Разрыв делящегося ядра на осколки и энергетическое распределение: исследование в многомерном стохастическом подходе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Борунов, Максим Вячеславович

• Борунов, Максим Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борунов, Максим Вячеславович

Введение

Глава I Динамическая модель

§1.1 Многомерные уравнения Ланжевена.

§1.2 Параметризация формы и коллективные координаты

§1.3 Транспортные коэффициенты в уравнениях Ланжевена

§1.4 Расчет двумерных массово-энергетических распределений осколков деления.

§1.5 Потенциальная энергия ядра.

§1.6 Свойства седловых конфигураций в выбранной параметризации

§1.7 Статистическая ветвь расчетов. Объединение динамической и статистической ветвей расчетов

Глава II Критерии разрыва делящегося ядра на осколки

§2.1 Критерий разрыва нулевого радиуса шейки.

§2.2 Критерий разрыва, основанный на гидродинамической нестабильности

§2.2.1 Капиллярная неустойчивость или неустойчивость Рэлея

§2.3 Критерий разрыва конечного радиуса шейки.

§2.3.1 Критерий равенства сил.

§2.3.2 Вариационный расчет в модели жидкой капли

§2.4 Вероятностный критерий разрыва.

Глава III Результаты расчетов и их обсуждение

§3.1 Первый и второй моменты энергетического распределения.

§3.2 Эксцесс и асимметрия энергетического распределения.

§3.3 Аналитическая аппроксимация энергетического распределения осколков деления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрыв делящегося ядра на осколки и энергетическое распределение: исследование в многомерном стохастическом подходе»

Несомненная актуальность практических приложений процесса деления атомных ядер, а также уникальная возможность исследовать свойства ядер в коллективном движении большой амплитуды, обусловили интерес к этой реакции, неослабевающий с момента ее открытия вплоть до наших дней. За более чем полувековую историю изучения процесса деления атомных ядер и благодаря интенсивным исследованиям международного масштаба удалось накопить обширный экспериментальный материал и добиться заметного прогресса в теоретическом осмыслении целого ряда выявленных закономерностей. Однако полного количественного описания всей совокупности имеющейся экспериментальной информации о массово-энергетических (МЭР), зарядовых и угловых распределений осколков деления к настоящему моменту достичь не удалось. Проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемых МЭР тесно связана с динамикой протекания процесса деления, с термодинамическими и диссипативными свойствами делящихся ядер, с критериями разрыва делящегося ядра на осколки. Поэтому в последнее время основное развитие в теоретических исследованиях получило изучение динамики деления.

Стохастические методы традиционно широко используются в естественных науках: физике, химии, астрономии, биологии, в технических приложениях радиофизики и квантовой оптики. Интерес к случайным флуктуациям и описывающим их стохастическим методам чрезвычайно возрос в последние два десятилетия, что нашло свое отражение в недавних монографиях [1-3], а также в обширной библиографии этих монографий.

Начиная со времени открытия ядерных реакций глубоконеупругих передач [4] — с середины 1980-х годов, стохастические методы широко используются и в ядерной физике. Использование стохастических уравнений в ядерной физике берет свое начало с классической работы Крамерса [5]. В своем подходе, названном диффузионной моделью, Крамере предложил описывать процесс деления ядер с помощью небольшого числа степеней свободы, которые взаимодействуют с «термостатом», образованным всеми остальными одночастичными степенями свободы. В этом случае динамика коллективных переменных становится похожа на динамику броуновской частицы, так как в одном акте взаимодействия с одночастичной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину Адекватными динамическими уравнениями в такой физической модели является уравнение Фоккера-Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов или физически эквивалентные ему уравнения Ланжевепа.

Используя аналогию динамики деления ядра с движением броуновских частиц, Крамере вычислил скорость диффузии броуновских частиц, первоначально находившихся в потенциальной яме, через потенциальный барьер, разделяющий начальное и конечное состояние системы. В своем подходе Крамере уточнил полученную годом раньше формулу Бора и Уилле-ра [6] для делительной ширины. Уточняющий крамерсов фактор учитывает влияние ядерной вязкости на скорость деления (делительную ширину).

Стохастический подход, основанный на УФП, успешно применялся для решения многих задач коллективной ядерной динамики: теории глубоконе-упругих передач [7], вынужденного деления [8-10], описания множественности предразрывных нейтронов [11]. В последнее время предпочтение, тем не менее, отдается альтернативному использованию уравнений Ланжевена, поскольку точное решение УФП возможно лишь для ограниченного числа модельных случаев малой размерности [8], а в общем случае требует использования различных приближений. В то же время, уравнения Ланжевена могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных упрощений и для многомерного случая. Однако и при использовании уравнений Ланжевена на нынешнем этапе развития вычислительной техники возникают серьезные трудности. Для описания большого числа экспериментально наблюдаемых характеристик процесса деления необходимо введение как можно большего числа коллективных координат. Введение же каждой новой координаты значительно увеличивает объем вычислений. Поэтому естественно, что первыми были проведены одномерные, а затем и двухмерные ланжевеновские расчеты. Одномерные расчеты позволяют вычислить вероятность деления и множественности испаряющихся предразрывных частиц. Двухмерные модели кроме этого дают возможность рассчитать либо массовое распределение осколков, соответствующее наиболее вероятной кинетической энергии осколков, либо энергетическое распределение, соответствующее заданному отношению масс осколков.

