Разложение Брюа для двойных грассманианов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Смирнов, Евгений Юрьевич

• Смирнов, Евгений Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнов, Евгений Юрьевич

Введение

0.1 Мотивировки.

0.2 Критерий примыкания Р-орбит в двойных грассманианах . . 9 0.3 В-орбиты в двойных грассманианах. Разрешения особенностей замыканий В-орбит.

0.4 Содержание работы.

1 Порядок Брюа для двух подпространств и флага

1.1 Орбиты и представители: общий подход.

1.2 Комбинаторное описание объектов с данным вектором размерности

1.2.1 Случай А: два флага.

1.2.2 Случай V: два подпространства и флаг.

1.3 Три частичных порядка.

1.3.1 Топологический порядок.

1.3.2 Ранговый порядок.

1.3.3 Пошаговый порядок.

1.4 Основной результат

1.4.1 Из пошагового порядка следует топологический порядок

1.4.2 Из топологического порядка следует ранговый порядок

1.4.3 Из рангового порядка следует пошаговый порядок

1.5 Доказательство теоремы о минимальности.

2 Разрешения особенностей многообразий Шуберта в двойных грассманианах

2.1 Описание орбит.

2.1.1 Обозначения

2.1.2 Комбинаторное описание

2.1.3 Разложение У в объединение СЬ(У)-орбит.

2.1.4 Подсчёт количества орбит.

2.1.5 Стабилизаторы и размерности орбит.

2.2 Слабый порядок на множестве орбит

2.2.1 Комбинаторное описание действия минимальных параболических подгрупп.

2.2.2 Слабый порядок с точки зрения колчанов Ауслендера-Рейтен.

2.2.3 Минимальные орбиты.

2.3 Разрешения особенностей для замыканий орбит.

2.4 Порядок Брюа на В х 5-орбите.

А Несколько примеров

А.1 Р1 х Р1 = Сг(1,2) х Сг(1,2).

А.2 Р2 х Р2 = Сг(1,3) х Сг(1,3).

А.З Р2 х Р2* = Сг(1,3) х Сг(2,3).

А.4 Р3 X Р3 = Gr(l, 4) X Gr(l, 4).

А.5 Р3 X Р3* = Gr(l, 4) X Gr(3,4).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разложение Брюа для двойных грассманианов»

Настоящая работа посвящена исследованию действия борелевской подгруппы в СЬ(п) на прямом произведении двух грассмановых многообразий.

0.1 Мотивировки

Пусть V — векторное пространство размерности п над алгебраически замкнутым полем. Множество подпространств в V данной размерности к < п может быть стабжено структурой алгебраического многообразия. Такое многообразие называется грассманианом; мы будем обозначать его через Ст(к,У). Оно является однородным пространством для полной линейной группы СЬ(У).

Обозначим через В подгруппу верхнетреугольных матриц в Разложение многообразия Сг(к, V) на орбиты группы В, называемое также разложением Шуберта, обладает массой интересных свойств. Впервые оно было определено в конце XIX века для нужд исчислительной геометрии. Тогда же была получена комбинаторная параметризация этих орбит (клеток Шуберта) и описаны их замыкания (многообразия Шуберта). Геометрия последних также представляет большой интерес; она активно изучалась на протяжении всего XX века. В частности, доказано, что многообразия ТТТуберта являются нормальными и коэн-маколеевыми, и что их особенности рациональны (см., к примеру, записки лекций [8] или книгу [9]). Также известно разрешение их особенностей, впервые появившееся в работах Ботта-Самельсона, Демазюра и Хансена ([4], [12], [14]), и описание их множеств особых точек.

Понятие разложения Шуберта для грассманианов допускает прямое обобщение на случай многообразий флагов G/P, где G — связная редуктивная алгебраическая группа, а Р — её параболическая подгруппа. "Экстремальный" (и в некотором смысле самый сложный) случай такого многообразия соответствует Р = В] в этом случае G/B называется многообразием полных флагов. Для многообразий флагов можно осуществить ту же программу, что и для грассманианов. Однако некоторые из поставленных вопросов оказываются более сложными ; в частности, описание множеств особых точек многообразий Шуберта в этом случае было получено лишь в 2000 году, практически одновременно в работах JL Манивеля ([23]), С. Билли и Дж. Уоррингтона ([3]) и, наконец, К. Касселя, А. Ласку и К. Ройтенауэра ([17]).

