Разностные схемы для нелинейных нестационарных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Федотов, Евгений Михайлович

• Федотов, Евгений Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Федотов, Евгений Михайлович

Введение

1. Вспомогательные результаты

§ 1.1. Основные обозначения.

§ 1.2. Определение корректности операторно - разностных схем.

§ 1.3. Вспомогательные результаты и теоремы о разрешимости операторных уравнений.

2. Корректность операторно-разностных схем с потенциальными операторами

§ 2.1. Консервативные ОРС с потенциальными операторами

§ 2.2. Корректность двухслойной консервативной ОРС с потенциальным оператором.

§ 2.3. Корректность трёхслойной консервативной ОРС с потенциальным оператором.

3. Корректность операторно-разностных схем с весами для уравнений с потенциальными операторами

§ 3.1. Корректность двухслойной ОРС с весами.

§ 3.2. Корректность трёхслойной ОРС с весами.

4. Двухслойные операторно-разностные схемы с суперпозицией операторов

§ 4.1. Корректность двухслойной консервативной ОРС с суперпозицией операторов

§ 4.2. Корректность двухслойной ОРС с весами с суперпозицией операторов.

5. Двухслойные операторно-разностные схемы с "памятью"

§ 5.1. Корректность двухслойной консервативной системы

ОРС с суперпозицией операторов.

§ 5.2. Корректность двухслойной системы ОРС с весами

6. Исследование сходимости разностных схем для задач математической физики

§ 6.1. Вспомогательные результаты и обозначения.

§ 6.2. Консервативные разностные схемы для квазилинейных уравнений второго порядка.

6.2.1. Трёхслойные разностные схемы для гиперболических уравнений.

6.2.2. Двухслойные разностные схемы для гиперболических уравнений.

6.2.3. Двухслойные разностные схемы для параболических уравнений.

6.2.4. Двухслойные консервативные разностные схемы для нелинейного уравнения типа теплопроводности

- 4

§ 6.3. Разностные схемы с весами для квазилинейных уравнений второго порядка.

6.3.1. Трёхслойные разностные схемы с весами для гиперболических уравнений

6.3.2. Двухслойные разностные схемы с весами для параболических уравнений.

6.3.3. Двухслойные разностные схемы с весами для параболических уравнений с "памятью".

§ 6.4. Разностные схемы для уравнений газо- и гидродинамики

6.4.1. Разностные схемы для уравнений газовой динамики

6.4.2. Разностные схемы для двумерных уравнений динамики вязкой жидкости

6.4.3. Сеточные схемы для трёхмерных уравнений динамики вязкой жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные схемы для нелинейных нестационарных краевых задач»

Диссертация посвящена теории двух- и трёхслойных разностных схем (РС), аппроксимирующих краевые задачи для нелинейных параболических и гиперболических уравнений. Для указанных задач рассматриваются вопросы построения РС, исследования их корректности, а также вопросы получения оценок точности приближённых решений.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент бесспорно являются одними из наиболее популярных и общепризнанных инструментов исследования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника, математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и пр. Создание математических описаний изучаемых явлений, изучение математической корректности этих описаний, решение поставленных уравнений или неравенств и последующее сопоставление результатов расчётов с натурными экспериментами, если такие имеются или можно провести,- этапы, составляющие суть методов математического моделирования.

Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. В связи с этим огромное внимание уделяется методам их решения. Ввиду сложности возникающих задач, здесь чаще всего невозможно обойтись без использования численных методов, среди которых наибольшее распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. В рамках теории этих методов развито множество подходов к построению сеточных аппроксимации с заданными свойствами. Здесь следует отметить схемы высокого порядка точности, схемы для расчёта уравнений, содержащие особенности в коэффициентах, схемы для решения уравнений в областях с особенностями (см., напр., [13, 14, 15, 30], [39] - [41], [92] и цитируемую там литературу).

Особое внимание при конструировании сеточных схем уделяется сохранению ими аналогов наиболее существенных свойств, присущих исходным дифференциальным уравнениям. Среди таких свойств наиболее важными являются дивергентность (консервативность) уравнений, обеспечивающая выполнимость интегральных законов сохранения, таких как закон сохранения массы, тепла, количества движения и т.д., а также принцип максимума, монотонность локального поведения решения. Методы построения дивергентных аппроксимаций стационарных краевых задач известны и постоянно совершенствуются (см., напр., [17, 29, 33, 35, 56, 63, 93, 89, 98, 99]).

При построении РС для нестационарных задач, кроме дивер-гентности сеточных уравнений по пространственным переменным, необходимо соблюсти некоторую консервативность и по временной переменной, что обеспечит выполнение дополнительных законов сохранения, среди которых наиболее существенным является закон сохранения полной энергии. В работах [7, 21, 73, 74, 96] предложены подходы к построению консервативных разностных схем для параболических и гиперболических уравнений и систем уравнений, для которых выполнен аналог этого закона. В работе [73] вводится понятие и предлагается подход к построению, так называемых, полностью консервативных разностных схем для задач газо-, гидро- и магнитогидродинамики. Понятие полной консервативности включает в себя выполнение на решении PC, как интегральных, так и локальных (в каждой точке сетки) аналогов законов сохранения в их различных видах, являющихся следствием исходных дифференциальных уравнений.

Высокая точность аппроксимации дифференциальных уравнений сама по себе не гарантирует качества получаемых приближённых решений, как не гарантирует качества и консервативность построенных разностных схем, хотя и обеспечивает во многих случаях высокое качество приближённого решения. Существенным критерием отбора разностных схем для практических расчётов является их устойчивость к изменению входных данных.

В настоящее время достаточно полно разработаны аспекты теории разностных схем для линейных задач математической физики. Следует отметить здесь монографии B.C. Рябенького и А.Ф. Филиппова [81], Е.Г. Дьяконова [42, 43], A.A. Самарского [89], A.A. Самарского и A.B. Гулина [90], A.A. Самарского и В.Б. Андреева [91], A.A. Самарского и Ю.П. Попова [74], Р. Рихтмайера и К. Мортона [78], Г.И. Марчука [67], B.JI. Рождественского, H.H. Яненко [80].

Среди работ, посвященных вопросам устойчивости и корректности разностных уравнений выделим работы [81, 101], в которых было введено понятие устойчивости РС в абстрактных пространствах и работы [85] - [90], [36] - [38], в которых была создана общая теория устойчивости линейных операторно - разностных схем (ОРС) в гильбертовых пространствах. Общие теоремы о корректности ОРС позволили с единых позиций исследовать широкий класс конкретных РС, сведя их исследование к проверке свойств входящих в них разностных операторов.

Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач. Следует отметить, что для многих важных с точки зрения практики краевых задач отсутствуют теоретические результаты, касающиеся существования решений и их единственности. Соответственно, отсутствуют и общие теоретические результаты, касающиеся их сеточных аппроксимаций.

