Расчет балок, пластин и пологих оболочек коллокационными методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Букша, Вячеслав Викторович

• Букша, Вячеслав Викторович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Букша, Вячеслав Викторович

РЕФЕРАТ

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ

1. РАЗНОВИДНОСТИ КОЛ ЛОКАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

1.1. Метод внутренней коллокации.

1.2. Метод граничной коллокации.

1.3. Метод смешанной коллокации

1.4. Метод коллокации по линиям.

1.5. Метод решеточной коллокации.

1.6. Метод ортогональной коллокации

1.7. Метод переопределенной внутренней коллокации

1.8. Метод переопределенной граничной коллокации

1.9. Оценка качества приближенных решений.

2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА БАЛОК, ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНОЙ КОЛЛОКАЦИИ.

2.1. Балка переменной жесткости.

2.2. Круглая пластина переменной толщины.

2.3. Квадратные пластины постоянной и переменной толщины

2.4. Пологие оболочки постоянной толщины.

Выводы.

3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛАСТИН МЕТОДАМИ ГРАНИЧНОЙ И ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ

ГРАНИЧНОЙ КОЛЛОКАЦИИ

ЗЛ. Прямоугольные пластины, опертые по контуру.

3.2. Многоугольные пластины с защемленными и шарнирно опертыми краями.

3.3. Многоугольные пластины с круговым вырезом.

Выводы.

4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА БАЛОК

И ПЛАСТИН МЕТОДОМ СМЕШАННОЙ КОЛЛОКАЦИИ . . 82 4Л. Балка переменной жесткости.

4.2. Круглая пластина переменной толщины.

4.3. Прямоугольные пластины постоянной и переменной толщины

4.4. Многоугольные пластины с защемленными краями . . . 107 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет балок, пластин и пологих оболочек коллокационными методами»

Пластины и оболочки самых разнообразных форм являются наиболее распространенными элементами тонкостенных конструкций. Это объясняется как большими функциональными возможностями тонкостенных конструкций, так и исключительно удачным сочетанием в них свойств легкости и прочности.

В настоящее время трудами многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние (НДС тонкостенных конструкций, и разработаны эффективные методы их расчета [1], [21], [27], [31], [39], [40], [44], [58] и др.

Существенный вклад в развитие общей теории пластин и оболочек, в разработку эффективных приближенных методов решения краевых задач математической физики, прикладных задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела связан с именами советских ученых -Н.П. Абовского, А.В. Александрова, Ю.П. Артюхина, В.В. Болотина, В.З. Власова, А.С. Вольмира, И.И. Воровича, К.З. Галимова, А.П. Грибова, Э.И. Гри-голюка, М.С. Корнишина, В.А. Крысько, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, В.Н. Паймушина, В.В. Петрова, Н.Н. Столярова, С.А. Тимашева, В.И. Фео-досьева, Н.Н. Шапошникова, Н.М. Якупова и многих других.

Хотя успехи в развитии теории и в разработке приближенных методов решения различных прикладных задач велики, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему широк [19], [41].

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой приближенных методов решения краевых задач теории пластин и оболочек, которые были бы универсальны, эффективны и просты в реализации. 8

В настоящее время наиболее существенное развитие и широкое применение получили методы Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных разностей, конечных и граничных элементов. Достоинства названных методов трудно переоценить, но нельзя также утверждать, что следует и далее развивать только эти методы.

В работах М.С. Корнишина и В.В. Рогалевича, [30], [31], [51] и др. показано, что весьма эффективными приближенными методами решения различных задач теории пластин и оболочек являются коллокациоиные методы.

Наличие детального обзора работ до 80-го года включительно [48], а также анализ работ математического и прикладного характера, приведенные в докторской диссертации (1990 г.) и монографии (2001 г.) В.В. Рогалевича, позволяют кратко остановиться на истории развития коллокационных методов, акцентируя внимание на тех аспектах, которые требуют дальнейшего развития.

Впервые сущность и методика применения коллокационным методов для решения краевых задач математической физики изложена [22] акад. JI.B. Канторовичем в 1934 году. Обсуждаются два варианта коллокационных методов - метод внутренней коллокации и метод коллокации по линиям, приводится пример решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения.

В 1937 году Frazer R.A. с соавторами предложили [63] различные варианты аппроксимации искомых функций и сделали первую попытку обоснования метода внутренней коллокации.

