Нормальность замыканий орбит максимального тора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Куюмжиян, Каринэ Георгиевна

• Куюмжиян, Каринэ Георгиевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куюмжиян, Каринэ Георгиевна

Введение

Проблема нормальности для замыканий орбит.

Результаты.

Благодарности.

1 Сверхнасыщенность и унимодулярные множества

1.1 Основной результат

1.2 Нормальность замыканий орбит тора.

1.3 Весовое разложение простого модуля

1.4 Свойства ненасыщенных множеств.

1.5 Унимодулярные и почти унимодулярные множества.

1.6 2-унимодулярные множества.

1.7 Другие методы проверки насыщенности.

2 Система корней Ап

2.1 Положительные результаты.

2.2 Отрицательные результаты.

2.2.1 Фундаментальные веса.

2.2.2 Веса, не являющиеся фундаментальными.

3 Другие классические системы корней

3.1 Система корней Вп.

3.1.1 Положительные результаты.

3.1.2 Несколько отрицательных результатов.

3.1.3 Редукция к разобранным случаям.

3.2 Система корней Сп.

3.2.1 Положительные результаты.

3.2.2 Несколько отрицательных результатов.

3.2.3 Редукция к разобранным случаям.

3.3 Система корней Дг.

3.3.1 Координаты всех весов целые.

3.3.2 Координаты, большие единицы.

3.3.3 Координаты, меньшие единицы.

4 Исключительные системы корней

4.1 Система корней

4.2 Система корней Е7.

4.3 Система корней

§.

4.4 Система корней

4.5 Система корней С?2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нормальность замыканий орбит максимального тора»

Диссертация посвящена проблеме нормальности замыканий орбит максимального тора в рациональных модулях простых алгебраических групп.

Проблема нормальности для замыканий орбит

Пусть С — аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль, действующая на некотором аффинном алгебраическом многообразии. Напомним, что неприводимое аффинное алгебраическое многообразие X называется нормальным, если алгебра регулярных функций к[Х] целозамкнута в своём поле частных. Вопрос о нормальности замыканий орбит имеет долгую историю. Первые результаты были получены Б. Костантом [19]. Он показал, что для редуктивной С нуль-конус в присоединённом модуле нормален. X. Крафт и К. Прочези [21] доказали, что в присоединённом модуле в1(п) замыкания всех 5Ь(п)-орбит нормальны. В положительной характеристике аналогичный результат для 5£(п) был установлен С. Донкиным [15]. Позже X. Крафт и К. Прочези [22] и Э. Соммерс [29] изучили тот же вопрос для присоединённых модулей других классических групп. В частности, в [22] на языке диаграмм Юнга указаны орбиты с ненормальными замыканиями. Случаи Сг, Е§ разобраны А. Броером, X. Крафтом и Э. Соммерсом в [9], [20] и [28]. Для Е7 и полного ответа ещё нет.

Перейдём к действиям алгебраического тора Т, то есть аффинной алгебраической группы, изоморфной кх х . . хкх. где кх = к\{0}. Неприводимое алгебраическое многообразие X называется торическим, если оно нормально и допускает регулярное действие Т с открытой орбитой. Торические многообразия играют важную роль в алгебраической геометрии, топологии и комбинаторике, так как они полностью описываются в терминах выпуклой геометрии, см. [12] или [16]. Если задано действие алгебраического тора Т на многообразии У, то замыкание орбиты X = Ту точки у £ У является естественным кандидатом в торические многообразия. Чтобы проверить это, достаточно убедиться, что X нормально.

Возьмём в качестве У рациональный Т-модуль V. Обозначим через Л = Л(Т) решётку характеров тора Т. Относительно действия Т модуль V может быть диагонализован: у = 0у;,„ где = {V е V | ¿V =/¿(ф \fttT}. цеА

Обозначим через М(У) — {¡л £ А | ф 0} множество весов модуля V. С каждым ненулевым вектором V связано весовое разложение

V = + • •' + V, V е УМг, ^ ф 0.

Обозначим через М(у) множество весов {/¿1,. ., ц3}. Этими весами можно породить полугруппу • ■ •, А^), подрешётку ., /л8) и рациональный полиэдральный конус ■ - ■ 3 аО в пространстве ЛQ : = Л Q.

