Вырождение Пуанкаре-Биркгофа-Витта в теории Ли и его приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Фейгин, Евгений Борисович

• Фейгин, Евгений Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фейгин, Евгений Борисович

Содержание

Введение

1. Теория представлений

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Тип А

1.3. Симплектические алгебры

2. Геометрия

2.1. Соотношения Плюккера и полустандартные таблицы

2.2. Цепочки подпространств

2.3. Колчанные грассманианы

3. Комбинаторика

3.1. Числа Дженокки

3.2. Полиномы Пуанкаре

3.3. Производящие функции и непрерывные дроби

4. Аффинные алгебры Каца-Муди

4.1. Алгебры Каца-Муди и BOA

4.2. Алгебра sí2

4.3. Модули Демазюра

4.4. Двойственная функциональная реализация

5. Алгебры Жу

5.1. Алгебры Жу и С2-алгебры типа А

5.2. Симплектические алгебры

5.3. Обобщённые алгебры Жу 140 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вырождение Пуанкаре-Биркгофа-Витта в теории Ли и его приложения»

Введение

Группы и алгебры Ли являются классическими объектами, привлекавшими внимание таких математиков, как А. Пуанкаре, С. Ли, А. Вейль, Г. Вейль, А. Борель, Р. Ботт. Причина важности и популярности алгебр и групп Ли заключается в том, что эти структуры возникают в самых разных областях математики (теории представлений, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, математической физике). Например, в топологии и алгебраической геометрии группы Ли возникают как группы симметрий важных и интересных многообразий, а в математической физике и теории представлений алгебры Ли зачастую появляются как пространства операторов, позволяющих описывать естественно возникающие векторные пространства (пространства состояний систем). Важным обстоятельством является тот факт, что аппарат теории Ли очень разнообразен и может применяться как в геометрических, так и в алгебраических задачах (см. например [45], [46]).

Одним из базовых объектов теории Ли являются представления со старшим весом. Эти представления обладают следующим важным свойством: они содержат выделенный (так называемый, старший) вектор, такой что всё пространство представления порождается из него применением борелевской подалгебры. Оказывается, что все неприводимые конечномерные представления простых алгебр Ли обладают этим свойством. Более того, бесконечномерные представления со старшим весом образуют важнейший класс модулей над аффинным алгебрами Каца-Муди - класс интегрируемых представлений, важных с точки зрения приложений в математической физике. Отметим также, что представления со старшим весом служат важным алгебраическим инструментом для описания алгебро-геометрических свойств многообразий флагов, позволяя явно строить проективные вложения. В этом контексте проективные алгебраические многообразия реализуются как орбиты (замыкания орбит) действия группы Ли на некоторую точку.

Во всех описанных примерах ключевое свойство заключается в том, что алгебраические (геометрические) объекты порождаются из одного вектора (точки) действием алгебры операторов (группы Ли). При этом как правило эта алгебра (группа) достаточно сложно устроена: например, это может быть борелевская или параболическая подалгебра в простой или аффинной алгебре Ли. Заметим, что ситуация, в которой представление порождается из одного вектора под действием алгебры операторов широко встречается в коммутативной алгебре: роль алгебры операторов играет здесь полиномиальная алгебра, а представление - фактор кольца полиномов по некоторому идеалу. Роль многообразий флагов здесь играют так называемые С^-многообразия (см. [1], [2], [65]). Основная наше идея заключается в том, чтобы связать эти две конструкции, то есть построить и изучить процедуру перехода (вырождения) от представлений сложной (неабелевой) борелевской подалгебры к факторам колец полиномов по идеалам. При этом вырождаются одновременно все объекты теории: алгебры и группы симметрий, пространства представлений, многообразий флагов, характеры и т.д. Это позволяет применять конструкции и результаты одной из теорий для изучения объектов другой, а также получать важные приложения в теории представлений, алгебраической геометрии, математической физике и комбинаторике.

Опишем кратко предлагаемый подход. Пусть g - алгебра Ли, V - представление д, удовлетворяющее следующему условию: существует подалгебра п С g и вектор v £ V, такие что V = U(n)v (через U обозначена универсальная обёртывающая алгебра). Вектор v называется старшим вектором представления V. На универсальной обёртывающей алгебре U(п) имеется стандартная возрастающая фильтрация Пуанкаре-Биркгофа-Витта Fs, такая что происоединённая градуированная алгебра изоморфна симметрической алгебре S'(n), которая, в свою очередь, изоморфна алгебре полиномов. Рассмотрим индуцированную фильтрацию на пространстве представления V, т.е. фильтрацию Fqv С Fiv С F2v С ... (см. [30], [34], [35], [50], [51], [71]). Тогда присоединённое градуированное пространство Va является представлением абелевой алгебры па. Более того, поскольку V является циклическим представлением п (т.е. V = U(n)v), то Va = S(n)v, т.е. всё пространство получается из старшего вектора действием алгебры полиномов. Итак, Va ~ S(n)/I, где I некоторый идеал.

Пусть теперь g - конечномерная простая алгебра Ли с картановским разложением g = b © п~, V\ - неприводимое представление g со старшим весом А и старшим вектором v\. Классическими вопросами теории представлений является вычисление размерностей и характеров этих представлений. Вышеописанная конструкция позволяет строить пространства УАа. По построению, УАа ~ S(n~)/I\ для некоторого идеала 1\. Заметим, что кроме стандартной градуировки алгеброй Картана, индуцированной из Va, пространства снабжены дополнительной градуировкой по степени многочлена из ¿"(п-). Таким образом, получаем естественно определённый g-характер представлений V\ (отличный от [9]). Естественно возникают следующие вопросы:

• Описать идеалы соотношений 1\.

• Вычислить g-характеры представлений V\.

• Построить мономиальные базисы пространств Ула.

Мы решаем эти вопросы для g = sin и g = sp2n- В частности, конструкция мономи-альных базисов позволяет доказать гипотезу Винберга [88]). Отметим, что пространства УАа являются представлениями не только абелевой алгебры (ri~)a, но и большей алгебры да = Ь ф (п")а, которую мы называем вырожденной алгеброй Ли.

