Векторные расслоения конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Ермакова Светлана Михайловна

• Ермакова Светлана Михайловна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Ермакова Светлана Михайловна

Литература

1. Введение

Возникновение задачи. Актуальность и степень разработанности темы исследования

Данная диссертационная работа посвящена классификации конечномерных векторных расслоений на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане.

Впервые задачу классификации векторных расслоений на фиксированном многообразии поднял А. Гротендик. Он расклассифицировал векторные расслоения над проективной прямой, доказав, что всякое такое расслоение расщепляется в сумму линейных ([ ], Chapter 1, §2, Theorem 2.1.1.).

Теорема (Гротендик). Каждое голоморфное г-расслоение E над проективной прям,ой P1 представимо в виде

E = Opi(ai) 0 ... 0 0pi(ar),

где a1 > a2 > ... > ar - однозначно определенные целые числа.

Векторные расслоения на Pn при n > 2 не допускают такой простой классификации, в частности касательное расслоение к Pn

n >

В то же время оказалось, что для конечномерных векторных расслоений на верен аналог теоремы Гротендика. Этим

вопросом занимались В. Барт, А. Ван де Вен, А.Н. Тюрин и Э. Сато.

Теорема (Барт - Ван де Вен - Тюрин - Сато). Любое векторное расслоение конечного ранга на бесконечномерном

комплексном проективном пространстве = {P1 —— P2 ——

... Ф—-1 Pm — ...} изоморфно прям,ой сумме линейных расслоений

Для расслоений ранга два эта теорема была доказана в 1974 году В. Бартом и А. Ван де Веном в [ ], а для расслоений конечного ранга это было доказано в 1976 году А.Н. Тюриным в [ ] и в 1977 году Э. Сато в [18]. Таким образом, вопрос классификации расслоений конечного ранга на был закрыт.

В серии недавних работ [ , , ] было показано, что теорема Барта - Ван де Вена - Тюрина - Сато имеет обобщения для бесконечномерных линейных инд-многообразий отличных от . Напомним определение.

Инд-многообразие X = ШцХ,,, определяется как прямой предел цепочки вложений:

v Г V V Ф2 Фт-1 Фт

X := {X Х2 — ... — Хт — ...},

где Хт - гладкое алгебраическое многообразие для каждого т >

Инд-многообразие X называется линейным, еели для Vт > 1 вложение фт индуцирует эпиморфизм ГруПп Пикара фт : РгеХт+1 — РгсХт ■

В 2003 году в статье [ ] И. Донин и И.Б. Пенков рассматривают инд-грассманианы, определенные как прямые пределы цепочек

{С(к1,П1) — ... Ф- С(кт+1,Пт+1) Фтт+1}, где последовательности пт,кт,пт — кт возрастают и

фт

расширениями грассманианов. Напомним, что вложение С(к1,УП1) — С(к2,УП2) называется стандартным расширением, если имеется разложение УП2 = УП1 0 WП2—П1 и образ вложения состоит из подпространств вида ик1 0 W'^ , где ик1 С УП1, а Wк2—'к1 - фиксированное подпространство в WП2 —П1.

Все инд-грассманианы, определенные таким образом, изоморфны и обозначаются через . Для инд-грассманиана

О(то) доказывается, что всякое конечномерное расслоение на нем расщепляется в сумму линейных.

В 2009 году в статье [ ] A.C. Тихомиров и И.Б. Пенков доказывают расщепление расслоений ранга два для инд-грассманианов, определенных произвольными цепочками вида ( ), снимая требование фт быть стандартным расширением (требуется лишь, чтобы всякое фт было вложением степени 1).

В статье [ ] произведена классификация линейных инд-грассманианов, определенных как прямые пределы цепочек

f v ф1 Фт фт+1л , ч

{Xi ... -m Xm+1 }, (1)

где все Хт являются одновременно либо обычными, либо изотропными грассманианами. В частности, показано, что все линейные инд-грассманианы, рассматриваемые в работе [ ], изоморфны О(то) или

В 2014 году в статье [ ] были выведены условия на локально полные линейные инд-многообразия X, достаточные для выполнения аналога теоремы Барта - Ван де Вена Тюрина - Сато. Новыми примерами инд-многообразий, которые удовлетворяют этим условиям, являются линейные сечения линейных инд-грассманианов, как обычных, так и изотропных. Таким образом, аналог теоремы Барта - Ван де Вена - Тюрина -Сато был доказан и для этого класса инд-многообразий.

Постановка задачи

В данной работе мы распространим теорему Барта - Ван де Вена -Тюрина - Сато на случай полного пересечения в линейном инд-грассманиане О := О(то). Основным полем является поле комплексных чисел С.

Для линейного инд-грассманиана О определим плюккерово вложение О ^ , как прямой предел плюккеровых вложений грассманианов С(кт, пт). Инд-гиперповерхностью степени ё в назовем прямой предел гиперповерхностей степеней ё.

О

по Плюккеру в . Пуст ь VI,..., VI - инд-гиперповерхности степеней , ...,ё/ в . Линейное инд-многообразие

X = О П Ух П ... П У1

называется полным пересечением в О, если для вся кого т > 1 многообразие С(кт,пт) П П ... П У1 является полным пересечением.