Определение (Определение 1.2). Множество точек . ., с называется насыщенным, если

• • •, Из) = .,[Л3)Г\ ОЬо(мь • • •, Да)

Множество точек . . ., р,3} С называется сверхнасыщенным, если все его подмножества насыщенны.

В [18, I, §1, Lemma 1] доказано, что замыкание Tv Т-орбиты вектора v нормально тогда и только тогда, когда множество M(v) насыщенно. Этот комбинаторный критерий играет ключевую роль в диссертации.

Вопрос о нормальности замыканий орбит для проективных Т-действий также изучался в литературе. Пусть X(v) — замыкание Т-орбиты T[v] точки [v] G F(V) в проективизации рационального Т-модуля V. Обозначим через P(v) выпуклую оболочку множества M(v) в Aq. Многообразие X(v) нормально тогда и только тогда, когда множества {ц — цо | ß G M(v)} насыщенны для всех вершин ¡iq многогранника -P(v). Этот и другие критерии были приведены Дж. Карреллом и А. Кёртом [10].

Рассмотрим более общую задачу. Пусть G — односвязная полупростая алгебраическая группа, Т с G — максимальный тор, В С G — борелев-ская подгруппа. A.A. Клячко [5] доказал, что замыкание общей Т-орбиты в многообразии флагов G/B нормально. Затем Р. Дабровски [13] показал, что замыкание общей Т-орбиты в G/Р, где Р С G — параболическая подгруппа, также нормально. Примеры ненормальных замыканий необщих орбит тора можно найти в [10].

Хорошо известно, что замыкания всех Т-орбит в торическом многообразии нормальны. Используя метод ¿/-инвариантов, можно доказать нормальность замыканий всех G-орбит на сферическом многообразии для любой связной редуктивной группы G. В случае сложности один И.В. Аржанцев [1] доказал, что для действия связной редуктивной группы G на нормальном многообразии X с однопараметрическим семейством общих сферических G-орбит и хорошим фактором 7г: J и- X//G, где X//G является кривой, замыкание любой G-орбиты нормально.

Свойство насыщенности играет важную роль во многих алгебраических и геометрических задачах. Н. Уайт [32] доказал, что множество векторов инцидентности в базах реализуемого матроида насыщенно. Геометрическим следствием этого факта является то, что для любой точки у в аффинном конусе над классическим грассманианом Сг(/с,п) замыкание Ту нормально.

Если дан граф Г с п вершинами, то по нему можно построить следующее конечное множество М(Г) векторов решётки Zn:

М(Г) = {£{ + £j : (г/) является ребром Г}, где £1, £2,., £п — стандартный базис в Zn. Свойство насыщенности для этого множества эквивалентно следующему утверждению: для любых двух минимальных циклов нечётной длины С и С в Г либо у С и С' есть общая вершина, либо найдётся ребро Г, соединяющее какую-то вершину С с какой-то вершиной С", см. X. Осуги и Т. Хиби [25], А. Симис, В. Васконселос и Р. Виллареаль [27]. С алгебраической точки зрения свойство насыщенности для М(Г) эквивалентно целозамкнутости подалгебры -А(Г) алгебры полиномов 1к[ж1, Х2, • • •, хп] в своём поле частных (^Л(Г), где

Д(Г) = Щхгх^ : (г?) является ребром Г].

Насыщенные множества также возникают в контексте теории представлений колчанов. Пусть — конечный связный колчан без ориентированных циклов, а а — вектор размерности. Рассмотрим многообразие 11ер((2, а) су-мерных представлений колчана и стандартное действие блочной группы (71/(а) на нём. Пусть £(<2, а) — множество весов полуинвариантных функций относительно этого действия. Если \¥ £ Ыер((2, а) — некоторое представление, то рассмотрим также — множество таких весов, для которых существует хотя бы одна полуинвариантная функция / на И,ер((2,а;) данного веса, не зануляющаяся в X. Дерксен и Е. Вейман [14] доказывают, что Е((2, а) задаётся в соответствующей целочисленной решётке одним линейным уравнением и несколькими линейными неравенствами, из чего следует, что насыщенно. К. Чиндрис [11] доказывает, что множество Е((2,а, \¥) насыщенно для всех Ж £ Ыер((2, а) тогда и только тогда, когда ф является колчаном Дынкина или евклидовым колчаном (т.е. соответствующий граф является стандартной или аффинной схемой Дынкина типа A, D или Е).