Экспериментально наблюдаемое двухмерное МЭР невозможно получить в рамках одно- и двухмерных ланжевеновских расчетов. Для этого необходимо как минимум три коллективные координаты. Для одновременного описания еще и зарядового распределения неизбежно требуется введение и четвертой коллективной координаты, определяющей разделение заряда между осколками.

Вопрос об условии разрыва делящегося ядра на осколки неизбежно встает при любом теоретическом описании и моделировании процесса деления, одним из отличительных признаков которого является разделение исходного компаунд-ядра преимущественно па два осколка. Под разрывом здесь следует понимать переход от единой конфигурации ядра, которая становится по ряду причин неустойчивой, к конфигурации системы уже разделенных осколков. Проблема разрыва перемычки(шейки) между будущими осколками поднималась неоднократно [12-21], однако в полной мере до сих пор еще не решена, и сегодня остается одной из самых неясных в физике деления. Проблема существенно осложняется тем, что ни сам момент разрыва ядра на осколки, ни форма ядра перед разрывом не являются экспериментально наблюдаемыми, и информация о них может быть получена только при сопоставлении ряда экспериментально наблюдаемых величин с результатами расчетов, выполненных в рамках тех или иных моделей или подходов, описывающих процесс деления атомного ядра. В качестве таких экспериментально наблюдаемых величин можно использовать энергетическое распределение осколков деления. В настоящей работе использовались его первые четыре момента. Следует отметить, что в теории деления в основном применяются два критерия (условия) разрыва, которые являются очевидными предельными случаями по отношению друг к другу. Так, например, в многочисленных работах Никса и др. [22-26] и в работах других групп [27-30] за критерий разрыва принимается условие обращения в нуль радиуса шейки, Ду = 0. Хотя данное условие разрыва является согласованным в моделе жидкой капли (МЖК) с резкой поверхностью ядра [12-15,31], но оно неудовлетворительно [16], так как описание ядра в МЖК теряет смысл, когда радиус шейки становится сравнимым с расстоянием между нуклоиами [16]. Привлекательным с физической точки зрения является определение условия разрыва на основе критерия неустойчивости ядра относительно вариации толщины его шейки [16], когда исчезает гребень, разделяющий долины деления и разделенных осколков. Данное условие разрыва соответствует предразрывпым конфигурациям делящегося ядра с конечным радиусом шейки, в среднем равным О.ЗЯо (Яо — радиус исходного сферического ядра) [12-16,32-35]. Другим физически разумным и приемлемым является критерий разрыва ядра, основанный на балансе сил кулоновского отталкивания будущих осколков и ядерного притяжения между ними [36]. В моделе случайного разрыва Брозы и др. [17,18] использовался критерий гидродинамической нестабильности шейки относительно разрыва, который также приводит к предразрывным конфигурациям ядра с радиусом шейки Ду — 0.3 — 0.4/?о

Начало теоретического изучения вопроса разрыва делящегося ядра на осколки было положено в работах Струтинского с соавт. [12-15]. В этих работах на основе решения иптегродиффереициального уравнения в МЖК было впервые дано физически последовательное определение критической конфигурации делящегося ядра как узкой области деформаций, в которой на энергетической поверхности образуется выход из долины деления (непрерывных форм ядра) в долину разделенных осколков [12-15]. В. М. Струтииским с соавторами было установлено, что при деформациях, больших этой данной критической деформации не существует сплошных фигур условного равновесия, а есть только фигуры условного равновесия, соответствующие разделенным осколкам. Данная критическая деформация интерпретируется как точка разрыва делящегося ядра на осколки. Ей соответствует расстояние между центрами тяжести будущих осколков Dcnt ~ 2.3jRo и радиус шейки ядра RN ~ 0.24Д0 Для Z2/А ~ 0 и pent ^ 2.38i?0 и Ду — 0.27i?o для Z2/А 36. Суммируя все вышесказанное, можно сделать вывод о том, что в большинстве теоретических подходов разрыв ядра на осколки происходит при достаточно толстой шейке, в среднем соответствующей Rn — О.ЗЛо

Заметим, что наличие двух долин на энергетической поверхности в МЖК и хребта между ними, исчезающего для вытянутых форм, подтверждено микроскопическими расчетами по методу Хартри-Фока [37].

Особо отметим, что условие разрыва делящегося ядра на осколки является одним из двух конечных условий при моделировании распада возбужденного составного ядра. Вторым конечным условием является образование остатка испарения.

Остаток испарения регистрируется при уменьшении энергии возбуждения ядра в результате эмиссии легких частиц и 7-квантов до значений + Ecoi^q, р) < min (Б/, где Bf и Вп — соответственно величина барьера деления и энергия связи нейтрона.

При моделировании динамики деления в многомерном подходе считается, что ядра делятся на осколки при достижении поверхности разрыва. Поверхность разрыв - это геометрическое место точек разрывных конфигураций ядра. В случае N коллективных координат поверхность разрыва будет гиперповерхностью размерности N — 1. Например, в двухмерном случае поверхностью разрыва является линия. В трехмерном случае это будет поверхность.