Первая работа, в которой для приближенного решения линейной краевой задачи об изгибе пластины применен метод граничной коллокации, принадлежит [61] J. Barta (1937 г.).

Вторая мировая война и послевоенные проблемы на длительное время изменили научные направления ученых и лишь с выходом в свет монографии 9

JI. Коллатца [27] интерес к коллокационным методам решения краевых задач вновь возрос.

Усилия ученых были сосредоточены как на развитии метода внутренней коллокации [30], [31], [3] и др., так и на практическом применении метода граничной коллокации [62], [28], [35], [36], [47] и др.

Серия работ Э.Б. Карпиловской [23] и др., Ю.П. Ярцева [60] и др., Г.М. Вайникко [14] посвящены математическому обоснованию коллокацион-ных методов.

Необходимо отметить, что в большинстве работ прикладного характера коллокационными методами решены различные линейные задачи изгиба пластин, а в результате сравнительного анализа приближенных методов решения подобных задач установлено [56], что наиболее эффективными по многим критериям являются методы переопределенной внутренней и граничной коллокации.

В дальнейшем метод граничной коллокации был применен для расчета пластин с круговым вырезом [43], [20] и др., трапециевидного и более сложного очертаний в плане [15], [11] и др.

Оценки погрешности решения линейных задач изгиба прямоугольных пластин постоянной толщины методом внутренней коллокации и вопросы сходимости метода рассмотрены в работах [64], [57], [59], [32] и др., а результаты расчета прямоугольных пластин переменной толщины методом коллокации по линиям приведены в работах [3], [52] и др.

С середины 70-х годов и по настоящее время развитием коллокационных методов активно занимаются проф. Рогалевич В.В. и его ученики. Значительная часть полученных результатов исследований обобщена в монографии [51].

Тем не менее определенный круг вопросов, связанных с надежным практическим применением коллокационных методов для решения краевых задач статики пластин и оболочек, ждет своего разрешения.

Остановимся на тех вопросах, на которые с той или иной степенью полноты даны ответы в диссертационной работе.

Во-первых, недостаточно изучены вопросы сходимости коллокационных методов и оценок точности получаемых решений.

Во-вторых, не в полной мере раскрыты возможности методов ортогональной, граничной и переопределенной граничной коллокации.

В-третьих, совершенно недостаточно изучены возможности метода смешанной коллокации.

Фурье отмечал, что основным показателем, позволяющем оценить эффективность приближенного метода, является число.

Разумеется, это не отменяет априорных, апостериальных и иных оценок, но в рамках данной диссертационной работы основное внимание будет уделяться получению и анализу численных результатов.

Целью диссертации является изучение практической сходимости коллокационных методов и оценка точности решения линейных задач изгиба балок, пластин и пологих оболочек методами ортогональной, граничной, переопределенной граничной и смешанной коллокации.

В соответствии с целью диссертации решены следующие задачи:

- методом ортогональной коллокации (МОК) детально изучено НДС балки переменной жесткости, круглой пластины переменной толщины, прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины, пологих оболочек постоянной толщины:

- методами граничной и переопределенной граничной коллокации (МГК и МПГК) подробно исследовано НДС прямоугольных пластин, опертых по всему контуру и при наличии одного свободного края, многоугольных пластин с защемленными и шарнирно опертыми краями, в том числе и при наличии кругового выреза;

- методом смешанной коллокации (МСК) с необходимой полнотой изучено

НДС балки переменной жесткости, круглых и прямоугольных пластин постоянной и переменной толщины, многоугольных пластин с защемленными краями.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

- разработанные и реализованные на ПЭВМ эффективные алгоритмы решения коллокационными методами линейных задач изгиба балок, пластин и пологих оболочек постоянной и переменной толщины различного очертания в плане, в том числе и при наличии кругового выреза;

- существенное развитие МСК, связанное с его применением для расчета пластин переменной толщины и пластин сложного очертания в плане;

- результаты подробного анализа сходимости коллокационных методов при решении различных краевых задач и оценки точности численных результатов решения.

Достоверность результатов работы обеспечивается:

- строгой математической постановкой краевых задач;

- надежной сходимостью численных результатов приближенных решений;

- выполнением интегральных оценок точности полученных результатов;

- совпадением результатов решения некоторых задач с известными результатами других авторов.