Под векторным расслоением Е ранга г > 0 на X мы понимаем обратный предел Е = \)тЕт цепочки векторных

расслоений {Ет}т>1 ранга г, оде Ет - расслоение ранга г на Хт с фиксированными изоморфизмами Ет = ф*тЕт+1.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Е

полном пересечении X С С конечной коразмерности изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Векторные расслоения конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане»

Цель работы

Целью работы является исследование инд-многообразий X, являющихся полными пересечениями в линейном инд-грассманиане С

инд-многообразиях. Главным результатом является доказательство теоремы 1.

Методология и методы исследования

В диссертации используется разнообразные методы алгебраической геометрии, такие как теория пересечений, теория пучков и их когомологий, язык теории схем, и методы теории категорий. Существенным образом используется классификация векторных расслоений конечного ранга на . Также используются топологические результаты, такие как формула Монка для когомологий пространства полных флагов.

Научная новизна. Положения выносимые на защиту

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Доказана 1 -связность инд-многообразия X, а именно, для любых двух точек X существует конечная связная цепочка проективных прямых па X, содержащих эти две точки. При некоторых ограничениях доказана связность и непустота пространства таких цепочек.

Е

ранга на X является равномерным, то есть ограничение расслоения Е на все проективные прямые в X имеет одинаковый тип расщепления.

Е

конечного ранга на полном пересечении X С С конечной коразмерности изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях векторных расслоений на проективных многообразиях и инд-многообразиях.

Степень достоверности и апробация результатов

Результаты диссертации докладывались

- в рамках летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Ярославль, ЯГПУ, 20-25 мая 2013 г.), тезисы доклада опубликованы [ ];

- на конференции "Международные Колмогоровские чтения - XIII" (Ярославль, 19 мая - 22 мая 2015 г.).

Публикация результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [2,3,1, ]. Три статьи опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Одна статья опубликована в журнале Complex Manifolds, входящем в базу MathSciNet. Все четыре статьи написаны без соавторов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из оглавления, 6 глав (введение, основной текст диссертации, заключение) и списка литературы из 21 наименования. Текст диссертации изложен на 54 страницах.

2. Формулировка основного результата

Данная работа посвящена изучению векторных расслоений на инд-многообразиях. Прежде чем формулировать главный результат мы дадим определения и введем обозначения.

Все векторные пространства и алгебраические многообразия определены над алгебраически замкнутым полем характеристики 0

2.1. Обозначения и первоначальные сведения

Вначале напомним определение линейных инд-многообразий, в частности, линейных инд-грассманианов, изученных И.Б. Пенковым и A.C. Тихомировым [ , , ].

Определение 1. Инд-многообразие X = Н^Х™, определяется как прямой предел цепочки вложений:

v ( V ф1 V ф2 фш-1 фш л

X := {Х1 — Х2 — ... — Хт — ...}, Хт т > 1

Определение 2. Векторное расслоение Е ранг а, г > 0 на X

есть обратный предел

Е = 1дшЕт

цепочки, векторных расслоений {Ет}т>1 ранг а г на X, где Ет

г Хт

Ет = фтЕт+1 •

Так же на инд-многообразии X корректно определен структурный пучок Ох = ]1шРХш . Под группой Пикара мы будем понимать группу классов изоморфизма линейных расслоений то есть обратимых пучков) на X .

Определение 3. Инд-многообразие X называется линейным, если для, Ут > 1 вложение фт индуцирует эпиморфизм групп Пикара, фт : Р1оХт+1 — ПеХт.

Простейшим примером линейного инд-многообразия является бесконечномерное проективное инд-пространство

Рто = {... Pn—1 Ф—-1 Pn...}, где все вложения ф-i имеют степень 1.

Линейные инд-грассманианы и полные пересечения в них

Через G(k, n) мы будем обозначать граесманиан k-мерных векторных подпространств в векторном пространстве Vп.

Определим линейный инд-грассманиан и его плюккерово вложение.

Пусть nm и km возрастающие последовательности натуральных чисел, удовлетворяющие условиям

km — nm,

lim km = lim (nm — km) = то.

m—Уто m—Уто

Для всякого m > 1 рассмотрим векторное пространство Vnm размерности nm и грассманиан G(km,nm) ^-мерных векторных подпространств в VПт. Вместе с G(km,nm) рассматривается его плюккерово вложение: G(km,nm)—PNm—1 = P(ANm), где Nm = (У) ■

По определению линейный инд-грассманиан G : = G(to) есть индуктивный предел limG(km,nm) цепочки вложений:

G := {G(ki,ni) —— G(k2,n2) —— ... Ф—-1 G(km,nm) —^ ...},

при этом, всякое вложение должно индуцировать изоморфизм групп Пикара.

G

описанный выше, единственный с точностью до изоморфизма, и не изменится, если мы удалим из цепочки конечную последовательность грассманианов G(km, nm) [ ].

Инд-грассманиан G снабжен обратимым пучком Og(1) = 1imOG(km,nm)(l), где класс изоморфизма обильного пучка OG(km ,nm )(l) есть образующая группы Пикара грассманиана G(km,nm) для всех m > l ([ ], Chapter 1).