Рассмотрим теперь геометрическую часть теории. Пусть G - группа Ли алгебры Ли д. Рассмотрим обобщённое многообразие флагов — G ■ Cv\, вложенное в проективизацию Р(Уд) как орбита прямой, порождённой старшим вектором. Легко видеть, что Э^ ~ G/P, где Р - некоторая параболическая подгруппа, определяемая весом А. Напомним, что в случае группы типа А обобщённые многообразия флагов изоморфны классическим многообразиям флагов, состоящим из наборов подпространств. Изучение алгебро-геметрических и топологических свойств (обобщённых) многообразий флагов важно и интересно как с геометрической точки зрения, так и в свете приложений в теории представлений и комбинаторике. В частности, теорема Бореля-Вейля-Ботта позволяет вычислять характеры неприводимых представлений простых алгебр Ли с помощью эквивариантных линейных расслоений на многообразиях флагов (по формуле Атьи-Ботта-Лефшеца [4], [84]). Пусть теперь Ga - вырожденная группа Ли, являющаяся группой Ли алгебры да. Отметим, что

4

Ga равна полу прямому произведению борелевской подгруппы В и абелевой группы где Ga - аддитивная группа поля. Естественно определить вырожденные многообразия флагов по формуле = Ga • Cv\. Заметим, что в отличие от классического случая, замыкание орбиты не совпадает с самой орбитой. Кроме того, легко видеть, что Зд = G^imn • Сг>д, т.е. вырожденные многообразия флагов являются так называемыми Ст^-многообразиями. Мы доказываем, что для g = sln вырожденные многообразия флагов являются плоскими вырождениями своих классических аналогов. (Напомним, что торические вырождения построены в [13], [58], [72]). Они являются особыми, но нормальными проективными алгебраическими многообразиями, с рядом замечательных свойств. В частности, мы описываем явно вырожденные соотношения Плюккера, строим клеточное разбиение, вычисляем Эйлеровы характеристики и полиномы Пуанкаре. Отметим, что для вырожденных многообразий флагов выполняется аналог теоремы Бореля-Вейля-Ботта (см. [40], [41]). Мы также показываем, что вырожденные многообразия флагов типа А имеют естественное описание в терминах колчанных грассманианов [14], [78], [15], [80]. Этот язык позволяет строить расширенную группу симметрий, а также описывать алгебро-геометрические и топологические свойства.

Как известно, эйлерова характеристика классических многообразий флагов типа А равна n!. Это обстоятельство важно для разнообразных комбинаторных приложений геометрии многообразий флагов. Мы показываем, что в вырожденном случае аналогом факториалов являются так называемые нормализованные числа Дженокки второго рода (см. [6], [20], [24], [25], [26], [37], [59], [67], [81]). Используя геометрические и топологические свойства вырожденных многообразий флагов, мы находим новые комбинаторные описание чисел Дженокки, а также явное выражение для их производящей функции. Более того, мы находим явные формулы для чисел Дженокки. При этом, используются разнообразные комбинаторные объекты и конструкции, такие как g-биномиальные коэффициенты, диаграммы Деллака, пути Моцкина, теорема Флажоле, непрерывные дроби и т.д. (см. [23], [33], [83]). Отметим, что полиномы Пуанкаре вырожденных многообразий флагов позволяют определить естественную g-версию чисел Дженокки. Мы также находим явные формулы для определённых таким образом g-чисел Дженокки (см. [62], [63], [86], [87]).

Пусть теперь g - аффинная алгебра Каца-Муди. Все определения, данные выше имеют смысл и в этом случае. Точнее, рассмотрим бесконечномерное интегрируемое представление L\ алгебры 0. Применяя стандартное определение ПБВ фильтрации, получаем градуированное представление вырожденной аффинной алгебры. В отличие от случая конечномерных алгебр и их представлений, все однородные компоненты в аффинном случае бесконечномерны, поэтому вопрос о вычислении их размерностей не имеет смысла. Однако задача вычисления их характеров и построения базисов представляется важной и интересной. В нашей работе мы получим результаты в двух частных случаях: g = s^, а также для произвольной аффинной алгебры и базисного (вакуумного) представления. Мы также формулируем гипотезы о структуре более общих вырожденных представлений.

Случай аффинных алгебр Ли также оказывается важным из-за приложений в математической физике, точнее в конформной теории поля и в теории вертекс-операторных

5

алгебр ([56], [90], [91]). С каждой аффинной алгеброй Каца-Муди g можно связать два объекта: конформную теорию поля Весса-Зумнно-Виттена или, с математической точки зрения, теорию представлений вертекс-операторной алгебры, построенной по 0. При этом пространства состояний конформной теории соответствуют бесконечномерным представлениям вертекс-операторной алгебры. Оказалось, что изучать эти представления удобно с помощью так называемой алгебры Жу - конечномерной ассоциативной (но не коммутативной алгебры), которая строится по базисному (вакуумному) представлению вертекс-операторной алгебры и содержит в себе информацию о всех остальных представлениях. Процедура вырождения позволяет построить по алгебре Жу другую, на этот раз коммутативную, алгебру, так называемую Сг-алгебру. Возникает вопрос об описании С2-алгебр и вычислении их градуированного характера. С точки зрения теории представлений, этот вопрос можно сформулировать как задачу о разложении С2-алгебр на неприводимые представления алгебры 0. В работе мы решаем этот вопрос для g = sln и g = spn (см. [47], [53], [39]). В частности, мы доказываем гипотезу Габердиела и Ганнона [55], изучавших вырождении алгебры Жу с точки зрения конформной теории поля.