Свойство насыщенности оказывается полезным в задачах теории представлений. см. Н. Рессейр [26] и П.-Л. Монтагар, Б. Паскье, Н. Рессейр [23]. В этих работах вычисляются определённые полугруппы в решётках весов. Если a priori известно, что полугруппа M является конечнопорождённой, то вычисление M можно разбить на два шага. Сначала находятся неравенства, задающие конус сопе(М), порождённый полугруппой М. На втором шаге требуется выбрать те целые точки из сопе(М), которые принадлежат полугруппе М. Во многих интересных случаях M совпадает со множеством целых точек в конусе сопе(М) (проблема насыщенности).

Для присоединённого действия SL(n): sl(n) результат Б. Штурмфель-са [30, Exercise 3.7], [31] утверждает, что замыкания всех Т-орбит нормальны. Г. Бобински и Г. Звара [8] интерпретировали этот комбинаторный результат в терминах представлений колчанов. Ж. Моран [24] классифицировала все полу простые алгебраические группы, для которых замыкания всех Т- орбит в присоединённом модуле нормальны.

Методы данной работы во многом схожи с техникой, использованной в перечисленных выше статьях.

Пусть G — связная полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль. Зафиксируем в G максимальный тор Т. Сформулируем задачу, которая решается в диссертации.

Найти все такие конечномерные рациональные простые G-модули V, что для каждого вектора v б У замыкание его орбиты XV является нормальным аффинным алгебраическим многообразием.

Напомним описание множества Т-весов рационального G-модуля V(A) с данным старшим весом А. Обозначим через Ф систему корней, соответствующую G. Пусть Е! — решётка корней, a W — группа Вейля системы корней Ф. Многогранником весов Р{\) модуля V(A) называется выпуклая оболочка conv{u>A | w G W] W-орбиты точки А в Aq. Тогда

М(А) = (А + П Р(А), см. [17. Theorem 14.18] и [3, упражнения к гл. VIII §7]. Следовательно, замыкания всех Т-орбит в V = V(A) нормальны тогда и только тогда, когда М(А) сверхнасыщенно.

Результаты

Объединяя результаты статей [33, 34, 35], мы получаем следующую теорему.

Теорема (Теорема 1.1). Для следующих типов простых алгебраических групп и соответствующих модулей, а также для модулей, получаемых из указанных при помощи автоморфизма диаграммы Дынкина, замыкания всех орбит максимального тора нормальны.

Система корней Старший вес Разобрано

1 7Г1 Случай 2.1

Ai,n ^ 1 7Г1 + 7Г п [24, 30, 31], Случай 2.2

Ai 37Г1 Случай 2.3

Ai 47Г1 Случай 2.4

А2 2ТГ1 Случай 2.5

Аз ТГ2 Случай 2.7

А4 ТГ2 Случай 2.7

Л VT2 Случай 2.7

Л тгз Случай 2.6

Вп,п> 2 7Г1 Случай 3.1

В2 ТГ2 Случай 3.3

Система корней Стлрший вес Разобрано

В2 2т\2 [24], Случай 3.2 тгз Случай 3.3 вА 7г4 Случай 3.3 о

Сп,п ^ 3 Случай 3.4

Сз тг2 Случай 3.5 с4 тг2 Случай 3.5

Д,. п ^ 4 7г1 Случай 3.6 тг2 [24], Случай 3.7

А> 7г4 Случай 3.8 тг5 Случай 3.9 тг4 Случай 4.1

С2 7г1 Случай 4.2

В остальных случаях модуль содерэ/сит орбиту максимального тора с ненормальным замыканием.

Нумерация фундаментальных весов здесь соответствует [2].

Аналогичная задача для приводимых систем корней ещё не исследована. Другим естественным обобщением является решение этой же задачи для приводимых модулей. Те из них, для которых данное свойство выполняется, в своём разложении на простые содержат только модули, обладающие тем же свойством, то есть только перечисленные в теореме 1.1. Но это не является достаточным условием: например, замыкание Т-орбиты вектора (ж2, ж3) в 51/(2)-модуле 52С2* © 53С2* не нормально. Окончательного ответа для приводимых модулей пока нет.

Диссертация состоит из четырёх глав. Изложим кратко содержание каждой главы.

