Распад возбужденных компаунд-ядер в многомерной ланжевеновской динамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Анищенко, Юрий Александрович

• Анищенко, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Анищенко, Юрий Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Многомерная ланжевеновская динамика: описание модели

1.1. Параметризация формы делящегося ядра

1.2. Многомерные уравнения Ланжевена

1.3. Транспортные коэффициенты

1.4. Потенциальная энергия

1.5. Начальные и конечные условия. Критерий разрыва ядра на осколки

1.6. Формализм описания эволюции ориентационной степени свободы

1.7. Плотность уровней компаунд-ядра. Статистическая ветвь расчетов

Глава 2. Скорость и среднее время деления в многомерной лан-жевеновской динамике

2.1. Аналитические методы расчета скорости деления. Формула Кра-мерса

2.2. Влияние размерности динамической модели на скорость деления

2.3. Влияние ориентационной степени свободы на скорость деления

2.4. Связь скорости деления со средним временем деления

Глава 3. Временные характеристики процесса деления возбужденных ядер в многомерной ланжевеновской динамике

3.1. Временные распределения событий деления

3.2. Связь среднего времени деления с квзистационарным значением скорости достижения седловой и разрывной конфигурации

3.3. Время релаксации скорости деления

3.4. Эволюция делящегося ядра от седла к разрыву

3.5. Средние времена деления и множественность предразрывных нейтронов

Глава 4. Массово-энергетические распределения осколков деления

4.1. Двумерные массово-энергетические распределения осколков деления

4.2. Одномерные массовые и энергетические распределения осколков деления, их средние значения и дисперсии

4.3. Корреляция средних предразрывных нейтронных множественности (прге) с массовым и энергетическим распределением осколков деления

Заключение

Приложение А. Связь между коллективными координатами и

параметрами формы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распад возбужденных компаунд-ядер в многомерной ланжевеновской динамике»

Введение

На протяжении более чем семи десятков лет, с момента своего открытия [1], процесс деления до сих пор остается предметом интенсивных как экспериментальных, так и теоретических исследований. До середины 1980-х годов изучалось деление, индуцированное преимущественно легкими частицами: протонами, дейтронами и а-частицами. Образующиеся в этих реакциях компаунд-ядра имеют невысокие энергии возбуждения и малые значения спина. Ситуацию изменило появление нового поколения ускорителей, способных давать пучки тяжелых ионов(12С, 160 и тяжелее) с энергиями достаточно высокими для того, чтобы преодолеть кулоновский барьер любого стабильного ядра. Тяжелые ионы оказались перспективными бомбардирующими частицами. Они открыли путь к экспериментальной разработке таких фундаментальных проблем ядерной физики, как синтез новых трансурановых и сверхтяжелых элементов. И позволили изучать новые крупномасштабные коллективные явления, связанные с кардинальной перестройкой ядерного вещества, такие как глубоконеупругие столкновения и слияние тяжелых ионов [2].

С теоретической точки зрения деление, индуцированное легкими частицами, достаточно хорошо описывалось моделью переходного состояния, предложенною Бором и Уилером в их классической работе [3] сразу же после открытия деления. Годом позднее Крамерсом была решена задача [4] о термически-активированном распаде метастабильной системы. Отметим, что Крамере впервые ввел концепцию диссипации в ядерной физике, и полученная им формула для парциальной ширины деления в явном виде содержала зависимость от коэффициента трения. Но соответствующая формула Бора-Уилера настолько хорошо описывала известные на тот момент экспериментальные данные, что идеи Крамерса не привлекли должного внимания, и результаты работы [4] долгое время были не востребованы. Об этой работе напомнил

Струтинский, который обобщил формулу Крамерса на случай малой величины потенциального барьера и произвольного расстояния между седловой точкой и точкой разрыва [5, 6].

К настоящему времени накоплено достаточно много экспериментальных данных по характеристикам распада возбужденных компаунд-ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами [7-11]. Исследован довольно широкий диапазон компаунд-ядер при разных энергиях возбуждения. Однако целостной и ясной теоретической картины, описывающей наблюдаемые характеристики, по-прежнему не существует.

Интерес к случайным флуктуациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно велик, что нашло отражение в монографиях, посвященным этим проблемам [12, 13]. Начиная с середины восьмидесятых годов — после открытия нового класса ядерных реакций: глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов [2], стохастические методы стали активно применять и в ядерной физике. Успех в описании дисперсий массового и энергетического распределений и других характеристик распада тяжелых компаунд-ядер был достигнут в рамках стохастического подхода, основанного на уравнении Фок-кера-Планка [14, 15]. Однако численное решение уравнения Фоккера-План-ка сопряжено с рядом трудностей. Для преодоления этих трудностей Абе с соавторами было предложено [16] использовать уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение [12, 13], физически эквивалентное уравнению Фоккера-Планка. В последнее время предпочтение в теоретических расчетах уделяется моделированию динамики деления ядра в стохастическом подходе с использованием уравнений Ланжевена [17, 18]. И это не удивительно, ведь компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем, когда нельзя ограничиться только аналитическими исследованиями или когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий. Сложность, тру-

доемкость, а иногда и невозможность проведения экспериментов с делением возбужденных компаунд-ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами, приводит к необходимости изучения с помощью компьютерных моделей.