Наша работа построена следующим образом. Первая глава посвящена изучению присоединённых градуированных представлений относительно фильтрации Пуанкаре-Биркгофа-Витта для простых алгебр Ли типов А и С. Мы даём основные определения и формулируем решаемые задачи. После этого мы вычисляем идеалы соотношений в вырожденных представлениях и приводим явное описание мономиальных базисов в терминах многогранников Винберга. Мы также получаем комбинаторную формулу для градуированных характеров. Вторая глава посвящена изучению вырожденных многообразий флагов для G = SLn. Мы вычисляем вырожденные соотношения Плюккера и приводим реализацию вырожденных многообразий флагов в терминах цепочек подпространств. Мы также описываем реализацию в терминах колчанных грассманианов. В третьей главе изучаются комбинаторные вопросы и приложения, связанные с геометрией вырожденных многообразий флагов. Мы получаем новые комбинаторные интерпретации чисел Дженокки второго рода и их g-аналогов и находим для них явные формулы. Мы также изучаем производящую функцию чисел Дженокки и получаем для неё выражение в виде непрерывной дроби. Четвёртая глава посвящена изучению фильтрации Пуанкаре-Биркгофа-Витта на интегрируемых представлениях аффинных алгебр Ли. Для g = sí2 мы приводим описание вырожденных представлений в терминах образующих и соотношений, а также вычисляем градуированные характеры. Для произвольной алгебры g мы получаем аналогичные результаты для базисных представлений уровня один. Последняя, пятая глава посвящена изучению приложений в теории вертекс-операторных алгебр и конформной теории поля. Мы изучаем алгебры Жу и С2-алгебры, соответствующие простым алгебрам Ли типа А и С. Мы вычисляем их градуированные характеры и доказываем гипотезу Габердиэля-Ганнона. Мы также описываем вырождение Габердиэля-Годдарда в терминах коинваринатов и получаем для g = sí2 описание вырожденных пространств Габердиэля-Годдарда в терминах тензорных произведений неприводимых представлений.

1. Теория представлений

Эта глава посвящена изучению вырождения Пуанкаре-Биркгофа-Витта (абелевого вырождения) неприводимых конечномерных представлений простых алгебр Ли. Результаты этой главы содержатся в работах [50], [51].

1.1. Основные определения и обозначения.

1.1.1. Классический случай. Пусть 0 - простая алгебра Ли, п С Ь - нильпотентная и боре-левская подалгебры, () - картановская подалгебра, сИт() = I. Таким образом, Ь = п ф [) и ранг д равен I. Зафиксируем дополнительную нильпотентную подалгебру п~. Тогда имеется картановское разложение д = п ф 1} ф п~.

Обозначим через (3 и Р решетки корней и весов в [)*. Решётка Р порождена фундаментальными весами шг, г = 1,...,/, а О, порождена простыми корнями аг, г — 1,...,/. Положим

I I

я± = 0 ±2>0аг, Р± = 0 ±Х>0иг, 1>0 = {пеХ: п> 0}.

г=1 г=1

Обозначим через (•, •) форму Киллинга на ()*. В частности, мы имеем (аг,ш0) = 5г>3.

Пусть А+ С (3+ ~~ множество положительных корней алгебры д. Рассмотрим весовое разложение

п = 0 па, п" = 0 Ща,

аеА+ аел+

где па и п!а одномерные пространства, порожденные элементами еа и /а. Имеем

[Л,, еа] = а(Н)еа, [Н, /а] = -а(/г)/а, Не!)-

Мы обозначаем элементы еаг через ег и ^^ через /г. Тогда еа, /а, а е Л+ и Нг = [ег,/г] образуют базис Шевалле д.

Для каждого Л = тгшг € Р+ обозначим через Ух - неприводимый д-модуль со

старшим весом А. Пусть ух £ Ух - старший вектор. Тогда имеем

Нух = А(к)ух У/г е пух = 0, \]{п~)ух = Ух.

Пространство Ух снабжено весовым разложением:

УА= 0 Ух, У^ = 8рап{г> е УА : Ьм = и(}ъ)уШ е ()}■

Напомним, что характером представления Ух называется формальный ряд

сЪУХ = ^ (1ш1

М 6<3+

1.1.2. ПБВ вырождение. Снабдим пространство У\ возрастающей ПБВ-фильтрацией определённой следующим образом:

^о = Сь\, Р3 = зрап{ж1... ХкУ\ : к < з, Хг £ п~}.

Другими словами, = ^ +

Определение 1.1.1. Обозначим через присоединенное градуированное пространство

оо

в=1

Мы будем писать Ула = ф5>оУ\а(5)> У\(3) = -^/-^¡-ь Элемент х 6 называется

однородным ПБВ-степени з.

Основная цель данной главы - описать свойства пространств

Опишем алгебру Ли, действующую на УАа. Пусть (п~)а - абелева алгебра Ли, изоморфная п" как векторное пространство.

Определение 1.1.2. Вырожденная алгебра Ли да есть прямая сумма подалгебр Ьф(п~)а, причём (п")а является абелевым идеалом, а действие Ь на (п~)а индуцируется присоединённым действием Ь на факторе д/Ь.

Замечание 1.1.3. Алгебра Ли да изоморфна д как векторное пространство, и скобка [•, -]а задается формулами

[К /а]а - [к еа]а = ф)еа, [Ь, = О УН, к, е (), а е

[/а, //3]а = 0, [еа, ер]а = [еа, ер] У а, (3 е (Э+>

Г л а |[еа,//з], если ¡3 - а е <2+, [еа,1р\ = <

I 0, иначе.

Верхний индекс а означает абелевость, так как подалгебра п~ абелева относительно скобки [•, •]"• В дальнейшем мы опускаем верхний индекс а в скобке [•,•]", если понятно, какую из алгебр, д или да, мы рассматриваем.

Замечание 1.1.4. Алгебра Ли да может быть рассмотрена как вырождение д. Действительно, пусть с~~р и - структурные константы д, то есть

1еа, ер] = с+^еа+р, [/а, ¡р] = С~~р/а+р,

[еа, //?] = с+-р/р_а, /3 - а е <Э+, [еа, /р] = с+~реа-р, а - ¡3 е

[еа, /а] = Нае\).

Пусть д(е) - подалгебра 0 порождённая элементами еа(е) = еа, /а(е) = е/а, а Е и (). Очевидно, д(е) ~ д для всех е ф 0. Тогда имеем

[ев(е),е^(е)] = с+%еа+р(е), [/а(е), /д(е)] = ес-^/а+/3(е),

[еа(е), /¿¡(в)] = /3 - а £ <2+,

[еа(е), //з(е)] = а ~ Р е

[еа(е),/в(е)] = е^а-

В пределе е —>• 0, коммутационные соотношения, приведенные выше, дают соотношения из Определения 1.1.2.

Следующее простое предложение является важным для нашей конструкции. Рассмотрим градуированные модули УА = © ф5>1 -^/-Р^-ь

Предложение 1.1.5. Для каждого X Е Р+ структура д-модуля на У\ индуцирует структуру да -модуля на УЛа.