G

{... ^ G(k m, nm ) ^ G(km+1,nm+l) ="+...}

продолжаются до линейных вложений плюккеровых пространств

г фт- 1 N -1 фт m,N .1 -1 Фт+ 1 Т

j Г ) pNm 1 ГУ, pNm+ 1 1 Г ^ i

Далее, для l > l и d1,d2,... ,di > l мы будем рассматривать линейное инд-подмногообразие X линейного инд-грассманиана G, которое является прямым пределом X = limXm цепочки вложений

v г v Ф1 v Фт-1 фт .

X := {XI — Х2 — ... — Хт — ...},

где Хт - полное пересечение грассманиана С(кт,пт) С РЖт-1 с I гиперповерхностями У1,т, У2,т,..., У/,т С Р^т-1 фиксированных степеней degУ,т = % = 1,...,/, т > 1:

/

Хт = С(кт,Пт) П р| У,т, COdimG(km,nm)Xm = I.

¿=1

Определение 4. Построенное выше инд-многообразие X

назовем, полным пересечением коразмерности I в линейном инд-грассманиане С.

Другими словами, инд-многообразие X представляет собой

С

^х, У2,..., VI в линейном проективном инд-пространстве

/

X = С П р V, У| = ИтУ,т, % = 1,...,1, т > 1.

¿=1

и

Для г = 1,...,^ ™л о deg := deg У^^т = ^, т > 1, называется степенью инд-гиперповерхности VI в .

Всюду далее мы будем работать именно с таким инд-многообразием X, и будем изучать векторные расслоения Е ранга г на нем.

2.2. Постановка задачи и план доказательства

Теперь мы имеем представление об объектах, с которыми нам предстоит иметь дело. Перейдем к формулировке теоремы, доказательство которой и является нашей главной задачей.

Е

на инд-многообразии X изоморфно прямой сумме линейных расслоений.

Доказательство этой теоремы состоит из нескольких этапов, которые изложены в последующих главах.

В главе 3 мы рассматриваем пространство пут,ей длины п, соединяющих две точки полного пересечения грассманиана С(п,У2и) с / гиперповерхностями степеней ¿х,...,^. Под путем здесь понимается набор последовательно пересекающихся друг с другом проективных прямых в X, посредством которых от одной точки можно дойти до другой. Основным результатом является условие па числа п,(\, ...,¿1, при выполнении которого, пространство путей, соединяющих любые две точки полного пересечения, связно и непусто. Так же получено условие на числа к,п,(\,...,( для случая полного пересечения грассманиана О (к, Vп). В этом случае мы получаем связность и непустоту

к

Главным результатом главы 4 является доказательство равномерности любого конечномерного расслоения Е на X.

Е

проективные прямые из X имеет одинаковое разложение в прямую сумму линейных расслоений.

В главе 5 мы показываем, что во всяком равномерном расслоении Е имеется флаг подрасслоений 0 = Е0 С

Е1 С Е2 С ... С Е8 = Е, таких, что каждое из фактор-расслоений Е|/Е^1 является подкруткой линейно тривиального расслоения на О(а^) для 1 < г < в. Мы доказываем далее, что любое конечномерное линейно тривиальное расслоение на X является тривиальным. Затем приводим

Е

/Е|-1. Используя ^^^^^^^^^^сть векторного расслоения Е и 1-связность инд-многообразия X, мы завершаем доказательство теоремы 1.

Теперь приступим к подробному доказательству основных этапов.

3. Связность и непустота пространства путей на полном пересечении в инд-грассманиане

Начнем с необходимых определений.

Определение 5. Пусть X - проективное многообразие с обильным пучком, Ох (1) • Назовем проективным подпространством в X такое многообразие М ~ Рг в X, что Ох(1)|м — ОРг(1). В случае, еели М одномерно, назовем, его проективной прямой в X, или просто прямой в X.

Определение 6. Путь рп(х,у) длины п на многообразии X, соединяющий точки х,у, - это набор точек х = х0,хх, ...,хп = у в X и набор проективных прямых 10,...,1п-1 в X, таких, что Хг,Хг+\ € . Многообразие всех путей длины п, соединяющих точки х и у, обозначим Рп(х,у).

Замечание 1. Оба определения переносятся, дословно на случай инд-многообразия X.

Основным результатом настоящей главы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть X - полное пересечение грассманиана О(п, 2п) 7 вложенного по Плюккеру, с набором гиперповерхностей степеней ¿1,...,((1 : X = О(п, 2п) ПП!=1 Ъ. Если 2 + 1) < [§], то многообразие Рп(и,у) путей длины п, соединяющих любые две точки и,у в X, непусто и связно.

3.1. Первоначальные сведения и идея доказательства

Первым делом докажем следующее утверждение:

Лемма 1. Пусть X - проективное многообразие, тогда

п

точки X, также является проективным многообразием.

Доказательство. Пусть Г(X) - многообразие Фано прямых па X. Рассмотрим декартово произведение Xп+1 х Г(X)п, содержащее п + 1 копий многообразия X и п копий многообразия

F (X). Пространство всех путей длины n изоморфно пересечению n подмногообразий этого произведения, определенных следующим образом: прямая из г-ого фактора F(X) содержит точки из i-ого и (i + 1)-ого факторов X .

Аналогично доказывается и утверждение про пути, соединяющие две фиксированные точки на X. □

n

соединяющих две общие точки на грассманиане G(n, 2n).

