31.

[3] Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейного параболического уравнения, не разрешенного относительно старших производных // Дифференц. уравнения. - 1975. - Т. 11 - №4. -С. 694-707.

[4] Абрашин В.Н. О разностных схемах для нестационарных задач с неограниченной нелинейностью // Докл. АН БССР. - 1976. -Т.20. - №8. - С. 680-683.

[5] Абрашин В.Н. О некоторых разностных схемах для задач лучистой теплопроводности // Докл. АН СССР. - 1976. -Т.230 - №4.

- С. 753-756.

[6] Абрашин В.Н. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. I // Дифференц. уравнения. -1976. - Т.12. - №8. - С. 1470-1484.

[7] Абрашин В.Н., Цурко В.А. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. II // Дифференц. уравнения. - 1978. - Т.14. - №. - С. 1215-1223.

[8] Агаев Г.Н. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных операторных уравнений / / Некоторые вопросы теории нелинейного анализа / Ин-т мат. и мех. АН Аз.ССР. - 1990. -вып.2. - С. 3-18.

[9] Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с предельным градиентом // Теория и практика добычи нефти. - М.: Недра, 1968. - С. 202-211.

[10] Алишаев М.Г., Вахитов Г.Г., Гехтман М.М., Глумов И.В. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1968. - №3. - С. 166-169.

[11] Антонцев С.Н., Епихов Г.П., Кашеваров A.A. Системное математическое моделирование процессов водообмена. - Новосибирск: Наука 1986. - 215 с.

[12] Антонцев С.Н., Мейрманов A.M. Математические вопросы корректности одной модели совместного движения поверхностных и подземных вод. // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. -вьш.31. - С. 5-51.

[13] Антонцев С.Н., Мейрманов A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. - Новосибирск: изд-во НГУ, 1979. - 80 с.

[14] Арделян Н.В. О сходимости итерационных методов решения неявных разностных схем для нелинейного уравнения теплопро-

водности // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21. - №12. -С.2131-2137.

[15]. Арделян Н.В. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23. - №7. -С.1116-1127.

[16] Баклановская В.Ф. Численное решение одной задачи нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1961. - Т.1. - №1. - С. 115-121.

[17] Баклановская В.Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1961. - Т. 1. - №3. - С. 461-469.

[18] Баклановская В.Ф. Численное решение второй краевой задачи для одномерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1961. - Т.1. - №6. -С. 1129-1134.

[19] Баклановская В.Ф. О некоторых нелинейных задачах нестационарной фильтрации // Прикл. матем. и мех. - 1962. - Т.26. -№1. - С. 196-200.

[20] Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и кубатурные формулы. - М.: Наука, 1964. - С.228-243.

[21] Баклановская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной двумерной задаче нестационарной фильтрации // Численные методы решения задач математической физики. - М.: Наука, 1966. - С.237-239.

[22] Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965. -798 с.

[23] Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. - М.: Наука, 1975. - 199 с.

[24] Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1995. - Т.35. -

т. - с. Ю11-1021.

[25] Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. - М.:Наука, 1972. - 416 с.

[26] Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир. - 1978. - 336 с.

[27] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Изв. вузов. Математика. - 1984. -№9 - С. 72-75.

[28] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О численном решении нестационарной задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Исследования по прикладной математики. - Казань, 1989. -вып. 16 - С. 34-40.

[29] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для задачи совместного движения грунтовых и русловых вод с произвольной формой поперечного сечения русла реки // Исследования по прикладной математики. - Казань, 1990. -вып. 17 - С. 27-45.

[30] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одной задачи совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №9. - С. 16-27.

[31] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О существовании решения одного нелинейного эволюционного неравенства с нелокальным условием на границе // Материалы Всероссийского семинара " Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань. - 1996. - С. 29-31.

[32] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию П. Л. Чебышева, Москва. - 1996. - С. 113-116.

[33] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. - 1997. - №4. - С. 20-31.

[34] Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О сходимости явной разностной схемы для задачи совиестного движения поверхностных и подземных вод // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо. - 1997. - С. 38-39.

[35] Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.: Мир, 1979. - 574 с.

[36] Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в технико-экономических задачах. - Казань: изд-во КГУ. - 1976. - С. 12-21.

[37] Глушенков В.Д. Разностная схема для одного вырождающего квазилинейного эллиптического уравнения // Применение ЭВМ к решению задач мат. физики и АСУ. - Казань: изд-во КГУ. -1977. - С. 121-126.

[38] Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. - М.: Наука, 1973. - 400 с.

[39] Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сборник.

- 1976. - Т.99. - С. 299-360.

[40] Даутов Р.З., Дроботенко М.И., Ляшко А.Д. Исследование корректности обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации. // Дифференц. уравнения. - 1997. - Т.ЗЗ. - №4. -С. 515-521.

