Действия групп на компактных однородных пространствах с открытой орбитой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Девятов, Ростислав Андреевич

• Девятов, Ростислав Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Девятов, Ростислав Андреевич

Оглавление

1. Введение

1.1. Актуальность темы

1.2. Степень разработанности темы

1.3. Цель работы

1.4. Научная новизна

1.5. Теоретическая и практическая ценность

1.6. Методы исследования

1.7. Степень достоверности и апробация результатов

2. Предварительные сведения

2.1. Соглашения и обозначения

2.2. Автоморфизмы однородных пространств

3. Действия на кратных однородных пространствах

3.1. Сведение задачи к случаю простой группы С

3.2. Наличие открытой орбиты

3.2.1. Группа С типа В^1> 3

3.2.2. Группа С типа Си1> 3

3.2.3. Группа С? типа I > 4

3.2.4. Группа С типа Е6

3.3. Конечность числа орбит

4. Действия коммутативной унипотентной группы с открытой ор-

битой

4.1. Сведение задачи к случаю простой группы С

4.2. Сведение задачи о (Са)т-действиях к задаче об умножениях

4.3. Общие сведения об умножениях, согласованных с действием алгебры

4.4. Существование умножений, согласованных с действием алгебры

4.4.1. Алгебра I типа

4.4.2. Алгебра I типа В;иД

4.4.3. Алгебра I типа С/ (/ > 2)

4.4.4. Алгебра I типа Е6

4.4.5. Алгебра I типа Е7

4.4.6. Алгебра I типа Е&

4.4.7. Алгебра I типа F4

4.4.8. Алгебра I типа С2

4.4.9. Классификация умножений с точностью до действия группы Ь

4.5. Классификация локально транзитивных (Са)т-действий на однородных пространствах

4.5.1. Группа С типа Л/, Р = Рх или Р = Р{

4.5.2. Группа С типа Л/, Р = Д, 1 < г < I

4.5.3. Группа (7 не типа Аг

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Действия групп на компактных однородных пространствах с открытой орбитой»

Введение

1.1. Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению действий различных групп с открытой орбитой на некоторых компактных однородных пространствах. Все алгебраические многообразия рассматриваются над полем комплексных чисел.

Однородное пространство алгебраической группы С — это алгебраическое многообразие X, снабжённое транзитивным действием группы С. Основные результаты об однородных пространствах аффинных алгебраических групп содержатся в книгах [4] и [5]. Любое однородное пространство изоморфно (точнее, (З-эквивариантно изоморфно) фактору группы по некоторой подгруппе Р (обычно обозначаемому С?/Р). В случае, когда группа С связна и редуктив-на, можно показать, что многообразие (7/Р полно (или, что то же, компактно в классической топологии) тогда и только тогда, когда подгруппа Р параболическая, т. е. содержит некоторую борелевскую подгруппу. В частности, в этом случае группа Р содержит центр группы С, поэтому он тривиально действует на многообразии С7/Р, и многообразие С/Р также является однородным пространством связной полупростой части группы С. Поэтому далее мы будем говорить о многообразиях вида С/Р, где (3 — некоторая связная полупростая алгебраическая группа, а Р С С — некоторая параболическая подгруппа.

Компактными однородными пространствами являются многие классические и хорошо известные многообразия, такие как, например, проективные пространства и их произведения (многообразия Сегре), грассманианы и гладкие проективные квадрики. Более сложный пример однородных пространств — полные и частичные многообразия флагов, т. е. многообразия, параметризующие цепочки вложенных подпространств фиксированных размерностей в заданном векторном пространстве. Для всех перечисленных классов многообразий посчитаны их пространства когомологий и найдены клеточные разбиения [1]. Наличие действия связной редуктивной группы позволяет применять для изучения этих многообразий структурную теорию простых алгебр Ли.