Применение уравнений Ланжевена к изучению динамики деления, как правило, ограничивается достаточно нагретыми компаунд-ядрами, энергия возбуждения которых больше 50 МэВ и температура больше 1.5 МэВ. Происходящее при таких возбуждениях исчезновение парных корреляций и оболо-чечных эффектов приводит асимптотически к квазиклассическим значениям характеристик ядра, которые могут быть рассчитаны в макроскопических подходах.

Одной из самых ярких особенностей деления, индуцированного тяжелыми ионами, является образование компаунд-ядер с высокими энергиями возбуждения и очень большими значениями углового момента. Это обстоятельство, с одной стороны, позволяет сделать вывод о несущественной роли оболо-чечных эффектов и эффектов парных корреляций в таких реакциях, а с другой — указывает на необходимость рассмотрения ориентации ядра (проекции полного углового момента на ось симметрии ядра) при построении теоретических моделей процесса. К сожалению, большинство теоретических моделей не включает в рассмотрение ориентацию ядра как отдельную коллективную координату. Это может привести к тому, что, наряду с невозможностью динамического рассмотрения углового распределения будут также неверно оценены такие характеристики как массово-энергетические распределения осколков, средние множественности предразрывных частиц и средние времена деления. Лестоун первым указал [19] на необходимость учета ориентации ядра как самостоятельной коллективной координаты в статистической модели деления. Позднее он же [20] предложил описывать эволюцию координаты К уравнением Ланжевена. Уравнение Ланжевена, записанное в режиме сверхзатухания, использовалось для оценки влияния координаты К на среднее время деле-

ния. В работах Лестоуна расчеты были выполнены в одномерной модели с учетом К-моды. Особо отметим, что альтернативное динамическое описание эволюции ориентационной степени свободы ядра (К-моды), основанное на алгоритме моделирующем процесс Андерсена Кубо, было ранее предложено и реализовано в работах Еременко с соавторами [21, 22]. Этот альтернативный подход был успешно применен для описания угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер и средних множественностей предразрывных нейтронов. В этих работах расчеты были также выполнены в одномерной ланжевеновской модели с учетом К-моды. Одномерная ланже-веновская модель является лишь первым приближением процесса деления ядра. Поэтому в работах [23, 24] данный подход был обобщен на случай трехмерной ланжевеновской динамики. Большой интерес представляет исследовать применимость трехмерной ланжевеновской модели явно учитывающей эволюцию ориентационной степени свободы (ТГ-моды) для описания формирования массово-энергетических распределений осколков деления и других характеристик распада возбужденных компаунд-ядер.

Важность роли эффектов диссипации в реакциях под действием тяжелых ионов была выявлена более 30 лет назад [5, 6]. Однако выяснение механизма ядерной вязкости в делении и получения надежной оценки ее значения до сих пор являются открытыми вопросами. Святецким с соавторами [25] были получены простые формулы для однотельного механизма вязкости (формулы «стены» и «стены + окно»). Квантовое рассмотрение од-нотельной диссипации показало [26], что оценки ядерной вязкости по этим формулам приводят к чрезмерно большим ее значениям, и ядра при этом механизме оказываются сильно вязкими (хотя формула «стены» правильно описывает зависимость однотельной диссипации от формы делящегося ядра). Поэтому вклад в диссипацию от соударения нуклонов с поверхностью ядра искусственно уменьшают с помощью коэффициента редукции к8 вклада фор-

мулы «стены». Значение к8 варьируют от 0.1 до 1, подбирая его таким образом, чтобы получить лучшее согласие с экспериментальными данными для конкретно измеряемой характеристики. В работах [27, 28], введен коэффициент редукции вклада формулы «стены», который явно зависит от формы ядерной поверхности и рассчитывается на основе общих принципов теории хаоса. Аргументом для выбора такой зависимости является то, что коэффициент редукции вклада формулы «стены» тесно связан с мерой хаотичности движения нуклонов внутри ядра, при его эволюции от основного состояния до разделенных форм. В связи с этим в развиваемой нашей группой модели представляется актуальным использование меры хаотичности в качестве коэффициента редукции вклада формулы «стены».

Отметим, что построение многомерных динамических моделей процесса деления является задачей [29-31], имеющей важное значение в современной ядерной физике. Интерес к таким моделям связан, в первую очередь, с тем, что учет большего числа степеней свободы ядра при его эволюции от основного состояния до поверхности разрыва позволяет описать большую совокупность экспериментальных данных и составить более полную «картину» процесса распада возбужденных компаунд-ядер.

Цель диссертационной работы состоит:

1. В разработке модели распада возбужденных компаунд-ядер явно учитывающей эволюцию ориентационной степени свободы (.К'-моды) как самостоятельной коллективной координаты как в динамической, так и в статистической ветви модели.

