Математическое моделирование процессов деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Куканов, Николай Иванович

• Куканов, Николай Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куканов, Николай Иванович

Введение.

Глава I. Фундаментальные решения некоторых линейных операторов.

§1.1. Методика получения фундаментального решения линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.1.1. Применение интегрального преобразования Фурье для получения фундаментальных решений операторов.

1.1.2. Получение фундаментального решения операторов с использованием решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

§1.2. Система дифференциальных уравнений задачи линейного деформирования длинной цилиндрической панели.

§1.3. Задача линейного деформирования длинной цилиндрической панели (модель Кирхгофа-Лява).

1.3.1. Случай пологой панели.

1.3.2. Случай непологой панели.

1.3.3. Случай непологой панели (вариант по В.З. Власову).

§1.4. Задача линейного деформирования длинной цилиндрической панели с учетом поперечного сдвига.

1.4.1. Случай пологой панели.

1.4.2. Случай непологой панели.

§1.5. Фундаментальные решения операторов с непостоянными коэффициентами.

1.5.1. Задача растяжения-сжатия тонкой пластины.

1.5.2. Задача растяжения-сжатия тонкой пластины (с применением преобразования Фурье).

1.5.3. Задача изгиба тонкой пластины.

1.5.4. Задача деформирования длинной пологой цилиндрической панели.

§1.6. Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

1.6.1. Плосконапряженное состояние тонкой пластины.

1.6.2. Изгиб тонкой пластины.

1.6.3. Изгиб тонкой пластины, лежащей на упругом основании.

§1.7. Изгиб пластины с учетом поперечного сдвига.

§1.8. Изгиб пластины, лежащей на упругом Винклеровом основании, с учетом поперечного сдвига.

Глава II. Интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины, лежащей на упругом основании.

§2.1. Формулы дифференцирования в локальной системе координат.

§2.2. Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин, лежащих на упругом основании.

§2.3. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании.

§2.4. Предельное представление потенциалов на границе области.

§2.5. Интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на упругом основании.

§2.6. Метод компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины.

§2.7. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения плоского напряженного состояния пластины.

§2.8. Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины.

§2.9. Регуляризация расходящихся интегралов.

§2.10. Численная реализация.

2.10.1 Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура.

Глава III.Изгиб пластин сложной формы, лежащих на упругом основании.

§3.1. Изгиб пластины на упругом основании от действия поперечных нагрузок.

§3.2. Изгиб многосвязных пластин, лежащих на упругом основании .'.

Глава IV. Моделирование процессов линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек непрямым МГЭ.

§4.1. Задачи линейного деформирования длинных пологих цилиндрических панелей и пластин.

§4.2. Задачи нелинейного деформирования длинных пологих цилиндрических панелей и пластин.

4.2.1. Модель Кирхгофа-Лява.

4.2.2. Модель Тимошенко.

4.2.3. Примеры решения задач.

§4.3. Исходные соотношения задач деформирования пластин и пологих оболочек.

§4.4. Расчет гибких пластин и пологих оболочек непрямым методом граничных элементов.

§4.5. Примеры решения задач теории пологих оболочек.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных интегральных уравнений»

Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. Высокая механическая прочность и легкость оболочек обуславливает их широкое использование в технических конструкциях. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы при действии на них распределенных и локальных нагрузок. В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно. В этой связи приближенные численные методы являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых по точности и затратам результатов при решении практически важных задач.

Универсальных численных методов исследования большого многообразия проблем не существует. Развитие и широкое применение в решении различных задач механики твердого тела получили несколько численных методов. Наиболее распространенные численные методы теории оболочек основываются на: достаточно мелком делении изучаемой области (метод коллокаций); введении линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах (конечно-разностные методы); разбиении области на большое число дискретных элементов простой структуры (методы конечных элементов); применяются различные модификации вариационных методов. Каждый из этих методов обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, тем не менее, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обуславливают границы его применения.

В настоящей работе рассматриваются некоторые аспекты развития и приложения метода граничных элементов в решении задач деформирования пластин и пологих оболочек.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования, включающий как работы по определению напряженно-деформируемого состояния пластин и пологих оболочек, так и развитию метода граничных элементов для решения задач в этой и смежных областях.

Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [56, 101, 128, 137, 165].

Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Вайнберга Д.В., Вольмира A.C., Григоренко Я.М., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова Н.П., Крысько В.А., Столярова H.H. и др. изложены способы построения разностных схем [30, 31, 45, 46, 47, 87, 97-99, 138, 108, 149].

Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Пайму-шина В.Н., Якупова Н.М. и их учеников [57, 100, 130, 132, 166]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.

Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Постнова В.А., Розина JI.A., Рикардса К. и других [18, 61, 62, 64, 91, 92, 141, 142, 63].

Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко Я.М. [97, 143, 86] и др.

В работах Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [16, 144, 145, 167].

Одним из эффективных методов исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его развитию и применению посвящены работы Вольмира A.C., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В., Петрова В.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова H.H., Танеевой М.С.и др. [45-49, 85,32, 136, 106, 107, 147-148, 58].

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений (ГИУ) или методы потенциала. Метод граничных интегральных уравнений решает не исходные дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемую задачу, а соответствующую этой задаче граничные интегральные уравнения. Последние могут быть построены при существовании фундаментальных решений для исследуемых дифференциальных операторов и при проведении детального анализа предельных соотношений интегральных представлений, имеющих место при переходе через контур. Из решения ГИУ определяются некоторые определенные на границе плотности. Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905 г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [179].

Как отмечает Э.И. Григолюк в предисловии к переводу монографии [28], историческим предшественником и основой метода граничных элементов является теория интегральных уравнений. Впервые Г. Грин получил интегральное уравнение в теории потенциала, которое является альтернативой дифференциальному уравнению. Существенный вклад в становление и развитие теории граничных интегральных уравнений принадлежит Фредгольму. Он использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения статической задачи теории упругости [180]. В дальнейшем теоретические исследования в области граничных интегральных уравнений проводились главным образом в приложении к теории поля. Фундаментальные исследования в этом направлении принадлежат советским математикам Михлину С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвилли Н.И., Смирнову В.И. и др [117-119, 112, 124, 125]. Так, Михлин С.Г. рассматривал интегральные уравнения не только со скалярными подынтегральными функциями, но и с векторными, что в значительной мере расширяет область применения теории интегральных уравнений. Кроме того, подынтегральные функции могли содержать различные особенности и разрывы непрерывности в области интегрирования. Большое внимание уделено представлению гармонических потенциалов через комбинацию поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, что автоматически приводит к интегральных уравнениям Фредгольма. В дальнейшем, как оказалось, такого рода представление стало возможным использовать в качестве основы для формулировки непрямого метода граничных элементов (НМГЭ).

В работе Купрадзе В.Д. [101] разрабатываются подходы к формулировке и решению задач теории упругости на основе сингулярных граничных интегральных уравнений. Исходя из теории потенциала, получены векторные интегральные уравнения, характеризующие поведение упругих тел. Приведены основные сингулярные решения в виде фундаментальных решений для некоторых видов дифференциальных уравнений теории упругости. Подробному изучению и анализу подверглись сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Предложены подходы в вопросе регуляризации сингулярных интегралов. Введенное понятие распределенной поверхностной плотности потенциала источника позволило установить зависимость перемещений и напряжений на границе упругой среды, что представляет большие потенциальные возможности в решении основных задач формулировки метода граничных интегральных уравнений и приведено, видимо первое, доказательство их эквивалентности.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Партона В.З., ПерлинаП.И.идр. [117, 118, 59, 34, 134, 135].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Корнейчука A.A., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [96, 20, 50, 23-25, 129, 139, 140].

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [51-54, 205] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных пред-, ставлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась С.П. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела Л., Громадки Т., Лей Ч. и др [134, 135, 43, 158, 28, 29, 105, 177, 152,88].

Прогресс вычислительных технологий и исследования по методам решения интегральных уравнений обусловили переход метода граничных интегральных уравнений от этапа теоретических исследований к этапу применения к решению широкого круга практических задач. Появляется большое число работ, связанных с использованием и параллельно развитием метода граничных элементов в приложении к различным задачам механики.

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе. С вычислительной точки зрения МГЭ приводит к системе меньшего порядка, чем другие численные методы (МКЭ, МКР) при решении той же задачи. После решения уравнений можно найти решение в любой точке заданной области, вместо автоматической привязки результатов к ряду фиксированных точек (МКЭ и МКР). В этой методе в силу аналитического решения, которое справедливо всюду в области, не возникает вопроса совместности элементов, как в МКЭ, где аппроксимации проводятся в каждом элементе.

Физические величины, связанные с производными решения можно получить аналитически, дифференцируя сингулярные решения и суммируя их, что также способствует повышению точности, т.к. численное интегрирование всегда представляет более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основанный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ Бетти, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия. С прикладной точки зрения впервые этот метод описан в работе Круза Т. и Риццо Ф [177].

В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не обладают каким-либо физическим смыслом, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов, отвечающих рассматриваемой задаче.

Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б.Г. [95] и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Венцеля Э.С. и др. [154-157, 10-15, 35, 36-39, 40-42, 19].

Монография Верюжского Ю.В. [43] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [154-157], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей. Заложены теоретические основы к анализу интегралов с сильной особенностью типа г2 при г-> 0, которые позволяют определить подходы по приданию определенного смысла таким интегралам и их последующего вычисления.

Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [35-42] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [38].

Глубокое развитие по многим направлениям метод компенсирующих нагрузок получил в работах Артюхина Ю.П. с учениками [3-9, 14, 15]: применение метода компенсирующих нагрузок к решению задач изгиба тонких изотропных пластин произвольного очертания при различных способах опирания и произвольном нагружении; детальный анализ и решение возникающих проблем при получении и вычислении различных сингулярных интегралов; применение метода компенсирующих нагрузок к задаче изгиба пластин средней толщины, при решении данной проблемы получены основные граничные интегральные соотношения с ядрами в виде функций Макдональда нулевого порядка и дан исчерпывающий анализ возникающих при этом особенностям. Решен вопрос об учете температурного воздействия на пластина совместно с силовым нагружением. Метод граничных элементов получил развитие не только применительно к линейным, но и к нелинейным задачам теории пластин и оболочек. Рассмотрена и решена методом граничных элементов задача изгиба ортотропных пластин. Метод получил развитие в приложении к расчету пологих сферических оболочек и оболочек положительной двоякой кривизны. Итогом исследований по целому ряду направлений явились диссертационные работы Крамина Т.В. [103] и Крамина М.В. [104], которые свидетельствуют о продвижении метода граничных элементов на новые типы задач.

Заметный вклад в развитие метода граничных элементов внесен Грибовым А.П. В ряде работ [5-9], [66-71, 80-83] с соавторами проведено исследование большого круга проблем, связанных с расчетом пластин и оболочек, как в линейной, так и в нелинейной постановках с использованием прямого и непрямого вариантов метода граничных элементов. В связи с решением конкретных задач производился детальный анализ в одном из главных вопросов приложения метода граничных элементов - это получение предельных соотношений для граничных интегралов. На основе проводимого анализа сингулярных ядер предложен ряд методик по вычислению подобных интегралов, в том числе интегралов с особенностью \Jr2 . В наиболее полном виде результаты исследований изложены в диссертационной работе [72] и последующей за ней монографии [7], совместно с Артюхиным Ю.П.

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С., Шевченко В.П., Бе-лоносова С.М., Артюхина Ю.П. [115, 162, 159, 19, 3].

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [159, 162] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

В работах Мораря Г.А. [120-123] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [105].

Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочки сложной геометрии на основе формулы Сомилиана предложен Паймушиным В.Н. и Сидоровым И.Н. [131].

Синтезу метода конечных и граничных элементов посвящены работы Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [145, 17].

В работе [162] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [162, 122].

В работах [200, 202] построены фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига. Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г.А. [122].

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [168, 169, 171-173, 175, 176, 178, 181, 182, 184, 185, 187, 188, 191, 197, 199,203,213,215].

В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.

Работ, посвященных решению задач изгиба пластин сложной формы и лежащих на упругом основании, сравнительно мало [95, 131, 39, 69, 201, 170, 26, 27, 116, 160]. В своей работе [95], Коренев Б.Г. приводит решение задачи изгиба круглой пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера и находящейся под действием сосредоточенной силы или распределенной поперечной нагрузки. В работе [69] Грибовым А.П. предлагается решать задачи изгиба пластин и пологих оболочек, лежащих на упругом основании типа Винклера, методом граничных элементов. Ядрами разрешающих интегральных уравнений являются фундаментальное решение задачи изгиба пластины и его производные. Такой подход позволяет решать задачи для контура пластины сложного очертания. В [160] рассматривается прямоугольная плита на упругом однослойном основании, шарнирно опертая по краям, под действием нагрузки, равномерно распределенной по части длины плиты. В [170] в программе расчета толстых плит на упругом основании по МГЭ проведен анализ свойств несингулярного фундаментального решения. Исследуются найденные граничные интегралы в случаях однородного и линейного распределения нагрузки. Под действием обобщенной нагрузки выявлены внутренние силовые факторы с оценкой погрешности полученных результатов.

Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [172, 174, 177, 189, 194,204,207,214].

Применение МГЭ в задачах расчета оболочек связано с определенными трудностями. Это во многих случаях — отсутствие фундаментальных решений в замкнутом виде или громозкие сложные выражения, определяющие матрицы фундаментальных решений.

Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [10, 12,38,41, 157,51-54, 186,212, 190, 202, 127].

Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [38, 41]. В работах [38, 157] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется алгоритмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.

В публикациях Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [51-54] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек.

Среди известных ученых, занимающихся вопросами приложения и развития метода граничных элементов, весомый авторитет принадлежит К. Бреббия, который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему приписывается авторство в названии метода граничных элементов, которое было вынесено в качестве заголовка одной из его книг. Так одной из первых работ К. Бреббия в соавторстве с С. Уо-кером является книга [29]. В ней, прежде всего, предпринята попытка дать некую классификацию известны приближенных методов и определить место метода граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассмотрен вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые зависят от времени. Произведена постановка к решению как линейных, так и нелинейных задач.

Более значимой в продвижении метода является следующая монография К. Бреббия в соавторстве с Ж. Теллесом и Л. Вроубелом [28]. Дан более детальный анализ по классификации приближенных методов и их возможной связи. Высказывается соображение о том, что в основе известных приближенных методов, в том числе и метода граничных элементов, возможно, лежит концепция метода взвешенных невязок. Помимо задач, связанных с теорией потенциала, обсуждаются подходы к решению задач теплопроводности, теории пластичности и вязкоупругости. Наиболее подробному рассмотрению и анализу подверглись задачи теории упругости. В кратком изложении дается постановка задачи изгиба тонких пластин и приводятся результаты решения для нескольких примеров. Введена глава, в которой обсуждаются возможные подходы по совместному применению различных методов, в частности метода конечных и метода граничных элементов. В целом усматривается тенденция по расширению сферы применения метода граничных элементов в обеих его вариантах.

Большое исследование по различным аспектам применения метода граничных элементов при решении задач механики проведено в монографии Бенерджи П. и Баттерфилда Р. [21]. Акцент сделан на практические стороны приложения метода в различных его вариантах. Уделено внимание таким вопросам, как формирование систем интегральных уравнений при выполнении граничных условий, анализ получаемых сингулярностей и способы их преодоления. Значительное внимание уделено дискретизации границы и аппроксимации искомых граничных функций в пределах отдельных граничных элементов. Анализируются подходы по учету влияния ребер и угловых точек на границе изучаемой области. Одна из глав посвящена изгибу тонких пластин, как в прямом, так и непрямом варианте метода граничных элементов.

Монография Крауча С. и Старфилда А. [105] посвящена в основном применению вариантов МГЭ к задачам линейной теории упругости. Книга акцентирована на практические аспекты приложения метода в решении различных задач.

Большим вкладом в развитие МГЭ и расширению сферы его применения представляет книга Угодчикова А.Г. и Хуторянского Н.М. [158]. Книга содержит описание численно-аналитических подходов к решению трехмерных задач теории упругости, термоупругости и вязкоупругости. Также рассматриваются нестационарные динамические задачи теории упругости и вязкоупругости.

Предметом обсуждения в монографии Т. Громадки II и Ч. Лея [88] является комплексных метод граничных элементов. Помимо постановки задач, описываемых уравнением Лапласа, рассматриваются вопросы аппроксимации границы и аппроксимации искомых граничных функций. Анализируются подходы по оценке точности аппроксимации и вырабатываются критерии по оптимизации принятой аппроксимации.

Gospodinov G.K. в статье [186] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек. Обсуждаются проблемы формирования разрешающих интегральных соотношений.

Tottenhem H. в работе [212] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек.

Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [190] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями.

Lu Pin, Huang Mao-quang а работах [202] рассматривают МГЭ задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Решению нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [192, 193, 195, 197, 198, 200, 208,210,211].

Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [208] рассматривают осе-симметричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций.

Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [210] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины.

Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [200] применили МГЭ к расчету геометрических нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета.

Tosaka N., Miyake S. в статье [211] на основе уравнений смешанного типа решают МГЭ линейные и геометрически нелинейные задачи пологих сферических оболочек.

Kamiya N., Sawaki Y. в статье [193] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [192] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и пологих оболочек.

Katsikadelis J.T. в работе [195] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [198] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ. В статье [197] рассматриваются подходы и способы вычисления интегралов с логарифмической особенностью и интегралов типа Коши для одномерных и двумерных областей интегрирования при численной реализации МГЭ в приложении к некоторым задачам механики.

Sladek V., Sladec J. в работе [209] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.