Наличие действия определённой группы с открытой орбитой (или, как говорят, локально транзитивного действия) также является удобным инструментом для изучения свойств многообразий. Локально транзитивные действия представляют собой наиболее простой вид действий группы на многообразии после собственно транзитивных действий. Неформально говоря, если алгебраическая группа действует на неприводимом алгебраическом многообразии с открытой орбитой, то это действие позволяет "почти любую" точку многообразия перевести в "почти любую другую" точку. Различные классы многообразий, обладающих этим свойством, также хорошо изучены. К ним относятся, например, торические многообразия, т. е. нормальные алгебраические многообразия, на которых действует с открытой орбитой алгебраический тор. Основные сведения о торических многообразиях содержатся в книге [12]. Известна полная классификация торических многообразий, они параметризуются некоторыми комбинаторными (целочисленными) данными, а именно так называемыми рациональными полиэдральными веерами. Эта классификация позволяет, например, перечислить орбиты (их число конечно) и понять, как устроены замыкания орбит под действием тора и какие орбиты меньшей размерности в них содержатся. Более сложным примером многообразий, допускающих локально транзитивное действие некоторой группы, служат сферические многообразия, т. е. многооб-

разик с действием связной редуктивной группы С, на которых (некоторая, или, что равносильно, любая) борелевская подгруппа действует с открытой орбитой. Торические многообразия являются частным случаем сферических. Сведения о сферических многообразиях собраны, например, в [10] и [20]. В случае сферических многообразий множество орбит борелевской подгруппы на самом деле также конечно.

1.2. Степень разработанности темы

Ясно, что сама группа С действует на многообразии <?/Р с открытой орбитой (и даже ровно с одной орбитой), но можно рассмотреть действие группы С? на многообразии (<3/Р)П = С/Рх...х(7/Р и попытаться выяснить, имеет ли оно открытую орбиту и конечно ли множество орбит. Отметим, что многообразие (С/Р)п также является однородным пространством связной полупростой алгебраической группы, а именно группы С х ... х О (п прямых сомножителей). Неформально говоря, существование открытой орбиты означает, что "почти любой" набор из п точек многообразия С/Р можно перевести в "почти любой другой" набор, а конечность множества орбит означает, что любой набор из п точек можно "привести к одному из конечного числа фиксированных видов".

Вопрос о существовании открытой орбиты для максимальной параболической подгруппы Р был решён в работе [21], и в этой же работе был поставлен вопрос о существовании открытой орбиты для произвольных параболических подгрупп. Для формулировки полученных в этой работе результатов и для дальнейшего изучения этой задачи удобно ввести следующее определение.

Определение 1.1. Пусть алгебраическая группа <7 действует на неприводимом алгебраическом многообразии X. Следуя [21], максимальное число п £ N (если оно существует), такое что группа С действует на многообразии Хп с открытой орбитой, назовём максимальной степенью локальной транзитивности действия С : X и обозначим за gtd(Gf : X). Если действие (7 : Xй не имеет

открытой орбиты ни для какого п € N (или, что равносильно, действие С : X не имеет открытой орбиты), то назовём максимальной степенью локальной транзитивности действия С : X число 0 ^с^С : X) = 0). Если для некоторого т £ N группа С? действует на многообразии Хт с открытой орбитой, будем говорить, что действие группы С на многообразии X локально т-транзитивно.

Используя это определение, можно сказать, что мы ищем максимальную степень локальной транзитивности действия связной редуктивной группы С на однородных пространствах вида С/Р, где Р С С — параболическая подгруппа. Другими словами, мы ищем такие числа п, что действие группы С на однородном пространстве С/Р локально п-транзитивно.

Ясно, что действие группы на однородном пространстве (7/Р всегда локально 1-транзитивно. Более того, из разложения Брюа следует, что если В С (7 — борелевская подгруппа, содержащаяся в группе Р, то число Р-орбит на многообразии С/Р конечно, и открытая орбита имеет вид Рг^Р, где ги — представитель элемента группы Вейля максимальной длины в нормализаторе максимального тора. Значит, группа Р тем более действует на многообразии (7/Р с конечным числом орбит, и орбита РгиР открыта. Следовательно, группа (7 действует на многообразии (7/Р х С/Р с конечным числом орбит, и действие С : С/Р х С/Р 2-транзитивно. Более того, действие С : С/Р х С/Р 3-транзитивно тогда и только тогда, когда группа РПгиРги-1 действует на многообразии С/Р с открытой орбитой.