Практическую ценность диссертации составляют:

- разработанные на основе коллокационных методов и реализованные на ПЭВМ программы расчета пластин и пологих оболочек постоянной и переменной толщины различного очертания в плане;

- результаты решения в линейной постановке новых задач изгиба пластин и пологих оболочек.

Внедрение результатов диссертации связано:

- с использованием разработанных программ в учебном процессе;

- с расчетом плит сложного оцертания в плане по заказам частных фирм;

- с передачей разработанных программ заинтересованным организациям. На защиту выносятся:

- алгоритмы и программы расчета пластин и пологих оболочек постоянной и переменной толщины различного очертания в плане, разработанные для ПЭВМ на основе МОК, МГК, МПГК и МСК;

- результаты решения широкого круга новых линейных задач изгиба пластин и пологих оболочек;

- результаты анализа сходимости и точности результатов решения различных краевых задач коллокационными методами.

Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Уральского государственного технического университета - У ПИ и, в частности, с темой "Разработка методов, алгоритмов расчета пластин, оболочек и механических систем, применяемых в строительстве, машиностроении," № г.р. 01960000272.

Диссертация является законченной научно-исследовательской работой, апробированной на уровне научных семинаров кафедр "Строительная механика" УГТУ-УПИ (1996, 1998, 2000, 2002 гг.), "Механика деформируемого твердого тела, основания и фундаменты" УрГУПС (2000, 2002 гг.). Часть результатов доложена на международной научно-технической конференции "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте" (Самара, 2002 г.).

Основные результаты исследований опубликованы в 7 статьях.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Букша, Вячеслав Викторович

Общие выводы

1. В диссертации на основе методов ортогональной, смешанной, граничной и переопределенной граничной коллокации разработаны алгоритмы и программы расчета балок, пластин и пологих оболочек постоянной и переменной толщины, реализованные на ПК типа IBM.

2. На примерах решния широкого круга линейных задач изгиба балок, пологих оболочек и пластин различного очертания в плане, в том числе и с круговым вырезом, установлена надежная сходимость коллокационных методов, высокая точность и достоверность полученных результатов.

3. Показано, что методы ортогональной и смешанной коллокации целесообразно и эффективно применять для расчета балок, пологих оболочек и пластин канонических форм как постоянной, так и переменной толщины, в том числе и при наличии свободного от закреплений края, а методы граничной и переопределенной граничной коллокации для расчета пластин постоянной толщины как канонических форм, так и сложных очертаний, в том числе и при наличии кругового выреза.

4. На ряде конкретных примеров методом переопределенной граничной коллокации изучено влияние размеров кругового выреза и условий закрепления по его контуру на напряженно-деформированное состояние пластин различного очертания в плане.

5. На примере четырехугольной пластины неканонической формы показано, что расчет пластин сложного очертания в плане можно производить и методом смешанной коллокации, но предварительно необходимо установить оптимальное соотношение между количеством узлов в области и на границе пластины.

6. В целом, представленные в диссертации результаты свидетельствуют о том, что методы ортогональной, смешанной, граничной и переопределенной граничной коллокации являются эффективными приближенными методами решения линейных краевых задач изгиба балок, пластин и пологих оболочек, которые весьма просто реализуются на ПК и позволяют получать надежные результаты с малыми временными затратами.

115

Заключение

В настоящее время в инженерных расчетах широко используются программные комплексы, основанные на методе конечных элементов.

Метод конечных элементов - действительно универсальный метод, но это не означает, что он является самым эффективным методом решения краевых задач механики пластин и оболочек.

Разработанные в диссертации на основе коллокационных методов программы расчета пологих оболочек и пластин постоянной и переменной толщины, сложного очертания в плане и ослабленных круговым вырезом значительно эффективнее программ, основанных на методе конечных элементов. Связано это, в первую очередь, с простотой реализации коллокационных методов на этапе подготовки, малыми затратами времени при расчете конкретных объектов, а также надежной сходимостью и высокой точностью результатов. Дальнейшие исследования несомненно позволят выявить новые области эффективного приложения коллокационных методов.

Особенно перспективным представляется развитие методов граничной и переопределенной граничной коллокации, позволяющих понижать на единицу размерность краевой задачи, и метода смешанной коллокации, позволяющего использовать для решения простейшие степенные агрегаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Букша, Вячеслав Викторович, 2002 год

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288 с.

2. Артюхин Ю. П., Серазутдинов М. Н. О расчете упругозакрепленных пластин различной формы // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №3. С. 33-36.