Лемма 2. Пусть U, V - два трансверсальных n-мерных векторных подпространства в W2n. Обозначим чсрез и и v соответствующие точки грассманиана G(n, 2n) n-мерных подпространств 2n -мерного пространства W2n . Пространство Pn(u,v) пут,ей из n звеньев, соединяющих и и v на, G(n, 2n) 7 изоморфно произведению двух пространств полны,х флагов F(U) х F(V).

Доказательство. Построим изоморфизм ^(и) х ^(V) — Рп(и, V). Пусть

и1 с ... С ип-1 с ип = и, V1 с ... С Vй-1 с Vй = V

%

как множество всех п-мерных подпространств в ип-г+1 0 V\ содержащих ип-г 0 V*-1. Таким образом, мы получим связную цепочку прямых, где общей точкой %-ой и (% + 1)-ой прямых является п-плоскость ип-г 0 Vг.

Таким образом, каждой точке ^(и) х ^(V) мы сопоставили цепочку из Рп(м,^), а следовательно, получили инъективный морфизм ^(и) х ^(V) — Рп(м,^). Докажем теперь, что морфпзм является сюрьектнвным.

Пусть рп(м,^) - путь длины п в С(п, 2п), соединяющий точки и и V. Каждой вершине цепочки соответствует точка и* грассманиана. Тогда имеем соответствие между точками и* и п-мерными подпространствами и* в Ж2п для 0 < % < п, и выполнено ио = и, ип = V. Заметим, что для всякого % размерность пересечения п-плоскостей и* и и*+1 не меньше п - 1. Таким образом, мы получаем, что для всякого % имеются следующие неравенства:

dim(U П и*) > п - %, dim(V П и*) < %.

Рассмотрим п + 1 число ( = (гт(и П и^) для 0 < г < п. Разница ( — (¿+1 может быть р авна ± 1 или 0. Но для нашего случая должно быть п + 1 число, от п

п,п — 1,п — 2,..., 1,0. Значит ( — (+1 = 1. Отсюда вытекает, что приведенные выше неравенства на самом деле обязаны быть равенствами, поэтому путь рп(и,у) лежит в образе морфизма, и, значит, морфизм сюрьективен.

Наконец, чтобы доказать, что морфизм является

изоморфизмом, достаточно проверить, что его образ является

гладким подмногообразием пространства всех цепочек

длины п в С(п, 2п), которое само является гладким.

Гладкость образа вытекает из того, что группа

ОЬ(и) х ОЬ(У) действует па пространстве всех цепочек, и образ морфизма представляет собой замкнутую орбиту этого

действия. □

Таким образом, на грассманиане С(п, 2п) пространство путей п

произведению Гп х Гп двух полных пространств п-мерных флагов. Идея доказательства теоремы 2 состоит в том, чтобы построить па Гп х Гп глобально порожденное векторное расслоение Е с выделенным сечением в, таким что нули в задают пространство путей длины п, соединяющих х и у и лежащих в пересечении гиперповерхностей степеней ¿1,..., (I. Используя явное

Е

расслоений, мы покажем, что нули общего, а следовательно, и Е

Г х Г

п х п

Для построения расслоения нам будет необходимо рассмотреть п различных проекций р^ : Г (и) х Г (V) ^ Г (п + 1,п — 1;2п), которые определяются следующим образом:

рк(и1 С ... С ип—\ V1 С ... С Vn—1) =

= (ип—к+1 0 Vк, ип—к 0 Vk—1) С и 0 V.

3.2. Связность нулей сечения глобально порожденного расслоения

В этом параграфе мы приводим топологический критерий для связности нулей сечений глобально порожденных расщепимых векторных расслоений.

Определение 7. Векторное расслоение Е на многообразии X называется глобально порожденным, если для всякой точки х и вектора V € Ех существует сечение в € Н0(Е)7 такое что в(х) = V.

Лемма 3. Пусть Ь - глобально порожденное линейное расслоение на связном проективном многообразии X и с1(Ь)2 = 0 € Н4^, Ж). Тогда для всякого сечения в € Н0(Ь)

{в = 0}

Ь

расслоение, имеется естественный морфизм / : X — Р(Н0^, Ь))*,

Ь

Пусть У - образ X, тогда Ь = ] *(Оу (1)). Так как с1(Ь) = 0, У имеет ненулевую размерность. Естественно, расслоение 0у(1) обильно на У

В случае если слои отображения f : X — У несвязны, рассмотрим факторизацию Штейна / = дН, Н : X — 2, д : 2 — У, где Н - морфизм со связными слоями, ад- конечный морфизм. Пусть Ь1 = д*(0у(1)). Так как д - конечный морфизм, то Ь1 тоже обильно.

Осталось рассмотреть два случая. Если dim(Z) > 1, то дивизор

Ь1 Ь1

слои Н связны, то и прообраз этого дивизора на X связен. Если же

dim(Z) = 1, то с1(Оу(1))2 = 0, а значит с1(Ь)2 = Н*(с1(Ь1 )2) = 0. □

Если существует такое собственное, замкнутое по Зарисскому подмножество 2 С Р^0^, Е)), что всякое ненулевое сечение в € Н0^, Е), чья ироективизация лежит в доиолнении к удовлетворяет некоторому свойству, то мы будем говорить, что общее сечение расслоения Е на многообразии X удовлетворяет данному свойству.