В Главе 1 мы приводим переформулировку поставленной задачи в комбинаторных терминах и излагаем методы, которые будут использоваться при доказательстве. Если М(А) С М(/л) и уже построено ненасыщенное подмножество для Л, то оно может быть использовано как ненасыщенное подмножество для ¡1. Следовательно, во многих случаях достаточно построить одно ненасыщенное множество, чтобы дать отрицательный ответ на вопрос о нормальности замыканий всех Т-орбит в целой серии модулей. Поэтому понятие ненасыщенного подмножества будет встречаться очень часто. В дальнейшем ненасыщенные множества будут обозначаться ННП. Расширенным ненасыщенным подмножеством будем называть ненасыщенное подмножество {г>1,., уг} вместе с таким вектором г>о, что

• е (ъ(у 1, г>2> • • •, ьг) П (ЬоОъ у2, ьг)) \ ^0(г>ъ г;2,уг),

• существует <0>^о-комбинация щ = + • • • + е {г;ь г;2,. ., уг}, в которой векторы ., г^ линейно независимы, а коэффициенты ^ лежат в полуинтервале [0,1). Такие подмножества будут сокращённо называться РННП и обозначаться {г>о;г>1, • • • ,уг}- Легко проверить, что если множество М = {г>1,. . ,г;г} не является насыщенным, то существует вектор г>о такой, что {г>о; у\, ■ ■ ■, уг} является РННП.

Один из методов проверки ненасыщенности множества состоит в следующем. Пусть Уо,У\,. ,уг — векторы пространства (0)п, и пусть / — линейная функция на <0)п. Будем называть / разделяющей линейной функцией для набора {г>о; ^ъ • • • >уг}, если значение /(г>о) не представимо в виде линейной комбинации значений /(у\), . ./(уг) с целыми неотрицательными коэффициентами. Если известно, что г>о лежит в Ъ(у\. у?,., уг) ПQ^o(vl, г?2, • • •, уг), причём Уо может быть представлен как ^^окомбинация линейно независимых векторов из числа г>1,. ,иг с коэффициентами из интервала [0,1), то наличие разделяющей функции гарантирует, что {г>о; У\, ■ ■ ■, г>Г} — РННП.

Опишем методы, которые используются при проверке того, что данное множество М сверхнасыщенно.

Пусть множество векторов М С Qn имеет ранг d, d ^ п, и L = (v | и G М) — линейная оболочка векторов из М. Множество М называется уни-модулярным, если для любых линейно независимых . . ., v^ G М значение d-мерного объёма vol^i, г>2,., v^) постоянно по абсолютной величине. Если в L фиксирован базис, то это эквивалентно тому, что модули всех ненулевых определителей | det(i>i, г>2, • • • • • • G М, в этом базисе равны.

Если множество М унимодулярно и М\ СМ - подмножество, то пересечение М с подпространством Ь\ С L, L\ = (v \ v G Mi), тоже унимодулярно. Это легко увидеть, если выбрать в L базис, согласованный с L\.

Следующая теорема, также доказанная Штурмфельсом, используется во многих доказательствах.

Теорема ([30, Theorem 3.5]). Любое унимодулярное множество векторов М является сверхнасыщенным.

Обобщим это понятие. Подмножество М С Qn ранга d называется почти унимодулярным, если можно выбрать такое подмножество {г>1, V2,., v¿¿} С М, что vold^i,^, .,vd)=m, и для любого другого вектора w € М и любого г значение vold(ui,i>2j .,Vi,.,Vd,w) делится на т, то есть равно km для какого-то k G Z (при этом т не обязательно целое). Если зафиксировать базис в линейном пространстве (М), то данное свойство можно будет проверить, сравнивая значения соответствующих определителей, не прибегая к объёмам. Значение т — det(t>i, V2,., vj) называется объёмом почти унимодулярного множества.

Почти унимодулярные множества используются для доказательства того, что определённые множества векторов являются сверхнасыщенными. Используя метод «от противного», мы сначала предполагаем, что в данном множестве М есть РННП {уо]У\., • • •, г»г}. Далее, используя почти унимоду-лярность множества М, мы анализируем коэффициенты соответствующей (О^о-комбинации для г>о, учитывая также неравенства из определения РННП. Получаем конечное число возможностей для этих коэффициентов. Далее, используя эти данные и дополнительную информацию про решётку весов, мы показываем, что на самом деле {г'о^ь • •., уг} не является РННП. Следовательно, множество М сверхнасыщенно.