Наибольшую сложность представляет исследование разностных схем для нестационарных краевых задач. Имеется множество работ, в которых исследуются РС для параболических и гиперболических уравнений. Отметим здесь работы [79, 83, 84, 94] и работы [103, 104], в которых техника априорных оценок использовалась при исследовании РС для различных краевых задач для квазилинейных параболических уравнений.

Существенной особенностью, определяющей сложность исследования нелинейных дифференциальных уравнений и соответствующих им сеточных схем, является то, что свойства операторов, входящих в уравнения, такие, как монотонность, непрерывность, выполнены не при всех значениях аргументов, а лишь на некотором их множестве. В таком случае мы говорим, что имеем дело с неограниченной нелинейностью. Для задач с ограниченной нелинейностью, когда свойства операторов сохраняются при всех значениях аргументов, в работах А.Д.Ляшко, М.М.Карчевского [61], А.В.Лапина [58], Лапина A.B. и Ляшко А.Д. [59] получены теоремы, обобщающие некоторые результаты теории линейных ОРС А.А.Самарского. Они позволили получить достаточно просто проверяемые критерии корректности разностных схем для квазилинейных параболических уравнений.

Имеется немало работ, в которых исследовались PC для уравнений, содержащих неограниченные нелинейности, содержащие вырождение по решению или его производным. Отметим здесь лишь работы [25] - [27], [34], [65], [66], [71], в которых исследованы разностные схемы, содержащие нелинейности степенного роста, вырождение, негладкость или многозначность операторов. Для таких разностных схем, используя теорию монотонных операторов, удаётся доказать их разрешимость и сходимость восполнений разностных решений к обобщённому решению дифференциальной задачи. В работах [1] - [3], [105] исследованы PC для уравнений параболического и гиперболического типов, содержащие нелинейности произвольного роста. В них в предположении существования достаточно гладких решений исходных дифференциальных задач исследованы разрешимость и сходимость PC, получены оценки точности решений разностных схем.

Отметим, что в перечисленных выше работах при исследовании каждого конкретного класса уравнений, в особенности для уравнений с неограниченными нелинейностями, приходилось всякий раз создавать специальную методику, приспособленную именно для рассматриваемого класса уравнений. При этом используемая техника исследования оказывалась весьма сложной и трудно обозримой.

В связи с этим весьма актуальной была и остаётся проблема построения общей теории корректности нелинейных ОРС, подобной теории линейных ОРС. Она позволила бы чётко оттенить основные идеи в исследовании РС для нелинейных уравнений, а само исследование свести к проверке условий абстрактных теорем. Шаг в этом направлении был сделан в работах [57] - [60], [62], в которых было введено понятие локальной корректности ОРС, обобщающее понятие корректности, введённое ранее в [61]. Теоремы о локальной корректности позволили расширить класс изучаемых РС и существенно упростить исследование последних, сведя его к проверке свойств сеточных операторов в окрестности решения исходной задачи.

Прежде, чем дать обзор основных результатов диссертации, отметим, что нелинейные дифференциальные операторы с нелинейнос-тями произвольного роста имеют качественно отличные от линейных операторов свойства. Как правило, коэффициенты уравнений удовлетворяют условиям параболичности или гиперболичности лишь в малой окрестности решения. Ясно, что, если приближённое решение (решение РС) не попадает в указанную окрестность, то РС может не сохранять основные свойства дифференциального уравнения. Поэтому принадлежность решения РС указанной окрестности необходимо доказывать.

Так доказательство теорем о локальной корректности в [57] - [60],

62], основным объектом изучения которых была ОРС

Вуг + Ау = р, у( 0) = т/о, где оператор В предполагался линейным и обратимым, свелось, по сути дела, к получению априорных оценок для разности у—и приближённого и точного решений задачи при некоторых предположениях относительно правой части (р и начального значения , обеспечивающих принадлежность решения окрестности элемента и, где выполнены условия параболичности разностного оператора.

Для большинства неявных нелинейных РС априори не ясно существует ли решение, вообще, и принадлежит ли оно заданной окрестности решения дифференциальной задачи, в частности.

В.Н.Абрашиным [1] - [3] был предложен, так называемый, и- метод исследования существования и сходимости решений нелинейных неявных разностных схем для уравнений с нелинейностями произвольного роста. Используя некоторые методы типа Ньютона на каждом временном слое, доказывалась разрешимость разностной схемы в окрестности решения дифференциальной задачи при некоторых условиях на величину погрешности аппроксимации. Формулировки теорем о разрешимости и сходимости разностных схем часто содержали условия на выбор начального приближения для итерационного метода. Совершенно ясно, что итерационный процесс здесь являлся инструментом исследования РС, в то время как свойства самой ОРС не зависели от используемого итерационного процесса и выбора начального приближения.

В работе автора [105], Арефьева В.С. [18] - [20], Арделяна Н.В.

22, 23] сделаны попытки получить общую теорему о локальной корректности двухслойной нелинейной ОРС самого общего вида

Р{г,у(гп),у(1п+г)) = 0, у^о) = у0.

Каждый из авторов указанных работ использовал для этого одну из известных теорем функционального анализа о разрешимости операторных уравнений. Условия этих теорем в силу излишней общности не позволяли использовать их непосредственно для исследования конкретных РС. Поэтому в работах формулировались и доказывались варианты общих теорем применительно к некоторым частным видам ОРС. Несмотря на то, что применимость этих теорем ограничивается в основном рамками РС для уравнений теплопроводности с коэффициентом, зависящим от решения задачи и нелинейностью в младших членах дифференциальных уравнений, подходы использованные при их доказательстве и следствия из этих теорем, представляют несомненный интерес.

В настоящей диссертационной работе предлагаются и исследуются консервативные двухслойные и трёхслойные ОРС, а также различные виды ОРС с весами. Основанные на анализе существующих методов исследования нелинейных РС, теории устойчивости линейных ОРС и последовательном применении метода энергетических неравенств [32, 53], [83] - [86] полученные здесь результаты о корректности ОРС включают в себя как частный случай многие известные результаты теории устойчивости линейных ОРС, а также результаты о корректности некоторых видов нелинейных РС и ОРС. Эти теоремы применяются для исследовании новых и известных РС для уравнений и систем уравнений математической физики, как параболического, так и гиперболического типов.

Первая глава состоит из трёх параграфов, в которых вводятся основные обозначения, даётся определение (и, 5)- корректности двухслойных и трёхслойных ОРС, формулируются и доказываются теоремы о разрешимости операторных уравнений в конечномерных пространствах, необходимые при исследовании корректности двухслойных ОРС.

В параграфе 1.1 вводятся основные общие понятия, используемые в диссертации, в том числе пространства сеточных функций и окрестности в них.

В параграфе 1.2 вводятся определения локальной корректности ОРС. При этом мы исходим из наболее общей записи двухслойных ОРС

F(t,y(t),y{t)) =0, teuT, у{0)=у0 (1) и самого общего вида записи трёхслойных ОРС

F(t,y{t),y(t),y(t)) = 0,i G шт\{0}, 2/(0) = у0. у{т) = У1. (2)

Применительно к разностным схемам понятие корректности традиционно (см., напр. [89]) включает в себя

1. разрешимость и единственность решения разностной схемы при всех входных данных из допустимого семейства,

2. непрерывную зависимость решения от входных данных задачи (устойчивость), причём эта зависимость равномерна относительно размерности сеточного пространства.