2. В систематическом применении развитой модели к описанию характеристик распада компаунд-ядер как по каналу деления, так и по каналу испускания легких предразрывных частиц и гамма-квантов.

3. В получении новой информации о величине однотельной ядерной вязкости и ее зависимости от основной делительной координаты — коорди-

наты удлинения ядра.

Научная новизна:

1. Разработана и апробирована модель распада возбужденных компаунд-

ядер явно учитывающей эволюцию ориентационной степени свободы

как в динамической, так и в статистической ветви модели.

2. Проведен расчет массово-энергетических распределений осколков деления в рамках модели учитывающей эволюцию ориентационной степени свободы. Исследовано влияние if-моды на характеристики массово-

энергетических распределений осколков деления.

3. Изучен эффект от введения в ланжевеновскую модель дополнительных

координат формы и ориентационной степени свободы ядра на скорость и среднее время деления компаунд-ядер и другие временные характеристики деления.

4. Проведены сравнительные расчеты при различных значениях коэффициента редукции ks вклада формулы «стены». В качестве коэффициента редукции ks вклада формулы «стены» также использовалась мера хаотичности ß{q\) одночастичного движения нуклонов внутри ядра, которая рассчитывался для каждой формы ядерной поверхности на основе общих принципов теории хаоса.

Практическая значимость результатов

Результаты диссертации представляют интерес для научных центров по изучению ядерных реакций: Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (Москва, Россия), Лаборатория ядерных реакций им. Г. Н. Флёрова Объединенного института ядерных исследований (Дубна, Россия), ГНЦ Физико-энергетический институт им. А. И. Лейпунского (Обнинск, Россия), УРАН Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова (Гатчина, Россия), НИИ ядерной физики (Томск, Россия), Gesellschaft fuer

Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Université Bordeaux I, (Gradignan, France), Istituto Naziom di Fisica Nucleare (Rome, Italy), Persian Gulf University (Bushehr, Iran), Variable Energy Cyclotron Centre (Kolkata, India) и др.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

В первой главе описана разработанная модель. Обсуждаются вопросы выбора параметризации формы делящегося ядра и коллективных координат. Приведены используемые в модели уравнения Ланжевена [16, 17]. Описаны методы расчета инерционного и фрикционного тензоров и потенциальной энергии ядра. Отдельный параграф посвящен начальным и конечным условиям моделирования. Изложен формализм описания эволюции ориента-ционной степени свободы. Также в главе рассмотрен алгоритм объединения статистической и динамической ветвей расчет, необходимый для учета испарения легких предразрывных частиц.

Во второй главе изучено влияние размерности используемой динамической модели на скорость и среднее время деления возбужденных атомных ядер в многомерной ланжевеновской динамике. Изучен вопрос о влиянии ори-ентационной степени свободы на скорость и среднее время деления. Проведено сравнение динамически рассчитанного стационарного значения скорости деления с результатами обобщенной формулы Крамерса [4] на многомерный случай [32, 33].

Третья глава изучены временные характеристики процесса деления в многомерной ланжевеновской динамике для возбужденных компаунд-ядер в широком диапазоне параметра Z2/А. Сделаны выводы о влиянии определенных стадий эволюции компаунд ядра на длительность процесса деления в зависимости от параметра Z2/А.

В четвертой главе проведено систематическое изучение массово-энергетических распределения осколков деления в реакциях слияния-деления компаунд-ядер в широком интервале параметра Z2 ¡А = 21 -г- 44 и температурой близкой к 1.5 МэВ. Исследовано влияние коэффициента редукции вклада от формулы «стены» однотельного механизма диссипации и jFT-моды на рассчитанные значения параметров массовых и энергетических распределений осколков деления. Изучена зависимость среднего значения предразрывной нейтронной множественности от массы (ni?re(M)} и кинетической энергии {nwe(Ek)) осколков деления.

В заключении формулируются основные выводы диссертации. Все результаты, перечисленные в заключении, получены лично автором.

Апробация работы Результаты, представленные в диссертации, докладывались на международном симпозиуме по экзотическим ядрам «EXON — 2009», Сочи, Россия, 28 сентября — 2 октября 2009 года на Российской научно-практической конференции «Физико-технические проблемы получения и использования пучков заряженных частиц, нейтронов, плазмы и электромагнитного излучения» (с международным участием), Томск, 24 — 26 ноября 2009 года 2; на 45-ой конференции по ядерной физике в Закопане, Закопане, Польша, 30 августа — 5 сентября 2010 года 3; на семинарах кафедры экспериментальной физики и радиофизики Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского 2008 — 2011 годов. По теме диссертации всего опубликовано 9 печатных работ, из которых б — в изданиях, рекомендованных ВАК.

Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики и радиофизики Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского.

1 http://exon2009.jinr.ru/

2 http://elementy.ru/events/old?eventid=428880

3 http://zakopane2010.ifj.edu.pl/

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Анищенко, Юрий Александрович

Заключение

Суммируя все сказанное выше, приведем основные результаты и выводы данной работы

1. Разработана четырехмерная ланжевеновская модель, позволяющая достаточно точно воспроизводить разнообразные экспериментальные данные по характеристикам распада компаунд-ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами, в широкой области энергий возбуждения и в широком интервале параметра делимости.