Мотивировка данной работы имеет двойное происхождение. Во-первых, в 1998 году П. Мадьяр, Е. Вейман и А. Зелевинский поставили и решили следующую задачу (см. [21]). Пусть G = GL(y); возьмём кратное многообразие флагов, то есть прямое произведение г обычных многообразий флагов (полных или частичных) G/Pi, и рассмотрим диагональное действие группы G на

G/Pi х . х G/Pr.

В каких ситуациях (при каких условиях на г и P\z., Рг) число орбит этого действия будет конечным? (Говорят, что такие многообразия имеют конечный тип).

Очевидно, это равносильно конечности числа орбит группы Pi на произведении G/P2 х • • • х G/Pr. Если Pi = Р, то многообразие G/P2 х • • ■ х G/Pr в этом случае является сферическим. Вопрос о конечности числа орбит в этой ситуации был решён П. Литтельманом для произвольной полу простой группы G при следующих дополнительных предположениях: Pi = В, а Р2 и Р3 суть максимальные параболические подгруппы (см. [19]).

В случае G = GL(y) и произвольных параболических подгрупп Pi,., Рг в работе [21] показано, что конечность числа орбит может иметь место только при г < 3; конечный ответ получается в терминах некоторых колчанов, классификация которых весьма близка к классификации Каца [16] колчанов конечного типа (хотя и отлична от неё). Кроме того, в этих ситуациях приводится комбинаторное описание этих орбит и некоторые частичные результаты насчёт их примыканий.

В частности, классификация кратных многообразий флагов конечного типа включает в себя серии A, D и Е. Серия А соответствует случаю г = 2, то есть действию Pi на G/P2. Как частный случай получается описание орбит действия В на G/P: это классическая ситуация разложения Шуберта для многообразия флагов.

Серия D (являющаяся в некотором смысле "следующим по сложности" случаем) соответствует действию группы G на G/Pi х G/P2 х С/Р3, где Р2, Р3 суть максимальные параболические подгруппы, или, иначе говоря, действию Pi на Gr(k, V) х Gr(¿, V). В частности, эта серия включает в себя наиболее интересный случай Р\ = В.

Было бы интересно узнать в этих случаях ответы на вопросы, аналогичные тем, что ставятся для разложения Шуберта в многообразиях флагов. Как параметризовать орбиты группы В на произведении V) хСг(/, V)? Какие орбиты содержатся в замыкании данной орбиты? Что можно сказать о геометрии этих замыканий? Когда они гладки? Если они особы, то как описать их множество особенностей, как разрешить эти особенности? Настоящая диссертация посвящена ответу на часть этих вопросов.

Другая серия вопросов касается координатных колец многообразий Шуберта и их аналогов. В работе Ходжа [15] 1943 года было доказано, что при вложении грассманиана в проективное пространство по Плюккеру к

От (к, V) ^ Р Д V, многообразия Шуберта можно получить как сечения грассманиана некоторыми проективными подпространствами пространства Р Д^ V. Это верно не только в теоретико-множественном, но и в схемном смысле, то есть уравнения этих подпространств порождают идеалы многообразий Шуберта в однородном координатном кольце грассманиана. Этот результат является ключевым для описания однородных координатных колец этих многообразий. Было бы интересно обобщить эти результаты на наш случай. Гипотетически, замыкания .В-орбит могут быть получены как линейные сечения произведения двух грассманианов, вложенного в проективное пространство по Плюккеру-Сегре: к I к I

Ст(к,У) х Сг(г,У) -^рДу хРДу ->Р(Д У<8> Ду).

Однако же описание однородных координатных колец этих многообразий представляется нам значительно более сложной проблемой.

Дополнительной мотивировкой для изучения В-орбит в От(к, У)хОт(1, V) служат недавние работы Г. Бобиньского и Г. Звары. Ими были выявлены интересные взаимосвязи между представлениями колчанов и многообразиями Шуберта. В их статьях [5], [6] доказываются следующие результаты. Особенности замыканий орбит группы СЬ(р) в представлении р колчана типа Ап оказываются такими же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов. Далее, особенности замыканий орбит СЬ(р) в представлениях колчанов типа Оп — такие же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов и произведениях двух грассманианов.