Выбор условия разрыва особенно сильно влияет на такие важные характеристики процесса деления, как средние значения и дисперсии энергетических распределений осколков деления. Такая чувствительность параметров энергетического распределения очевидна: в основном кинетическая энергия осколков определяется энергией их взаимодействия в момент разрыва.

Во всех упомянутых теоретических подходах критическая деформация ядра в разрыве оказывается практически постоянной в широком интервале делящихся ядер. Важным следствием постоянства критической деформации для широкого круга ядер, как отмечено в работах [12-15], является линейный вид зависимости средней кинетической энергии осколков деления (Ек) от параметра Z2/Л1/3, что собственно и составляет полуэмпирический закон, установленный Терреллом па основе анализа экспериментальных данных [38]. На данный момент все наиболее известные систематики экспериментальных данных по (Ек) [19,38] используют линейный вид зависимости {Ек) от Z2/А1/3, но с различными коэффициентами. Величина этих коэффициентов, в частности, зависит от расстояния между центрами масс формирующихся осколков непосредственно перед разрывом на осколки. Во всех условиях разрыва предполагается, что исходное компаунд-ядро, достигнув в процессе своей эволюции критической деформации, которая может соответствовать тому или иному условию разрыва, с единичной вероятностью делится на осколки. В недавней работе [39] был предложен вероятностный критерий разрыва ядра на осколки. В этом подходе предполагается, что существует ненулевая вероятность разделения ядра на осколки после появления шейки в форме ядра. Динамические расчеты, проведенные в [39], показали, что при использовании однотельного механизма ядерной вязкости данный критерий разрыва дает результаты для наиболее вероятной критической деформации, близкие к результатам, найденным в работах Струтинского с соавт. [12-15].

Теоретические оценки третьего и четвертого моментов энергетического распределения осколков деления атомного ядра в рамках ланжевсновского формализма были даны в работе [40]. В этой же работе [40] был проведен анализ критериев разрыва делящегося ядра на осколки, критерий нулевой шейки, например, не давал хорошего согласия с экспериментом. Следует' отметить, что в работе [40] были представлены расчеты двухмерной лап-жевеновской динамики, в то время как в настоящей работе использовалась трехмерная модель.

Целью настоящей работы являлось систематическое описание первых четырех моментов энергетического распределения осколков деления, а также других экспериментально наблюдаемых величин, в рамках трехмерной лаижевеновской динамики деления при использовании различных критериев разрыва ядра на осколки традиционных для современной теории деления. В качестве условий разрыва мы применяли критерий равенства нулю радиуса шейки Д/\г = 0, критерий конечного радиуса шейки Ду = 0.3/?о и вероятностный разрыв. Используя экспериментальные данные по всем наблюдаемым характеристикам, нам хотелось бы отобрать один или несколько критериев, которые лучше других описывают экспериментальные данные. В проведенном анализе величина ядерной вязкости не варьировалась.

Данные по средней кинетической энергии осколков (Ек) - первому моменту энергетического распределения, довольно часто использовались [19, 24,36,41,42] в динамических вычислениях, в том числе, и в двумерных лан-жевеновских расчетах [40] для определения механизма и величины ядерной вязкости [36,43-45].

Хотелось бы также подчеркнуть, что систематические расчеты МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов, проведенные в последние годы [41, 46] позволили сделать однозначный выбор в длительной дискуссии относительно того, какой механизм ядерной вязкости (двухтелыюй или однотельной) реализуется при делении возбужденных ядер. Одновременное описание параметров МЭР осколков и средней множественности предразрывных нейтронов достигается при однотельном механизме вязкости в его модифицированном варианте с коэффициентом редукции вклада от формулы стены к8 = 0.25 — 0.5 [41]. Однако, детальный анализ зависимости параметров энергетического распределения от дисси-пативных эффектов показывает, что влияние этих эффектов трудноотличимо от влияния параметризации формы и количества коллективных координат, использованных в расчетах [47]. Поэтому возникающая неопределенность в результате анализа энергетического распределения не позволяет однозначно определить величину ядерной вязкости.

В наших расчетах мы использовали модифицированный однотельный механизм с коэффициентом редукции вклада формулы стены к8 = 0.25, поскольку именно это значение приводило к хорошему описанию [33,41] как параметров МЭР, так и средней множественности предразрывных нейтронов при делении возбужденных ядер. Кроме того, это значение близко к значению к8 = 0.27, которое было определено из анализа экспериментальных данных по ширинам гигантских резонансов [43,44] независимо от деления.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на V и VI международных конференциях "Ядерная и радиационная физика" в г. Ал-маты, Казахстан, сентябрь 2005 года и июнь 2007 года, соответственно, на научных семинарах кафедры теоретической физики и физического факультета ОмГУ им. Достоевского и опубликованы в 5 печатных работах [48-52]

В первой главе описана модель, на основе которой получены все основные результаты в рамках трехмерных ланжевеновских расчетов. В ней представлены коллективные координаты, транспортные коэффициенты, статистическая ветвь расчетов и другие ингридиенты модели.

Во второй главе представлены различные критерии разрыва, применяемые в современной физике деления атомных ядер.

В третьей главе представлены и проанализированы результаты расчетов.