В [21] доказано, что для связных простых групп С типа А и максимальных параболических подгрупп Р максимальная степень локальной транзитивности может, в зависимости от группы С и подгруппы Р, быть сколь угодно большой. Для связных простых групп С остальных типов и максимальных параболических подгрупп Р она никогда не бывает больше 4. В связи с этим вопрос о нахождении максимальной степени локальной транзитивности для немаксимальных параболических подгрупп Р в случаях, когда связная полупростая группа С содержит связные простые компоненты типа А, более сложен, чем тот же во-

прос в случае, когда группа С? не содержит связных простых компонент типа А, и остаётся, по-видимому, открытым. Для случая, когда группа С не содержит связных простых компонент типа А, максимальная степень локальной транзитивности вычисляется в диссертации.

Мы также рассмотрим вопрос о конечности числа орбит действия группы С на многообразии (6?/Р)п. Этот вопрос легко сводится к случаю, когда группа С проста. Приведённые выше рассуждения показывают, что при п — 1,2 множество орбит всегда конечно. Случаи связных простых групп С типа А и С рассматривались в работах [17] и [18], и для них вопрос о конечности числа орбит был решён полностью. (Точнее, в этих работах рассматривалась более общая задача о том, для каких наборов не обязательно одинаковых параболических групп р(1\...,р(п} группы О группа С? действует на многообразии с/ры х ... х С/Р^ с конечным числом орбит.)

В общем случае этот вопрос оказывается связан с теорией сферических многообразий. Именно, известно, что если многообразие X с действием группы С сферическое, то (любая) борелевская подгруппа группы (7 действует на нём с конечным числом орбит, см. [2] и [9]. Таким образом, если многообразие (С/Р)п-1 сферическое, то группа (3 действует на многообразии (С?/Р)п с конечным числом орбит. Поэтому для поиска случаев, в которых множество орбит конечно, полезны результаты о том, что некоторое многообразие вида (С/Р)™-1 является сферическим. Такие результаты были получены, например, в работах [16] и [23]. Используя эти результаты, мы докажем, что если группа (? действует на многообразии (С/Р)п, где п > 3, с конечным числом орбит, то на самом деле п — 3, а многообразие С/Рх С/Р сферическое.

Теперь обозначим т-мерную коммутативную унипотентную группу (или, что то же, группы векторов в векторном пространстве с операцией сложения) за (Са)т. Действия группы (Са)т (или, что то же, т-мерного векторного пространства, рассматриваемого как группа с операцией сложения) на различных многообразиях изучались в работе [13]. В отличие от ситуации, когда группа

С действует на многообразии й/Р, для группы (Са)то нет никакого "естественного" действия на многообразии С/Р, для которого можно было бы проверять наличие открытой орбиты, и (всевозможные) действия группы (С0)т на многообразии X = (7/Р, как и (всевозможные) действия группы (Са)т на других фиксированных многообразиях X удобно классифицировать с точностью до сопряжения автоморфизмами многообразия X и с точностью до автоморфизмов самой группы (Са)т как алгебраической группы (они совпадают с автоморфизмами группы (Са)т как га-мерного С-векторного пространства, т. е. образуют группу СЬт). В этом смысле в работе [13] получена классификация таких действий на проективных пространствах и на поверхностях Хирцебруха. Там же была поставлена общая задача о классификации всех полных (компактных в классической топологии) т-мерных многообразий, допускающих локально транзитивное действие группы (Са)т вместе с действием этой группы на них, по аналогии с тем, как это было ранее сделано с торическими многообразиями.

В работе [6] было доказано, что на на неособой т-мерной проективной квадратичной гиперповерхности (которая является однородным пространством группы БОт+2) локально транзитивное действие группы (Са)т ровно одно с точностью до автоморфизмов, упомянутых выше. Все такие пары (С, Р), что существует хотя бы одно локально транзитивное действие группы (Са)гп на однородном пространстве С/Р (но не сами эти действия), были перечислены в работе [7]. Там же был поставлен вопрос о классификации локально транзитивных действий коммутативных унипотентных групп на грассманианах.