2. Показано, что при включении в рассмотрение коллективной координаты 2Б расчеты по сравнению с Ш дают увеличение скорости деления от 10% для тяжелых ядер и до 3 10 раз для легких ядер в районе точки Бусинаро-Галлоне. Разница между Ш и ЗБ случаем'достигает 30-40% для тяжелых ядер и 20-170 раз для легких.

3. При переходе от ЗБ к четырехмерной (ЗТ>+К) модели с учетом К-моды наблюдается существенное уменьшение скорости деления и, соответственно, увеличение среднего времени деления. Эффект увеличения среднего времени деления от введения К-моды столь значителен, что он почти полностью компенсирует эффект введения в 1Б динамическую модель второй и третьей коллективных координат, отвечающих за эволюцию перемычки в форме ядра и массовой асимметрии, соответственно. В итоге для реакций, рассмотренных в работе, отличие результатов Ш модели от 3Т> \ К модели составляют всего 5-25%.

4. Проведено сравнение динамически рассчитанного стационарного значения скорости деления с результатами обобщенной формулы Крамерса. При этом согласие уровней в одномерном случае при В$/Т ^ 1 составляет 10-20%. В трехмерном случае крамерсов уровень превышает стационарный в 1.5-2 раза как для легких, так и для тяжелых ядер.

5. На основе изученных временных характеристик процесса деления в многомерной ланжевеновской динамике показано, что временная стадия эволюции от седла к разрыву оказывает значительное влияние на длительность процесса деления для ядер с параметром ¿¡Г2¡А > 39. От 25% до 60% от общего числа предразрывных нейтронов испаряется на стадии спуска от седла к разрыву при температуре 1.5 — 2 МэВ. Выявлено, что влияние стадии релаксации скорости деления существенно только для компаунд-ядер с параметром ¡А > 32. Для более легких ядер вклад данной стадии составляет не более 10% от общего времени деления.

6. Продемонстрировано, что предложенная динамическая модель достаточно точно воспроизводит экспериментально наблюдаемые параметры массово-энергетических распределений осколков и средние предразрыв-ные множественности нейтронов в широком интервале параметра ¡А компаунд-ядер, образованных в реакциях слияния-деления.

7. В четырехмерной ланжевеновской модели впервые использовался коэффициент редукции вклада формулы «стены» явно-зависящий от деформации полученный на основе теории хаоса. Показано, что использование координатно зависимого коэффициента редукции приводит к хорошему согласию рассчитанных значений дисперсий массовых распределений с экспериментом.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, Геннадию Дмитриевичу Адееву, за всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы и ценные советы. Выражаю искреннюю благодарность А. Е. Гегечкори, П. Н. Надточему и Е. Г. Рябову за плодотворную совместную работу. Особо благодарю всех сотрудников кафедры экспериментальной физики и радиофизики физического факультета ОмГУ за поддержку и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Анищенко, Юрий Александрович, 2011 год

Литература

1. Hahn О., Strassmannh F. Über den Nachweis und das Verhalten der bei der Bestrahlung des Urans mittels Neutronen entstehenden Erdalkalimetalle // Die Naturwissenschaften. 1939. Vol. 27. Pp. 11-15.

2. Волков В. В. Ядерные реакции глубоконеупругих передач. Энергоиздат, Москва, 1982. 182 р.

3. Bohr N., Wheeler J. A. The mechanism of nuclear fission // Phys. Rev. 1939. Vol. 56. Pp. 426-450.

4. Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physiea. 1940. Vol. 7. Pp. 284-304.

5. Strutinsky V. M. The fission width of excited nuclei // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 47. Pp. 121-123.

6. Струтинский В. M. Ширина деления нагретых ядер // ЯФ. 1974. Т. 19. С. 259-262.

7. Back В. В., Betts R. R., Gindler J. Е. et al. Angular distributions in heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 195-213.

8. Иткис M. Г., Музычка Ю. А., Оганесян Ю. Ц. и др. Деление возбужденных ядер с Z2/А = 20 — 33: массово-энергетические распределения осколков, угловой момент и капельная модель // ЯФ. 1995. Т. 58. С. 2140-2165.

9. Русанов А. Я., Иткис М. Г., Околович В. Н. Свойства массовых распределений осколков деления нагретых вращающихся яжер // ЯФ. 1997. Т. 60. С. 773-803.

10. Иткис M. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты // ЭЧАЯ. 1998. Т. 29. С. 389.

11. Княжева Г. Н., Иткис М. Г., Козулин Э. М. Влияние входного канала реакции на образование и распад составного ядра 250No // ЭЧАЯ. 2008. Т. 5. С. 40-52.

12. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, . 1986. 538 с.

13. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высш. шк., 1990. 376 с. '■^V-^--'

14. Адеев Г. Д, Гончар И. И, Пашкевич В. В и др. Диффузионная модель, формирования распределений осколков деления // ЭЧАЯ. 1988. Т. 19. С. 1229-1298.