В заключении диссертации сделаны основные выводы и обсуждены перспективы будущего применения многомерного стохастического подхода для описания динамики реакций деления ядер.

Работа выполнена на кафедрах Теоретической физики и Экспериментальной физики Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Борунов, Максим Вячеславович

Заключение и выводы

На основе проведенных трехмерных ланжевеновских расчетов дана динамическая интерпретация средней кинетической энергии осколков деления. Из анализа значений дисперсии сделан вывод о недостаточном разнообразии форм выбранной параметризации. Используемая модель позволяет получать значения высших моментов энергетического распределения, которые удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Проведено сравнение расчета моментов энергетического распределения настоящей работы с результатами двумерных расчетов, что позволило сделать вывод о целесообразности включения третьей координаты. Ниже представлены более детальные выводы.

• Среднее расстояние между будущими осколками в момент разрыва линейно увеличивается с ростом кулоновского параметра. Оно меняется от 2.37До для 142Се до 2.65Я0 для 256Ет

• Увеличение среднего расстояния с ростом кулоновского параметра не является настолько значительным, чтобы систематика Виолы, предполагающая постоянство среднего расстояния между осколками в момент разрыва, нарушалась даже для тяжелых ядер.

• Вероятностный критерий разрыва ядра на осколки приводит к почти полной компенсации вкладов энергии ядерного притяжения и предразрывной энергии

Все три критерия разрыва достаточно точно описывают первый момент энергетического распределения, отклонение от систематики Виолы [119] составляет не больше 5%. В области тяжелых ядер значения средней кинетической энергии, полученные для вероятностного критерия разрыва и для условия разрыва Ям = О.ЗДо) лучше согласуются с систематикой Виолы, а значения, полученные для критерия нулевой шейки, лучше описываются систематикой, описанной в работах [19,109].

Все три критерия воспроизводят резкий рост значений дисперсии энергетического распределения для тяжелых ядер Z2/А1 /Ъ > 1200, наблюдаемый на эксперименте.

Все критерии разрыва ядра дают меньшие значения дисперсии, чем экспериментальные данные. Это может быть связано с недостаточным разнообразием предразрывных форм в используемой параметризации.

Все критерии разрыва удовлетворительно описывают экспериментальные данные по третьему и четвертому моментам энергетического распределения. Однако, недостаточная статистика как экспериментальных, так и теоретических расчетов не позволяет сделать значимые заключения.

Хорошее согласие значений, полученных для критерия нулевой шейке с экспериментальными данными, несмотря на то, что этот критерий по принципиальным причинам давно не используется в физике деления. Хорошее согласие с экспериментом может быть связано с тем, что критерий нулевой шейки эффективно учитывает послеразрывное движение осколков деления.

• Все моменты энергетического распределения с первого по четвертый существенно меняются при включении третьей координаты.

Перспективы развития модели представляются в следующих улучшениях:

• Развитие модели с числом коллективных координат N > 3, как это показано в оригинальной работе Брозы с соавторами [17,18].

• Учет зависимости коэффициента редукции от формулы стены от деформаций [96]

• Использование в расчетах температурной зависимости параметров жидкой капли, в том числе и в модели с конечным радиусом действия ядерных сил

Благодарности

Выражаю глубокую признательность своему научному руководителю — Адееву Геннадию Дмитриевичу за постановку задач и неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Я благодарен ему за большое терпение, понимание и участие, порой, даже при решении не научных проблем и вопросов. Я искренне признателен Русанову Александру Яковлевичу за постоянный интерес к работе, ценные замечания и обсуждения.

Хочу выразить признательность своему коллеге по работе Надточему Павлу Николаевичу, теснейшее сотрудничество с которыми и поддержка неоценимы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борунов, Максим Вячеславович, 2009 год

1. Risken Н. The Fokker-Plank equation. 2nd edition. // Berlin. -Springer. - 1989. - 540 p.

2. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. // Москва. Мир. - 1986. - 526 с.

3. Ван-Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. // Москва. Высшая школа. - 1990. - 376 с.

4. Волков В. В. Ядерные реакции глубоконеупругих передач. // Москва. Энергоиздат. - 1982. - 183 с.

5. Kramers Н. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. - Vol. 7. - P. 284-304.

6. Bohr N., Wheeler J. A. The mechanism of nuclear fission. // Phys. Rev. -1939. Vol. 56. - P. 426-450.

7. Feldmeier W. J. Transport phenomena in dissipative heavy-ion collisions: The one-body dissipation approach. // Rep. Prog. Phys. 1987 - Vol. 50 -P. 915-994.

8. Zhang Jing-Shang, Weidenmtiller H. A. Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier. / / Phys. Rev. C. 1983. - Vol. 28. - P. 2190-2192.

9. Grange P. Effects of transients on particle emission prior to fission in a transport description of the fission process. // Nucl. Phys. A. 1984. -Vol. 428. - P. 37-62.

10. Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писчасов Н. И., Сердюк О. И. Диффузионная модель формирования распределений осколков деления. // ЭЧАЯ. 1988. - Том 19. - С. 1229-1298.

11. Delagrange H., Grégoire С., Scheuter F., and Abe Y. Dynamical decay of nuclei at high temperature: competition between particle emission and fission decay. // Z. Phys. A. 1986. - Vol. 323. - P. 437-449.