3. Барг А. Я., Левин Г. Е., Лившиц А. Л. К расчету пластин переменной толщины // Строительная механика и расчет сооружений. 1966. №5. С. 14-16.

4. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. T.I. 632 с.

5. Букша В. В., Рогалевич В. В. Расчет прямоугольных пластин методом смешанной коллокации // Изв. вузов. Строительство. 1996. №12. С. 27-31.

6. Букша В. В., Рогалевич В. В. Расчет балок, пластин и пологих оболочек методом ортогональной коллокации // Изв. вузов. Строительство. 1997. №12. С. 20-25.

7. Букша В. В., Рогалевич В. В., Андреянова Л. И. Расчет пластин сложной формы коллокационными методами / УГТУ, Екатеринбург, 1999. Деп. в ВИНИТИ, 1999. №1320-99. Деп.-20 с.

8. Букша В. В., Рогалевич В. В. Расчет прямоугольных и полигональных пластин методами граничной и переопределенной граничной коллокации // Строительная механика пластин и оболочек: Сб. статей. Екатеринбург: УГТУ, 2000. С. 36-45.

9. Букша В. В., Рогалевич В. В. Расчет прямоугольных пластин переменной толщины методом смешанной коллокации // Строительная механика пластин и оболочек: Сб. статей. Екатеринбург: УГТУ, 2000. С. 46-52.117

10. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин. Киев: Буд1вельник, 1970. 435 с.

11. Вайндинер А. И. Обобщение интерполяционного метода JI.B. Канторовича (метод решеточной коллокации) // Вестн. МГУ. Математика, механика. 1972. №3. С. 87-96.

12. Вайникко Г. М. О сходимости и устойчивости метода коллокации // Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1965. T.I, №2.1. С. 244- 254.

13. Вестяк А. В., Хвилон Е. А. Расчет напряженно-деформированного состояния трапециевидных пластин методом граничной коллокации // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №4. С. 138-142.

14. Власов Б. Ф. Двусторонние оценки по энергии в задачах теории изгиба тонких упругих плит // Тр. УДН. 1970. Т.18. Вып. 6. С. 9-81.

15. Грибов А. П. Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1998. 43 с.

16. Григолюк Э. И., Попович В. Е., Пухлий В. А. Изгиб сложнонагру-женных параллелограмных пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №3.1. С. 117-124.

17. Гузь А. Н. О современных направлениях механики твердого деформируемого тела // Прикладная механика. 1985. №9. С. 3-11.

18. Гусева Е. Б., Белкин Н. И. Напряженно-деформированное состояние изгибаемых прямоугольных пластинок с круговым вырезом // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1973. №4. С. 44-47.

19. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1963. 400 с.

20. Канторович JI. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1934. Т.2, №9. С. 532-534.

21. Карпиловская Э. Б. О сходимости метода коллокации // ДАН СССР. 1963. Т.151, №4. С. 766-769.

22. Карнунин В. Г. Концентрация напряжений в углах изгибаемой пластины // Исследования пространственных конструкций: Межвуз. сб. Свердловск: УПИ, 1985. Вып. 5. С. 19-29.

23. Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963. 278 с.

24. Коллатц J1. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1953. 460 с.

25. Конвей. Исследование треугольных пластин методом точечного удовлетворения граничных условий // Прикладная механика. Тр. амер. общ. инженеров-механиков. Т. 29. Сер. Е. 1962. №4. С. 168-169.

26. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Моск. математ. общ-ва. 1967. Т.16. С. 209-292 с.

27. Корнишин М. С. Применение метода коллокации к решению некоторых линейных и нелинейных задач теории пластин // Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1960. №14. С. 43-54.

28. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 192 с.

29. Корсаков С. Д., Рогалевич В. В. Сходимость метода коллокации для линейных операторных уравнений // Изв. вузов. Математика. Казань, 1985. Деп. в ВИНИТИ, 1985. №3787-85. Деп.- И с.

30. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. 424 с.

31. Кулаков В. М., Успенский А. А. Изгиб косоугольных пластин неременной толщины // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. №5. С. 71-73.

32. Лейсса, Ниденфюр. Изгиб квадратной пластинки, два смежных края которой свободны, а два других защенлены или свободно оперты // Ракетная техника и космонавтика. 1963. №1. С. 142-146.

