Геометрия действий торов на многообразиях флагов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Жгун, Владимир Сергеевич

• Жгун, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жгун, Владимир Сергеевич

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты работы.

1.3 Определения и обозначения.

1.4 Результаты используемые в работе.

1.5 Благодарности.

2 Вариация фактора Мамфорда для действия Т на С/В

2.1 Структура множества полустабильных точек.

2.2 Результаты о множестве полустабильных точек для (7 = вЬ^х

2.3 Изучение носителей полустабильных Г-орбит.

3 Вычисление ранга Ргс(Х33//Т)

3.1 Вычисление ранга в случае группы (7 свободной от компонент типа Ап.

3.2 Вычисление групп ).

3.3 Вычисление ранга Р1с(Х3ь3х//Т).

4 Микровесовые представления и поверхности дель-Пеццо

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Утверждения о многообразиях флагов.

4.3 Фактор С?/Р по однопараметрической подгруппе Л.

4.4 Фактор по подгруппе Л грассманиана С?/Р из Р(д) в случае группы типа Е&.

4.5 Вложение торсера над Хд в аффинный конус над С/Р.

4.6 О пересечении грассманиана с проективным подпространством

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия действий торов на многообразиях флагов»

1.1 История вопроса

Диссертация посвящена изучению действий подторов полупростой группы С на многообразиях флагов.

Введем необходимые обозначения, а также напомним читателю основные определения. Пусть С — связная полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, Т — максимальный тор в С, а В — содержащая его борелевская подгруппа. Рассмотрим действие Т на С/В левыми сдвигами. Иными словами, элемент тора I переводит смежный класс дВ в ЬдВ.

Пусть % некоторый вес тора Т, строго доминантный относительно борелевской подгруппы В. Хорошо известно, что С/В вкладывается С-эквивариантно в проективизацию неприводимого модуля У(х)старшего веса х как проективизация орбиты старшего вектора. Обозначим через Ьх ограничение на С/В С-линеаризованного пучка 0{ 1) наР(У(%)). Так реализуются все обильные С-линеаризованные линейные расслоения на С/В (см. [11]).

Также можно рассматривать параболические подгруппы Р С С, содержащие фиксированную борелевскую подгруппу В. Известно, что такая подгруппа Р является стабилизатором прямой, натянутой на старший вектор неприводимого представления У(х), для некоторого доминантного веса х- Группа, порожденная такими весами х-> отождествляется с группой характеров Е(Р) параболической подгруппы Р. Аналогичным образом, обозначим через Ьх ограничение на О/Р С-линеаризованного пучка 0{ 1) на Р(У(х))- Хорошо известно, что так могут быть реализованы все обильные (^-линеаризованные линейные расслоения на С?/Р (см. [11]).

Зафиксировав обильное ^-линеаризованное линейное расслоение на многообразии X = О/Р, согласно [3], молено определить открытое по Зарисскому подмножество Х™ флагового многообразия X = О/Р, для которого существует категорный фактор Х^//Т для действия Т. Этот фактор мы назовем фактором Мамфорда.

Для удобства читателя напомним определение множества (полу)стабильных точек.

Определение 1.1.1. Пусть X — алгебраическое многообразие с действием группы Н, Ь — обратимый обильный линеаризованный пучок на X.(1) Множеством полустабильных точек называетсяХ[в = {х € X : Зп > 0, Зет е Г{Х, Ьш)н : а{х) ф 0}.(п) Множеством стабильных точек называется Х[ = Х^ : орбита Нх замкнута в и стабилизатор Нх конечен}.

Еще раз повторимся, что для множества Хэь существует геометрический фактор XI/Н, а для X£5 — соответственно категорный фактор X™ //Н.

В нашем случае, когда Н = Т, X = С/Р, а в качестве пучка Ь берется %*0{ 1), (где г : С/Р С Р(У(тга))), через (С/Р)^ мы будем обозначать множество точек х Е (С/Р)5, для которых стабилизатор Тх = Z(G).

Сделаем краткий обзор результатов, которые были получены ранее другими авторами в связи с изучением торических орбит на многообразиях флагов.

Перечислим результаты связанные с изучением замыканий орбит действия максимального тора Т на флаговых многообразиях. В работе [18] доказывается нормальность замыканий типичных Т-орбит на С/Р (где Р Э В — параболическая подгруппа). В работе [16] изучается нормальность необщих Т-орбит на С/Р, точнее построены примеры ненормальных замыканий Т-орбит, а также изучены Т-орбиты для простых групп С малого ранга. Когомологии замыканий общих Т-орбит изучались в работе А.А.Клячко [8]. Пусть х Е С/В — точка общего положения. Тогда вложение Тх С С/Р индуцирует на когомологиях рассматриваемых многообразий естественный гомоморфизм ограничения Н*(С/В,Ж) —> Н*(Тх,%). Этот гомоморфизм был описан в вышеназванной работе.

Следующая серия работ посвящена изучению множества полустабильных точек, а также факторов Х^//Т. В [25] выясняется вопрос, для каких групп С? и их параболических подгрупп Р возможно равенство {О/РУ£ — (С/Р)!, для некоторого обильного пучка Ь. Кольца рациональных когомологий факторов Х^//Т были посчитаны в работах [21] и [22] с помощью методов симплектической геометрии.