12. Strutinsky V. M., Lyashchenko N. Ya., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model. // Nucl. Phys. 1963. - Vol. 46. -P. 639-659.

13. Струтинский В. M., Лященко H. Я., Попов H. А. Симметричные фигуры равновесия в модели ядра с резкой поверхностью (капельная модель). // ЖЭТФ. 1962. - Том 43. - С. 584-594.

14. Струтинский В. М. Равновесная форма ядра в капельной модели с переменным поверхностным натяжением. // ЖЭТФ. 1963. - Том 45. -С. 1891-1899.

15. Струтинский В. М. Устойчивость равновесных состояний ядра в капельной модели. // ЖЭТФ. 1963. - Том 45. - С. 1900-1907.

16. Brack M., Damgaard J., Jensen A. S., Pauli H. C., Strutinsky V. M., Wong C. Y. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process. // Rev. Mod. Phys. -1972. Vol. 44 - P. 320-405.

17. Brosa U., Grossmann S. In the exit channel of nuclear fission. // Z. Phys. -1983. Vol. A310. - P. 177-187.

18. Brosa U, Grossmann S., and Miiller A. Nuclear scission. // Phys. Rep. -1990. Vol. 197. - P. 167-262.

19. Иткис M. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты. // ЭЧАЯ. -1998. Том 29. - С. 389-488.

20. Старцев А. И. Эффект конечности длины когерентности в динамике деления ядер. // Proceedings of the XIHth Meeting on "Physics of Nuclear Fission"(Obninsk, Russia, 1995) SSCRF-IPPE: edited by B. D. Kuzminov, 1995. - P. 94-112.

21. Рубченя В. А,, Явшиц С. Г. Динамические процессы на конечной стадии деления атомных ядер. // ЯФ. 1984. - Том 40. - С. 649-658.

22. Nix J. R., Swiatecki W. J. Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys. 1965. - Vol. 71. - P. 1-94.

23. Nix J. R. Further studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys. A. 1969. - Vol. 130. - P. 241-292.

24. Davies К. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 13. - P. 2385-2403.

25. Negele J. W., Koonin S. E., Moller P., Nix J. R. Dynamics of induced fission. // Phys. Rev. C. 1978. - Vol. 17. - P. 1098-1115.

26. Sierk A. J., Koonin S. E., Nix J. R. Modified one-body nuclear dissipation. // Phys. Rev. C. 1978. - Vol. 17. - P. 646-653.

27. Hasse R. W. Dynamic model of asymmetric fission. // Nucl. Phys. A. -1969. Vol. 128. - P. 609-631.

28. Hasse R. W. Fission of heavy nuclei at higher excitation energies in a dynamic model. // Phys. Rev. C. 1971. - Vol. 4. - P. 572-580.

29. Tillack G.-R., Reif R., Schulke A., Frôbrich P., Krappe H. J., Reusch H. G. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission. // Phys. Lett. B. 1992. - Vol. 296. - P. 296-300.

30. Tillack G.-R. Two-dimensional Langevin approach to nuclear fission dynamics. // Phys. Lett. B. 1992. - Vol. 278. - P. 403-406.

31. Cohen S., Plasil F., Swiatecki W. J. Equilibrium configurations of rotating charged or gravitating liquid masses with surface tension. II. // Ann. Phys. 1974. - Vol. 82. - P. 557-596.

32. Bao J., Zhuo Y., Wu X. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations. // Z. Phys. A. 1995. -Vol. 352. P. 321-325.

33. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., and Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei. // Phys. Rev. C. 2001. -Vol. 63. - P. 054610.

34. Надточий П. H., Карпов А. В. и Адеев Г. Д. Ланжевеновская динамика деления нагретых вращающихся ядер: систематическое применение к тяжелым ядрам с Z2/A = 34 42. // ЯФ. - 2002. - Том 65. -С. 832-846.

35. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach. // Phys. Rev. C. 2002. - Vol. 65. - P. 064615.

36. Davies K. T. R., Managan R. A., Nix J. R., Sierk A. J. Rupture of the neck in nuclear fission. // Phys. Rev. C. 1977. - Vol. 16. - P. 1890-1901.

37. Berger J. F., Girod M., Gogny D. Microscopic analysis of collective dynamics in low energy fission. // Nucl. Phys. A. 1984. - Vol. 428. -P. 23c-36c.

38. Terrell J. Fission Neutron Spectra and Nuclear Temperatures. // Phys. Rev. 1959. - Vol. 113. - P. 527-541.

39. Адеев Г. Д., Надточий П. H. Вероятностный разрыв делящегося ядра на осколки. // ЯФ. 2003. - Том 66. - С. 647-661.

40. Косенко Г. И., Гончар И. И., Сердюк О. И., Писчасов Н. И. Расчет моментов энергетического распределения осколков деления ядер методом уравнений Ланжевена. // ЯФ. 1992. - Том 55. - С. 920-928.

41. Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер. // ЭЧАЯ. 2005. - Том 36. - С. 732-820.

42. Blocki J., Boneh Y., Nix J. R., Randrup J., Robel M., Sierk A. J., Swi§,tecki A. J. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei. // Ann. Phys. (N.Y.). 1978. - Vol. 113. - P. 330-386.

43. Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions. // Proceedings of the International School—

44. Seminar on Heavy Ion Physies(Dubna, USSR, September 1986). -Dubna, JINR, 1987. P. 453-464.

45. Sierk A. J., Nix J. R. Fission in a wall-and-window one-body-dissipation model. // Phys. Rev. 1980. V. C21. P. 982-987.

46. Abe Y.j Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics. // Phys. Rep. 1996. - Vol. 275. - P. 49-196.

47. Krappe H. J. Achievements and problems in modeling fission of hot nuclei // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G.N.Smirenkin,(Obninsk, 1995). Obninsk. 1995. -P. 134-144.

48. Borunov M. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Nuclear scission and fission-fragment kinetic-energy distribution: Study within three-dimensional Langevin dynamics. // Nucl. Phys. A. 2008. - Vol. 799. - P. 56-83.

49. Борунов M. В., Надточий П. H., Адеев Г. Д., Динамическое описание моментов энергетического распределения осколков деления и разрыв делящегося ядра // ЯФ. 2007. - Том 70. - С. 1897-1909.

50. Борунов М. В., Адеев Г. Д. Точность описания седловых конфигураций в {с, /г, се}—параметризации. //Вестник Омского Университета. -2008. Ш. - С. 41-45.

51. Борунов М. В., Адесв Г. Д. Применение функции Грамма-Шарлье для расчета высших моментов энергетического распределения осколков деления //Вестник Омского Университета. 2008. - №2. - С. 24-28.

52. Надточий П. Н., Борунов М. В., Адеев Г. Д. Динамическая интерпретация систематики Виолы и разрыв делящегося ядра на осколки //Вестник Омского Университета. 2005. - №1. - С. 5-16.

53. Trentalange S., Koonin S. Е., and Sierk A. J. Shape parametrization for liquid-drop studies. // Phys. Rev. C. 1980. - Vol. 22. - P. 1159.-1167.

54. Adeev G. D., Gamalya I. A., and Cherdantsev P. A. Energy surfaces of 238U in parametrization of Cassinian ovaloids. // Phys. Lett. B. 1971. -Vol. 35. - P. 125-128.

55. Adeev G. D. and Cherdantsev P. A. Dependence of mass fission asymmetry on the compound excitation energy. // Phys. Lett. B. -1972. -Vol. 39. P. 485.-488.

56. Maruhn J., Greiner W. The asymmetric two-centre shell model. // Z. Phys. 1972. - Vol. 251. - P. 431-457.

57. Pauli H. C. On the shell model and its application to the deformation energy of heavy nuclei. // Phys. Rep. 1973. - Vol. 7. - P. 35-100.

58. Adeev G. D., Pashkevich V. V. Theory of macroscopic fission dynamics. // Nucl. Phys. A. 1989. - Vol. 502. - P. 405c-422c.

59. Сердюк О. И., Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писча-сов Н. И. Массово-энергетическое распределение осколков деления в диффузионной модели. // ЯФ. 1987. Том 46. - С. 710-721.

60. Косенко Г. И., Кол яри И. Г., Адеев Г. Д. Применение объединенного динамическо-испарительного подхода для описания деления, индуцированного тяжелыми ионами. // ЯФ. 1997. Том 60. С. 404-412.

61. Косенко Г. И., Ванин Д. В., Адеев Г. Д. К расчету множественности послеразрывных нейтронов деления возбужденных ядер. // ЯФ. 1998. Том 61. - С. 416-420.

62. Mamdouh A., Pearson J. М., Rayet М. and Tondeur F. Large-scale fission-barrier calculations with the ETFSI method. // Nucl. Phys. A. -1998. Vol. 644. - P. 389-414.

63. Davies К. T. R. and Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 14. - P. 1977-1994.

64. Ставинский В. С., Работнов Н. С., Серегин А. А. Геометрическая модель симметричного деления. // ЯФ. 1968. - Том 7. - С. 1051-1055.

65. Серегин А. А. Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли. // ЯФ. 1992. - Том 55. - С. 26392646.

66. Ivanyuk F. A., Kolomietz V. М., Magner A. G. Liquid drop surface dynamics for large nuclear deformations. // Phys. Rev. C. 1995. -Vol. 52. - P. 678-684.

67. Радионов С. В., Иванюк Ф. Я., Коломиец В. М. и Магнер А. Г. Динамика деления возбужденных ядер в рамках модели жидкой капли. // ЯФ. 2002. - Том 65. - С. 856-863.

68. Randrup J. and Swiatecki W. J. One-body dissipation and nuclear dynamics. // Ann. Phys. (N.Y.). 1980. - Vol. 125. - P. 193-226.

69. Blocki J., Shi J.-J., Swiatecki W. J. Order,''chaos and nuclear dynamics. // Nucl. Phys. A. 1993. - Vol. 554. - P. 387-412.

70. Pal S. and Mukhopadhyay T. Shape dependence of single particle response and the one body limit of damping of multipole vibrations of a cavity. // Phys. Rev. C. 1996. - Vol. 54. - P. 1333-1340.

71. Mukhopadhyay T. and Pal S. Chaos in single particle motion and one body dissipation. // Phys. Rev. C. 1997. - Vol. 56. - P. 296-301.