Следующая лемма стандартна, см. [ , Глава 7].

Лемма 4. Пусть Ь - глобально порожденное линейное расслоение на неприводимом проективном многообразии У и с1(Ь) = 0 . Тогда, для общего сечения в расслоения Ь многообразие {в = 0} имеет коразмерность 1 и с1(Ь) = [{в = 0}] € Н2(У).

Следующая теорема является обобщением леммы 3.

Теорема 3. Пусть Е = Ь1 0 Ь2 0 ... 0 Ьп - векторное расслоение на связном проективном многообразии X, такое, что каждое из линейных расслоений Ь,ь глобально порождено. Предположим, что элемент с2п (Е 0 Е) группы Н4n(X, К) отличен от 0. Тогда для в Е {в = 0}

связно.

Доказательство. Так как с2п(Е 0 Е) = 0, то сп(Е) = 0,

Е

вЕ

{в = 0}

в {в = 0}

несвязно. Представим в в виде в = в1 + ... + вп где является сечением расслоения Ь. Так как сп(Е) = 0, то сечение в имеет

Ук = {в1 = ... = вк = 0} для всякого к < пи значит, в силу леммы имеет коразмерность к. Более того, в силу леммы , имеется следующее равенство в когомологиях:

[У]= с1(Ь1) • ... • Cl(Ьi) € Н^^).

к Ук = {в1 =

... = вк = 0} Ук

линейному расслоению Ьк+1, мы видим, что

[Ук] • с1(Ьк+1)2 = с1(Ь1) • ... • с1(Ьк) • с1(Ьк+1) = 0.

Тем более с2п(Е 0 Е) = Щ^с^Ь^2 = 0, а значит, мы получили противоречие.

Е

доказать теорему для всех сечений, осталось доказать следующую лемму.

Лемма 5. Пусть E - векторное расслоение над неприводимым проективным многообразием X, удовлетворяющее следующим тр ем, у сл о в иям:

EX

E

3) Для общего сечения s € H0(E) многообразие {s = 0} непусто и связно.

{s = 0} s

E

Доказательство леммы. Рассмотрим в P(H0(E)) х X

подмногообразие инцидентности Г, параметризующее пары (s, x), такие что s(x) = 0 (s = 0 € H0(E)).

Так как E глобально порождено, Г является расслоением над X со слоем Pk, где k = dim H0(E) — rankE — 1. А следовательно, Г

Заметим теперь, что из условия 3) леммы следует, что все сечения E имеют нули, и, значит, проекция Г на P(H0(E)) является доминантным отображением. Также из условия 3) леммы следует, что общий слой проекции Г на P(H0(E)) связен. А так как P(H0(E)) нормально, то из факторизации Штейна [[21], Chapter III, §11, Corollary 11.5] следует, что все слои этой проекции связны.

Это завершает доказательство леммы, а вместе с ней и теоремы.

□

3.3. Когомологии пространства флагов

В этом параграфе мы соберем необходимые нам факты о когомологиях пространства полных флагов и докажем необращение в ноль одного из классов когомологий, которое

необходимо нам для доказательства непустоты и связности пространства путей.

Напомним, что на пространстве Гп есть семейство тавтологических расслоений

и0 С и1 с ... с ип—1 с ип,

где и0 - нулевое расслоение, Ып - тривиальное расслоение ранга п. Положим

Ь = Щ/и—х, хг = —с^), 1 < г < п. Имеет место следующий результат:

Теорема 4. Кольцо когомологий Н *(Гп) порождается мультипликативно единицей и классами . Оно имеет размерность п! и имеет следующее представление:

Н*(Гп) = Ъ[х1, ...,хп]/(в1(х1,... , хп) , ..., еп (х1 , ..., хп)) ,

где е{ - элементарные симметрические многочлены.

Для нас будут особенно важны классы а,, = с1(Ц*) € Н2(Гп). Очевидно что = х1 + ... + х,1. Из описания кольца когомологий вытекает, что классы о"1,...,0"п_1 порождают Н2(Гп), а также, вместе с единицей, порождают мультипликативно Н* (Гп).

В пространстве Гп есть выделенный набор циклов Шуберта Xw, который нумеруется всевозможными перестановками и из симметрической группы Бп. При этом классы [Xw] формируют целочисленный базис в кольце когомологий Н*(Гп), а классы соответствуют циклам [X(ii+1)], где (г г + 1) - транспозиция.

Коразмерность цикла Шуберта Xw равна длине элемента и. Напомним, что длиной элемента и из Sn называется минимальное число г, такое, что и = аГ1 • ... • аГ1. Длин а и обозначается через 1(и), и мы имеем [Xw] € Н.

Нам потребуются два свойства произведений циклов Шуберта.

Предложение 1. Произведение любого числа циклов Шуберта [X— является линейной комбинацией циклов Шуберта с неотрицательными коэффициентами.

Формула Монка дает конкретное разложение по базису циклов Шуберта произведения «г • ].