Разрешимость разностных уравнений и формула устойчивость + аппроксимация сходимость, вытекающая из [101, 81], являются основами классической теории разностных схем. Каждое из перечисленных выше слагаемых в линейном случае может изучаться более или менее независимо.

Следует отметить, что нелинейные дифференциальные уравнения, для которых строятся сеточные аппроксимации часто сами не являются корректными в традиционном смысле. Неединственность их решения или неустойчивость части решений так или иначе отражаются и на свойствах решений сеточных схем. Решения схем также могут быть неединственными или неустойчивыми. Однако локально, в некоторой окрестности выделенного из физических соображений или из соображений гладкости и т.п. устойчивого решения дифференциальной задачи, разностная схема может быть устойчивой и иметь в этой окрестности единственное решение.

Приводимые в этом параграфе определения корректности ОРС (1), (2) носят локальный характер и связывают понятия разрешимости и устойчивости ОРС в заданной окрестности фиксированного элемента (и) с малостью погрешности аппроксимации и наличием оценки (неравенства корректности) max\\y(t) - u(t)\\ ^ 7(||Ф(и)||)<*, где Ф(-и) - погрешность аппроксимации PC (Ф(^) — F(t,u(t),ü(t)) для ОРС (1) и Ф(и) = F(t,u{t),u(t),ü(t)) для ОРС (2)), J - непрерывная функция, такая что lim J(t) = 0.

В параграфе 1.3 приводятся вспомогательные результаты, используемые при исследовании ОРС, и, в частности, доказываются новые теоремы о разрешимости операторных уравнений в заданной окрестности фиксированного элемента конечномерного пространства. Эти теоремы являются основным инструментом исследования операторно-разностных схем на протяжении всей работы.

В главе 2 изучаются двухслойные операторно-разностные схемы вида 1 + / ¿3/(^(7 = ¥>(*), (3) о а также трёхслойные ОРС

1 I / /<?/ -4- 1/ \ V, I | (4)

Уй о при а 6 [0,1]

ОРС такого вида с потенциальным монотонным "пространственным" оператором А возникают, в частности, при аппроксимации нестационарных дифференциальных уравнений вида яРи ш + £и = /, (3= 1,2 (5) в теории тепло-, массообмена, теории упругости и др.

В параграфе 2.1 в предположении потенциальности оператора а показывается, что на решении уравнений (3), (4 ) выполняются аналоги некоторых интегральных соотношений, имеющих место для уравнения (5), которые в приложениях выражают те или иные законы сохранения. В частности, показано, что для ОРС (4) выполнено соотношение

• {Кн(у,у) + аП1 ¿(у, у) + (1 - =

Г-г . . {Кн{у,у) + аП1Л(у,у) + (1 - а)п2,л(у,2/)}|*=0 + £ г (^2/?) > г 4 ыу,у) = i (г/г, 2/*), П1>л(у,Й = (Фл(у) + ФлЫ) /2, ■П2>А(у,Й = Фл которое можно трактовать как сеточный аналог закона сохранения полной энергии.

Заметим, что предложенные в работах [6, 7] и названные в [8] нелинейно симметричными разностные схемы для уравнений с коэффициентами, зависящими от производных решения, являются частными случаями предлагаемых и исследуемых здесь ОРС.

В параграфе 2.2 исследуется ОРС (3). В предположении, что оператор А представим в виде суммы достаточно гладких операторов Ао, А\ с потенциальным и сильно монотонным в 5- окрестности элемента и оператором Ао доказана теорема об (и,£)-корректности рассматриваемой двухслойной ОРС. Доказательство разрешимости схемы на каждом временном слое основано на результатах § 1.3. При получении неравенства корректности использован метод энергетических неравенств.

В параграфе 2.3 сформулирована и доказана теорема о корректности ОРС (4). Доказательство теоремы проведено при тех же предположениях о свойствах оператора А, что и в предыдущем параграфе. Параметр а полагается положительным.

В главе 3 исследуется корректность операторно - разностных схем с весами вида + = (б) г=1 а также трёхслойные ОРС т

7) 1

Формально, операторно разностные схемы вида (6) и (7) можно рассматривать как ОРС, аппроксимирующие, соответственно, ОРС (3) и (4), в которых входящие в них интегралы по весовому параметру вычислены с помощью некоторых квадратурных формул с узлами а г и весовыми коэффициентами

Частным случаем таких схем являются часто используемые разностные схемы с весами. Так ОРС с весами вида

Уг + АуМ = <р(1), ¿еи;т, 2/(0) = у0 получается из схемы (6), при т = 1, ¿1 = 1 и ах = <7, а ОРС вида

Уг + {Ау){а) = </?(*), 2/(0) = уо есть частный случай (6), когда т = 2, = а и а\ = 1, а2 = 0

Частным случаем ОРС (7) являются известные трёхслойные ОРС

Уй + А(у^)=<р®, г<ЕшТ\{0}, 2/(0) =2/0, у{т) = уи а также ОРС вида у« + (Ау){<Т1'аз) = <р№, уФ) -2/о, у(т) = Уи применяемые при аппроксимации гиперболических уравнений.

ОРС, изучаемые в этой главе, не являются консервативными по переменной Однако, важность их изучения обусловлена, не только популярностью схем с весами, но и необходимостью численного интегрирования при использовании консервативных схем, когда точное вычисление интегралов по весовому параметру или невозможно, или весьма затруднительно.

Глава 3 содержит два параграфа. В параграфе 3.1 исследуется ОРС (6). Относительно оператора А предполагается, что он представим в виде суммы пары операторов Ао, А\, с потенциальным и сильно монотонным в энергетическом пространстве .Яд в 5- окрестности элемента и оператором Ао. Причём оператор Я = Я* > 0 предполагается энергетически эквивалентным производной Ад (и) оператора Ао для любого элемента V из указанной окрестности. Предполагается также выполненным неравенство

Е + таА'0(й) > \ (1 + 7) А'0(й), 7 > 7(7-, к) > 0, (8) т где а = \{0{ и 7(г,Н) зависит от гладкости второй производной

1=1 оператора Ао и радиуса окрестности (£), в которой исследуется существование решения ОРС. При указанных выше предположениях доказана теорема об (и,£))-корректности ОРС (6).

В параграфе 3.2 изучается корректность ОРС (7). При аналогичных условиях на оператор А и выполненном неравенстве

Е + г2 [а - А'0 (^р) ^ Т7(Л, т)Я + еЕ, (9) т СП,г + л

1 А вместо (8), дополнительном условии на весовые параметры то

Е'^Он - > о, г=1 доказана (u,S)~ корректность указанной ОРС.

Обе теоремы, доказанные в этой главе, в случае линейного симметричного и положительно определённого оператора А, совпадают с известными результатами об устойчивости в энергетическом пространстве На двух- и трёхслойных операторно - разностных схем с весами [89, 90].