72. Pal S. and Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fissionlike shape evolutions. // Phys. Rev. C. 1998. - Vol. 57. - P. 210-216.

73. Chaudhuri G. and Pal S. Fission widths of hot nulei from Langevin < dynamics. // Phys. Rev. C. 2001. - Vol. 63. - P. 064603.

74. Chauduri G. and Pal S. Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langevin dynamics of nuclear fission. // Phys. Rev. C. -2002. Vol. 65. - P. 054612.

75. Chauduri G. and Pal S. Evaporation residue cross-sections as a probe for nuclear dissipation in the fission channel of a hot rotating nucleus. // Eur. Phys. J. A. 2003. - Vol. 18. - P. 9-15.

76. Blocki J., Brut F., Srokowski T., and Swiatecki W. J. The order to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes. // Nucl. Phys. A. 1992. -Vol. 545. - P. 511c-521c.

77. Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion-induced fission. // Phys. Rep. 1998. -Vol. 292. - P. 131-237.

78. Wegmann G. Static viscosity of nuclear matter. // Phys. Lett. B. 1974. -Vol. 50. - P. 327-329.

79. Paul P. and Thoennessen M. Fission time scales from giant-dipole resonances. // Ann. Rev. Part. Nucl. Sci. 1994. - Vol. 44. - P. 65108.

80. Hofman D. J., Back B. B., Dioszegi I., Montoya C. P., Schadmand S., Varma R., and Paul P. Viscosity of saddle-to-scission motion in hot 240Cf from giant dipole resonance 240O/ yield // Phys. Rev. Lett. 1994. -Vol. 72. - P. 470-473.

81. Myers W. D. and Swiatecki W. J. Anomalies in nuclear masses. // Ark. Phys. 1967. - Vol. 36. - P. 343-352.

82. Krappe H. J., Nix J. R., and Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion-elastic scattering, fusion, fission and ground state masses and deformations. // Phys. Rev. C. 1979. - Vol. 20. - P. 992-1013.

83. Hasse R. W. and Myers W. D. Geometrical Relationships of Macroscopic Nuclear Physics. //Berlin. Springer-Verlag. - 1988. - P. 121.

84. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei. // Phys. Rev. C. -1986. Vol. 33. - P. 2039-2053.

85. Davies K. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution. // Phys. Rev. C. 1976. - Vol. 14. - P. 1977-1994.

86. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 5. Статистическая физика. // Москва. Наука. - 1976. - С. 64.

87. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Том 2 // Москва. -Мир. 1977. - С. 534.

88. Balian R., Bloch С. Distribution of eigenfrequencies for the eave equation in a finite domain I. three-dimensional problem with smooth boundary surface. // Ann. Phys. 1970. - Vol. 60. - P. 401-447.

89. Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н., Смирепкин Г. Н., Тишин А. С. Деление доактинидных ядер. Функции возбуждения реакции (а, /). // ЯФ. 1975. - Том 21. - С. 1185-1205.

90. Cohen S., Swiatecki W. J. The deformation energy of charged drop. Part V: results of electronic computer studies. // Ann. Phys. (N.Y.). 1963. -Vol. 22. - P. 406-437.

91. Green A. E. S. Nuclear Physics. // (McGraw-Hill, New York, 1985), 185.

92. Strumberger E., Ditrich K., and Pomorski K. A more detailed calculation of particle evaporation and fission of compound nuclei. // Nucl. Phys. A. -1991. Vol. 529. - P. 522-564.

93. Mavlitov N. D., Frobrich P., and Gontchar I. I. Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model. // Z. Phys. A. 1992. - Vol. 342. - P. 195198.

94. Игнатюк А. В. Статистические свойства возбужденных атомных ядер. // Москва. Энергоатомиздат. - 1983. - С. 175.

95. Junghans A. R., de Jong M., Clerc H.-G., Ignatyuk A. V., Kudyaev G. A. and Schmidt K.-H. Projectile-fragment yields as a probe for the collective enhancement in the nuclear level density. // Nucl. Phys. A. 1998. -Vol. 629. - P. 635-655.

96. Santanu P., Chaudhuri G., Sadhukhan J. The role of neck degree of freedom in nuclear fission. // Nucl. Phys. A. 2008. - Vol. 808. - P. 1-16.

97. Rayleigh J. W. Proc. London Math Soc. X, 4 (1878)

98. Lamb H.: Hydrodynamics pp.472-473. New York: Dover 1945

99. Duijvestijn M. C., Koning A. J., and Hambsch F.-.O. Mass distribution in nucleon-induced fission at intermediate energies. // Phys. Rev. C. -2001. Vol. 64. - P. 014607.

100. Gontchar G. I., Kosenko G. I. The fragment kinetic-energy distribution and scission conditions in fission of highly excited nuclei. // International School-Seminar on Heavy Ion Physics(Dubna, Russia, May 10-15 1993). -Dubna, JINR, 1993 P. 40-41.

101. Krappe H. J., Towards a consistent description of particle evaporation during the fusion-fission reaction. // Proceedings of the International Workshop on Dynamical Aspects of Nuclear fission(Slovakia, Smolenice, 1991) JINR, Dubna, 1992, - P. 5170.