Теорема 5. Пусть ] - цикл Шуберта, соответствующий слову ад 6 и оу = [Х(гг+1)] • Тогда,

«г • [Хш] = ^

)) = £(ад) + 1 г < г < ;

Из этой формулы несложно вывести следующий результат:

Следствие 1. В когомологиях пространства полных флагов выполняется

(«Л • ... • <Тп-1)[п] =0 6 Н^п¡,

где |_П] - целая часть П ■

Напомним, что слово (г1 г1 + 1) • ... • (г^ г^+1) называется приведенным, если для всякого к < X выполнено /((г1 г1 + 1) • ... • (гк гк + 1)) = к.

Доказательство. Напомним, что единица в Н *(Еп) соответствует единичной перестановке е. Таким образом, из формулы Мойка следует, что коэффициент при ] в разложении цикла «г1 • о>2 • ... • по циклам Шуберта равен числу цепочек

е = ад0, , ад2, ..., то^ = ад, таких, что £(ад^) = к, и ад^ имеет вид ад^-1(г^) с г < < ^ .

В частности, если слово (г1 г1 + 1)(г2 г2 + 1) • • • (г^ г^ + 1)

к

имеет длину к), тогда «Г1 • оу2 • ... • о>№ = 0 6 Н*(Еп).

Осталось заметить, что слово

1_п/2]

(1 2)(3 4)(5 6) ••• (2 3)(4 5)(6 7) • приведенное. □

3.4. Расслоения на пространствах флагов

В этом параграфе мы построим обещанное векторное расслоение на Гп х Гп) покажем, что оно расщепляется в сумму линейных, и вычислим его старший класс Черна. Такое расслоение возникает всякий раз, когда мы рассматриваем пересечение С(п, 2п) с набором гиперповерхностей, и конкретный выбор гиперповерхностей определяет сечение расслоения (с точностью до пропорциональности). Чтобы объяснить конструкцию, достаточно рассмотреть случай пересечения С(п, 2п) с одной гиперповерхностью степени

Итак, рассмотрим грассманиан С(п, 2п), вложенный по Плюккеру. Пусть вл - сечение 0((), соответствующее гиперповерхности Ул степей и которую мы пересекаем с С(п, 2п). Прежде чем строить расслоение, рассмотрим более простой вопрос о том, как получить аналогичное описание для многообразия Фано прямых, лежащих па С(п, 2п) П Ул- Напомним, что многообразие Фано самого грассманиана изоморфно пространству частичных флагов Г(п + 1, п — 1; 2п). Имеется следующая лемма:

Лемма 6. Всякому ссчению вл € 0(() на грассманиане С(п, 2п) соответствует сечение

в'л € Ел = ^((^+1/^—1)* 0 Л^П^)) (2)

на Г(п + 1,п — 1;2п)7 такое, что нули всоответствуют пространству прямых на С(п, 2п), лежащих в нулях сечения в .

Доказательство. Рассмотрим сначала случай ( = 1. В этом случае утверждение вытекает из того, что для всякой пары Wn_1 С Жп+1 подпространств W2n имеется естественное линейное отображение

Н0(С(п, 2п), 0(1)) = Лп(^^2п) ^ (Wn+l/Wn_l)* 0 Лn_1(Wn*_l). Это отображение как раз и задает искомое линейное отображение Н°(С(п, 2п), 0(1)) ^ Н0((^п+1/^п—1)* 0 Лп—1(^п—1)).

Для общего же случая заметим, что

Н°(С(п, 2п), 0(()) С 5Л(Лп(^^2п)).

Таким образом, мы получаем отображение

Н°(С(п, 2п), ОД) ^ ^(Лп(Ж2*п)) ^

5й((Жп+1/Жп-1 Г ® Ап-1(ЖП-1)).

Это отображение дает нам искомое сечение . Несложно проверить, что его нули высекают на Е(п + 1,п - 1;2п) многообразие Фано прямых на С(п, 2п) П (й^ = 0}. □

Построение расслоения и сечения на Еп х Е,

Мы определим на Еп х Еп расслоение Е^ ранга п(^ +1) - 2 и его сечение й , такие, что точка Р 6 Еп х Еп лежит в многообразии (й = 0} тогда и только тогда, когда путь Р лежит в гиперповерхности У^.

Для того, чтобы путь Р лежал в У^, необходимо и достаточно, чтобы каждое звено Р лежало в У^. Иными словами, необходимо, чтобы для всякого к точка р^ (Р) Е Е(п + 1,п - 1;2п) соответствовала прямой, лежащей па У^. Таким образом, для каждого к, используя лемму и определение морфизма рк 5 мы видим, что точка Р лежит в нулях сечения рк(5^) расслоения рк (Е^). Из этого сразу же следует, что в качестве искомого расслоения на Еп х Еп мы могли бы взять р^(Е^) 0 р2(Е^) 0 ... 0 рП(Е^). Однако вместо него нам придется взять некоторое его подрасслоение коранга два. А именно, имеет место следующая лемма, поясняющая выбор такого подрасслоения.

Лемма 7. 1) Расслоения р!(Е^) и рП(Е^) канонически расщепляются в суммы р^(Е^) = О 0 р1(Е^)/О; р,(Е^) =

О 0 рП(Е^)/О.

^ Более того, в случае если гиперповерхность (й^ = 0} содержит точки и и V грассманиана С(п, 2п) 7 то сечения рК5^) и рК^) лежат в подрасслоениях р1 (Е^)/О и р,(Е^)/О соответственно.