1.3. Цель работы

Пусть — связная полупростая алгебраическая группа над полем С, а Р С (7 — некоторая параболическая подгруппа. Тогда однородное пространство С/Р является проективным многообразием, в частности, оно компактно в классической топологии. Выберем в группе С связные простые подгруппы с?*1),... ,<?(»>,

так чтобы группа С была локально изоморфна их произведению (как иногда говорят, разложим группу С в почти прямое произведение связных простых подгрупп). Пусть = РПС^. Тогда подгруппы Р^ однозначно определяют подгруппу Р.

В каждой простой группе выберем борелевскую подгруппу В^ С рМ и максимальный тор Т^ С В^г\ Эти данные определяют систему корней и множество простых корней Д(г) = {о;[г\ ..., Группа Р^ является пере-

сечением нескольких максимальных (по включению) параболических подгрупп, а все максимальные параболические подгруппы, содержащие группу Я« находятся во взаимно-однозначном соответствии с простыми корнями аПусть группа Р^ равна пересечению максимальных подгрупп, соответствующих корням ар.л,..., аР1кр. Таким образом, подгруппа Р определяется конечным набором индексов р1д,... • ■ ■ ь • • • ,Рз,ка- Заметим, что поскольку все боре-левские подгруппы сопряжены, то это описание не зависит от выбора подгрупп

Цель работы — исходя из этого описания подгруппы Р, ответить на следующие вопросы:

1. Предположим, что среди групп

О® нет групп типа А. Для каких п группа С действует на многообразии (С?/Р)п с открытой орбитой, т. е. локально транзитивно?

2. Для каких п группа С? действует на многообразии ((2/Р)п с конечным числом орбит? (Группа <7 — любая связная полупростая.)

3. Как параметризуются локально транзитивные действия коммутативной унипотентной группы размерности сНт((7/Р) на многообразии С?/Р?

1.4. Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Для случаев, когда G — связная полупростая группа, не содержащая связных простых компонент типа А, получена полная классификация таких параболических подгрупп Р и таких чисел п 6 N, что группа G действует на многообразии (G/P)n с открытой орбитой.

2. Получена полная классификация троек (G,P,n), где G — связная полупростая алгебраическая группа, Р — её параболическая подгруппа и п € N, таких что группа G действует на многообразии G/P с конечным числом орбит.

3. Получена полная классификация локально транзитивных действий т-мерной коммутативной унипотентной группы на многообразии G/P, где G — связная полупростая алгебраическая группа, Р — её параболическая подгруппа и т = dim(G/P).

4. Пусть L — связная редуктивная алгебраическая группа, а V — её конечномерное представление. Получена полная классификация коммутативных ассоциативных умножений на пространстве V, таких что все операторы умножения нильпотентны и каждый оператор умножения совпадает с оператором действия некоторого элемента алгебры Lie L.

1.5. Теоретическая и практическая ценность

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего изучения компактных однородных пространств и экви-вариантных компактификаций коммутативной унипотентной группы.

1.6. Методы исследования

В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории алгебр Ли и теории алгебраических групп.

1.7. Степень достоверности и апробация

результатов

Все результаты диссертации обоснованы с помощью строгих математических доказательств. Основные результаты диссертации докладывались:

• На второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", механико-математический факультет МГУ, г. Москва (2011).

• На семинаре по алгебраической геометрии в Freie Universität Berlin, г. Берлин, Германия (2011).

• На совместном семинаре лаборатории Понселе и сектора алгебры и теории чисел ИППИ "арифметика, геометрия и теория кодирования", г. Москва (2014).

Глава 2

Предварительные сведения

2.1. Соглашения и обозначения

Если алгебраическая группа обозначена одной заглавной буквой, то её касательную алгебру Ли будем обозначать соответствующей готической буквой. Единичный элемент любой алгебраической группы Н будем обозначать 1#.