102. Карамян С. А., Оганесян Ю. Ц., Пустыльник Б. И. Влияние конечной стадии процесса деления на дисперсии распределений осколков по массе и заряду. // ЯФ. 1970. - Том 11. - С. 982-991.

103. Norenberg W. Theoretical Study on Scission Configurations of Fissioning Pu240 and Pu242. // Phys. Rev. C. 1972. - Vol. 5. - P. 2020-2030.

104. Wilkins B. D., Steinberg E. P., and Chasman R. R. Scission-point model of nuclear fission based on deformed-shell effects. // Phys. Rev. C. -1976. Vol. 14. - P. 1832-1863.

105. Royer G. and Remaud B. Fission processes through compact and creviced shapes. //J. Phys. G: Nucl. Phys. 1984. - Vol. 10. - P. 1057-1070.

106. Bonneau L.; Quentin L., and Mikhailov I. N. Scission configurations and their implication in fission-fragment angular momenta. Phys. Rev. C. -2007. Vol. 75. - P. 064313.

107. Жданов С. В., Иткис М. Г., Мульгин С. М., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смиренкнн Г. Н., Субботин М. И. Высшие моменты распределения энергии осколков симметричного деления ядер. // ЯФ. 1992. -Том 55. - С. 3169-3179.

108. Asghar М., Gaitucoli F., Perrin P., Wagemans С. Fission fragment energy correlation measurements for the thermal neutron fission of 239Pu and 235U. // Nucl. Phys. A. 1978. - Vol. - 311. - P. 205-218.

109. Hinde D. J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer В., Lehmann M., Wilpert M. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics. // Phys. Rev. С. 1992. - Vol. 45. - P. 1229-1259.

110. Plasil F., Burnett D. S., Britt H. C., Thompson S. G. Kinetic energy-mass distributions from the fission of nuclei lighter than radium. // Phys. Rev. 1966. - Vol. 142. - P. 696-701.

111. Hinde D. J., Ogata H., Tanaba M., Shimoda T., Takahashi N., Shinohara A., Wakamatsu S., Katori S. and Okamura H. Systematics of fusion-fission time scales. // Phys. Rev. C. 1989. - Vol. 39. - P. 2268-2284.

112. Plasil F. and Schmitt H. W. Mass and Energy Distributions from 77.3-MeV 4He-Induced Fission of 181Ta, 209Bi, and 233£/: A Test of LiquidDrop - Model Predictions. // Phys. Rev. C. - 1972. - Vol. 5. - P. 528-531.

113. Кендал Дж., Стюарт А. Теория распределений. // Москва. Наука. -1966. - С. 587.

114. Itkis M. G., Okolovich V. N., Smirenkin G. N. Symmetric and asymmetric fission of nuclei lighter than radium. // Nucl. Phys. A. 1989. - Vol. 502. -P. 243c-260c.

115. Wada Т., Carjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics. // Nucl. Phys. A. 1992. - Vol. 538. - P. 283-290.

116. Viola V. E., Kwiatkowski K., Walker M. Systematics of fission fragment total kinetic energy release. // Phys. Rev. C. 1985. - Vol. 31. - P. 15501552.

117. Nix J. R. and Sierk A. J. Dynamics of fission and heavy ion reactions. // Nucl. Phys. A. 1984. - Vol. 428. - P. 161c-176c.

118. Nadtochy P. N., and Adeev G. D., Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission. // Phys. Rev. C. 2005. - Vol. 72. - P. 054608.

119. Pashkevich V. V., Rusanov A. Ya. The 22QTh fission valleys. // Nucl. Phys. A. 2008. -Vol. 810. - P. 77-90.

120. Жданов С. В., Бейзин С. Д., Иткис М. Г., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смнренкин Г. Н., Субботин М. И. Исследование формы энергетических распределений осколков деления. // ЯФ. 1989. - Том 50. -С. 913-921.

121. Жданов С. В., Иткис М. Г., Мульгин С. М., Околович В. Н., Русанов А. Я., Смиренкин Г. Н., Субботин М. И. Энергетические распределения осколков и динамика деления нагретых ядер. // ЯФ. 1993. -Том 56. - С. 55-66.

122. Mulgin S. I., Okolovich V. N., Zhdanov S. V. Observation of new channel in the proton-induced low energy fission of nuclei from 233Pa to 245Bk. // Phys. Lett. B. 1999. - Vol. 462. - P. 29-33.

123. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // Москва. Наука. - 1968. - С. 720.

124. Knitter H. H., Hambsch F.-J., Budtz-Jourgensen C., Theobald J. P. Three Exit Channels in the Fission of 235U(n, /). //Naturforsh Z. A. 1987. -Vol. 462. - P. 786-790.

125. U. Brosa, H.-H. Knitter, Tie-shuan Fan, Ji-min Hu, and Shang-lian Bao Systematics of fission-channel probabilities. // Phys. Rev. C. 1999. -Vol. 59. - P. 767-775.

126. Pokrovsky I. V., Itkis M. G, Itkis J. M. et al. // Phys. Rev. C. 2000. -Vol. 62. - P. 014615.

127. Анго А. Математика дл электро- и радиоинженеров //Москва. Наука. - 1967. - 780 с.