Доказательство. Действие алгебры Ли п~ на Уд индуцирует действие абелевой алгебры (п~)а ^ да на УА. Действительно, для любого а Е Д+ имеем Таким образом,

мы получаем действие операторов /а на градуированном пространстве УАа, отображающее 1 в Из определения ^ мы заключаем, что все такие операторы попар-

но коммутируют. Теперь рассмотрим действие Ь на У\. Так как хР8 м- ^ для каждого х Е Ь, мы получаем действие Ь на градуированном пространстве отображающее каждый фактор в самого себя. Теперь легко видеть, что действие абелевой алгебры (п~)а и алгебры Ь удовлетворяют соотношениям из Определения 1.1.2. Таким образом, мы получаем структуру да-модуля на УАа. □

Замечание 1.1.6. Пространство УА - циклический модуль над универсальной обертывающей алгеброй (п~)а да и, таким образом может быть отождествлён с фактором алгебры многочленов от переменных /а, а Е Д+ по модулю некоторого идеала /(А):

(1.1) Уха^СЦа]аеЯ+/1( А).

Операторы еабп действуют на этом факторе как дифференциальные операторы.

Заметим, что у алгебры да есть естественное одномерное расширение да = да © Сй, где элемент 6 коммутирует с элементами из да по следующим формулам:

[й, х\ = 0, х Е Ь, [д, /а] = /а, а Е Д+.

На каждом пространстве УАа можно ввести действие расширенной алгебры да, положив = 0. Так как [й, /а] = /а и УАа получается из старшего вектора действием алгебры многочленов от переменных /а, то оператор д действует на каждом однородном (относительно ПБВ градуировки) пространстве УА (в) умножением на константу 5.

Основная цель первой главы - описать свойства пространств УАа. Точнее, нас будут интересовать следующие вопросы о структуре да модулей УАа:

9

• Вычислить градуированные размерности пространств У£, т.е.

^УсйтЪЗД.

s>0

• Вычислить градуированные характеры пространств УЛа, т.е.

s>0

• Описать идеал соотношений /(А) С С[/а]о,ед+.

• Построить базисы пространств

Изучению этих вопросов для алгебр sln и sp2n будет посвящена оставшаяся часть первой главы.

1.2. Тип А. В этой части мы рассматриваем случай g = sín+i. Пусть аг, шг г = 1,..., п -простые корни и фундаментальные веса. Все корни $ln+1 имеют вид арл — ар+ар+1 + - • •+ад для некоторых 1 < р < q < п. В частности, аг — аг>1.

Пример 1.2.1. Рассмотрим представление со старшим весом А = uid, 1 < d < п. Пусть J = (ji < ••• < jd) - набор индексов, 1 < jí} < п + 1. Такие последовательности нумеруют базис модуля УШЛ = Ad(Cn+1); если Wi,..., wn+\ - базис Cn+1, то базисный элемент vj £ УШЛ определяется как

Тогда в-ое пространство ПБ В-фильтрации ^ С УШЛ порождено векторами VJ с с1е§ 7 < й. Получаем, что образы элементов VJ с с^3 = з определяют базис 1 ^

Обозначим эти образы символом г>}.

Действие да на У£а может быть описано явно. А именно, зафиксируем корневые элементы Д^ = Дг и ег>3 = еаг з. Тогда легко видеть, что

vj = wn Л wn Л • • • Л wu. Для последовательности J = (ji, ■ ■ ■ ,jd) определим ПБВ-степень J формулой

(1.2)

deg J = #{r : jr > d}.

(1.3)

<Г=1 °h3rVj!, ,>-l,.7 + ljr+l,...,.?d'

если i < d,j > d,

E X а

r=l + 1 ,JrVn, ■ ,3r-i,h3r+i,

О, в противном случае . Заметим, что У£ не изоморфно Ad(V^).

■ ,3r-i,г,Jr+i, ,3d'

если d < i < j или i < j < d,

В дальнейшем нам понадобится определение пути Дика.

Ю

Определение 1.2.2. Путь Дика это последовательность положительных корней £(„+1

р = (Р(О),Р(1 ),...,тъ к>о,

удовлетворяющих следующим условиям:

a) Первый и последний корень простые, т.е. /5(0) = аг и /3(к) = а^ для некоторых 1 < г < j < п;

b) Если /5(з) = аРд, то следующий элемент в пути имеет вид /5(й + 1) = или /5(Й + 1) = ар+119.

Пример 1.2.3. Приведём пример пути для £16:

р = (а2, а2 + «з, а2 + а3 + а4, а3 + а4, а4, а4 + а5, а5).

Пусть в = {¿>/з}/з>сь 5/з ё - набор из целых неотрицательных чисел, занумерованных положительными корнями. Обозначим через элемент

/■ = П е

/36Л+

Определение 1.2.4. Для целого доминантного веса £[„+1 вида А = ^^=1тги}г определим множество 5,(Л) как множество наборов в = (з/з)/3бд+ £ , таких что для всех путей Дика р = (/3(0),..., /5(/с)) выполнено

(1.4) 5/3(0) + 5/3(1) Н-----Ь врю <тг + тг+1 +----\-т3,

где /5(0) = а^ и (5{к) = а^.

Ниже мы докажем, что множество /81>л, в е ¿"(Л), образует базис Ула. Доказательство разбито на две части: сначала мы проверяем, что элементы в € ¿"(А), линейно порождают V", а потом доказываем, что число элементов в 5(Л) не превосходит сНт!^.

1.2.1. Достаточность. Напомним, что пространство Ула является циклическим ¿'(п-)-модулем, т.е. Ула = ¿"(п-)^ и, значит, Ула = 3(п~)/1(\) для некоторого идеала /(А) С ¿"(п-). Наша цель - доказать, что элементы /8г>л, в 6 ¿'(А), порождают ¿'(п-)//(А).

Пусть А = т!+ • • • + тпшп. Опишем коротко план доказательства. Напомним, что в неприводимом представлении алгебры £[п+1 выполняются соотношения /аЛ'а^+1г>л = 0 для всех положительных корней а. Таким образом, получаем для всех г < ]

.с/.". е т

Кроме того, операторы еа действуют на 5"(п~) и на УЛа, т.е. /(А) инвариантен относительно еа. Таким образом, применяя операторы еа к получаем новые соотношения.