0.2 Критерий примыкания Р-орбит в двойных грассма-нианах

Мы рассматриваем определённые конфигурации подпространств в тг-мерном векторном пространстве V над алгебраически замкнутым полем К. Эти конфигурации (II, И7, К) будут состоять из двух подпространств II и ]У пространства V, размерностей к и I соответственно, и частичного флага У. = (У* С У(12 С ■ ■ • С Уат = V), где дзтУ* = (к.

Наша задача заключается в описании таких конфигураций с точностью до линейной замены координат в пространстве V и всевозможных вырождений одних конфигураций в другие. Иначе говоря, мы рассматриваем прямое произведение X = Ст(к, V) х Сг(/, V) х Р1 а(^) двух грассманианов и одного многообразия частичных флагов типа с! = (¿1,., с1т) в V с диагональным действием ОЬ(У) на этом многообразии, и описываем орбиты этого действия и отношения примыкания между ними.

Нетрудно показать, что число этих орбит конечно. Произведение нескольких многообразий флагов, обладающее этим свойством, называется кратным многообразием флагов конечного типа. В работе [21] Мадьяр, Вейман и Зелевинский приводят полный список таких многообразий и описывают орбиты полной линейной группы, действующей на них диагонально. Они также получают необходимое условие того, что одна СЬ(У)-орбита содержится в замыкании другой СЬ(У)-орбиты. Это условие следует из результатов К. Ридтманн [27] о вырождениях представлений колчанов.

Вопрос о том, является ли это условие критерием (т.е. необходимым и достаточным условием), открыт. Как указывается в [21], это верно в отдельных случаях: это следует из результатов К. Бонгартца о представлениях колчанов ([10, §4], [11, §5.2]). Ещё один случай разбирается в статье [20] П. Мадьяра, где подобный критерий доказывается для конфигураций, состоящих из двух флагов и прямой. Подход Мадьяра является элементарным и использует лишь комбинаторику и линейную алгебру.

Решение задачи в случае X = Сг(&, V) х Сг(1, V) х И а(^) следует из результатов Бонгартца. Однако мы приводим более простой критерий того, что одна конфигурация может быть вырождена к другой. Вот этот критерий:

Теорема 0.1. Пусть (£/, И7, К) и (С/', \У', VI) — две тройки, каждая из которых состоит из двух подпространств размерностей к и I соответственно, и флага глубины р с вектором размерности (ai,.,ap). Тогда (U, W, V,) € GL(V)(C/', W', VI) тогда и только тогда, когда dim Vaif\U > dim V'a. D U'\ dim Va.r\ U > dim V^'. П W'\ dim Vai Г) U DW > dim V'a. П П W' при всех i G [l,p], и dimVaj П U П W + dimK, П {{Vaj П U) + (Vaj П W)) > dimV'a. nf/'пГ + dimV'a. П {{V'a. П U') + (Va'. П W')) при всех 1 < г < j < p.

В частном случае р = п и (ai,., ар) = (1,., п) эта теорема даёт критерий примыкания £?-орбит в произведении двух грассманианов.

Доказательство этого критерия использует лишь элементарные методы. Для этого мы в основном действуем аналогично работе Мадьяра [20]. Однако при этом для параметризации орбит на X мы используем кардинально иной комбинаторный подход, существенную роль в котором играют колчаны Аус л ен дера-Рейтен.

0.3 5-орбиты в двойных грассманианах. Разрешения особенностей замыканий 5-орбит

В третьей главе настоящей работы мы рассматриваем случай Р\ = В, то есть изучаем действие борелевской подгруппы на прямом произведении двух грассманианов У = Сг(к, V) х Сг(/, V). Мы приводим другое комбинаторное описание орбит, схожее с классическим описанием В-орбит на От (к, V) при помощи диаграмм Юнга. Оказывается, что это описание лучше, чем приведённое в предыдущей главе, помогает установить некоторые комбинаторные и геометрические свойства 5-орбит. Кроме того, для него не требуются результаты работы [21]: в случае Р = В всё может быть сделано "вручную", лишь с использованием линейной алгебры. Это описание обобщает описание орбит в симметрическом пространстве х 01^), приведённое в диссертации С. Пина [26].