Опишем ещё один метод. Выберем в рассматриваемом пространстве такой базис, чтобы все элементы у € М имели в нём целые координаты. Выразим каждую точку через этот базис и запишем как вектор-столбец. Пусть К = К(М) — целочисленная п х г матрица, образованная этими вектор-столбцами.

Определение (Определение 1.21). Каждому столбцу К^ — (к\1у., кт)т можно сопоставить моном Лорана £Лг = . Торический идеал 1к, построенный по К — это ядро гомоморфизма к-алгебр

Щхъх2, .,хг]-> Ифх, ¿71,., хг ^ гКх.

Определение (Определение 1.22). Пусть и+ и и- — два вектора в с непересекающимися носителями, и пусть / = хи+ — хи~ £ 1к- Тогда / называется контуром в Iк, если выполнены следующие два условия:

• объединение всех координат и+ и и- взаимно просто в совокупности;

• множество переменных, которые действительно входят в /, минимально по включению среди всех биномов в 1к

Сформулируем критерий, также полученный Б. Штурмфельсом.

Теорема ([30, Theorem 3.8]). Множество точек М сверхнасыщенно тогда и только тогда, когда любой контур из 1к{М) содержит хотя бы один моном, свободный от квадратов.

В Главе 2 разбирается случай специальной линейной группы. Этот случай представляет наибольшую сложность. Он соответствует системе корней Аг in

Ап (п > 1) о

1 2 3 п-1 п

Для модулей, перечисленных в теореме 1.1, в доказательствах применяются теоремы 1.23 и 1.12. Часть доказательств использует язык теории графов. Необходимые понятия теории графов взяты из [7].

Среди модулей, не перечисленных в теореме 1.1, наибольшую трудность представляют фундаментальные представления. Чтобы изучить этот класс, мы используем следующее наблюдение. Если уже найдено ненасыщенное подмножество во множестве весов к-го фундаментального представления группы 5Ь(п), то во множестве весов к-то фундаментального представления группы 5Х(?г + к) также найдётся ненасыщенное подмножество. Далее при помощи процесса, похожего на алгоритм Евклида, можно свести все случаи к тем, в которых РННП уже построен.

В Главе 3 изучаются другие классические группы. Самыми сложными случаями являются спинорные модули для £>5 и Мы доказываем, что множества М(7Г4), М(тт5) для £>5 и М^тт^), М(щ) для являются сверхнасыщенными. Методы, использованные в случае Лп, здесь применить нельзя. Поэтому надо использовать почти унимодулярные множества, чтобы разобраться с подмножествами, которые теоретически могли бы являться ненасыщенными поднаборами.

Вп (п > 2) о-о— • • • —о-" )■>"

1 2 п — 2 п — 1 п

Д (?), > 4) о-о

1 2 п - 3 п - 2 г - 1

В Главе 4 мы изучаем исключительные группы. Здесь используются те же методы, включающие в себя унимодулярные и почти унимодулярные множества. Оказывается, что замыкания всех Т-орбит нормальны только в двух случаях, а именно для последнего фундаментального представления ^ и первого фундаментального представления Сг- Схемы Дынкина для исключительных систем корней выглядят так:

Еа о-1

2 о

Е7 о

2 о

2 о

Ее о

-о 6 о1 фоба

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук доценту Аржанцеву Ивану Владимировичу за ту неоценимую поддержку, которую он оказывал в течение всех лет обучения в университете и в аспирантуре, за постановки задач и постоянное внимание к работе. Автор признателен кандидату физико-математических наук Богданову Илье Игоревичу за ценные комментарии и полезные идеи. Часть работы была выполнена в Институте Фурье (Гренобль, Франция). Автор благодарит М. Г. Зайденберга за гостеприимство и ценные советы и Л. Манивеля за полезные консультации. Автор благодарен всему коллективу семинара «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством Э. Б Вин-берга, А. Л. Онигцика, И. В. Аржанцева и Д. А. Тимашёва и всем сотрудникам кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова за творческую атмосферу, способствовавшую научной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куюмжиян, Каринэ Георгиевна, 2012 год