Мы докажем, что полученные таким образом соотношения позволяют переписать любой вектор /*г>л в виде линейной комбинации векторов fsv\ с в е 5(А).

Введём следующие обозначения:

^>3 Лг "Ь • ' • + О/.], 1 •

11

Положим аг<1 — аг, 5г,г = 5аг и /гг = Дг. Определим степень набора degs как степень соответствующего монома в ¿"(п-), т.е. с^в = X]

Нам также понадобится мономиальный порядок на ¿'(п-). Определим сначала полный порядок на множестве образующих 1 < г < ] < п следующим образом. Скажем, что (ьз) ^ {к,1), если г > к или г = к и ] > I. Положим Д^ >- Д^, если (г,^) У- (к,1). Таким образом,

Д,п /тг-1,71 /п-1,п-1 }п-2,п >~ ■ ■ ■ >~ Д,3 ^ /2,2 >~ Д,п >"•••>- Дд-

В дальнейшем мы используем однородный лексикографический порядок на множестве мономов от переменных Д^ в 5(п~). Такой же (полный) порядок можно рассматривать и на множестве наборов в, т.е. в >- 1 если и только если Д >- Д. Запишем это условие в явном виде: в 1 если выполняется одно из условий

в с^в >

• deg в = deg 1 и найдутся 1 < ц < Зо < п, такие что вг(Ш > £гмо и, для г > г0 и (г = г0 и;> имеем =

Предложение 1.2.5. Пусть р = (р(0),...,р(к)) путь Дика с р(0) = аг и р(к) = а3. Пусть в набор, обращающийся в ноль вне р; т.е. = 0 при а ^ р. Предположим, что

к

Е 5р(г) > тг н-----Ьтг

1=0

Тогда найдутся константы занумерованные наборами t, такие что

(1.5) /■ + $>/*€ ад

(при этом мы не требуем, чтобы t обращался в ноль вне р). Замечание 1.2.6. Заметим, что (1.5) равносильно

Доказательство. Заметим, что без ограничения общности можно считать, что р(0) = а.\ и р(к) — ап (к = 2п — 2). Действительно, в общем случае р(0) = аг, р(к) = а3 рассуждение получается заменой соотношения +ТПп+1 е /(А), используемого ниже, на соотношение

Д7+- +т'+1 6 /(А).

С этого момента мы считаем р(0) = а.\ и р(к) = ап. Обозначим через 5+({) фп+) С 5(1) ф п+) максимальный однородный идеал многочленов без свободного члена. Присоединённое действие II(п+) на д индуцирует действие II(п+) на 5(д) и, значит, на

5(п-)~5(д)/5(п")5+(Ип+). 12

Рассмотрим дифференциальные операторы да, определённые по формулам

д Г =)1р-а> если /5 — а е А+, 1 0, иначе.

Имеем

да1/з = са>р(аЛ еа)(/д),

где саф - некоторые ненулевые константы. В дальнейшем мы часто используем следующее свойство: если /р1... /р1 6 ^(А), то Для всех ..., а3

да1 ■■■даз}р1 •••/а е /(А).

Так как /1тп1+" +т-+1ух = 0 в УАа, получаем

£*<»+~+ы<.) е цху

Для краткости, обозначим через дьз оператор да . Например,

(1-6) = /г+1)Л д,,„Д„ = при 1 <1<з<п. Для г, = 1,..., п, положим

з п

= У ] Зг,0 ) 8г,» = У ] ^г• г=1

Рассмотрим сначала вектор

(1-7) ^--еГп • • • е ЛА).

По формулам (1.6) получаем:

а2п / 1,п — с1/1,гг /1,1

для некоторой ненулевой константы с±, и

Дв«,2 ов.,1 <>5р(0) + _ о)Н Нр^-Я.х-в.г

^Зп у2тг ./1,п — с2./1,п ./1,1/1,2

для некоторой ненулевой константы С2 и т.д. Продолжая это рассуждение, получаем, что вектор (1.7) пропорционален (с ненулевым коэффициентом пропорциональности) вектору

/Гд7Г,22 • ■ • /Г,Г е ДА).

Будем теперь применять дифференциальные операторы к моному

1,1 /1,2 ■ ■ • /1,71 •

Рассмотрим следующий элемент в /(А) С 5(п~):

(1-8) Л = ... ^ЛГ/Й2 • • • /Г,Г-

Мы докажем следующее утверждение:

(1.9) А = для некоторых с3 ф 0.

По построению А £ /(Л), поэтому доказываемое предложение будет следовать из (1.9).

Доказательство утверждения: Введём следующие определения. Для всех j = 1,..., п — 1 положим

(1-10) А, = ... dl^J^fi? • • • /Г,Г-

Например, Ai — А. Мы будем использовать нисходящую индукцию по j. Рассмотрим сначала An-i\

Лп-1 — ul,n-lJl,l J 1,2 • • • Jl,n • Имеем sn). = sn>n и di>n-ifit3 — 0 кроме случая j — п. Таким образом,

(1-11) Ai-1 = <*17Г22 • • • ft;rSn'n&,

с ненулевой константой с.

Как мы уже отмечали выттте, доказательство будет вестись по (нисходящей) индукции. Для лучшего понимания шага индукции, разберём сначала случай Ап_2- С точностью до ненулевой константы имеем:

Л __1,» 1 £s*,2 /><$•,n—$п,п £Sn n

лп-2 — <21,71-2 / 1Д /1,2 • • • Jl,n Jn,ñ ' Заметим, что di,n-2/i..j — 0 кроме случаев j = n — l.n, и <9iin_2fn,n = 0. Таким образом,

Sn— 1,*

al Л _ \ л i*s*,2 rS*,n — 1 Sn.,7i~ £ rSn—l,»— £ fSnn

.1ZJ /ln_2 — Cí/l,l /l,2 • • • Jl,n-1 Jl,n Jn-l,n-l Jn-l,nJn,ñ •

e=o

Мы хотим понять, какие степени могут появиться. Напомним, что s зануляется вне

р. Если ап-1 0 р, то sn_iin_i = 0 и sn_ij# = sn-i¡n. Следовательно, f^-in эт0 максимальная степень, которая может встретиться в (1.12).