Мы дадим доказательство этой леммы в следующем параграфе, после того, как будет выведен явный вид расслоений р!(Е^) и рП(Е^). Заметим пока только, что в нашей задаче точки «V лежат па гиперповерхности (й^ = 0} (так как мы изучаем пространство путей, соединяющих две точки пересечения С(п, 2п) П (й^ = 0}). Если бы в качестве расслоения на Еп х Еп мы взяли всю сумму р?(Ей) 0р2(Е^) 0... 0рП(Е^), то у такого расслоения было бы сечение без нулей. А именно, можно было бы просто взять сечение такое, что (й^ = 0} не проходит через и и V. Именно, чтобы разрешить эту проблему, мы должны несколько модифицировать расслоение на Еп х Еп. Это приводит пас к следующему определению.

Определение 8. Рассмотрим на Еп х Еп следующее расслоение вместе с сечением :

ЕТ := (р№)/О) 0р2(Е^) 0 ... 0рП-1(Ей) 0 (рП(Е^)/О),

■4 := Р1М +... + рПЮ.

Многообразие пут,ей длины п, соединяющих точки и и V на С(п, 2п) П Ул, высекается нулями сечения в^ .

Свойства расслоения

В этом параграфе мы покажем, что расслоение глобально порождено, и разложим его в сумму линейных расслоений.

Лемма 8. Обратный образ расслоения Ел при отображении рк имеет вид:

р1 (Еа) = З*(((ип—к+1/ип—к )0(У* М—1))* 0Лп—к (и*п_к )0Л^—1(У^_1)).

Доказательство. Пользуясь определением отображения рк , мы получаем

Р* №+1) = ип—,+1 0 V,, р* (^п—1) = ип—к 0 V,—1.

Остается воспользоваться формулой (2) и очевидным изоморфизмом

Лп—1(ип—к 0 V,*—1) = Лп—к(ип—к) 0 Лк—1^к*—1).

□

Лемма 9. Расслоение расщепляется в сумму линейных

глобально порожденных расслоений.

Доказательство. Достаточно доказать эту лемму для каждого из слагаемых р*к(Ел). Заметим, что расслоение Ел на Г(п + 1, п—1; 2п)

ограничения сечения расслоения О(ё) на прямую в С(п, 2п) существует сечение расслоения О(^), имеющее выбранное ограничение на прямую. Таким образом, расслоение рк (Ел) также глобально порождено.

Согласно лемме , расслоение рк (Ел) является симметрической степенью суммы двух линейных расслоений. Значит, оно само также расщепляется в сумму линейных. Наконец, заметим, что если глобально порожденное расслоение распадается в сумму линейных,

то каждое из слагаемых также глобально порождено, так как

□

Доказательство леммы 7. Мы рассмотрим случай расслоения р!(Е^); случай расслоения р,(Е^) аналогичен. Согласно лемме ,

р!(Ей) = 5й(((и,/ип-1) 0 < Ап-1(и,_ 1)).

Так как ип = О0п, то Лп(ип) = О, из чего вытекает, что ип/ип-1 = Лп-1 (и,-1). Поэтому формул а для р|(Е^) упрощается:

р!(Ей) = 0 V? < Лп-1(иП-1)) = О 0 V? < Лп-1(иП-1) 0 ... 0 (V? < Лп-1(иП-1))^.

Таким образом, р!(Е^) является сум мой ё + 1 линейных расслоений, одно из которых тривиально. Несложно показать, что вышеуказанное разложение расслоения р^(Е^) в прямую сумму единственно с точностью до изоморфизма. Таким образом, первая часть леммы доказана.

Чтобы доказать вторую часть, достаточно заметить, что при малых ё всякая гиперповерхность (й^ = 0} , проходящая через и, содержит прямые па С(п, 2п), проходящие через точку и. Иными словами, сечение р?(й^) обязано иметь нули на Еп х Еп. В то же время, если бы сечение р?(й^) не лежало в подрасслоении р^Е^/О, то оно не обращалось бы в ноль нигде, так как оно было бы

суммой ненулевого сечения О и сечения р^Е^/О. Это завешает

□

Вычисление классов Черна и не обращение в ноль

Будем обозначать через и а^ классы вторых когомологий произведения пространств флагов Е(и) х Е(V).

Лемма 10. Полный класс Черна расслоения рк(Е1) равен

и

п-к+1

(1 +

к+1 + а/г-1 )(1 + п к + а/г).

Доказательство, рк(Е1) является суммой двух линейных расслоений:

рк (Е1) = (ип-к+1 /ип-к)? < Лп-к иП-к < Лк-Ч?-10

0(VkМ-О? < Лп-кип_к < Лк-^?_1.

Полный класс Черна первого из них вычисляется следующим образом:

1 + с1(Ып-к+1/Ып-к )* + с1(Ап-киП-к) + С1(Л^-1 УЬ) =

1 + (аП-к+1 аи-к) + аП-к + ак-1.