Далее мы переходим к изучению слабого порядка на множестве В-орбит в У. Определение слабого порядка таково:

Определение. Орбита О меньше или равна орбиты О' относительно слабого порядка (обозначение: О ■< О'), если О' может быть получено как результат нескольких последовательных "поднятий" замыкания орбиты О при помощи стандартных минимальных параболических подгрупп:

О^О' ^ 3(гь.,гг): & = Д. Ркб = Р{т. Рф, где Р{ суть стабилизаторы флагов С • • • С Кч-1 С • • • С отличающихся от стандартного пропуском одной компоненты.

Многообразие У не является однородным пространством группы СЬ(У); оно распадается на ОЬ(У)-орбиты, элементы каждой из которых соответствуют парам подпространств (17, ТУ), размерность пересечения которых равна некоторому фиксированному числу й. Будем обозначать каждую такую орбиту через У([. Поскольку действие минимальных параболических подгрупп не может выводить за пределы СЬ(У)-орбиты, описание слабого порядка на Y равносильно описанию слабого порядка на каждой из орбит

Yd•

Слабый порядок на множестве В-орбит в Yd обладает рядом хороших свойств, которые, вообще говоря, не обязаны иметь место для произвольных сферических многообразий. В частности, все В-орбиты, являющиеся минимальными для этого порядка, имеют одинаковую размерность. Более точно, имеет место

Теорема 0.2. В каждом Yd, где d £ [max{k+l—n, 0}, min{&, Z}]; содержится (k+klZdd) минимальных орбит. Они все замкнуты в Yd; их размерности равны (k — d)(l — d). Они являются прямыми произведениями клеток Шуберта в грассманианах Gr(k, V) и Gr(Z, V).

Нас также интересуют замыкания 5-орбит в Y. Они являются аналогами многообразий Шуберта в грассманианах. Особенности шубертовских многообразий хорошо изучены: для них имеются разрешения, построенные Bottom и Самельсоном; про них известно, что они являются нормальными и рациональными; множества особых точек могут быть явно описаны. Подробнее об этом можно прочитать, к примеру, в записках лекций [8] pi книге [22]. Таким образом, было бы естественно задать те же вопросы (разрешение особенностей, нормальность, рациональность) и для замыканий jB-орбит в Y. Теорема 0.2 позволяет нам построить разрешения особенностей замыканий £?-орбит, аналогичные разрешениям Ботта-Самельсона.

Теорема 0.3. Пусть О — В-орбита в Y, получаемая при помощи действия последовательности минимальных параболических подгрупп

Р^,., Р{г) из некоторой минимальной (в смысле слабого порядка) орбиты От\п = Хи1хХь, где Хш и Ху суть многообразия Шуберта в грассмани-анах Ст(к,У) и От(1:У) соответственно. Обозначим через —» Хи, и Zv —> Ху разрешения Ботта-Самельсона для этих многообразий Шуберта. Тогда отображение

Р1г хв хв Рк хв (гю х г») (5, к., • • • ,Рч, IV) ^и)) ^ Ръг.^ЙЫ, К^)) есть разрешение особенностей для многообразия О.

В заключительной части работы мы обнаруживаем некоторые интересные и неожиданные взаимосвязи между топологическим порядком на множестве Р-орбит на V) х Сг(/, V) и аналогичным порядком на множестве орбит борелевской подгруппы В С действующей сопряжениями на верхнетреугольных матрицах из Ма^У), квадрат которых равен нулю. Последний порядок был описан в недавних работах Анны Мельниковой ([24], [25]), причём Р-орбиты параметризуются инволютивными перестановками. В нашем случае Б-орбиты в данной (В х В)-орбите параметризуются некоторым подмножеством множества инволютивных перестановок; таким образом на этом подмножестве также определяется частичный порядок, происходящий из топологического порядка на множестве орбит. Неожиданно оказывается, что эти два частичных порядка совпадают, несмотря на то, что они возникают в достаточно непохожих ситуациях.