15. Adeev G. D., Pashkevich V. V. Theory of macroscopic fission dynamics // Nucl. Phys. A. 1989. Vol. 502. Pp. 405-422.

16. Abe Y., Grégoire С., Delagrange H. Langevin approach to nuclear dissipative dynamics //J. Phys. Colloques. 1986. Vol. 47. Pp. C4-329-C4-338.

17. Abe Y., Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep. 1996. Vol. 275. Pp. 49-196.

18. Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер / / ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.

19. Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: Incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. Pp. 1540-1544.

20. Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044611.

21. Eremenko D. O., Drozdov V. A., Eslamizadex M. H. et al. Stochastic model of tilting mode in nuclear fission // Phys. At. Nucl. 2006. Vol. 69. Pp. 1423-1427.

22. Drozdov V. A., Eremenko D. 0., Fotina О. V. et al. Stochastic Model of the Tilting Mode in Nuclear Fission // Tours symposium on nuclear physics V, Tours 2003. Vol. 704. Tours, France: AlP Conf. Proc., 2004. Pp. 130-138.

23. Karpov A. V., Hiryanov R. M., Sagdeev A.. V., Adeev G. D. Dynamical treatment of fission fragment angular distribution // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2007. Vol. 34. Pp. 255-269.

24. Хирьянов P. M., Карпов А. В., Адеев Г. Д. Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 1389-1400.

25. Blocki J., Boneh Y., Nix J. R. et al. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei // Ann. Phys. (N. Y.). 1978. Vol. 113. Pp. 330-386.

26. Griffin J. J., Dworzecka M. Classical wall formula and quantal one-body dissipation // Nucl. Phys. A. 1986. Vol. 455. Pp. 61-99.

27. Pal S., Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fissionlike shape evolutions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. Pp. 210-216.

28. Blocki J., Brut F., Srokowski Т., Swiatecki W. J. The order to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 545. Pp. 511-522.

29. Möller P., Sierk A. J., Ichikawa T. et al. Heavy-element fission barriers // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 064304.

30. Randrup J., Möller P. Brownian shape motion on five-dimensional potential-energy surfaces: Nuclear fission-fragment mass distributions // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. P; 132503.

31. Randrup J., Möller P., Sierk A. J. Fission-fragment: mass distribution from strongly damped shape evolution // Phys. Rev. C. 2011. Vol. 84. P. 034613.

32. Jing-Shang Zhang, Weidenmüller H. A. Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 28. Pp. 2190-2192.

33. Weidenmüller H. A., Jing-Shang Zhang. Stationary diffusion over a multidimensional potential barrier: A generalization of Kramers' formula // J. Stat. Phys. 1984. Vol. 34. Pp. 191-201.

34. Brack M., Damgaard Jens, Jensen A. S. et al. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. Pp. 320-405.

35. Trentalange S., Koonin S. E., Sierk A. J. Shape parametrization for liquiddrop studies // Phys. Rev. C. 1980. Vol. 22. Pp. 1159-1167.

36. Серегин А. А. Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли // ЯФ. 1992. Т. 55. С. 2639-2646.

37. Nix J. R. Further studies in the liquid-drop theory of nuclear fission // Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 130. Pp. 241-292.

38. Hasse R. W., Myers W. D. Geometrical Relationships of Macroscopic Nuclear Physics. Springer-Verlag, Heidelberg, 1988. 116 p.

39. Pal S., Chaudhuri G., Sadhukhan J. The role of neck degree of freedom in nuclear fission // Nucl. Phys. A. 2008. Vol. 808. Pp. 1-16.

40. Krappe H. J. Achievements and problems in modelling fission of hot nuclei // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G. N. Smirenkin, Obninsk, 1995 / Ed. by B. D. Kuzmiiiov. SSCRF-IPPE, Obninsk, 1995. Pp. 134:144. " ' ^ ■; A

41. Mamdouh A., Pearson J. M., Rayet M., Tondeur F. Large-scale fission-barrier calculations with the ETFSI method // Nucl. Phys. A. 1998. Vol. 644. Pp. 389-414.

42. Nadtochy P. N., Adeev G. D. Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 72. P. 054608.

43. Davies К. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 13. Pp. 2385-2403.

44. Kelson I. Dynamic calculations of fission of an axially symmetric liquid drop // Phys. Rev. 1964. Vol. 136. Pp. B1667-B1673.

45. Ставинский В. С., Работнов Н .С., Серегин А. А. Вычисление эффективной массы в геометрической модели симметричного деления // ЯФ. 1969. Т. 9. С. 779-782.

46. Ivanyuk F. A., Kolomietz V. M., Magner A. G. Liquid drop surface dynamics for large nuclear deformations //Phys. Rev. C, 1995. Vol. 52. Pp. 678-684.

47. Радионов С. В., Иванюк Ф. Я., Коломиец В. М., Магнер А. Г. Динамика деления возбужденных ядер в рамках модели жидкой капли // ЯФ. 2002. Т. 65. С. 856-863.