Как было сказано выше, среди нелинейных двух- и трёхслойных разностных схем каноническими естественно считать лишь ОРС (1) и (2). Классы ОРС, изученные в главах 2, 3 были выбраны в качестве объектов исследования вследствие того, что именно к таким достаточно естественным классам ОРС приводят большинство РС для дифференциальных уравнений вида (5).

В главе 4 исследуется корректность двухслойных операторно -разностных схем в которой "пространственный" оператор представим в виде суперпозиции пары операторов с различными свойствами. Широкий спектр условий, накладываемых на эти операторы, позволяет применять теорию двухслойных ОРС для исследования корректности разностных схем как для уравнений параболического, так и для уравнений гиперболического типов.

В § 4.1 изучается класс ОРС вида yt + A(y,y) = T(t), t

10)

2/(0) = 2/0

Здесь A(y,v) = KD{y,v), D{y,v) = £ D{y + a{v - y))da, К и D - нелинейные операторы, причём оператор D предполагается потенциальным, сильно монотонным и дважды непрерывно дифференцируемым по Фреше в 6- окрестности заданного элемента и.

Операторно-разностная схема (10) при К = Е совпадает с ОРС

3), исследованной в § 2.2. Случай ОРС (10) с оператором Б = Е приводит к известной симметричной ОРС. Среди схем вида (10) с нетождественным оператором К выделим схемы вида 1 I Лт/^а = о

77* = (у + у)/2, г £ ит, 77(0) = щ, ?;(0) = у0.

Такие схемы возникают, обычно, при аппроксимации начальных задач для нелинейных гиперболических уравнений вида д2и п , ди , Си = /, Ц0) = и0, —(0) ь0.

В этом случае у = (у,г})т, Т — (<£>, О)7 и К, В - блочные операторы т

К = 0 ^

-Е 0 В

Е 0 ^ 0 А) где А - сеточный оператор, аппроксимирующий дифференциальный оператор и </? - сеточная аппроксимация функции /. Такое расщепление в линейном случае было использовано, например, в [45].

Доказано, что на решении ОРС (10) выполнен аналог интегрального соотношения, которое в приложениях, как правило, ассоциируется с законом сохранения полной энергии. В предположении, что оператор К удовлетворяет неравенству

1 [{Киг - Ки, ы-и) + <12 |г>1 - Щ2] > - и\\р{+), при некоторых р > 1, = ^{Щ.т) > 0, ¿2 ^ 0, II = JD(г¿,w) и любых г>1 из окрестности элемента и доказана (и, $)- корректность этой ОРС.

В § 4.2 исследуется двухслойная ОРС с весами

Уь + А (У, У) = Л»,

Н) у{0) = у0ен, уех.

-V 777/

Здесь А{у,у) = КБ^у, у) , = Е кО{аку + (1 - о^)?/), то

7к £ [0,1], Е //с — 1, ^ ^ О, К и I) - нелинейные операторы, причём &=1 оператор И предполагается потенциальным, сильно монотонным и дважды непрерывно дифференцируемым по Фреше в 5- окрестности заданного элемента и.

Отметим, что ОРС (11) при К = Е совпадает со схемой, изученной в § 3.1.

При условиях на операторы К и I), аналогичных тем, что быт ли приняты в § 4.1, и условии на весовые параметры ^ /¿сг^ >1/2 к=1 доказана (и, 8)-корректность изучаемой ОРС.

Несмотря на то, что изученные в предыдущих главах классы ОРС, являются частными видами ОРС, изученной в данной главе, полученные в для них результаты о корректности не следуют из теорем данной главы. Указанный факт является следствием сложной структуры пространственного оператора схемы, не позволяющей воспользоваться развитой в предыдущих главах методикой исследовании ОРС с потенциальным оператором.

Следует отметить, что так называемые разностные схемы с линейной симметризацией, являющиеся аппроксимацией с использованием квадратурных формул Ньютона - Котеса консервативных разностных схем для параболических и гиперболических уравнений второго порядка, близки к некоторым частным случаям РС, изученным

- 22 в § 3.1, § 4.2 и исследовались в [8].

Глава 5 посвящена исследованию системы ОРС с суперпозицией нелинейных операторов. Полученные здесь результаты являются развитием результатов предыдущей главы. Исследования этой главы стимулированы необходимостью решения краевых задач с "памятью" , когда коэффициенты дифференциальных уравнений зависят не только от значений искомого решения в данный момент времени но и в предыдущие моменты времени.

В § 5.1 исследуется двухслойная ОРС вида

12) ъ = г(х{а\£)(у,у)),

2/(0) = у0, х(0) = х0, (уо, х0) £ Я, </?, (у, х) е X.

Показано, что эта ОРС является консервативной. В предположении достаточной гладкости операторов А, V ж И, сильной монотонности и потенциальности оператора I), полуограниченности вариации оператора А по второму аргументу доказана локальная корректность ОРС (12) при а (Е [0,1].

В § 5.2 исследуется двухслойная ОРС с весами

13) хь = Т{х{а\Щу:у)),

1/(0) = уо, х(0) = х0, (уо, х0) е я, (у, х) е х. т

Здесь а е [0,1], = Y,kD(y + cri{v-y)).

Частным случаем рассматриваемой в данном параграфе ОРС (13) являются ОРС, изученные в § 2.3 и § 4.2.

При условиях, на входящие в ОРС операторы, аналогичные тем, что были наложены на соответствующие операторы в предыдущем параграфе, при а £ [0,1] ив предположении, что весовые коэффицит енты и, (Т{ удовлетворяют условию Е ^г ^ 1/2 + г(т,/г, £) доказана г=1 локальная корректность ОРС (13).

Глава 6 посвящена исследованию разрешимости и сходимости разностных схем для некоторых классов нелинейных эволюционных задач. Как отмечалось выше указанные вопросы теории разностных схем представляют значительный интерес как в линейном, так и нелинейном случаях. Однако нелинейность вносит дополнительные специфические особенности и сложности как в исходную, так и в аппроксимирующую постановку задачи.

Среди таких особенностей немаловажной является возможная неединственность решения исходной задачи и, как следствие, часто и неединственность решения её сеточной аппроксимации. Во многих случаях выделение интересующего решения исходной задачи может быть проведено из некоторых физических соображений. В частности, это выделение может быть проведено и благодаря простым признакам типа положительности решения или принадлежности его значений заданному диапазону. Это могут быть и признаки, основанные на априорном знании свойств гладкости решения. В таких случаях очевидна необходимость умения исследовать разрешимость аппроксимирующих уравнений именно в окрестности интересующего решения исходной задачи и сходимости к нему приближённых решений из этой окрестности, которых в общем случае может быть и несколько.

