О модальности замыканий орбит аффинных алгебраических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Шаройко, Елена Викторовна

• Шаройко, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шаройко, Елена Викторовна

Введение

1 Модальность замыканий орбит группы (С*)* х 8Ь2(С)

1.1 Определения и обозначения.

1.2 Подготовительные леммы.

1.3 Аффинный случай.

1.4 Проективный случай.

2 Локально транзитивные действия группы на проективном пространстве

2.1 Соответствие Хассетта-Чинкеля: общий случай.

2.2 Соответствие Хассетта-Чинкеля: действия на проективном пространстве

2.3 Свойства модальности.

2.4 Классификация действий модальности

2.5 Примеры и дополнения.

3 Локально транзитивные действия группы на гиперповерхностях

3.1 Действия на невырожденных квадриках.

3.2 Теорема единственности.

3.3 Максимальные коммутативные подалгебры.

3.4 Действия на вырожденных квадриках.

3.5 Степень гиперповерхности.

3.6 Модальность действия па квадриках.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О модальности замыканий орбит аффинных алгебраических групп»

В теории инвариантов важную роль играют действия алгебраических групп с конечным числом орбит. Классическим примером является действие полной линейной группы GLn(K) над алгебраически замкнутым нолем К. характеристики 0 на пространстве квадратичных форм от п переменных. Хорошо известно, что формы фиксированного ранга г < п образуют одну орбиту Ог, причем Ог С Ог+\. Итак, при описанном действии число орбит конечно на всем пространстве, а значит, и в любом инвариантном подмногообразии. Еще один классический пример линейного действия — это присоединенное представление группы GLn(K) в пространстве матриц порядка п. Как известно, представителями орбит такого действия будут всевозможные жордановы матрицы. Все жордановы матрицы, лежащие в замыкании одной орбиты, имеют одинаковую диагональ, а значит, число орбит во всем пространстве бесконечно, однако замыкание каждой орбиты содержит лишь конечное число GLn(K)-op6HT. Можно несколько обобщить этот пример, рассмотрев присоединенное представление произвольной полупростой группы. Как известно [8, 1.5], при этом в замыкании каждой орбиты также лежит лишь конечное число' орбит, но во всем пространстве число орбит бесконечно. С другой стороны, нетрудно привести пример действия с открытой орбитой, число орбит которого бесконечно. Например, можно рассмотреть действие группы GLn(K) на пространстве матриц Mat?iX?t левыми умножениями.

Для некоторых классов действий редуктивных групп конечность числа орбит известна a priori. Напомним, что торическим многообразием называется нормальное неприводимое алгебраическое многообразие, на котором задано регулярное действие алгебраического тора Т с открытой орбитой. Структура и свойства торических многообразий подробно описаны в работах [9] и [28]. Обобщая это понятие и заменяя тор на произвольную связную редуктивную алгебраическую группу G, Д. Луна и Т. Вуст [31] ввели определение сложности однородных пространств, позднее распространенное Э. Б. Винбергом [6] на произвольные нормальные G-многообразия. Сложность действия G : X 'определяется как коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы В на многообразии X и обозначается с{Х). С-многообразия нулевой сложности называются сферическими. Известно, что орбиты на торических (сферических) многообразиях биективно отвечают (цветным) конусам рациональных полиэдральных (цветных) вееров. Отсюда вытекает, что любое торическое (соот. сферическое) многообразие содержит лишь конечное число орбит. Результаты статей Ф. Дж. Серведио [38], Д. Луны и Т. Вуста [31] и Д. Н. Ахиезера [3] позволяют заключить, что однородное пространство G/H сферично (по отношению к естественному действию группы G) тогда и только тогда, когда при любом вложении G/Н в качестве плотной орбиты в неприводимое С-многообразие X это многообразие имеет лишь конечное число С-орбит. Именно, Ф. Дж. Серведио показал, что любое аффинное сферическое (^-многообразие содержит конечное число С-орбит, Д. Луна, Т. Вуст и Д. Н. Ахиезер обобщили этот результат на произвольные сферические многообразия, и наконец, Д. Н. Ахиезер построил пример проективного вложения с бесконечным числом орбит для каждого однородного пространства положительной сложности. Э. Б. Винберг [6] и М. Брион [22] независимо доказали, что на сферическом (7-многообразии конечно число не только С-орбит, по и В-орбит. Отношение примыкания между В-орбитами здесь описывается разнообразными комбинаторными конструкциями, обобщающими порядок Брюа на группе Вейля.

Естественной числовой характеристикой, описывающей количество орбит данного действия, является его модальность тос!(С, X). Так называют максимальное число параметров в непрерывном семействе С-орбит. В частности, условие тосЦС, X) = 0 равносильно конечности числа С-орбит в X. Понятие модальности впервые появилось в работах В. И. Арнольда по теории особенностей (подробно этот вопрос освещен в [2]). Дадим строгое определение.