Последняя часть диссертации посвящена гипотезе Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и аффинными конусами над грассманианами, вложенными в микровесовые представления. Укажем, какие результаты были получены другими авторами в этом направлении.

Случай поверхности дель-Пеццо степени 5 был разобран Скоробогато-вым в [27]. Расскажем подробнее об этом результате. Рассмотрим грассма-ниан двумерных подпространств в пятимерном векторном пространстве, который иначе может быть представлен как ЭЬ^/Р, для соответствующей параболической подгруппы Р. В цитируемой работе было показано, что фактор Мамфорда Т\(ЗЬв/РУ грассманиана БЬ^/Р по максимальному тору Т С 5изоморфен поверхности дель-Пеццо степени 5. Отметим, что последняя поверхность, является плоскостью с раздутыми 4 точками в общем положении, и с точностью до бирегулярного автоморфизма существует только одна такая поверхность.

Полные координатные кольца над поверхностями' дель-Пеццо были вычислены в работе [15] Батыревым и Поповым. Также посредством этих вычислений им удалось выяснить связь между поверхностями дель-Пеццо и соответствующими микровесовыми представлениями. Геометрическое описание этой связи появилось в работе Скоробогатова и Сергановой [28] для поверхностей дель-Пеццо степени больше 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жгун, Владимир Сергеевич, 2008 год

1. И.Н.Берштейн, И.М.Гельфанд, С.И.Гелъфанд, Клетки Шуберта и ко-гомологии пространств <3/Р, УМН 37:3 (171) (1973), 3-26.

2. Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Москва, УРСС, 1995.

3. Ж.Дьедонне, Дж.Керрол, Д.Мамфорд, Геометрическая теория инвариантов. Москва, Мир, 1965.

4. В.С.Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многобра-зии полных флагов. I Изв. РАН. Сер. матем., 2007, 71:6, 29-46

5. В.С.Жгун, Вариация фактора Мамфорда действия тора на многообразии полных флагов II, Математический сборник, 2008, 199:3, 25-44.

6. В.С.Жгун, О вложениях универсальных торсеров над поверхностями дель-Пеццо в конусы над грассманианами. // Депонировано в ВИНИТИ РАН, 2008, 337-В2008, 52 с.

7. Х.Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, Москва: Мир, 1987.

8. А.А Клячко, Торические многообразия и пространства флагов. Тр. Мат. ин-та РАН, 1995, 208, 139-162.

9. Ю.Манин, Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика Москва, Наука, 1972.

10. В.Г.Мойшезон, Теорема Кастельнуово-Энриквеса о стягивании для произвольной размерности Изв. АН СССР. Сер. матем., 1969, 33:5, 974-1025.

11. В.Л.Попов, Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслоения. Изв. АН СССР. Сер. мат. 38:2 (1974), 292-322.

12. Дж.Хамфри, Линейные алгебраические группы. Москва, Наука, 1980.

13. Р.Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. Москва, Мир, 1981.

14. M.Artin, Algebraization of Formal Moduli: II. Existence of Modifications, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 91, No. 1 (Jan., 1970), 88-135.

15. V.V.Batyrev and O.N. Popov, The Cox ring of a del Pezzo surface. In: Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties (Palo Alto, 2002), Progr. Math. 226 Birkhâuser, 2004, 85-103.

16. J.B.Carrell and A.Kurth, Normality of torus orbit closures in G/P, J. Algebra 233 (2000), 122-134.

17. J-L. Colliot-Thélène et J-J. Sansuc, La descente sur les variétés rationnelles, II. Duke Math. J. 54 (1987) 375-492.

18. R.Dabrowski, On normality of the closure of a generic torus orbit in GjP. Pacific Journal of Mathematics. 172:2 (1996), 321-330.

19. I.V.Dolgachev, Introduction to Geometric Invariant Theory, Lect. Notes Series, 25, Seoul Nat. Univ., 1994.

20. I.V.Dolgachev, Weighted projective varieties, in "Group Actions and Vector Fields", Lect. Notes in Math., 956, Springer-Verlag,1982, pp. 34-72.

21. R.F.Goldin, The cohomology ring of weight varieties and polygon spaces. Advances in Mathematics. 160:2, (2001), 175-204.

22. R.F.Goldin, A.L.Mare, Cohomology of symplectic reductions of generic coadjoint orbits. Proc. Amer. Math. Soc. 132:10, (2004), 3069-3074.

23. F.Knop, H.Kraft, T. Vust, The Picard group of a G-variety. Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie (H. Kraft, P. Slodowy, T. Springer eds.) DMV-Seminar 13, Birkhauser Verlag (Basel-Boston) (1989), 77-88.

24. S.Kumar, Descent of line bundles to GIT quotients of flag varieties by maximal torus, arXiv:math/0702556.

25. S.Senthamarai Kannan, Torus quotients of homogeneous spases II. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 109:1 (1999), 23-39.

26. C.S.Seshadri, Quotient spases modulo reductive algebraic groups. Ann. Math. 95 (1972), 511-556.

27. A.N.Skorobogatov, On a theorem of Enriques-Swinnerton-Dyer. Ann. Fac. Sci. Toulouse 2 (1993) 429-440.