[41] Дроботенко М.И., Костерин A.B. Исследование фильтрационной консолидации. - Препринт. - Казань. - 1991. - 34 с.

[42] Дроботенко М.И., Костерин A.B. Обобщенные решения задачи фильтрационной консолидации.// ДАН России. - 1996. - Т.350.

- №5. - С.619-624.

[43] Дроботенко М.И., Костерин A.B. Регуляризация задачи фильтрационной консолидации упругой пористой среды // Изв. вузов. Математика. - 1998. - №4. - С. 18-22.

[44] Дроботенко М.И., Ляшко А.Д. Приближенное решение задачи фильтрационной консолидации // Изв. вузов. Математика. -1992. - т. - С. 3-6.

[45] Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сборник. - 1965. -Т.67. - №4. - С. 609-642.

[46] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка. // УМН. - 1968. - Т.23, вып.1.

- С.45-90.

[47] Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач, вып. 2. Нестационарные задачи. - М.: Изд-во МГУ, 1972. -227 с.

[48] Дьяконов Е.Г. Оценки N-поперечников в смысле Колмогорова для некоторых компактов в усиленных пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. - 1997. - №7. - С. 32-50.

[49] Зарецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов. - М.: Наука, 1967. - 270 с.

[50] Иванов A.B. Приграничные гельдеровские оценки для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -1991. - №188. - С. 45-69.

[51] Иванов A.B. Классы Bmj и гельдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1992. - №197. -С. 42-70.

[52] Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. - 1992. - Т.4.

- вып. 6. - С. 114-130.

[53] Иванов A.B., Мкртчан П.З. Весовая оценка градиента для неотрицательных обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1990. - №191. - С. 3-23.

[54] Иванов A.B., Мкртчан П.З. О регулярности вплоть до границы обобщенных решений первой начально-краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1991. - №196. -С. 83-98.

[55] Калашников A.C. Вопросы теории вырождающихся параболических уравнений // УМН. - 1987. - Т.42. - вып.2. - С. 135-176.

[56] Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1979. - Т. 9 - №5. - С. 63 - 68.

[57] Карчевский М.М., Лапин A.B., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1972. - №3. - С. 23-31.

[58] Карчевский М.М., Лапин A.B. Исследоание разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации / / Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во КГУ. - 1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

[59] Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий. I // Изв. вузов. Математика. - 1972. - №1. - С. 23-31.

[60] Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. II // Изв. вузов. Математика. - 1973. - №3. - С. 44-52.

[61] Карчевский М.М., Ляшко А.Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. -

1975. - №6. - С. 73-81.

[62] Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. - Казань:Изд-во КГУ,

1976. - 158 с.

[63] Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностных схемах для уравнений нелинейной нестационарной теории фильтрации // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т.16. - №8. -С. 1692-1706.

[64] Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск. - 1980. - Т.Н. - №4. - С. 104-112.

[65] Кашеваров A.A. Задача о совместном течении грунтовых и поверхностных вод // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1982. - вып.54. - С. 85-99.

[66] Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983. - 256 с.

[67] Костерин A.B., Березинский Д.А. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред. // ДАН России. - 1998. - Т. 356. - т. - С. 343-345.

[68] Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. - М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. -280 с.

[69] Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН. - 1957. - Т. 12. -№5. - С. 123-149.

[70] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. - 407 с.

[71] Лапин A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1979. - Т. 19. - т. - С. 689-700.

[72] Лапин A.B. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. - 1980. -Т.14. - т. - С. 1245-1254.

[73] Лапин A.B. О двухслойных сеточных схемах для нестационарных нелинейных вариационных неравенств // Вычисления с разреженными матрицами. - Новосибирск. - 1981. -С. 88-97.

[74] Лапин A.B. Исследование двухслойных сеточных схем для параболических вариационных неравенств // Изв. вузов. Математика. - 1983. - №10. - С.37-45.

[75] Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1973. - №1. - С. 71-73.

[76] Лапин А.В., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении // Изв. вузов. Математика. - 1975. - №12. - С. 30-42.

[77] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

[78] Лионе Ж,-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. - М.: Мир, 1972.

- 414 с.

[79] Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных разностных операторно-разностных схем // Докл. АН СССР. - 1974. -Т.215. - №2. - С. 263-265.

[80] Ляшко А.Д., Бадриев И.В., Карчевский М.М., О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами // Изв. вузов. Математика. - 1978. - №11. - С. 63-69.

[81] Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика.

- 1983. - №7. - С. 28-45.

[82] Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях // Численные методы и их приложения. - София. - 1984. - С. 70-74.

[83] Ляшко А.Д., Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т.32.-№7. - С.958-965.

[84] Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследвание неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной терии фильтрации // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16. - №7. -С. 1255-1264.

[85] Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. - 1984. - Т.20. - №7. - С. 1237-1247.

[86] Ляшко А.Д., Федотов Е.М. О корректности двухслойных операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. - 1981. - Т. 17. - №7. - С. 1304-1316.