Все алгебры Ли, возникающие в дальнейшем, являются подалгебрами Ли в касательных алгебрах Ли редуктивных алгебраических групп //, и они будут рассматриваться вместе с этим вложением. Будем называть алгебру Ли а уни-потентной, если она является касательной алгеброй некоторой унипотентной алгебраической подгруппы группы Н, или, что то же, если алгебра а является подалгеброй в касательной алгебре (некоторой) максимальной унипотентной подгруппы группы Н. Другими словами, если V — представление группы Н с конечным ядром, то подалгебра а С Ц унипотентна тогда и только тогда, когда любой элемент алгебры а действует на пространстве V нильпотентным оператором.

Если I) — простая алгебра Ли с выбранной картановской подалгеброй с, и а 6 с* — некоторый корень алгебры I), обозначим за 1)а С Р) соответствующее корневое подпространство. Если а = 0, обозначим 1)а = с. Иначе, если а 6 с* не является корнем алгебры [) и а ^ 0, обозначим 1)а = 0.

В разделах 3.2-3.3 и 4.2-4.5 мы фиксируем связную простую алгебраическую группу С, её борелевскую подгруппу В С С и максимальный тор Т С В. Эти данные определяют систему корней Ф С Г, подмножество положительных корней Ф+ и подмножество простых корней А = {«1,... , агкд}- Здесь и далее простые корни перечисляются как в [8]. Обозначим также Ф~ = Ф \ Ф+.

Параболические подгруппы Р, содержащие подгруппу Р, можно параметризовать подмножествами I С А, а именно, подмножество / С Д соответствует такой параболической подгруппе Р/, что

ЫеР/ = р/ = Ье 00а,

где подмножество Ф/ С Ф~ состоит из всех отрицательных корней, разложение которых в линейную комбинацию простых корней не содержит корней щ € I. В частности, максимальные параболические подгруппы задаются одноэлементными множествами I, (7 = Р0, В — Рд. Будем коротко обозначать группу, соответствующую непустому множеству {а;^,..., а^}, за вместо Подгруппу Р{, где 1 < г < гкС, будем называть i-й стандартной максимальной параболической подгруппой группы С. Любая параболическая подгруппа сопряжена параболической подгруппе, содержащей группу Р, и в разделах 3.23.3 и 4.2-4.5 мы также фиксируем параболическую подгруппу Р, содержащую подгруппу Р.

Для любой параболической подгруппы Р, содержащей подгруппу В (в частности, для Р — В), обозначим за Р~ такую параболическую подгруппу, что

р~ = 1Ле Р~ = 10 ф 0_а.

а:аеФ и даСр

Тогда группа Ь = Р П Р~ связна и является подгруппой Леви в группе Р. Будем называть её стандартной подгруппой Леви группы Р, и будем также называть алгебру I стандартной подалгеброй Леви алгебры р. Заметим, что

подгруппа В П L (соотв. В П [L,L]) борелевская в группе L (соотв. [L,L]), а Т П L С В Г) L (соотв. Т П [L, L] С В П [L, L]) — максимальный тор в группе L (соотв. [L, L]). Получаем канонически определённые системы корней, множества положительных корней, решётки весов и подполугруппы доминантных весов для групп L и [L, Ь].

Если Р — Pi, где / С А — некоторое подмножество, то подгруппа U с касательной алгеброй

0 0«

а:а€Ф+ и — а^Ф/

является унипотентным радикалом группы Р, а подгруппа U~ с касательной алгеброй

U" = 0 Qa

с*еФ~\Ф/

является унипотентным радикалом группы Р~.

Обозначим за U\ (соотв. C/f) унипотентный радикал группы В (соотв. В~), и обозначим Liet/i — Ui, Liet/f = u^.

В разделах 4.3 и 4.4 группа L может быть произвольной связной редуктивной группой, она не обязательно является стандартной подгруппой Леви группы Р.

Если Н — связная редуктивная группа с фиксированной борелевской подгруппой, максимальным тором, решёткой весов и соответствующей этим данным полугруппой доминантных весов, обозначим неприводимое представление группы Н со старшим весом Л за Vh{Л). Аналогично, обозначим неприводимое представление алгебры I) = Lie Я со старшим весом Л за ^(Л). Будем писать V(A) вместо Vtf(A) или Vf,(A), если ясно, о какой алгебраической группе или алгебре Ли идёт речь. Если V — некоторое представление группы Я", обозначим множество его весов за X(V).