Предположим, что an_i G р. Тогда а]:П р если j ф п — 1,п. Так как s зануляется вне р, мы заключаем, что

•S*,n Sl,n "Ь • • • "f" Sn—l,n ,§гг,гг Sn—l,n ~Ь Sп,п■

Из этого следует, что максимальная степень /п_ 1>п, которая может встретиться, равна sn-i,n, причём моном fn"-i]n входит в сумму с ненулевым коэффициентом. Получаем

^71— 1,71

a-i Q\ Л _ \ л £S»A 1— -Sti— 1n — Sn,n—^ rSn—£Sn TI

■Ló) — " 1,1 ••••/1.71-1 Jl,n Jn-l,n-lJn-l,nJn,ñ ■

Í=Q

Для проведения общего шага индукции, нам понадобится включить в индуктивное предположение следующее утверждение:

А3 является суммой мономов вида

a fs», 1 fs»,J fs*,J + l~* fS,,n~* ft] +1,3 + 1 ftj + 1,3+2 rtn-l,n ntn n

■L4:) J 1,1 ••■J1,J j 1,3+1 ■•■Jl ,n Jj+1,3+1 Jj+lj+2 ■ ■ ■ Jn-l,n Jn,n >

-'4---

X У

удовлетворяющих следующим свойствам:

i) Все мульти-степени (наборы) кроме одного строго меньше s относительно однородного лексикографического порядка. гг) Более явно, существует пара (к0,£0) такая что к0 > j + 1, Sk0e0 > tk0e0 и sm — tki

для всех к > к0 и всех пар (ко-£), таких что I > £0. iii) Единственное исключение - слагаемое вида = для всех i > j + 1 и всех т.

Вышеприведённые вычисления показывают, что это предположение индукции выполняется для An—i и Ап_2-

Перейдём теперь к доказательству шага индукции. По определению, A,-i = d^'^Aj. Заметим, что di^-ifij = 0 при I < j; если I > j, то d^^fi^ = f3j. Кроме того, dij-ifk,e = О при к > j + 1. Поэтому применение ditJ-i к слагаемому вида (1.14) не меняет Y-часть в (1.14). Таким образом, применяя д13''_г к слагаемому вида (1-14), получаем сумму мономов

(Л 1 fS», 1 fS*,J-1 fs»,J~* fS,tn~* Л],] ftj+ 1.J + 1 Л +1,3+2 fijl.Tl

V1-1ÜJ J 1,1 ' ■ ' Jlj-l Jlj •■■Jl,n Jj, 7 ■■■Jj.n J j+1 j + 'i J j+1,j+2 • • • .1ч,п ■

--„-:—v-/ч-;-v-'

X' Z Y

Нам необходимо показать, что получившиеся слагаемые по-прежнему удовлетворяют условиям i)-ui) (но теперь для индекса (j — 1) вместо j). Заметим, что если выбрать в (1.14) слагаемое, не являющееся максимальным, но для которого выполняются свойства г) и п) с индексом j, то те же свойства будут выполняться с индексом (j — 1) для всех слагаемых в (1.15), так как Y-часть не меняется.

Таким образом, достаточно изучить слагаемые вида (1.15), получаемые применением dij'-i К единственному слагаемому в (1-14), удовлетворяющему iii).

Для того, чтобы обобщить рассуждение для Лп_2, приведённое выше, нам понадобятся следующие обозначения. Рассмотрим числа 1 < ki < < • • • < kn < п:

кг — max{j : ahJ £ p}.

Для удобства положим ко = 1.

Пример 1.2.7. При р = (ац, «12, • • •, ai„, а2П, ■ ■ ■, йп,п) имеем кг — п для всех i = 1,..., п. Так как s обращается в ноль вне р, получаем

кг

(1.16) 5lj# = s»/ = -v-

С=кг—1 г кг—1<£<кг

Рассмотрим слагаемое в (1.15), полученное применением к единственному слагае-

мому в (1.14), удовлетворяющему iii). Так как Y-часть не меняется, мы получаем tnjTl — sn,ni ■ • •, t]+i,j+i = s]+i,j+i- Предположим, что мы уже показали, что = sJtn,..., 1 = Sj/0+1- Нам нужно доказать, что < Sj/0.

Рассмотрим пять случаев:

• ¿о > kj. В этом случае корень а3>е0 не принадлежит пути р и, значит, SjjQ = 0. Так как £о > kj > kj-i > ... > ki, по той же причине получаем she0 = 0 при % < j.

15

Напомним, что степень в А3_г в (1.10) равна Кроме того, как мы отмечали выше, = ^21>3 вг,е0, и, значит, к каждому сомножителю в мономе уже был применён один из операторов дх>г, г > Мы заключаем, что = 0 = з3^0.

• к3-\ < £о < к3. Так как £0 > к3_г > ... > то по тем же причинам, что и в первом пункте, получаем — 0 при г < т.е. з,^ — Заметим, что оператор

д^-х переводит степень в ¡зЛо, и, значит, 1з/о <

• к3_х = £0 = к3. В этом случае = в3!е0 и поэтому оператор = с^Д может перевести степень из А3 только в причём д не превосходит

• к3_1 = ¿о < к3. В этом случае = з3>г0 + + ... + Применяя к единственному слагаемому в (1.14), удовлетворяющему Иг) и учитывая предположение = з3>п,..., = з3>е0+1, получаем, что необходимо применить к

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Фейгин, Евгений Борисович, 2012 год

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] I. Arzhantsev, Flag varieties as equivariant compactifications of G™, Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2011), no. 3, 783-786.

[2] I. Arzhantsev, E. Sharoiko, Hassett-Tschmkel correspondence: modality and projective hypersurfaces, J. Algebra 348 (2011), 217-232.

[3] F. Ardila, T. Bliem, D. Salazar, Gelfand-Tsetlin polytopes and Feigm-Fourier-Littelmann-Vmberg poly topes as marked poset polytopes, J. Combin. Theory Ser. A 118 (2011), no. 8, 2454-2462.

[4] M.F. Atiyah, R. Bott, A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators, Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 245-250.

[5] Ardonne E., Kedem R., Fusion products of Kirillov-Reshetikhm modules and fermionic multiplicity formulas, J. Algebra 308 (2007), 270-294.

[6] D. Barsky, Congruences pour les nombres de Genocchi de 2e espèce, Groupe d'étude d'Analyse ultramétrique, 8e année, no. 34, 1980/81, 13 pp.