[87] Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №1. -С. 43-53.

[88] Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О существовании решения одного вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением // Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Новосибирск. - 1996. - С. 113-116.

[89] Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации //Исследования по прикладной математики. - Казань: изд-во Казанского матем. общества. - 1997. - вып. 22. - С. 106-130.

[90] Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Математика. - 1997. - №7. -С. 53-65.

[91] Марчук Г.й. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

[92] Масловская Л.В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1972. - Т. 12. - №6. - С. 1444-1455.

[93] Мухидинов Н. Газогидродинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. - Ташкент: "Фан" Узб.ССР, 1977. - 152 с.

[94] Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. -М.: Недра, 1984. - 232 с.

[95] Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. - М.: Мир, 1977. - 384 с.

[96] Павлова М.Ф. Об одном итерационном методе реализации неявной разностной схемы для двумерных задач фильтрации с предельным градиентом // Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. ~ Казань: изд-во КГУ. - 1980. - вып. 2. - С. 102-107.

[97] Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации. // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т.23-№8. - С.1436-1446.

[98] Павлова М.Ф. О сходимости метода полудискретизации для некоторых нелинейных нестационарных задач // Численные методы и их приложения. - София. - 1989. - С. 359-361.

[99] Павлова М.Ф. О разрешимости одной задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении // Тезисы докла-

дов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо. - 1997. -С. 110-114.

[100] Павлова М.Ф. Исследование корректности задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т.34 - №7. - С. 1-11.

[101] Павлова М.Ф., Майорова М.Е. О явных разностных схемах для параболического нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань. -1996. - С. 87-89.

[102] Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. О разрешимости одного нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Матем. моделирование. - 1992. - Т.4. - №4. - С.74-88.

[103] Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1963. - Т.З. - №4. - С. 702-719.

[104] Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971. - 552 с.

[105] Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. - 315 с.

[106] Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

[107] Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. -656 с.

[108] Тимербаев М.Р. Об усиленных пространствах Соболева. - Препринт. - Казань: изд-во Казанского матем. общества. - 1998. -35 с.

[109] Федотов Б.М. Разностные схемы для нелинейных нестационарных задач. - Казань: изд-во КГУ, 1987. - 90 с.

[110] Федотов Б.М. Об одном классе двухслойных разностных схем для нелинейных гиперболических уравнений // Исследования по прикладной математики. - 1990. - вып. 17. - С. 129-146.

[111] Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных нелинейных опера-торно-разностных схем с весами // Изв. вузов. Математика. -1995. - №4. - С. 739-752.

[112] Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equation // Math.Z. - 1983. - Bd.183. - №8. - P.311-341.

[113] Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On Nonstationary Flow through Porous Media. // Ann. Mat.Pura ed Appl. - 1984. - 136. - P. 303316.

[114] Arai T. On the existence of solutions for doubly nonlinear equations // Res. Repts. Inst. Inform. Sci. Technol. - 1980. - №6. - P. 45-57.

[115] Bamberger A. Etude d'une equation doublement non lineaire //J. Funct. Anal. - 1977. - №24. - P. 148-155.

[116] Biot M.A. The mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl. Phys. - 1962. - V.33. - №4 - P. 14821498.

[117] Blanchard D., Francfort G. Study of a doubly nonlinear heat equation with no growth assumption on the parabolic term // SIAM J. Math. Anal. - 1988. - №19. - P. 1032-1056.

[118] Grange O., Mignot F. Sur la resolution d'une equation et d'une inequation paraboliques nonlineaires //J. Funct. Anal. - 1972. -№11. - P. 77-92.

[119] Jingxue Y. On a class of quasilinear parabolic equations of second order with double-degeneracy //J. Partial Diff. Eq. - 1990. - №3.

- P.49-64.

[120] Pavlova M.F., Maiorova M.E. On the convergence of finite element schemes for nonlinear parabolic with double degeneration // Abstract of Internationale Conference "Optimization of Finite Element Approximation", St.-Peterburg. - 1995. - P. 74-75.

[121] Raviart P.A. Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires. // J. Funct. Anal. - 1970. - V.5. - №2. - P.299-328.

[122] Tsutsumi M. On solutions of some double nonlinear degenerate parabolic equtions with absorption //J- Math. Anal. Appl. - 1988.

- V. 132. - P. 187-212.

[123] Xu X. Existence and convergence theorems for double nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type // J. Math. Anal. Appl. - 1990. - V.150. - P. 205-233.

[124] Zeman J. On existence of the weak solution for nonlinear diffusion equation // Appl. of mathematics. - 1991. - V.36 - №1. - P. 9-20.

[125] Zhuang Qiongshan. Initial-boundary value problem for double degçiterate nonlinear parabolic equation //J. Partial Diff. Eq. -198S, - '¥,2. - №4. - P. 47-61.