1. И. В. Аржанцев, О нормальности замыканий сферических орбит. Функц. анализ и его прил. 31 (1997), № 4, 66-69

2. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. IV VI. М.: Мир, 1972

3. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. VII VIII. М.: Мир, 1978

4. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Алгебраическая геометрия-4, том 55. М.: ВИНИТИ, 1989

5. А. А. Клячко, Торические многообразия и пространства флагов, Тр. МИ-АН 208 (1995), 139-162

6. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. М.: МЦНМО, 2003

7. Ф. Харари, Теория графов. М.: Мир, 1973

8. G. Bobiñski, G. Zwara, Normality of orbit closures for directing modules over tame algebras. J. Algebra 298 (2006), 120-133

9. A. Broer, Normal nilpotent varieties in F4, J. Algebra 207 (1998), 427-448

10. J. B. Carrell, A. Kurth, Normality of torus orbit closures in G/P. J. Algebra 233 (2000), 122-134

11. C. Chindris, Orbit semigroups and the representation type of quivers. J. Pure Applied Algebra 213 (2009), no. 7, 1418-1429

12. D. Cox, J. Little, H. Schenck, Toric Varieties. GSM 124, AMS, Providence, RI, 2011

13. R. Dabrowski, On normality of the closure of a generic torus orbit in G/P. Pacific J. Math. 192 (1996), no. 2, 321-330

14. H. Derksen, J. Weyman, Semi-invariants of quivers and saturation for Littlewood-Richardson coefficients, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), no. 3, 467 479

15. S. Donkin, The normality of closures of conjugacy classes of matrices. Invent. Math. 101 (1990), 717-736

16. W. Fulton, Introduction to Toric Varieties. Princeton University Press, 1993

17. W. Fulton, J. Harris, Representation theory: a first course. GTM 129, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1991

18. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings I. LNM 339, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973

19. B. Kostant, Lie group representations on polynomial rings. Amer. J. Math. 85 (1963), 327-404

20. H. Kraft, Closures of conjugacy classes in G2■ J- Algebra 126 (1989), no. 2, 454-465

21. H. Kraft, C. Procesi, Closures of conjugacy classes of matrices are normal. Invent. Math. 53 (1979), 227-247

22. H. Kraft, C. Procesi, On the geometry of conjugacy classes in classical groups. Comment. Math. Helvetici 57 (1982), 539-602

23. PL. Montagard, В. Pasquier, N. Ressayre, Two generalizations of the PRV conjecture, Compositio Math. 147 (2011), 1321-1336

24. J. Morand, Closures of torus orbits in adjoint representations of semisimple groups. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328 (1999), 197-202

25. H. Ohsugi, T. Hibi, Normal polytopes arising for finite graphs. J. Algebra 207 (1998), 409-426

26. N. Ressayre, Geometric invariant theory and the generalized eigenvalue problem. Invent. Math. 180 (2010), 389-441

27. A. Simis, W. Vasconcelos, R. Villarreal, The integral closure of subrings associated to graphs. J. Algebra 199 (1998), 281-299

28. E. Sommers, Normality of nilpotent varieties in Eq, J. Algebra 270 (2003), 288-306

29. E. Sommers, Normality of very even nilpotent varieties in D2i, Bull. London Math. Soc. 37 (2005), 351-360

30. B. Sturmfels, Equations defining toric varieties. Proc. Sympos. Pure Math. 62, Part 2, AMS, Providence, RI, 1997, 437-449

31. B. Sturmfels, Grobner bases and convex polytopes. University Lecture Series 8, AMS, Providence, RI, 1996

32. N. White, The basis monomial ring of a matroid. Adv. Math. 24 (1977), 292-297Публикации автора по теме диссертации:

33. К. Kuyumzhiyan, Simple SL(n)-modules with normal closures of maximal torus orbits. Journal of Algebraic Combinatorics 30 (2009), no. 4, 515-538

34. К. Г. Куюмжиян, Простые модули классических линейных групп с нормальными замыканиями орбит максимального тора. Сибирский Математический Журнал 53 (2012), № 6, 1354-1372

35. И. И. Богданов, К. Г. Куюмжиян, Простые модули исключительных групп с нормальными замыканиями орбит максимального тора. Математические Заметки 92 (2012), вып. 4, 483-496