[7] E.Frenkel, D.Ben-Zvi, Vertex algebras and algebraic curves, Mathematical Surveys and Monographs, 88, AMS.

[8] M. Brion, D. Luna, T. Vust, Espace homogènes sphériques, Invent, math. 84 (1986) pp. 617-632.

[9] R-K. Brylinski, Limits of weight spaces, Lusztig's q-analogs and fibermgs of adjoint orbits, J. Amer. Math. Soc, 2, no.3 (1989), 517-533.

[10] A. Bialynicki-Birula, Some theorems on actions of algebraic groups, Ann. of Math. (2) 98 (1973), 480-497.

[11] K. Bongartz, On Degenerations and Extensions of Finite Dimensional Modules, Adv. Math. 21 (1996), 245-287.

[12] N. Bourbaki, Eléments de mathématique. Fasc. XXXIV. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres IV, V, VI, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1337, Hermann, Paris, 1968.

[13] P. Caldero, Tone degenerations of Schubert varieties, Transformation Groups, Vol. 7, no. 1, (2002) 51-60.

[14] P. Caldero and F. Chapoton, Cluster algebras as Hall algebras of quiver representations, Comment. Math. Helv. 81 (2006), no. 3, 595-616.

[15] P. Caldero and M. Reineke, On the quiver Grassmannian in the acyclic case, J. Pure Appl. Algebra 212 (2008), no. 11, 2369-2380.

[16] G. Cerulli Irelli, E. Feigin, M. Reineke, Algebra & Number Theory, 6-1 (2012), 165-194.

[17] Chari V., Le T., Representations of double affme Lie algebras, in A Tribute to C.S. Seshadri (Chennai, 2002), Trends Math., Birkhâuser, Basel, 2003, 199-219.

[18] V. Chari, S. Loktev, Weyl, Demazure and fusion modules for the current algebra of s[r+i, Adv. Math. 207 (2006), 928-960.

[19] N. Chriss and V. Ginzburg, Representation Theory and complex geometry, Birkhâuser Boston Inc. (1997).

[20] H. Dellac. Problem 1735, L'Intermédiaire des Mathématiciens. 7 (1900), 9-10.

[21] C.Dong, Vertex algebras associated with even lattices, J.Algebra 161 (1993), 245-265.

152

C. DeConcini, D. Eisenbud,, С. Procesi, Young diagrams and determmantal varieties, Inv. math. 56 (1980), 129-165.

R. Donaghey, I.W. Shapiro, Motzkm numbers, Journal of Combinatorial Theory (1977), Series A 23 (3), pp. 291-301.

D. Dumont, Interprétations combmatoires des nombres de Genocehi, Duke Math. J., 41 (1974), 305-318. D. Dumont and A. Randrianarivony, Dérangements et nombres de Genocchi, Discrete Math. 132 (1994), 37-49.

D. Dumont and J. Zeng, Further results on Euler and Genocchi numbers, Aequationes Mathemicae 47 (1994), 31-42.

A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique. IV. Etude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 24 (1965).

Feigin В., Feigin E., Q-characters of the tensor products in s[2 case, Moscow Math. J. 2 (2002), 567-588.

B.Feigin, E.Feigin, Two dimensional current algebras and affine fusion product, J. Algebra 313 (2007), no. 1, 176-198.

B. Feigin, E. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, Y. Takeyama, А ¿-filtration for Virasoro minimal series M(p,p') with 1 <r p'/p < 2, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 44 (2008), no. 2, 213-257.

B.Feigin, M.Jimbo, R.Kedem, S.Loktev, T.Miwa, Spaces of comvariants and fusion product I. From equivalence theorem to Kostka polynomials, Duke. Math. J. 125 (2004), no. 3, 549-588. B.Feigin, R.Kedem, S.Loktev, T.Miwa, E.Mukhin, Combinatorics of the 5(2 spaces of comvariants, Transform. Groups 6 (2001), no.l, 25-52.

P. Flajolet, Combinatorial aspects of continued fractions. Combinatorics 79 (Proc. Colloq., Univ. Montreal, Montreal, Que., 1979), Part II. Ann. Discrete Math. 9 (1980), 217-222.

E. Feigin, The PB W filtration, Represent. Theory 13 (2009), 165-181.

E. Feigin, The PBW filtration, Demazure modules and toroidal current algebras, SIGMA, 4 (2008), 070, 21

PE. Feigin, G^f degeneration of flag varieties, Selecta Mathematica: Volume 18, Issue 3 (2012), Page 513-537. E. Feigin, Degenerate flag varieties and the median Genocchi numbers, Mathematical Research Letters, 18 (2011), no. 6, pp. 1-16.

E. Feigin, The median Genocchi numbers, Q-analogues and continued fractions, European Journal of Combinatorics 33 (2012), pp. 1913-1918.

Е.Б.Фейгин, Системы корреляционных функций, коинварианты и алгебра Верлинде, Функц. анализ и его прил., 46:1 (2012), 49-64.

Е.Feigin and M.Finkelberg, Degenerate flag varieties of type A: Frobenius splitting and BW theorem, arXiv:1103.1491.

E.Feigin, M.Finkelberg and P.Littelmann, Symplectic degenerate flag varieties, arxiv: 1106.1399. M. Finkelberg, An equivalence of fusion categories, Geom. Funct. Anal. 6:2 (1996), 249-267. Fourier G., Littelmann P., Tensor product structure of affine Demazure modules and limit constructions, Nagoya Math. J. 182 (2006), 171-198.

Fourier G., Littelmann P., Weyl modules, Demazure modules, KR-modules, crystals, fusion products and limit constructions, Adv. Math. 211 (2007), 566-593.

W. Fulton, Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997.

W. Fulton, J. Harris, (1991), Representation Theory. A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, Springer, New York.

B. Feigin, E. Feigin, P. Littelmann, Zhu's algebras, C2-algebras and abehan radicals, Journal of Algebra 329 (2011) 130-146.

I.B. Frenkel, V.G. Kac, Basic representations of affine Lie algebras and dula resonance models, Invent. Math. vol. 62 (1980), 23-66.

[49] Feigin B., Kirillov A.N., Loktev S., Combinatorics and geometry of higher level Weyl modules, in Moscow Seminar on Mathematical Physics. II, Amer. Math. Soc. Transi. Ser 2, Vol. 221, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 33-47.