Для второго расслоения вычисление аналогично, а полный класс Черна суммы двух расслоений равен произведению классов слагаемых. Это доказывает лемму. □

Следствие 2. Старшие классы Черна расслоений р*к(Ел), р\(Е^)/0 и рП(Е^)/0 имеют следующий вид:

с(1+М Е)) _ п1о(*К-к+1 + ^-1) + У - *Ж-к + )), сШЕ*)/0) = й\(аПи-1 + ^ )*, сШЕа)/0) = ад + {)а.

Доказательство. Первая формула следует непосредственно из леммы 10, а также следующей стандартной формулы:

^+1(^1 0 Ь2)) _ П?=о(^(¿1) + у - г)с1 (Ь2)).

Во второй и третьей формулах дополнительно используется, что 'о _ ао

+ < _ ^ + □

Мы подошли к главному техническому утверждению.

Теорема 6. Пусть + Ф2 + ... + < П рассмотрим на Еп х Еп следующее расслоение:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ермакова Светлана Михайловна, 2015 год

Литература

[1] Ермакова, С.М. Векторные расслоения конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейном инд-грассманиане / С.М. Ермакова / / Математические заметки. - 2015. - Том 98. Выпуск 6. - С. 790-793.

[2] Ермакова, С.М. О пространстве путей на полных пересечениях в грассманианах / С.М. Ермакова // МАИС. - 2014. - Том 21. Номер 4. - С. 35-46.

[3] Ермакова, С.М. Равномерность векторных расслоений конечного ранга на полных пересечениях конечной коразмерности в линейных инд-грассманианах / С.М. Ермакова // МАИС. - 2015. - Том 22. Номер 2. -С. 209-218.

[4] Ермакова, С.М. Сечения инд-грассманианов гиперквадриками / С.М. Ермакова // Тезисы летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России. - Ярославль, ЯГПУ. - 2013. - С. 4142.

[5] Пенков, И.В., Тихомиров, A.C. О теореме Барта - Ван де Вена - Тюрина - Сато. / И.Б. Пенков, A.C. Тихомиров // Математический сборник. - 2015. - Том 206, Номер 6. - С. 49-84.

[6] Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс / Перевод с англ. под ред. Ф.Л. Зака. - 2-е изд., стереотипн. -М.: МЦНМО, 2006. - 400 с.

[7] Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии / И.Р. Шафаревич. - 3-е изд., доп. - М.: МЦНМО, 2007. - 589 с.

[8] Altman, A.B., Kleiman, S.L. Foundations of the theory of Fano schemes / A.B. Altman, S.L. Kleiman // Composito Mathematica - 1977. - Vol. 34. No. 1. - pp. 3-47.

[9] Barth, W., Van de Ven, A. On the geometry in codimension 2 in Grassmann manifolds / W. Barth, A. Van de Ven // SpringerVerlag: Lecture Notes in Mathematics. - 1974. - Vol. 412. - pp. 1-35.

[10] Donin, J., Penkov, I. Finite rank vector bundles on inductive limits of Grassmannians / J. Donin, I. Penkov // IMRN. - 2003. - No 34. - pp. 1871-1887.

[11] Eisenbud, D., Harris, J. 3264 & All That Intersection. Theory in Algebraic Geometry. [Electronic resource] / D. Eisenbud, J. Harris // Harvard University. - 2013. - URL: http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic720403.files/book.pdf. (дата обращения 20.08.2015)

[12] Ermakova, Svetlana Vector bundles of finite rank on complete intersections of finite codimension in ind-Grassmannians / Svetlana Ermakova // Complex Manifolds. - 2015. - Volume 2, Issue 1, pp. 7888.

[13] Griffiths, P.A., Harris, J. Principles of Algebraic Geometry / P.A. Griffiths, J. Harris. - New York: Jonh Wiley & Sons, 1978. - 813 p.

[14] Lazarsfeld, R. Positivity in algebraic geometry I, Classical setting: Line Bundles and Linear series / R. Lazarsfeld. - Berlin: SpringerVerlag, 2004. - 387 p.

[15] Okonek, C., Schneider, M., Spindler, H. Vector bundles on complex projective spaces / C. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. - Basel: Birkhaüser, 1988. - 239 p.

[16] Penkov, I., Tikhomirov, A.S. Linear ind-Grassmannians / I. Penkov, A.S. Tikhomirov // Pure and Applied Mathematics Quarterly. -2014. - Vol. 10. No 2. - pp. 289-323.

[17] Penkov, I., Tikhomirov, A.S. Rank-2 vector bundles on ind-Grassmannians / I. Penkov, A.S. Tikhomirov / / Algebra, Arithmetic, and Geometry. Progress in Mathematics. - 2009. -Vol. 270. - pp. 555-572.

[18] Sato, E. On the decomposability of infinitely extendable vector bundles on projective spaces and Grassmann varieties/ E. Sato // J. Math. Kyoto Univ. - 1977. - No 17. - pp. 127-150.

[19] Smith, K., Kahanpüä, L., Kekäläinen, P., Traves, W. An invitation to algebraic geometry / K. Smith, L. Kahanpää,

üä äü

155 p.

[20] Tyurin, A.N. Vector bundles of finite rank over infinite varieties / A.N. Tyurin // Math. USSR. Izvestija. - 1976. - No 10. - pp. 11871204.

[21] Hartshorne, R. Algebraic Geometry / R. Hartshorne - New York: Springer-Verlag, 2010. - 496 p.