48. Lawrence James N. P. Static fission-barrier calculations of a two-parameter liquid drop // Phys. Rev. 1965. Vol. 139. Pp. B1227 B1231.

49. Jeffreys H., Jeffreys B. S. Methods of mathematical physics. Cambridge University Press, 2001. 718 p.

50. Соболев С. Jl. Уравнения математической физики, Под ред. В. С. Рябенького, Ю. А. Горькова. М.: Наука, 1966. 444 с.

51. Randrup J., Swiatecki W. J. Dissipative resistance against changes in the mass asymmetry degree of freedom in nuclear dynamics: The completed wall-and-window formula // Nucl. Phys. A. 1984. Vol. 429. Pp. 105-115.

52. Blocki J. P., Feldmeier H., Swiatecki W. J. Dynamical hindrance to compound-nucleus formation in heavy-ion reactions // Nucl. Phys. A. 1986. Vol. 459. Pp. 145-172.

53. Blocki J., Planeta R., Brzychczyk J., Grotowski K. Fusion-fission dynamics // Z. Phys. A. 1992. Vol. 341. Pp. 307-313.

54. Sierk A. J., Nix J. R. Fission in a wall-and-window one-body-dissipation model // Phys. Rev. C. 1980. Vol. 21. Pp. 982-987.

55. Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions // Proceedings of the International School-Seminar

on Heavy Ion Physics, Dubna, USSR, 1986 / Ed. by M. I. Zarubina, E. V. Ivashkevich. JINR, Dubna, 1987. Pp. 453-464.

56. Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of dissipation in heavy-ion reactions // Proceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Frontiers of Heavy Ion Physics, Dubrovnik, Yugoslavia, 1987 / Ed. by N. Cindro, R. Caplar, W. Greiner. World Sci., Singapore, 1990. Pp. 333-340.

57. Гончар И. И., Геттингер А. Е., Гурьян Л. И., Вагнер В. Многомерная ди-намическо-статистическая модель деления возбужденных ядер // ЯФ. 2000. Т. 63. С. 1778-1797.

58. Pal S., Mukhopadhyay Т. Shape dependence of single, particle response and the one body limit of damping of multipole vibrations of a cavity // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 54. Pp. 1333-1340.

59. Koonin S. E., Randrup J. Classical theory for one-body nuclear dynamics // Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 289. Pp. 475-510.

60. Lichtenberg A. J., Liberman M. A. Regular and Stochastic Motion. Springer Verlag, 1983.

61. Krappe H. J., Nix J. R., Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion elastic scattering, fusion, fission, and ground-state masses and deformations // Phys. Rev. C. 1979. Vol. 20. Pp. 992-1013.

62. Myers W. D., Swiatecki W. J. Anomalies in nuclear masses // Ark. Phys. 1967. Vol. 36. Pp. 343-352.

63. Cohen S., Plasil F., Swiatecki W. J. Equilibrium configurations of rotating charged or gravitating liquid masses with surface tension // Ann. Phys. (N. Y.). 1974. Vol. 82. Pp. 557-576.

64. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 2039-2053.

65. Davies К. T. R., Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 14. Pp. 1977-1994.

66. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика // Теоретическая физика / Под ред. Л. П. Питаевского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 5. 616 с.

67. Bohr A., Mottelson В. R. Nuclear structure. World Scientific., Singapore, 1998. Vol. 2. 748 p.

68. Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion induced fission // Phys. Rep. 1998. Vol. 292. Pp. 131-237.

69. Marten J, Frobrich P. Langevin description of heavy-ion collisions within the surface friction model // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 545. Pp. 854-870.

70. Frobrich P. Fusion and capture of heavy ions above the barrier: Analysis of experimental data with the surface friction model // Phys. Rep. 1984. Vol. 116. Pp. 337-400.

71. Vandenbosch R., Warhanek H., Huizenga J. Transport theories of heavy-ion reactions // Phys. Rev. 1961. Vol. 124. P. 846.

72. Карамян С. А., Кузнецов И. В., Музычка Ю. А. и др. Эффективные моменты инерции тяжелых ядер в седловой точке // ЯФ. 1967. Т. 6. С. 494-504.

73. Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // ЭЧАЯ. 1995. Т. 26. С. 932-1000.

74. Strutinsky V. М., Lyashchenko N. Ya., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model // Nucl. Phys. 1963. Vol. 46. Pp. 639-659.

75. Nix J. R., Swiatecki W.J. Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission // Nucl. Phys. A. 1965. Vol. 71. Pp. 1-94.

76. Brosa U., Grossmann S., Miiller A. Nuclear scission // Phys. Rep. 1990. Vol. 197. Pp. 167-262.

77. Davies К. T. R., Managan R. A., Nix J. R., Sierk A. J. Rupture of the neck in nuclear fission // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 16. Pp. 1890-1901.

78. Startsev A. I. Effect of the finite length coherence on the dynamics of nuclear fission // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G. N. Smirenkin, Obninsk, 1995 / Ed. by B. D. Kuzminov. Obninsk, 1995. Pp. 94-112.