Обозначим грассманиан А>мерных подпространств в векторном пространстве V за Gr(k,V). Будем обозначать абстрактное fc-мерное проективное пространство за Pfc, а проективизацию векторного пространства V за P(V^). Обо-

значим тождественный оператор на векторном пространстве V за ¡с!^, и обозначим единичную (к х /г)-матрицу за Если А\,..., Ак — квадратные матрицы, будем обозначать блочно-диагональную матрицу с блоками А\,...,Ак за ..., Ак) Если V и IV — два векторных пространства (возможно,

имеющие также структуру алгебры Ли или представления алгебры Ли), то Нотс^, IV) всегда будет обозначать векторное пространство всех линейных отображений из пространства У в пространство они не обязаны быть гомоморфизмами алгебр Ли или эквивариантными относительно действия алгебры Ли.

Если в конечномерном векторном пространстве выбран базис, и базисные векторы обозначены некоторыми символами (например, ех,...,е/), то такими же символами со звёздочкой (например, е\,...,е]) будем обозначать соответствующий базис двойственного пространства. Если между пространствами У\ и У~2 имеется невырожденное спаривание (например, пространство У2 по определению равно V]* или У\ и Уч — два подпространства в пространстве IV, и на пространстве IV задана билинейная форма, устанавливающая такое невырожденное спаривание), и А — оператор на пространстве У\, то сопряжённый оператор на пространстве Уч будем обозначать А*.

Если У — векторное пространство и \У\ и \Уч — два его подпространства,

у

то будем говорить, что подпространство \Уч дополнительно к подпространству \¥и если П \У2 = 0 и \У1 ф 1У2 = У.

Если на векторном пространстве У задано билинейное отображение (иногда мы будем называть его умножением) V х V —> V, и г; е V, будем обозначать за

оператор умножения слева на вектор V, т. е. цу: У —> У, ^и) = ую.

2.2. Автоморфизмы однородных пространств

Поскольку в главе 4 мы изучаем действия коммутативной унипотентной группы на многообразии С?/Р, про которые изначально не предполагается, что они

связаны с действием самой группы С, то нам будет полезно следующее определение.

Определение 2.1. Пусть X — алгебраическое многообразие. Алгебраическая группа Я вместе с действием Я : X называется категорной группой автоморфизмов многообразия X, если для любой группы алгебраически действующей на X, существует единственный морфизм алгебраических групп /: #1 —> Я, такой что для любой точки х £ X и для любого элемента Н £ выполнено /г • х = /(/г) • ж.

Ясно, что категорная группа автоморфизмов единственна с точностью до единственного изоморфизма, коммутирующего с действием на многообразии X, если она существует. Обозначим категорную группу автоморфизмов многообразия X, если она существует, за САи^Х). Это понятие тесно связано с более общим понятием алгебраической группы, представляющей функтор.

Определение 2.2. Пусть & — контравариантный функтор из категории алгебраических многообразий на С в категорию (абстрактных) групп. Будем говорить, что алгебраическая группа Я представляет функтор если существует изоморфизм функторов (р: Нот^£,(—, Я) —> где Нот^е, обозначает абстрактную группу, состоящую из алгебраических морфизмов из алгебраического многообразия в алгебраическую группу. Здесь для любого алгебраического многообразия Б, ): Нот^/Дй', Я) —> — изоморфизм абстрактных групп, и групповая структура на множестве НошА//5(61, Я) понимается следующим образом: если /, д: 5 —> Я — два морфизма алгебраических многообразий, то их произведение определяется так: (/р)(в) = /(з)д(з) для всех точек в £ Я.

Пусть в и X — два алгебраических многообразия. Обозначим за Аг^^Й" х X) абстрактную группу, состоящую из всех таких автоморфизмов / многообразия 5x1, что существует морфизм д: £ х X —> X, такой что /(в, х) = (з,д(з,х)) для любых точек в £ Б и х £ X. Неформально говоря, эти автоморфизмы сохраняют слои проекции х X —> 5.