Анализ и оценка ошибок при численном интегрировании ядер, имеющих место при формулировке граничных интегральных соотношений, для различных задач механики производится в статье [207]. Исследуется погрешность при применении квадратурной формулы Гауссы к интегрированию быстроизменяющихся функций, таких как 1J г и \/г2, когда точка наблюдения приближается к рассматриваемому граничному элементу, в пределах которого производится интегрирование. На основе проведенных детальных численных расчетов и сравнения с результатами аналитических вычислений выработаны рекомендации по выбору оптимального порядка квадратурной формулы в зависимости от положения точки наблюдения по отношению к граничному элементу. Как показывают результаты этих исследований, погрешности численного интегрирования могут быть существенными, если не учитывать особенности в поведении такого рода функций при разработке соответствующих численных алгоритмов вычислений.

В работе [183] дается оценка гиперсингулярным интегралам на конечном интервале. Для вычисления таких интегралов используется квадратурная формула Гаусса для вычисления главной части интеграла типа Коши.

Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач пологих оболочек на основе МГЭ развиты недостаточно и по расчету МГЭ линейных задач пологих оболочек выполнено очень незначительное число работ; по исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек практически отсутствуют работы, выполненные отечественными исследователями, и имеется незначительное число работ, выполненных зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке. Почти отсутствуют работы посвященные вопросу расчета пластин сложной формы, лежащих на упругом основании. Большинство работ по этой теме проведено лишь для областей канонической формы. Для решения методом граничных элементов задач теории пластин и пологих оболочек требуется знание фундаментального решения соответствующей задачи, чтобы получить разрешающие граничные интегральные уравнения. Получение фундаментального решения является само по себе сложной задачей, поэтому на данный момент известно небольшое количество работ, посвященных получению таких решений и, как правило, большинство полученных фундаментальных решений имеют сложную структуру, потому тяжелы для анализа и мало пригодны в применении на практике. Получение фундаментальных решений для широкого круга задач теории пластин и пологих оболочек является актуальным вопросом.

Изложенное выше в определенной степени отражает актуальность вопросов, которые рассмотрены в диссертации.

Диссертационная работа состоит из четырех глав и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Куканов, Николай Иванович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены фундаментальные решения задач деформирования длинных пологих и непологих цилиндрических панелей, подчиняющихся гипотезам Кирхгофа-Лява.

2. Получены фундаментальные решения задач деформирования длинных пологих и непологих цилиндрических панелей с учетом поперечного сдвига.

3. Получены фундаментальные решения задачи растяжения и задачи поперечного изгиба длинной пластинки с переменными жесткостями.

4. Получены фундаментальные решения задачи изгиба пластины средней толщины и задачи изгиба пластины, лежащей на упругом Винкле-ровом основании, с учетом поперечного сдвига.

5. Предложены итерационные процессы для решения непрямым МГЭ линейных и нелинейных задач деформирования пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок, основанные на применении фундаментальных задач изгиба и растяжения пластины, лежащей на упругом основании.

6. Проведено аналитическое вычисление интегралов с особенностями типа Коши и Адамара для задач изгиба и растяжения пластин на упругом основании.

7. Приведены основные соотношения МГЭ для задач изгиба и растяжения пластины, лежащей на упругом основании.

8. Разработаны алгоритмы решения задач изгиба пластин сложной формы, лежащих на упругом основании типа Винклера.

9. Изложены разработанные алгоритмы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанные на решении нелинейных задач непрямым МГЭ и методе продолжения по параметру. За ведущий параметр принят прогиб в заданной точке.

10. Реализован алгоритм итерационного процесса решения непрямым МГЭ задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей с учетом и без учета поперечного сдвига, основанный на применении фундаментальных решений задач деформирования длинных пологих цилиндрических панелей, подчиняющихся гипотезам Кирхгофа и Тимошенко. Проведено решение ряда задач.

11. Предложенные итерационные процессы решения нелинейных задач на основе МГЭ не требуют больших затрат времени на подготовку исходных данных. Реализация итерационного процесса сводится к решению систем линейных уравнений с хорошо обусловленными матрицами. Это следствие сингулярности ядер интегральных уравнений.

12. Проведенные многочисленные сравнения с известными теоретическими и численными результатами других авторов позволяют сделать заключение о высокой точности и эффективности предложенных в диссертации методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куканов, Николай Иванович, 2003 год

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

2. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. — Новосибирск: Наука, 2001.-288 с.

3. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 4. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та. 1966. С. 110-114.

4. Артюхин Ю.П. К расчету изгиба пластин средней толщины методом граничных элементов // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 15-21.

5. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследование изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давления методом граничных элементов // Прикладные задачи напряженного состояния упругих тел. Межвуз. научн. сб. Саратов. 1987. С. 50-54.

6. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 3-9.

7. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. — Казань: Фэн, 2002. 199 с.

8. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек // Лаврентьевские чтения. Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, С. 89.

9. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек. Казанский гос. ун-т. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2476-В94.12