Пусть С? - аффинная алгебраическая группа, регулярно действующая на неприводимом алгебраическом многообразии X. Хорошо известно [8, 1.4], что для точек х непустого открытого подмножества IV С X размерность орбиты С • х постоянна и принимает наибольшее возможное значение среди размерностей С-орбит на X. Определим число X) как коразмерность в X С-орбиты точки х б \У. Согласно теореме Розенлихта [8, 2.3], значение ¿¿(С, X) совпадает со степенью трансцендентности поля рациональных инвариантов на многообразии X. Отметим, что условие X) = 0 означает, что действие : X обладает открытой орбитой, а сложность действия с(Х) совпадает с величиной (1{В,Х). Модальностью тос!(С, X) действия группы С на многообразии X называют максимальное значение У), где У пробегает неприводимые С-инвариантные подмногообразия У С. X.

Понятие сложности действия связной редуктивной алгебраической группы на неприводимом алгебраическом (^-многообразии X тесно связано с понятием его модальности. В работе Э. Б. Винберга [6] доказана формула тос1(В,Х) = с(Х). Таким образом, модальность действия редуктивной группы не превосходит его сложности. В статье Д. Н. Ахиезера [4] показано, что сложность действия в точности равна максимальной модальности в классе действий, бирационально изоморфных данному. В работах И. В. Аржанцева и Д. А. Тимашева [18] и И. В. Аржанцева [1] изучаются аффинные вложения однородных пространств, то есть вложения С/Н в качестве плотной орбиты в аффинные (^-многообразия. В первой из этих статей описаны все аффинные однородные пространства, любое аффинное вложение которых содержит лишь конечное число орбит; во второй работе для аффинных однородных пространств найдено максимальное значение модальности по всем аффинным вложениям.

Кроме того, интересные вопросы, связанные с критериями конечности для некоторых специфических действий, поднимаются в работах П. Магьяра, Дж. Веймана и А. В. Зелевинского [32] и [33], а также в работе И. В. Аржанцева и Д. А. Тимашева [19]. В первых двух работах строится критерии конечности числа орбит для кратных многообразий флагов X = G/Pi х . х G/Pk, где группа G — это GL„(K) или Spn(K), а Рг — параболические подгруппы в G. Доказывается, что число С-орбит на многообразии X конечно при к < 2 и бесконечно при к > 4; при к — 3 все многообразия с конечным числом орбит перечислены явно. В работе [19] рассматриваются канонические вложения однородных пространств вида G/Pu в качестве открытых орбит в многообразия SpecKfG/Pîi], где группа G связна и редуктивна, а Ри — унипотентный радикал некоторой параболической подгруппы в G. Показано, что действие группы G на указанном многообразии обладает бесконечным числом орбит во всех нетривиальных случаях и явно вычислено значение модальности.

В более сложных случаях, нежели торические и сферические многообразия, нет общего описания структуры замыкания орбиты. Тем не менее, все еще имеет смысл вопрос о модальности таких действий, или по крайней мере о построении критериев конечности числа орбит в замыкании данной орбиты. Редуктивность основной группы дает исследователю мощные инструменты, такие как морфизм факторизации и теория представлений со старшим весом. Однако часть задач, поставленных в данной диссертации, предполагает изучение действий коммутативной унипотентной группы G™ = Ga х . х Gfl, где Ga — аддитивная группа основного поля К. Как

V-v-' п известно, при действии унипотентной группы на аффинном многообразии все орбиты замкнуты, поэтому вопрос о структуре замыканий орбит имеет смысл лишь в проективном случае. На первый взгляд эта группа кажется похожей на тор, однако, в отличие от торического случая, число орбит в замыканиях может быть бесконечно. Кроме того, теоремы, верные для редуктивных групп, теперь неприменимы, и необходимы новые методы исследования. Такой метод был предложен Б. Хассеттом и Ю. Чинкелем в работе [29]. Им удалось построить взаимно однозначное соответствие между рациональными линейными циклическими представлениями группы G" и локальными коммутативными конечномерными алгебрами с фиксированной системой порождающих. Эти данные определяют локально транзитивное G^-действие на замыкании орбиты прямой, натянутой на циклический вектор, в проективизации P(V) пространства V. Обратно, каждое локально транзитивное G^-действие на нормальном проективном многообразии реализуется таким образом.

Из соображении эффективности действия можно считать т > п. В работе Б. Хассетта и Ю. Чинкеля более подробно рассмотрен частный случай 7п = п и предложено взаимно однозначное соответствие между локально транзитивными действиями G™ : Рп и локальными К-алгебрами размерности п + 1. Кроме того, показано, что для каждого п существует всего одно действие с конечным числом орбит.

Представив проективное пространство Рп как однородное пространство SLn+i /Pi, можно связать локально транзитивные действия коммутативной унипотентной группы на других пространствах флагов с тематикой работы Б. Хассетта и Ю. Чинкеля. В связи с этим упомянем работы [25], [26] и [27], в которых построено и исследовано плоское вырождение многообразия флагов G/P к многообразию с локально транзитивным G™- действием. Получено явное задание такого вырождения, на нем определена клеточная структура, изучены его особенности, найдены замечательные интерпретации геометрических свойств вырожденных многообразий флагов в теории представлений и комбинаторике.