Следует также отметить, что нелинейные задачи - сложный объект. Они содержат различные параметры, операторы, свойства которых и выбор пространств при описании их свойств часто не очевидны. В таких случаях не ясно и то, как исследовать и соответствующие им сеточные аппроксимации. Исследование же этих аппроксимаций важно с практической точки зрения, т.к. именно при этом удаётся сформулировать условия, например, на шаги пространственной и временной сеток, при которых возможно проводить расчёты на ЭВМ. В качестве альтернативы возможен путь установления физически и математически правдоподобных гипотез о свойствах решения исходной задачи, таких как его существование и единственность, гладкость и ограниченность, знакоопределённость и т.д., основываясь на которых можно провести исследование сеточных схем.

Общие теоремы о корректности операторно-разностных схем, доказанные в предыдущих главах, ориентированы именно на случай исследования сеточных схем в окрестности заданного элемента некоторого конечномерного пространства, который при исследовании конкретных разностных схем связывают с интересующим решением исходной задачи.

В данной главе исследуются сеточные схемы с различными способами аппроксимации по переменной Исследуются двух- и трёхслойные схемы с весами и схемы со специальной аппроксимацией, когда по весовому параметру проводится интегрирование. Характерной особенность последних является выполнение на их решении аналогов интегральных соотношений, свойственных решениям исходной дифференциальной задачи, интерпретируемые как некоторые законы сохранения. В работе такие схемы названы консервативными.

В параграфе 6.1 приводятся необходимые в данной главе обозначения сеточных областей, пространств сеточных функций, разностных отношений, скалярных произведений и норм, необходимые при построении и исследовании разностных схем.

В § 6.2 строятся и исследуются консервативные разностные схемы для квазилинейных уравнений

Г/ ? J = f(x,t), te (0,í°), xeüc Rm, (14) д^и

-^ = UfM(x), xeü,t = 0, fi = 0,/5-1, /5 = 1,2. с условиями Дирихле и/или Неймана на границе Г области О = {0 < Xi < 1, г = 1 , т}, где С - нелинейный дифференциальный оператор второго порядка по пространственной переменной вида т Q

Си = — Y1 а—h{x, Vií) + а(х, и, Vu). (15) i—1 UXi

Предполагается,что коэффициент a(x,u,Vu) и правая часть / обладают достаточной гладкостью, необходимой для того, чтобы рассматриваемая система уравнений имела гладкое решение.

Предполагается также, что коэффициент а(х,и, Vu) представим в виде суммы ко(х,и, Vu) + b(x,u,Vu), причём коэффициенты ki(x,p) = ki(x,po,p), р= (pi,p2, ■ ■ ■;Рт) удовлетворяют условиям

• симметрии дкг(х,р0}р) дк3(х,р0,р) . . —

-я-=-Б->

OP-j OPi

• параболичности (гиперболичности) и ограниченности в окрестности решения исходной дифференциальной задачи, т.е. выполнении неравенств

Всюду здесь для аппроксимации исходной дифференциальной задачи по пространственной переменной используется метод сумматор-ных тождеств на равномерной сетке. Аппроксимация задачи по переменной £ строится, согласно предложенному в предыдущих главах подходу к построению консервативных разностных схем.

В § 6.2.1 для задачи Дирихле при ¡3 = 2 (гиперболический случай) исследована трёхслойная разностная схема вида (4). Доказано, что при условии, что шаги сеток по пространственным переменным с^ и временной переменной шт связаны соотношением т ^ сН*, к > т/4, т = 1, 2, 3 разностная схема имеет в о единственное решение и для него справедлива оценка скорости сходимости где Я = — А/1+-Б, Дд - сеточный 2ш+1- точечный оператор Лапласа. то А ЕА > 0, /-1,2,3 при любых £ € Дт+1 и р € Эо' Ят+1 : |0о(аО - и(х)\ < /¿о т^х\\у(Ь)-и{1)\\к = 0{г2 + к2)

В § 6.2.2 исследуется двухслойная PC вида 1 т + I Ау^Чи = (р, о

Vt —= t е Шт для той же задачи, что и в § 6.2.1 с коэффициентом 6 = 0, аппроксимирующая систему уравнений, получаемую введением новой неизвестной v = &U/Qt (скорости).

Доказано, что при условии на шаги сетки т ^ ch*, я > ш/4, m = 1,2,3 разностная схема имеет в £)о единственное решение, и для него справедлива оценка скорости сходимости ш - v(t)\\ + \\y(t) - = 0(т2 + /г2).

В § 6.2.3 для смешанной краевой задачи при ß = 1 исследована двухслойная разностная схема вида (3). Доказано, что, если шаги сеток по пространственным переменным и временной переменной сот связаны соотношением г ^ ch3*, я > ш/4 , m = 1, 2, 3, то разностная схема имеет в £>о единственное решение и для него справедлива оценка скорости сходимости тах y(t)-u(t)\\R = 0(r2 + h2l^2h-1).

В § 6.2.4 исследуется РС для смешанной граничной задачи для уравнения ди Си = /(ж,£), t G (0,Г), ж G П С Rr с оператором д

1 дхг дф(и) dxi р-2 а</>(ц)

Уравнения с таким оператором не относятся к классу уравнений рассмотренных выше. В [66] уравнения с нелинейностями такого типа заменой V = ф(и) сводились к уравнению с нелинейным вхождением функции ф~1{у) под знаком производной по переменной Здесь мы поступаем иначе, рассматривая оператор С, как суперпозицию пары операторов дь т ^ р~2 дь и Т>и = ф(и). дх1

Задача аппроксимировалась консервативной РС вида (10). При исследовании сходимости построенной РС использовалась теорема 4.1 из § 4.1.

Доказано, что при т ^ с/г3*, гшп{х, 1}р/(р — 1) > т/2 РС разрешима и её решение в ¡г3*- окрестности решения единственно. При этом для решения у схемы верна оценка скорости сходимости т<хх\\у^) - и{г)\\ = О^тЧ*,!}^-!)).

В § 6.3 для уравнений второго порядка вида (14) строятся и исследуются РС с весами. Так, в § 6.3.1, 6.3.2 исследованы РС для уравнений параболического и гиперболического типов, что соответствует (3 = 1 и 2. Формулируются теоремы о сходимости разностных схем. Полученные с помощью общих теорем критерии сходимости разностных схем как частный случаи включают критерии сходимости схем с опережением и некоторых схем с весами из [1], [3] и линейно симметричных схем из [8].

В § 6.3.3 исследуется РС с весами для задачи Дирихле для уравнения (14) с /3 = 1 и оператором £ вида

В этом уравнении коэффициенты нелокально по переменной £ зависят от искомого решения (содержат "память"). Введением дополнительной неизвестной у= и(£'))сЙ'' исходное уравнение сво О дится к системе нелинейных дифференциальных уравнений, которое затем аппроксимируется схемой с весами, предложенной и изученной в § 5.2.

В предположении положительности коэффициентов к^х^ио) с помощью теоремы 5.2 при т ^ 3 доказана сходимость РС с порядком 0(тх + Ь?), если г ^ с/г^, х > т/2\ > гДе А = 2 для симметричных и А = 1 для несимметричных РС.