Пусть дано алгебраическое многообразие X. Рассмотрим следующий кон-травариантпый функтор из категории алгебраических многообразий в категорию абстрактных групп, который обозначим за Если Б — алгебраическое многообразие, то пусть ^х(З) = х X). Если /г: 5" 5 — мор-физм алгебраических многообразий, то определим гомоморфизм абстрактных групп : ^х(З) —> следующим образом. Для любого автоморфизма / Е = Аи^З' х X) существует морфизм д: 5 х X X, такой что /(в,х) = (з,д(з,х)) для любых точек в е 5 и ж € X. Положим

= («'^(Л^)»®)) Для любых точек в' е 5' и х е X. Прямым вычислением проверяется, что ^х(^) ~ это действительно гомоморфизм абстрактных групп.

Пусть дано алгебраическое многообразие X, и пусть алгебраическая группа Я представляет функтор 3?х- Определим действие группы II на многообразии X следующим образом. Обозначим имеющийся изоморфизм функторов , Я) —> за </?. Пусть 16.н — тождественный автоморфизм группы Я. Тогда 1(1 я 6 Нот£лд(Н,Н) и (<£>(Я))(1с1я) € А^я(Я х X). По определению это означает, что существует такой морфизм алгебраических многообразий /: Я х X —)• X, что (((р(П))(1<1н))(}г,х) = (/г,/(/г,ж)) для любого элемента /г £ Я и для любой точки х £ X. Положим к ■ х = /(/г, ж). Изначально не очевидно, почему это правило определяет действие группы, т. е. не очевидно, действительно ли • (/¿2 • х) = (/¿1/2,2) • % для любых элементов /12 € Я и для любой точки х Е X, но мы докажем это в следующей лемме.

Лемма 2.3. Пусть X — алгебраическое многообразие, и пусть алгебраическая группа II представляет функтор • Тогда описанное выше правило действительно задаёт действие группы Я на многообразии X, и группа II с этим действием является категорной группой автоморфизмов многообразия X.

Доказательство. Обозначим за {р^ многообразие, состоящее из одной точки. Для любого элемента 1г Е Я обозначим за е^: {р^ —> Я вложе-

ние, которое переводит точку pt 6 {pt} в точку h Е Я. Поскольку (р — морфизм функторов, то (y?({pt}))(e/l) Е Aut{pt}({pt} х X) — это тот автоморфизм многообразия X — {pt} х X, который переводит любую точку (pt, х) Е {pt} х X в (pt, /(e/l(pt), х)) = (pt, /(Л, яг)). Для любых элементов hi, h2 Е II произведение морфизмов е^ и е/г2 в группе Нот^5({р^,Я) равно Поскольку <^({pt}) — изоморфизм абстрактных

групп, то (у>({pt})(eÄ1)) О (ip({pt})(e/l2)) = ip{{pt})(e/lleft2) = (p({pt})(ehlh2). Следовательно, (pt, f(hu f(h2, x))) = y({pt})(eÄ1)(^({pt})(efta)(pt, x)) = <p({pt})(e/iift2)(pt)^) = (pt, /(/ii/i2, ж)), то есть правило h ■ x = f(h,x) действительно задаёт действие группы Я на многообразии X.

Пусть теперь некоторая другая группа Iii действует на многообразии X. Определим автоморфизм д многообразия Hi х X следующим образом: g(h, х) = (h,h ■ х). Ясно, что д Е Aut/^^i х X). Обозначим gi — (^(IIi))'1 (д). Тогда, поскольку (р — изоморфизм функторов, для любого элемента h Е Hi и для любой точки х Е X имеем (/г, h • х) = g(h,x) — (p(IIi)(gi)(h,x) = {h, f(gi{h),x)) = (h,gi(h) • x). Следовательно, h • x = gi(h) • x. Остаётся проверить, что gi: Iii —> Я — это гомоморфизм алгебраических групп (пока мы знаем только, что это морфизм алгебраических многообразий).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Девятов, Ростислав Андреевич, 2014 год

Литература

[1] И. H. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P, УМН, 28:3(171) (1973), 3-26.