[50] E. Feigin, G. Fourier, P. Littelmann, PBW filtration and bases for irreducible modules in type An, Transformation Groups: Volume 16, Issue 1 (2011), 71-89.

[51] E. Feigin, G. Fourier, P. Littelmann, PBW filtration and bases for symplectic Lie algebras, International Mathematics Research Notices 2011 (24), pp. 5760-5784.

[52] B.Feigin and A.Stoyanovsky, Quasi-particle models for the representations of Lie algebras and geometry of flag manifold, hep-th/9308079, RIMS 942; Functional models for the representations of current algebras and the semi-infinite Schubert cells, Funct.Annal. Appl. 28 (1994), 55-72.

[53] E. Feigin, P. Littelmann, Zhu's algebra and the C2-algebra in the symplectic and the orthogonal cases, 2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43 135206.

[54] I. Frenkel, Y. Zhu, Vertex operator algebras associated to representations of affine and Virasoro algebras, Duke Math. J. 66 (1992), 123-168.

[55] M. R. Gaberdiel, T. Gannon, Zhu's algebra, the C2 algebra, and twisted modules, Vertex operator algebras and related areas, 65-78, Contemp. Math., 497, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009.

[56] M. R. Gaberdiel, P. Goddard, Axiomatic conformai field theory, Commun. Math. Phys 209 (2000), 549-594.

[57] M. R. Gaberdiel, A. Neitzke, Rationality, quasirationality and finite W-algebras, Commun. Math. Phys. 238 (2003), 305-331.

[58] N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties, Transformation Groups, Vol 1, no:3 (1996), 215-248.

[59] I.Gessel Applications of the classical umbral calculus, Algebra Universalis 49 (2003), 397-434.

[60] M. Gaberdiel, An Introduction to Conformai Field Theory, Rept.Prog.Phys. 63 (2000) 607-667.

[61] I. Gelfand, M. Tseitlin, Finite-dimensional representations of the group of unimodular matrices, pp. 653-656 in- I. Gelfand, Collected papers, volume II, Springer, 1988. Originally appeared m Doklady akademii nauk SSSR, nowaja serija 71 (1950), 825-828.

[62] G.-N. Han and J. Zeng, On a q-sequence that generalizes the median Genocchi numbers, Ann. Sci. Math. Québec 23 (1999), 63-72.

[63] G. Han, J. Zeng, q-Polynomes de Gandhi et statistique de Denert, Discrete Math. 205 (1999), no. 1-3, 119-143.

[64] R. Hartshorne, Algebraic Geometry. GTM, No. 52. Springer-Verlag, 1977.

[65] B Hassett, Yu. Tschinkel, Geometry of equwariant compactifications of G", Int. Math. Res. Notices 20 (1999), 1211-1230.

[66] K. Koike, I. Terada, Young-Diagrammatic Methods for the Representation Theory of the Classical Groups of Type Bn, Cn, Dn, J. Algebra 107 (1987), pp 466-511.

[67] G Kreweras, Sur les permutations comptées par les nombres de Genocchi de 1-ière et 2-ième espèce, Europ. J. Combinatorics 18 (1997), 49-58.

[68] V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, 3rd éd., Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

[69] V.Kac, Vertex algebras for beggmers. University Lecture Series, 10, 1997

[70] S. Kumar, Kac-Moody Groups, Their Flag Varieties and Representation Theory, Progress in Mathematics, Vol. 204, Birkhâuser, Boston (2002).

[71] S. Kumar, The nil Hecke ring and singularity of Schubert varieties, Inventiones Math. 123, 471-506 (1996).

[72] V. Lakshmibai, Degenerations of flag varieties to tone varieties, C. R. Acad. Sci. Paris, 321 (1995), 12291234.

[73] P. Littelmann, On spherical double cones, J. Algebra 166 (1994), pp. 142-157.

[74] D E Littlewood,The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, Oxford Univ. Press, New York (1940).

[75] H. Matsumura, Commutative ring theory, second éd., Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Cambridge University Press, Cambridge, 1989, Translated from the Japanese by M. Reid.

[76] A. Neitzke, Zhu's theorem and an algebraic characterization of chiral blocks, arxiv.org/pdf/hepth/0005144.

[77] C. Procesi, Lie groups, An approach to Lie Theory through Invariants and Representations, Universitext, Springer Verlag, New York, (2007).

[78] M. Reineke, Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups, J. Algebra 320 (2008), no. 1, 94-115.

[79] M. Rosenlicht, A remark on quotient spaces, An. Acad Brasil. Ciêinc. 35, (1963), pp. 487-489.

[80] A. Schofield, General representations of quivers, Proc London Math. Soc. (3) 65 (1992), no. 1, 46-64.

[81] N. J A. Sloane, Sequence A000366, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org.

[82] A. Schilling and S. Ole Warnaar, Supernomial coefficients, polynomial identities and q-series, Ramanujan J. 2 (1998) 459-494.

[83] R.P. Stanley, Enumeratwe Combinatorics, Volume 2, Cambridge University Press, 1999.

[84] R.W. Thomason, Une formule de Lefschetz en K-théorie équwariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447-462.

[85] A. Tsuchiya, K. Ueno, Y. Yamada, Conformai field theory on the universal family of stable curves with gauge symmetry, Adv. Stud. Pure Math , 19 (1989), 459-466.

[86] G. Viennot, Interprétations combmatoires des nombres d'Euler et de Genocchi, Seminar on Number Theory, 1981/1982, No. 11, 94 pp., Umv Bordeaux I, Talence, 1982.

[87] G. Viennot, Une théorie combmatoire des polynomes orthogonaux généraux. Note de conférence, Université du Quebec a Montreal, 1983.

[88] E. Vinberg, On some canonical bases of representation spaces of simple Lie algebras, conference talk, Bielefeld, 2005.

[89] E. Verlinde, Fusion rules and modular transformations m 2D conformai field theory, Nuclear Physics B300 (1988), 360-376.

[90] E. Witten, Global aspects of current algebra, Nuclear Physics B 223 (2): 422-421 (1983).

[91] E. Witten, Non-abelian bosonization in two dimensions, Communications in Mathematical Physics 92 (4), 455-472 (1984).

[92] Y. Zhu, Modular invariance of characters of vertex operator algebras, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 237-302.