В § 6.4 результаты глав 4, 5 применяются для построения и исследования сеточных аппроксимаций уравнений Навье-Стокса динамики сжимаемых жидкостей и газов. Следует отметить, что построению и численной реализации методов для этого класса уравнений посвящено множество работ. Отметим здесь работы [28, 52, 80, 74]. Теоретические же аспекты этих задач изучены достаточно слабо [16], [46] - [49].

Иллюстрацией применения результатов главы 4 является исследование в § 6.4.1 разностной схемы для одномерного уравнения динамики невязкого теплопроводного газа, записанного в лагранжевых массовых координатах. Уравнения записаны в терминах основных термодинамических переменных удельный объём - скорость - энтропия.

Важным элементом при использовании общих результатов, касающихся свойств ОРС, полученных в главах 4 (а также 5), является удачная трактовка исходной задачи, т.к. операторы, суперпозиция которых образует пространственный оператор исходной задачи, не определяются однозначно. Для определения этих операторов удобно пользоваться основными понятиями термодинамики, такими как термодинамические координаты и термодинамические силы.

При построении разностной схемы используется метод сумматор-ных тождеств, при аппроксимации по временной переменной применяются весовые двухслойные аппроксимации с интегрированием по весовому параметру. Построенная здесь разностная схема является полностью консервативной в смысле данного в [73] определения. Доказана сходимость разностной схемы к гладкому решению дифференциальной задачи со скоростью О {г2 + Н3?2) при т ^ с/г", V > 1/4. При этом предполагается, что функция удельной внутренней энергии удовлетворяет на решении исходной задачи условиям Бете-Вейля, обеспечивающим её строгую выпуклость в окрестности этого решения.

Среди работ, посвящённых разностным схемам для аналогичных уравнений, отметим [10] - [12], [44, 68, 69, 70, 100].

В § 6.4.2 строится и исследуется разностная схема для двумерного лагранжева уравнения динамики сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости. Среди работ по близкой тематике отметим [44], в которой строятся РС течения невязкой жидкости и исследуются вопросы их полной консервативности, и работы [75] - [77], посвящённые исследованию РС для аналогичных уравнений в переменных Эйлера. В отличие от одномерного случая, здесь мы существенно опираемся на наличие вязких слагаемых в уравнении движения. При этом, используется предположение о наличии общей линейной связи тензоров напряжений и скоростей деформации. Значительное внимание при исследовании разностной схемы уделено доказательству специального сеточного аналога неравенства Корна. Доказательство этого неравенства в общем виде удаётся провести лишь в двумерном случае, вследствие чего результаты этого параграфа непосредственно перенести на трёхмерный случай не удаётся. Вновь здесь мы предполагаем строгую выпуклость функции удельной внутренней энергии в окрестности гладкого решения исходной задачи.

§ 6.4.3 посвящен построению и исследованию сеточной схемы для трёхмерного уравнения динамики сжимаемой, нормально вязкой жидкости, в которой используется разнесённая кубическая сетка для различных неизвестных, аналогичная используемой в известных схемах для уравнений газо- и гидродинамики на минимальном шаблоне [74]. Для этой разностной схемы при условии т ^ сК9, д > 3/4 доказана сходимость разностной схемы со вторым порядком точности.

Все результаты, касающиеся корректности консервативных РС для задач газо- и гидродинамики, остаются справедливыми и в случае разностных схем с весами.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- Предложены новые способы построения разностных схем для решения нестационарных задач математической физики, на решении которых выполнен сеточный аналог закона сохранения энергии;

- Доказаны теоремы о локальной корректности нелинейных двух-и трёхслойных операторно- разностных схем с весами, обобщающие теоремы об устойчивости линейных операторно-разностных схем;

- Сформулированы условия локальной корректности двух- и трёхслойных консервативных операторно-разностных схем;

- Сформулированы условия локальной корректности двухслойных консервативных систем операторно-разностных схем и систем операторно-разностных схем с весами;

- Построены новые классы консервативных разностных схем, для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов, а также для систем многомерных уравнений газо- и гидродинамики;

- Доказаны теоремы о разрешимости и сходимости консервативных разностных схем и разностных схем с весами для нелинейных уравнений второго порядка параболического и гиперболического типов;

- Доказаны теоремы о разрешимости и сходимости разностных схем для задач одномерной газовой динамики и многомерных задач динамики вязкой сжимаемой жидкости в лагранжевых координатах.

Основные результаты докладывались на Всесоюзных школах молодых учёных: "Численные методы решения задач математической физики" (г.Львов, 1983 г.), "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г.Рига, 1985), "Вычислительные методы и математическое моделирование" (г.Красноярск, 1986), "Математическое моделирование

- 33 в естествознании и технологии (г.Светлогорск, 1988 г.), на Международной Конференции по численным методам и приложениям (София, 1989), на Международной конференции и чебышевских чтениях, посвященных 175-летию с дня рождения П.Л. Чебышева (г.Москва, 1996), на Конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию Б.М.Гагаева (Казань, 1997), на Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 1997), на Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (г.Казань, 1996, 1998), на семинарах кафедры вычислительной математики и лаборатории математической физики Казанского государственного университета и изложены в работах [103] - [119].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Федотов, Евгений Михайлович, 1998 год

1. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений. 1.// Дифференц. уравнения.- 1973 - 9.- 11.-С.2029- 2040.

2. Абрашин В.Н. О сходимости метода сеток для квазилинейных задач математической физики // Изв АН БССР.-1973.- 1.-С.73-80.

3. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений. II // Дифференц. уравнения-1975- 11.-2.-С.294-308.

4. Абрашин В.Н. О разностных схемах газовой динамики // Дифференц. уравнения-1981- 17.- 4.-С.710- 718.

5. Абрашин В.Н., Мату с П. П. О точности разностных схем для одномерных задач газовой динамики // Дифференц. уравнения.-1981.- 17, 7-С.1155- 1161.

6. Абрашин В.Н. Об одной разностной схеме для нелинейного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения-1982.- 18-7.-С.1271- 1973.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. О разностных схемах для некоторых задач об одномерном движении вязкого газа./ Num. Anal, and Math. mod.-Banach Center Publ. Warsaw.-1990, 24.-C.415-434.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностная схема для уравнений движения вязкого теплопроводного газа, её свойства и оценки погрешности "в целом" // ДАН СССР.- 1985.- 284.- N° 2.- С. 265269.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. Разностные схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движении вязкого газа // ЖВМ и МФ.- 1987.- 27.- № 7.- С. 1032- 1052.

10. Андреев В.Б. Краевые задачи для сеточного уравнения Лапласа в угле./ В кн. Вычислительные методы и программирование-XXXIX.- М.: Изд-во МГУ.- 1983.- С. 82- 145.

11. Андреев В.Б. Функция точечного источника задачи Дирихле для сеточного оператора Лапласа в угле 37г/2 и её применение // ЖВМ и МФ.- 1985.- 25.- № 6, С. 841-849.

12. Андреев В.Б., Савин И.А. О равномерной по малому параметру сходимости монотонной схемы Самарского и её модификация // ЖВМ и МФ.- 1995.- 35.- № 5.- С. 739- 752.

13. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей Новосибирск: Наука.- 1983.

14. Аракава А. Схема численного интегрирования уравнений движения жидкости на длительный срок: случай двумерного потока несжимаемой жидкости. / "Численные методы решения задач динамики атмосферы и и океана". ГИМИЗ.- 1968.- С. 226- 251.

15. Арефьев B.C. О разностных схемах для квазилинейного уравнения параболического типа, удовлетворяющих принципу максимума // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика 1984 - N° 4 - С. 11- 16.

16. Арефьев B.C. Об устойчивости и сходимости нелинейных разностных схем // Деп. ВИНИТИ АН СССР.- № 145 за 1984 г.-24 с.

17. Арефьев B.C. Об устойчивости нелинейных разностных схем // ДАН СССР.- 1985.- 285.- № 1.- С. 11- 14.

18. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский C.B. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики М.: изд- во МГУ.- 1987.111 с.

19. Арделян Н.В. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем // Дифференц. уравнения.- 1987.- 23.- № 7-С. 1116-1127.

20. Арделян Н.В. Разрешимость и сходимость нелинейных разностных схем // ДАН СССР.- 1988.- 302, 6.- С. 1289-1292.

21. Bampi F., Morro A. The inverse problem of the calculus of variations applied о continuum physics //J. Math. Phys.- 1982.- 23.- 12.-C. 2312-2321.

22. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток для параболических уравнений с вырождением // ЖВМ и МФ.- 1977.- 17.- 6.С. 1458-1473.

23. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. / Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы М.: Наука.- 1966.— С. 228 - 243.

24. Баклановская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной двумерной задаче нелинейной фильтрации. / Численные методы решения Задач математической физики.- М.: Наука.- 1966 С. 237 - 241.

25. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике.- М.: Наука.- 1978.

26. Брайен К. Схема численного интегрирования уравнений движения на нерегулярной сетке, свободной от нелинейной неустойчивости. / "Численные методы решения задач динамики атмосферы и и океана". ГИМИЗ.- 1968.- С. 288- 291.

27. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии // Дифференц. ур- ия.- 1994.- 30.- № 3.-С. 503- 513.

28. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат.- 1956.

29. Courant R., Friederichs И.О., Levi Н. Uber die partiellen Differentialgleichungen der Physix./ Math. Ann 1928/29 - 100-pp. 32- 76.

30. Головизнин B.M., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно разностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР - 1977 - 235 - № 6-С.1285 - 1288.

31. Глазырина JI.Л., Павлова М.Ф. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод / / Изв. вузов. Математика-1984 9.-С.72- 75.

32. Годунов С.К., Забродин A.B. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики // М.: Наука 1976.- 400 с.

33. Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории разностных схем // Матем. сб.-1976- 99.- С.299-330.

34. Гулин A.B. Теоремы об устойчивости несамосопряженных разностных схем // Матем. сб-1979, 110.- 2.-С.297-303.

35. Гулин A.B. Устойчивость разностных схем, определённых на прямой сумме пространств.- М.: изд-во ИПМ им.Келдыша.-1979.- Препринт № 173.- 25 с. разностных схем // Матем. сб.-1979, 110.- 2.-С.297-303.

36. Даутов Р.З. Метод конечных элементов для эллиптических уравнений в областях с периодической структурой / / Дифферент уравнения-1985 21 - 7.-С.1155- 1164.

37. Даутов Р.З. Схема метода конечных элементов на основе мультипликативного выделения особенностей для краевых задач в областях с углами // Изв. вузов. Математика. -1995.- 4.-С.29- 39.

38. Даутов Р.З. Схема точности О(h2 ln"^/^)) для определения свободной границы в задаче с препятствием внутри области / / Дифферент уравнения-1995.- 31 7.-С.1191- 1199.

39. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. М.: Изд-во МГУ.- Вып.1- 1971.-200 с.

40. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. М.: Изд-во МГУ.- Вып.2.- 1972.-227 с.

41. Егоров A.A., Мату с П. П. Устойчивые полностью консервативные разностные схемы газовой динамики. Ин. математики АН БССР. Препринт № 33(303).- 1987.- 32 с.

42. Злотник A.A. Двухслойный проекционно разностный метод с расщепляющимся оператором для волнового уравнения // Ма-тем. заметки.- 1972.- 51- 4.- С. 23- 36.

43. Кажихов A.B. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. / Динамика сплошной среды.- вып. 21- 1975.- С. 18- 47.

44. Кажихов A.B. О стабилизации решений начально краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. ур-ия.- 1979.- 15.- № 4.- С. 662- 667.

45. Кажихов A.B., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье Сток-са вязкого газа с немонотонной функцией состояния / / ДАН СССР.- 1979.- 246.- № 5.- С. 1045- 1047.

46. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикладная матем. и механика.- 197741.- № 2.- С. 282- 291.

47. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I. // Изв.вузов. Математика.- 1972, 11.-С.23-31.

48. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. II. // Изв.вузов. Математика.- 1973, 3.-С.44-52.

49. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука.- 1981.

50. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиздат.- 1953.

51. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука.- 1973.- 405 с.

52. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир.- 1972.-588 с.

53. Лилли Д. О вычислительной устойчивости численных решений нестационарных нелинейных геофизических задач динамики жидкости. / "Численные методы решения задач динамики атмосферы и и океана". ГИМИЗ.- 1968.- С. 252- 287.

54. Lapine A. Sur "la correction locale" du schema aux différentes applications aux problèmes d'évolution non lineares / Seminaire d'analyse numerique, Université scientifique medicale de Grenoble.-1976.- 254.- pp.1-20.

55. Лапин A.B. О корректности нелинейной двухслойной разностной схемы. // Изв.вузов. Математика.-1972, 9.-С.48-53.

56. Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв.вузов. Математика-1975, 12.-С.30-42.

57. Лапин A.B., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений параболических на решении // Изв.вузов. Математика.-1975, 12.-С.30-42.

58. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Исследование одного класса нелинейных разностных схем // Изв.вузов. Математика-1970, 7-С.63-71.

59. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных оператор-но разностных схем // ДАН СССР.-1974, 215, 2.-С.263-265.

60. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики.-Казань: изд-во Каз. университета.-1976.- 157 с.

61. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.-М.: Высшая школа.-1982.-271 с.

62. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях / / Численные методы и их приложения.- София.- 1984.- С. 70- 74.

63. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Ис-след. по прикл. математике.-Казань: изд-во Казанского мат. общества.- 1997.- вып. 22.- С. 106- 130.

64. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука.-1977.-455 с.

65. Мату с П. П., Шавелъ А.П. О сходимости полностью консервативных разностных схем газовой динамики // Докл. АН БССР.-1982,- 26.- № 6.- С. 485- 487.

66. Мату с П. П., Шавелъ А.Н.О сходимости разностных схем для задач газовой динамики с учётом теплопроводности // Дифференц. ур-ия.- 1983.- 19.- № 7.- С. 1251- 1261.