0.4 Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы, которые, в свою очередь, разбиваются на пункты, и приложения. Теоремы, предложения, рисунки и т.п. нумеруются в пределах главы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнов, Евгений Юрьевич, 2008 год

1. M. Auslander, 1. Reiten, S. O. Smal0. Representation theory of Artin algebras. Cambridge University Press, 1995.

2. M. Barot, Representation of quivers, Lecture notes of ICTP school in representation theory, 2006, http://www.matem.unam.mx/barot/articles/notesictp.pdf

3. S. Billey, G. Warrington, Maximal singular loci of Schubert varieties in SL(n)/B, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (2003), 3915-3945.

4. R. Bott, H. Samelson, Applications of the theory of Morse to symmetric spaces, Amer. J. Math. 80 (1958), 964-1029.

5. G. Bobiriski, G. Zwara, Normality of orbit closures for Dynkin quivers of type An, Manuscripta Mathematica 105 (2001), 103-109.

6. G. Bobiriski, G. Zwara, Schubert varieties and representations of Dynkin quivers, Colloquium Mathematicum 94 (2002), 285-309.

7. M. Brion, On orbit closures of spherical subgroups in flag varieties, Comment. Math. Helv. 76 (2001), 263-299.

8. M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in cohomological studies of algebraic varieties, 33-85, Trends Math., Birkhâuser, Basel, 2005.

9. M. Brion, S. Kumar, Frobenius splitting methods in geometry and representation theory, Birkhâuser, Boston, 2005.

10. K. Bongartz, On degenerations and extensions of finite dimensional modules, Adv. Math. 121 (1996), 245-287.

11. K. Bongartz, Degenerations for representations of tame quivers, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., (4) 28 (1995), 647-668.

12. M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 7 (1974), 53-88.

13. W. Fulton, Young tableaux, Cambridge Univ. Press, 1997.

14. H.C. Hansen, On cycles on flag manifolds, Math. Scand. 33 (1973), 269274.

15. W. Hodge, Some enumerative results in the theory of forms, Proc. Camb. Phil. Soc. 38 (1943), 22-30.

16. V. Kac, Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory, Invent. Math. 56 (1980), 57-92.

17. C. Kassel, A. Lascoux, C. Reutenauer, The singular locus of a Schubert variety, J. Algebra 269 (2003), 74-108.

18. F. Knop, On the set of orbits for a Borel subgroup. Comment. Math. Helv., TO (1995), No. 2,285-309.

19. P. Littelmann, On spherical double cones, J. Algebra, 166 (1994), 142157.

20. P. Magyar, Bruhat order for two flags and a line, J. Algebraic Combin. 21 (2005), no. 1, 71-101.

21. P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 171 (1999), 285-309.

22. L. Manivel, Fonctions symétriques, polynômes de Schubert et lieux de dégénérescence, Société Mathématique de France, 1998

23. L. Manivel, Le lieu sunguliér des variétés de Schubert, Int. Math. Res. Notices 16 (2001), 849-871

24. A. Melnikov, Description of iB-orbit closures of order 2 in upper-triangular matrices, Transf. Groups, 11 (2006), No. 2, pp. 217-247

25. A. Melnikov, 5-orbits of nilpotent order 2 and link patterns, arXiv: math.RT/0703371

26. S. Pin, Adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans les éspaces symétriques, thèse de doctorat, Institut Fourier, Grenoble, 2001. http://www-fourier.uj f-grenoble.fr/THESE/ps/t107.ps.gz

27. C. Riedtmann, Degenerations for representations of quivers with relations, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. (4) 19 (1986), 275-301.

28. R. W. Richardson, T. A. Springer, The Bruhat order on symmetric varieties, Geom. Dedicate,, 35 (1990), 389-436.Публикации автора по теме диссертации

29. Е .Ю. Смирнов, Разрешения особенностей для многообразий Шуберта в двойных грассманианах, Функц. анализ и его прил. 42 (2008), No. 2, с. 56-67.

30. Е. Ю. Смирнов, Порядок Брюа для двух подпространств и флага, 28 е., Деп. в ВИНИТИ РАН 30.09.2008, 777-В2008.0П