33. Лейсса, Лоу, Ниденфюр. Равномерно нагруженные пластины правильной многоугольной формы // Ракетная техника и космонавтика. 1965. №3. С. 240-241.

34. Лисицын Б. М. Расчет пластинок переменной толщины методом определяющих состояний // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1967. JVM. С. 53-58.

35. Логвинская А. А. К расчету прямоугольных пластинок переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1970. №1. С. 63-68.120

36. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.

37. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1970. 512 с.

38. Новожилов В. В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: КГУ, 1970. Вып. VI-VII. С. 3-22.

39. Петухов Н. П. О некоторых подходах к расчету пластин и оболочек со сложным опорным контуром // Исследования по теории оболочек:

40. Тр. семинара. Казань: КФТИ АН СССР, 1978. Вып. X. С. 5-17.

41. Пирогов И. М., Белкин Н. И. Распределение усилий в изгибаемой треугольной пластине с круговым вырезом // Сб. тр. Всесоюз. заоч. политехи. ии-та. М.: ВЗПИ, 1970. Вып. 59. С. 70-76.

42. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 342 с.

43. Рвачев В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод .Д-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев: Наукова думка, 1973. 121 с.

44. Римский Р. А. К расчету прямоугольной пластинки переменной толщины // Строительная механика и расчет сооружений. 1965. №6. С. 18-22.

45. Робинсон. Решение методом коллокаций задачи об изгибе пластины, опертой в углах // Прикладная механика: Тр. амер. общ. инж. мех. М.: Мир, 1969. №4. С. 242-243.

46. Рогалевич В. В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации // Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Казань: КФТИ АН СССР, 1980. Вып. XIII. С. 5-20.

47. Рогалевич В. В. Об одном эффективном проекционном методе решения нелинейных краевых теории пластин и оболочек // Теория пластин и оболочек: XIII Всесоюз. конф. Таллин: ТПИ, 1983. Ч. IV. С. 126-131.

48. Рогалевич В. В. Размещение узлов при решении краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации // Исследование пространственных конструкций: Межвуз. сб. Свердловск: УПИ, 1985. Вып. 5. С. 37-47.

49. Рогалевич В. В. Кол локационные методы. Сущность. Примеры. Екатеринбург: Изд. АМБ, 2001. 298 с.

50. Рогалевич В. В., Березович A. JI. Метод коллокации по линиям при решении линейных задач изгиба прямоугольных пластин переменной толщины // Вопросы механики и прикладной математики: Сб. статей. Томск: ТГУ, 1983. С. 101-109.

51. Смирнов В. А. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных для пластин переменной жесткости // Исследования по теории сооружений: Сб. статей. М.: Стройиздат, 1977. №23.1. С. 133-139.

52. Смирнов В. А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978. 303 с.

53. Соболев Д. Н. Поперечный изгиб трапециевидных, треугольных и косых пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1958. №6.1. С. 34-49.

54. Сравнение приближенных методов решения задач об изгибе пластин / Лейса, Клаузен, Халберт, Хоппер // Ракетная техника и космонавтика. 1969. Т. 7, №5. С. 152-163.

55. Столяров Н. Н., Додзина Р. Н. Оценка погрешности решения задачи изгиба пластин методом коллокации // Расчет пространственных строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. Куйбышев: Изд. Куйбыш. ун-та, 1977. Вып. VII. С. 72-75.

56. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

57. Хайруллин С. X. О применении метода коллокации к решению линейных уравнений изгиба пластин // Изв. вузов. Математика. 1978. №8.1. С. 103-108.

58. Ярцев Ю. П. О сходимости метода коллокации по линиям // Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1967. Т. III, №91. С. 1606-1613.

59. Barta J. Uber die naherungsweise Losung einiger zweidimensionaler Elastizitataufgaben // ZAMM. 1937. Bd. 17. S. 184-185.

60. Conway H.D. The Bending, Buckling and Elexural Vibration of simply Supported poligonal Plates by Point-Matching // Trans ASME. S.E. 1961.1. Vol. 28, №2. P. 288-291.

61. Frazer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximations to Functions and the Solutions of Differential Equations // Reports and Memoranda №1799. Aeronautical Research Committee, 1937. P. 517-549.

62. Kuntze G. Anwendung der Kollokationsmethode zur Losung von Aufga-ben der Plattenbeulung // Wiss. Z. Techn. Hochsch. Magdeburg. 1976. Bd. 20, №1. S. 57.60.