79. Адеев Г. Д., Надточий П. Н. Вероятностный разрыв делящегося ядра на осколки // ЯФ. 2003. Т. 66. С. 647-661.

80. Саупе Г., Сердюк О. И., Адеев Г. Д., Пашкевич В. В. Описание массового и энергетического распределений осколков деления с использованием адиабатического потенциала // ЯФ. 1988. Т. 48. С. 42.

81. Lestone J. P., Sonzogni A. A., Kelly M. P., Vandenbosch R. Near- and sub-barrier fission fragment anisotropies and the failure of the statistical theory of fission decay rates // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1997. Vol. 23. Pp. 1349-1357.

82. Junghans A. R., de Jong M., Clerc H.-G. et al. Projectile-fragment yields as a probe for the collective enhancement in the nuclear level density // Nucl. Phys. A. 1998. Vol. 629. Pp. 635-655.

83. Hansen G., Jensen A. S. Energy dependence of the rotational enhancement factor in the level density // Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 406. Pp. 236-256.

84. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Adeev G. D. Consistent application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei // J. Phys. G: Nucl. Phys. 2003. Vol. 29. Pp. 2365-2380.

85. Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н и др. Деление доактинид-ных ядер. Функции возбуждения реакции (a, f) // ЯФ. 1975. Т. 21. С. 1185-1205.

86. Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Москва. Иностранная литература, 1954. 660 с.

87. Iljinov A. S., Mebel М. V., Bianchi N. et al. Phenomenological statistical analysis of level densities, decay widths and lifetimes of excited nuclei // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 543. Pp. 517-557.

88. Lynn J. E. The Theory of Neutron Resonance Reactions. Clarendon, Oxford, 1968. 325 p.

89. Mavlitov N. D., Probrich P., Gontchar I. I. Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model // Z. Phys. A. 1992. Vol. 342. Pp. 195-198.

90. Tillack G.-R. Two-dimensional Langevin approach to nuclear fission dynamics // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 278. Pp. 403-406.

91. Tillack G.-R., Reif R., Schiilke A. et al. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 296. Pp. 296-301.

92. Wada T., Garjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 538. Pp. 283c-289c.

93. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. Vol. 62. Pp. 251-341.

94. Brinkmann H. C. Brownian motion in a field of force and the diffusion theory of chemical reactions. II // Physica. 1956. Vol. 22. Pp. 149-155.

95. Landauer R., Swanson J. A. Frequency factors in the thermally activated process // Phys. Rev. 1961. Vol. 121. Pp. 1668-1674.

96. Langer J. S. Theory of nucleation rates // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 21. Pp. 973-976.

97. Langer J. S. Statistical theory of the decay of metastable states // Ann. Phys. (N.Y.). 1969. Vol. 54. Pp. 258-275.

98. Brink D. M., Canto L. F. The decay rate in a multi-dimensional fission problem // J. Phys. G: Nucl. Phys. 1986. Vol. 12. Pp. L147-L150.

99. Weidenmuller H. A. Transport theories of heavy-ion reactions // Prog. Part. Nucl. Phys. 1980. Vol. 3. Pp. 49-126.

100. Grange P., Jun-Qing Li, Weidenmuller H. A. Induced nuclear fission viewed as a diffusion process: Transients // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 27. Pp. 2063-2077.

101. Fröbrich P., Tillack G. R. Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 540. Pp. 353-364.

102. Nadtochy P. N., Kelic A., Schmidt K.-H. Fission rate in multi-dimensional Langevin calculations // Phys. Rev. C. 2007. Vol. 75. P. 064614.

103. Gontchar I. I., Fröbrich P. Nuclear fission: combining the dynamical Langevin equation with the statistical model // Nucl. Phys. A. 1993. Vol. 551. Pp. 495-507.

104. Becker R. Theorie der Wärme. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 1966. 320 p.

105. Hofmann H., Nix J. R. Fission dynamics simplified // Phys. Lett. B. 1983. Vol. 122. Pp. 117-120.

106. Bao Jing-Dong, Jia Ying. Determination of fission rate by mean last passage time // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69. P. 027602.

107. Рябов E. Г., Адеев Г. Д. Статические и статистические характеристики нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели, учитывающей конечность ядерных сил // ЯФ. 2005. Т. 68. С. 1583.

108. Гончар И. И., Косенко Г. И. Применима ли формула Крамерса для описания распада высоковозбужденных ядерных систем? // ЯФ. 1991. Т. 53. С. 133-142.

109. Gontchar I. I., Fröbrich P., Pischasov N. I. Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei // Phys. Rev. C. 1993. Vol. 47. Pp. 2228-2235.

110. Frobrich P., Gontehar I. I., Mavlitov N. D. Langevin fluctuation-dissipation dynamics of hot nuclei: Prescission neutron multiplicities and fission probabilities // Nucl. Phys. A. 1993. Vol. 556. Pp. 281-306.

111. Гегечкори A. E., Анищенко Ю. А., Надточий П. H., Адеев Г. Д. Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 2041-2051.