Одна из основных целей данной диссертации — исследовать возможные значения модальности замыканий орбит для действий как редуктивных, так и унипотентных аффинных алгебраических групп на аффинных и проективных многообразиях. Также получен ряд классификационных и структурных результатов о таких действиях. В первую очередь отметим, что в диссертации решена задача, поставленная в работе Б. Хассетта и Ю. Чинкеля [29]: построить взаимно однозначное соответствие между локально транзитивными действиями группы G™ на невырожденной квадрике Qn С Pn+1 и некоторым классом алгебр соответствующей размерности. Показана единственность такого действия, что a priori неожиданно. В данной диссертации также продолжается исследование локально транзитивных действий группы G" на проективном пространстве, в частности, изучается их модальность, и рассматриваются локально транзитивные действия на гиперповерхностях. Кроме того, получен критерий конечности, вычислена модальность и описана структура квазиоднородных многообразий для редуктивной группы (С*)к х SL<2(C).

В качестве основного поля К принимается произвольное алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Однако в первой главе мы ограничиваемся полем комплексных чисел С, чтобы иметь возможность пользоваться аналитическими методами.

Используемые стандартные сведения из алгебраической геометрии содержатся в книгах [15] и [16], необходимые факты теории алгебраических групп освещаются в [14], теории представлений посвящены используемые источники [8] и [10].

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [43], [41] и [42].

Структура диссертации следующая.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шаройко, Елена Викторовна, 2011 год

1. И. В. Аржанцев, О модальности и сложности аффинных вложений. Математический сборник, 192:8 (2001), 47-52.

2. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений, т. 1, М.: Наука, 1982.

3. Д. Н. Ахиезер, О действиях с конечным числом орбит. Функциональный анализ и его приложения. 19.1 (1985), 1-5.

4. Д. Н. Ахиезер, О модальности и сложности действий редуктивных групп. Успехи математических наук, 43:2 (1988), 129-130.

5. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

6. Э. Б. Винберг, Сложность действий редуктивных групп. Функциональный анализ и его приложения, 20:1 (1986), 1-13.

7. Э. Б. Винберг, Б. Н. Кимельфельд, Однородные области на флаговых многообразиях и сферические подгруппы полупростых групп Ли. Функциональный анализ и его приложения, 12:3 (1978), 12-19.

8. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, т. 55, М.: ВИНИТИ, 1989, 137-309.

9. В. И. Данилов, Геометрия торических многообразий. Успехи математических наук, 33:2 (1978), 85—134.

10. X. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

11. В. Л. Попов, Квазиоднородные аффинные алгебраические многообразия группы Щ2). Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:4 (1973), 792-832.

12. В. Л. Попов, Структура замыканий орбит в пространствах конечномерных линейных представлений группы ЗЬг- Математические заметки, 16 (1974), 1159-1162.

13. Д. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич, Перестановочные матрицы. Минск: Наука и техника, 1966.

14. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.

15. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007.

16. V. Arzhantsev, Flag varieties as equivariant compactifications of G". Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2011), no. 3, 783-786.

17. V. Arzhantsev, D. A. Timashev, Affine embeddings with a finite number of orbits, Transformation Groups, 6:2 (2001), 101-110.

18. D. Luna, Th. Vust, Plongements d'espaces homogènes. Commentarii Math-ematici Helvetici, 58:2 (1983), 186-245.

19. P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type. Advances in Mathematics, 141:1 (1999), 97-118.

20. P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Symplectic multiple flag varieties of finite type. Journal of Algebra, 230:1 (2000), 245-265.

21. H. Matsumura, P. Monsky, On the automorphisms of hypersurfaces. Journal of Mathematics of Kyoto University, 3:3 (1964), 347-361.

22. G. Mazzola, Ganeric finite schemes and Hochschild cocycles. Commentarii Mathematici Helvetici, 55 (1980), 267-293.

23. H. Nakajima, Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces. University Lecture Series 18, AMS, Providence, RI, 1999.

24. F. Pauer, Closure of 5'L2(C)-orbits in projective spaces. Manuscripta Math-ematica, 87 (1995), 295-309.

25. F. J. Servedio, Prehomogeneous vector spaces and varieties. Transactions of the American Mathematical Society, 176 (1973), 421—444.

26. B. Sturmfels, Grôbner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, 8, AMS, Providence, RI, 1995.

27. B. Totaro, The automorphism group of an affine quadric. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 143:3 (2007), 1-8.Публикации автора по теме диссертации:

28. Е. В. Шаройко, О конечности числа орбит на квазиоднородных (C*)fc х ¿^(^-многообразиях. Математические заметки, 81:5 (2007), 766-775.