[2] Э. Б. Винберг, Сложность действий редуктивных групп, Функц. анализ и его прил. 20:1 (1986), 1-13.

[3] Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, A. J1. Онищик, Группы Ли и алгебры Ли III, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, нробл. мат. Фундам. направления 41, ВИНИТИ, М., 1990.

[4] Э. Б. Винберг, A. JI. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука, М., 1988.

[5] A. JI. Онищик, Топология транзитивных групп преобразований, Физмат-лит, М., 1995.

[6] Е. В. Шаройко, Соответствие Хассета-Чинкеля и автоморфизмы квадрики, Матем. сб. 200:11 (2009), 145-160. См. также arXiv:0902.4529vl [math.RT], 26 февраля 2009 г.

[7] I. V. Arzhantsev, Flag varieties as equivariant compactifications of Proc. Amer. Math. Soc. 139:3 (2011), 783-786. См. также arXiv:1003.2358v2 [math.AG], 18 марта 2010 г.

[8] N. Bourbaki, Groupes et algébres de Lie, Chaps. 4,5 et 6, Hermann, Paris, 1975.

[9] M. Brion, Quelques propriétés des espaces homogènes sphériques, Manuscripta Math. 55:2 (1986), 191-198.

[10] M. Brion, Spherical Varieties, Highlights in Lie Algebraic Methods, 3-24, Progress in Mathematics 295, Birkhauser, Basel, 2012.

[11] M. Demazure, Automorphismes et déformations des variétés de Borel, Invent. Math. 39:2 (1977), 179-186.

[12] W. Fulton, Introduction to toric varieties, Ann. of Math. Stud. 131, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.

[13] B. Hasset, Yu. Tschinkel, Geometry of equivariant compactifications of G International Mathematics Research Notices, 1999:22 (1999), 1211-1230. См. также arXiv:math/9902073vl [math.AG], И февраля 1999 г.

[14] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

[15] J. Kollar, Rational Curves on Algebraic Varieties, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Barcelona-Budapest-Hong Kong-London-Milan-Paris-Santa Clara-Singapore-Tokyo, 1996.

[16] P. Littelmann, On spherical double cones, J. Algebra 166:1 (1994), 142-157.

[17] P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 141:1 (1999), 97-118. См. также arXiv:math/9805067vl [math.AG], 14 мая 1998 г.

[18] P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Symplectic multiple flag varieties of finite type, J. Algebra 230:1 (2000), 245-265. См. также arXiv:math/9807061vl [math.AG], 12 июля 1998 г.

[19] H. Matsumura, F. Oort, Representability of group functors, and automorphisms of algebraic schemes, Invent. Math. 4 (1967), 1-25.

[20] N. Perrin, On the geometry of spherical varieties, Transformation Groups 19:1 (2014), 171-223.

[21] V.L. Popov, Generically multiple transitive algebraic group actions, Algebraic groups and homogeneous spaces, 481-523, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund. Res., Mumbai, 2007. См. также arXiv:math/0409024v2 [math.AG], 5 марта 2005 г.

[22] С. P. Ramanujam, A note on groups of algebraic varieties, Math. Ann. 156 (1964), 25-33.

[23] J. Stembridge, Multiplicity-free products and restrictions of Weyl characters., Representation Theory 7 (2003), 404-439.

Публикации по теме диссертации

[24] R. Devyatov, Generically transitive actions on multiple flag varieties, International Mathematics Research Notices, 2014:11 (2014), 2972-2989.

[25] P. А. Девятов, Действия коммутативной унипотентной группы на многообразиях флагов и нилъпотентные умножения, УМН, 69:5(419) (2014), 165-166.

[26] Р. А. Девятов, Локальная транзитивность для кратных многообразий флагов, Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Москва, Россия, 31 января - 5 февраля 2011 г. Тезисы докладов. Издательство механико-математического факультета МГУ, Москва, 2011, 23-26.

[27] R. Devyatov, Unipotent commutative group actions on flag varieties and nilpotent multiplications, Transformation Groups, 20:1 (2015), 21-64.