67. Меладзе Г.В., Поцхишвили Д.В. О сходимости разностных схем газовой динамики в квазилагранжевых переменных // ЖВМ и МФ.- 1986.- 26.- № 4,- С. 563 573.

68. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу-Юй-Линъ. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. / Изв. АН СССР. Сер. ф.-м. наук.- 1958.- 22.- 5.- С. 667

69. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир.- 1975.- 558 с.

70. Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы // ЖВМ и МФ 1969.- 9, № 4.- С. 953- 958

71. Попов Ю.П., Самарский A.A. Разностные схемы газовой динамики.- М.: Наука.-1975.-352 с.

72. Попов A.B. Исследование конечно разностного метода для системы уравнений двумерного движения вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера.: Препринт № 198.- М.: ОВМ АН СССР.- 1988.

73. Попов A.B. Исследование экономичного конечно разностного метода для системы уравнений двумерного движения вязкого ба-ротропного газа.: Препринт № 245.- М.: ОВМ АН СССР.- 1989.

74. Попов A.B. Исследование экономичного конечно-разностного метода для двумерных уравнений вязкого теплопроводного газа// ЖВМ и МФ.- 1991, т. 31, 7.- С.1066-1080.

75. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир.-1972.-420 с.

76. Ривкинд В.Я., Уралъцева H.H. Априорные оценки для квазилинейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и их применение в приближённых методах // ДАН СССР.-1969, 185, 2.-С. 271-273.

77. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.- М.: Наука.-1978.-688 с.

78. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат.- 1956.- 171 с.

79. Саламатин А.Н., Мазо А.Б. Динамика нестационарного куполо-вого ледника в двухмерном приближении. / Исследования по прикладной математике.- Казань: изд-во Казанского ун-та.- 1980-8.- С. 50- 58

80. Самарский A.A. Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболического типа // ЖВМ и МФ.- 19622.- № 1.- С. 25- 56

81. Самарский A.A. О сходимости и точности однородных разностных схем для одномерных и многомерных параболических уравнений // ЖВМ и МФ.- 1962.- 2.- № 4.- С. 603- 634

82. Самарский A.A. О регуляризации разностных схем // ЖВМ и МФ.- 1967.- 7, № 1.- С. 62- 93

83. Самарский A.A. Классы устойчивых схем // ЖВМ и МФ.-1967, 5.-С. 1096-1133.

84. Самарский A.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем // ДАН СССР.- 1969.- 185, № 3.- С. 524- 527

85. Самарский A.A. Некоторые вопросы общей теории разностных схем./ В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными (Тр. симпозиума, поев. 60-летию ак. С.Л.Соболева).-М.: Наука.- 1970.

86. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука.-1971.-552 с.

87. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.-М.: Наука.-1973.-415 с.

88. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.-М.: Наука.- 1976.-352 с.

89. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики // УМН.- 1976.- XXXI.-6(192).- С. 167- 197.

90. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравнения.-1981.- 17.- 7.- С. 1317- 1327.

91. Саулъев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток.- М.: Физматгиз I960.- 324 с.

92. Седов Л.И. Механика сплошной среды. I М.: Наука.- 1983-528 с.

93. Синяев В.Н. Об одном принципе построения конечно разностных схем, основанных на законе сохранения полной энергии // Числ. методы мех. спл. среды.- 1974, 5, № 2.- С. 108- 115.

94. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР.-1984, 277, № З.-С. 553-556.

95. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир.- 1980

96. Тихонов А.Н., Самарский A.A. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов.-ДАН СССР.- 1959.- 124-№ 3.

97. Туретаев И.Д. Скорость сходимости в Ь2 разностных схем для одномерных уравнений вязкого газа. / Новосибирск: изд-во Инст. гидродинамики СО АН СССР Нестационарные проблемы механики - 1986.- 74 - С. 81- 88.

98. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР.- 1955.- 100.- С. 1045-1048.

99. Weyl Н. Shock waves in arbitrary fluids // Comm. Pure Appl. Math.- 1949.- v.2-3.- pp. 103- 122.

100. Федотов E.M., Карчевский M.M. Об итерационных методах решения разностных схем для уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями // Исследования по прикладной математике.- Казань: изд-во Казанского ун-та.- 1980.- 8.-С. 2940.

101. Федотов Е.М., Карчевский М.М. Разностный метод решения задачи теплообмена излучением // Дифференц. уравнения.- 1980.-№ 8.-С. 1226-1234.

102. Федотов Е.М., Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных операторно- разностных схем // Дифференц. уравнения,- 1981.- 17.- № 7.- С. 1304-1316

103. Федотов Е.М., Ляшко А.Д. Исследование нелинейных двухслойных операторно- разностных схем с весами // Дифференц. уравнения.- 1985.- 21.- № 7.- С. 1217-1227

104. Федотов Е.М., Ляшко А.Д. Корректность одного класса консервативных нелинейных операторно-разностных схем // Изв.вузов. Математика.- 1985.- 10.- С. 47-55

105. Федотов Е.М. О корректности одного класса нелинейных операторно-разностных схем. / Сеточн. методы решения диф. ур-ий.- 1986.- С. 78-93

106. Федотов Е.М. О одном классе консервативных нелинейных операторно-разностных схем. /Вычисл. методы и мат. модел.-Красноярск.- 1986.- С. 146-147

107. Федотов Е.М. Разностные схемы для нелинейных нестационарных задач.-Казань Изд-во КазГУ, 1987.- 90 с.

108. Федотов Е.М., Ляшко А. Д. Консервативные разностные схемы для нелинейных эволюционных краевых задач. / Труды м/нар. Конф. по числ. мет. и прилож.- София.- 1989.- С. 250-254

109. Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных разностных схем для нелинейных гиперболических уравнений. / Исслед. по прикл. математике.- 1990.- № 17.- С. 129-146

110. Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных нелинейных операторно-разностных схем с весами // Изв. вузов. Математика.- 1995.- № 4.- С. 96-103

111. Федотов Е.М. Об одном классе двухслойных разностных схем для нелинейных краевых задач с паятью // Изв. вузов. Математика.- 1997.- № 4.- С. 86-97

112. Федотов Е.М. Исследование разностной схемы с весами для уравнений Навье- Стокса. / Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 24-28 июня 1996 года).- Казанский Фонд "Математика".-С. 100-102

113. Федотов Е.М. Сходимость сеточной схемы для уравнений динамики вязкой жидкости. / Материалы конференции "Алгебра- 249 и анализ", посвящ. 100-летию Б.М.Гагаева (Казань, 16-22 июня 1997 года).- Изд-во Казанского математического общества.-С. 224-224

114. Федотов Е.М. Сходимость разностной схемы для уравнений трёхмерной гидродинамики. / Тезисы докладов Всероссийской школы-семинара " Современные проблемы математического моделирования".- Ростов-на-Дону.- 1997.- С. 140-142

115. Федотов Е.М. Исследование сходимости разностной схемы для трёхмерных уравнений динамики вязкой жидкости // Изв. вузов. Математика 1998.- в печ.