112. Jacquet D., Morjean М. Fission times of excited nuclei: An experimental overview // Progress in Particle and Nuclear Physics. 2009. Vol. 63. Pp. 155-185.

113. Bhatt К. H., Grange P., Hiller B. Nuclear friction and lifetime of induced fission // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 954-968.

114. Понтрягин JI. С, Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3. С. 165-180.

115. Boilley D., Jurado В., Schmitt С. Simple relations between mean passage times and Kramers' stationary rate // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 056129.

116. Forster J. S., Mitchell I. V. Angular momentum dependence of 200Pb fission studies by comparison of 19F on 181Ta with 160 on 182W // Nucl. Phys. A. 1987. Vol. 464. Pp. 497-524.

117. Ньютон Дж. О. Деление ядер под действием тяжелых ионов. // ЭЧАЯ. 1990. Т. 21. С. 821-913.

118. Hofmann Н., Ivanyuk F. A. Mean First Passage Time for Nuclear Fission and the Emission of Light Particles // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90, no. 13. P. 132701.

119. Hofmann H., Magner A. G. Mean first passage time for fission potential having structure // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 68. P. 014606.

120. Hofmann H., Magner A. G. Mean first passage time for fission potential having structure // http://aps.arxiv.org/abs/nucl-th/0304032v2. 2003.

121. Gontchar 1.1., Aktaev N. E. Importance of the relaxation stage for adequate modeling of nuclear fission accompanied by light particle emission // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 80. P. 044601.

122. Anischenko Y. A., Gegechkori A. E., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Fission rate and transient time of highly excited nuclei in multi-dimensional stochastic calculations // International Symposium on Exotic Nuclei, Sochi, Russia, 2009 / Ed. by Y. E. Penionzhkevich, S. M. Lukyanov. Vol. 1224. AIP Conf. Proc., 2010. Pp. 350-355.

123. Jurado В., Schmitt C., Schmidt K.-H. et al. Conditions for the manifestation of transient effects in fission // Nucl. Phys. A. 2005. Vol. 757. Pp. 329-348.

124. Boilley D., Marchix A., Jurado В., Schmidt K.-H. A new formula for the saddle-to-scission time // Eur. Phys. J. A. 2007. Vol. 33. Pp. 47-52.

125. Plasil F., Burnett D. S., Britt H. C., Thompson S. G. // Phys. Rev. 1966. Vol. 142. P. 696.

126. Чубарян Г. Г., Иткис М. Г., Лукьянов С. М. Массово-энергетические распределения осколков и угловой момент при делении возбужденных ядер // ЯФ. 1993. Т. 55. С. 3-29.

127. Karpov А. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 054610.

128. Ryabov E. G., Karpov A. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Application of a temperature-dependent liquid-drop model to dynamical Langevin calculations of fission-fragment distributions of excited nuclei // Phys. Rev. C. 2008. Vol. 78. P. 044614.

129. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65. P. 064615.

130. Moretto L. G. Statistical emission of large fragments: a general theoretical approach // Nucl. Phys. A. 1975. Vol. 247. P. 211.

131. Sobotka L. G., McMahan M. A., McDonald R. J. et al. Compound Nucleus Decay Along the Mass Asymmetry Coordinate and the Role of Businaro-Gallone Point // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 2004.

132. Carjan N., Kaplan M. Asymmetric Fission of 149Yb from the Finite-Range, Rotating-Liquid-Drop Model // Phys. Rev. C. 1992. Vol. 45. Pp. 2185-2195.

133. Bao J., Zhuo Y., Wu X. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations // Z. Phys. A. 1995. Vol. 352. Pp. 321-325.

134. Borunov M. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Nuclear scission and fission-fragment kinetic energy distribution: Study within three-dimensional Langevin dynamics // Nucl. Phys. A. 2008. Vol. 799. P. 56.

135. Viola V. E., Kwiatkowski K., Walker M. Systematics of fission fragment total kinetic energy release // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 31. Pp. 1550-1552.

136. Струтинский В. M. Устойчивость равновесных состояний ядра в капельной модели // ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 1900-1907.

137. Itkis M. G., Oganessian Yu. Ts., Chubarian G. G. et al. Study of fission modes in the neutron-deficient nuclides of Th and Ac / / Proceedings of the EPS XV Nuclear Physics Divisional Conference on Low Energy Nuclear Dynamics (LEND-95), St Petersburg, Russia, April, 1995 / Ed. by Y. T. Oganessian, R. Kalpakchieva, W. von Oertzen. World Scientific, 1995. Pp. 177-180.

138. Hinde D. J., Hilscher D, Rossner H. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics // Phys. Rev. C. 1992. Vol. 45. Pp. 1229-1259.

139. Rossner H., Hilscher D., Hinde D. J. Analysis of pre- and post-scission neutrons emitted in the reaction mTm(3QAr,f) at Etab = 205 MeV // Phys. Rev. C. 1989. Vol. 40. Pp. 2629-2640.

140. Korn Granino Arthur, Korn Theresa M. Mathematical handbook for scientists and engineers. Dover Publications, 2000. 832 p.